1. Comportamento aerodinamico dell’ala
finita
Facoltà di Ingegneria Civile e Industriale
Corso di laurea in Ingegneria Meccanica
Cattedra di Fluidodinamica
Candidato
Francesco Cursi
1448008
Relatore
Paolo Gualtieri
A/A 2013/2014

2. 1
INDICE
2 INTRODUZIONE : AERODINAMICA
3 PRINCIPI FONDAMENTALI
5 STRUTTURA ALI
6 COMPORTAMENTO DELL’ALA FINITA

3. 2
INTRODUZIONE : AERODINAMICA
L’Aerodinamica studia il moto relativo di un fluido intorno ad un corpo solido, al
fine di determinare le forze (portanza e resistenza) e le coppie che agiscono sul
corpo per effetto di tale moto.
Tali azioni sono dovute a una distribuzione di pressione, perpendicolari alla
superficie, e sforzi di taglio, tangenti alla superficie.
Il loro effetto, integrato sulla superficie completa del corpo, genera una
forza aerodinamica R, scomponibile in una componente parallela alla direzione
del flusso indisturbato ( D= Resistenza) e in una perpendicolare (L= Portanza).
Spesso si preferisce analizzare tali forze tramite dei coefficienti adimensionali:
Coefficiente di Portanza
Coefficiente di Resistenza
dove
(Pressione dinamica),
S= superficie di riferimento,
V∞=velocità flusso indisturbato ,
= densità flusso indisturbato.

4. 3
PRINCIPI FONDAMENTALI
Per lo studio aerodinamico si ipotizza che flussi siano :
 Incomprimibili (densità costante), essendo le velocità minori a quella di
propagazione del suono (flussi subsonici);
 non viscosi, con effetti di viscosità confinati solo in una piccola zona
nell’intorno della superficie (strato limite).
tali ipotesi permettono di semplificare le equazioni che descrivono la dinamica
del fluido.
L’equazione della conservazione della massa
diviene
l’equazione della conservazione della quantità di moto
( )
si semplifica in
Le due equazioni sono sufficienti a descrivere il campo fluidodinamico, la cui
soluzione è ricavabile imponendo la sola condizione di impermeabilità
,
non essendoci aderenza sulla superficie del corpo, a causa della mancanza di
attrito.
Per tali tipo di flussi è possibile applicare il Teorema di Kelvin, secondo il quale,
considerando conservative le forze che agiscono,
ovvero la variazione della circolazione nel tempo, calcolata lungo una curva
materiale, i cui punti i muovono seguendo il moto del fluido, è nulla. Se, quindi,
all’inizio non vi era circolazione, questa deve rimanere nulla.

5. 4
A causa della separazione dello strato limite, all’inizio del moto dell’ala può
generarsi una scia vorticosa con generazione di circolazione; la circolazione,
però, deve rimanere costante e, allora, dovrà esistere circolazione anche sul
corpo, opposta a quella della scia.
Con il tempo il punto di ristagno si sposta verso il bordo d’uscita e si blocca la
produzione di vortici.
Per il Teorema di Kutta-Joukovski, tale circolazione genera portanza
Affinchè ci sia portanza è quindi necessario che il bordo d’uscita coincida con il
punto di ristagno (condizione di Kutta).
Altra conseguenza del teorema di Kelvin è che se la circolazione è nulla, il moto è
irrotazionale e, quindi, è possibile introdurre il potenziale di velocità( ) tale che
che in coordinate cartesiane si esplica come
Tale grandezza permette di modellare l’equazione della conservazione della
massa che risulta essere
(Equazione di Laplace).
La soluzione di questa equazione differenziale lineare permette di ricavare il
campo di velocità del flusso, imponendo le condizioni di impermeabilità sul
contorno del corpo
( )

6. 5
e di quiete all’infinito
Essendo lineare, è possibile applicare il principio di sovrapposizione per trovare
la soluzione, ovvero, per risolvere il problema aerodinamico si possono
sovrapporre più soluzioni elementari (come flusso uniforme, sorgente e pozzo
unitari, vortici a potenziale) distribuite
sulle superfici, ognuna soluzione
dell’equazione di Laplace.
Noto il campo di velocità, si ricava la
distribuzione della pressione, e, quindi,
le forze aerodinamiche, tramite
l’equazione di Bernoulli
(E=potenziale forze conservative)
STRUTTURA ALI
La distanza fra il bordo d’attacco e quello d’uscita è la lunghezza di corda
(c=chord length), variabile lungo l’apertura dell’ala.
L’area di pianta (A=planform area) è la superficie alare vista dall’alto.
Il rapporto d’aspetto (aspect ratio==s2
/A) definisce quanto l’ala è snella.
La sezione dell’ala è detta profilo alare. Questo è caratterizzato da un bordo
d’attacco di solito rotondo, e da quello d’uscita, solitamente affilato. La linea
retta congiungente i due è la corda
(chord line); la linea meridiana è la linea
di curvatura( camber line). La massima
distanza fra le due linee è la curvatura
(camber) della sezione, che può essere
nulla in caso di profili supersonici. La
distanza fra le superfici superiore e
inferiore è lo spessore, misurato
perpendicolarmente alla linea di corda.
L’angolo α è l’angolo d’attacco ed indica la pendenza della linea di corda
rispetto alla direzione del flusso indisturbato.

