Ecuaciones de tercer grado

ECUACIÓN DE TERCER GRADO C. I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA
ECUACIÓN DE TERCER GRADO.
Introducción
Sin duda, una de las fórmulas más conocidas y usadas en Matemáticas es la que
provee las soluciones de una ecuación de segundo grado. En cambio para las
ecuaciones de tercer y cuarto grado tal procedimiento es prácticamente desconocido,
si bien se sabe que ellas pueden resolverse mediante fórmulas del mismo estilo.
Aparecen algunas referencias en textos de historia pero en la bibliografía de uso
general no se encuentran explicaciones sencillas ni mucho menos ejemplos o
ejercicios.
En mi opinión, es necesario que uno conozca los métodos de solución existentes para
resolver una ecuación general de tercer grado. Así que en éste capítulo, encontrará
el lector los métodos clásicos de Cardano-Tartaglia, como también los métodos de
Euler y Lagrange, entre otros métodos innovadores que permiten resolver una
ecuación cúbica de forma general.
Hablar de ecuaciones cúbicas, es remontarnos a la historia en los tiempos árabes,
donde destaca Omar Khayyam (1050-1123), quien consideraba imposible dar
solución de tipo aritmético a las ecuaciones cúbicas y presenta únicamente
soluciones geométricas mediante intersecciones de cónicas para resolverlas.
Lo más relevante de Omar Khayyam fue que generalizó el método para cubrir todas
las ecuaciones que tengan alguna raíz positiva. Él se da cuenta que estas ecuaciones
no pueden resolverse por medio de la geometría plana, es decir utilizando
únicamente regla y compás sino que requiere las secciones cónicas.
En notación algebraica, el planteamiento de Omar Khayyam se reduce a remplazar
en la ecuación + + + = 0, por 2 de donde 2 + 2 + + =
0 que es la ecuación de una hipérbola, mientras que = 2 representa una
parábola. Las abscisas para las cuales la hipérbola y la parábola se cortan serán las
raíces de la ecuación cúbica.
Durante los siglos XV y XVI, habiéndose determinado la solución de las ecuaciones
cuadráticas, se plantean problemas que generan ecuaciones cúbicas.
Scipione dal Ferro (1465-1526), profesor de matemáticas de Bologna, resolvió
ecuaciones particulares del tipo + = aunque no publicó su método. Hacia
1510 le confía su secreto a Antonio María Fior quien años más tarde reta a Niccoló
Fontana de Brescia (1499-1557) conocido como “Tartaglia” a resolver treinta
ecuaciones de grado tres. Tartaglia resolvió las treinta ecuaciones en donde se

incluían algunas de la forma + = con y positivos e incluso de la forma
+ = y cuyos procedimientos eran desconocidos para Scipione dal Ferro.
Gerolamo Cardano, médico renacentista, destacado por sus trabajos en álgebra,
publica hacia 1545 y rompiendo una promesa a Tartaglia, su solución para la
ecuación + = en su libro Ars Magna.
Tartaglia había revelado a Cardano su método en forma de verso, luego de una gran
presión por parte de éste. El verso traducido al español es el siguiente:
Cuando está el cubo con las cosas preso
Y se iguala a algún número discreto
Busca otras dos que difieran en eso
Después tú harás esto que te espeto
Que su producto sea igual al
tercio cubo de la cosa neta.
En realidad Tartaglia resuelve ecuaciones de los tres tipos siguientes: + = ,
+ = y = + .
De la ecuación cúbica + + + = 0, en la época de Cardano se consideraba
tantos tipos como posibilidades para los signos positivos y negativos de los
coeficientes. Dado el carácter geométrico que se le asignaba a toda expresión
algebraica el número negativo no tenía sentido en el espacio físico. Como por
ejemplo determinar un cuadrado de magnitud negativa o un volumen negativo de
un cuerpo tridimensional.
Cardano y su discípulo Ferrari, comprueban posteriormente, que el método de
Tartaglia y de Antonio Fior son los mismos e incluso que algunas publicaciones de
Tartaglia, eran traducciones de la obra de Arquímedes copiado de Guillermo de
Moerbecke.
Fiore sólo sabía resolver ecuaciones cúbicas incompletas del tipo + + = 0,
pero Cardano había resuelto ecuaciones como: + + = 0 reduciéndolo al
caso anterior por medio de una sustitución.

Método de Cardano-Tartaglia.
En esta sección, deduciremos la fórmula para resolver la ecuación de tercer grado en
forma general, usando algunos aspectos de las ideas de Cardano y Tartaglia.
Consideremos la ecuación general de tercer grado:
+ + + = 0 … (1)
donde , y son números reales.
Es posible, mediante una Transformación de Tschirnhaus, eliminar el término
cuadrático de la ecuación (1).
Al utilizar la resultante para eliminar el término cuadrático, se llega a:
= − … (2)
Por lo tanto la ecuación (1) puede ser transformada de la siguiente manera:
+ + = 0 … (3)
donde
= −
= − +
A esta ecuación se le conoce como “ecuación cúbica reducida”. La ecuación (3) es más
fácil de utilizar que la ecuación (1). Se puede proponer que la solución de (3) sea la
suma de dos números y , es decir:
= + … (4)
Al sustituir (4) en (3), se obtiene:
+ + ( + )(3 + ) + = 0 … (5)
Se observa que para que se cumpla la igualdad en (5), debe suceder que:
+ = −
= − … (6)

Al resolver el sistema de ecuaciones (6), se llega a una ecuación cuadrática:
( ) + ( ) − = 0 … (7)
La ecuación (7) puede ser resuelta por la fórmula de Bháskara, por lo que:
= − ± + … (8)
De igual manera, se tiene que:
= − ± + … (9)
Es claro que para satisfacer el sistema de ecuaciones (6), se debe de cumplir que:
= −
2
+ √∆
= −
2
− √∆
donde ∆= +
Por lo tanto, hemos encontrado una raíz de la ecuación cúbica. Al sustituir estos
valores en (4):
= − + √∆ + − − √∆ … (10)
A la cantidad ∆ se le conoce como el discriminante de la ecuación cúbica reducida.
Finalmente, para encontrar , se hace uso de (2):
= −
3
+ −
2
+ √∆ + −
2
− √∆
Este resultado es la llamada “fórmula de Cardano-Tartaglia”, para resolver una
ecuación cúbica en forma general.
Al analizar un poco la fórmula de Cardano-Tartaglia, existen dos dilemas y esto es algo
que no pudo resolver Cardano ni Tartaglia.

