Exercicios resolvidos (1)

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Professor Mestre Matusalém Vieira Martins
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Resolução dos exercícios do Trabalho
Efetivo Discente – TED
Lista de exercícios 1.
01) Determine os elementos dos conjuntos:
a) A = { x | x2
= 9 }
Solução:
x2
= 9
𝑥 = ±√9
𝑥 = ±3
A = {-3, 3}
b) B = { x | x é letra da palavra "arara"}
B = {a, r}
c) C = { x | x  R e x2
< 0 }
C = 𝝓
d) D = { x | x  N e x 3 }
D = {0,1,2,3}
02) Descreva por meio de uma propriedade característica de seus elementos os conjuntos:
a) A = { a, e, i, o, u }
A = { x | x é vogal}
b) B = { 2, 4, 6, 8, ....}
B= { x | x é natural par}
c) C = { r, s, t, u, v, x, z}
C = { x | x são as 7 últimas letras do alfabeto}
03) Sejam A= {x, y, z} e B={x}. Escrever com símbolos as seguintes sentenças classificando-as em
falsas ou verdadeiras:
a) x é elemento de A
x ∈ A verdadeira
b) y não pertence a B
y∉ 𝑩 verdadeira
c) B é subconjunto de A
𝑩 ⊂ 𝑨 verdadeira
d) B pertence a A
Está não é uma relação válida
e) B está contido em A
𝑩 ⊂ 𝑨 verdadeira
04) Se A = {a} , B = {a, b} , C = {c, d} , D = { a, b, c} e E = { b, c, d}, determinar quais das seguintes
sentenças são verdadeiras, justificando as falsas:
a) A  D ( V )
b) B  E ( F ) pois em a ∉ D

2
c) D = E ( F ) pois possuem elementos diferentes
d) C  D ( F ) pois a ∉ 𝑫 e b ∉ 𝑫
e) B  C ( V )
f) B  D ( F ) pois os elementos de pertencemtambém a D
05) Dados A= {x  R | 0 x 4} e B = {xR | 1 x 3} determinar A - B.
A – B = { x ∈ R |0≤ x< 1 e 3< x≤4}
06) Numa escola com 517 alunos, 290 estudam Matemática, 210 estudam Física e 112 não estudam
nem Matemática nem Física. Pede-se:
 quantos alunos estudam Matemática ou Física? 405
 quantos alunos estudam Matemática e Física? 95
 quantos alunos estudam Matemática e não estudam Física? 195
Como a escola tem 517 e 112 não estudam nem matemática e nem física, temos:
517 – 112 = 405
Portanto 405 alunos estudam matemática e/ou física.
Como 290 estudam matemática e 210 estudam física, temos:
290 + 210 = 500
Mas como vimos temos apenas 405 alunos, logo a diferença são os alunos que estudam as duas
matérias.
500- 405 = 95
Veja a representação no diagrama de Venn.
07) Dado o conjunto A = {a, c, e, g, i}, indique quais das seguintes sentenças são verdadeiras:
a) e A V
b) hA F
c) iA F
d) cA V
e) dA V
08) Represente, através da enumeração dos elementos, os seguintes conjuntos:
a) O conjunto A, dos números primos menores que 10.
A = { 2,3,5,7}
b) O conjunto B, dos pólos geográficos.
B = {norte, sul, leste, oeste}
c) O conjunto C, dos números múltiplos positivos de 3 menores que 15.
C = {3,6,9,12}
d) O conjunto D, dos divisores positivos de 9.
D= {1,3,9}
e) O conjunto E, dos números pares maiores que 7.
E = {8,10,12,14,...}
M F
U
195 11595
112

3
09) Determine os elementos dos seguintes conjuntos:
a) A = {x | x é número de uma das faces do dado}
A = {1,2,3,4,5,6}
b) B = {x | x é dia da semana cujo nome começa por s}
B = { segunda-feira, sexta-feira, sábado}
c) C = {x | x é numero ímpar compreendido entre 12 e 18}
C = {13,15,17}
d) D = {x | x é consoante da palavra conjunto}
D = {c,n,j,t}
10) Represente os seguintes conjuntos através de uma propriedade comum a seus elementos:
a) A = {1,3,5}
A = { x | x é impar e x<7}
b) B = {1,2,4,8,16,32}
B = { x | x é 𝟐 𝒙 com 𝟏 ≤x≤ 𝟓}
c) C = {cheia, nova, minguante, quarto crescente}
C = { x | x fases da lua}
d) D = {trapézio retângulo, trapézio isósceles, trapézio escaleno}
D = { x | x tipos de trapézio }
11) Verifique se cada um dos seguintes conjuntos é unitário ou vazio, JUSTIFICANDO SUA RESPOSTA:
a) A = {x | x é número natural e x – 2 = 5}
É unitário pois só existe um valor para x, x = 7
b) B = {x | x é número par compreendido entre 6 e 8}
É vazio pois não existe par entre 6 e 8
c) C = {x | x é número natural primo e par}
É unitário pois só existe o número 2
d) D = {x | x é número natural e x . 0 = 2}
É vazio pois todo número multiplicado por 0 dá como resultado 0
12) Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6}, B = {0, 4}, C = {4} e D = {0, 2} assinale as sentenças verdadeiras,
JUSTIFICANDO SUA RESPOSTA:
a) A  C V
b) D  B V
c) C  B F pois em 0∉C
d) A  D V
13) Dados os conjuntos
A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {x | x é número natural e x – 5 = 2}
C = {x | x é número inteiro compreendido entre 5 e 8}
Assinale as sentenças verdadeiras, JUSTIFICANDO SUA RESPOSTA:
a) A C F pois 6 ∉ 𝑪
b) B  A V pois todos elementos de B também são de A
14) Determine o número de elementos de P(A) nos seguintes casos:

4
a) A = {x | x é número primo entre 4 e 8}
𝟐 𝒏 onde n é o número de elementos do conjunto,
Logo como A tem 2 elementos, temos
𝟐 𝟐 = 𝟒
b) B = {x | x é numero natural ímpar menor do que 8}
𝟐 𝒏 onde n é o número de elementos do conjunto,
Logo como A tem 4 elementos, temos
𝟐 𝟒 = 𝟏𝟔
15) Sabendo que o conjunto das partes de um conjunto tem 32 elementos, determine o número de
elementos do conjunto A.
𝟐 𝒏 = 𝟑𝟐
𝟐 𝒏 = 𝟐 𝟓
𝒏 = 𝟓
16) Dado A ={4, 6}, temos que P(A) = {  , {4}, {6}, A}. Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada
afirmação, justificando cada afirmação:
a) 4A V
b) 4 P(A) F, pois 4 é elemento do conjunto A
c)   P(A) V
d)   A F, pois está contido nas partes de A
e) A P(A) V
17) Hachure nos diagramas a região que representa os seguinte conjuntos:
a) A B b) A B  C
18) Dados os conjuntos A = {a, e}, B = {b, c, d, f}, C = {a, c, e, g} e D = {b, d, f}, determine:
a) A B= {a,b,c,d,e,f}
b) A C= {a,c,e,g}
c) B  D={b,c,d,f}
d) (A  B)  C = {a,b,c,d,e,f,g}
19) Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 4, 6, 8} e C = {3, 4, 5}, obtenha:
a) A – B = {1, 3, 5, 7}
b) B – C = {2, 6, 8}
c) C – B = {3, 5}
d) A – C = {1, 7}
20) Indique se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação:
a) A – B = B – A F
b) (A – B)  (A B) V
c) (A – B)  A V
01) Hachure nos diagramas a região que representa os seguinte conjuntos:
a) A  B b) A  B  C
A B A B

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21) Numa comunidade são consumidos três produtos A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado sobre o
consumo foram obtidos os resultados da tabela abaixo:
Produtos A B C A e B B e C A e C A e B e C Nenhum
No.
Consumidor
es
100 150 200 20 40 30 10 130
Determine quantas pessoas:
a) foram consultadas.
É só somar todos os valores do diagrama
60+10+10+20+100+30+140+130 = 500
b) consomem somente dois produtos.
É só somar as interseções entre dois conjuntos
10+20+30=60
c) não consomem o produto B.
é só somar os pedaços fora de B
60+20+140+130= 350
d) não consomem Aou não consomem B.
É só somar as partes fora de A e de B
140+ 130 = 270
Lista de exercícios 6:
22) Verdadeiro ou falso?
a) ( F ) Vetor é uma grandeza escalar.
b) ( V ) Norma de um vetor é sinônimo de tamanho de um vetor.
c) ( F ) Um vetor é uma flecha.
d)( V ) Duas flechas de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são representantes de um
mesmo vetor.
e) ( V ) A norma de um vetor e a de seu oposto são iguais: // - u

// = // u

//
f ) ( V ) Se // u

// = 1 então u

é chamado versor.
g) ( V ) O único vetor de norma zero é o vetor nulo.
h) ( V ) Para todo vetor u

tem-se 0u  .
i ) ( V ) Se u

é um vetor qualquer e A um ponto qualquer, tem-se A – A // u

.
j ) ( V ) AAB  B
A B
U
60 10010
140
10
3020
130
C

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23) Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações referentes à Figura 01, justificando sua
resposta:
FIGURA 01
a) O – F = C – O ( V )
Pois representam o mesmo vetor
b) E – O = B – O ( F )
Não pois são vetores opostos
c) B – O = C – O ( F )
Não pois são vetores de mesmo tamanho mas sentido e direção diferentes
d) D – O = O – A ( V )
e) A – O = O – D ( V )
f) E – O = -(O – E) ( V )
g) C – O = -(F – O) ( V )
h) C – F = D – E ( F )
Não pois tem tamanho diferentes
i) C – B = D – O ( V )
24) Na figura 06 estão representados os vetores paralelos u

e v

e estão indicadas suas normas. Calcule
a norma de vu

 em cada caso e desenhe uma flecha que representa vu

 .

