1. ECUACIONES
Muchos de los problemas que nos acontecen en la vida diaria, basan su solución
en el conocimiento de distintos factores que lo involucran, como por ejemplo, es
necesario conocer la distancia y el tiempo del que dispongo para llegar a algún lugar
para determinar la velocidad a la que necesitaré ir. Por lo tanto se hace muy importante
buscar formas de obtener valores que nos son desconocidos, y sin duda, la forma más
exacta de encontrarlas es lograr interpretarlos matemáticamente en algo que
denominamos ecuación.
CONCEPTOS BÁSICOS
Ecuación: Las ecuaciones son expresiones algebraicas formadas por dos miembros
separados de una igualdad (=). Uno o ambos de éstas partes debe tener a lo menos una
variable conocida como incógnita.
Las ecuaciones se satisfacen sólo para determinados valores de la o las
incógnitas, los cuales son conocidos como soluciones o raíces de la ecuación.
Ecuación Algebraica: Es aquella ecuación en que ambos miembros son polinomios.
Identidad: Las identidades son expresiones similares a las ecuaciones, pero la igualdad
entre los miembros que la componen es válida para cualquier valor de la incógnita, por
ejemplo x2 = x · x se cumple para cualquier valor de x, por lo tanto ésta sería una
identidad. A diferencia x + 1 = 2 es válida sólo si x = 1, por lo tanto ésta sería una
ecuación.
Solución o Raíz: Es el valor real para el que una ecuación tiene sentido, es decir, es el
valor que necesita ser la incógnita para que la ecuación se transforme en una identidad.
ECUACION DE PRIMER GRADO
Las ecuaciones de primer grado son aquellas en las cuales la o las variables
presentes están elevadas a 1 (por esta razón se llaman de primer grado), veamos como
podemos resolver éstas ecuaciones.
Empecemos viendo algunas reglas que nos servirán para la resolución de
ecuaciones:
1. A toda igualdad se le puede agregar o quitar una cantidad sin alterarla, siempre
que se haga sobre ambos lados de dicha igualdad. Por ejemplo; todos sabemos
que 2 = 1 + 1, si agregamos una unidad a cada lado de la igualdad obtenemos 2
+ 1 = 1 + 1 + 1 lo que implica que 3 = 1 + 1 + 1 que también resulta ser
verdadero.
2. Toda igualdad puede ser multiplicada y/o dividida en ambos lados por cualquier
número real distinto de 0 manteniéndose la igualdad inalterable.
3. Toda ecuación de primer grado con una variable se puede escribir de la forma
ax + b = 0, y es de los valores de a y b de los cuales depende la cantidad de
soluciones que vamos a tener.
• Si a ≠ 0, entonces existe una única solución.
• Si a = 0 y b = 0, existen infinitas soluciones.
• Si a = 0 y b ≠ 0, no existen soluciones.
Ahora, veamos el método básico de resolución con un ejemplo.

2. Ejemplo. Resolver la ecuación
5x + 7 = 21 − 9x
utilizando la primera regla podemos sumar a ambos lados el número 9x, nos da
5x + 7 + 9x = 21 − 9x + 9x
sumando el primer y el tercer término del lado izquierdo y el segundo y el tercer
término del lado derecho, se tiene
14x + 7 = 21 + 0
así
14x + 7 = 21
ahora podemos sumar −7 a ambos lados
14x + 7 − 7 = 21 – 7
sumando el segundo y el tercer término del lado izquierdo, se tiene
14x + 0 = 14
por tanto
14x + 0 = 14
luego utilizando la segunda regla podemos dividir a ambos lados por 14, de modo que
14x ÷ 14 = 14 ÷ 14
obteniendo finalmente
x=1

