Péricles Brasiliense Fusco
ESTRUTURAS
DE CONCRETO
SOLICITAÇÕES TAUCENCIAIS
Esforços Solicítantes
Forças Cortantes
Torção
Tensões em Regime Elástico
Seções Abertas e Seções Fechadas
Analogias de Treliça
Oimensionamento em Regime de Ruptura
Peças de Concreto Armado
Peças de Concreto Protendido
Lajes com e sem Armadura de Cisalhamento

Ptiritlcs Brasillcnsç Fusco
Enpnlieiro Ciwit • Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo - ÊPUSP - 1 9 5 2
Engenheiro Nava! - EPUSP - 1 9 6 0
Doutor em Engenharia - EPUSP - 1 9 6 8
Livjre-Do cento - EPUSP - 1 9 7 5
Professor titular - EPUSP - 1980
Coordenador das áreas "Sistemas Estruturais de
Concreto" e "Análise Experimental de Estruturas" do
Departamento de Engenharia e Estruturas e
Fundações da EPUSP
Fundador e Diretor do Labora tá rio de Estruturas e
Materiais Estruturais da EPUSP
Orientou 19 dissertações de mestrado c 17 do
doutorado.
Projetista de estruturas cie concreto, tendo
participado do projeto de grandes obras realçadas
no País durante os últimos 25 anos, nas áreas de
edifícios altos, indústrias pesadas, pontes e usinas.

ESTRUTURAS UE CONCRETO
SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS

Estruturas de concreto: solicitações tangenciais
©COPYRIGHT EDITORA PINI LTDA.
Todos os direitos do reprodução ou tradução reservados pote Editora Pini Lida,
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP>
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Fusco, Péricles Brag iliensí?
Estruturas de concreto : solicitações
tangenciais / Péricles Brasiliense Fusco,
ISBN 979-85-7266-208-6
1, Cisalhamento 2. Engenharia de estruturas
3, Estruturas de concreto armado I, Título,
08-06331 CDD-624,1334
índice para catáloga sistemático:
1. Estruturas de concreto armado : Solicitações
tangenciais : Engenharia estrutural
624 ,1834
Coordenação de Manuais Técnicos; Josiani Souza
Projeto Gráfico e Capa; Luciano Rocha
Díagramação: Maurício Luiz Aires
Revisão: Andréa Marques Camargo
Editora Píni Lida,
Rua Anhaia, 964 - CEP 01130-900 - São Paulo - SP - Brasil
Fone: (011) 2173-2300 - Fax: {011) 2173-2427
www.piniweb.com - manuals@plni,com.br
1
» edição
1a tiragem; 2.000 exemplares, set/2GG8

Esta obra cuida do dimensionamento de peças de concre-
to estrutural submetidas a solicitações tangenciais: forças
cortantes e momento de torção.
Nelas, as solicitações tangenciais são resistidas por diago-
nais comprimidas de concreto e por armaduras transversa-
is tracionadas, e, no caso da torção, também por armadu-
ras longitudinais tracionadas, As diagonais comprimidas
de concreto usualmente devem atravessar regiões fissur-
adas por solicitações de flexão, çue diminuem de forma
aleatória a resistência do concreto à compressão. É por
essa razão que acidentes estruturais, envolvendo o co-
lapso de estruturas, quase sempre decorrem da ação de
solicitações tangenciais. Por esse motivo, a possibilidade
de ocorrência de estados limites últimos de solicitações
tangenciais somente deve existir depois da ocorrência de
estados limites últimos de solicitações normais, devidos a
escoamentos de armaduras (racionadas, os quais podem
provocar físsuração Suficientemente intensa para servir
de advertência da proximidade de possíveis situações de
eminência de colapso.
A resistência adequada aos esforços tangenciais depende
essencialmente de um correto detalhamento das armadu-
ras das peças estruturais. Este livro aborda a determinação
das quantidades de armaduras necessárias para essa re-
sistência, mas o seu adequado detalhamento não é aqui
discutido em minúcias, O estudo pormenorizado do deta-
lhamento das armaduras já foi, por nós, elaborado no livro
Técnica de Armar, também publicado pela Editora Pini,
Como já dizia Aristóteles em seu livro 'A Política", o
entendimento completo das coisas somente é obtido
pela compreensão do funcionamento da menor <íe suas
partes. Essa é a idéia central que deve orientar quem lida
com as estruturas das sociedades humanas, em todos os
seus sentidos.
PÉRICLES B R A S t L I E N S E F U S C O
Professor Titular da Escola Politécnica da
Universidade de S ã o Paulo
São Paulo
30/5/2008