7. 6
Tale forma permette di avere maggiore velocità (quindi minore pressione) sulla
superficie superiore dell’ala, e minore pressione su quella inferiore, il che genera
portanza. Un bordo d’uscita affilato permette di avere separazione dello strato
limite in tale punto, per piccoli alfa.
Aumentando l’angolo d’attacco, aumenta la portanza fino a giungere allo stallo,
in cui si ha una drastica caduta, a causa della separazione sulla superficie
superiore. La portanza è nulla per un certo valore negativo di α detto angolo a
portanza zero (αL0).
Anche aumentare la
curvatura, tramite superfici
di controllo, permette di
aumentare la portanza.
COMPORTAMENTO DELL’ALA FINITA
Una delle importanti applicazioni della
teoria del potenziale è lo studio di
superfici portanti, le ali.
Si consideri un’ala finita, in moto a
velocità costante in un fluido
indisturbato, con un sistema di
riferimento solidale con questa. Siano U∞
V∞ W∞ le componenti del vettore veloità
Q∞ . L’angolo d’attacco è
Per le ipotesi di incomprimibilità, non viscosità, irrotazionalità del flusso attorno
all’ala, il campo di velocità dovuto al moto dell’ala può essere ottenuto
risolvendo l’equazione di Laplace e imponendo le condizioni all’infinito
(automaticamente soddisfatta in caso di soluzioni singolari come pozzo,
sorgente, vortice) e di impermeabilità sulla superficie.
Noto il potenziale, la velocità si ricava dall’equazione di Bernoulli.

8. 7
Affinchè sia soddisfatta la condizione di impermeabilità bisogna avere delle
informazioni geometriche sulla forma dell’ala. Siano
( ) la funzione che descrive la superficie
u quella superiore,
l quella inferiore. La normale alla superficie può essere ricavata considerando
una funzione
( ) ( )
Allora la normale esterna sulla
superficie superiore è
, mentre in quella inferiore è –n.
Essendo il laplaciano lineare, la
soluzione può essere divisa in due parti:
potenziale del flusso indisturbato e
potenziale di perturbazione.
Il potenziale di velocità dovuto al flusso uniforme è
quindi
.
Dalla condizione di impermeabilità si ricava
in cui l’unica incognita è (potenziale di perturbazione). Quindi si può
scrivere
Esprimendo
per z=

9. 8
e introducendo l’approssimazione per piccoli disturbi
dalla condizione al contorno seguono delle restrizioni geometriche
Ciò significa che l’ala deve essere sottile rispetto alla corda. Tale condizione non
è però valida nel punto d’imbocco e in quello d’uscita, essendo la pendenza della
superficie non piccola.
Per piccoli α,
, ,
e la condizione al contorno diviene
.
Essendo l’ala sottile, sviluppando in serie di Taylor si ottiene
e, quindi,
La forma dell’ala può essere descritta utilizzando una funzione di spessore t e
una di curvatura c tali che

10. 9
da cui
e
Essendo sia le condizioni al contorno sia il laplaciano lineari, la soluzione per il
potenziale di perturbazione può essere ricavata sovrapponendo tre problemi più
semplici
1. Ala simmetrica a spessore non nullo e angolo d’attacco nullo (effetto
dello spessore);
2. Ala a spessore nullo, non concava con attacco diverso da 0 (effetto
dell’angolo d’attacco);
3. Ala a spessore nullo, concava e attacco nullo (effetto curvatura).

11. 10
Per il punto 1. va risolto il laplaciano con la condizione al contorno
.
La soluzione può essere ottenuta distribuendo soluzioni elementari
dell’equazione di Laplace. Essendo il profilo simmetrico, si utilizza una
distribuzione di pozzi/sorgenti
Il potenziale di ogni singolo elemento è
dove
è la distanza dal punto di singolarità locato in x0, y0
Allora il potenziale di velocità totale sarà
Mentre la componente verticale di velocità risulta essere
Quindi

12. 11
dalla condizione al contorno di impermeabilità si ricava
,
allora
.
Sostituendo nelle equazioni d’interesse si ricava il campo di velocità
Per il caso 2. e 3. la condizione al contorno per il laplaciano è
essendo il problema antisimmetrico, può essere risolto con una distribuzione di
dipoli (sorgente+pozzo).
Si consideri una distribuzione di dipoli che puntano in direzione positiva dell’asse
z.
Per un dipolo
.