¿Cómo calcular las otras dos raíces de la ecuación cúbica?
¿Qué pasa si el discriminante ∆ es menor a cero?
Recordemos que en aquella época, aún no se descubrían los números complejos. Por
esta razón, Cardano no supo qué hacer cuando ∆< 0, por lo que a éste caso, le llamó
el caso irreducible.
Así como en el caso de una ecuación cuadrática, su discriminante nos da información
detallada del tipo de raíces que podemos tener, lo mismo sucede para una ecuación
cúbica: su discriminante nos dirá cómo serán las raíces. Entonces, conviene enunciar
el siguiente teorema:
Teorema 2.1.a
Consideremos una ecuación cúbica + + + = 0 con coeficientes reales.
Entonces:
a) Si ∆= 0 todas sus raíces son reales y al menos dos de ellas son iguales.
b) Si ∆> 0 la ecuación tiene una raíz real y dos son complejas.
c) Si ∆< 0 la ecuación tiene tres raíces reales simples.
donde ∆= +
En algunos artículos, podemos encontrar que el discriminante es definido de manera
distinta, al presentado aquí. Esto se debe a la razón siguiente: el discriminante de la
ecuación cúbica, de acuerdo con el capítulo anterior, está definido por la siguiente
expresión:
=
( , ´)
(−1)
( )
De ahora en adelante, se usará la letra al discriminante de una ecuación
polinómica definido por la expresión anterior. Si uno calcula el discriminante por
medio de esta expresión, se obtiene que:
= −4 − 27
Esta expresión no se parece en nada a ∆= + . Esto puede causar algo de
confusión. Hay que aclarar que las dos expresiones son válidas; el detalle está en que

hay que definir una relación que conjunte ambas expresiones. Entonces, podemos
definir que:
= −108 ∆
Esto permitirá relacionar ambos discriminantes. Ambas expresiones son correctas.
Todo lo anterior que hemos visto es válido y podemos usar la expresión anterior
para expresar la solución de en términos de :
= −
3
+ −
2
+ −
108
+ −
2
− −
108
Al simplificar la solución anterior, nos queda:
=
− + −
27
2
+
3
2 √−3 + −
27
2
−
3
2 √−3
3
Ambas expresiones de nos darán el mismo resultado. Entonces, de acuerdo a esto,
podemos enunciar el siguiente teorema:
Teorema 2.1.b
Consideremos una ecuación cúbica + + + = 0 con coeficientes reales.
Entonces:
a) Si = 0 todas sus raíces son reales y al menos dos de ellas son iguales.
b) Si < 0 la ecuación tiene una raíz real y dos son complejas.
c) Si > 0 la ecuación tiene tres raíces reales simples.
donde = −4 − 27
Tanto el teorema 2.1.a como 2.1.b son válidos. Si usamos ∆, aplicamos el teorema
2.1.a y si usamos , aplicamos el teorema 2.1.b. La mayoría de libros y artículos
utilizan el teorema 2.1.a, por ser más simple la expresión para calcular .
Ahora vamos a analizar una de las preguntas pendientes que no pudo resolver
Cardano. ¿Cómo calcular las otras dos raíces de la ecuación cúbica?

Un método para poder encontrar las otras dos raíces faltantes de la ecuación cúbica
es el utilizar división sintética a la ecuación cúbica reducida + + = 0. Al
realizar esto, nos queda la siguiente ecuación cuadrática:
+ + ( + ) = 0 … (11)
donde
= −
2
+ √∆ + −
2
− √∆
Al resolver (11) por la fórmula de Bháskara:
, =
±
… (12)
Es posible escribir de otra manera la solución (12), mediante manipuleo algebraico.
Sea
= = −
2
+ √∆ + −
2
− √∆
entonces
, =
±
= − ±
√
+ … (13)
Al calcular , se tiene que
= −
2
+ √∆ + −
2
− √∆ + 2
4
−
27
+
4
= − + √∆ + − − √∆ − … (14)
Ahora sea:
= − + √∆ − − − √∆ … (15)

De igual manera, será:
= − + √∆ + − − √∆ + … (16)
De las expresiones (14) y (16), se obtiene que:
= + … (17)
Por lo tanto, de acuerdo con (13), las raíces , se pueden expresar como:
, = −
2
±
√3
2

Por lo tanto, las otras dos raíces serán:
, = −
3
−
2
±
√3
2

De esta expresión, se observa que efectivamente si y son cantidades reales, dos
raíces de la ecuación cúbica serán números complejos.
Ahora veamos cómo resolver la ecuación cúbica cuando el discriminante ∆ es menor
a cero; es decir, analicemos el caso irreducible.
En el libro Ars Magna, de Cardano, se analiza la siguiente ecuación cúbica:
− 15 − 4 = 0
Al aplicar la fórmula de Cardano-Tartaglia, se obtiene que:
= 2 + √−121 + 2 − √−121
Cardano no supo qué hacer con este tipo de expresiones. Fue Rafael Bombelli (1526-
1572) el primer matemático que calculó una raíz cúbica compleja. Bombelli hace lo
siguiente:
2 + √−121 = 2 + 121(−1) = 2 + 11√−1

= 8 + 12√−1 − 6 − √−1 = 2 + √−1
Por lo que tiene sentido decir que:
2 + √−121 = 2 + √−1
De la misma forma:
2 − √−121 = 2 − √−1
Así, una raíz de la ecuación cúbica será:
= 2 + √−1 + 2 − √−1 = 4
El razonamiento de Bombelli planteó enormes problemas. ¿Cómo se sabe por
adelantado que 2 + √−1 va a ser raíz cúbica de 2 + √−121?
Debido a este hecho, surge la necesidad de crear nuevos elementos que permitan
calcular por ejemplo raíces cuadradas negativas. A partir de estos acontecimientos
se crea un nuevo conjunto de números llamados los números complejos. Es
completamente incorrecto decir que la aparición de los números complejos se debió
a la imposibilidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, pues los
matemáticos de entonces simplemente no se interesaban en ello. La motivación real
de entenderlos, viene de las ecuaciones cúbicas.
A pesar de los brillantes trabajos de Bombelli, sobre el empleo de los números
complejos en la resolución de la ecuación cúbica, los matemáticos de entonces se
negaban a aceptarlos. Ellos eran considerados aún como fantasmas de otro mundo,
por carecer de representación real, y fueron llamados números imposibles o
imaginarios. Durante el siglo XVII, debido quizás a la aparición del cálculo
infinitesimal y la geometría analítica, los números complejos fueron relegados al
olvido por los matemáticos. Algunos genios como Newton, Leibnitz y Descartes
nunca los comprendieron.
En 1831 el matemático alemán Carl F. Gauss publica un trabajo en donde expone
con toda claridad las propiedades de los números de la forma + , llamados ahora
Números de Gauss, y la representación geométrica de los mismos. Después
vendrían los trabajos de Euler y de Abraham de Moivre, donde demuestran la forma
de calcular las raíces de un número complejo.