1" PARTE - CONCEITOS BÁSICOS SOBRE C I S A L H A M E N T O
CAPÍTULO 1
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO EM REGIME ELÁSTICO 12
1.1 Condições de equilíbrio na flexão simples 12
1.2 Cisalhamento nas vigas de seção constante 14
1.3 Direção e sentido das tensões de cisalhamento 19
1.4 Cisalhamento em barras de seção variável 26
1.5 Tensões principais 29
1.6 Natureza simplificada da teoria 31
CAPÍTULO 2
FORÇAS CORTANTES REDUZIDAS 34
2.1 A resultante das tensões de cisalhamento 34
2.2 O conceito cie força cortante reduzida 39
2.3 Cisalhamento na flexão composta 42
24 Forças cortantes reduzidas nas peças de concreto armado... „„„„„„.47
2.5 Cisalhamento nas peças usuais de concreto armado 51
2.6 Forças cortantes reduzidas nas peças de concreto pretendido 54
2.7 Vigas protendides com cabos inclinados. 57
CAPÍTULO 3
ANÁLISE ESTRUTUAL - DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOUCITANTES -
EXEMPLOS 64
3.1 Critérios de classificação das ações ....64
3.2 Combinações de cálculo e critérios de segurança 68
3.3 Exemplo n° 1: Viga isostótíca de seçío constante em edifício de oficinas;
FlexSo simples devida a ações permanentes e ações variáveis de mesma
natureza, combinação última fundamental e combinação de serviço .71
3.4 Exemplo n° 2: Viga isostãtica de seçfio constante em edifício de oficinas;
Flexão simples devida a ações permanentes do grande voriabilidade c
duas ações variáveis de naturezas diferentes; Duas combinações últimas
fundamentais e duas combinações de serviço 74

3,5 Exemplo nü 3; Viga isostática de seçáo constante; Flexão simples devida
a ações permanentes de grande variabilidade e ações variáveis com
carregamento alternado , 77
3,6 Exemplo n°4: Viga isostãtica de seção constante; Flexão simples devida
a ações permanentes de grande variabilidade e ações variáveis móveis 80
3.7 Exemplo n°5: Viga Isostãtica de concreto armado de seção variável; Flexão
simples c composta; Combinação principal e combinação secundária 85
3.8 Exemplo nu6: Viga Ivperestãtica de seção constante; Flexão simples devida
a ações permanentes e ações variáveis com carregamento alternado;
Combinação principal e combinação secundária 9C
CAPÍTULO 4
VIGAS DE CONCRETO ARMADO 96
4.1 Modelo resistente de treliça 96
4.2 Transição do comportamento de viga para o de treliça 99
4.3 Modos de ruptura 102
4.4 Estados limites últimos de solicitações tangenciais 106
4.5 Principio funda mental de segurança em relação às solicitações tangenciais 108
4.6 Funcionamento de estribos perpendiculares ao eixo da peça .. 108
4.7 Funcionamento de estribos inclinados 112
4.8 Funcionamento de barras dobradas 113
CAPÍTULO 5
ANALOGIAS DE TRELIÇA 116
5.1 Analogia da treliça clássica 116
5.2 Treliça clássica com armadura vertical 120
5.3 Treliça clássica com armadura transversal inclinada 127
5.4 Analogia generalizada da treliça 133
5.5 Tensões na armadura transversal 135
5.6 Tensões nas bielas diagonais 138
5.7 Tensões na armadura longitudinal de flexão 139

CAPITULO 6
PEÇAS DE CONCRETO ARMADO COM ARMADURA DE CISALHAMENTO 142
6.1 Tensões na armadura transversal 142
6. 2 Redução da força cortante por inclinação do banzo comprimido, 144
6.3 Tensões nas bielas diagonais 146
6.4 Eficiência dos estribos inclinados 150
6.5 Influencia da taxa de armadura transversal sobre a compressão das bielas 151
6.6 Intervalo de variação da inclinação das bielas 153
6.7 Flexão local das barras da armadura longitudinal de flexão 15®
6.8 Cisalhamento junto a cargas concentradas 161
6.S Cisalhamento nas abas salientes,,....,, 16?
CAPÍTULO 7
PEÇAS SEM ARMADURA DE CISALHAMENTO 170
7.1 Ruptura de peças sem armadura de cisalhamento ..170
7.2 Mecanismos resistentes ao cisalhamento 174
7.3 Investigação experimental sobre a resistência na flexão simples.,, 180
7.4 Outras i nvestigações experimentais 191
7.5 Dispensa da armadura de cisalhamento,,... 194
7.6 Cisalhamento na flexo-tração .199
7.7 Cisalhamento na flexo-compressão 202
CAPÍTULO 8
PEÇAS DE CONCRETO PROTENDIDO 206
8.1 Interação dos cabos de pretensão com o concreto das peças estruturais 206
8.2 Fissuração das vigas de concreto protendido 210
8.3 Modos do ruptura e estudos limites últimos 214
8.4 Influencia da força normal longitudinal sobre o cisalhamento, 215
8.5 Redução da armadura transversal em função da força normal 222
8.6 Vigas com cabos Inclinados ........ 226