7
FIGURA 06
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
A2) u + v = v + u
A3) u + 0 = u
A4) u +(-u) = 0
M1) (𝜶𝜷).u = 𝜶(𝜷.u)
M2) (𝜶 + 𝜷).u = 𝜶.u + 𝜷.u
M3) 𝜶(u + v) = 𝜶.u + 𝜶.v
M4) 1.u = u
Nos problemas seguintes, apresenta-se, em cada um deles, um conjunto com as operações de adição e
multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que
não são, citar os axiomas que não se verificam.
25) {(x, 2x, 3x); x  ℝ }: com as operações usuais
u = (x1, 2x1, 3x1), v = (x2, 2x2, 3x2) e w = (x3, 2x3, 3x3),
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(x1, 2x1, 3x1)+ (x2, 2x2, 3x2)] + (x3, 2x3, 3x3) = (x1, 2x1, 3x1) + [(x2, 2x2, 3x2) + (x3, 2x3, 3x3)]
[(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2)] + (x3, 2x3, 3x3) = (x1, 2x1, 3x1) + [(x2+x3, 2x2+2x3, 3x2+3x3)]
(x1+x2+x3, 2x1+2x2+2x3, 3x1+3x2+3x3) = (x1+x2+x3, 2x1+2x2+2x3, 3x1+3x2+3x3)
(x1+x2+x3, 2(x1+x2+x3), 3(x1+x2+x3)) = (x1+x2+x3, 2(x1+x2+x3), 3(x1+x2+x3))
Este axioma se verifica
A2) u + v = v + u
(x1, 2x1, 3x1)+ (x2, 2x2, 3x2) = (x2, 2x2, 3x2) + (x1, 2x1, 3x1)
(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2) = (x2+x1, 2x2+2x1, 3x2+3x1)
(x1+x2, 2(x1+x2), 3(x1+x2)) = (x2+x1, 2(x2+2x1), 3(x2+x1))
A3) u + 0 = u
(x1, 2x1, 3x1) + (0,0,0) = (x1, 2x1, 3x1)
(x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)
A4) u +(-u) = 0
(x1, 2x1, 3x1) + (-x1, -2x1, -3x1) = (0,0,0)
(0,0,0) = (0,0,0)
u + v = 0u + v = 10 u + v = 4

8
M1) (𝜶𝜷).u = 𝜶(𝜷.u)
(𝛼𝛽). (x1, 2x1, 3x1) = 𝛼(𝛽. (x1, 2x1, 3x1))
(𝛼𝛽 x1, 2 𝛼𝛽 x1, 3 𝛼𝛽 x1) = 𝛼(𝛽 x1, 2 𝛽 x1, 3 𝛽 x1)
(𝛼𝛽 x1, 2 𝛼𝛽 x1, 3 𝛼𝛽 x1) = (𝛼𝛽 x1, 2 𝛼𝛽 x1, 3 𝛼𝛽 x1)
M2) (𝜶 + 𝜷).u = 𝜶.u + 𝜷.u
(𝛼 + 𝛽). (x1, 2x1, 3x1) = 𝛼. (x1, 2x1, 3x1) + 𝛽. (x1, 2x1, 3x1)
((𝛼 + 𝛽)x1, (𝛼 + 𝛽)2x1, (𝛼 + 𝛽) 3x1) = (𝛼 x1, 𝛼 2x1, 𝛼 3x1) + (𝛽 x1, 𝛽 2x1, 𝛽 3x1)
(𝛼 x1+ 𝛽x1, 𝛼 2x1+ 𝛽2x1, 𝛼 3x1+ 𝛽 3x1) = (𝛼 x1+ 𝛽 x1, 𝛼 2x1+ 𝛽 2x1, 𝛼 3x1+ 𝛽 3x1)
M3) 𝜶(u + v) = 𝜶.u + 𝜶.v
𝛼[(x1, 2x1, 3x1) + (x2, 2x2, 3x2)] = 𝛼. (x1, 2x1, 3x1) + 𝛼. (x2, 2x2, 3x2)
𝛼 [(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2)] = (𝛼 x1, 𝛼 2x1, 3 𝛼 x1) + (𝛼 x2, 2 𝛼 x2, 3 𝛼 x2)
𝛼 [(x1+x2, 2(x1+x2), 3(x1+x2))] = (𝛼 x1+ 𝛼 x2, 𝛼 2x1+2 𝛼 x2, 3 𝛼 x1+3 𝛼 x2)
(𝛼 (x1+x2), 2 𝛼 (x1+x2), 3 𝛼 (x1+x2)) = (𝛼 (x1+x2), 2 𝛼 (x1+x2), 3 𝛼 (x1+x2))
M4) 1.u = u
1. (x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)
(x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)
Como todos os 8 axiomas foram verificados positivamente, logo este é um espaço vetorial.
26) ℝ 2
, com as operações: (a, b) + (c, d) = (a, b)
 (a, b) = ( a,  b)
u = (a,b), v = (c,d) e w=(e,f)
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(a,b) + (c,d)] + (e,f) = (a,b) + [(c,d) + (e,f)]
[(a,b))] + (e,f) = (a,b) + [(c,d)]
(a,b) = (a,b)
A2) u + v = v + u
(a,b) + (c,d) = (c,d) + (a,b)
(a,b) ≠ (c,d)
Este axioma não se verifica
A3) u + 0 = u
(a,b) + (0,0) = (a,b)
(a,b) = (a,b)
A4) u +(-u) = 0
(a,b)+ (-a,-b) = (0,0)
(a,b) ≠ (0,0)
M1) (𝜶𝜷).u = 𝜶(𝜷.u)
(𝛼𝛽).(a,b) = 𝛼(𝛽. (a,b))
(𝛼𝛽 a, 𝛼𝛽 b) = 𝛼(𝛽 a, 𝛽 b)
(𝛼𝛽 a, 𝛼𝛽 b) = (𝛼𝛽 a,𝛼 𝛽 b)

9
M2) (𝜶 + 𝜷).u = 𝜶.u + 𝜷.u
(𝛼 + 𝛽).(a,b) = 𝛼. (a,b) + 𝛽. (a,b)
((𝛼 + 𝛽)a, (𝛼 + 𝛽)b) = (𝛼 a, 𝛼 b) + (𝛽 a , 𝛽 b)
(𝛼 a+ 𝛽a, 𝛼b + 𝛽b) = (𝛼 a+ 𝛽 a, 𝛼 b+ 𝛽 b)
M3) 𝜶(u + v) = 𝜶.u + 𝜶.v
𝛼[(a,b) + (c,d)] = 𝛼.(a,b) + 𝛼.(c,d)
𝛼 (a,b) + 𝛼 (c,d) =. (𝛼 a, 𝛼 b) +( 𝛼 c, 𝛼 d )
(𝛼 a, 𝛼 b)+( 𝛼 c,d 𝛼) = (𝛼 a+ 𝛼 c , 𝛼 b+ 𝛼 d )
(𝛼 a+ 𝛼 c , 𝛼 b+ 𝛼 d ) = (𝛼 a+ 𝛼 c , 𝛼 b+ 𝛼 d )
M4) 1.u = u
1.(a,b) = (a,b)
(a,b) = (a,b)
Como pelo menos um axioma não foi verificado positivamente, logo este não é um espaço vetorial.
27) A = {(x, y)  ℝ 2
| y = 5x}: com as operações usuais
u = (x1,5x1) , v = (x2, 5x2) e w = (x3,5x3)
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(x1,5x1) + (x2, 5x2)] + (x3,5x3) = (x1,5x1) + [(x2, 5x2) + (x3,5x3)]
[(x1+ x2,5x1+5x2)] + (x3,5x3) = (x1,5x1) + [(x2+ x3, 5x2+5x3)]
(x1+ x2+ x3,5x1+5x2+5x3) = (x1+ x2+ x3,5x1+5x2+5x3)
A2) u + v = v + u
(x1,5x1) + (x2, 5x2) = (x2, 5x2) + (x1,5x1)
(x1+ x2,5x1+5x2) = [(x2+ x1,5x2+5x1)
A3) u + 0 = u
(x1,5x1) + (0,0) = (x1,5x1)
(x1,5x1) = (x1,5x1)
A4) u +(-u) = 0
(x1,5x1) + (-x1,-5x1) = (0,0)
(0,0) = (0,0)
M1) (𝜶𝜷).u = 𝜶(𝜷.u)
(𝛼𝛽). (x1,5x1) = 𝛼(𝛽. (x1,5x1))
(𝛼𝛽 x1,5 𝛼𝛽 x1) = 𝛼(𝛽. x1,5 𝛽.x1))
(𝛼𝛽 x1,5 𝛼𝛽 x1) = (𝛼𝛽 x1,5 𝛼𝛽 x1)
M2) (𝜶 + 𝜷).u = 𝜶.u + 𝜷.u
(𝛼 + 𝛽). (x1,5x1) = 𝛼. (x1,5x1) + 𝛽. (x1,5x1)
((𝛼 + 𝛽). x1, (𝛼 + 𝛽). 5x1) = (𝛼.x1,5 𝛼.x1) + (𝛽.x1,5 𝛽.x1)
(𝛼 x1+ 𝛽 x1, 𝛼 5x1+ 𝛽. 5x1) = (𝛼 x1+ 𝛽 x1, 𝛼 5x1+ 𝛽. 5x1)
(𝛼 x1+ 𝛽 x1, 5.(𝛼 x1+ 𝛽. x1)) = (𝛼 x1+ 𝛽 x1, 5.(𝛼 x1+ 𝛽. x1))

