toán cao cấp

1. 1 CHƯƠNG 1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
1.1 Ma trận
1.1.1 Định nghĩa.
Ma trận A cấp m n trên R là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng và n cột được
biểu diễn như sau:
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a

 
 
 
 
 
 
  
= ij m n
a 
, 1, , 1,i m j n  
Trong đó:
ija R : là phần tử thuộc dòng i và cột j của ma trận A.
m : số dòng của ma trận A.
n : số cột của ma trận A.
 1 2 ...i i ina a a : dòng thứ i của ma trận A.
1
2
...
j
j
mj
a
a
a
 
 
 
 
  
 
: cột thứ j của ma trận A.
Ký hiệu ( )m nM R là tập hợp các ma trận cấp m n trên R .
Ví dụ. Xét ma trận
1 0 2
1 2 0
B 

 
 
 
. Ma trận B là ma trận cấp 2 3 .
1.1.2 Các dạng đặc biệt của ma trận.
1) Ma trận dòng
Ma trận dòng là ma trận có một dòng và n cột, ký hiệu là A =  1 2 ... na a a
Ví dụ.  2 8 3A  
2) Ma trận cột
Ma trận cột là ma trận có m dòng và một cột, ký hiệu là :
1
2
m
a
a
A
a
 
 
 
 
 
 


2. Ví dụ.
1
2
4
0
A 

 
 
 
 
 
 
3) Ma trận không:
Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu 0 0m n
Ví dụ. 3 2
0 0
0 0
0 0 0 0 ; 0
0 0
0 0

 
       
  
 
4) Ma trận vuông cấp n:
Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng n, ký hiệu là
 
11 12 1
21 22 2
ij
1 2
...
...
...
n
n
n
n n nn
a a a
a a a
A a
a a a
 
 
  
 
 
 
  
Tập hợp các ma trận vuông cấp n được ký hiệu : ( )nA M R .
Đường thẳng đi qua các phần tử 11 22 33, , ,..., nna a a a được gọi là đường chéo chính của
ma trận A. Đường thẳng đi qua các phần tử 1 2( 1) 3( 2) 1, , ,...,n n n na a a a  được gọi là đường
chéo phụ của ma trận A.
Ví dụ.
Ma trận
1 1 4
1 2 0
4 0 3
A
 
   
   
là một ma trận vuông. Đường thẳng đi qua các phần tử 1,2,-3 là
đường chéo chính.
5) Ma trận tam giác
Ma trận tam giác trên là ma trận vuông có các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính
đều bằng 0.
Ví dụ.
1 2 3
0 2 4
0 0 1
A
 
   
  

3. Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông có các phần tử nằm phía trên đường chéo chính
đều bằng 0.
Ví dụ.
1 0 0
0 2 0
5 4 1
A
 
   
   
6) Ma trận chéo
Ma trận chéo là ma trận vuông có các phần tử không nằm trên đường chéo chính bằng 0
Ví dụ.
1 0 0
0 2 0
0 0 3
A
 
   
  
7) Ma trận đơn vị cấp n
Ma trận đơn vị cấp n là ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1.
Ký hiệu là nI I .
Ví dụ. 2 3
1 0 0
1 0
; 0 1 0
0 1
0 0 1
I I
 
       
   
 
; 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
 
 
 
 
 
 
.
8) Ma trận chuyển vị
Chuyển vị của ma trận A là ma trận có được từ A bằng cách viết các hàng của ma trận A
theo thứ tự thành cột, ký hiệu là At
.
Ví dụ. Cho
1 1 4
1 2 1
5 2 3
A
 
   
   
. Khi đó
1 1 5
1 2 2
4 1 3
t
A
 
   
   
9) Ma trận đối xứng
Ma trận vuông  ij n
A a gọi là ma trận đối xứng nếu ij ji , , 1,a a i j n   , tức là t
A A
Ví dụ. Ma trận
1 1 4
1 2 0
4 0 3
A
 
   
   
là một ma trận đối xứng.
1.1.3 Các phép toán về ma trận
1) Hai ma trận bằng nhau.

4. Hai ma trận cùng cấp ( )n m
A M R
 và ( )n m
B M R
 gọi là bằng nhau nếu các phần tử tương
ứng của chúng bằng nhau, tức là: ( , )ij ijA B a b i j    .
Ví dụ. Cho
1 2 1 2
,
2 1
A B
a a b
   
       
. Tìm ,a b sao cho A B
Theo định nghĩa trên giải được 2, 1a b   .
2) Phép nhân một số với ma trận.
Cho 0c  và ma trận  ij ( )m n
m n
A M Ra 

  . Khi đó : ( )ij m ncA ca 
Ví dụ. Cho
1 2 3
2 1 0
A
 
  
 
. Khi đó
1 2 3 2 4 6
2 2
2 1 0 4 2 0
A
     
          
.
1 2 3
2 1 0
A
   
     
và
3 6 9
3
6 3 0
A
 
  
 
3) Phép cộng hai ma trận.
Cho  ij m n
A a

 và  ij m n
B b

 . Tổng của A và B là ma trận  ij m n
C c

 được xác định như
sau:
 , 1, , 1,ij ij ijc a b i m j n    
Ví dụ. Với
1 2 3
2 3 1
A
 
  
 
và
1 1 1
0 1 0
B
 
  
 
,
1 3 1
0 4 0
C
 
  
 
. Khi đó
0 3 4 2 3 2
; 2
2 4 1 2 4 1
A B A B C
   
          
Nhận xét. Phép cộng hai ma trận chỉ thực hiện được khi hai ma trận đó cùng cấp.
4) Phép nhân một dòng với một cột
Cho 1 ( )nA M R và 1( )nB M R
 1 2 ... nA a a a ;
1
2
n
b
b
B
b
 
 
 
 
 
 

Khi đó AB gọi là tích (vô hướng) của một dòng với một cột:
1 1 2 2 ... n nAB a b a b a b   

5. Ví dụ.  1 2 0 7A   và
3
2
6
2
B
 
  
 
 
 
thì : AB  (–1).3 + 2.(–2) + 0.6 + 7.2  7.
5) Phép nhân hai ma trận
Cho ( )m k
A M R
 và ( )k n
B M R
 . Gọi A1, A2, ..., Am là m dòng của A; (1) (2) ( )
, , ..., n
B B B là
n cột của B.
Ta viết:
1
2
m
A
A
A
A
 
 
 
 
 
 

và  (1) (2) ( )
... n
B B B B
Với  1 2 ...i i i ikA a a a và
1
2( )
j
jj
kj
b
b
B
b
 
 
 
 
  
 

.
Khi đó C = AB gọi là ma trận tích của A với B và phần tử ijc của C được xác định như
sau
( )
1 1 2 2 ...j
ij i i j i j ik kjc A B a b a b a b    
Nhận xét
Phép nhân hai ma trận AB chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận A là số dòng của ma
trận B. Với ( )m kA M R và ( )k nB M R thì ( )m nC M R
Nói chung AB BA . Trường hợp AB BA thì ta nói A và B là hai ma trận giao hoán.
Ví dụ. Cho
1 0
1 1
A
 
  
 
và
1 2
0 1
B
 
  
 
. Khi đó
1 2 3 2
1 3 1 1
AB BA  
   
   
   
.
Ví dụ. Cho
1 2
3 0
2 4
A
 
   
 
 
,
1 2 3 4
2 1 0 3
B
 
   
.
Ta có:      1 2 31 2 , 3 0 , 2 4A A A    và
(1) (2) (3) (4)1 2 3 4
, , ,
2 1 0 3
B B B B
       
                 
. Khi đó ma trận AB xác định bởi :

6.  (1)
11 1
1
1 2 1.1 2( 2) 3
2
c A B
 
        
, tương tự
12 13 14 21 22 23 24
31 32 33 34
4, 3, 10, 3, 6, 9, 12
6, 8, 6, 20
c c c c c c c
c c c c
          
    
.
Vậy
3 4 3 10
3 6 9 12
6 8 6 20
AB
 
      
  
Ví dụ.
1 5 2
1 2 3
, 0 1 0
3 1 0
3 2 4
A B
 
           
. Khi đó
8 1 14
;
3 14 6
AB BA
 
    
không thực
hiện được.
1.1.4 Các tính chất của các phép toán trên ma trận
Phép cộng hai ma trận có các tính chất sau:
Cho , ( )m nA B M R và , {0}R   . Ta có :
1) A B B A  
2)( ) ( )A B C A B C    
3) m n m nO A A O A    
4) ( ) m nA A O   
5)( ) ( )A A  
6) ( )A B A B    
7)( )A A A     
8)1 , 0. 0A A A 
Phép nhân hai ma trận có các tính chất sau:
1) ( )A B C AB AC   ,
2) ( ) ( )A BC AB C ,
3) ( )t t t
AB B A ,
4) ( ) ( ) ( )c AB cA B A cB 
1.1.5 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Các phép biến đổi biến ma trận A thành ma trận A’ sau được gọi là các phép biến đổi
sơ cấp trên dòng.

7. Loại 1 : Đổi chỗ hai dòng cho nhau, ký hiệu :
'i jd d
A A


Loại 2 : Biến dòng i thành c lần dòng i ( 0)c  , ký hiệu :
'i id cd
A A

Loại 3 : Biến dòng i thành dòng i cộng c lần dòng j ( 0, )c i j  , ký hiệu :
'i i jd d cd
A A
 

Ví dụ. Cho ma trận
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
 
   
 
 
. Ta có
2 22
1 2 3 1 2 3
4 5 6 ' 8 10 12
7 8 9 7 8 9
d d
A A
   
        
   
   
2 2 12
1 2 3 1 2 3
4 5 6 ' 6 9 12
7 8 9 7 8 9
d d d
A A 
   
        
   
   
2 1
1 2 3 4 5 6
4 5 6 ' 1 2 3
7 8 9 7 8 9
d d
A A
   
        
   
   
1.1.6 Ma trận bậc thang
1) Ma trận khác không ( ),( , 2)m nA M R m n  được gọi là ma trận bậc thang dòng, nếu có
một số nguyên  (0 min , )r r m n  , và một dãy các chỉ số cột 1 21 , ,..., rj j j n  , sao
cho :
) 0iji a  nếu r i m  hoặc
1
1 i
i r
j j
 

 
1 21 2) ... 0rj j rjii a a a 
Các phần tử 1 21 2, ,... rj j rja a a gọi là các phần tử được đánh dấu của A. Nếu ngoài i) và ii)
còn có thêm:
1 21 2) ... 1rj j rjiii a a a   
) 0,1ikjiv a k i r   
thì A được gọi là ma trận bậc thang dòng rút gọn.