13. 12
Differenziando rispetto a z si ottiene
Quindi il potenziale totale è
Differenziando si ottengono le componenti della velocità e imponendo la
condizione al contorno per la componente verticale, si ricava l’intensità di dipoli
µ necessaria.
La velocità in ogni punto è dunque combinazione del flusso uniforme e del
potenziale di perturbazione
Sostituendo nell’equazione di Bernoulli, tenendo conto delle approssimazioni per
piccoli disturbi
Allora
con

14. 13
Quindi
Da cui
Un effetto molto importante si verifica sulle ali finite: l’effetto di bordo.
Essendo la pressione sulla superficie superiore inferiore rispetto a quella sulla
superficie inferiore, in prossimità della punta delle ali il flusso tende a curvare,
venendo spinto verso l’alto. Ciò genera una componente di velocità lungo
l’apertura alare che fa curvare le linee di flusso.
Tale flusso genera un moto circolatorio con produzione di vortici (vortici di coda)
su ogni punta che si muovono a valle del flusso. Tali vortici possono essere anche
molto potenti e causare problemi ai velivoli che vi interferiscono.
I vortici, inoltre, generano una componente verticale della velocità diretta verso
il basso (downwash), che , combinandosi con il flusso indisturbato, produce un

15. 14
vento relativo locale . l’angolo d’attacco verrà quindi a modificarsi e con questo
anche la direzione delle forze.
L’angolo d’attacco effettivo sarà
Mentre la forza portante genera anche una componente parallela al flusso
indisturbato detta Resistenza Indotta.
Molto importante per l’analisi del comportamento aerodinamico delle ali finite è
stata la teoria della linea portante di Prandtl.
Tale teoria considera
 ali con rapporto d’aspetto elevato, in modo da poter studiare il flusso
come bidimensionale
 la struttura alare non è importante; per questo si sostituisce all’ala un
singolo segmento vorticoso dritto definito vortice legato( bound vortex),
che forma la linea portante (a causa della generazione di portanza per il
teorema di Kutta-Joukovski). Per il teorema di Helmholtz, tale linea
vorticosa non può finire nel fluido, per questo si prolunga nei vortici di
coda generando un vortice a ferro di cavallo
 i vortici di coda non interagiscono fra di loro e rimangono su rette
parallele al flusso indisturbato.

16. 15
Per la formula di Biot-Savart la velocità indotta da un segmento dl di vortice è
Il vortice legato non genera velocità lungo se stesso, mentre i due vortici di coda
influiscono sulla velocità generando la componente verso il basso.
Il contributo delle due linee sarà
,
quindi
.

17. 16
Tale modello non è molto appropriato in quanto la componente downwash
varrebbe ∞ sulle punte. Per questo motivo si rappresenta l’ala non come un solo
vortice legato, ma come sovrapposizione di più vortici
Nel caso di infiniti vortici sovrapposti si verrebbe a formare un foglio di vortici (la
cui potenza totale è nulla) e una distribuzione continua di circolazione Γ(y)
Considerando un segmento dx di un vortice di coda d Γ, posto a distanza y dalla
linea di portanza, per Biot-Savart questo produrrà un campo di velocità
in un punto posto ad y0 della linea di portanza.

18. 17
Il campo totale di velocità di tutto il foglio di vortici in quel punto sarà
L’angolo d’attacco indotto risulta essere
( ) (
( )
)
essendo la componente verticale più piccola del flusso indisturbato.
( ) (
( )
)
e, quindi,
Dall’equazione di Kutta-Joukovsky e dalla definizione di coefficiente di portanza
si ottiene
Dalle due relazioni, tramite un procedimento iterativo, si può calcolare la
circolazione e, di conseguenza,
Nel caso di distribuzione ellittica della circolazione
la componente downwash e l’angolo d’attacco indotto sono costanti lungo
l’apertura alare.
Si dimostra che la resistenza indotta è inversamente proporzionale al rapporto
d’aspetto, ma un valore troppo elevato può portare a problemi strutturali.
Per avere una tale distribuzione è necessario che la corda vari ellitticamente,
ottenendo un’ala ellittica.

19. 18
Tale condizione di ellitticità permette di ridurre al minimo la componente di
resistenza indotta, se confrontata con altre distribuzioni.

20. 19
BIBLIOGRAFIA
 “Low-speed aerodynamics”, J.Katz, A. Plotkin
 “Fluid- mechanics”, P.K.Kundu, I.M.Choen, D.R. Dowling, 5th
edition
 “Fundamentals of Aerodinamics”, J.D. Anderson