Breve descripción de la distribución beta.

1. DISTRIBUCIÓN BETA
E.E. Probabilidad y Estadística

2. DISTRIBUCIÓN BETA
• La distribución beta es una familia de distribuciones de probabilidad
continua definidas en el intervalo (0,1) con dos parámetros positivos que
determinan la forma, típicamente notados como α y β.
• La distribución beta puede tomar muchas formas según los valores de α y β.
• Generalmente es utilizada cuando no existen datos históricos sólidos en los
cuales basar la estimación de las actividades.
• Se emplea para las variables aleatorias continuas que no son negativas, por
lo que su gráfica está sesgada a la derecha.

3. DISTRIBUCIÓN BETA

4. DISTRIBUCIÓN BETA
Una extensión de la distribución uniforme es la distribución beta.
Primero definiremos una función beta
𝐵 𝛼, 𝛽 = ‫׬‬0
1
𝑥 𝑎−1
(1 − 𝑥) 𝑏−1
𝑑𝑥
𝐵 𝛼, 𝛽 =
𝛤(𝛼)𝛤(𝛽)
𝛤(𝛼+𝛽)
Donde 𝛤(x) es la función gamma. 𝛤 𝑛 = 𝑛 − 1 !

5. DISTRIBUCIÓN BETA
Es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros que
denominamos a y b, y estos serán parámetros reales, donde 𝑥 ∈ 0; 1 y
su función de densidad dentro de este intervalo viene dado por
𝑓 𝑥 =
𝛤 𝑎+𝑏
𝛤 𝑎 𝛤 𝑏
𝑥 𝑎−1
(1 − 𝑥) 𝑏−1
Para 0<x<1, en otro caso será 𝑓 𝑥 = 0

6. DISTRIBUCIÓN BETA
Distribución Uniforme en
(0,1)
Distribucion beta con
𝛼 = 1 𝑦 𝛽 = 1

7. LA MEDIA Y LA VARIANZA
Distribución beta

8. DISTRIBUCIÓN BETA
La media esta definida por
𝜇 =
𝛼
𝛼 + 𝛽
Para el ejemplo de la comparación con la distribución beta
con 𝛼 = 1 y 𝛽 = 1
𝜇 =
1
1 + 1
=
1
2

9. DISTRIBUCIÓN BETA
La varianza esta definida por
𝜎2
=
𝛼𝛽
𝛼 + 𝛽 2(𝛼 + 𝛽 + 1)
Determinaremos su valor con los parámetros del ejemplo anterior.
𝜎2
=
(1)(1)
1 + 1 2(1 + 1 + 1)
𝜎2
=
1
12

10. EJEMPLO
• Un distribuidor de gasolina llena los tanque del deposito cada lunes. Se ha
observado que la cantidad que vende cada semana se puede modelar
con la distribución beta con α=4 y β=2
• Encuentre el valor esperado de la venta semanal
• Encuentre la probabilidad que en alguna semana venda al menos 90%

11. SOLUCIÓN
𝜇 =
4
4 + 2
=
2
3
𝑓 𝑥 =
𝛤 4 + 2
𝛤 4 𝛤 2
𝑥 4−1 1 − 𝑥 2−1 = 20𝑥³(1 − 𝑥)
𝑃 𝑥 > 0.9 = 20 ‫׬‬0.9
1
𝑥3 ∗ (1 − 𝑥)=0.081=8.1%

12. SOLUCIÓN