CAPÍTULO 9
REGRAS DE D1MENSIQNAMENTO . . 230
9.1 Lajes sem armadura de cisalhamento 230
9.2 Peças com armadura de cisalhamento . 232
» PARTE - C I S A L H A M E N T O N A TORÇÃO
CAPÍTULO 10
TORÇÃO DE SEÇÕES ABERTAS DE PAREDE DELGADA 246
10.1 Garras de seção circular 246
10.2 Analogia da membrana .„... . . . 249
10.3 Torção uniforme de seções retangulares delgadas 251
10.4 Torção uniforme de seções trapezoidais delgadas ,..,, 256
10.5 Seções abertas de parede delgada 256
10.6 Centro de cisalhamento de seções duplamente simétricas 260
10.7 Centro de cisalhamento de seções com uma única simetria 261
10.8 Exemplo importante 263
10.9 Centro de cisalhamento do seções abertas de forma qualquer 265
CAPÍTULO 11
TORÇÃO DE SEÇÕES FECHADAS DE PAREDE DELGADA 268
11.1 Tensões .. 268
11.2 Rigidez 272
11.3 Analogia da membrana 274
11.4 Centro de cisalhamento das barras de seção fechada.... 276
11.5 Exemplo 282
11.6 Seções parcialmente fechadas 287
11.7 Exemplo de seção parcialmente fechada 289
11.8 Seções multicelulares 290
11.9 Exemplo de seção multicelulsr., 293

CAPÍTULO 12
TORÇÃO EM PEÇAS DE CONCRETO ESTRUTURAL . 298
12.1 Torção em peças de concreto armado 298
12.2 Analogia da treliça espacial .,,.301
12.30 modelo de treliça espacial - .....303
12.4 Rigidez à torção 309
12.5 Torção de peças de concreto protendido 312
CAPÍTULO 13
TORÇÃO EM REGIME DE RUPTURA ,,,..314
13.1 Torção pura - 314
13.2 Tensões nas bielas diagonais .....317
13.3 Tensões na armadura transversal 320
13,4Tensões na armadura longitudinal 322
13.5 Torção composta .....324
13.6 Flexo-torção 326

Ia PARTE CONCEITOS BÁSICOS SOBRE CISALHAMENTO
CAPÍTULO 1
TENSÕES DE CISALHAMENTO EM REGIME ELÁSTICO
1.1 Condições de equilíbrio na flexão simples
Considere-se uma barra submetida a cargas transversais de intensidade p
variável ao longo de seu comprimento. Nela existem momentos fletores M e
forças cortantes V Fig. (1.1 -a).
O equilíbrio de um elemento de viga, de comprimento infínitesima! dx, Fig.
(1.1-b), deve obedecer às seguintes condições:
dx (1.1-1)
dx (1.1-2)
E
S
T
R
U
T
U
R
A
S W C
O
U
C
R
E
T
O

donde
dl
M dV
dx dx (1.1-3)
t t t t
M
V
M + dM
V + dV
dx
Condições tio equilíbrio
Figura (J, J-b)
Note-se que essas equações foram escritas com as convenções clássicas de
sinais da Resistência dos Materiais, ou seja, os momentos fletores sâo posi-
tivos quando produzem tração nas fibras inferiores, as forças cortantes são
positivas quando, em duas seções adjacentes, formam um binário horário, e
as cargas são positivas quando atuam de cima para baixo.
A equação (1.1-1) exprime a condição de equilíbrio de momentos e a equação
(1.1-2) a condição de equilíbrio de forças transversais ao eixo da barra.
Observe-se que não se cogitou do equilíbrio de forças axiais, pois como não
existe força normal, em qualquer seção transversal, há sempre a condição
já dA = 0 (1.1-4)

em que A é a área da seção transversal da barra. Note-se, também, que não
foi feita qualquer restrição quanto à forma da seção transversal, não impor-
tando se a seção transversal da barra varia ao longo de seu comprimento,
pois o equilíbrio de tensões normais se dá dentro de cada seção transversal,
como mostra a expressão (1.1-4).
De fato, como é mostrado na Fig. (1.1 -c), sendo r a resultante das tensões
de compressão e Rj(} das de tração que atuam em uma mesma seção trans-
versal, cada uma delas de um dos lados da linha neutra, tem-se
R
c0 +
e, analogamente, na seção de abscissa x+dx ,
(RCQ+dRco ) + (Rto +dR (Q.) = 0
estando sempre assegurado o equilíbrio de forças paralelas ao eixo da barra.
crc+ dac
i >
-, dx
Rco Rco ^ d^o C
6
L —
Rlo+dRt*)
N
dx
Condições ele equilíbrio
Figura {). 1-cj
1.2 Cisalhamento nas vigas de seção constante
Considere-se agora não mais o elemento completo de viga, mas apenas tre-
chos definidos por seções longitudinais de ordenada y, Fig. (1.2-a).