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M3) 𝜶(u + v) = 𝜶.u + 𝜶.v
𝛼((x1,5x1) + (x2, 5x2)) = 𝛼.( x1,5x1) + 𝛼. (x2, 5x2)
𝛼 (x1+ x2,5x1+5x2) = (𝛼. x1,5 𝛼.x1) + (𝛼.x2, 5 𝛼.x2)
(𝛼 (x1+ x2), 𝛼 (5x1+5x2)) = (𝛼. x1+ 𝛼.x2, 5 𝛼.x1+5 𝛼.x2)
(𝛼. x1+ 𝛼.x2, 5 𝛼.x1+5 𝛼.x2) = (𝛼. x1+ 𝛼.x2, 5(𝛼.x1+ 𝛼.x2))
(𝛼. x1+ 𝛼.x2, 5(𝛼.x1+ 𝛼.x2)) = (𝛼. x1+ 𝛼.x2, 5(𝛼.x1+ 𝛼.x2))
M4) 1.u = u
1. (x1,5x1) = (x1,5x1)
(x1,5x1) = (x1,5x1)
Como todos os 8 axiomas foram verificados positivamente, logo este é um espaço vetorial.
28) ℝ 2
, com as operações: (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y')
 (x, y) = ( x,0)
u =(x, y), v =(x', y') e w =(x”,y”)
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(x, y) + (x', y')] + (x”,y”) = (x, y) + [(x', y') + (x”,y”)]
(x+ x', y+ y') + (x”,y”) = (x, y) + (x'+ x”, y'+ y”)
(x+ x'+ x”, y+ y'+ y”) = (x+ x'+ x”, y+ y'+ y”)
A2) u + v = v + u
(x, y) + (x', y') = (x', y') + (x, y)
(x+ x', y+ y') = (x'+x, y'+y)
A3) u + 0 = u
(x, y) + (0,0) = (x,y)
(x,y) = (x,y)
A4) u +(-u) = 0
(x,y) + (-x,-y) = (0,0)
(0,0) = (0,0)
M1) (𝜶𝜷).u = 𝜶(𝜷.u)
(𝛼𝛽).(x,y) = 𝛼(𝛽.(x,y))
(𝛼𝛽 x,0) = 𝛼(𝛽.x,0))
(𝛼𝛽 x,0) = (𝛼𝛽 x,0)
M2) (𝜶 + 𝜷).u = 𝜶.u + 𝜷.u
(𝛼 + 𝛽).(x,y) = 𝛼.(x,y) + 𝛽.(x,y)
((𝛼 + 𝛽).x,0) = ( 𝛼.x,0) + (𝛽.x,0)
(𝛼 x+ 𝛽.x,0) = (𝛼 x+ 𝛽.x,0)
M3) 𝜶(u + v) = 𝜶.u + 𝜶.v
𝛼 [(x, y) + (x', y')] = 𝛼.(x,y) + 𝛼.( x', y')
𝛼 (x+ x', y+ y') = (𝛼.x,0) + (𝛼. x', 0)
(𝛼 (x+ x'), 𝛼 (y+ y')) = (𝛼.x+ 𝛼. x',0)
(𝛼 x+ 𝛼 x'), 𝛼 y+ 𝛼 y'))≠ (𝛼.x+ 𝛼. x',0)

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M4) 1.u = u
1. (x, y) = (x, y)
(x, 0) ≠ (x, y)
Como pelo menos um axioma não foi verificado positivamente, logo este não é um espaço vetorial.
29) Abaixo são apresentados subconjuntos de ℝ². Verifique quais deles são subespaços vetoriais do ℝ²
relativamente as operações de adição e multiplicação por escalar:
a) S = {(y ,y ); y ∈ ℝ}
u = (y1, y1) e v = (y2, y2)
u+v =
(y1, y1) + (y2, y2)
(y1+ y2 , y1+ y2)
𝛼 u =
𝛼 (y1, y1)
(𝛼 y1, 𝛼 y1)
Logo é um subespaço vetorial
b) b) S = {(x , y) | x=0}
u = (0, y1) e v = (0, y2)
u+v =
(0, y1) + (, y2)
(0 , y1+ y2)
𝛼 u =
𝛼 (0, y1)
(0, 𝛼 y1)
30) Agora são apresentados subconjuntos do ℝ³, verifique quais são subespaços do ℝ³.
a) S = {(x, y, z)| x = 4y e z = 0}
u = (4y1, y1,0) e v = (4y2, y2,0)
u+v =
(4y1, y1,0) + (4y2, y2,0)
(4y1+4y2, y1+ y2, 0)
(4(y1+y2), y1+ y2, 0)
𝛼 u =
𝛼 (4y1, y1,0)
(4 𝛼 y1, 𝛼 y1,0)
b) S = {(x, y, z)| z = 2x –y}
u = (x1, y1, 2x1 – y1) e v = (x2, y2, 2x2 – y2)
u+v =
(x1, y1, 2x1 – y1) + (x2, y2, 2x2 – y2)
(x1+ x2, y1+ y2, 2x1 – y1+2x2 – y2)
(x1+ x2, y1+ y2, 2x1 +2x2– y1 – y2)
(x1+ x2, y1+ y2, 2(x1 + x2)– (y1 + y2))
𝛼 u =
𝛼 (x1, y1, 2x1 – y1)

12
(𝛼 x1, 𝛼 y1, 𝛼 (2x1 – y1))
(𝛼 x1, 𝛼 y1, 2 𝛼 x1 – 𝛼 y1))
31) Escreva o vetor v = (1, -2, 5) como combinação linear dos vetores e1=(1, 1, 1) , e2=(1, 2, 3) e e3=(2,-
1,1).
(1, -2, 5) = a(1, 1, 1) + b(1, 2, 3)+ c(2,-1,1)
(1, -2, 5) = (a,a,a) + (b, 2b, 3b)+ (2c,-c,c)
(1, -2, 5) = (a+b+2c, a+2b-c, a+3b+c)
Agora montamos o sistema:
{
a + b + 2c = 1
a + 2b − c = −2
a + 3b + c = 5
por escalonamento temos:
|
a + b + 2c = 1
−a − 2b + c = 2
−b + 3c = 3
|
a + b + 2c = 1
−a − 3b − c = −5
−2b + c = −4
{
a + b + 2c = 1
−b + 3c = 3
−2b + c = −4
|
−b + 3c = 3
6b − 3c = 12
5b = 15
{
a + b + 2c = 1
−b + 3c = 3
5b = 15
Com isso temos b = 3, c = 2 e a = -6
Então o vetor v pode ser escrito como:
𝒗 = −𝟔. 𝒆 𝟏 + 𝟑. 𝒆 𝟐 + 𝟐. 𝒆 𝟑
32) Para qual valor de K o vetor u = (1, -2, K) em ℝ ³ é uma combinação linear dos vetores v = (3, 0, -2) e
w = (2, -1, -5)?
(1, -2, K) = a. (3, 0, -2) + b. (2, -1, -5)
(1, -2, K) = (3a, 0, -2a) + (2b, -b, -5b)
(1, -2, K) = (3a+2b, -b, -2a-5b)
{
3a + 2b = 1
−b = −2
−2a − 5b = k
Se b = 2
3a + 2.2 = 1
3a + 4 = 1
3a = −3
a = -1
logo temos:
−2a − 5b = k
2 – 10 = k
K = -8
33) Mostre que os vetores u = (1, 2, 3), v = (0, 1, 2) e w = (0, 0, 1) geram o ℝ³.
(x,y,z) = a. (1, 2, 3) + b(0, 1, 2) + c. (0, 0, 1)

13
(x,y,z) = (a, 2a, 3a) + (0, b, 2b) + (0, 0, c)
(x,y,z) = (a, 2a+b, 3a+2b+c)
{
𝑎 = 𝑥
2𝑎 + 𝑏 = 𝑦
3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 𝑧
Como a = x, temos:
2x + b = y
b = -2x + y
e para z temos:
3x+2(-2x+y) + c = z
3x -4x +2y + c = z
c = x -2y + z
𝒗 = ( 𝒙). 𝒖 + (−𝟐𝒙 + 𝒚). 𝒗 + ( 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛). 𝒘
Logo os vetores geram o ℝ³.
34) Sendo os vetores u = (-3, 2 , 1) e v = (0, 5, 4), escrever o vetor w = (15, 0 ,3) como combinação linear
de u e v.
(15, 0 ,3) = a. (-3, 2 , 1) + b (0, 5, 4)
(15, 0 ,3) = (-3a, 2a , a) + (0, 5b, 4b)
(15, 0 ,3) = (-3a, 2a +5b , a +4b)
{
−3𝑎 = 15
2𝑎 + 5𝑏 = 0
𝑎 + 4𝑏 = 3
Sendo a = -5
Temos :
-10 + 5b = 0
5b = 10
b =2
Substituindo a e b na última equação para verificar igualdade, temos:
-5 + 8 = 3
3 = 3
Portanto w é uma combinação linear u e v
𝒘 = −𝟓𝒖 + 𝟐𝒗
35) Dados os vetores v1 = (0 ,1 ,2) e v2 = (3 ,-5 ,7), para que valor de K o vetor v = (6 ,K ,8) é
combinação linear de v1 e v2?
(6 ,K ,8) = a(0 ,1 ,2) + b(3 ,-5 ,7)
(6 ,K ,8) = (0 ,a ,2a) + (3b ,-5b ,7b)
(6 ,K ,8) = (3b , a -5b, 2a +7b)
{
3𝑏 = 6
𝑎 − 5𝑏 = 𝑘
2𝑎 + 7𝑏 = 8
Sendo b = 2, temos:
2a + 14 = 8
2a =6
a = 3
assim substituindo na segunda equação temos o valor de k:
3 – 10 = k
K = -7