3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Una ecuación lineal con dos incógnitas (o variables) x e y es de la forma
ax + by = c, en donde a, b, c son constantes y a, b distintos de cero. Dos ecuaciones de
este tipo
a1 x + b1 y = c1
a2 x + b2 y = c2
constituyen un sistema de ecuaciones lineales, en este caso de dos ecuaciones con dos
incógnitas. Todo par de valores de x e y que satisfagan ambas ecuaciones,
simultáneamente, recibe el nombre de solución del sistema.
Por ejemplo, la solución del sistema x + y = 7 y x - y = 3 es x = 5, y = 2.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS
A continuación, se exponen tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones
lineales.
A) Método de reducción. Cuando sea necesario, se pueden multiplicar las ecuaciones
dadas por números, de manera que los coeficientes de una de las incógnitas en ambas
ecuaciones sea el mismo. Si los signos de los términos de igual coeficiente son distintos,
se suman las ecuaciones; en caso contrario, se restan. Consideremos
2x – y = 4 (1)
x + 2y = -3 (2)
Para eliminar y, se multiplica (1) por 2 y se suma con (2), obteniendo
2 × (1): 4x - 2y = 8
(2): x + 2y = -3
Suma: 5x = 5 o sea x = 1.
Sustituyendo x = 1 en (1), se obtiene 2 - y = 4, o sea y = -2.
Por tanto, la solución del sistema formado por (1) y (2) es x = 1, y = -2.
Comprobación: Sustituyendo x = 1, y = -2 en (2) se obtiene 1 + 2(-2) = -3,
-3 = -3.
B) Método de sustitución. Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y
sustituir su valor en la otra.
Por ejemplo, consideremos el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2)
anteriores. De (1) se obtiene y = 2x - 4 y sustituyendo este valor en (2) resulta

4. x + 2(2x - 4) = -3, de la que se deduce la solución x = 1. Sustituyendo x = 1 en (1), o en
(2), se obtiene y = - 2.
C) Método gráfico. Consiste en trazar, en un sistema de coordenadas dado, las dos
rectas que representan las ecuaciones. La solución del sistema viene dada por las
coordenadas (x, y) del punto de intersección de ambas. De la Fig. (a) se deduce que la
solución del sistema formado por (1) y (2) es x = 1, y = -2, o bien (1, -2).
Si las rectas son paralelas, el sistema de ecuaciones es incompatible, es decir, no
tiene solución. Por ejemplo, el sistema formado por
x+ y=2 (3)
2x + 2y = 8 (4)
es incompatible, como indica la Fig. (b) Obsérvese que si se multiplica la ecuación (3)
por 2 se obtiene 2x + 2y = 4 que, evidentemente, es incompatible con (4).
Las ecuaciones dependientes están representadas por una misma recta. Por consiguiente,
todos los puntos de la recta constituyen una solución y, en definitiva, el sistema tendrá
infinitas soluciones. Por ejemplo,
x+ y=1 (5)
4x + 4y = 4 (6)
son ecuaciones dependientes; obsérvese que si se multiplica por 4 la ecuación (5) se
obtiene la ecuación (6).
SISTEMA DE TRES ECUACIONES LINEALES CON TRES INCOGNITAS
Se resuelve eliminando una incógnita en dos cualesquiera de las ecuaciones y a
continuación eliminando la misma incógnita en otras dos.

5. DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
DETERMINANTES DE SEGUNDO ORDEN
El símbolo
a1 b1 a2 b2
formado por los cuatro números a1, b1, a2, b2, ordenados en una matriz de dos filas y dos
columnas representa un determinante de segundo orden o determinante de orden dos.
Los cuatro números anteriores se denominan elementos de la matriz o del determinante.
Por definición, el determinante de una matriz de segundo orden es el polinomio
a1 b1 a2 b2 =a1b2-b1a2
Por ejemplo,
2 3-1 -2 =2-2- 3-1=-4+3=-1
Los elementos 2 y 3 constituyen la primera fila y los -1 y -2 la segunda fila. Los
elementos 2 y -1 forman la primera columna y los elementos 3 y -2 la segunda columna.
Un determinante de primer orden es un solo número.
LOS SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Estos sistemas se pueden resolver empleando el concepto de determinante de
una matriz de segundo orden. Dado el sistema de ecuaciones

6. a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2
(1)
aplicando uno de los métodos vistos arriba (reducción o sustitución), se obtiene la
solución
x=c1b2-b1c2a1b2-b1a2, y=a1c2-c1a2a1b2-b1a2 (a1b2-b1a2≠0)
Estos valores de x e y se pueden expresar en función de determinantes de segundo orden
como sigue:
x= c1 b1 c2 b2 a1 b1 a2 b2 , y= a1 c1
a2 c2 a1 b1 a2 b2 (2)
La regla de aplicación es:
1. Los denominadores de (2) son el determinante:
a1 b1 a2 b2
en el que sus elementos son los coeficientes de x e y dispuestos como en las ecuaciones
dadas (l). Este determinante, que se suele representar por la letra griega ∆ recibe el
nombre de determinante de los coeficientes.
2. El numerador correspondiente a cada una de las incógnitas se forma a partir del
determinante de los coeficientes, sustituyendo la columna de los coeficientes de
la incógnita que se despeja, por la columna de términos independientes, de las
ecuaciones (1), pasados al segundo miembro.