8. Ví dụ. Các ma trận sau đây là ma trận bậc thang:
1 2 3 4
1 2 3
0 1 4 5
0 5 6 ;
0 0 1 0
0 0 0
0 0 0 1
A B
 
   
        
  
 
2) Ma trận khác không ( ),( , 2)m nB M R m n  được gọi là ma trận bậc thang cột (bậc
thang cột rút gọn) nếu chuyển vị t
B của B là một ma trận bậc thang dòng (bậc thang dòng
rút gọn).
1.1.7 Hạng của ma trận
Cho ( )m nA M R và B là ma trận bậc thang nhận được từ A bằng một số hữu hạn
các phép biến đổi sơ cấp. Khi đó số dòng (số cột) khác không của B được gọi là hạng của
A, kí hiệu là rank(A) hoặc r(A).
Ví dụ .Tìm hạng của ma trận
1 2 3
4 5 6
3 3 9
A
 
   
  
.
Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang:
3 3 22 2 1
3 3 1
34 '
3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 0 3 6 0 3 6
3 3 9 0 9 18 0 0 0
d d dd d d
d d d
A A  
 
     
                 
          
Ma trận bậc thang A’ có hai dòng khác 0 nên ( ) 2rank A 
Nhận xét.
Ma trận bậc thang có các đặc điểm sau:
1) Phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên nằm về bên trái so với phần tử khác 0 đầu tiên của
dòng dưới.
2) Dòng bằng 0 (nếu có) nằm phía dưới so với dòng khác 0.
Ta có thể dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa một ma trận bất kỳ về dạng bậc thang.
Ví dụ. Hãy đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng và bậc thang dòng rút gọn
1 2 3 4
2 4 1 10
3 6 1 15
A
 
   
  
Dùng phép biến đổi dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng như sau:

9. 3 3 2
2 2 1
3 3 1
8
2 7
3
1 2 3 4 1 2 3 4
0 0 7 2 0 0 7 2
0 0 8 3 5
0 0 0
7
d d d
d d d
d d d
A B
 
 
 
 
   
      
   
   
 
2 2 2 2 3
1 1 2
1 1 3
3 3
1 2
37 7
7 4
5
1 2 3 4
1 2 3 0 1 2 0 0
2
0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0
7
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 1
d d d d d
d d d
d d d
d d
B C
  
 
 

 
    
               
     
 
B là ma trận bậc thang của A, C là ma trận bậc thang rút gọn của A.
1.2 Định thức
1.2.1 Định thức cấp 2.
Cho   2ij 2
( )A M Ra  , định thức cấp 2 của ma trận A được xác định và ký hiệu như
sau
11 12
11 22 21 12
21 22
det
a a
A A a a a a
a a
   
Ví dụ. Cho
1 2
3 1
A
 
   
ta có :
1 2
det 1 1 2 ( 3) 7
3 1
A       

.
1.2.2 Định thức cấp 3.
Cho   3ij 3
( )A M Ra  . định thức cấp 3 của ma trận A được xác định và ký hiệu
như sau :
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32 11
31 32 33
det
a a a
A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
      
1.2.3 Định thức cấp n
Cho ( )nA M R , ta ký hiệu A(i,j) là ma trận có được từ A bằng cách bỏ dòng i và
cột j .
Ví dụ. Cho
1 3 4
4 5 6
3 2 3
A
 
   
 
 
thì
1 4
(2,2)
3 3
A
 
  
 
Phần phụ đại số của phần tử aij là một số được xác định và kí hiệu như sau:
( 1) det ( , )i j
ijA A i j
 

10. Cho  ij ( )nn
A M Ra  . Định thức cấp n của ma trận A được định nghĩa là:
11 12 1
21 22 2
1
1 2
...
...
det
...
n
n
n
pj pj
j
n n nn
a a a
a a a
A a A
a a a

    
(khai triển theo dòng p) hoặc
1
det
n
iq iq
i
A a A

  (khai triển theo cột q).
Ví dụ. Cho
1 1 2 2
1 2 1 2
2 1 2 1
2 2 2 1
A
 
 
 
 
 
 
. Tính det A.
Ta khai triển theo dòng 1 ta có :
1 1
11
2 1 2
( 1) 1 2 1 3
2 2 1
A 
    ; 1 2
12
1 1 2
( 1) 2 2 1 0
2 2 1
A 
   ;
1 3
13
1 2 2
( 1) 2 1 1 3
2 2 1
A 
   ; 1 4
14
1 2 1
( 1) 2 1 2 0
2 2 2
A 
  
Do đó
4
1 1
1
det 1.( 3) 1.0 2.3 2.0 3j j
j
A a A

      
1.2.4 Các tính chất của định thức
Dựa vào định nghĩa của định thức ta suy ra được các tính chất sau:
1) Nếu đổi dòng thành cột, cột thành dòng thì định thức không thay đổi , tức là
det det t
A A
2) Nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu, tức là:
' det( ) det( ')i jd d
A A A A

   
3) Từ một dòng (một cột) ta cộng vào một dòng khác (cột khác) sau khi nhân một số 0c 
thì định thức không đổi
'i i jd d cd
A A
 
 khi đó det( ') det( )A A .
4) Ta có thể đưa thừa số chung 0c  ra ngoài định thức, tức là:
'i id cd
A A
 khi đó det( ') det( )A c A .

11. 5) Cho ( )nA M R , nếu mỗi phần tử trên dòng (cột) của A là tổng của hai phần tử thì định
thức của A tách ra được thành tổng của hai định thức.
Ví dụ.
' ' ' 'a a b b a b a b
c d c d c d
 
  hoặc
' '
' '
a a b a b a b
c c d c d c d

 

6) Cho , ( )nA B M R khi đó det det detAB A B .
Nhận xét.
1) Dựa vào các tính chất trên, ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để tính định
thức cấp n.
Ví dụ. Cho
1 2 5
1 1 2
1 2 1
A
 
   
  
. Khi đó :
2 2 1
3 3 1
1 2 5 1 2 5
1 3
det( ) 1 1 2 0 1 3 1 6
4 6
1 2 1 0 4 6
h h h
h h h
A
 
   
      

2) Cho  ij m n
A a

 . Hạng của ma trận là cấp cao nhất của định thức con khác 0.
3) Cho  ij n
A a là ma trận vuông cấp n. Khi đó ( ) det 0rank A n A  
Ví dụ. Cho ma trận
1 2 3
4 5 6
3 3
A
m
 
   
  
. Tìm hạng của ma trận A theo m.
Ta có det 9.A m  Nếu 9m  thì ( ) 2rank A  ; nếu 9m  thì ( ) 3rank A  .
1.3 Ma trận nghịch đảo
1.3.1 Định nghĩa
Cho ma trận ( )n
A M R . Ta nói ma trận A khả nghịch nếu ( )n
B M R  thoả mãn:
n
BA AB I 
Ta nói B (tồn tại duy nhất) là ma trận nghịch đảo của A. Ký hiệu 1
B A


1.3.2 Định lí
Cho ( )nA M R . Khi đó A khả nghịch nếu và chỉ nếu det 0A 
1.3.3 Tính chất
Nếu , ( )n
A B M R là hai ma trận khả nghịch thì :

12. 1) 1 1
( )A A 

2) 1 1 1
( )AB B A  

3) 1 1
( ) ( )t t
A A 

4) 1 11
( )cA A
c
 

5) Nếu A khả nghịch thì  
11
det detA A


1.3.4 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp
Người ta chứng minh được kết quả sau: Cho ( )nA M R là ma trận khả nghịch.
Khi đó những phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào biến A thành In thì chúng cũng biến In
(theo thứ tự đó) thành 1
A
.
Từ đó ta có phương pháp tìm ma trận nghịch đảo như sau:
Để tìm ma trận 1
A
với
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 
 
 
  
Ta lập ma trận
 nA I
11 12 1
21 22 2
1 2
... 1 0 ... 0
... 0 1 ... 0
... 0 0 ... 1
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
  
 
     
Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đối với  nA I để biến A thành In khi đó In biến thành
1
A
.
Ví dụ. Tìm 1
A
với
1 3 2
1 4 2
1 3 3
A
 
   
 
 
.
Ta có :
 3
1 3 2 1 0 0
1 4 2 0 1 0
1 3 3 0 0 1
A I
 
 
  
 
 
2 2 1
2 2 1
d d d
d d d
 
 

1 3 2 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1
 
 
 
  

13. 1 1 3
1 1 2
2
3
d d d
d d d
 
 
  1
3
1 0 0 6 3 2
0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1
I A
   
 
  
  
.
Vậy 1
6 3 2
1 1 0
1 0 1
A
  
   
  
1.3.5 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo nhờ định thức
Ta gọi ma trận phụ hợp AP của ma trận A là ma trận được xác định như sau:
 ij
; , 1,A jiP A i j n  
Để tìm 1
A
ta thực hiện hai bước
Bước 1. Tính detD A
Nếu det 0A  thì A không khả nghịch
Nếu det 0A  thì A khả nghịch, chuyển sang bước 2.
Bước 2. Lập ma trận phụ hợp AP . Khi đó: 1 1
AA P
D

 .
Ví dụ. Dùng phương pháp định thức tìm 1
A
của
1 3 2
1 4 2
1 3 3
A
 
   
 
 
Ta có: det 1D A 
1 3
2 1
1 1 1 2
11 12 13
2 2 2 3
21 22 23
3 1 3 2 3 3
31 32 33
4 2 1 2 1 4
( 1) 6; ( 1) 1; ( 1) 1;
3 3 1 3 1 3
3 2 1 2 1 3
( 1) 3; ( 1) 1; ( 1) 0;
3 3 1 3 1 3
3 2 1 2 1 3
( 1) 2; ( 1) 0; ( 1) 1
4 2 1 2 1 4
A A A
A A A
A A A


 
 
  
          
         
         
Khi đó: 1
6 3 2
1
1 1 0
1 0 1
AA P
D

  
    
  
.
Trong chương này chúng ta đã làm quen một đối tượng mới là ma trận, và các vấn đề
xoay quanh ma trận. Trong Toán học có những vấn đề dẫn đến việc giải hệ phương trình,
và để giải hệ phương trình đó đã nảy sinh ra khái niệm mới là ma trận. Để thấy rõ điều đó
ta sẽ nghiên cứu chương tiếp theo là Hệ phương trình tuyến tính.

