reiteracion de un angulo

1. INFORME DE PRÁCTICA N°4:
“MÉTODO DE
REITERACIÓN,
TRIANGULACIÓN Y
CONSISTENCIA DE
FIGURAS”
TOPOGRAFÍA II 1

2. INTRODUCCIÓN
En el presente trabajo expondremos el trabajo realizado en el campo
situado en ``Las Dunas´´ donde por medio del método previamente
explicado en clase pudimos calcular una malla en la cual utilizaremos
previamente el método de reiteración para poder calcular sus ángulos
corregidos luego de esto procederemos a realizar el método de los
ajustes y de resistencia de figuras.
Estos métodos son de vital importancia para la realización de manera
eficiente un trabajo topográfico.
Cada uno de estos métodos tiene su debida importancia ya que por el
método de ajustes podremos corregir las cotas de la malla encontrada
de manera que podremos realizar un trabajo con una mayor precisión,
lo que mejora el índice de éxito de este.
Esperamos que este trabajo sea de su agrado, lo realizamos con la
finalidad de que pueda servir como un apoyo a los estudiantes que
deseen utilizar dichos métodos.
TOPOGRAFÍA II 2

3. OBJETIVOS
Realizar el levantamiento topográfico mediante el método de
triangulación, utilizando el teodolito, mira,
brújula y wincha; y así poder determinar distancias mediante el
método de resistencia de figuras.
➢ Determinar con precisión la distancia y posición de puntos de un
terreno, en esta ocasión solo medimos una línea base AB y con la
ayuda de ésta hallamos las demás distancia por medio de la ley
de senos Identificar los diversos usos del método de
levantamientos por triangulación.
➢ Buscar la cooperación y el trabajo grupal en la utilización de
instrumentos y designación de tareas en el desarrollo de la
práctica.
➢ Poner en práctica los conocimientos adquiridos en clase; así
como también darle un uso adecuado a los instrumentos
topográficos usados en campo.
TOPOGRAFÍA II 3

4. I. MARCO TEÓRICO
1) MÉTODO DE REITERACIÓN
La medida de un ángulo por reiteración puede ejecutarse con un
teodolito repetidor o con un reiterador. El método se basa en medir
varias veces un ángulo horizontal por diferencia de direcciones y en
diversos sectores equidistantes en el limbo, para evitar, así con el
método de repetición, los errores de graduación.
Para realizar este método debemos tomar en cuenta lo siguiente:
• El método consiste básicamente, en tomar lecturas a todos los
puntos visados partiendo de una lectura inicial, el sentido de giro
con anteojo directo es horario y con anteojo invertido será
antihorario. Por este motivo, las lecturas realizadas con la posición
del anteojo directo se anotarán de arriba hacia abajo en la
libreta de campo, mientras que con el anteojo invertido los datos
serán anotados de abajo hacia arriba.
• Se trabaja por series, siendo una serie el número de lecturas
realizadas sobre cada uno de los puntos vistos con el anteojo
derecho e invertido.
• La lectura inicial para la primera serie es un ángulo de 0° 0’ 0”, y
para las series posteriores se usa la fórmula 180°/n para calcular la
lectura inicial de cada una, donde “n” es el número de series que
se va a realizar. Por ejemplo, si se desea realizar 4 series, las
lecturas iniciales para cada serie serían 0°, 45°, 90° y 135.
• En el método de reiteración se puede realizar el número de series
que se crea conveniente, mientras más alto sea el número de
series que se realice, la precisión aumentará, lo cual no se podía
cumplir en el método de repeticiones en el que si hacíamos más
de 10 o 15 repeticiones (dependiendo la precisión de teodolito) la
precisión de los ángulos irá disminuyendo debido al error de
arrastre.
• En el método de reiteración todas las lecturas encontradas serán
anotadas, lo cual no sucedía con el método de repetición.
TOPOGRAFÍA II 4