Nesse caso, o equilíbrio de cada um dos trechos parciais do elemento de
comprimento dx somente subsistirá com a presença de tensões tangenciais
nas faces de corte longitudinal do elemento.
Vigas da Soçáo Constante
Figuro (1,2-o)
Tomando-se em valor absoluto as resultantes das tensões normais, o equilíbrio
longitudinal de cada seção transversal completa, considerada isoladamente, im-
põe necessariamente as condições
Subdividindo o elemento pela seção longitudinal de ordenaday, em face das
expressões acima, a força dVy pode ser determinada considerando-se indife-
rentemente o equilíbrio do trecho superior ou o do trecho inferior resultante
dessa subdivisão.
Desse modo, pode-se escrever a condição de equilíbrio como
«/k, = <//?,
onde Í!R{ a d | aihi
Ay

sendo Ar a área da parte da seção transversal delimitada pela seção longitu-
dinal considerada, resultando
(IV =cí f <TíIA
*
Desse modo, admitindo que seja constante a tensão de cisalhamento ao lon-
go da seção longitudinal de corte, Fig, (1.2-b), tem-se
dV =xbcíx
X
logo
I d
i =
b dx
- jatíA (12-1)
Cisalhamento no piitno longitudinal de corte
Figura (12-b)
A validade da equação (1,2-1) exige que, no plano longitudinal, a tensão x
possa ser admitida como constante ao longo da largura b, mas não se faz
qualquer restrição quanto à eventual variação de x ao longo de dx pois, se

ela existir, sua resultante será um irrfinitésimo de ordem superior, sendo, por-
tanto, desprezável.
A possibilidade de admitir a tensão t como constante ao longo da largura h
depende da forma da seção transversal.
De fato, em virtude do equilíbrio, são iguais entre si os módulos das compo-
nentes de cisalhamento T e r„„ que agem perpendicularmente à aresta
comum dos dois planos ortogonais, Fig, (1,2-b),
Desse modo, para que xyx seja constante ao longo de b no plano longitudi-
nal, t^ deverá ser constante ao longo de b no plano da seção transversal.
As seções transversais para as quais esta hipótese é plausível, são analisa-
das adiante.
De qualquer maneira, aceitando-se que i seja constante ao longo de b e que
não haja força normal na seção transversal, de [1,2-1], considerando o caso
de flexão normal, resulta
1 d cM I d (M
t = —y-dA = — - —-5,
bdx j I ' bdx{ I y
)
onde / é o momento de inércia da seção transversal e
Sy = | ydA
o momento estático, em relação à linha neutra, da qualquer uma das duas
áreas Ay correspondentes á parte da seção transversal situada de um dos la-
dos do plano longitudinal de corte, pois como a linha neutra é baricêntrica na
flexão simples, são iguais os módulos dos momentos estáticos dessas duas
áreas parciais. Deste modo, tem-se
/
l
sy d (SY
f dx 1 /
(1.2-2)

No caso em que as seções transversais tenham Sy // constante ao longo do eixo
da barra, resulta
(1,2-3)
hl
Em uma dada seção transversal, Ve / são constantes, variando as tensões r
proporcionalmente a Sy/h. INIos trechos em que a largura b for constante, a
variação da tensão será proporcional a Sy . Na Fig. (1,2-c) são mostradas as
variações de tensões de cisalhamento em uma seção retangular e na alma de
uma seção duplo T.
Note-se que por meio dessa teoria não é possível determinar as tensões de
cisalhamento paralelas à força cortante nas abas da seção duplo T.
Ao longo da alma da seção duplo T pode-se admitir a tensão de cisalhamento
T constante ao longo de b, mas isso não é possível ao longo das abas. Ao
longo dos trechos AB e CD das mesas da seção duploT, a condição de contor-
no imposta pelas bordas livres torna nula as tensões perpendiculares a essa
borda. Todavia, nos trechos BC de ligação das mesas com a alma, a tensão de
cisalhamento é obrigatoriamente não nula, para garantir o equilíbrio longitudi-
nal das próprias mesas sob a ação de momentos fletores que variam ao longo
do eixo da barra. Não há, portanto, motivo para que a tensão de cisalhamento