14. BÀI TẬP CHƯƠNG I
1.1 Thực hiện các phép toán trên ma trận
 
   
4
2 2 1
1 1 3 2
) 1 2 3 4 ) 4 2 3
0 5 1 0
2 0 1
5
1 0
2 4 2 1 2
) 3 1 3 2 ) 4 1 2
3 1 3 4 1
4 3
a b
c d
 
  
             
 
   
      
              
   
e) Cho
2 2 1 2 1
1 1 2
, 4 2 3 , 7 2
5 1 3
2 0 1 1 6
A B C
    
            
        
.
Tính T
33A+2B ,AB,AB-BA, BC, ABC, BA-3C+I
f) Cho 2 2 1 23
( ) 2 3 1, ( ) 2 ,
2 5
f x x x g x x x A
x
 
        
 
. Tính ( ), ( ).f A g A
g) Cho
1 2 1 1
, , .
0 1 1 3 0
a a
A B C
a
     
       
     
Tính 10 2011
, ,n
A B C
1.2 Cho
1 0 3 2 2 1
2 1 1 , 4 2 3
3 2 2 2 0 1
A B
   
       
      
. Tìm ma trận nghịch đảo 1 1
,A B 
(nếu có)
bằng 2 phương pháp đã học.
1.3 Tính các định thức sau:
2 3 1 1 0 3 2 2 1
2 3
) ) 0 2 2 ) 2 1 1 , ) 4 2 3
1 2
1 3 3 2 2 2 0 1
1 1 1 1 1
1 2 3 4 0
1 0 1 1 1
2 3 4 1 0
) ) ) 1 1 0 1 1
3 4 1 2 0
1 1 1 0 1
4 1 2 3 0
1 1 1 1 0
a b c d B
m
a b c
a c b
e f g
b b a
c c a
 


1.4 Giải các phương trình sau:

15. 1 3 2 1 0 3
) 3 7 5 0 ) 2 1 1 0
2 5 8 3 2 2
1 0 1 1
1 1 0
0 1 0 0
) 0 1 1 0 ) 0
1 0 2 1
1 2 1
1 0 1 2
a b
c d
 
 
 







  
     
  



  



1.5 Tìm hạng của các ma trận sau:
1 0 3 1 2 1
) 2 1 2 , ) 4 5 3
3 2 2 2 0 1
1 1 1 1 1
1 2 1 2
1 1 1 1 1
2 3 7 1
) ) 1 1 1 1 1
1 1 3 5
1 1 1 1 1
10 2 4 15
1 1 1 1 1
a A b B
c C d D
   
   
     
      
 
   
        
     
   
    
2 CHƯƠNG 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2.1 Hệ phương trình tuyến tính
2.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát.
Hệ phương trình gồm m phương trình n ẩn có dạng:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
   
    


    
(3.1)
được gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát.Trong đó ,ij ia b R , 1 2, ,..., nx x x là các ẩn
số. Ta đặt
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 
 
 
  
gọi là ma trận hệ số của (3.1)

16. 1
2
m
b
b
B
b
 
 
 
 
 
 

: cột hệ số tự do,
1
2
n
x
x
X
x
 
 
 
 
 
 

: cột ẩn số.
 
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
A B
a a a b
 
 
 
 
  
 
   
gọi là ma trận bổ sung (mở rộng) của hệ (3.1).
Với cách đặt như trên hệ (3.1) được viết lại : AX B
Khi B=0 hệ (3.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Ngược lại ta gọi là hệ
không thuần nhất .
2.1.2 Nghiệm của hệ phương trình
Nghiệm của hệ (3.1) là bộ số
1
2
n
c
c
C
c
 
 
 
 
 
 

sao cho AC B . Quá trình đi tìm tập
nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gọi là giải hệ phương trình tuyến tính.
Hai hệ phương trình tuyến tính có cùng số ẩn (số phương trình có thể khác nhau) gọi là
tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm.
Ví dụ. Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 1
4 2 2
3 3 3
x x x
x x x
x x x
  

  
   
(1)
Ma trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính là:
1 3 2
1 4 2
1 3 3
A
 
   
 
 
Ma trận nghịch đảo của A (đã có được từ ví dụ trước) là
1
6 3 2
1 1 0
1 0 1
A
  
   
  

17. Hệ 1
6 3 2 1 6
(1) 1 1 0 2 1
1 0 1 3 2
AX B X A B
      
              
        
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
1
2
3
6
1
2
x
x
x
 


 
.
Ví dụ. Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
3 4 3 3
2 2 3
x x x
x x x
x x x m
  

  
   
Hệ phương trình tương đương  
1t t
A X C X A C

  
 1
6 1 1 1 3
3 1 0 3 0
2 0 1 2
t
m
X A C
m m

      
            
          
2.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
2.2.1 Phương pháp Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính (3.1) được gọi là hệ Cramer nếu m n và det 0A 
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
   
    


    
(3.2)
Đặt det( )D A và ( 1, )jD j n là định thức có được bằng cách thay cột j của D bởi cột tự
do. Khi đó hệ phương trình Cramer có nghiệm duy nhất xác định theo công thức:
1 2
1 2, , ..., n
n
DD D
x x x
D D D
   .
Ví dụ. Giải hệ phương trình :
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 6 0
3 4 2 0
x x x
x x x
x x x
  

  
   
.
Ta có :
1 1 1
2 6 1
3 4 2
A
 
    
 
 
, det( ) 11 0D A   ,

18. 1
1 1 1
0 6 1 8
0 4 2
D      , 2
1 1 1
2 0 1 7
3 0 2
D     , 3
1 1 1
2 6 0 26
3 4 0
D    .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất : 1 2 3
8 7 26
, ,
11 11 11
x x x     .
2.2.2 Định lý Kronecker – Capelli
Hệ (3.1) có nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( )r A r A B . Hơn nữa
i) ( ) ( )r A r A B  n : hệ (3.1) có nghiệm duy nhất.
ii) ( ) ( )r A r A B  n : hệ (3.1) có vô số nghiệm phụ thuộc ( )n r tham số.
iii) ( ) ( )r A r A B : hệ (3.1) vô nghiệm.
2.2.3 Định lý
Cho hai hệ phương trình tuyến tính có cùng m phương trình và n ẩn số với ma trận
mở rộng lần lượt là ' '
( );( ), ( 2)A B A B m  . Khi đó nếu ' '
( )A B nhận được từ ( )A B bởi
một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng thì hai hệ phương trình tuyến tính đã cho
tương đương nhau.
Từ hai định lí trên ta đi đến phương pháp sau:
2.2.4 Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính
Để giải hệ (3.1) ta thực hiện các bước:
Bước 1: Lập ma trận mở rộng của A:
 
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
A B
a a a b
 
 
 
 
  
 
   
Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận ( )A B về ma trận ' '
( )A B , trong
đó '
A là ma trận bậc thang (rút gọn). Dựa vào Định lý Kronecker – Capelli để kết luận
nghiệm.
Ví dụ. Giải hệ phương trình :
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1
2 5 6
4 2 2
x x x
x x x
x x x
  

  
   
.
Ma trận hoá hệ phương trình trên ta thu được :

19. 1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 3 7 1 0 0 40
2 5 1 6 0 1 1 4 0 1 1 4 0 1 0 15
1 4 2 2 0 2 3 3 0 0 1 11 0 0 1 11
         
       
           
                
Hệ có nghiệm duy nhất là : 1 2 340, 15, 11x x x   
Ví dụ . Giải hệ phương trình :
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 1
3 5 3 1
4 3 8 4 0
x x x x
x x x x
x x x x
   

   
    
.
Ta có
 
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1
3 1 5 3 1 0 7 4 0 4
4 3 8 4 0 0 0 0 0 2
A B
       
   
       
        
.
Suy ra : ( ) 3r A B  . Mà ( ) 2 ( )r A r A B  . Vậy hệ vô nghiệm.
Ví dụ . Giải hệ phương trình :
1 2 3
1 2 3
1
2 3 2
x x x
x x x
  

  
.
Ta có :  
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 3 2 0 1 5 0
A B
     
    
   
1 0 4 1
0 1 5 0
 
  
 
.
Suy ra : ( ) ( ) 2 3r A r A B n    , vậy hệ có vô số nghiệm.
Ta viết hệ thành
1 3 1 3
2 3 2 3
4 1 1 4
5 0 5
x x x x
x x x x
    
 
   
.
Vậy tập nghiệm của hệ có dạng
1
2
3
1 4
5 ( )
x t
x t t R
x t
 

 
 
.
Như vậy việc giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Crammer đòi hỏi hệ
phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn bằng nhau, ma trận hệ số phải là ma
trận khả nghịch trong khi đó phương pháp Gauss lại cho phép ta giải một hệ bất kỳ. Thực
chất phương pháp Gauss là phương pháp cộng mà trước đây ta đã học nhưng trong qúa
trình giải chỉ có hệ số thay đổi chứ các ẩn số vẫn giữ nguyên nên ta quan tâm đến những hệ
số và được viết thành ma trận.

20. BÀI TẬP CHƯƠNG II
2.1 Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 3 1 2 3
2 3 2 2 1
) 1 ) 3 2 6 5
2 7 3
2 3 2 1
2 2 1
4 3 2 2
) 3 2 1 )
16 9 3 3
2 5 0
4 7 7 4
x x x x x x
a x x x b x x x
x x x x x
x y z t
x y z t
x y z t
c x y z t c
x y z t
x y z t
x y t z
      
 
       
        
   
         
     
              
2.2 Cho ma trận
1 0 1
1 1 1
1 2 2
A
 
   
  
. Tìm 1
A
, rồi giải các hệ phương trình sau:
1 1 1
) 2 ) 2 1 ) 2
2 2 5 2 2 2 2 5
x z x y z x z
a x y z b y z m c x y z
x y z x y z x y z
         
  
          
                
2.3 Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau:
3 1 2 3 1 3 3
) 2 2 ) 1 ) 2 6 2
3 4 3 2 2 2 2 2 1
x y z x y z x y z
a x y mz b x y z m c x y z m
x my z x y z x y z m
           
  
           
               
2.4 Trong một ngày, khẩu phần ăn của mỗi người cần có 80g Protit, 50g Lipit, 450g
Gluxit. Hàm lượng các chất trên có trong 1g thức ăn A và B như sau:
Thức ănChất dinh dưỡng
A B
Protit (g) 0,1 0,2
Lipit (g) 0,2 0,3
Gluxit (g) 0,6 0,4
Hãy lập phương trình ma trận cho bài toán trên. Hãy cho biết các ẩn số trong phương trình
ma trận trên cho biết điều gì?