7. Ejemplo. Resolver el sistema
2x+3y=8x-2y=-3
el denominador de x e y es
∆= 2 31 -2 =2-2-31=-7
luego
x= 8 3-3 -2 -7=8-2-3(-3)-7=-7-7=1
e
y= 2 81 -3 -7=2-3-8(1)-7=-14-7=2
El método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante determinantes se
llama regla de Cramer.
DETERMINANTES DE TERCER ORDEN
El símbolo
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3

8. formado por nueve números ordenados en una matriz de tres filas y tres columnas
representa el determinante de una matriz de tercer orden. Por definición, el valor de este
determinante viene dado por el polinomio
a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3-c1b2a3-a1c2b3-b1a2c3
que se llama desarrollo del determinante.
Con objeto de recordar fácilmente cómo se obtiene este desarrollo, se propone la
norma siguiente: Se escriben, al lado del determinante, las dos primeras columnas del
mismo:
1. Se multiplican los elementos de las tres diagonales, en el sentido de izquierda a
derecha y de arriba abajo, afectando a cada producto del signo más.
2. Se multiplican los elementos de las otras tres diagonales, en el sentido de
derecha a izquierda y de arriba abajo, afectando a cada producto del signo
menos.
3. La suma algebraica de los seis productos obtenidos en los pasos 1) y 2) es el
desarrollo del determinante.
Ejemplo. Desarrollar
3 -2 2 6 1 -1-2 -3 2
Se escribe,
3 -2 2 6 1 -1-2 -3 2 3 -2 6 1 -2 -3
El valor del determinante es
(3)(1)(2) + (-2)(-1)(-2) + (2)(6)(-3) - (2)(1)(-2) - (3)(-1)(-3) - (-2)(6)(2) = -15

9. La regla de Cramer se aplica también en la resolución de sistemas de tres ecuaciones
lineales con tres incógnitas x, y, z.
a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c
3z=d3 (3)
En realidad, es una generalización de la regla de Cramer para los sistemas de
ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolviendo el sistema de ecuaciones (3) por
uno de los métodos explicados arriba (reducción o sustitución), se obtiene
Esta solución se puede expresar por medio de determinantes como sigue:
x= d1 b1 c1 d2 b2 c2 d3 b3 c3 ∆ y= a1 d1 c1 a2 d2
c2 a3 d3 c3 ∆ z= a1 b1 d1 a2 b2 d2 a3 b3 d3 ∆
(4)

10. siendo ∆= a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 el determinante de los
coeficientes de x, y, z en las ecuaciones (3) suponiendo que sea distinto de cero.
La regla de aplicación práctica es la siguiente:
1. Los denominadores de (4) son el determinante ∆ cuyos elementos son los coeficientes
de las incógnitas x, y, z dispuestos como en las ecuaciones dadas (3).
2. El numerador correspondiente a cada una de las incógnitas se forma a partir del
determinante de los coeficientes, ∆, sustituyendo la columna de los coeficientes de la
incógnita que se despeja por la columna de términos independientes, del sistema (3),
pasados al segundo miembro.
Ejemplo. Resolver el sistema x+2y-z=-33x+y+z=4x-y+2z=6
∆= 1 2 -13 1 11 -1 2 =2+2+3+1+1-12=-3
x= -3 2 -1 4 1 1 6-1 2 -3=-6+12+4+6-3-16-3=-3-3=1
y= 1 -3 -1 3 4 1 1 6 2 -3=8-3-18+4-6+18-3=3-3=-1
z= 1 2 -3 3 1 4 1 -1 6 -3=6+8+9+3+4-36-3=-6-3=2