Integrales de Múltiples Variables

1. Consigna: Plantear la integral que permite calcular el
volumen del sólido cerrado por…
𝑧 = 4 − 𝑦2
𝑦 𝑧 = 3𝑥2
+ 𝑦2

2. Extremos de Integración de Y
• Intersección entre las dos superficies:
4 − 𝑦2
= 3𝑥2
+ 𝑦2
2𝑦2
= 4 − 3𝑥2
𝑦 = + 2 −
3
2
𝑥2 ∨ 𝑦 = − 2 −
3
2
𝑥2

3. Extremos de Integración de X
• Reemplazar la variable y por cero:
𝑦 = + 2 −
3
2
𝑥2
0 = + 2 −
3
2
𝑥2
+
2
3
3 = 𝑥
𝑦 = − 2 −
3
2
𝑥2
0 = − 2 −
3
2
𝑥2
−
2
3
3 = 𝑥
∨

4. Extremos de Integración de Z
• Analizar techo y piso gráficamente:
Si trazamos un rayo desde el origen podemos interpretar que función
cumplirá el rol de piso y cual de techo en los extremos de integración

5. Extremos de Integración
• Resumen:
Obtuvimos los extremos de integración que serían…
−
2
3
3 ≤ 𝑥 ≤ +
2
3
3; − 2 −
3
2
𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ + 2 −
3
2
𝑥2; 3𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 4 − 𝑦2

6. Volumen
• Para poder calcular el volumen, debemos interpretar a 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1:
𝑉 =
−
2
3 3
2
3 3
− 2−
3
2𝑥2
2−
3
2𝑥2
3𝑥2+𝑦2
4−𝑦2
𝑑z 𝑑y 𝑑x