21. 3 CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN VECTƠ
3.1 Không gian Véc-tơ
3.1.1 Định nghĩa
Tập hợp V   được gọi là một không gian vectơ trên R nếu ta định nghĩa hai phép
toán cộng (+) và nhân vô hướng (.) trên V thỏa 10 tiên đề sau:
, , ; ,u v w V R    
1) , ,u v V u v V  
2) u v v u  
3) ( ) ( )u v w u v w    
4) 0 , 0 0V u u u     
5) , ( ) : ( ) 0u V u u u      
1’) , ,u V R u V   
2’) ( ) ( ) ( )u u u     
3’) ( )u u u     
4’)  u v u v     .
5’) 1u u
3.1.2 Các Ví dụ về không gian Véc-tơ
1) 3
R với phép cộng vectơ và phép nhân một số thực với một vectơ là không gian vectơ
trên R
2) Tập hợp ( )m nM R gồm tất cả các ma trận cấp m n trên R cùng với phép cộng các ma
trận và phép nhân một số với một ma trận tạo thành một không gian vectơ.
3) Tập hợp  2P x gồm các đa thức bậc không quá 2 cùng với phép cộng hai đa thức thông
thường và phép nhân một số với đa thức là một không gian véctơ trên R .
3.1.3 Tính chất.
Từ các tiên đề trên ta suy ra được vài tính chất sau của không gian Véc-tơ:
1) 0 0 
2) 0 0u 
3) ( 1)u u  
4) 0 0 0u u     

22. , 0u u u      
, 0u v u v     
5) Vectơ 0 và vectơ đối (-u) của u tồn tại duy nhất.
6) , , :u v w V u w v w u v      
3.2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
3.2.1 Tổ hợp tuyến tính
Cho V là không gian vectơ trên R và các vectơ 1, ,..., nu u u V . Ta nói u là tổ hợp
tuyến tính của hệ vectơ 1{ ,..., }nu u khi và chỉ khi tồn tại 1,..., n R   sao cho
1 1 ... n nu u u    .
Ta cũng nói u biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ 1{ ,..., }nu u
Ví dụ. Trong 3
R , xét các vectơ 1 2 3(2,3,1), (2,1,3), ( 2,0,0), (1,1, 1)u u u u      . Khi
đó: 1 2 32u u u u   nên u là tổ hợp tuyến tính của các vectơ 1 2 3, ,u u u .
Ví dụ. Trong 2
R xét các vectơ 1 2 3( 1,0), (0, 1), (1,1)u u u     . Khi đó:
vec tơ  0 0,0 có ít nhất hai cách biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ 1 2 3{ , , }u u u
1 2 3 1 2 30 0 0 0 ; 0 1 1 1u u u u u u      .
Tổ hợp tuyến tính 1 1 ... n nu u   của hệ 1{ ,..., }nu u gọi là tầm thường nếu
1 ... 0n    . Ngược lại, nếu tồn tại 0(1 )i i n    thì tổ hợp tuyến tính
1
n
i i
i
u

 gọi
là không tầm thường.
3.2.2 Phụ thuộc tuyến tính
Hệ vectơ 1{ ,..., }nu u được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại   1,i i n
R 
 thỏa
2
1
0i
n
i


 sao cho 1 1 ... 0n nu u   
Ví dụ.
Trong 3
R xét các vectơ 1 (1,1,2)u  2, ( 2,0,1)u   , 3 (1, 1, 3)u    . Khi đó
1 2 3 0u u u   nên hệ các vectơ { 1 2 3, ,u u u } là phụ thuộc tuyến tính.
Tập hợp S V   được gọi là tập phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại hệ các vectơ
1{ ,..., }nu u S sao cho hệ 1{ ,..., }nu u phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ. Trong 3
R tập  1 2 3 4(1,1,2), ( 2,0,1), (1, 1, 3), (1,5, 3)S u u u u         phụ
thuộc tuyến tính vì hệ vectơ  1 2 3, ,u u u S và { 1 2 3, ,u u u } là phụ thuộc tuyến tính.

23. 3.2.3 Độc lập tuyến tính
Hệ vectơ 1{ ,..., }nu u được gọi là độc lập tuyến tính nếu 1 1 ... 0n nu u    thì
1 ... 0n    .
Ví dụ. Hệ 1 2 3(1,1,2), (1, 1, 1), (2,1,1)u u u     là độc lập tuyến tính vì từ
1 2 3 0xu yu zu   ta suy ra 0x y z   .
Tập hợp S V   được gọi là tập độc lập tuyến tính nếu với mọi hệ các vectơ
1{ ,..., }nu u S thì 1{ ,..., }nu u là hệ các vectơ độc lập tuyến tính.
3.2.4 Các tính chất.
1) Mọi hệ chứa vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến tính.
2) Mọi hệ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì phụ thuộc tuyến tính.
3) Tập hợp 1{ ,..., }nS u u là phụ thuộc tuyến tính khi iu S  sao cho iu là tổ hợp
tuyến tính của các vectơ còn lại trong S.
4) Mọi hệ con của hệ độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính.
5) Tập hợp 1{ ,..., }nS u u là độc lập tuyến tính nếu mọi iu không là tổ hợp tuyến tính
của các vectơ còn lại trong S.
6) Tập hợp S V   hoặc là tập độc lập tuyến tính hoặc phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ. Cho các vectơ 1 2( 2,1, 1), (1, 1, 1)u u      3, ( 1,0, 2)u    . Ta có 1 2 3u u u 
nên hệ các vectơ { 1 2 3, ,u u u } phụ thuộc tuyến tính.
3.2.5 Định lý.
Trong không gian n
R cho hệ m vectơ
      1 11 12 1 2 21 22 2 1 2, ,..., , , ,..., ,..., , ,...,n n m m m mnu a a a u a a a u a a a  
Đặt
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 
 
 
,
Khi đó  1,..., mu u là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi ( )rank A m .
Trong trường hợp m n thì  1,..., mu u là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi
( ) det 0rank A n A   .

24. Ví dụ. Cho các vectơ 1 2( 2,1, 1,1), (1, 1, 1,2)u u      , 3 ( 1,0, 2,1)u    . Khi đó ta có
ma trận
2 1 1 1
1 1 1 2
1 0 2 1
A
  
    
   
có ( ) 3r A  nên hệ các vectơ  1 2 3, ,u u u là độc lập tuyến tính.
Ví dụ. Xét hệ vectơ 1 2(2,1, 1), (1,1, 1)u u    , 3 (3,2, 2)u   . Khi đó ma trận
2 1 1
1 1 1
3 2 2
A
 
   
  
có det 0A  nên họ  1 2 3, ,u u u là phụ thuộc tuyến tính.
3.3 Không gian Vectơ con
3.3.1 Định nghĩa.
Cho V là không gian vectơ trên R và W V   . W được gọi là không gian con
của V nếu W cũng là không gian vectơ trên R với các phép toán cộng và nhân như trên V.
Ký hiệu W V .
Định lý sau cho ta điều kiện cần và đủ để tập W là không gian con của V
3.3.2 Định lý
Cho V là không gian vectơ trên R và W V   . W là không gian con của V khi
và chỉ khi , ,u v W R   : u v W  và u W  .
Ví dụ. Xét    3
1 2 3 1, , / 0W x x x x R   . Khi đó W là không gian con của 3
R .
Thật vậy     3
1 2 3 1 2 3, , , , ,x x x y y y R sao cho 1 1 0x y  . Ta có
1 1 0x y    1 1 2 2 3 3, , Wx y x y x y    ,
1 0x       3
1 2 3 1 2 3, , , ,x x x x x x R     .
3.3.3 Tập sinh – không gian vectơ sinh bởi một tập hợp.
Cho V là không gian vectơ trên R và  1,..., nu u V . Gọi S là tập tất cả các tổ hợp
tuyến tính của  1,..., nu u . Khi đó S là một không gian con của V, ta nói S là không gian
con của V sinh bởi  1,..., nu u . Ký hiệu là: 1,..., nS u u
Quy ước {0}  . Nếu S V thì ta nói S sinh ra V hay S là tập sinh của V.
3.3.4 Định lý
Cho  1,..., nU u u là một hệ hữu hạn các vectơ thuộc V và U’ là hệ vectơ nhận
được từ U sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp. Khi đó ta có 'U U .

25. Ví dụ. Tìm (1,1,1);(2,3,4)(4,5,6)
Ta lập ma trận dòng từ ba vectơ trên
1 1 1
2 3 4
4 5 6
A
 
   
 
 
Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa A về ma trận bậc thang:
3 3 22 2 1
3 3 1
2
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 4 0 1 2 0 1 2
4 5 6 0 1 2 0 0 0
d d dd d d
d d d
A   
 
     
            
     
     
Vậy (1,1,1);(2,3,4)(4,5,6) (1,1,1);(0,1,2)
3.4 Cơ sở- số chiều- tọa độ
3.4.1 Cơ sở, số chiều của không gian véctơ
Cho V là không gian vectơ V . Tập B V   được gọi là cơ sở của V nếu B độc
lập tuyến tính và sinh ra V .
Khi đó số vectơ của B được gọi là số chiều của V . Ký hiệu là dimV.
Ví dụ. Trong không gian vectơ 3
R , hệ vectơ  (1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)B  độc lập tuyến
tính đồng thời B sinh ra V nên  (1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)B  là cơ sở của 3
R và được gọi là
cơ sở chính tắc của 3
R .
3.4.2 Định lý
Cho V là không gian vectơ trên R và  1,..., nB u u là cơ sở của V, 'B V . Khi
đó:
i) Nếu B’ có nhiều hơn n vectơ thì B’ phụ thuộc tuyến tính nên B’ không là cơ sở của V.
ii) Nếu B’ có ít hơn n vectơ thì B’ không sinh ra V nên B’ không là cơ sở của V.
iii) Nếu B’ có đúng n vectơ thì B’ là cơ sở của V  B’ sinh ra V  B’ độc lập tuyến
tính.
3.4.3 Định lý
Trong không gian vectơ hữu hạn chiều mọi họ vectơ độc lập tuyến tính đều có thể
bổ sung thành cơ sở
Ví dụ. Cho (1,1,1);(2,3,4)(4,5,6)S  . Tìm dim S.

26. Ta có (1,1,1);(2,3,4)(4,5,6) (1,1,1);(0,1,2)S   và  (1,1,1);(0,1,2) độc lập tuyến tính
nên  (1,1,1);(0,1,2) cũng là cơ sở của S. Vậy dim S=2
3.4.4 Tọa độ của véc tơ trong cơ sở
Một cơ sở được gọi là cơ sở được sắp của không gian vectơ V là cơ sở mà ta quan
tâm đến thứ tự của các vectơ trong đó.
Ví dụ.  (1,0),(0,1)B  là cơ sở được sắp của không gian vectơ 2
R .
Dễ dàng thấy rằng đối với không gian vectơ n chiều thì có n! cơ sở được sắp. Khi nói đến
cơ sở mà không nói rõ là cơ sở được sắp thì ta hiểu đó là cơ sở được sắp theo thứ tự mà ta
viết trong cơ sở đó.
Nếu 1 2{ , ,..., }nB u u u là cơ sở được sắp của không gian vectơ V trên R và u V . Khi đó
ta có mọi vectơ u V đều được viết duy nhất dưới dạng
1 1 2 2 ... n nu u u u      .
Ký hiệu là:
 
1
2
u
...B
n



 
 
 
 
 
 
và gọi là tọa độ của vectơ u trong cơ sở B.
Ví dụ. Cho các vectơ 3
1 2 3(1,2,3), (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)u u u u R     . Khi đó
 1 2 3(1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)B u u u   
là cơ sở của 3
R và ta có 1 2 30 2u u u u   nên
 
0
u 2
1
B
 
   
  
Cho B là cơ sở của không gian vectơ hữu hạn chiều trên R. Khi đó:
, ,R u v V    , ta có      B B B
u v u v    (Sinh viên tự kiểm tra như bài tập)
3.4.5 Ma trận chuyển cơ sở
Giả sử 1 2{ , ,..., }nB u u u và 1 2' { ' , ' ,..., ' }nB u u u là 2 cơ sở được sắp của không
gian vectơ V. Ma trận       1 2' ' ... 'nB B B
P u u u được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ
B sang B’ và ta ký hiệu là ( ')P B B

27. Ví dụ. Cho
 1 2 3(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)B e e e   
 1 2 3' (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)B u u u   
là hai cơ sở của 3
R .
Ta có
     1 2 3
1 0 1
u 1 ; u 1 ; u 0
0 1 1
B B B
     
            
          
nên
1 0 1
( ') 1 1 0
0 1 1
P B B
 
    
 
 
3.4.6 Định lý
Cho A, B, C là các cơ sở được sắp của không gian vectơ V có số chiều n. Khi đó:
i) Ma trận chuyển cơ sở từ A sang B là duy nhất.
ii) ( ) nP A A I 
iii) 1
( ) ( )P A B P B A
  
iv) ( ) ( ) ( )P A B P B C P A C   
3.4.7 Định lý (công thức đổi tọa độ)
Cho 1 2{ , ,..., }nB u u u và 1 2' { ' , ' ,..., ' }nB u u u là 2 cơ sở được sắp của không gian
vectơ V, ( ')P B B là ma trận đổi cơ sở từ B sang B’ , u V . Khi đó:
    '
( ')B B
u P B B u 
Hay
   1
'
( ')B B
u P B B u
 
Ví dụ.
Trong 3
R cho hai cơ sở 1 2 3{ (1,1,1), (1,1,2), (1,2,3)}B u u u    và
 1 2 3' ' (2,1, 1), ' (3,2,5), ' (1, 1,1)B u u u      .
Khi đó      1 2 3
4 0 1
' 1 ; u' 4 ; u' 4
1 1 2
B B B
u
     
             
            
. Vậy
4 0 1
( ') 1 4 4
1 1 2
P B B
 
    
    
.
Áp dụng công thức trên ta được :
    '
4 0 1 0 1
( ') 1 4 4 1 0
1 1 2 1 1
B B
u P B B u
    
            
           
.