14
36) Determine os subespaços do ℝ³ gerados pelos seguintes conjuntos:
a) A = {(2, -1,3)}
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎(2,−1, 3)
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑎,−𝑎,3𝑎)
{
2𝑎 = 𝑥 (−1)
−𝑎 = 𝑦
3𝑎 = 𝑧
{
−2𝑎 = −𝑥
−𝑎 = 𝑦
3𝑎 = 𝑧
(+)
0 = −𝑥 + 𝑦 + 𝑧
𝐱 − 𝐲 − 𝐳 = 𝟎
𝑺 = {( 𝒙, 𝒚, 𝒛) ∈ ℝ 𝟑| 𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = 𝟎)}
b) A = {(-1, 3, 2), (2, -2,1)}
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎(−1,3,2) + 𝑏(2, −2,1)
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−𝑎,3𝑎,2𝑎) + (2𝑏,−2𝑏, 𝑏)
( 𝑥, 𝑦 , 𝑧) = (−𝑎 + 2𝑏,3𝑎 − 2𝑏,2𝑎 + 𝑏)
{
−𝑎 + 2𝑏 = 𝑥
3𝑎 − 2𝑏 = 𝑦
2𝑎 + 𝑏 = 𝑧
{
−𝑎 + 2𝑏 = 𝑥
3𝑎 − 2𝑏 = 𝑦 (+)
2𝑎 = 𝑥 + 𝑦
𝑎 =
𝑥+𝑦
2
−((𝑥 + 𝑦) 2) + 2𝑏 = 𝑥⁄
−𝑥−𝑦
2
+ 2𝑏 = 𝑥
−𝑦−𝑥+4𝑏=2𝑥
2
4𝑏 = 2𝑥 + 𝑥 + 𝑦
𝑏 =
3𝑥+𝑦
4
Voltando e substituindo:
2𝑎 + 𝑏 = 𝑧
2 (
𝑥+𝑦
2
) +
3𝑥+𝑦
4
= 𝑧
𝑥 + 𝑦 +
3𝑥+𝑦
4
= 𝑧
4𝑥+4𝑦+3𝑥+𝑦=4𝑧
4
𝟕𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟎
𝑺 = {( 𝒙, 𝒚, 𝒛) ∈ ℝ 𝟑| 𝟕𝒙 + 𝟓𝒚− 𝟒𝒛 = 𝟎}

15
c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (-1, 1,0)}
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎(1,0,1) + 𝑏(0,1,1) + 𝑐(−1,1,0)
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 𝑎,0, 𝑎) + (0, 𝑏, 𝑏) + (−𝑐, 𝑐,0)
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑎 − 𝑐, 𝑏 + 𝑐, 𝑎 + 𝑏)
{
𝑎 − 𝑐 = 𝑥
𝑏 + 𝑐 = 𝑦
𝑎 + 𝑏 = 𝑧
|
𝑎 − 𝑐 = 𝑥(−1)
𝑎 + 𝑏 = 𝑧 +
𝑏 + 𝑐 = −𝑥 + 𝑧
|
𝑏 + 𝑐 = 𝑦
𝑏 + 𝑐 = −𝑥 + 𝑧
𝑦 = −𝑥 + 𝑧
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟎
𝑺 = {( 𝒙, 𝒚 , 𝒛) ∈ ℝ 𝟑| 𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟎}
37) Verificar se os vetores v = (2 ,2) e u = (-3 ,2) geram o ℝ 2
:
𝑎(2,2) + 𝑏(−3, 2) = (𝑥, 𝑦)
(2𝑎,2𝑎) + (−3𝑏,2𝑏) = (𝑥, 𝑦)
(2𝑎 − 3𝑏,2𝑎 + 2𝑏) = (𝑥, 𝑦)
{
2𝑎 − 3𝑏 = 𝑥 (−1)
2𝑎 + 2𝑏 = 𝑦
−2𝑎+3𝑏=−𝑥
2𝑎+2𝑏= 𝑦
5𝑏= −𝑥+𝑦
𝑏 =
−𝑥+𝑦
5
2𝑎 + 2 (
−𝑥+𝑦
5
) = 𝑦
2𝑎 −
2𝑥+2𝑦
5
= 𝑦
10𝑎−2𝑥+2𝑦=5𝑦
5
10𝑎 = 2𝑥 + 5𝑦 − 2𝑦

16
𝑎 =
2𝑥+3𝑦
10
Logo 𝒘 = (
𝟐𝒙+𝟑𝒚
𝟏𝟎
)𝒗 + (
−𝒙+𝒚
𝟓
)𝒖
Portanto gera.
ℝ 2.
38) mostrar que os vetores u = (2, 1) e v = (1, 1) geram o ℝ 2
.
𝑎(2,1) + 𝑏(1,1) = (𝑥, 𝑦)
(2𝑎, 𝑎) + ( 𝑏, 𝑏) = (𝑥, 𝑦)
(2𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏) = (𝑥, 𝑦)
{
2𝑎 + 𝑏 = 𝑥
𝑎 + 𝑏 = 𝑦 (−1)
|
+2𝑎+𝑏=𝑥
−𝑎−𝑏=−𝑦
𝑎 = 𝑥−𝑦
𝑥 − 𝑦 + 𝑏 = 𝑦
𝑏 = −𝑥 + 2𝑦
𝒘 = ( 𝒙 − 𝒚) 𝒖 + (−𝒙 + 𝟐𝒚) 𝒗
Logo gera ℝ 2
.
39) Dado o conjunto A = {v1 = (-1,3,-1), v2 = (1,2,4)}  IR3
, determinar o subespaço G(A).
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎(−1,3,−1) + 𝑏(1,2,4)
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−𝑎,3𝑎,−𝑎) + (𝑏,2𝑏, 4𝑏)
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−𝑎 + 𝑏, 3𝑎 + 2𝑏, −𝑎 + 4𝑏)
{
−𝑎 + 𝑏 = 𝑥 (3)
3𝑎 + 2𝑏 = 𝑦
−𝑎 + 4𝑏 = 𝑧
|
−3𝑎+3𝑏=3𝑥
3𝑎+2𝑏=𝑦
5𝑏=3𝑥+𝑦
𝑏 =
3𝑥+𝑦
5
−𝑎 + (
3𝑥+𝑦
5
) = 𝑥
−𝑎 +
3𝑥+𝑦
5
= 𝑥
−5𝑎+3𝑥+𝑦=5𝑥
5
−5𝑎 = −5𝑥 − 3𝑥 − 𝑦 (−1)

17
5𝑎 = −5𝑥 + 3𝑥 + 𝑦
𝑎 =
−2𝑥+𝑦
5
Substituindo na 3° equação:
−𝑎 + 4𝑏 = 2
−(
−2𝑥 + 𝑦
5
) + 4 (
3𝑥 + 𝑦
5
) = 𝑧
2𝑥+𝑦
5
+
12𝑥+4𝑦
5
= 𝑧
2𝑥 − 𝑦 + 12𝑥 + 4𝑦 = 5𝑧
14𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 0
𝑺 = {( 𝒙, 𝒚, 𝒛) ∈ ℝ 𝟑 | 𝟏𝟒𝒙 + 𝟏𝟑𝒚− 𝟓𝒛 = 𝟎}
40) Determinar o subespaço G(A) para A = {(1, -2), (-2, 4)}  ℝ 2
e dizer o que representa
geometricamente esse subespaço.
𝑎(1,−2) + 𝑏(−2,4) = (𝑥, 𝑦)
( 𝑎,−2𝑎) + (−2𝑏,4𝑏) = (𝑥, 𝑦)
( 𝑎 − 2𝑏, −2𝑎 + 4𝑏) = ( 𝑥, 𝑦)
{
𝑎 − 2𝑏 = 𝑥 (2)
−2𝑎 + 4𝑏 = 𝑦
(+)
0 = 2𝑥 + 𝑦
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟎
𝑦 = −2𝑥 (É uma reta).
𝑺 = {( 𝒙, 𝒚) ∈ ℝ 𝟐| 𝒚 = −𝟐𝒙}
41) Mostrar que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 0,1) geram o ℝ 3
.
𝑎(1,1,1) + 𝑏(0,1,1) + 𝑐(0,0,1) = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
( 𝑎, 𝑎, 𝑎) + (0, 𝑏, 𝑏) + (0,0, 𝑐) = ( 𝑥, 𝑦, 𝑧)
( 𝑎, 𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
{
𝑎 = 𝑥
𝑎 + 𝑏 = 𝑦
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑧
𝒂 = 𝒙

