axiomas

1. Los Números Reales
El sistema de los números reales R es más que tan solo un conjunto de elementos. Es un
conjunto en el que hay dos operaciones y una relación que satifacen los axiomas dados
anteriormente. Una operación es complemente diferente de una relación. La operación de
adición asocia con cualesquiera dos elementos a y b de R un elemento único de R al que
llamamos a + b. Análogamente, la operación de multiplicación asocia con cualesquiera dos
elementos a y b de R un elemento único de R al que llamamos ab y a•b. Por otra parte, a < b no
es un elemento de R sino una proposición acerca de los elementos a y b.
Los axiomas A1 al A5 se refiere a la adición y que los M1 al M5 son proposiciones análogas
acerca de la multiplicación. A1 y M1 se les llaman leyes d estabilidad de la adición y la
multiplicación, A2 y M2 se llaman leyes conmutativas. A3 y M3 son leyes asociativas. A4 y M4
anuncian la existencia de un elemento neutro único para cada operación y que estos elementos
neutros son distintos uno al otro. Al elemento neutro para la adición se le llama “cero” y al
neutro para la multiplicación, “uno”. A5 enuncia que todo elemento de R tiene un inverso
aditivo y M5 enuncia que todo elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo.
El axioma D establece una conexión entre las operaciones de adición y de multiplicación y se
llama ley distributiva. Los axiomas O1 y O2 se refieren a la relación de orden. A O2 se le llama
propiedad transitiva. Los axiomas O3 y O4 conectan la relación de orden con las operaciones de
adición y multiplicación.
El axioma L no esta enunciado explícitamente y solo aparece en la lista para indicar que se
necesita otro axioma para completar el conjunto de axiomas. La relación “a=b” significa “a es
el mismo elemento que el elemento b”. Dicho en otra forma, “a=b” significa que se están
usando dos símbolos diferentes para representar el mismo elemento.
El axioma A1 nos dice que podemos sumar dos números reales cualesquiera y que su suma es un
número real. Es posible sumar los tres números reales a, b y c sumando primero a y b y luego
añadiendo c a la suma así obtenida. Se denota por (a + b)+ c. También podemos añadir a a la
suma de b y c: a + (b + c). Como estas dos sumas son iguales según A3, podemos prescindir los
paréntesis y escribir simplemente a + b + c.
Si consideramos que el entero positivo 1 es el numero real 1 postulado en M4 y que 2 es 1 + 1,
entonces 2 es un número real por A1; 3 es el numero real 2 + 1. En esta forma vemos que
cualquier entero positivo n es un número real. Identificando el entero 0 con el número real 0
postulado en A4 concluimos que n es un número real, según A5. Así pues, los enteros son
números reales.
La correspondencia entre números reales y puntos de una recta puede usarse para dar una
interpretación geométrica de la relación de orden entre números reales. La relación a < b
significa que sobre una recta numérica el punto A corresponde al numero a se encuentra a la
izquierda del punto B correspondiente al número b. El axioma O1 nos dice que para cualesquier
números reales a y b con A y B como puntos correspondientes, o A está a la izquierda de B, o
B esta a la izquierda de A, o A es el mismo que B. El axioma O2 se corresponde con el hecho
geométrico de que si A esta a la izquierda de B y B esta a la izquierda de C, entonces A esta a la
izquierda de C.
A B C
a b c
Usando los axiomas, probaremos ahora algunas propiedades del sistema de los números reales.
Loos únicos axiomas necesarios en esta sección y la próxima son los que van desde A hasta D.
Herbert Daniel Marín Carcaño Ing. Mecatronica. 1F2A