28. BÀI TẬP CHƯƠNG 3
3.1. Trong tập  ( , , ) : , , 0V x y z x R y R z R và x y z       , xét phép cộng và
nhân như sau 1 2 3 1 2 3( , , ) ; ( , , ) ,u x x x V v y y y V R      
Phép cộng ”+”: 1 1 2 2 3 3( , , )u v x y x y x y    
Phép nhân ”.”: 1 2 3( , , )u x x x   
a) Tập V với phép cộng và phép nhân như trên có không gian vectơ trên R
không? Tại sao?
b) Tập V có là không gian con của 3
R không? Tại sao?
3.2. Trong các trường hợp sau đây xét xem W có không gian con của không
gian vectơ 3
R ( 3
R là không gian vectơ trên R ):
 3
1 2 3 1( , , ) : 0W x x x R x  
 3
1 2 3 1 2 3( , , ) : 2W x x x R x x x   
 3
1 2 3 1 2( , , ) : 0W x x x R x x   
3.3 Trong các trường hợp sau đây, hãy xác định tham số m để vectơ x là tổ hợp
tuyến tính của các vectơ u, v, w.
Trong 3
R : u = (1,4,2); v = (6,0,7); w = (5,6,m); x = (1,3,5)
Trong 3
R : u = (1,4,3); v = (2,2,1); w = (4,1,6); x = (5,0,m).
Trong 3
R : u = (1,3,2); v = (2,-1,1); w = (3,-4,3); x = (1,m,5).
Trong 4
R : u = (1,0,-3,2); v = (4,1,3,-2); w = (16,9,1-3); x = (m,4,-1,1).
3.4 Gọi W là không gian con của 4
R sinh ra bởi các vectơ: 1 (2, 1,3,2)u   ,
2 3( 1,1,1, 3), (1,1,9, 5)u u     . Hỏi vectơ (3, 1,0, 1)u    có thuộc không gian
con của W không?
3.5 Cho x, y, z là ba vectơ độc lập tuyến tính trong không gian vectơ V. Xét
tính độc lập tuyến tính,phụ thuộc tuyến tính của họ các véc tơ sau:
 2 , ,S u x z v x y z w x x z        
 , ,S u x y v y z w z x      
3.6 Xét tính độc lập tuyến tính,phụ thuộc tuyến tính của các tập vectơ sau:
 ( 1,2,0),(3, 6,2)M    trong 3
R
 (1, 2,6),(6, 3,0)M    trong 3
R
 (2, 3, ),(3,2, 5),(1, 4,3)M m    trong 3
R

29.  (4, 5,2,0),(2, 2,1,0),(0, 3,3,9),(4,0,5,6)M     trong 4
R
 (1,0,1,1),(0.1.1.1),(1,1,0,1),(1,1,1, )M m trong 4
R
3.7 Trong không gian 4
R cho các tập:
 4
1 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4( , , , ) : , 2W x x x x R x x x x x x x      
 4
2 1 2 3 4 1 2 3( , , , ) :W x x x x R x x x   
 4
3 1 2 3 4 1 2( , , , ) : 0W x x x x R x x   
a) Chứng minh rằng 1 2 3, ,W W W là các không gian con của 4
R
b) Tìm một cơ sở của 1 2 3, ,W W W
3.8 Trong các tập vectơ sau, xét xem tập nào cơ sở của 3
R :
 1 2(1,2,1), (1,0,5)M u u  
 1 2 3 4(1, 2,3), (1,1, 1), (3,4,2), (6,2,1)M u u u u      
 1 2 3(0,2,3), (2, 3,4), (3,4, 5)M u u u     
 1 2 3(1,1,2), (1,2,1), (3,2,2)M u u u   
3.9 Trong 4
R cho tập  (1,2, 1, 2),(2,0,0,1),(1,3,1, 4),(1,3, 1,0)B      .
a) Chứng minh rằng B là cơ sở của 4
R
b) Tìm tọa độ vectơ (1,2, 1,2)x   đối với cơ sở B.
b) Xác định ma trận chuyển cơ sở từ B sang cơ sở chính tắc của 4
R
Xác định ma trận chuyển cơ sở từ B sang cơ sở
 ' (1,1,0,0), (1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,0,1,1)B  và tìm   'B
x .
3.10 Trong không gian 3
R , cho:
 1 2 3(1,0,1), (1,2,2), (0, 1, 1)B v v v      ,
 1 2 3(1,0, 1), (1,1,1), ( 1,2,2)E u u u     
a) Chứng minh B, E là các cơ sở của 3
R .
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E. Cho u = (1,2,3) , tìm  u 
,  E
u
c) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang B. Cho  
3
2
1
v 
 
   
  
, tìm v,  E
v

30. 3.11 Cho  1 2 3, ,B u u u là một cơ sở của 3
R và các vectơ 1 2 3, ,v v v có tọa độ đối
với cơ sở B lần lượt là:      1 2 3
1 1 1
1 , 0 , 2
1 3 1
v v v  
     
             
          
.
a) Chứng minh  1 2 3, ,E v v v là cơ sở của 3
R . Tìm 1 2 3, ,v v v theo 1 2 3, ,u u u .
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang B.
4 CHƯƠNG 4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
4.1 Ánh xạ tuyến tính
4.1.1 Định nghĩa
Cho V và U là hai không gian vectơ trên trường K. Ánh xạ :f V U được gọi là
ánh xạ tuyến tính nếu thỏa mãn hai điều kiện :
i)      f f f      với , V  
ii)    . . , ,f a a f a V     
Ta có thể viết lại thành :
     .f a a f f      với , ,a V    
Một ánh xạ tuyến tính :f V V gọi là một phép biến đổi tuyến tính của V.
Ví dụ.
1) Ánh xạ không : 0 :V U ,  0 0   là ánh xạ tuyến tính
2) Ánh xạ đồng nhất : :id V V ,  id   là một ánh xạ tuyến tính và cũng là
một phép biến đổi tuyến tính của V
3) Ánh xạ đạo hàm :    : x x   ,      'f x f f x  là một ánh xạ tuyến tính
4) Phép chiếu 3 2
:p   ,      1 2 3 1 2 3 1 2, , , , ,x x x p x x x x x là ánh xạ tuyến tính
5) Ánh xạ : 3 2
:T   với    2 2 2
1 2 3 2 3 1 2 3, , 4 ,T x x x x x x x x   không phải là ánh xạ tuyến
tính.
Thật vậy, lấy vectơ  1 2 3, ,u x x x . Khi đó:
   1 2 3, ,T cu T cx cx cx
       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 3 1 2 3 2 3 1 2 34 , 4 ,c x c x c x c x x c x x x x x c T u cT u       
4.1.2 Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính
Cho ,U V là các không gian vectơ và :f V U là ánh xạ tuyến tính. Khi đó :

31. 1)  0 0V Uf  do :    f f   với mọi V 
2) Với mọi 1 2 1 2, ,..., , , ,...,n na a a V    :
       1 1 2 2 1 1 2 2... ...n n n nf a a a a f a f a f           
3) Ánh xạ tuyên tính biến hệ phụ thuộc tuyến tính thành hệ phụ thuộc tuyến tính. Tức là
nếu 1 2, ,..., n   là hệ phụ thuộc tuyến tính trong V thì      1 2, ,..., nf f f   là hệ phụ
thuộc tuyến tính trong U
4) Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạng của một hệ vectơ, nghĩa là với mọi
1 2, ,..., n V    ta luôn có :         1 2 1 2, ,..., , ,...,n nrank f f f rank     
Ta chứng minh 3) và 4)
3) Giả sử 1 2 3, ,..., V    là một hệ phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại 1 2, ,..., na a a  không
đồng thời bằng không sao cho 1 1 2 2 ... 0n na a a      . Do đó
   1 1 2 2 ... 0n nf a a a f      .
Suy ra      1 1 2 2 ... 0n na f a f a f      mà 1 2, ,..., na a a  không đồng thời bằng
không nên      1 2, ,..., nf f f   là hệ phụ thuộc tuyến tính trong U
4) Giả sử    1
,..., ki if f  là một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ
    1 ,..., nf f  thì       1 2, ,..., nrank f f f k    nên theo tính chất 3), hệ
1
,... ki i  độc lập tuyến tính
Do đó hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ 1 2, ,..., n   có không ít hơn k vectơ, tức là
        1 2 1 2, ,..., , ,...,n nrank rank f f f      .
4.1.3 Định lý cơ bản về sự xác định của ánh xạ tuyến tính
Cho V là không gian vectơ n chiều ( dimV n ) và  1 2, ,..., n   là cơ sở tùy ý
của ,V U là không gian vectơ tùy ý và 1 2, ,..., n   là hệ vectơ tùy ý của U . Khi đó tồn
tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính :f V U thỏa mãn   , 1,i if i n   
Chứng minh.
Tính tồn tại:
Với mỗi x V thì tồn tại 1 2, ,..., na a a  sao cho: 1 1 2 2 ... n nx a a a      , ta định
nghĩa ánh xạ : :f V U như sau :   1 1 2 2 ... n nf x a a a      thì f là ánh xạ tuyến
tính thỏa mãn điều kiện của định lý.
Tính duy nhất :
Giả sử có hai ánh xạ tuyến tính , :f g V U thỏa mãn điều kiện của định lý. Khi đó với
mọi x V ta có : 1 1 2 2 ... n nx a a a      .

