1. Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales de 1° Orden<br />Variables Separadas<br />Un isoto radioactivo se desintegra a una razón proporcional a la cantidad de masa mo. Si la masa de este elemento se reduce a mf en un tiempo _t. encontrar la ecuación gobierna al sistema y la vida media del isotopo (la vida media es el intervalo de tiempo que tarda en decaer la masa del isotopo a la mitad de su masa original)<br />Sea k la constante de proporcionalidad por tanto el cambio de masa en el tiempo es<br />dmdt=km<br />la ecuación es por separación de variables<br />momfdmm=ktotfdt<br />resolviendo la ecuación nótese que por ser una integral definida no hay constante integración.<br />Lnmfmo=k(tf-t0)<br />Despejando para mf en en la ecuación anterior y sea (tf − to) = t para incluir cualquier tiempo<br />mt=moekt<br />Donde la constante k puede obtenerse<br />k=lnmfmotf-to<br />La vida media es el intervalo de tiempo tf − t0 para que la masa mo decaiga a<br />mf = mo/2 sea tf − t0 = τ y resolviendo la ecuación<br />kτ=-ln12<br />Ejemplo: Un isotopo radioactivo thorium 234 se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente de 100 mg. si el material se reduce a 82.04 mg en una semana. Encontrar la cantidad presente en cualquier tiempo. El intervalo de tiempo para que el isotopo decaiga la mitad de su masa original.<br />Lo primero es reconocer constantes sea mo=100 mg (masa inicial) y sea mf=82.04<br />mg (masa final). el intervalo de tiempo _t es igual a una semana o 7 dias.<br />Encontrar el valor de k.<br />k=ln82.04 mg100 mg7 dias= -0.02828 dias-1<br />Sustituimos el valor de k y mo <br />mt=100e-.02828t<br />la vida media se encuentra de la siguiente manera<br />τ=Ln(0.50)0.02828≈24.5 dias<br />Homogéneas<br />Calcula las trayectorias ortogonales para la familia de curvas x2-y2=a2<br />Se deriva la ecuación de la familia de curvas dada para determinar el valor de la pendiente m1 y se despeja y' , es decir:<br /> <br /> <br />Se obtiene la pendiente de las trayectorias ortogonales :<br /> <br />· Recuerda que: , por tanto:<br />expresión que podemos anotar como:<br /> <br />Se resuelve la ecuación diferencial resultante por el método de separación de variables:<br /> <br /> <br />a continuación integrando los dos miembros de la ecuación podemos anotar:<br /> <br /> <br /> <br />es decir<br /> <br />y ahora aplicando propiedades de logaritmos anotamos:<br /> <br /> <br />Finalmente la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales a la familia dada es:<br />Lineales<br />Un objeto de masa m va en caída libre y el medio ofrece una resistencia k proporcional a la velocidad instantánea del objeto v. Asumiendo la fuerza gravitacional es constante, encuentre la posición y el tiempo del objeto. Demuestra que mientras que t tiende a infinito la velocidad instantánea del objeto se convierte en constante.<br />La ecuación diferencial es:<br />mdvdt=mg-kv<br />Reacomodando términos en la ecuación <br />dvdt+kmv=g<br />Resolviendo la ecuación<br />v=mgk+Ce-ktm<br />Si la velocidad es cero en el tiempo cero v(0) = 0 el valor de C = −mg/k sustituimos<br />v=mgk1-e-ktm<br />Para obtener la posición x se sustituye en v = dx/dt integrando ambos lados e imponiendo la condición x(0) = 0<br />x=mgkt-m2gk21-e-ktm<br />Si resolvemos el límite pata t tienda a infinito<br />v=limt->∞mgk1-e-ktm=mgk<br />Bernoulli<br />El ritmo a que se propaga un rumor en un país es conjuntamente proporcional a la cantidad de personas que se han enterado del rumor y al número de personas que no se han enterado del rumor.<br />a) Plantee la ecuación diferencial que describe el modelo<br />b) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial planteada.<br />SOLUCIÓN:<br />Sea<br />Q: Cantidad de personas enteradas del rumor.<br />B: Población total.<br />B – Q: Cantidad de personas que no se han enterado del rumor.<br />K: Constante de proporcionalidad.<br />La ecuación para el modelo seria:<br />dQdt=kQ(B-Q)<br />La ecuación dQdt-kBQ=-kQ2 es de la forma de Bernoulli, por tanto su solución sería dividiendo por Q2:<br />Q'Q2-kBQQ2=-kQ2Q2<br />Q'Q-2-kBQ-1= -k<br />Haciendo cambio de variable u=Q-1 entonces dudx=-Q2Q'<br />u'+kBu=k<br />Entonces u(t) tenemos:<br />ut= 1ekBdtkekBdtdt+C<br />ut= 1ekBtkekBtdt+C<br />ut= 1ekBtkekBtkB+C<br />ut= 1B+Ce-kBt<br />Encontrando Q(t) tenemos<br />ut= 1B+Ce-kBt<br />Q-1= 1B+Ce-kBt<br />1Q= 1+BCe-kBtB<br />Q(t)= B1+BCe-kBt<br />