educatie

1. Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare
BACALAUREAT 2010 - barem de corectare şi de notare Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică.
Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.
1
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2010
Proba E c)
Probă scrisă la MATEMATICĂ Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică.
Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.
BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE
♦ Pentru orice soluŃie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
♦ Nu se acordă fracŃiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parŃiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
♦ Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărŃirea punctajului obŃinut la 10.
SUBIECTUL I 30 de puncte
1.
( )( )( ) ( )
4 4
1 1 2i i i− − = =
16=
3p
2p
2.
( )
3
ln
3
x
f x
x
+
− = =
−
1
3 3
ln ln
3 3
−
− − 
= = − = 
+ + 
x x
x x
( )= − f x
2p
2p
1p
3. ( )( )2
2 8 2 4x x x x+ − = − +
( )4,2x∈ −
( ) { }4;2 3, 2, 1,0,1− ∩ = − − −ℤ
2p
1p
2p
4. 25 de numere sunt divizibile cu 4
20 de numere sunt divizibile cu 5
5 numere sunt divizibile cu 4 şi cu 5
Deci 40 de numere sunt divizibile cu 4 sau cu 5
1p
1p
1p
2p
5. Fie ( ),Q a b . Avem ( ) ( )1 2 şi 2 3MQ a i b j NP i j= − + + = +
MNPQ este paralelogram 1 2 şi 2 3MQ NP a b⇔ = ⇔ − = + =
Punctul căutat este ( )3, 1Q
2p
2p
1p
6. 2 14ABCA =
4 14
5
AD =
3p
2p
SUBIECTUL II 30 de puncte
1.a) det( ) 0A =
1 2
7
3 1
−
= (sau orice alt minor de ordinul 2 nenul), deci rangul matricei A este 2
3p
2p
b) Minorul caracteristic este nul, deci sistemul este compatibil nedeterminat
De exemplu, luând = αz necunoscută secundară se obŃine 2 3, 31 3 ,= α − = − α = αx y z
2p
3p
c) 2 3 0, 31 3 0, 0x y z= α − ≥ = − α ≥ = α ≥ ⇒
3 31
2 3
≤ α ≤
{ }2,3,4,...,10α∈
Sunt 9 soluŃii în × ×ℕ ℕ ℕ
1p
2p
1p
1p
2.a) 5,a b∈ℤ şi card 5 5=ℤ
Deci mulŃimea A are 25 de elemente
2p
3p

2. Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare
BACALAUREAT 2010 - barem de corectare şi de notare Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică.
Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.
2
b) ˆ3 1 3 3
ˆ1 3 3 3
a b a b b a
b a a b b a
   − + 
 ⋅ =      − − − − − +   
ɵ ɵ ɵ
ɵ ɵ ɵ
ˆ ˆ3 3 0 0
ˆ ˆ0 03 3
a b b a
a b b a
   − +
  =  
  − − − +   
ɵ ɵ
ɵ ɵ
dacă 3a b=ɵ şi 3b a= −ɵ
Un exemplu:
1 3
3 1
M
 
=  
 − 
ɵ ɵ
ɵ ɵ
2p
1p
2p
c)
Dacă
x y
X
y x
 
=  
− 
atunci
2 2
2
2 2 2
ˆ ˆ ˆ2 1 0
ˆ ˆˆ 0 12
x y xy
X I
xy x y
   −
 = ⇔ = ⇔ 
  − −   
2 2 ˆ1x y− = şi ˆ0xy =
Dacă ɵ ɵ
{ }2ˆ0 4 2;3x y y= ⇒ = ⇒ ∈ ɵ ; dacă ɵ
{ }2ˆ ˆ ˆ0 1 1;4y x x= ⇒ = ⇒ ∈
ObŃinem matricele
ɵ
ɵ
ɵ
ɵ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 2 0 3 1 0 4 0
, , ,
ˆ ˆˆ ˆ ˆ0 12 0 3 0 0 4
      
      
      − −       
ɵ
ɵ
1p
2p
2p
SUBIECTUL III 30 de puncte
1.a)
lim ( )
4x
f x
→∞
π
=
Deci
4
y
π
= este asimptota orizontală spre .+∞
3p
2p
b)
( ) 2
1
'
2 2 1
f x
x x
=
+ +
2
2 2 1 0x x+ + > pentru orice x real, deci ( ) { }' 0, 1f x x> ∀ ∈ −ℝ
FuncŃia f este strict crescătoare pe ( ), 1−∞ − şi pe ( )1,− +∞
2p
2p
1p
c)
( )
( )
( )
22
2 2 1
'' , 1
2 2 1
x
f x x
x x
− +
= ≠ −
+ +
( )
1
'' 0
2
f x x= ⇔ = −
Din tabelul de variaŃie rezultă că
1
2
x = − este punct de inflexiune al funcŃiei f
2p
1p
2p
2.a)
( )
1
11 1
2 2 ln 2 ln
n
n
n
n n
I dx x x
nx n
+
+ + 
= − = − = − 
 
∫
1
1 2
ln ln
1
n n
n n
I I
n n
+
+ +
− = − =
+
( )
( )
2 2
2 2
1 2 1 1
ln ln ln 1 0,
2 2 2
n n n
n
n n n n n n
∗+ + +  
= = = + > ∀ ∈ + + + 
ℕ , deci şirul este strict crescător
2p
1p
2p
b) 1 1
1 2 0 ln 1
n n
e
n n
+ +
< ≤ < ⇒ < <
1
1 2 ln 2
n
n
+
< − <
1 2,nI n ∗
< < ∀ ∈ℕ , deci şirul este mărginit
2p
2p
1p
c)
( )
1
lim 2 lim lnn
n n
n
n I n
n→∞ →∞
+
− = = 2p

3. Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare
BACALAUREAT 2010 - barem de corectare şi de notare Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică.
Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.
3
1
lim ln 1 ln 1
n
n
e
n→∞
 
= + = = 
 
3p