32. Suy ra :    1 1 2 2 ... n nf x f a a a     
     1 1 2 2 ... n na f a f a f     
     1 1 2 2 ... n na g a g a g     
   1 1 2 2 ... n ng a a a g x      
Vậy : f g
4.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
4.2.1 Các định nghĩa
Cho V, U là các không gian vectơ, :f V U là ánh xạ tuyến tính.
Ký hiệu     1
ker | 0Uf f O x V f x V
     và gọi là hạt nhân của ánh xạ tuyến tính
f .
Ký hiệu     Im |f f V f x x V U    và gọi là ảnh của ánh xạ tuyến tính f .
Có thể chứng minh được ker f , Im f lần lượt là các không gian vectơ con của V và U .
Nếu   là một cơ sở của V thì   f  là một tập sinh của  Im f f V .
4.2.2 Tìm cơ sở cho Imf và Kerf
Để tìm cơ sở của Im f ta tìm cơ sở 1,..., n  của V. Khi đó :
   1Im ,..., nf f f  và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ    1 ,..., nf f  là
cơ sở của Im f .
Để tìm cơ sở cho ker f ta chỉ cần tìm cơ sở cho không gian nghiệm của hệ PTTT
  Uf x O
Ví dụ : Cho ánh xạ tuyến tính 4 4
:f   với
   , , , 2 4 7 , 3 2 5 ,2 2 ,3 3f x y z t x y z t x y t x y z t x y z t            
Tìm cơ sở cho Im f và ker f
Giải.
Tìm cơ sở của Im f
Chọn một cơ sơ a tùy ý của 4
 , chẳng hạn ta chọn cơ sở chính tắc như sau :
     1 1,0,0,0 1, 3,2,3f e f  
     2 0,1,0,0 2, 2,1,1f e f  
     3 0,0,1,0 4,0, 1, 3f e f   
     4 0,0,0,1 7,5, 2, 1f e f    
Tìm cơ sở của Im f từ một tập sinh :

33. Lập ma trận
 
 
 
 
1
2
3
4
1 3 2 3
2 2 1 1
4 0 1 3
7 5 2 1
f e
f e
f e
f e
   
   
       
   
      
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận về dạng bậc thang
4 4 2
3 3 2
2 2 1
4 4 3 2
3 3 2
3
2
2
1
2
1 3 2 3 1 3 2 3
2 2 1 1 0 4 3 5
4 0 1 3 0 4 3 5
7 5 2 1 1 1 1 2
1 3 2 3
0 4 3 5
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
d d d
d d d
d d d
d d d d
d d d


 
 
 
  
 
    
   
     
      
   
       
   
       
  
  
   
Im f có một cơ sở là       1 21, 3,2,3 , 0,4, 3, 5        và dim Im 2f 
Tìm cơ sở của Kerf
Ta giải hệ phương trình tuyến tính
2 4 7 0
3 2 5 0
2 2 0
3 3 0
x y z t
x y t
x y z t
x y z t
   
   

   
    
Ma trận mở rộng của hệ phương trình tuyến tính trên là :
2 2 3
3 3 2
4 4 1
1 1 2
2 2
3 3 2
4 4 2
2
3
2
3
5
1 2 4 7 0 1 2 4 7 0
3 2 0 5 0 0 1 3 4 0
2 1 1 2 0 0 3 9 12 0
3 1 3 1 0 0 5 15 20 0
1 0 2 1 0
0 1 3 4 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
d d d
d d d
d d d
d d d
d d
d d d
d d d
 
 
 
 

 
 
     
   
      
      
            
  
 
 
 
  
 
Nghiệm ,z t  tùy ý, 2 , 4x z t y t z   
Cho 1, 0z t  ta được :  1 2, 3,1,0  
Cho 0, 1z t  ta được :  2 1,4,0,1  
Vậy cơ sở của Kerf là     1 22, 3,1,0 , 1,4,0,1       , dim Im 2f 

34. 4.2.3 Định lý (về mối liên hệ giữa số chiều của hạt nhân và ảnh)
Cho ánh xạ tuyến tính :f V U . Khi đó : dim dim Im dimKerf f V 
4.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính
4.3.1 Định nghĩa :
Cho V và U là các không gian vectơ,  1,..., n  là cơ sở của V ,  1,..., m  là
cơ sở của U và :f V U là ánh xạ tuyến tính. Do  if U  nên  if  biểu thị tuyến
tính được qua cơ sở   nên ta có hệ sau :
 
 
 
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
m m
m m
n n n nm m
f a a a
f a a a
f a a a
   
   
   
   

   


    
Khi đó ma trận
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
...
n
n
m m nm
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 
 
 
   
được gọi là ma trận của f trong cặp cơ sở    ,  và kí hiệu là :
   ,
fA
 
Trường hợp đặc biệt, khi f là phép biến đổi tuyến tính của V , :f V V và
     thì ma trận của f trong cặp cơ sở    ,  được gọi là ma trận của f trong cơ
sở   và kí hiệu là :
 
fA

Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính 2 3
:f   , với    1 2 1 2 1 2 2, 2 , ,f x x x x x x x   
     1 2: 1,1 , 1,0    là cơ sở của 2

       1 2 3: 1,1,1 , 1,2,1 , 1,3,2       là cơ sở của 3

Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở    ,  (tức là :
   ,
fA
 
)
Giải
Giả sử :  1 1 1 2 2 3 3f a a a      (1)
và :  2 1 1 2 2 3 3f b b b      (2)
Khi đó, ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở    ,  là :
   
1 1
2 2
,
3 3
f
a b
A a b
a b
 
 
   
  

35. Ta cần giải các phương trình vectơ (1), (2) để tìm 1 2 3, ,a a a và 1 2 3, ,b b b .
Từ (1) và (2), ta có 2 hệ phương trình sau :
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3
1 2 3 0
2 1
a a a
a a a
a a a
  

   
    
và :  
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 2 3 1
2 0
b b b
b b b
b b b
  

   
   
Vì ma trận hệ số của 2 phương trình trên là như nhau nên ta sẽ giải một lúc 2 hệ trên bằng
ma trận mở rộng sau :
1 1 1 3 1 1 1 1 3 1
1 2 3 0 1 0 3 2 3 0
1 1 2 1 0 0 2 1 4 1
     
   
    
        
1 1 1 3 1 1 1 1 3 1
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
0 2 1 4 1 0 0 1 6 3
     
   
    
          
Từ ma trận bậc thang sau cùng, ta được :
Hệ (1) : 1 2 38, 5, 6a a a    
Hệ (2) : 1 2 34, 2, 3b b b    
Vậy:
   ,
8 4
5 2
6 3
fA
 
  
    
  
BÀI TẬP CHƯƠNG 4
4.1 Các ánh xạ nào sau đây từ 2
  là ánh xạ tuyến tính ? ( 2
,  là các không
gian vectơ)
a)  , 3x y x b)   2
,x y xy
c)  , 2 3x y x y d)  ,x y x y
4.2 Các ánh xạ nào sau đây từ 2 2
  là ánh xạ tuyến tính ?
a)    , ,x y y x
b)    , 1 ,x y y x c)    2
, ,x y y x
4.3 Cho ánh xạ 4 3
:f   xác định bởi
   1 2 3 4 1 2 3 1 4 3 2 4, , , ,2 , 2f x x x x x x x x x x x x     
a) Chứng tỏ rằng f là ánh xạ tuyến tính
b) Tìm Kerf và Im f
4.4 Xác định ánh xạ tuyến tính 2 2
:f    biết :

36.    3,1 2,12f  ,    1,1 0,2f 
4.5 Xác định ánh xạ tuyến tính 3 2
:f    biết :
   1,2,3 1,0f  ,    1,0,10 0,1f  ,    2,3,5 15, 4f  
4.6 Xác định ánh xạ tuyến tính 3 3
:f    biết :
   1,2,3 1,0,1f   ,    1,1,1 0,1,0f   ,    1,3,4 1,0,2f 
4.7 Trong 3
 cho 2 cơ sở
 :  1 1,0,0u  ,  2 0,1,1u  ,  3 1,0,1u 
 :  1 1, 1,0v   ,  2 0,1, 1v   ,  3 1,0,1u 
và ánh xạ tuyến tính : 3 3
:f   , với  i if u v , 1,3i 
a. Tìm công thức của 2 2 2
2 1 2 3 1 2( ) 2 4Q x x x x x x   
b. Tìm các ma trận sau :
            3 , ,
, , ,f f f f f
e
A A A A A
     
(với 3
e là cơ sở chuẩn tắc trong 3
 )
4.8 Tìm vectơ riêng, giá trị riêng của ma trận sau :
a.
1 2
2 1
A
 
   
b.
1 1
5 3
A
 
   
4.9 a. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận:
1 1 1
1 3 1
3 1 1
A
  
   
   
b. Dựa vào đa thức đặc trưng, chứng minh A khả nghịch và chỉ ra biểu thức xác định
1
A
c. Tính  3det 2008A I
d. Tìm GTR, vectơ riêng của A.
4.10 Tìm vectơ riêng, giá trị riêng và chéo hóa các ma trận sau :
a.
1 0 1
0 0 0
1 0 1
 
 
 
  
b.
5 1 1
1 2 2
1 2 2
 
   
  
c.
1 2 1
2 4 2
1 2 1
 
 
 
  
d.
1 3 1 2
0 1 1 3
0 0 2 5
0 0 0 2
 
 
 
 
 
 

37. 4.11 Trong 3
 cho cơ sở :      1 2 31,1,1 , 1,2,1 , 1,3,2u u u   
và cho ánh xạ tuyến tính 3 3
:f   xác định bởi :
   1 0,5,3f u  ;    2 2,4,3f u  ;    3 0,3,2f u 
a) Xác định ánh xạ tuyến tính 3 3
:f  
b) Tìm một cơ sở để ma trận f trong cơ sở đó là ma trận chéo.
5 CHƯƠNG 5. DẠNG TOÀN PHƯƠNG
5.1 Trị riêng-vectơ riêng
5.1.1 Đa thức đặc trưng
Cho A là ma trận vuông cấp n   nA M  . Ta gọi đa thức đặc trưng của ma trận
A là đa thức
   det .A np x A x I 
Ví dụ. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận
2 2 1
2 2 0
3 1 1
A
 
   
  
    3 2
3
2 2 1
det . 2 2 0 5x 7x 8
3 1 1
A
x
p x A x I x x
x
 
       
 
5.1.2 Định lý Cayley – Hamilton:
Mỗi ma trận là nghiệm của đa thức đặc trưng của nó.
5.1.3 Giá trị riêng, vectơ riêng
Các nghiệm thực của đa thức đặc trưng  Ap x gọi là giá trị riêng của ma trận A
Nếu o là 1 giá trị riêng của A thì  det . 0o nx I A  . Do đó, hệ phương trình thuần nhất :
 
1 0
.
0
o n
n
x
A x I
x
   
       
      
 
có vô số nghiệm. Không gian nghiệm của hệ  . 0o nI A X   gọi là không gian con riêng
của ma trận A ứng với giá trị riêng o . Các vectơ khác không là nghiệm của hệ
 . 0o nI A X   được gọi là các vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng ox .