5. B
CÓMO REALIZAR EL MÉTODO DE REITERACIÓN
Realizaremos el proceso para determinar los ángulos alrededor del
vértice “A”.
A C
D
Para empezar, necesitamos tener el teodolito sobre el punto
topográfico “A” desde el cual realizaremos nuestras mediciones. Luego
procedemos a nivelar los niveles de aire circular y cilíndrico del
teodolito. Después de ejecutar de forma correcta esto, ejecutamos el
método de reiteración, para determinar los ángulos alrededor del eje
“A”.
PRIMERA SERIE
a) Anteojo Directo
• Fijamos la vista del teodolito en el punto “B” (el cual deberá estar
materializado por un jalón, por ejemplo) y colocamos la lectura
del ángulo en 0°0’0”, anotamos dicha lectura.
• Soltamos el tornillo de sujeción horizontal y giramos en sentido
horario hasta localizar al punto “C” (materializado también por un
jalón). Hacemos puntería sobre el punto, sujetando los hilos de
sujeción tangenciales horizontal y vertical. Anotamos la lectura
mostrada.
TOPOGRAFÍA II 5

6. • Haremos lo mismo para determinar la lectura mostrada al hacer
puntería fina en el punto “D”. Anotaremos también dicha lectura.
• Finalmente, hacemos puntería final al punto de partida “B”
anotando su lectura, la cual no debe distar mucho de 360° puesto
que al volver al punto de partida hemos dado una vuelta
completa.
b) Anteojo Invertido
• Luego de anotar la última lectura respectiva con el anteojo
directo, procedemos a invertir el anteojo y después regresamos al
punto “B”. Al realizar este paso se espera que el ángulo aumente
un aproximado de 180° ya que se trata de un ángulo plano.
Anotamos la lectura determinada.
• Ahora hacemos puntería fina al punto “D”, pero en sentido
antihorario.
• Visamos al punto “C” y anotamos su lectura. Cabe recordar que
los datos con el anteojo invertido se anotan de abajo hacia arriba
dado que estamos tomando las lecturas en sentido antihorario.
• Regresamos al punto de partida “B” anotando su lectura
respectiva.
SEGUNDA SERIE
• Si suponemos que sólo se desea hacer 2 series, fijaremos el ángulo
en 90° 00’ 00” como se explicó anteriormente.
• Partimos nuevamente desde el punto “B” y realizamos el mismo
proceso para la posición del anteojo directo e invertido.
• Anotamos en la libreta de campo todas las lecturas
determinadas.
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7. POSICIÓN DE ANTEOJO PROMEDIO POR SERIE
SERIE PROMEDIO
1 P0
P1
P2
P3
2
Pn
FINALES
PROCESAMIENTO DE DATOS Y CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS FINALES
Luego de haber realizado el proceso anterior, anotaremos los datos
obtenidos en un cuadro con las siguientes características.
PTO. VISTO DIRECTO INVERTIDO GENERAL REDUCIDO
B D0= 0° 0’ 0’’ I0 G0 R0
C D1 I1 G1 R1
D D2 I2 G2 R2
B D3 I3 G3 R3
Dn In Gn Rn
B D0= 90° 0’ 0” I1’ G0’ R0’
C D1’ I2’ G1’ R1’
D D2’ I3’ G2’ R2’
B D3’ I4’ G3’ R3’
Dn’ In’ Gn’ Rn’
ÁNGULO PROMEDIO CORREGIDO
BAC PA1 C1
CAD PA2 C2
BAD PA3 C3
PAn Cn
NOTA: Cabe resaltar que si se desea hacer “n” series la lectura inicial
para la segunda serie será 180°/n, cantidad que se va sumando
mientras se avanza hasta llegar a las “n” series. Entonces la lectura inicial
para cada serie será:
𝐷𝑜 = (𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 − 1)(
180°
𝑛
)
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8. Para determinar los ángulos finales debemos realizar los siguientes
cálculos:
A. PROMEDIO POR SERIE GENERAL:
𝐺𝑛
= 𝐷𝑜 + 1°2 ± 180°
B. PROMEDIO POR SERIE REDUCIDO:
𝑅𝑛 = 𝐺𝑛 + 𝐺𝑜
C. PROMEDIO:
𝑃
𝑛 =
𝑅𝑛 − 𝑅𝑛′
2
D. PROMEDIO DE ÁNGULO:
𝑝𝐴𝑛 = 𝑝𝑛 − 𝑝𝑛−1
E. ERROR ENCONTRADO:
𝐸 = ∑ 𝑝𝐴𝑛 − 360°
F. CORRECCIÓN POR ÁNGULO:
𝐶. 𝐴 =
𝐸
𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠
G. ÁNGULOS CORREGIDOS:
𝐶𝑛 = 𝑃𝐴𝑛 − 𝐶. 𝐴
H. ÁNGULOS FINALES:
TOPOGRAFÍA II 8