18
𝑥 + 𝑏 = 𝑦
𝒃 = 𝒚 − 𝒙
𝑥 + 𝑦 − 𝑥 + 𝑐 = 𝑧
𝒄 = 𝒛− 𝒚
𝒘 = 𝒙. 𝒗𝟏+ ( 𝒚 − 𝒙) 𝒗𝟐+ ( 𝒛 − 𝒚) 𝒗𝟑
Logo gera ℝ 3
.
42) Classificar os seguintes subconjuntos do ℝ2
e ℝ 3
em LI ou LD, justificando sua resposta:
a) A = {(2 ,3 ,5)}
R:Único vetor e não nulo, logo é LI.
b) B= {(-6 ,4), (9 ,-6)}
Se
−6
9
=
−2
3
e
4
−6
=
−2
3
, logo um vetor é múltiplo do outro, então é LD.
c) C = {(1 ,0 ,0), (2 ,3 ,0), (5 ,1 ,1)}
𝑎(1,0,0) + 𝑏(2,3,0) + 𝑐(5,1,1) = (0,0,0)
( 𝑎, 0,0) + (2𝑏, 3𝑏,0) + (5𝑐, 𝑐, 𝑐) = (0,0,0)
( 𝑎 + 2𝑏 + 5𝑐, 3𝑏 + 𝑐, 𝑐) = (0,0,0)
{
𝑎 + 2𝑏 + 5𝑐 = 0
3𝑏 + 𝑐 = 0
𝑐 = 0
𝑐 = 0
3𝑏 + 𝑐 = 0
𝑏 = 0
𝑎 + 2𝑏 + 5𝑐 = 0
𝑎 + 0 + 0 = 0
𝑎 = 0
Logo se 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 0 é LI.
d) D = {(2 ,3) , (5 ,4), (1 ,1)}
Como estamos no ℝ2
e a dimensão é 2 e temos 3 vetores, logo é LD.
e) E = {(0 ,1 ,2), (0 ,0 ,0), (2, 3, 5)}
Como é vetor nulo pertence a E, logo é LD.
43) Classificar os seguintes conjuntos em LI ou LD, justificando sua resposta:

19
a) A={(2, -5, 3)}
LI – Único vetor e não nulo.
b) B={(1, -1, -2), (2, 1, 1), (-1, 0, 3)}
𝑎(1,−1,2) + 𝑏(2,1,1) + 𝑐(−1,0,3) = (0,0,0)
( 𝑎, −𝑎, 2𝑎) + (2𝑏, 𝑏, 𝑏) + (−𝑐,0,3𝑐) = (0,0,0)
( 𝑎 + 2𝑏 − 𝑐,−𝑎 + 𝑏,−2𝑎 + 𝑏 + 3𝑐) = (0,0,0)
{
𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 = 0
– 𝑎 + 𝑏 = 0
−2𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 = 0
|
𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 = 0
−𝑎 + 𝑏 = 0
+
| 3𝑏 − 𝑐 = 0
|
𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 = 0(2)
−2𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 = 0
+ |
3𝑏 − 𝑐 = 0
5𝑏 + 𝑐 = 0
+
| 5𝑏 + 𝑐 = 0 |5𝑏 = 0
{
𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 = 0
3𝑏 − 𝑐 = 0
5𝑏 = 0
𝑏 = 0
3(0) − 𝑐 = 0
𝑐 = 0
𝑎 + 2(0) − 0 = 0
𝑎 = 0
Como a=b=c=0 logo é LI.
c) {(2, -1), (3, 5)}
2
3
≠
−1
5
, Como temos dois vetores e lês não são múltiplos, logo é LI.
d) {(1, 0), (-1, 1), (3, 5)}
Como são vetores do ℝ2
, a dimensão é 2 e temos 3 vetores, logo é LD.
44) Determine k para que
a[
1 0
1 0
] + 𝑏 [
1 1
0 0
] + 𝑐 [
2 −1
𝑘 0
] = [
0 0
0 0
]
[
𝑎 0
𝑎 0
] + [
𝑏 𝑏
0 0
] + [
2𝑐 −𝑐
𝑐𝑘 0
] = [
0 0
0 0
]
[
𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 𝑏 − 𝑐
𝑎 + 𝑐𝑘 0
] = [
0 0
0 0
]
{
𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 = 0
𝑏 + 𝑐 = 0
𝑎 + 𝑐𝑘 = 0
|
𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 = 0(−1)
𝑎 + 𝑐𝑘 = 0
+

20
|−𝑏 − 2𝑐 + 𝑐𝑘 = 0
|
𝑏 + 𝑐 = 0
−𝑏 − 2𝑐 + 𝑐𝑘 = 0
+ {
𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 = 0
𝑏 + 𝑐 = 0
−𝑐 + 𝑐𝑘 = 0
Temos: −𝑐 + 𝑐𝑘 = 0
𝑐(−1 + 𝑘) = 0
Se k = 1, c será cancelado logo LD
45) Verificar se o conjunto A = {v1=(4, 5), v2=(-2, 3)} forma uma base do ℝ 2
:
𝐴 = {(4,5),(−2,3)}
I – verificar se é LI
𝑎(4,5) + 𝑏(−2,3) = (0,0)
(4𝑎,5𝑎) + (−2𝑏,3𝑏) = (0,0)
(4𝑎 − 2𝑏,5𝑎 + 3𝑏) = (0,0)
{
4𝑎 − 2𝑏 = 0 (3)
5𝑎 + 3𝑏 = 0(2)
{
12𝑎 − 6𝑏 = 0
10𝑎 + 6𝑏 = 0
+
22𝑎 = 0
𝑎 = 0
5𝑎 + 3𝑏 = 0
0 + 3𝑏 = 0
𝑏 = 0
Se a = b = 0, logo LI
II- Verificar se gera ℝ 2
.
𝑎(4,5) + 𝑏(−2,3) = (𝑥, 𝑦)
(4𝑎,5𝑎) + (−2𝑏,3𝑏) = ( 𝑥, 𝑦)
(4𝑎 − 2𝑏,5𝑎 + 3𝑏) = (𝑥, 𝑦)
{
4𝑎 − 2𝑏 = 𝑥 (3)
5𝑎 + 3𝑏 = 𝑦(2)
{
12𝑎 − 6𝑏 = 3𝑥
10𝑎 + 6𝑏 = 2𝑦
+
22𝑎 = 3𝑥 + 2𝑦
𝑎 =
3𝑥+2𝑦
22

21
5 (
3𝑥+2𝑦
22
) + 3𝑏 = 𝑦
(
15𝑥+10𝑦
22
) + 3𝑏 = 𝑦
15𝑥+10𝑦+66𝑏=22𝑦
22
66𝑏 = 22 𝑦 − 15𝑥 − 10𝑦
66𝑏 = 12𝑦 − 15𝑥 (÷ 3)
22𝑏 = 4𝑦 − 5𝑥
𝑏 =
4𝑦 − 5𝑥
22
Logo: 𝒘 = (
𝟑𝒙+𝟐𝒚
𝟐𝟐
) 𝒗𝟏+ (
𝟒𝒚−𝟓𝒙
𝟐𝟐
)𝒗𝟐 e gera ℝ 2
,
então é uma Base.
46) Verificar quais dos conjuntos formam uma base do ℝ 2
:
a) {(1, 2), (-1, 3)}
I – verificar se é LI:
Como são dois vetores e um não é múltiplo do outro logo é LI.
1
−1
= −1 𝑒
2
3
II – Verificar se gera ℝ2:
𝑎(1,2) + 𝑏(−1,3) = (𝑥, 𝑦)
( 𝑎,2𝑎) + (−𝑏,3𝑏) = ( 𝑥, 𝑦)
( 𝑎 − 𝑏, 2𝑎 + 3𝑏) = (𝑥, 𝑦)
{
𝑎 − 𝑏 = 𝑥 (3)
2𝑎 + 3𝑏 = 𝑦
{
3𝑎 − 3𝑏 = 3𝑥
2𝑎 + 3𝑏 = 𝑦
+
{5𝑎 = 3𝑥 + 𝑦
𝒂 =
𝟑𝒙+𝒚
𝟓
3𝑥+𝑦
5
− 𝑏 = 𝑥
3𝑥+𝑦−5𝑏=5𝑥
5
5𝑏 = 3𝑥 + 𝑦 − 5𝑥
𝑏 =
−2𝑥+𝑦
5
𝒘 = (
𝟑𝒙+𝒚
𝟓
)𝒗 𝟏 + (
−𝟐𝒙+𝒚
𝟓
) 𝒗 𝟐, logo gera ℝ 𝟐
e então é Base.
b) {(0, 0), (2, 3)}
I- Verificar se é LI:

22
Como possui o vetor nulo é LD, Logo não é base.
47) Verificar se o conjunto A = {v1=(1, 4, 5), v2=(0, -2, 3), v3=(0, 0, 1)} forma uma base do ℝ 3
:
I- Verificar se é LI:
𝑎(1,4,5) + 𝑏(0,−2,3) + 𝑐(0,0,1) = (0,0,0)
( 𝑎, 4𝑎,5𝑎) + (0, −2𝑎, 3𝑎) + (0,0, 𝑐) = (0,0,0)
{
𝑎 = 0
4𝑎 − 2𝑏 = 0
5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0
𝑎 = 0
4(0) − 2𝑏 = 0 𝑏 = 0
5(0) + 3(0) + 𝑐 = 0 𝑐 = 0
Logo é LI
II- Verificar se gera o espaço:
𝑎(1,4,5) + 𝑏(0,−2,3) + 𝑐(0,0,1) = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
( 𝑎, 4𝑎,5𝑎) + (0, −2𝑎, 3𝑎) + (0,0, 𝑐) = ( 𝑥, 𝑦, 𝑧)
{
𝑎 = 𝑥
4𝑎 − 2𝑏 = 𝑦
5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 𝑧
𝑎 = 𝑥
4𝑥 − 2𝑏 = 𝑦
2𝑏 = 4𝑥 − 𝑦
𝑏 =
4𝑥 − 𝑦
2
5𝑥 + 3(
4𝑥 − 𝑦
2
) + 𝑐 = 𝑧
5𝑥 +
12𝑥 − 3𝑦
2
+ 𝑐 = 𝑧
10𝑥 + 12𝑥 − 3𝑦 + 2𝑥 = 2𝑧
2𝑐 = −22𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧
𝑐 =
−22 + 3𝑦 + 2𝑧
2
Logo:
𝑤 = ( 𝑥) 𝑣1 + (
4𝑥−𝑦
2
) 𝑣1 + (
−22+3𝑦+2𝑧
2
) 𝑣2 , GERA ℝ 3
.
Por fim, se é LI e gera ℝ 3
, então é BASE.
48) Verificar quais dos conjuntos formam uma base do ℝ 2
:
a) {(1, 2, 3), (0, -1, 3), (1, 1, 1)}
I- Ver se é LI
𝑎(1,2,3) + 𝑏(0,−1,3) + 𝑐(1,1,1) = (0,0,0)
( 𝑎,2𝑎,3𝑎) + (0,−𝑏, 3𝑏) + ( 𝑐, 𝑐, 𝑐) = (0,0,0)
( 𝑎 + 𝑐, 2𝑎 − 𝑏 + 𝑐,3𝑎 + 3𝑏 + 𝑐) = (0,0,0)
{
𝑎 + 𝑐 = 0
2𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0
3𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0

23
|
𝑎 + 𝑐 = 0(−2)
2𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0
+
−𝑏 − 𝑐 = 0
|
𝑎 + 𝑐 = 0(3)
3𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0
3𝑏 − 2𝑐 = 0
|
−𝑏 − 𝑐 = 0(3)
3𝑏 − 2𝑐 = 0
+
−5𝑐 = 0
{
𝑎 + 𝑐 = 0
𝑏 + 𝑐 = 0
−5𝑐 = 0
𝑐 = 0
𝑏 = 0
𝑎 = 0
Se a=b=c=0 logo é LI
II- Verificar se gera ℝ 3
.
𝑎(1,2,3) + 𝑏(0,−1,3) + 𝑐(1,1,1) = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
( 𝑎,2𝑎,3𝑎) + (0,−𝑏, 3𝑏) + ( 𝑐, 𝑐, 𝑐) = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
( 𝑎 + 𝑐, 2𝑎 − 𝑏 + 𝑐,3𝑎 + 3𝑏 + 𝑐) = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
{
𝑎 + 𝑐 = 𝑥
2𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 𝑦
3𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 𝑧
|
𝑎 + 𝑐 = 𝑥(−2)
2𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 𝑦
+
| − 𝑏 − 𝑐 = −2𝑥 + 𝑦
|
𝑎 + 𝑐 = 𝑥(3)
3𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 𝑧
3𝑏 − 2𝑐 = 3𝑥 + 𝑧
|
−𝑏 − 𝑐 = −2𝑥 + 𝑦(3)
3𝑏 − 2𝑐 = 3𝑥 + 𝑧
+
−5𝑐 = −9𝑥 − 2𝑐 + 𝑧
𝑐 =
−9𝑥−2𝑐+𝑧
5
𝑎 +
9𝑥−3𝑦−𝑧
5
= 𝑥
5𝑎+9𝑥−3𝑦−𝑧=5𝑥
5
5𝑎 = 5𝑥 − 9𝑥 + 3𝑦 + 𝑧
𝑎 =
−4𝑥+3𝑦+𝑧
5
Logo 𝑤 = (
−4𝑥+3𝑦+𝑧
5
) 𝑣1 + (
𝑥−2𝑦+𝑧
5
) 𝑣2 + (
9𝑥−3𝑦−𝑧
5
) 𝑣3
Gera o ℝ 3
e portanto é Base.
b) {(1, 3, -1), (2, 3, 2), (3, 6, 1)}
𝑎(1,3,−1) + 𝑏(2,3,2) + 𝑐(3,6,1) = (0,0,0)
( 𝑎, 3𝑎,−𝑎) + (2𝑏, 3𝑏, 2𝑏) + (3𝑐,6𝑐, 𝑐) = (0,0,0)
( 𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐, 3𝑎 + 3𝑏 + 6𝑐,−𝑎 + 2𝑏 + 𝑐) = (0,0,0)

24
{
𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 0
3𝑎 + 3𝑏 + 6𝑐 = 0
−𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0
|
𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 0(−3)
3𝑎 + 3𝑏 + 6𝑐 = 0
+
| 3𝑏 − 3𝑐 = 0
|
𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 0
−𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0
+
4𝑏 + 4𝑐 = 0
|
3𝑏 − 3𝑐 = 0(4)
4𝑏 + 4𝑐 = 0(3)
{
𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 0
3𝑏 − 3𝑐 = 0
{
𝑎 + 2𝑏 = −3𝑐
3𝑏 = −3𝑐
Como temos uma variável livre é LD, Logo não é Base.
Os 3 problemas seguintes se referem às bases do ℝ 2
:
A = {(2,-1), (-1,1)}, B = {(1,0), (2,1)}, D = {(1,1), (1,-1)} e G = {(-1,-3), (3,5)}
49) Calcular vB sabendo que vA = (4,3)
𝑉𝑎 = (4,3) 𝑉𝑏 =?
𝐴 = |
2 −1
−1 1
| 𝐵 = |
1 2
0 1
|
𝑴 = 𝑩−𝟏.𝑨 𝒆 𝒗 𝑩 = 𝑴. 𝒗 𝑨
𝐷𝑒𝑡𝐵 = 1 − (0)
= 1
𝐵−1 = |
1 −2
0 1
|
𝑀 = |
1 −2
0 1
|. |
2 −1
−1 1
| = |
4 −3
−1 1
|
𝑉𝑏 = |
4 −3
−1 1
|. |
4
3
| =|
7
−1
|
𝑽𝒃 = (𝟕,−𝟏)
50) Calcular vA sabendo que vB = (7,-1)
𝑉𝑏 = (7,1) 𝑉𝑎 =?
𝐴 = |
2 −1
−1 1
| 𝐵 = |
1 2
0 1
|
𝑀−1 = 𝐴−1.𝐵 𝑣 𝐴 = 𝑀−1.𝑣 𝐵
𝐷𝑒𝑡 𝐴 = 2 − (1)
𝐷𝑒𝑡 𝐴 = 1

25
𝐴−1 = |
1 1
1 2
|
𝑀−1 = |
1 1
1 2
|. |
1 2
0 1
| = |
1 3
1 4
|
𝑉𝑎 = |
1 3
1 4
|. |
7
−1
| = |
4
−3
|
𝑽𝒂 = (𝟒, 𝟑)
51) Calcular vG sabendo que vD = (2,3)
𝑉𝑑 = (2,3) 𝑉𝑔 = ?
𝐷 = |
1 1
1 −1
| 𝐺 = |
−1 3
−3 5
|
𝑴 = 𝑮−𝟏. 𝑫 𝒗 𝑮 = 𝑴. 𝒗 𝑫
𝐷𝑒𝑡 𝐺 = −5 − (−9)
= 4
𝐺−1 = |
5
4
−
3
4
3
4
−
1
4
|
𝑀−1 = |
5
4⁄ −3
4⁄
3
4⁄ −1
4⁄
| .|
1 1
1 −1
| = |
2
4⁄ 2
2
4⁄ 1
| = |
1
2⁄ 2
1
2⁄ 1
|
𝑉𝑔 = |
1
2⁄ 2
1
2⁄ 1
| .|
2
3
| = |
7
4
|
𝑉𝑔 = (7,4)
52) Sabendo que A = {(1,3), (2,-4)} é base do ℝ 2
e que a matriz M de mudança de base de A para B é:
M = 







811
67
determinar a base B.
𝐴 = |
1 2
3 −4
|
𝑀 = |
−7 6
−11 8
|
𝑀 = 𝐵−1. 𝐴
𝐴−1.𝑀 = 𝐵−1. 𝐴−1. 𝐴
𝐼 = 𝐴−1. 𝐴
𝐴−1. 𝑀 = 𝐵−1. 𝐼
𝐴−1. 𝑀 = 𝐵−1