38. 5.1.4 Phương pháp tìm giá trị riêng, vectơ riêng.
Bước 1 : Tìm đa thức đặc trưng :    det .A np x A x I 
Bước 2 : Giải phương trình đa thức cấp n theo biến  : 0Ax p x  để tìm các trị riêng i
Bước 3 : Đối với mỗi trị riêng i , tìm các vectơ riêng tương ứng bằng cách giải hệ phương
trình tuyến tính thuần nhất   0iA I X  .
Ví dụ. Tìm giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận A:
1 3
2 4
 
  
Bước 1: Tìm đa thức đặc trưng của ma trận A:
    21 3
det 3 2
2 4
P A I

   

 
     
 
Bước 2: Giải phương trình đặc trưng :   0P   , ta có 2 giá trị riêng : 1 21, 2  
Bước 3: Tìm các vectơ riêng :
Ta tìm các vectơ riêng ứng với giá trị riêng 1 1 
 
2 3 0
0 2 3
2 3 0
x x y
A I x y
y x y
    
          
Không gian con riêng của A ứng với 1 1  là   (1) 3 ,2 |E a a a 
Các vectơ riêng của A ứng với 1 1  là tất cả các vectơ có dạng:  3 ,2a a với 0a  (vì
vectơ riêng phải khác không).
Ta có dim (1) 1E  và A có 1 vectơ riêng ĐLTT ứng với 1 1  là  1 3,2  .
Ứng với giá trị riêng 2 2  . Để tìm vectơ riêng ta giải hệ phương trình
 
3 3 0
0
2 2 0
x x y
A I x y
y x y
    
          
Không gian con riêng của A ứng với GTR 2 2  là   (2) , |E b b b 
Các vectơ riêng của A ứng với 2 2  là tất cả các vectơ có dạng :  ,b b với 0b 
Ta có dim (2) 1E  và A có một vectơ riêng ĐLTT ứng với 2 2  là  2 1,1  .
5.1.5 Định lý
Nếu 1 2, ,..., mX X X lần lượt là m vec tơ riêng ứng với m trị riêng phân biệt
1 2, ,..., ( )m m n    của ma trận vuông [ ]ij nxmA a thì hệ vectơ  1 2 mX X X độc lập

39. tuyến tính. Nói cách khác, các vec tơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau của A tạo thành
một hệ vec tơ độc lập tuyến tính.
5.2 Chéo hóa ma trận
5.2.1 Định nghĩa
Ma trận vuông A cấp n được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận T vuông cấp
n không suy biến sao cho 1
T AT
là ma trận chéo.
Ma trận T được gọi là ma trận làm chéo A, và ma trận A được chéo hóa bởi ma trận T
Câu hỏi đặt ra là có phải ma trận vuông nào cũng chéo hóa được không, điều kiện để ma
trận vuông chéo hóa được là gì và tìm ma trận T như thế nào ? Ta bắt đầu bằng định lí sau:
5.2.2 Định lí (Điều kiện chéo hoá được)
 nA M K chéo hoá được khi và chỉ khi A có đủ n vectơ riêng độc lập tuyến tính
hay
1
dim ( )
k
i
i
E n

 , với 1,..., k  là tất cả các giá trị riêng của A.
Ma trận T làm chéo hóa A là ma trận có các cột là n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A
nói cách khác các cột của T là các cơ sở của các không gian con riêng của A.
Từ định lí trên ta suy ra phương pháp chéo hoá ma trận vuông A như sau:
Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng độc lập tuyến tính của A. Khi đó xảy ra một trong
hai khả năng sau :
Nếu tổng số vectơ riêng ĐLTT của A bé hơn n thì A không chéo hoá được (tức là
không tồn tại  nT M K để 1
T AT
là ma trận chéo)
Nếu tổng số vectơ riêng độc lập tuyến tính của A bằng n thì A chéo hoá được. Khi
đó ma trận T cần tìm là ma trận mà các cột của nó chính là các vectơ riêng độc lập tuyến
tính của A viết theo cột và :
1
21
0 ... 0
0 ... 0
0 0 ... n
T AT




 
 
 
 
 
 
   
là ma trận chéo. Trong đó i là giá trị riêng của A ứng với vectơ riêng là vectơ cột thứ i
của ma trận T.
Ví dụ. Chéo hoá ma trận
1 3
2 4
A
 
   
(nếu được).
Ma trận A có 2 giá trị riêng là : 1 21, 2   và có 2 vectơ riêng độc lập tuyến tính là :
 1 3,2  và  2 1,1  . Do số vectơ riêng bằng cấp của A nên chéo hóa được.
Ma trận T cần tìm là :
3 1
2 1
T
 
  
 
. Khi đó 1 1 0
0 2
T AT  
  
 
Nếu chọn
1 3
1 2
T
 
  
 
thì 1 2 0
0 1
T AT  
  
 

40. 5.3 Dạng toàn phương
5.3.1 Dạng toàn phương
Định nghĩa Dạng toàn phương trên Rn
là đa thức đẳng cấp bậc 2 của n biến
1 2, ,..., nx x x :
 
111 12 1
21 22 2 2
1 2
1 1
1 2
( ) X , ,...,
n
n n
nT
ij i j n
i j
n n nn n
xa a a
a a a x
Q x a x x AX x x x
a a a x
 
  
  
    
  
  
  



   

trong đó A là ma trận đối xứng.
Ma trận A được gọi là ma trận của dạng toàn phương.
Ví dụ.   1 2 2
2 1 2 1 1 2 2
2
3 2
( ) , 3 4 5
2 5
T
x
Q x X AX x x x x x x
x
  
          
là dạng toàn phương trên
R2
với ma trận
3 2
2 5
A
 
   
Ví dụ.
 
1
2 2
3 1 2 3 2 1 1 2 1 3 2 3 2
3
1 1 3
( ) , , 1 4 2 2 6 4 4
3 2 0
T
x
Q x x Ax x x x x x x x x x x x x
x
    
           
    
là dạng toàn phương trên R3
với ma trận
1 1 3
1 4 2
3 2 0
A
  
   
  
Ví dụ.
Tìm ma trận của dạng toàn phương 2 2 2
1 1 2 2 1 3 3 2 3( ) 2 2 6 3 2Q x x x x x x x x x x     
Ta viết lại
2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 3 3 1 3 2 3 3 2( ) 2 3 3 3Q x x x x x x x x x x x x x x x x        
Do đó
2 1 3
1 1 1
3 1 3
A
 
   
 
 
5.3.2 Phân loại dạng toàn phương
Dạng toàn phương Q(x) được gọi là:

41. 1)Xác định dương, nếu ( ) 0, 0Q x x  
2) Nửa xác định dương, nếu ( ) 0, 0Q x x  
3) Xác định âm, nếu ( ) 0, 0Q x x  
4) Nửa xác định âm, nếu ( ) 0, 0Q x x  
5) Không xác định dấu, nếu ngoài các trường hợp trên.
Ví dụ. 2 2
1 1 2( ) 2Q x x x  là dạng toàn phương xác định dương trên R2
.
2 2
2 1 3( ) 2Q x x x  là dạng toàn phương nửa xác định dương trên R3
.
2 2
3 1 2( ) 2Q x x x  là dạng toàn phương không xác định dấu trên R2
.
5.3.3 Dạng chính tắc của dạng toàn phương
Dạng toàn phương Q(x) được gọi là ở dạng chính tắc nếu:
2 2 2
1 1 2 2( ) n nQ x a x a x a x   
Ví dụ. Trong R3
các dạng toàn phương sau ở dạng chính tắc:
2 2 2
1 1 2 3( ) 2Q x x x x   ma trận tương ứng 1
1 0 0
0 2 0
0 0 1
A
 
   
  
2 2
2 1 2( ) 2Q x x x  ma trận tương ứng 2
2 0 0
0 1 0
0 0 0
A
 
   
 
 
2 2
3 2 3( ) 3Q x x x  ma trận tương ứng 3
0 0 0
0 1 0
0 0 3
A
 
   
 
 
Dễ thấy ma trận của dạng toàn phương chính tắc là ma trận chéo
1
2
0 0
0 0
0 0 n
a
a
A
a
 
 
 
 
 
 


  

5.4 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Một dạng toàn phương ở dạng chính tắc có cấu trúc rõ ràng, dễ nghiên cứu, phân
loại. Trong phạm vi chương trình chúng ta xét các phương pháp sau đưa dạng toàn phương
bất kỳ về dạng chính tắc

42. 5.4.1 Định lí (Phương pháp biến đổi trực giao)
Cho dạng toàn phương ( ) T
Q x X AX với 1 2, , , n   là các trị riêng của A. T là
ma trận trực giao làm chéo hóa A tức là 1
T AT D
 . Khi đó, bằng cách đổi biến X TY
ta được:
2 2 2
1 1 2 2
T T
n nX AX Y DY y y y      
Chứng minh.
Vì T là ma trận trực giao nên: 1T
T T
 . Ngoài ra D là ma trận chéo nên
1 2 2 2
1 1 2 2( ) ( )T T T T T T
n nX AX TY A TY Y T ATY Y T ATY Y DY y y y  
       
Thuật toán biến đổi trực giao:
Bước 1: Viết ma trận A của dạng toàn phương
Bước 2: Chéo hóa A bởi ma trận trực giao T, tức là tìm ma trận trực giao T sao cho:
1
T AT D
 , với D là ma trận chéo.
Bước 3: Kết luận dạng chính tắc cần tìm là:
' 2 2 2
1 1 2 2( ) T
n nQ y Y DY y y y      
với 1 2, , , n   là các trị riêng của A
Ví dụ. Cho dạng toàn phương: 2 2 2
1 1 3 2 2 3 3( ) 2 2 2 2 3Q x x x x x x x x    
Ma trận của Q là
2 0 1
0 2 1
1 1 3
A
 
   
   
Ma trận A có các trị riêng: 1 2 31, 2, 4     với 3 vectơ riêng trực chuẩn
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 2
, , ; , ,0 ; , ,
3 3 3 2 2 6 6 6
u u u
    
        
    
Do đó dạng chính tắc là: ' 2 2 2
1 2 3( ) 2 4Q y y y y   với phép đổi biến: X TY hay
1 1
2 2
3 3
1 1 1
3 2 6
1 1 1
3 2 6
1 2
0
3 6
x y
x y
x y
 
 
    
    
     
        
 
 
5.4.2 Phương pháp Lagrange
Nội dung của phương pháp Lagrange là biến đổi biểu thức tọa độ của dạng toàn
phương thành các tổng bình phương. Thuật toán Lagrange có thể chia làm các bước sau:
Bước 1: Chọn một số hạng có chứa 2
kx ( 0)kka  .