paralela à força cortante seja constante ao longo de fibras EF e da espessura
das abas, Todavia, como essa tensão de cisalhamento ao longo da espessura
das abas parte de zero em uma borda e também deve ser nula na outra borda,
admite-se que ela possa ser considerada nula ao longo de toda a espessura
da aba.
De modo geral, nas seções transversais usuais, a máxima tensão de cisalha-
mento ocorre na fibra que contém o seu centro de gravidade, pois é aí que
usualmente a função Sy/b assume seu valor máximo. Como exceção impor-
tante, tem-se a seção triangular, cujo máximo da função Sy/b ocorre à meia
altura da seção.
Chamando de r„ a tensão de cisalhamento na fibra da linha neutra, onde
y = 0, tem-se
JL
~ v ~ V (1
-2
-4
>
sendo
Z~SÜ (1.2-5)
Em resumo, as expressões (1.2-3) e (1.2-4) permitem o cálculo do módulo da
tensão de cisalhamento nas seções transversais em que é possível admitir x
constante ao longo da largura h da fibra considerada.
1.3 Direção e sentido das tensões de cisalhamento
Quaisquer que sejam os esforços que atuam em uma peça estrutural, na
periferia de uma seção plana perpendicular à superfície externa da peça, a
tensão de cisalhamento será obrigatoriamente tangente a seu contorno. De
fato, admitindo-se que na superfície lateral da peça sejam nulas todas as
tensões, também será nula a componente de cisalhamento perpendicular
ao contorno da seção transversal, Fig. (1.3-a). Então, na seção transversal, a
componente de cisalhamento perpendicular ao contorno também será obri-
gatoriamente nula, fazendo que na seção transversal possa subsistir apenas
a componente de cisalhamento tangente ao contorno.
mm
1 9

Cisalhamento na periferia
da saçãa transversal
Figura fI.3-«)
Na maior parte dos casos, essa condição de contorno permite a determinação
da direção das tensões de cisalhamento devidas às forças cortantes,
Na Fig, (1.3-b) está mostrada a distribuição das tensões de cisalhamento
em diferentes seções transversais submetidas a forças cortantes paralelas
ao eixo Y.
Nas seções transversais formadas por elementos delgados, Fig, (1.3-b; I - III
- V), as tensões de cisalhamento têm a direção da linha média do perfil, A
pequena espessura dos elementos também justifica a hipótese de que T seja
constante ao longo da espessura b, medida sempre na perpendicular à linha
média do elemento,
No cruzamento dos elementos delgados que compõem a seção transversal,
essa teoria elementar não permite uma análise rigorosa do andamento das
tensões de cisalhamento, embora permita o entendimento qualitativo adian-
te apresentado.
Nas seções retangulares, Fig. (1.3-b; II), a mesma hipótese simplificadora an-
terior pode ser aceita, desde que a largura b não seja significativamente maior
que a altura da seção.

Figura (1,3 b)
Mas seções circulares, Fig. (1,3-b; IV), as tensões x náo podem ser constantes
ao longo da largura b, pois elas necessariamente terão direções diferentes
nas duas extremidades de b, No entanto, admitindo que a componente para-
lela a Y seja constante, a expressão (1.2-3} pode ser empregada para o cálculo
dessa componente.
Sempre que em uma seção x não for constante ao longo de b, a expressão
(1.2-3} fornecerá um simples valor médio aproximado.
Observe-se que para o cálculo das tensões de cisalhamento existe apenas
uma equação de equilíbrio, podendo, então, existir somente uma incóg-
nita, Desse modo, com um único corte longitudinal, a seção transversal
deverá ficar dividida em duas partes inteiramente separadas.

Note-se que essa condição não ocorre na seção celular da Fig. {1.3-b; V),
No caso da seção celular simétrica, com o carregamento contido no plano
longitudinal de simetria, o cisalhamento no eixo de simetria, por simetria, é
necessariamente nulo. Isso permite tratar a seção celular como se ela fosse
aberta no eixo de simetria.
No caso da seção não ser simétrica, o problema é hiperestátíco e, em princí-
pio, isso acarreta o aparecimento de esforços de torção combinados com os
de força cortante.
Note-se, finalmente, que o sentido das tensões de cisalhamento não é deter-
minado pela expressão (1.2-3). Para determinar esse sentido, deve-se consi-
derar o andamento do diagrama de momentos fletores, conforme é mostrado
no exemplo da Fig. (1.3-c).
Sontkfo tios tonsíos tio çi&alhamanto
figuro (?,3-c)