Entonces, para resolver el caso irreducible, tiene uno que utilizar los números
complejos. Vamos a mostrar la forma de proceder.
Sea
= −
2
+ √∆ + −
2
− √∆
la raíz de la ecuación cúbica reducida.
Dado de que ∆< 0, se puede expresar como:
= − + √−∆ + − − √−∆ … (18)
De la ecuación (18), se observa que se tienen que calcular dos raíces cúbicas de dos
números complejos. Esto es posible realizarlo si nos apoyamos con la fórmula de
Moivre. De modo que nos queda la siguiente expresión:
= + − − + + − − , = 0, 1, 2
donde = tan
√ ∆
, = tan
√ ∆
Al simplificar la expresión anterior, se llega a:
= − cos + cos + sin + sin … (19)
De acuerdo al teorema 2.1, se sabe que la expresión (19) debe de ser real. Por lo que
la parte imaginaria se iguala a cero.
sin + sin = 0 … (20)
Al resolver (20), se encuentra una relación entre los ángulos y :
+ = 6 … (21)
De la relación (21), se puede despejar y sustituirlo en (19), para obtener:

= 2 −
3
cos
+ 2
3
, = 0, 1, 2
donde = cos
Finalmente, las tres raíces de la ecuación cúbica para el caso irreducible serán:
= −
3
+ 2 −
3
cos
+ 2
3
, = 0, 1, 2
= cos
⎝
⎛
−
2
−
3 ⎠
⎞
De esta manera, podemos enunciar los siguientes teoremas que nos permitirán
calcular las raíces de una ecuación cúbica, dependiendo del valor que tome el
discriminante ∆.
Teorema 2.2
Si ∆= 0, hay dos posibilidades:
Si = = 0, entonces la ecuación cúbica tiene una raíz triple = − .
Si , ≠ 0, entonces la ecuación cúbica tiene una raíz simple y una raíz doble dadas
por:
= 2 −
2
−
3
, = − −
2
−
3
Teorema 2.3
Si ∆> 0, una raíz real viene dada por
= −
3
+ −
2
+ √∆ + −
2
− √∆
Las otras dos son imaginarias y vienen dadas por:

, = −
3
−
2
±
√3
2

donde = − + √∆ + − − √∆ , = − + √∆ − − − √∆
Teorema 2.4
Si ∆< 0, la ecuación tiene tres raíces simples, que vienen dadas por:
= −
3
+ 2 −
3
cos
+ 2
3
, = 0, 1, 2
donde el ángulo 0 < < está dado por:
= cos
⎝
⎛
−
2
−
3 ⎠
⎞
Con esto concluyo el método de Cardano-Tartaglia, que es el método clásico para
calcular las raíces de una ecuación cúbica, haciendo uso de los teoremas 2.1, 2.2, 2.3
y 2.4.
Todo el desarrollo presentado en éste artículo, tiene la finalidad de dar a conocer el
método de Cardano-Tartaglia en forma completa y detallada, presentando un nuevo
enfoque e innovando algunos aspectos que difícilmente el lector los encontrará en
algún libro. Por lo general, son muy escasos los libros de texto que desarrollan
completamente éste método y algunos aspectos los mencionan entre líneas. Tiene
uno que desarrollar por cuenta de uno, eso que comentan entre líneas.
Finalmente, es deber del lector comprobar lo aquí expuesto mediante ejemplos.

Método de Euler
Leonhard Euler (1707-1783) se interesó en el estudio de la ecuación cúbica y publicó
un trabajo titulado “De formis radicum aqequationum cuiusque ordinis coniectatio” en el
período 1732-33. Éste método casi nadie lo conoce y es pertinente analizar el trabajo
que elaboró el genio de Euler con respecto a la ecuación cúbica. Su trabajo abarca no
más de una hoja. A continuación, explicaré este método; que es muy similar al
trabajo de Cardano-Tartaglia.
Sea la ecuación cúbica:
= + … (1)
Donde y son dos números conocidos.
Euler propone que el valor de sea de la forma:
= √ + √ … (2)
Donde se debe de cumplir que:
+ = , = … (3)
Los valores y tienen que ser determinados y ser expresados en lo posible por los
coeficientes y . Al elevar al cubo la expresión (2):
= + + 3√ (√ + √ ) … (4)
La expresión (4), al usar (2), puede ser expresada como:
= 3 √ + + … (5)
Al igualar la expresión (1) con (5), resulta que:
= 3√ = 3
= + =
Por lo tanto, se obtiene y :
=
=
27

Estos valores se sustituyen en (3) y nos queda que:
+ = , = … (6)
Ahora se procede a resolver el sistema (6), despejando de = y sustituyendo
ese valor en + = , de donde se llega a obtener:
+

= … (7)
La ecuación (7) es una ecuación de segundo grado, que puede ser resuelta por algún
método conocido. Al tener el valor de , se conoce el valor de , de manera que se
cumpla el sistema (6). Una vez conocido y , se sustituyen en (2).
Euler proporciona un método innovador para encontrar las otras dos raíces. Euler
propone que , sean de la forma:
, = √ + √ … (8)
donde el producto de números = 1.
Euler define que ese par de números sean:
=
√
=
√
… (9)
donde se comprueba que su producto es igual a 1.
De modo que las otras dos raíces, usando (9) en (8), serán:
=
−1 + √−3
2
√ +
−1 − √−3
2
√
=
−1 − √−3
2
√ +
−1 + √−3
2
√
De esta manera, se obtienen las tres raíces de una ecuación cúbica (1). Y para
transformar una ecuación cúbica en forma general a la forma (1), se usa una
Transformación de Tschirnhaus.

Es interesante ver la forma de análisis que adopta Euler, entregando una nueva
versión para calcular las raíces de una ecuación cúbica. De acuerdo con mis
investigaciones, Euler se puede considerar el primero en utilizar las raíces de la
unidad para expresar las raíces de una ecuación cúbica. Este trabajo lo retomaría
Lagrange, dándole otro enfoque distinto y presentando un nuevo método: el método
de las resolventes. Las resolventes de Lagrange lo veremos en el siguiente tema.

Método de Lagrange
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) formalizó un método innovador para resolver
ecuaciones polinómicas de segundo, tercero y cuarto grado e intentó generalizar su
método a grados superiores pero se enfrentó con grandes dificultades algebraicas.
Realmente este método es impresionante y se basa en usar una Transformación de
Tschirnhaus modificada y utilizar las propiedades de los números complejos,
mediante otra transformación (algo similar al trabajo de Euler). De esas dos
transformaciones, se trata de representar al polinomio resultante en términos de los
coeficientes de la ecuación original; es ahí donde radica la dificultad del método.
Veamos la forma de proceder.
Sea
+ + + ⋯ + + = 0 … (1)
una ecuación polinómica de grado con coeficientes reales.
La ecuación (1) se puede eliminar el término mediante la siguiente
Transformación de Tschirnhaus modificada:
= … (2)
donde ℎ es una constante a determinar.
Al sustituir (2) en (1) y eliminar el término (de acuerdo al valor de ℎ), se llega a
la siguiente ecuación:
+ + ⋯ + + = 0 … (3)
donde los coeficientes están expresados en términos de los .
Ahora, Lagrange propone que los , estén representados mediante la siguiente
fórmula:
= + + + ⋯ + ( )
, = 0, 1, 2, … , − 1 … (4)
donde =
.
De acuerdo a la ecuación (3), se procede a factorizarlo de la siguiente manera:
( − )( − ) ⋯ ( − ) = 0 … (5)