9. 9
Por último obtenemos los ángulos finales redondeando en los segundos
a los ángulos corregidos.
2) MÉTODO DE TRIANGULACIÓN
Se llama triangulación el método en el cual las líneas del levantamiento
forman figuras triangulares, de las cuales se miden solo los ángulos y los
lados se calculan trigonométricamente a partir de uno conocido
llamado base. El caso más simple de triangulación es aquel que se vio
en el “levantamiento de un lote por intersección de visuales”; de cada
triangulo que se forma se conocen un lado, la base, y los dos ángulos
adyacentes; los demás elementos se calculan trigonométricamente.
Una red de triangulación se forma cuando se tiene una serie de
triángulos conectados entre sí, de los cuales se pueden calcular todos
los lados si se conocen los ángulos de cada triángulo y la longitud de la
línea “base”.
Los ángulos de cada triangulo deben sumar 180º; debido a pequeños
errores inevitables, esto no se logra exactamente y, así, se presenta un
pequeño error en cada triangulo (cierre en ángulo). De acuerdo con el
grado de precisión deseada, este error tiene un valor máximo tolerable.
También se puede encontrar el error de cierre en lado o cierre de la
base, o sea, la diferencia que se encuentra entre la base calculada,
una vez ajustados los ángulos, y la base medida, expresada
unitariamente.
Reconocimiento del área y explicación de los procesos:
- Marcar estaciones en lugares más destacados.
- Medición de la base: se hace en forma directa y adicionalmente
se busca la precisión haciendo 2 o más medidas con cintas
contrastadas.
- Determinación de los elementos de una triangulación
- En esta expresión significa que un error en la medida del ángulo B
dará un error en el resultado de a que es proporcional a la
TOPOGRAFÍA II

10. 10
función cscB x ctgB y cuyos límites más convenientes no permiten
determinar las siguientes tablas:
En A el error será:
Error = (0.00000485)(-1.41)(0.5)b = -0.0000034b
• Ejemplo: A= 30°, B= 20°, C= 130°
• Sen A = 0.5
• -csc 20° x ctg 20°= -8.03
• Para un error producido en el lado “a” será:
• Error = (0.00000485)(-8.03)(0.5)b = -0.0000195b
Cuando los errores en las medidas de los ángulos modifican las
longitudes en valores relativamente pequeños se dice que el triángulo
es consistente.
La función csc - ctg de los ángulos menores de 30° y mayores 150° se
aproximan al infinito muy rápidamente de modo que estos valores
constituyen en la práctica unos límites adecuados en consecuencia al
establecer un sistema de triangulaciónningúnángulo opuesto a un lado
que se utilice en un cálculo debe ser menor de 30° ni mayor de 150°.
En lo relativo a las bases, si se tiene que usar unas bases de corta
longitud se elige una figura consistente para encajarla dentro de la
regla de triángulo.
Nota: Esto es para tomar en cuenta que no debemos medir ángulos
muy agudos o muy obtusos porque generan mayores errores.
Compensación de cálculo de una triangulación
Se logra bajo dos condiciones
• Que la suma de ángulos alrededor de cada estación sea de 360°
• Que la suma de los ángulos de cada triangulación sea de 180°
• La compensación consiste en lo siguiente:
➢ Se suma los ángulos alrededor de cada estación y la
diferencia con 360° se divide en partes iguales de acuerdo
TOPOGRAFÍA II

