Este documento explica cómo se designan las direcciones y planos dentro de una red cristalina cúbica utilizando los índices de Miller. Define los índices de dirección como las componentes vectoriales de una dirección reducidas a los enteros más pequeños posibles, representados como [h k l]. Para los planos, los índices de Miller se obtienen tomando los inversos de las intersecciones del plano con los ejes de la red y reduciéndolos a tres números enteros con la misma relación, representados como (h k l). Proporciona

1. Direcciones en Celdas Unidad Cubicas
Introducción
Smith, 1993
La necesidad de referirnos a posiciones especificas
en las redes cristalinas es especialmente importante
para metales y aleaciones con propiedades que varían
debido a la orientación cristalográfica (p.84)
En los cristales cúbicos los índices de las direcciones
cristalográficas son las componentes vectoriales de las
direcciones resueltos a lo largo de cada eje coordenado y
reducidos a los enteros más pequeños
Remitirse a ver el video cuyo link es el siguiente
https://www.youtube.com/watch?v=tV-WWGSJv7k

2. Es interesante designar direcciones o planos dentro de un
cristal, porque muchas de las propiedades de los materiales
cristalinos dependen del plano o dirección que se considere.
Para ello se emplea la notación denominada Índices de Miller.
Tal como se procede habitualmente en el análisis vectorial, las
componentes de cualquier vector pueden conocerse restando
las coordenadas de los puntos final e inicial. Si P1=(u1, v1, w1)
es el punto inicial y el punto final es P2 = (u2,v2,w2), el vector
que va de P1 a P2 se calcula como: (Metalurgia e Ingeniería de
los Materiales, Universidad de Sevilla 2013)
P1P2 = P2-P1 = (u2-u1, v2-
v1,w2-w1)
Los índices de Miller de la dirección del vector P1P2 son los
componentes de P1P2 , pero reducidos a los enteros más
pequeños posibles: h, k y l. La dirección se representaría
como [h k l ] . Nótese que los números no van separados por
comas y que los paréntesis se han sustituido por corchetes. Si
un número es negativo, por ejemplo, -2, se representa como 2.

3. Las siguientes figuras muestran ejemplos de
direcciones en celdillas cúbicas.

4. Planos cristalográficos
Un plano queda perfectamente determinado con tres puntos que
no sean colineales. Si cada punto está sobre un eje cristalino
diferente, el plano puede especificarse dando las coordenadas de
los puntos en función de las longitudes reticulares a, b y c. Sin
embargo, resulta de mayor utilidad especificar la orientación de
un plano mediante los índices determinados por las
siguientes reglas:
1. Se encuentran las intersecciones con los ejes en función de
las constantes de la red. Si el plano no corta a un eje, porque es
paralelo a él, la intersección se toma como ∞.
2. Se toman los inversos de estos números, y luego se reducen a
tres números enteros que tengan la misma relación, normalmente
los números enteros más pequeños posibles (La reducción no se
realiza cuando queremos referirnos a un plano concreto, y no a
un conjunto de planos paralelos entre sí. Por ejemplo, aun cuando

5. Los tres números resultantes, encerrados entre paréntesis, esto
es (h k l) , representan al plano.
Por ejemplo, si las intersecciones son 1, 4 y 2, los inversos serán
1/1, 1/4 y 1/2; los números enteros más pequeños que poseen la
misma relación son 4, 1 y 2. Así que el plano se designará como (4
1 2). A continuación se muestran los índices de algunos planos en
una celdilla cúbica.

6. Ejercicios Planos
Cristalográficos
(100) (110) (210)
(-100) (111) (211)
Fig. 1 Fig. 2
Fig. 4
Fig. 5
Fig. 3
Fig. 6