Al expandir (5), se utiliza (4) y se simplifica la expresión resultante.
Lagrange se da cuenta de que es posible relacionar los , usando un nuevo
polinomio de grado ( − 1), cuando ≤ 4, expresado en una nueva variable :
( − )( − ) ⋯ ( − ) = 0 … (6)
Al polinomio (6) se le conoce como “resolvente de Lagrange”.
Si se resuelve (6), se encontrarán los valores de y se pueden sustituir en (2) para
conocer las raíces de la ecuación original. La resolvente de Lagrange se puede
visualizar como una ecuación auxiliar que nos permitirá encontrar las raíces de la
ecuación.
Este método parecerá al principio un poco complicado, pero una vez entendido, es
fácil de aplicarlo. Como se dijo en un principio, lo complicado es expresar los en
términos de los coeficientes .
A continuación, veremos el caso cuando = 2 y después cuando = 3, que es el
caso que nos interesa.
CASO = :
La ecuación general de segundo grado es:
+ + = 0 … (7)
Primero, se sustituye = en la ecuación (7) y se obtiene:
+ ℎ
2
+
+ ℎ
2
+ = 0
Simplificando y agrupando términos semejantes la expresión anterior:
+ (2ℎ + 2 ) + (ℎ + 2 ℎ + 4 ) = 0 … (8)
De la ecuación (8), el coeficiente del término lineal se iguala a cero y se despeja ℎ:
2ℎ + 2 = 0
ℎ = − … (9)
Al sustituir (9) en (8), se tiene que:

− ( − 4 ) = 0 … (10)
El siguiente paso es utilizar (4) cuando = 2:
= , = 0, 1 … (11)
donde = = cos + sin = −1.
Al usar (5), se obtiene:
( − )( − ) = 0 … (12)
De acuerdo con (11):
=
= = −
Al sustituir estos valores en (12):
( − )( + ) = 0
− = 0 … (13)
Entonces la resolvente de Lagrange será:
− = 0
=
Al igualar (10) y (13), se obtiene que:
= √ − 4 … (14)
De (14) se observa que:
= − 4
= − − 4
Finalmente, el valor de será:
=
+ ℎ
2
= −
2
±
1
2
− 4

La expresión anterior es en efecto la fórmula de Bháskara. Los cálculos se simplifican
mucho cuando = 2. Pero a medida que crece el grado de la ecuación, el álgebra se
va complicando. Ahora que ya vimos cómo se aplica el método, veamos lo que
ocurre cuando = 3.
CASO =
En muchos artículos donde se aborda el tema del método de Lagrange, lo tratan de
manera algo compleja y no demuestran cómo se llegan a los resultados. Es mi
intención ampliar esta cuestión, para que el lector se dé cuenta los pasos a seguir.
Cuando se analizó el caso = 2, no se notó la importancia de usar la variable . En
este caso que voy a explicar, será notorio la importancia de utilizar esta variable.
La ecuación general de tercer grado es:
+ + + = 0 … (15)
Primero, se sustituye = en la ecuación (15) y se obtiene:
+ ℎ
3
+
+ ℎ
3
+
+ ℎ
3
+ = 0
Simplificando y agrupando términos semejantes la expresión anterior:
+ (3ℎ + 3 ) + (3ℎ + 6 ℎ + 9 ) + (ℎ + 9 ℎ + 27 + 3 ℎ ) = 0 … (16)
De la ecuación (16), el coeficiente del término cuadrático se iguala a cero y se despeja
ℎ:
3ℎ + 3 = 0
ℎ = − … (17)
Al sustituir (17) en (16), se tiene que:
+ (9 − 3 ) + (2 − 9 + 27 ) = 0 … (18)
Si nos damos cuenta, la ecuación (18) no presenta números racionales; esto se debe
a la forma en que se ha definido la Transformación de Tschirnhaus ( = ), que viene
siendo una modificación de lo que se vio en el Capítulo 1.
El siguiente paso es utilizar (4) cuando = 3:

= + , = 0, 1, 2 … (19)
donde = = cos + sin = − +
√
.
Al usar (5), se obtiene:
( − )( − )( − ) = 0 … (20)
Al desarrollar los productos de (20) y agrupar términos semejantes, se tiene:
− ( + + ) + ( + + ) − = 0 … (21)
De acuerdo con (19):
= +
= +
= +
Ahora viene la parte complicada y medular del método de Lagrange: expresar los
en términos de , , .
De acuerdo con (21), se tienen que calcular tres cantidades: + + , +
+ , . Para calcularlos, se relacionan los con los , de acuerdo a las
expresiones anteriores.
Vamos a calcularlos.
•Cálculo de + + :
+ + = (1 + + ) + (1 + + ) … (22)
Se observa que 1 + + = 0 y que 1 + + = 0, porque = =
cos + sin = − +
√
. Esta es una característica de éste método. Lagrange
observó que al usar números complejos definidos como hemos visto, el término
se elimina, algo similar cuando se aplica la Transformación de Tschirnhaus.
Por lo tanto:
+ + = 0 … (23)

•Cálculo de + + :
Al sustituir = + , = + , = + en + +
y hacer simplificaciones, se llega a:
+ + = [2 (1 + ) + (1 + )]
= ( + 2 + 2 + 1) = 3 ( + )
= −3
De modo que:
+ + = −3 … (24)
•Cálculo de :
Se puede operar de la misma manera, por lo que:
= ( + )( + + + )
= + + (1 + + ) + ( + + )
= + + (0) + (0) = +
Entonces:
= + … (25)
Al sustituir (23), (24) y (25) en (21), se tiene que:
− 3 − ( + ) = 0 … (26)
Después de todas las simplificaciones, se llega a una ecuación cúbica reducida muy
simple. Ahora hay que ver la manera de relacionar los con , , . Para ello, se
usará la resolvente de Lagrange, que debe de ser un polinomio de grado dos, de
acuerdo con (6):
( − )( − ) = 0 … (27)
Al expandir (27), se llega a la siguiente ecuación de segundo grado:
− ( + ) + = 0 … (28)

Al igualar términos semejantes entre (18) y (26), se obtiene lo que queríamos;
encontrar los en términos de , , :
−( + ) = 2 − 9 + 27 … (29)
= − 3 … (30)
Al sustituir (29) y (30) en (28), se obtiene:
+ (2 − 9 + 27 ) + ( − 3 ) = 0 … (31)
Identificamos que (31) es la resolvente de Lagrange para una ecuación cúbica. Resolver
(31) es fácil con la fórmula de Bháskara, por lo que obtendremos dos valores: y .
Si el lector se cuestiona, ¿cómo es que las raíces de la resolvente de Lagrange me
proporcionará las raíces de ?
Para responder esta pregunta, hay que notar un hecho muy importante, de acuerdo
con (27).
De esa ecuación, vemos que:
= y =
Entonces, se puede despejar y :
= … (32)
= … (33)
Si recordamos:
= +
= +
= +
Entonces, simplemente hay que sustituir (32) y (33) en las expresiones anteriores
para obtener:
= +
= +
= +