Um exemplo mais complexo está mostrado na Fig, {1,3-d}. Observe-se que
nesse caso há uma inversão do sentido das tensões de cisalhamento ao longo
das abas salientes, Nos pontos B, que delimitam os trechos AB que têm seus
centros de gravidade G1 na mesma altura que o centro de gravidade G da se-
ção completa, a tensão de cisalhamento é obrigatoriamente nula, por ser nulo
o momento estático Sy a eles correspondentes.
Figura fl.S-d)
É importante assinalar que em seções delgadas, como o duplo T ou a seção
celular, Fig. {1,3-b ; III - V), de fato existem tensões de cisalhamento paralelas
à força cortante perpendicularmente à linha média dos elementos delgados.
Nesses elementos, as tensões perpendiculares à linha média das abas são
sempre de pequena intensidade, pois elas partem de zero em uma borda e
chegam a zero na outra borda, como conseqüência de serem nulas as ten-
sões na superfície externa da barra, como se mostra na Fig.(1.3-e), Por esse
motivo, essas tensões são sempre desprezadas, considerando-se apenas as
componentes paralelas à linha média do perfil.

Tgnsôos porpendtcularos è tinha média do perfil
Figura (1.3-o)
A fim de analisar o andamento das tensões de cisalhamento na região de cru-
zamento de elementos delgados, considere-se o trecho de ligação da alma de
um perfil T com a mesa de tração. Na Fig. (1.3-f) estão mostradas as tensões
de cisalhamento que atuam ao longo dos diferentes planos longitudinais res-
ponsáveis pela ligação da alma à mesa.

As tensões xx, que atuam na alma provocam a distorção, Fig. (1.3-g).
Ao longo do trecho de cruzamento da alma do perfil com a sua mesa de tra-
ção ou de compressão, essa distorção tende a zero, pois, no cruzamento da
alma com as faces externas da mesa, a tensão ti : é obrigatoriamente nular
em virtude de ser nula a tensão na própria superfície livre, Fig. (1.3-g),
Desse modo, a tensão de cisalhamento x„: vai- se anulando ao longo do cru-
zamento da alma com a mesa de compressão, como mostrado na Fig. (1.3-h).
Verifica-se então que as tensões t;í atuantes no plano longitudinal de corte
da alma são equilibradas pelas tensões t,, que agem nos dois planos longi-
tudinais de corte das abas da mesa.
Note-se que a composição vetorial das tensões zx. e tvv mostradas na Fig.
(1,3-h) faz com que o fluxo de tensões da alma sofra uma rotação ao ser trans-
ferido para as abas da mesa, como mostrado nas figuras anteriores. A análise
desse fluxo de tensões mostra a importância do arredondamento dos cantos
reintrantes das estruturas metálicas e das correspondentes mísulas das estru-
turas de concreto,
Md
25

Figura f! ,3-g)
t 1 £
t 122
"^xz
Figura (1,3-ty
1.4 Cisalhamento em barras de seção variável
Para a determinação das tensões de cisalhamento nas seções transversais
das barras de seção variável, em lugar da equação (1,2-3} deve ser emprega-
da a expressão geral (1,2-2), pois nesse caso Syjl varia em função de x ,

Como em geral a tensão de cisalhamento é máxima na fibra que contém o
centro de gravidade da seção, no caso de barras de seção variável, usualmen-
te são estudadas apenas as tensões x9 nessa fibra. Desse modo, de (1.2-2)
tem-se
T b A / — f —
0 0
I dx[l ,
logo
Como usualmente o braço de alavanca z é proporcional à altura h variável da
seção, admite-se que seja
donde
ou seja
Z=Qt
_V_ A / j / f O V__M_ I dh
CA
~z +
C ttc[h) z C, fr dx
I (y_M_dh^
h dx j
baz
(1.4-1)
V,
Viges do altura variável
Figura ít^-oj

Considerando barras com variação suave da seção transversal, Fig, (1.4-a),
tem-se
— =—L + — - 3 tany, + tan = tan (V, + lan^
dx dx dx
logo
1 („M.
Desse modo, tudo se passa como se continuasse válida a expressão (1.2-4), atu-
ando porém na seção transversal uma força cortante reduzida Vntl dada por
(1.4-2)
(1.4-3)
sendo então
t 0 = ^ L (1.4-4)
I
M
a passagem das expressões (1.4-1) para (1.4-2), foi acrescentado o duplo sinal
porque nelas há várias convenções de sinais que precisam ser compatibilizadas.
Para a escolha do sinal a ser empregado nas expressões anteriores, podem
ser feitos os seguintes raciocínios, Fig. (1.4-b).
Influência do variação da seção
Figura (J.4-Ò)