26
𝐷𝑒𝑡 𝐴 = −4 − (−6) = −10
𝐴−1 = |
−4
−10⁄ −2
−10⁄
−3
−10⁄ 1
−10⁄
| = |
4
10⁄ 2
10⁄
3
10⁄ −1
10⁄
|
𝐵−1 = |
4
10⁄ 2
10⁄
3
10⁄ − 1
10⁄
|.|
−7 6
−11 8
| = |
−5 4
−1 1
|
𝑩−𝟏 = |
−𝟓 𝟒
−𝟏 𝟏
|
𝐷𝑒𝑡 𝐵−1 = −5 − (−4)
𝐷𝑒𝑡 𝐵−1 = −5 + 4
𝐷𝑒𝑡 𝐵−1 = −1
𝐵 = |
1
−1⁄ −4
−1⁄
1
−1⁄ −5
−1⁄
| = |
−1 4
−1 5
|
𝐵 = |
−1 4
−1 5
|
53) Considerar, no ℝ 3
, as bases A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e B = {(1, 0, -1), (0,1,-1), (-1, 1, 1)}.
a) Determinar a matriz M de mudança de base de A para B;
𝑀 = 𝐵−1. 𝐴 como 𝐴 = 𝐼, Temos 𝑀 = 𝐵−1
𝐷𝑒𝑡 𝐵 = (1) − (−1 + 1) = 1
1 − (−1) = 2 0 − (1) = −1 0 − (−1) = 1
0 − (−1) = 1 1 − (1) = 0 1 − (0) = 1
0 − (−1) = 1 −1 − (0) = −1 1 − (0) = 1
1° Linha 2° Linha 3° Linha
𝐶𝑜𝑓 𝐵 = |
2 −1 1
1 0 1
1 −1 1
|
𝐶𝑜𝑓𝐵 𝑡 = |
2 1 1
−1 0 −1
1 1 1
|
𝐵−1 = |
2 1 1
−1 0 −1
1 1 1
| = 𝑀
b) Calcular vB sabendo que vA = (1,2,3)
𝑉𝑏 = |
2 1 1
−1 0 −1
1 1 1
| ∗ |
1
2
3
| = |
7
−4
6
|
𝑽𝒃 = (𝟕, −𝟒, 𝟔)

27
c) Calcular vA sabendo que vB = (7,-4,6)
𝑀 = 𝐵−1 , temos 𝑀−1 = 𝐵
𝐵 = |
1 0 −1
0 1 1
−1 −1 1
|
Logo,
𝑉𝑎 = |
1 0 −1
0 1 1
−1 −1 1
|. |
7
−4
6
| = |
1
2
3
|
𝑽𝒂 = (𝟏, 𝟐, 𝟑)
Lista TED 15:
Nos 12 problemas seguintes, dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares.
54) 𝑇( 𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 𝑦,3𝑥 + 5𝑦)
I)𝑇( 𝑢 + 𝑣) = 𝑇( 𝑢) + 𝑇(𝑣) 2
𝑢 = (𝑥1, 𝑦1)
𝑣 = (𝑥2, y2)
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 +y2)
𝛼. 𝑢 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1)
𝑇(𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 +y2) = (2(𝑥1 + 𝑥2)−(𝑦1 +y2), 3(𝑥1 + 𝑥2) + 5( 𝑦1 +y2))
= (2𝑥1 +2 𝑥2− 𝑦1 −y2),3𝑥1 + 3𝑥2+5 𝑦1 +5y2)
𝑇(𝑥1, 𝑦1) +𝑇(𝑥2, y2)
= (2𝑥1−𝑦1,3𝑥1,5𝑦1) + (2𝑥2 −𝑦2, (3𝑥2+5y2)
= (2𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑦1 − 𝑦2,3𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑦1 + 5𝑦2)
OK
II) 𝑇( 𝛼. 𝑢) = 𝛼. 𝑇(𝑢)
𝑇( 𝛼 . 𝑥1 , 𝛼 . 𝑦1 ) = (2𝛼𝑥1 − 𝛼 . 𝑦1 ,3𝛼𝑥1 + 5𝛼𝑦1 )
𝛼. 𝑇( 𝑢) = 𝛼(2𝑥1 − 𝑦1,3𝑥1 + 5𝑦1 )
= (2𝛼𝑥1 − 𝛼𝑦1 , 3𝛼𝑥1 + 5𝛼𝑦1
É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.
55) 𝑇( 𝑥, 𝑦) = (𝑥2,𝑦2)

28
I) (𝑇( 𝑢 + 𝑣) = 𝑇( 𝑢) + 𝑇(𝑣)
𝑢 = (𝑥1, 𝑦1)
𝑣 = (𝑥2, y2)
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 +y2)
𝛼. 𝑢 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1)
𝑇( 𝑥1 + 𝑥2,𝑦1 + 𝑦2 ) = ((𝑥1 + 𝑥2)2, (𝑦1 + 𝑦2)2)
= (𝑥1
2
+ 2𝑥1. 𝑥2 + 𝑥2
2
, 𝑦1
2
+ 2𝑦1. 𝑦2 + 𝑦2
2
≠
𝑇(𝑥1, 𝑦1) +𝑇(𝑥2, y2) = ( 𝑥1
2
,𝑦1
2) + ( 𝑥2
2
,𝑦2
2 ) = (𝑥1
2
+ 𝑥2
2
, 𝑦2
2
+ 𝑦2
2
)
NÃO É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.
56) 𝑇( 𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 1, 𝑦)
𝑢 = (𝑥1, 𝑦1)
𝑣 = (𝑥2, y2)
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 +y2)
𝛼. 𝑢 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1)
𝐼) (𝑇( 𝑢 + 𝑣) = 𝑇( 𝑢) + 𝑇(𝑣)
𝑇( 𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2 ) = (𝑥1 + 𝑥2 + 1, 𝑦1 + 𝑦2)
𝑇( 𝑥1,𝑦1) + 𝑇( 𝑥2,𝑦2) = ( 𝑥1 + 1, 𝑦1) + (𝑥2 + 1, 𝑦2)
𝑇( 𝑥1,𝑦1) + 𝑇( 𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2 + 2, 𝑦1 + 𝑦2)
57) 𝑇( 𝑥, 𝑦) = ( 𝑦 − 𝑥, 0)
𝑢 = (𝑥1, 𝑦1)
𝑣 = (𝑥2, y2)
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 +y2)
𝛼. 𝑢 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1)
I) 𝑇(𝑇( 𝑢 + 𝑣) = 𝑇( 𝑢) + 𝑇( 𝑣) = (( 𝑦1 + 𝑦2) − ( 𝑥1 + 𝑥2),0)
= (𝑦1 + 𝑦2 − 𝑥1 − 𝑥2,0)
𝑇(𝑥1, 𝑦1) + 𝑇( 𝑥2,𝑦2) = ( 𝑦1 − 𝑥1,0) + (𝑦2 − 𝑥2 ,0)
= (𝑦1 + 𝑦2 − 𝑥1 − 𝑥2,0)

29
II) 𝑇( 𝛼. 𝑢) = 𝛼. 𝑇(𝑢)
𝑇( 𝛼 . 𝑥1 , 𝛼 . 𝑦1 ) = (𝛼. 𝑦1 − 𝛼 . 𝑥1 ,0)
𝛼. 𝑇( 𝑥1 , 𝑦1 ) = 𝛼(𝑦1 − 𝑥1 ,0)
= (𝛼𝑦1 − 𝛼𝑥1 ,0)
58) 𝑇( 𝑥, 𝑦) = (| 𝑥| ,2𝑦)
𝑢 = (𝑥1, 𝑦1)
𝑣 = (𝑥2, y2)
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 +y2)
𝛼. 𝑢 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1)
I) 𝑇( 𝑢 + 𝑣) = 𝑇( 𝑢) + 𝑇(𝑣)
𝑇( 𝑥1 + 𝑥2 ,𝑦1 + 𝑦2 ) = (| 𝑥1 + 𝑥2| ,2( 𝑦1 + 𝑦2))
= (| 𝑥1 + 𝑥2| ,2𝑦1 + 2𝑦2)
𝑇( 𝑥1 ,𝑦1) + 𝑇( 𝑥2 , 𝑦2 ) = (| 𝑥1| ,2𝑦1) + (| 𝑥2| ,2𝑦2)
= (| 𝑥1| + | 𝑥2| ,2𝑦1 + 2𝑦2)
COMO (| 𝑥1| + | 𝑥2| ≥ | 𝑥1 + 𝑥2| )
59) 𝑇( 𝑥, 𝑦) = 𝑥. 𝑦 𝑇: ℝ2
-> ℝ
𝑢 = (𝑥1, 𝑦1)
𝑣 = (𝑥2, y2)
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 +y2)
𝛼. 𝑢 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1)
I) 𝑇( 𝑢 + 𝑣) = 𝑇( 𝑢) + 𝑇(𝑣)
𝑇( 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 ) = ( 𝑥1 + 𝑥2 ).(𝑦1 + 𝑦2 )
= 𝑥1 . 𝑦1 + 𝑥1 . 𝑦2 + 𝑥2 . 𝑦1 + 𝑥2 . 𝑦2
𝑇(𝑥1, 𝑦1) + 𝑇( 𝑥2,𝑦2) = 𝑥1 . 𝑦1 + 𝑥2 . 𝑦2