Por lo que si resolvemos (31), encontramos , y . Finalmente, para encontrar ,
se usa la Transformación de Tschirnhaus modificada:
=
− +
3
Hasta este punto voy a dejar el tema de la resolvente de Lagrange, invitando al lector
a que analice por su cuenta el caso cuando = 4.
Este método propuesto por Lagrange, funciona a la perfección para = 2, 3,4.
Lagrange analizó el caso cuando = 5 y se encontró con dificultades algebraicas
extremadamente complejas.
Resulta que cuando = 2, la resolvente de Lagrange es de grado 1. Cuando = 3, la
resolvente es de grado 2 (como hemos visto). Cuando = 4, la resolvente es de
grado 3. Hasta este punto, todo marchaba de maravilla.
Algo curioso sucede cuando = 5, porque uno esperaría que la resolvente sea de
grado 4 pero Lagrange se dio cuenta de que la resolvente resultaba de un grado
mayor a la ecuación original. Para el caso = 5, el grado mínimo de la resolvente es
de ¡grado 6! Atacando el problema desde otros ángulos, esa resolvente puede
modificarse y uno se encuentra con resolventes de grados 10, 12 o 24. Esa es la gran
dificultad a la que se enfrentaron Lagrange y muchos grandes matemáticos: ¿cómo
se resuelve algebraicamente la resolvente resultante? Debido a ello, hubo un
estancamiento matemático (en cuanto a polinomios se refiere) que duró más de 100
años, por la dificultad de no poder resolver la ecuación general de quinto grado. A
ésta dificultad se le llamó “el Gran Dilema”.
Estudios recientes muestran que es posible resolver algunas ecuaciones de quinto
grado en forma algebraica, usando para ello resolventes de grado 6. Este tema lo
veremos en capítulos posteriores.
Es mi objetivo que este tema le haya quedado claro al lector, visto el método de
Lagrange en forma más simple al que presentan muchos artículos.

Método TH
Existen muchos métodos que resuelven la ecuación cúbica en forma exacta pero no
muchos se han percatado del método TH, iniciado por François Vietè (1540-1603), el
cual da solución a la ecuación cúbica en términos de funciones trigonométricas,
siempre y cuando las raíces sean reales distintas. Desafortunadamente, François
Vietè no culminó este trabajo, debido a que por aquellos tiempos no se conocían los
números complejos.
Mi objetivo es concluir el trabajo iniciado por François Vietè y darlo a conocer a
todos los demás. En la bibliografía existente, sólo mencionan el trabajo que realizó
François Vietè sin dar una demostración de sus resultados. Es mi intención cubrir
ese aspecto y ampliar este estudio para resolver cualquier ecuación cúbica que se
nos presente. Así que sin más preámbulos, empecemos:
Sea
+ + + = 0 … (1)
una ecuación polinómica general de tercer grado, donde a, b y c son números reales.
Es de todos conocidos, que cualquier ecuación algebraica de orden , siempre es
posible eliminar el término − 1, mediante la Transformación de Tschirnhaus, así que
procedamos a eliminar el término cuadrático.
Si
= − … (2)
lo sustituimos en la ecuación (1), vemos que se elimina el término cuadrático y nos
queda la siguiente ecuación cúbica:
+ + = 0 … (3)
donde
= − +
= − +
… (4)

A la ecuación (3), se le conoce como “ecuación cúbica reducida”. Y es más fácil utilizar
(3) que la ecuación (1). Hasta este punto, estos aspectos son conocidos por todos.
Ahora, François Vietè propuso hacer un ingenioso cambio de variable.
Sea
= r cos … (5)
siendo > 0, que al sustituirlo en (3), nos queda lo siguiente:
+ cos + = 0 … (6)
La ecuación (6) nos recuerda la identidad trigonométrica:
− cos − = 0 … (7)
que es la identidad trigonométrica de ángulo triple.
Si observamos cuidadosamente (6) y (7), vemos que podemos hacer igualación de
términos semejantes, que al hacerlo, nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:
= − … (8)
= − … (9)
Al resolver el sistema anterior, encontramos que:
= 2 − … (10)
= cos

+ , = 0, 1, 2 … (11)
Finalmente, haciendo uso de (2), (5), (10) y (11), nos da:
= − + 2 − cos cos

+ , = 0, 1, 2 … (12)

Hay que observar que las expresiones (10) y (11), son válidas siempre y cuando:
−
2 −
3
< 1
Y esto es posible saberlo, si hacemos uso del discriminante, denotado por ∆ :
∆= + … (12)
Para que se cumpla la condición

< 1, debe ocurrir que ∆< 0.
Hasta aquí llega el trabajo de François Vietè. Es un resultado interesante y muy
práctico. El problema radica en saber qué es lo que ocurre si no se cumplen las
condiciones antes descritas. Eso es lo que a continuación vamos a descubrir.
Viendo la forma de proceder de François Vietè donde interviene la función coseno
en su método, se pueden introducir dos nuevas funciones y ver qué es lo que ocurre,
haciendo un desarrollo parecido a la función coseno. Esas nuevas funciones son las
funciones hiperbólicas. Esta es la parta clave para culminar el trabajo de François Vietè
y por ese motivo le he llamado el método TH, porque se ocupan funciones
trigonométricas e hiperbólicas.
Pero, ¿por qué el uso de funciones hiperbólicas? Esto es debido principalmente a
que si > 0, entonces y son números complejos (recordemos que en la época en
que François Vietè publicó su método, todavía no se descubrían los números
complejos). Considerando el hecho de que y sean números complejos, se puede
demostrar que la solución estará representada por funciones hiperbólicas inversas
de senos y cosenos.
Entonces, nos conviene hacer que:
= sinh y = cosh

A continuación, se verá lo que ocurre si nos planteamos estas dos funciones
hiperbólicas.
CASO 1.
Sea
= sinh … (12)
que al sustituirla en (3), nos da la siguiente ecuación:
sinh + sinh + = 0 … (13)
Ahora, recordando la identidad hiperbólica del ángulo triple:
sinh + sinh − = 0 … (14)
Igualando términos semejantes entre (13) y (14), y despejando y , se llega a:
= 2
3
=
1
3
sinh
⎝
⎛
−
2
3 ⎠
⎞
Válidas para > 0, siendo que ∆> 0. Por lo tanto, al usar estos resultados en (12), se
tiene que:
= 2 sinh sinh

, > 0 , ∆> 0
Ahora veamos el siguiente caso.