11. con el número de ángulos en cada estación y esta
correcciónse suma o resta según la suma haya resultado
mayor o menor a 360°
➢ A partir de los valores encontrados se suman los ángulos de
cada triángulo, la diferencia de dicha suma con 180° se
divide en tres partes iguales y esta corrección se suma o
resta a cada ángulo del triángulo según la suma haya sido
menor o mayor a 180°
• Una vez que los ángulos han sido compensados se calcula los
lados de la triangulación y esto se hace por medio de la ley de
senos dividiendo cada lado de base para los siguientes triángulos.
• Si la triangulación está formada por un cuadrilátero este se
compensa tomando en cuenta las condiciones de ángulos que
son requisitos impuestos a los ángulos por la orientación de sus
lados y la condición de longitud que son requisitos impuestos por
las longitudes de los lados.
• Se hace la compensación de vértices distribuyendo el error por
igual a todos los ángulos para que sume los 360°
MÉTODOS BASADOS EN MEDIDAS ANGULARES: Triangulación
Consiste en determinar las coordenadas de una serie de puntos
distribuidos en triángulos partiendo de dos conocidos, que definen la
:
base, y midiendo todos los ángulos de los triángulos
TOPOGRAFÍA II
N B
D
F
θB
β
A
α γ
A
C
E
11

12. Si A y B son dos puntos de coordenadas conocidas, para calcular las de
C basta medir los ángulos ἀ, ß y ꝩ . Estos ángulos se determinan
estacionando en A, B y C y tomando las lecturas horizontales a los otros
vértices.
Los cálculos que se hacen son los siguientes:
1- Comprobar el error angular de las medidas. El error es la
diferencia entre la suma de los tres ángulos medidos y 180º:
e = (ἀ+ß+ꝩ)– ; compensación = - error
✓ Se compensa a partes iguales en los ángulos medidos.
2- Cálculo de las distancias desde los puntos conocidos hasta el
punto del que se quieren determinar las coordenadas:
✓ Se hallan resolviendo el triángulo ABC del que se conocen
los ángulos y un lado.
3- Cálculo de las coordenadas de C:
✓ Con el acimut y la distancia desde A o desde B se obtienen
las coordenadas de C.
Para hallar las coordenadas de los demás puntos se operaría del mismo
modo: en el siguiente triángulo ya se conocen dos puntos (la base es
ahora BC) y se han medido los ángulos.
Cuando se termina la triangulación en dos puntos de coordenadas
conocidas hay que hacer otras compensaciones ajustando que la
distancia y acimut entre esos puntos calculados y conocidos coincidan.
La triangulación es un método básicamente planimétrico, pero si
además de medir ángulos horizontales se miden también verticales, se
podrían tener cotas. Normalmente las distancias entre los puntos son
grandes, y a los desniveles habría que aplicarle correcciones por el
efecto de la esfericidad y la refracción.
TOPOGRAFÍA II 12

13. Diseño y utilidad de la triangulación
Puesto que en este método hay que medir los ángulos de los triángulos,
es necesario que haya visibilidad desde cada vértice de un triángulo a
los otros dos. Esta condición se puede estudiar sobre cartografía general
haciendo perfiles topográficos y comprobando que no hay obstáculos
en las visuales.
La utilidad del método es distribuir puntos con coordenadas conocidas
por una zona. Esos puntos pueden servir para tomar los detalles que se
quieran representar en un plano o como apoyo para otros métodos. A y
B pueden ser dos vértices geodésicos, y en ese caso se podrían tener
coordenadas U.T.M. de los demás puntos.
3) CONSISTENCIA DE LA FIGURA
El método está basado en la expresión del cuadrado del error probable
(L2) que se produjera en la sexta cifra del logaritmo de cualquier lado si
los cálculos se llevasen a través de una cadena simple de triángulos
después de que la red ha sido compensada con arreglo a las
condiciones de los lados y de los ángulos.
La expresión se basa en el error probable de las medidas angulares y se
supone que no existe error en el lado conocido. Puede demostrarse
que:
𝑙2
=
4
3
𝑑2
=
(𝐷 − 𝐶)
𝐷
∑ 𝜕𝐴
2
+ 𝜕𝐴𝜕𝐵 + 𝜕𝐵
2
… … (1)
En la cual:
• d = error probable de una dirección observada (seg.).
• D = Número de direcciones observadas en la red desde una línea
dada hasta el lado en cuestión; las direcciones en los extremos de
la línea conocida no se tienen en cuenta de forma que D = total
de direcciones observadas menos 2.
TOPOGRAFÍA II 13