Quando a barra tem braço de alavanca z - constante, a força AH deve equi-
librar a componente AR correspondente à variação do momento fletor no
trecho de comprimento Ax.
No caso de vigas com z variável, mesmo que no trecho Avatue um mo-
mento fletor constante M , sendo , será Rtl * Rc2, surgindo assim
uma componente AH{, embora V = dMjdx = 0.
Combinando-se os dois raciocínios anteriores, conclui-se que quando |/kf| e
h crescem no mesmo sentido, a força AH decorrente da existência da força
cortante fica reduzida pela parcela AHt devida à variação da seção transver*
sal, Fig. (1.4-b).
Dessas observações decorre a regra pela qual, na expressão {1.4-3) que de-
termina o valor da força cortante reduzida Vrft!, é tomado o sinal menos {-)
quando M e h crescem no mesmo sentido, e o sinal mais {+) quando cres-
cem em sentidos opostos.
1.5 Tensões principais
Nas peças estruturais, as superfícies externas em geral são superfícies isentas
de tensões. Desse modo, os estados múltiplos de tensões que apresentam
maior interesse são estados triplos com um plano de tensão nula, pois em
geral os pontos mais solicitados situam-se junto à periferia das seções trans-
versais. Nesse caso, basta estudar as tensões que agem nos planos perpendi-
culares ao plano de tensão nula.
Conhecidas as tensões nas faces de referência de um elemento da barra, Fig.
(1.5-a), as tensões principais e as direções dos planos principais podem ser
determinadas pelas expressões seguintes, em que a é a inclinação da ten-
são principal menor em relação ao eixo na direção ao qual atua a tensão
designada por av . Nessa figura também é mostrada a determinação das ten-
sões e das direções principais por meio do círculo de Mohr, no caso particular
corrente em que <rh
. = 0.

tan a
a^-cr, CJ, - Cl
tá h
Na verificação da segurança das estruturas de concreto, de modo geral, são
impostas limitações às máximas tensões de tração e às máximas tensões de
compressão. Para evitar ambigüidades, essas tensões são consideradas em
valor absoluto, indicando-se a maior tensão de tração por a J ( e a maior ten-
são de compressão por <s„ .
Os valores característicos dessas tensões serão indicados por vn e <sjfk, e os
valores de cálculo por Gjd e a„(í, respectivamente.
Estados múltiplas da tvnsóas
Figura (!.5-i>)

Na Fig. (1,5-b) estão indicadas as tensões principais ao longo da altura da
seção transversal de uma viga de seção retangular, de material elástico, sub-
metida à flexão simples.
Nesse caso, na linha neutra existe um estado de cisalhamento simples, com a
inclinação çt = 4S da tensão principal de compressão nlf em relação ao eixo
longitudinal da peça.
Além disso, na linha neutra, A, = T5, e também O^ = TFL.
T
E
N
S
Õ
E
S P
f
l
l
N
C
I
P
f
l
l
S T
E
N
S
A
S P
R
I
N
C
I
P
A
I
S
Distribuição dos tansàos principais
Figuro (f,5b)
Guando a peça também for submetida a forças normais de compressão, as
tensões principais no centro de gravidade da seção ficarão alteradas, conforme
foi mostrado na Fig. (1.5-a), Observe-se que com isso haverá uma redução da
tensão principal e a tensão principal terá uma inclinação et <45 .
1.6 Natureza simplificada da teoria
E importante salientar que as equações aqui deduzidas para a determinação
das tensões de cisalhamento decorrem de uma teoria aproximada, cujos re-
sultados são influenciados pelas hipóteses simplificadoras adotadas,
Essas teorias não podem, portanto, ser aplicadas sem tais ressalvas.
Como exemplo das limitações dessa teoria, existe o paradoxo de que a distri-
buição das tensões de cisalhamento foi obtida a partir da hipótese adotada na

teoria de flexão, de que seja mantida a forma plana da seção transversal da
barra, e o seu resultado diz que a seção transversal deixa de ser plana.
De fato, na expressão (1.2-1) para o cálculo das tensões de cisalhamento in-
troduziu-se a expressão da tensão normal decorrente da teoria de flexão, que
adota a hipótese da manutenção da seção plana, corno está explicitado na
equação (1.2-2).
Analisando a distribuição de tensões de cisalhamento t = VSÍbl calculadas ao
longo da altura de uma seção transversal retangular, Fig. (1.6-a}, verifica-se que
em virtude das distorções y-jG seguirem necessariamente um andamento
análogo ao dessas tensões, haverá uma distorção máxima no centro de gravi-
dade da seção e distorções nulas em suas extremidades.
r-VS v - i
~bj G A
X q>=IA<p.
T
0
/ /
" r
i
i
i
i
i
1
n, '
• -X.
itp = IAíJ}j
/
f
/
/
i
i
i X
fp = 1 Aifh,
Do/ormsçáo da scçáo transversa) dovida ò íorçn cortanto
Figura (t.6-o)
Desse modo, tendo em vista a compatibilizaçào das distorções ao longo da
altura da seção transversal, essa seção, originalmente plana, sob a influência
da força cortante, necessariamente deixa de ser plana.