CASO 2.
Sea
= cosh … (15)
que al sustituirla en (3), nos da la siguiente ecuación:
cosh + cosh θ + = 0 … (16)
Ahora, recordando la identidad hiperbólica del ángulo triple:
cosh − cosh − = 0 … (17)
Igualando términos semejantes entre (16) y (17), y despejando y , se llega a:
= 2 −
3
=
1
3
cosh
⎝
⎛
−
2 −
3 ⎠
⎞
Válidas para < 0, siendo que ∆> 0. Por lo tanto, al usar estos resultados en (15), se
tiene que:
= 2 − cosh cosh

, < 0 , ∆> 0
Una vez que se conoce , se procede a calcular las otras dos raíces, , , haciendo
uso de la fórmula de Bháskara:
, = − ±
√
− … (18)

Para el caso 1:
, = − sinh ± √3 cosh , = sinh

, > 0
Para el caso 2:
, = − − cosh ± √3 sinh , = cosh

, < 0
Finalmente, hemos encontrado la solución completa de la ecuación cúbica usando el
método trigonométrico en conjunto con funciones hiperbólicas.
Para encontrar , se recurre a sustituir los valores de , y en la ecuación (2):
= − .
Resumiendo:
Hemos hallado una metodología para encontrar las 3 raíces de una ecuación cúbica:
1) Calcular y :
= −
1
3
+
=
2
27
−
1
3
+
2) Calcular el discriminante ∆:
∆=
27
+
4

3) Si ∆< 0, las tres raíces son:
= − + 2 − cos cos

+ , = 0, 1, 2
3.1) Si ∆> 0 y > 0, las tres raíces son:
= −
3
+ 2
3
sinh
⎝
⎛
1
3
sinh
⎝
⎛
−
2
3 ⎠
⎞
⎠
⎞
, = −
3
−
3
sinh ± √3 cosh , =
1
3
sinh
⎝
⎛
−
2
3 ⎠
⎞
3.2) Si ∆> 0 y < 0, las tres raíces son:
= −
3
+ 2 −
3
cosh
⎝
⎛
1
3
cosh
⎝
⎛
−
2 −
3 ⎠
⎞
⎠
⎞
, = −
3
− −
3
cosh ± √3 sinh , =
1
3
cosh
⎝
⎛
−
2 −
3 ⎠
⎞
4) Si ∆= 0, las tres raíces son:
= −
3
+ 2 −
2
, = −
3
− −
2
Finalmente, para corroborar las fórmulas propuestas, el lector puede realizar
algunos ejemplos y verificar el método descrito.

Para muchos lectores, este método será una novedad por el uso de funciones
hiperbólicas, para otros no tanto debido a que para la mayoría de lectores, se tiene
un amplio dominio sobre los números complejos y es muy fácil llegar a deducir estas
fórmulas.
El usar el método TH para resolver una ecuación cúbica trae por consiguiente usar
exponenciales cuando ∆> 0, por lo tanto no se obtendrán soluciones exactas, sino
aproximaciones, que para algunos casos nos darán valores exactos si sus raíces son
números enteros o racionales.
Este método propuesto sería una opción para resolver ecuaciones cúbicas en forma
aproximada, siempre y cuando tengamos a la mano una calculadora que maneje
funciones hiperbólicas y trigonométricas así como sus respectivas funciones
hiperbólicas y trigonométricas inversas. Pero si lo que nos interesa son las raíces en
forma exacta, este método no es la opción. Para soluciones exactas, es mejor usar el
método de Cardano-Tartaglia, el de Euler o el de Lagrange.
Ejemplo:
Resolver
+ + 1 = 0
Se observa que = 1 y = 1.
El discriminante es
∆=
27
+
4
=
1
27
+
1
4
=
31
108
> 0
Entonces es el caso 3.1:
= −
3
+ 2
3
sinh
⎝
⎛
1
3
sinh
⎝
⎛
−
2
3 ⎠
⎞
⎠
⎞
, = −
3
−
3
sinh ± √3 cosh , =
1
3
sinh
⎝
⎛
−
2
3 ⎠
⎞

Sustituyendo los valores de = 0, = 1 y = 1, las raíces serán:
= 2
1
3
sinh
⎝
⎛
1
3
sinh
−1
2
1
27⎠
⎞ ≈ − 0.682327803
, = −
1
3
⎝
⎛sinh
⎝
⎛
1
3
sinh
−1
2
1
27⎠
⎞ ± √3 cosh
⎝
⎛
1
3
sinh
−1
2
1
27⎠
⎞
⎠
⎞
, ≈ 0.341163901 ± 1.161541400
Al comprobar estos valores en la ecuación cúbica, efectivamente cumplen que son
sus raíces en forma aproximada. También nótese la rapidez con que se calculan las
tres raíces; simplemente hay que sustituir los valores y usar una calculadora
científica.
Por lo tanto, se ha logrado el objetivo propuesto: culminar el trabajo iniciado por
François Vietè. Es deber del lector verificar los otros casos con ejemplos.
Una de las ventajas de usar el método TH, aparte de su rapidez para calcular las raíces
de una ecuación cúbica, es que permite calcular las raíces si sus coeficientes de la
ecuación cúbica son números complejos en forma muy simple. Simplemente, se
obtiene el valor de y y usar cualquier caso para encontrar las raíces. Hay que
notar que podemos omitir el cálculo de ∆, puesto que en números complejos no
existe un orden (recordar que en números reales existe un orden y se puede saber si
un número real es mayor o menor que otro número real; eso no existe si se tratan de
números complejos).
Hasta éste punto dejaré el tema, esperando que el lector pueda verificar lo aquí
descrito, confiando en que hagan un buen uso del método propuesto.
Este tema se lo dedico en memoria a François Vietè, un excelente matemático y
algebrista del siglo XVI.

Recordando una frase célebre de François Vietè, que versa así:
“No dejéis ningún problema sin resolver”,
confío en que François Vietè puede estar satisfecho en ver culminado su trabajo, que
servirá de base para desarrollar métodos más elaborados.

Método de Tschirnhaus
Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (1651-1708) fue un excepcional matemático
alemán quien creyó haber encontrado un método general para resolver ecuaciones
polinómicas de grado . Su método estaba basado en la transformación de una
ecuación a otra más simple; pero esta sola transformación requería de algunas
ecuaciones auxiliares. El artículo fue publicado en la revista científica “Acta
Eruditorum” en 1683. Desafortunadamente, en éste artículo, Tschirnhaus no
profundiza mucho en el desarrollo de su método así como las dificultades a las que
uno se puede enfrentar para casos en concreto. Pero sin lugar a dudas, es una gran
técnica, ideada por Tschirnhaus y por ese hecho, hay que reconocerle su labor.
Tschirnhaus tenía la creencia que dada una ecuación de la forma:
( ) = + + ⋯ + + = 0
donde , … , , ∈ R.
podía ser transformada a una nueva ecuación polinómica mediante un cambio de
variable, donde se eliminaran algunos términos intermedios, usando ecuaciones
auxiliares, para obtener una ecuación de la forma:
+ = 0
donde fuera una constante a determinar.
Hasta el lecho de su muerte, Tschirnhaus creyó que era posible hacer eso, más no
hay registro de ese desarrollo. En el artículo que publicó, todo lo analiza en forma
general. Es mi objetivo profundizar este tema para el caso de las ecuaciones cúbicas,
es decir cuando = 3.
Sea la ecuación general de tercer grado:
+ + + = 0 … (1)
Como ya hemos visto, mediante una Transformación de Tschirnhaus, se puede
eliminar el término cuadrático de la ecuación (1).
Si se usa la siguiente transformación:

= − … (2)
Y la sustituimos en la ecuación (1), nos queda una ecuación cúbica en la nueva
variable “ ”:
+ + = 0 … (3)
donde
= −
= − +
A esta ecuación se le conoce como “ecuación cúbica reducida”.
Lo interesante viene a continuación. Tschirnhaus propone que ahora se utilice otra
transformación de la forma:
= + + … (4)
donde y son constantes a determinar.
La transformación (4), permitirá eliminar el término lineal de la ecuación (3). Si esto
es posible, habremos logrado el objetivo propuesto. Para llevar a efecto esa
eliminación, primero tendremos que encontrar un polinomio de grado 3 que esté
expresado en la nueva variable “ ” usando las expresiones (3) y (4), y para lograr
ello, recurriremos al concepto de la resultante.
Definimos a las funciones ( ) y ( ) como:
( ) = + + = 0
( ) = + + −
Ahora se puede calcular la resultante de ( ) y ( ) como sigue:
( , , ) = det ( , , ) =
1 0 p q 0
0 1 0 p q
1 m n-z 0 0
0 1 m n-z 0
0 0 1 m n-z

Al desarrollar el determinante anterior e igualar a cero, se llega a la siguiente
ecuación cúbica en “ ”:
+ (2 − 3 ) + (3 − 4 + + 3 + )
+ (− + 2 − − 3 − + + − ) = 0
De esta expresión, se puede eliminar el término cuadrático y lineal para encontrar
dos expresiones que involucren las incógnitas y :
2 − 3 = 0 … (5)
3 − 4 + + 3 + = 0 … (6)
Resolver el sistema de ecuaciones anterior, es relativamente fácil. De (5) se despeja
:
= … (7)
Ahora, al usar (7) en (6), se obtiene una ecuación cuadrática en :
9 + 27 − 3 = 0 … (8)
La ecuación (8) se resuelve con la fórmula de Bháskara, de donde se obtiene:
, =
± ( )
… (9)
Al tomar el signo negativo de (9), se puede expresar como:
=
( )
… (10)
Hemos encontrado dos expresiones (7) y (10) en términos de y que involucra el
cálculo de las incógnitas y .
De esta información, la ecuación cúbica en , quedará expresada como:
+ (− + 2 − − 3 − + + − ) = 0 … (11)
Hay que darse cuenta que (11) ya está en la forma + = 0, así como Tschirnhaus
lo había propuesto. Solamente hay que expresar a en términos de y :
= − + 2 − − 3 − + + − … (12)

Para encontrar en términos de y , uno podría pensar que hay que sustituir (7) y
(10) en (12) y simplificar. Ese modo de operar, no es erróneo pero se puede proceder
de otra manera para encontrar una expresión más simple para . Veamos cómo
hacerlo.
Si nos fijamos bien, el cálculo de involucra obtener y y eso se puede obtener
de (8).
Al despejar de (8) , se obtiene:
= … (13)
Al usar (13), se obtiene como:
= =
= … (14)
Por lo tanto, de (7), (13) y (14) en (12), se llega a:
= − − 2 + + … (15)
Ahora, simplemente se sustituye (10) en (15), de donde se obtiene:
= − − 2 − +
( )
… (16)
La expresión (16) se puede simplificar, por lo que será:
= −
( )
= −
( )
… (17)
En pocos pasos, hemos podido expresar a en una forma muy simple dada por (17),
donde se observa el término 4 + 27 como factor común.
De modo que al despejar de (11) y usar (17), se tiene que:

=
( ) ( )
… (18)
Se observa que (18) está expresado en términos de y , que era el objetivo principal.
Finalmente, se usa (2) y (4) para encontrar :
= −
3
−
± √ − 4 + 4
2
donde
=
( )
=
=
( ) ( )
El lector se dará cuenta que aplicar las fórmulas anteriores conlleva a decidir qué
signo tomar para encontrar el valor correcto de la raíz . Esa es una de las
dificultades de usar el método de Tschirnhaus y para resolver esa dificultad, uno tiene
que encontrar la raíz correcta sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación
cúbica (1) y comprobar que en efecto sea la raíz. Veamos un ejemplo para visualizar
el método en operación.
Ejemplo:
Utilizando el método de Tschirnhaus, encontrar una raíz de la siguiente ecuación
cúbica:
− − − 2 = 0
Identificamos que = −1, = −1 y = −2.
Primero hay que calcular y , de modo que:
= −1 −
1
3
= −
4
3
= −2 −
1
3
−
2
27
= −
65
27

Ahora, se calcula el valor de y :
=
2
3
−
4
3
= −
8
9
=
−9 −
65
27
− 3
3969
27
6 −
4
3
= −
1
12
Con los valores encontrados, se obtiene :
= −
3
4
3969
27
3969
27
+ 3 −
65
27
3
3969
27
54
=
7
4
Finalmente, el valor de será:
= −
3
−
± √ − 4 + 4
2
=
1
3
−
−
1
12
±
13
4
2
De aquí, se obtienen dos valores de :
= −
5
4
= 2
De estos dos valores, solo uno será el correcto y para saber cuál de ellos es el
verdadero, se sustituyen en la ecuación cúbica y se tendrá que cumplir la igualdad.
Para = − :
−
5
4
− −
5
4
− −
5
4
− 2 = −
273
64
≠ 0
Se observa que = − no es una raíz de la ecuación cúbica.
Para = 2:
(2) − (2) − (2) − 2 = 8 − 4 − 2 − 2 = 0

Con el valor de = 2, sí se cumple la igualdad, por lo que hemos obtenido una raíz
de la ecuación cúbica con el método de Tschirnhaus.
Por lo tanto:
= 2
Hay que notar que si la cantidad 4 + 27 es negativa, será un número complejo
y por consiguiente también . Entonces, los cálculos se complican un poco. Al final,
vamos a encontrar varios resultados para , dentro de los cuales sólo uno será el
correcto y para saber el correcto será cuestión de sustituir los valores y verificar cuál
de ellos cumple con la igualdad a cero, de acuerdo con la ecuación cúbica planteada
en un principio. Este proceso cuando es un número complejo es realmente muy
tedioso pero al final de cuentas, es posible dar con la raíz correcta.
En mi opinión, éste método es fácil de aplicar cuando 4 + 27 es mayor o igual a
cero. Para cuando 4 + 27 sea menor a cero, es mejor aplicar otros métodos más
efectivos como el método de Euler, Lagrange o el método TH.
Con esto, doy por terminado éste método propuesto por Tschirnhaus, dejando al
lector que analice un ejemplo en particular.