14. 1º ORDEN 2º ORDEN 3º ORDEN
FIGURA SIMPLE
INDEPENDIENTE
• C = Número de condiciones de ángulo y lado que han de ser
satisfechos en la red desde la línea conocida hasta el lado en
cuestión.
𝜕𝐴
2
= Diferencia por segundo en la sexta cifra de los logaritmos sel
seno de la distancia angular A (la distancia angular A de un
triángulo es el ángulo opuesto al lado que ha de ser calculado,
, Esto es al lado común con el triángulo siguiente de la cadena.
• 𝜕𝐴
2
=𝜕𝐵
2
pero para la distancia angular B.
Por conveniencia se hace:
𝑅 =
(𝐷 − 𝐶)
𝐷
∑𝜕𝐴
2
+ 𝜕𝐴𝜕𝐵 + 𝜕𝐵
2
… … (1)
El valor de R calculada para la cadena más consistente de triángulos se
designó por R1 y la de la siguiente por R2.
Puesto que la consistencia de la figura es casi exactamente igual a la
consistencia de la cadena más consistente como se ha expresado en la
ecuación (I), R1 es una medida de la consistencia de la figura.
Frecuentemente se determina un valor máximo permisible para R1.
El valor de R1 puede utilizarse también para determinar la elección
entre varias redes propuestas. Se utiliza la red con la R1 más pequeña.
R2 se calcula normalmente de igual forma, cuando los dos valores de R1
son muy aproximadamente los mismos y los valores de R2 son muy
diferentes, se elige la red con los R2 más pequeño.
R1 R2 R1 R2 R1 R2
DeSeable 15 50 25 80 25 120
Máximo 25 80 40 120 50 150
DeSeable 80 …… 100 …… 125 ……
TOPOGRAFÍA II 14

15. CÁLCULO DEL VALOR DE R:
El valor de la expresión
𝜕𝐴
2
+ 𝜕𝐴𝜕𝐵 + 𝜕𝐵
2
Puede calcularse para cada cadena utilizada. La tabla-I se dispone
para obtener
estos valores de una solo vez.
Para utilizar esta tabla los valores aproximados de los ángulos de la red
planificado han de medirse durante el reconocimiento, bien por
medida directa o dibujando la red sobre un plano construido a escala.
Los valores con aproximación de un grado tienen normalmente una
exactitud mayor de la deseada.
Forma de usar la tabla-I:
Los ángulos A y B de los triángulos se seleccionan de acuerdo con la
cadena que va a ser examinada.
A B
ABC 83º 42º 6
. . . .
. . . .
IJK 92º 37º 8
SUMA 66
En las tres primeras columnas se representan los triángulos y los valores
de los correspondientes ángulos A y B para la cadena más consistente.
El más pequeño de los dos ángulos se lee en la parte superior de la
TOPOGRAFÍA II
RED ENTRE Máximo 110 …… 130 …… 175 ……
BASES
15

16. tabla-I, y el mayor en la parte lateral izquierda. La interpolación se hace
a estima. Los valores resultantes se representan en las columnas Σ. La
suma de éstos se utiliza para calcular R1.
CÁLCULO DE LOS LADOS DE LA POLIGONAL
Una vez que tenemos la figura más consistente procedemos a usar la ley de senos.
N B
D
F
θB
A
α
γ
A
C
E
16

17. 21