1. RELACIÓN
Para estudiar las funciones primero describiremos una relación como la correspondencia que hay entre dos
conjuntos. Son ejemplos de relaciones los siguientes:
El conjunto de libros de la biblioteca que corresponden al conjunto de números
de la última página de cada libro.
El conjunto de nombres de usuarios de correo electrónico de la universidad que
corresponden al conjunto de contraseñas de cada uno de ellos.
El conjunto de números cardinales que corresponden al conjunto de los cuadrados
de cada número cardinal.
El primer conjunto en la correspondencia se llama dominio y el segundo rango. En el primer ejemplo, el
conjunto de libros sería el dominio y el conjunto de números de la última página sería el rango.
A veces se utiliza un diagrama de función como auxiliar visual para indicar la correspondencia. En la siguiente
figura se muestra un diagrama de función de la correspondencia entre el conjunto de números cardinales {1,
2, 3, 4} y el conjunto de los cuadrados de cada uno de ellos {1, 4, 9, 16)
Una relación es un conjunto de pares ordenados. El conjunto de las primeras coordenadas de estos es el
dominio y el conjunto de las segundas coordenadas es el rango de la relación.
RELACIÓN: Regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos.
Ejemplo:
2. Esta relación se representa con el siguiente conjunto de pares ordenados
R = {(x1, y1), (x1, y2), (x2, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4) …}
Una vez que hemos definido la relación podemos explicar la función como un caso especial de relación en el
que cada miembro del dominio está relacionado exactamente con un miembro del rango. Usaremos las tres
relaciones descritas en la siguiente figura para indagar cómo se determina si una relación es una función. Para
ello, compararemos cómo los miembros del dominio se relacionan con los del rango.
En la relación A hay un miembro del dominio, Caninos, que se relaciona con más de un miembro del rango. Es
decir, cuando se considera el conjunto de pares ordenados que describe esta relación, el miembro del dominio
Caninos se repite con diferentes miembros del rango: {(Caninos, Bulldog), (Caninos, Chow-Chow), (Caninos,
Poodle)). Por tanto, la relación A no es una función.
En la relación B, cada miembro del dominio está relacionado exactamente con un miembro del rango. Cuando
se considera el conjunto de pares ordenados que describen esta relación, ningún miembro del dominio se
repite con un miembro diferente del rango: {(17, 7), (27, 7), (38, 8), (47, 7)}. Observa que es aceptable que un
miembro del rango, en este caso 7, se repita, siempre que los miembros del dominio sean diferentes. Por
consiguiente, la relación B es una función.
En la relación C, cada miembro del dominio se relaciona exactamente con un miembro del rango. En el
conjunto de pares ordenados que describe esta relación, ningún miembro del dominio se repite con un
3. miembro diferente del rango: {(café, $1.50). (refresco, $1.75), (malteada, $3.50)}. Así, la relación C es una
función.
FUNCIÓN
Una función es una relación en la que cada miembro del dominio se relaciona exactamente con un miembro
del rango. Es decir, no hay dos pares ordenados que tengan la misma primera coordenada.
El concepto de función es uno de los más importantes en el mundo de las matemáticas. Las funciones no sólo
representan fórmulas, o lugares geométricos, también se utilizan como modelos matemáticos que resuelven
problemas de la vida real.
A continuación, se dan algunas definiciones de función:
Es una regla de correspondencia que asocia a los elementos de dos conjuntos. La cual a cada
elemento del primer conjunto (dominio) le asocia un solo elemento del segundo conjunto (contra
dominio).
Sean A y B dos conjuntos y f una regla que a cada x ∈ A asigna un único elemento f(x) del conjunto B,
se dice que f es una función que va del conjunto A al B, y se representa de la siguiente forma: f: A →
B, donde al conjunto A se le llama dominio y al B contra dominio, que también se representa por
medio de un diagrama de flechas:
Una función es una colección de pares ordenados con la siguiente propiedad: Si (a, b) y (a, c)
pertenecen a una colección, entonces se cumple que b = c; es decir, en una función no puede haber
dos pares con el mismo primer elemento.
EJEMPLO 1. Determina si los siguientes diagramas representan una función o una relación:
4. Solución:
El primer y el tercer diagrama corresponden a una función ya que a cada elemento del conjunto A se le asigna
un solo elemento del conjunto B.
En el segundo diagrama al menos a un elemento del conjunto A se le asignan dos elementos del conjunto B,
mientras que en el cuarto diagrama el elemento 8 se asocia con tres elementos del conjunto B, por tanto, se
concluye que estos conjuntos representan una relación.
Ejemplo 2. Obtén el dominio y el rango y determina si la relación es una función.
A = {(1, 2), (2, 3), (3,4)}
Solución: Dominio: {1, 2, 3}; rango: {2, 3, 4}.
La relación A es una función porque cada miembro del dominio se relaciona exactamente con un
miembro del rango. Otra forma de decidir si un conjunto de pares ordenados es una función o no
consiste en comprobar que ningún valor de x se repita con un valor diferente de y.
Ejemplo 3.
Solución: Dominio: {1, 2, 43}; rango: {Washington, Adams, G. W. Bush}.
El conjunto de pares ordenados de esta relación es {(1, Washington), (2, Adams), (43, G. W. Bush)}.
Como ningún valor de x se repite con un valor diferente de y, esta relación es una función.
Ejemplo 4.
C = {(café, Starbucks), (hamburguesas, Burger King), (café, City Brew), (papas fritas,
McDonald’s)}.
Solución: Dominio: {café, hamburguesas, papas fritas};
rango: {Starbucks, Burger King, City Brew, McDonald’s}.
Al comparar los valores de x en este conjunto de pares ordenados se observa que café se repite con
valores diferentes de y: (café, Starbucks) y (café City Brew). Por tanto, la relación C no es una
función.
EJERCICIO 1: resuelve en tu libreta
Obtén el dominio y el rango y determina si la relación es una función.
a. C = {(-1, 0), (1, 0), (2, 1)}. b. D = {(f, $15), (g, $20), (h, $25), (f, $30)}.