Método TLF
En variable compleja, existe una transformación llamada Transformación Lineal
Fraccionaria (TLF), ideada por primera vez por August Ferdinand Möbius (1790-
1868) y que tiene la siguiente forma:
( ) = … (1)
donde , , y son números complejos, con la condición de que − ≠ 0.
A la función (1) se le conoce también como Transformación de Möbius ó Transformación
Racional Lineal.
Este tipo de transformaciones son muy útiles en variable compleja para hacer
mapeos conformes, así como en la resolución de integrales elípticas. En este tema,
veremos una aplicación de esta transformación: la resolución de la ecuación cúbica
general.
Nos podríamos cuestionar lo siguiente: ¿será posible que este tipo de
transformaciones nos ayude de alguna manera a resolver una ecuación cúbica?
La respuesta a esta pregunta es que sí es posible. El problema es que (1) tiene cuatro
constantes que desconocemos. Podríamos redefinir (1) para utilizar solamente dos
parámetros y sea más fácil su manipuleo al momento de usarla en una ecuación
cúbica. Se observa de (1), que puede quedar expresada como:
( ) = +
−
( + )
= +
−
+
donde ≠ 0.
Si ahora hacemos que = , − = 1 y = en la expresión anterior, se llega a:
( ) = + … (2)
A (2) se le llama Transformación de Möbius modificada.
Se sabe que una ecuación cúbica en forma general, tiene la siguiente forma:
+ + + = 0 … (3)

Si se usa la siguiente transformación:
= − … (4)
Y la sustituimos en la ecuación (3), nos queda una ecuación cúbica en la nueva
variable “ ”:
+ + = 0 … (5)
donde
= −
= − +
Se define ahora que:
= + … (6)
Simplemente, se sustituye (6) en (5) y mediante manipuleo algebraico, encontrar dos
expresiones que permitan calcular los valores de y :
+ + + + = 0 … (7)
Al realizar los binomios y simplificar (7), se llega a la siguiente ecuación cúbica en :
( + ) + ( + ) + ( + ) + 1 = 0 … (8)
= + +
= 3 +
= 3
… (9)
Si volvemos a realizar los binomios en (8), se llega a lo siguiente:
+ + + = 0 … (10)
donde ≠ 0.

Al igualar los coeficientes de y a cero, se obtiene un sistema de ecuaciones de
2x2:
3 + 2 + = 0 … (11)
3 + = 0 … (12)
Al usar (12) en (11), se llega a que:
= − … (13)
Pero de (12), si despejamos :
= − … (14)
De modo que al igualar (13) y (14), se llega a:
3 = … (15)
Al sustituir (9) en (15), se obtiene lo siguiente:
3( + + )(3 ) = (3 + )
9 + 9 + 9 = 9 + 6 +
3 + 9 − = 0 … (16)
La ecuación (16) se resuelve por la fórmula de Bháskara y se llega a encontrar la
primera incógnita:
=
± ( )
Y al tomar la raíz positiva, se obtiene que es igual a:
= −
( )
… (17)
Al calcular , se obtiene el valor de (que es la otra incógnita) de (9) en (13):
= − … (18)
Es posible expresar (18) en términos de y si se sustituye (17) en (18):

= −
3 −
9 − 3(4 + 27 )
6
3 −
9 − 3(4 + 27 )
6
+
=
9 − 3(4 + 27 )
4 + 27 − 3 3(4 + 27 )
= −
3
3(4 + 27 )
Por lo tanto, es igual a:
= −
( )
… (19)
Con los valores de y dados por (17) y (19), la ecuación cúbica (10) se reduce a:
+ = 0 … (20)
Al sustituir (9) y (19) en (20), se obtiene el valor de :
= −
√
… (21)
donde = 4 + 27 .
Si somos observadores, al encontrar , y , se puede calcular y al tener ese valor,
por consiguiente se tiene el valor de una raíz, que era el objetivo principal.
De modo que al usar (4) y (6), se llega a que será:
= −
3
+
1
+
+
donde
= −
√
= −
√
= −
√
= 4 + 27
= −
= − +

Veamos un ejemplo para que el lector aprecie la forma de proceder.
Ejemplo:
Calcular una raíz de la ecuación cúbica:
+ 2 + 2 + 1 = 0
Primero, identificamos que = 2, = 2 y = 1. Se calcula el valor de , y .
= 2 −
4
3
=
2
3

= 1 −
4
3
+
16
27
=
7
27

= 4
8
27
+ 27
7
27
= 3
Con estos valores, se calcula , y :
= −
9
7
27
− 3
4
=
1
6
= −
3
2
3
3
= −
2
3

= −
21 +
65
3
18
= −
4
3
Entonces, la raíz buscada será:
= −
2
3
+
1
−
4
3
−
2
3
+
1
6
= −1
Realmente, el método de Möbius es novedoso y brinda una nueva opción para calcular
las raíces de una ecuación cúbica.
Hay que notar que el método falla si la ecuación cúbica tiene raíces repetidas, es
decir cuando = 0 o cuando = 0.

Algoritmo Bolyai
Las raíces de ecuaciones trinomiales fueron estudiadas desde el siglo XIX,
principalmente en Hungría y alrededores. En 1786 el matemático Erland Samuel
Bring (1736-1798) redujo una ecuación general de quinto grado a una ecuación
trinomial usando la Transformación de Tschirnhaus. Este hecho marcó a muchos
matemáticos y los motivó a buscar métodos para resolver ecuaciones trinomiales.
Uno de los matemáticos húngaros más sobresalientes que analizó este tipo de
ecuaciones fue sin duda, Farkas Bolyai (1775-1856), quien propuso un método
iterativo para aproximar una raíz de una ecuación trinomial de la forma:
= + … (1)
con la condición de que ∈ ℕ, > 1 y > 0.
Bolyai consideró el siguiente procedimiento iterativo con un valor inicial de cero:
= 0
= √
= + √
⋮
= +
Y demostró que este proceso iterativo conducía a la solución de una raíz de la
ecuación (1).
Después culminaría este trabajo el matemático y físico Gyula Farkas (1847-1930),
quien extendió de manera más general el método de Bolyai, usando la ecuación
trinomial:
= + … (2)
Gyula Farkas le denominó a este método el algoritmo Bolyai.
Farkas llegó a los siguientes teoremas, los cuales pudo demostrar:
- Para , > 0, el método converge a una raíz de la ecuación (2)
- Para > 0, < 0, impar y < √ , el método diverge
El algoritmo Bolyai fue muy conocido en toda Europa por ser muy simple pero desde
el punto de vista práctico, es un método que converge muy lento.

Vamos a ver un ejemplo para una ecuación cúbica, es decir cuando = 3.
Ejemplo:
Usar el algoritmo Bolyai para encontrar una raíz de
= 8 + 2 … (4)
En teoría, el método debe de converger, porque = 8 y = 2.
Al despejar de (4) y hacerlo recursivo, se tiene que:
= 8 + 2 … (5)
Tomando como = 0, al usar (5), se obtienen los siguientes resultados:
= 2
= 2.289428485
= 2.325664479
= 2.330122299
= 2.330669532
= 2.330736691
= 2.330744933
= 2.330745945
= 2.330746069
= 2.330746084
Se concluye que la raíz buscada es:
= 2.3307461
Mediante este ejemplo, se observa que el método converge muy lento. Se necesitaron
un total de 10 iteraciones para lograr una buena aproximación.
Cabe destacar que éste método es interesante por su sencillez pero poco práctico.
Existen otros métodos que brindan una convergencia mucho más rápida.

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