43. (Nếu không có số hạng nào như vậy trong biểu thức tọa độ của dạng toàn phương thì có
thể tìm được 0ija  , ta đổi biến:
' ' '
; ; , ( , )
2 2
i j i j
i j k k
x x x x
x x x x k i k j
 
     .
Khi đó xuất hiện số hạng chứa '2
ix )
Bước 2: Tách biểu thức tọa độ của dạng toàn phương thành 2 nhóm: một nhóm có chứa
kx , nhóm còn lại không chứa kx
Bước 3: Trong nhóm thứ nhất ta lập thành tổng bình phương
Bước 4: Quay lại bước 1,2,3 cho nhóm thứ hai và cứ thế tiếp tục cho đến khi tìm được
dạng chính tắc.
Ví dụ. Đưa dạng toàn phương 2 2 2
1 1 3 2 2 3 3( ) 2 2 2 2 3Q x x x x x x x x     về dạng chính tắc
bằng phương pháp Lagrange.
Ta có:
2 2 2
1 1 3 2 2 3 3
2 2 2
1 1 3 2 2 3 3
2 2 2 2
1 1 3 3 2 2 3 3
2
2 2 2
1 3 2 2 3 3 3
2
1 3
( ) 2 2 2 2 3
(2 2 ) (2 2 3 )
1 1 5
2 2 2 2
2 4 2
1 1 1
2 2 2 2
2 2 4
1
2
2
Q x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
    
    
   
        
   
   
        
   
 
  
 
2
2
2 3 3
2 2 2
1 2 3
1
2 2
2
2 2 2
x x x
y y y
 
   
 
  
Trong đó 1 1 3 2 2 3 3 3
1 1
; ;
2 2
y x x y x x y x    
Nhận xét: Một dạng toàn phương có thể có nhiều dạng chính tắc khác nhau.
5.4.3 Luật quán tính.
Như trên ta đã thấy, một dạng toàn phương có thể có nhiều dạng chính tắc khác
nhau. Tuy nhiên các dạng chính tắc này đều có đặc điểm chung là số các hệ số dương và
âm là bất biến.
Số các hệ số dương (âm) trong dạng chính tắc của một dạng toàn phương gọi là chỉ số
quán tính dương (âm).
5.4.4 Định lý.
Chỉ số quán tính dương (âm) trong dạng chính tắc của một dạng toàn phương
không phụ thuộc vào phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

44. 5.4.5 Định lý (Dạng toàn phương xác định dấu)
Cho dạng toàn phương Q(x) trên Rn
. Q(x) xác định dương (âm) khi và chỉ khi chỉ
số quán tính dương (âm) bằng n.
Ví dụ.
1) Trong R3
, dạng toàn phương: 2 2 2
1 2 3( ) 2 4Q x x x x   có chỉ số quán tính dương bằng 3
nên nó xác định dương.
2) Trong R4
, dạng toàn phương: 2 2 2 2
1 2 3 4( ) 5 2 3Q x x x x x     có chỉ số quán tính âm bằng
4 nên nó xác định âm
Nhận xét: Một dạng toàn phương xác định dương (âm) khi và chỉ khi ma trận của nó chỉ
có các trị riêng dương (âm). Một dạng toàn phương là nửa xác định dương (âm) khi và chỉ
khi ma trận của nó có trị riêng bằng không và các trị riêng còn lại đều dương (âm).
5.4.6 Định lý (Sylvester)
Giả sử dạng toàn phương Q có ma trận A. Khi đó:
i) Q xác định dương khi và chỉ khi các định thức con chính k của A đều dương
ii) Q xác định âm khi và chỉ khi các định thức con chính của A đan dấu với 1<0
Ví dụ. Xét dạng toàn phương: 2 2 2
1 1 2 2 2 3 3 1 3( ) 2 2 2 2 2Q x x x x x x x x x x      
Ma trận của dạng toàn phương
1 1 1
1 2 1
1 1 2
A
 
    
   
Các định thức con chính:
1 2 3
1 1
1 0 ; 1 0 ; 1 0
1 2
A

            

.
Vậy Q(x) là dạng toàn phương xác định âm.
BÀI TẬP CHƯƠNG 5
5.1 Tìm ma trận của các dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc):
a) 2 2 2
1 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 3 4 2Q x x x x x x x x x x     
b) 2 2 2
2 1 2 3 1 2 1 3( ) 3 2 5 4Q x x x x x x x x    
5.2 Viết ma trận và biểu thức tọa độ của các dạng toàn phương ở câu trên trong cơ sở
1 2 3{ (0,0,1); (1, 1,0); (1,1,1)}F f f f    
5.3 Cho các dạng toàn phương:
a) 2 2
1 1 2 1 2( ) 2 4Q x x x x x  
b) 2 2 2
2 1 2 3 1 2( ) 2 4Q x x x x x x   

45. c) 2 2 2
3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 2 2 2 2Q x x x x x x x x x x     
d) 2 2 2
4 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 2 2 2Q x x x x x x x x x x     
Hãy tìm một dạng chính tắc của các dạng toàn phương trên bằng phương pháp biến
đổi trực giao.
5.4 Cũng với câu hỏi như trên nhưng sử dụng phương pháp Lagrange.
5.5 Tìm một dạng chính tắc của các dạng toàn phương sau bằng phương pháp Lagrange:
a) 2 2
1 1 2 1 2 2 3( ) 2 2 2Q x x x x x x x   
b) 2 2 2
2 1 2 3 1 2 2 3( ) 2 2 2Q x x x x x x x x     
c) 2 2 2
3 1 2 3 1 3 2 3( ) 2 2 3 2 2Q x x x x x x x x    
d) 2 2 2
3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 4 4 2Q x x x x x x x x x x     
5.6 Sử dụng tiêu chuẩn Sylvester, cho biết dạng toàn phương nào sau đây là xác định
dương, xác định âm:
a) 2 2 2
1 1 2 3 1 3 2 3( ) 2 2 2Q x x x x x x x x     
b) 2 2 2
2 1 2 3 1 3 2 3( ) 2 3 2 2Q x x x x x x x x    
c) 2 2 2
3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 3 4 4 2Q x x x x x x x x x x     
5.7 Tìm a để dạng toàn phương sau xác định dương:
2
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
15
( ) 2 2 4
2
a
Q x x x x x x x x x x
 
      
 
5.8 Với giá trị nào của b thì dạng toàn phương: 2 2 2
1 2 3 1 2 1 3( ) 2 2 2Q x x x x x x bx x     là xác
định dương, nửa xác định dương?

46. MỤC LỤC
1CHƯƠNG 1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC ............................. 1
1.1 Ma trận.......................................................................................1
1.1.1 Định nghĩa. ...................................................................................1
1.1.2 Các dạng đặc biệt của ma trận.......................................................1
1.1.3 Các phép toán về ma trận ..............................................................3
1.1.4 Các tính chất của các phép toán trên ma trận.................................6
1.1.5 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng...............................................6
1.1.6 Ma trận bậc thang..........................................................................7
1.1.7 Hạng của ma trận ..........................................................................8
1.2 Định thức....................................................................................9
1.2.1 Định thức cấp 2.............................................................................9
1.2.2 Định thức cấp 3.............................................................................9
1.2.3 Định thức cấp n.............................................................................9
1.2.4 Các tính chất của định thức .........................................................10
1.3 Ma trận nghịch đảo.................................................................. 11
1.3.1 Định nghĩa ..................................................................................11
1.3.2 Định lí.........................................................................................11
1.3.3 Tính chất.....................................................................................11
1.3.4 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp.12
1.3.5 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo nhờ định thức....................13
2CHƯƠNG 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ........ 15
2.1 Hệ phương trình tuyến tính..................................................... 15
2.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát..........................................15

47. 2.1.2 Nghiệm của hệ phương trình .......................................................16
2.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính....................... 17
2.2.1 Phương pháp Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính.............17
2.2.2 Định lý Kronecker – Capelli........................................................18
2.2.3 Định lý........................................................................................18
2.2.4 Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính...............18
3CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN VECTƠ............................... 21
3.1 Không gian Véc-tơ ................................................................... 21
3.1.1 Định nghĩa ..................................................................................21
3.1.2 Các Ví dụ về không gian Véc-tơ..................................................21
3.1.3 Tính chất.....................................................................................21
3.2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính ........................... 22
3.2.1 Tổ hợp tuyến tính........................................................................22
3.2.2 Phụ thuộc tuyến tính....................................................................22
3.2.3 Độc lập tuyến tính.......................................................................23
3.2.4 Các tính chất. ..............................................................................23
3.2.5 Định lý........................................................................................23
3.3 Không gian Vectơ con.............................................................. 24
3.3.1 Định nghĩa. .................................................................................24
3.3.2 Định lý........................................................................................24
3.3.3 Tập sinh – không gian vectơ sinh bởi một tập hợp.......................24
3.3.4 Định lý........................................................................................24
3.4 Cơ sở- số chiều- tọa độ............................................................. 25
3.4.1 Cơ sở, số chiều của không gian véctơ..........................................25
3.4.2 Định lý........................................................................................25
3.4.3 Định lý........................................................................................25

48. 3.4.4 Tọa độ của véc tơ trong cơ sở......................................................26
3.4.5 Ma trận chuyển cơ sở..................................................................26
3.4.6 Định lý........................................................................................27
3.4.7 Định lý (công thức đổi tọa độ).....................................................27
4Chương 4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH .................................. 30
4.1 Ánh xạ tuyến tính..................................................................... 30
4.1.1 Định nghĩa ..................................................................................30
4.1.2 Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính..................................30
4.1.3 Định lý cơ bản về sự xác định của ánh xạ tuyến tính ...................31
4.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính......................................... 32
4.2.1 Các định nghĩa ............................................................................32
4.2.2 Tìm cơ sở cho Imf và Kerf ..........................................................32
4.2.3 Định lý (về mối liên hệ giữa số chiều của hạt nhân và ảnh) .........34
4.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính................................................ 34
4.3.1 Định nghĩa : ................................................................................34
5Chương 5. dẠng TOÀN PHƯƠNG .................................... 37
5.1 Trị riêng-vectơ riêng................................................................ 37
5.1.1 Đa thức đặc trưng........................................................................37
5.1.2 Định lý Cayley – Hamilton: ........................................................37
5.1.3 Giá trị riêng, vectơ riêng .............................................................37
5.1.4 Phương pháp tìm giá trị riêng, vectơ riêng...................................38
5.1.5 Định lý........................................................................................38
5.2 Chéo hóa ma trận..................................................................... 39
5.2.1 Định nghĩa ..................................................................................39
5.2.2 Định lí (Điều kiện chéo hoá được)...............................................39
5.3 Dạng toàn phương ................................................................... 40

49. 5.3.1 Dạng toàn phương.......................................................................40
5.3.2 Phân loại dạng toàn phương ........................................................40
5.3.3 Dạng chính tắc của dạng toàn phương.........................................41
5.4 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.............................. 41
5.4.1 Định lí (Phương pháp biến đổi trực giao) ....................................42
5.4.2 Phương pháp Lagrange................................................................42
5.4.3 Luật quán tính. ............................................................................43
5.4.4 Định lý........................................................................................43
5.4.5 Định lý (Dạng toàn phương xác định dấu)...................................44
5.4.6 Định lý (Sylvester) ......................................................................44