CAPÍTULO 2
Forças cortantes reduzidas
2.1 A resultante das tensões de cisalhamento
Ma flexão simples, a tensão de cisalhamento nas vigas de seção constante é dada
pela expressão
ys
X= JF
em que V é a força cortante, I é o momento de inércia da seção transversal em
relação à linha neutra, b é largura da fibra por meio do qual calcula-se a tensão
e S é o momento estático, calculado sempre em relação à linha neutra, da parte
da seção situada de um dos lados da fibra na qual é calculada a tensão t,
Mote-se que não importa qual dos dois lados da seção é considerado para
o cálculo do momento estático S, pois para ambos é obtido o mesmo valor
absoluto, uma vez que é nulo o momento estático da totalidade da seção
transversal em relação a um eixo baricêntrico,
Quando a largura b for variável ao longo da altura da seção, a tensão calcula-
da pela expressão anterior corresponderá ao valor médio da componente de
cisalhamento atuante paralelamente à força cortante.
Considere-se agora a demonstração de que a resultante das tensões de cisalha-
mento calculadas pela expressão anterior é igual à força cortante aplicada.
Note-se que o resultado não é óbvio, pois as tensões de cisalhamento foram
calculadas a partir da variação das tensões normais atuantes na seção trans-
versal, e não a partir de hipóteses formuladas diretamente a partir da própria
força cortante.

Em principio, Ffg. (2.1-a), a resultante das tensões t paralelas a V vale
(2.1-1)
em que o momento estático S(y) é função da ordenada y que define a fibra por
meio da qual se calcula i ,
fíosvftanto das lonsúos do cisalhamento
Figura (5. J-o)
C
5
T
H
U
T
U
n
A
S D
C C
O
N
C
R
E
T
O

Integrando a expressão anterior por partes, obtém-se
ou seja
s(y)dy~-)yds(y)
yi >1
uma vez que são nulos os momentos estáticos S ) e correspon-
dentes à totalidade da seção transversal em relação à linha neutra, temos
como resultado
>
•
• (2,1-2)
Por outro lado, sendo r uma variável muda de integração, o momento estáti-
co vale
S(y)= jbz-dz
ou seja
V >
1
$ (y ) = - Jfe • d" + J/>Z • dz

A segunda integral da expressão anterior representa o momento estático
da parte da seção que fica de um lado do eixo baricêntrico Gx, sendo
portanto um valor constante, possível de se escrever a expressão anterior
sob a forma
A expressão do diferencial dS(y) a ser introduzido na integral da equação
(2,1-2), que é definida por
pode então ser escrita sob a forma
íty
>
-jbz-dz + Sq dv
Desse modo, sendo Su um valor constante, tem-se
dS(y) = -[bzl-dy = -bydy
Substituindo (2.1-3] em (2.1-2), obtém-se
(2.1-3)
s(y)dy = -y(-by)dy
resultando, finalmente,
S(y)dy=]byl
dy = I
(2.1-4)

Essa expressão, substituída em (2.1-1), prova que
(2.1-5)
Mo caso de vigas de seção variável, de acordo com (1.2-2), as tensões de ci-
salhamento são dadas por
, « 4
vsv d
I dx
( c
t
e sua resultante, pelo que já foi visto, vale
x(y)bdy = V+ fM J-f ^ dy
Como M e I são valores globais da seção transversal genérica, tem-se
A Vj V
dy
Por outro lado, de
'r d
f c-
f - ^ 4> =
M ' J
dx
7
integrando-se por partes, conforme (2.1-4), obtém-se
S?<*y = [ s M - S ( y 2 ) y y - d S y = I

ou seja, resulta
1
dA !
J y - M l . I
* d x I
s O
concluindo-se que em qualquer caso
R(t)mV
2.2 O conceito de força cortante reduzida
O conceito de força cortante reduzida foi introduzido pela primeira vez por meio
das expressões (1.4-2) e (1.4-3), pelas quais, no centro de gravidade das seções
transversais das vigas de altura variável, atuam as tensões t0 dadas por
1 í,v M.
Surge, então, a idéia de uma força cortante fictícia, expressa por
r, M
chamada de força cortante reduzida. Por simplicidade de notação, sempre
que for conveniente, a força cortante reduzida será indicada por Vr.
O conceito de força cortante reduzida fica mais claro quando a peça estrutural
é estudada à luz de um modelo de treliça e não mais como viga de alma cheia.
Nesse caso, a red ução da força cortante corresponde à parcela de cisalha mento
que é transmitida petos banzos de flexão da peça, e a viga não mais tr