30
60) 𝑇( 𝑥, 𝑦) = (3𝑦, −2𝑥, 0)
𝑢 = (𝑥1, 𝑦1)
𝑣 = (𝑥2, y2)
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 +y2)
𝛼. 𝑢 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1)
I) 𝑇( 𝑢 + 𝑣) = 𝑇( 𝑢) + 𝑇(𝑣)
𝑇( 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 ) = (3( 𝑦1 + 𝑦2 ,−2𝑥1 + 𝑥2 ),0)
= (3𝑦1 + 3𝑦2 ,−2𝑥1 − 2𝑥2 ,0)
𝑇(𝑥1, 𝑦1) + 𝑇( 𝑥2,𝑦2) = (3𝑦1,−2𝑥1 ,0) + (3𝑦2 ,− 2𝑥2 ,0)
= (3𝑦1 + 3𝑦2 ,−2𝑥1 − 2𝑥2 ,0)
II) 𝑇( 𝛼. 𝑢) = 𝛼. 𝑇(𝑢)
𝑇( 𝛼 . 𝑥1 ,𝛼 . 𝑦1 ) = (3. 𝛼 . 𝑦1 ,−2. 𝛼 . 𝑥1 )
𝛼. 𝑇( 𝑥1 , 𝑦1 ) = 𝛼. (3𝑦1, −2𝑥1 ,0)
= (3. 𝛼 . 𝑦1 ,−2. 𝛼 . 𝑥1 )
61) 𝑇( 𝑢 + 𝑣) = 𝑇( 𝑢) + 𝑇(𝑣)
𝑢 = (𝑥1, 𝑦1)
𝑣 = (𝑥2, y2)
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 +y2)
𝛼. 𝑢 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1)
I) 𝑇( 𝑢 + 𝑣) = 𝑇( 𝑢) + 𝑇(𝑣)
𝑇( 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 ) = (( 𝑥1 + 𝑥2 ) + ( 𝑦1 + 𝑦2 ),( 𝑥1 + 𝑥2 )− ( 𝑦1 + 𝑦2 ),−( 𝑥1 + 𝑥2 ))
= (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑦1 − 𝑦2 ,−𝑥1 − 𝑥2 )
𝑇(𝑥1, 𝑦1) + 𝑇( 𝑥2,𝑦2) = (𝑥1 + 𝑦1, 𝑥1 − 𝑦1,−𝑥1 ) + (𝑥2 + 𝑦2 , 𝑥2 − 𝑦2 ,−𝑥2 )

31
= (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑦1 − 𝑦2 ,−𝑥1 − 𝑥2 )
II) 𝑇( 𝛼. 𝑢) = 𝛼. 𝑇(𝑢)
𝑇( 𝛼 . 𝑥1 , 𝛼 . 𝑦1 ) = (𝛼 . 𝑥1 + 𝛼 . 𝑦1 , 𝛼 . 𝑥1 − 𝛼 . 𝑦1 ,−𝛼 . 𝑥1 )
𝛼. 𝑇( 𝑥1 , 𝑦1 ) = 𝛼.( 𝑥1 + 𝑦1, 𝑥1 – 𝑦1, −𝑥1 )
= (𝛼 . 𝑥1 + 𝛼 . 𝑦1 , 𝛼 . 𝑥1 − 𝛼 . 𝑦1 ,−𝛼 . 𝑥1 )
62) 𝑇( 𝑥, 𝑦) = (𝑥,2)
𝑢 = (𝑥1, 𝑦1)
𝑣 = (𝑥2, y2)
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 +y2)
𝛼. 𝑢 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1)
I) 𝑇( 𝑢 + 𝑣) = 𝑇( 𝑢) + 𝑇(𝑣)
𝑇( 𝑥1 + 𝑥2 ,𝑦1 + 𝑦2 ) = (𝑥1 + 𝑥2 ,2)
𝑇(𝑥1, 𝑦1) + 𝑇( 𝑥2, 𝑦2) = ( 𝑥1 ,2) + (𝑥2 ,2)
=(𝑥1 + 𝑥2 ,4)
63) 𝑇( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧
𝑢 = (𝑥1, 𝑦1)
𝑣 = (𝑥2, y2)
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 +y2)
𝛼. 𝑢 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1)
I) 𝑇( 𝑢 + 𝑣) = 𝑇( 𝑢) + 𝑇(𝑣)
𝑇( 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2) = 3( 𝑥1 + 𝑥2 )− 2( 𝑦1 + 𝑦2 ) + (𝑧1 + 𝑧2)
= 3𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑦1 − 2𝑦2 + 𝑧1 + 𝑧2)
𝑇( 𝑥1,𝑦1, 𝑧1) + 𝑇( 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) = 3𝑥1 − 2𝑦1 + 𝑧1 + 3𝑥2 − 2𝑦2 + 𝑧2)
= 3𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑦1 − 2𝑦2 + 𝑧1 + 𝑧2)
II) ) 𝑇( 𝛼. 𝑢) = 𝛼. 𝑇(𝑢)
𝑇( 𝛼 . 𝑥1 , 𝛼 . 𝑦1 , 𝛼 . 𝑧1 ) = 3. 𝛼 . 𝑥1 − 𝛼 . 𝑦1 + 𝛼 . 𝑧1
𝛼. 𝑇( 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) = 𝛼. (3𝑥1 − 2𝑦1 + 𝑧1 )

32
= 3. 𝛼 . 𝑥1 − 𝛼 . 𝑦1 + 𝛼 . 𝑧1
64) 𝑇( 𝑥, 𝑦) = 𝑥
𝑢 = (𝑥1, 𝑦1)
𝑣 = (𝑥2, y2)
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 +y2)
𝛼. 𝑢 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1)
I) 𝑇( 𝑢 + 𝑣) = 𝑇( 𝑢) + 𝑇(𝑣)
𝑇( 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2) = 𝑥1 + 𝑥2
𝑇( 𝑥1,𝑦1,) + 𝑇( 𝑥2, 𝑦2) = 𝑥1 + 𝑥2
II) 𝑇( 𝛼. 𝑢) = 𝛼. 𝑇(𝑢)
𝑇( 𝛼 . 𝑥1 , 𝛼 . 𝑦1 ) = 𝛼 . 𝑥1
𝛼. 𝑇( 𝑥1 , 𝑦1 ) = 𝛼 . 𝑥1
65) 𝑇:ℝ 2
-> ℝ4
𝑇( 𝑥, 𝑦) = (𝑦, 𝑥, 𝑦, 𝑥)
𝑢 = (𝑥1, 𝑦1)
𝑣 = (𝑥2, y2)
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 +y2)
𝛼. 𝑢 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1)
I) 𝑇( 𝑢 + 𝑣) = 𝑇( 𝑢) + 𝑇(𝑣)
𝑇( 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2) = (𝑦1 + 𝑦2, 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 𝑥1 + 𝑥2 )
𝑇( 𝑥1,𝑦1) + 𝑇( 𝑥2,𝑦2) = ( 𝑦1, 𝑥1,𝑦1, 𝑥1)+ (𝑦2, 𝑥2 , 𝑦2, 𝑥2 )
= (𝑦1 + 𝑦2, 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 𝑥1 + 𝑥2 )
II) 𝑇( 𝛼. 𝑢) = 𝛼. 𝑇(𝑢)
𝑇( 𝛼 . 𝑥1 , 𝛼 . 𝑦1 ) = (𝛼 . 𝑦1 , 𝛼 . 𝑥1 , 𝛼 . 𝑦1 , 𝛼 . 𝑥1 )
𝑇( 𝑥1,𝑦1) + 𝑇( 𝑥2, 𝑦2) = (𝛼 . 𝑦1 , 𝛼 . 𝑥1 ,𝛼 . 𝑦1 , 𝛼 . 𝑥1 )

33
Lista TED 16:
Nos 6 problemas seguintes, dada a transformação linear f : ℝ 2
 ℝ 2
, definida em cada um deles,
a) fazer um gráfico de um vetor genérico  = (x, y) e de sua imagem f( );
b) dizer que transformação linear plana os gráficos representam.
66) f (x, y ) = (2x, 0)
𝑇:ℝ 2
→ ℝ2
𝑇( 𝑥, 𝑦) = (2𝑥,0)
𝑢 = (3,4)
𝑇(3,4) = (6,0)
67) f (x, y ) = (-2x, 2y)
𝑇( 𝑥, 𝑦) = (−2𝑥, 2𝑦)
𝑢 = (2,3)
𝑇(2,3) = (−4,6)
68) f (x, y ) = (-y, x)
𝑢 = (2,1)
𝑇(2,1) = (−1,2)
69) f (x, y ) = (2x, y)
𝑢 = (2,3)
𝑇(2,3) = (4,3)
70) f (x, y ) = (3x, -2y)
𝑢 = (1,2)
𝑇(2,3) = (3, −4)
18) f (x, y ) = -2 (x, y),
𝑢 = (2,2)
𝑇(2,3) = (4,4)
b) R: Para todos. Uma reta que passa pela origem.
71) Seja f: ℝ3  W a projeção ortogonal do ℝ3
sobre o plano y0z, indicado por W.
𝑇:ℝ 3
→ ℝ3
a) Determine a lei que define f;
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) → (0, 𝑥, 𝑦)
𝑇( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0, 𝑥, 𝑦)
b) Calcular f (3, -4, 5).
𝑇(3,−4,5) = (0,−4,5)

34
72) Dada a transformação linear f: ℝ 3
 ℝ 2
tal que f(1, 0, 0) = (2, 1), f(0, 1, 0) = (-1, 0) e f(0, 0, 1) = (1,
-2)
𝑇: ℝ3
→ ℝ 2
𝑓(1,0,0) = (2,1 )
𝑓(0,1,0) = (−1,0)
𝑓(0,0,1) = (1,−2)
a) determinar a matriz canônica de f;
𝐵 = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}
b) calcular f(3, 4, 5);
(3,4,5) = 𝑎(1,0,0) + 𝑏(0,1,0) + 𝑐(0,0,1)
(3,4,5) = ( 𝑎, 𝑏, 𝑐)
𝑎 = 3
𝑏 = 4
𝑐 = 5
𝑇(3,4,5) = 𝑎. 𝑇(2,1) + 𝑏. 𝑇(0,1,0) + 𝑐. 𝑇(0,0,1)
= 3. (2,1) + 4.(−1,0) + 5. (1,−2)
= (6,3) + (−4,0) + (5, −10)
= (7,−7)
c) calcular f(x, y, z).
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎(1,0,0) + 𝑏(0,1,0) + 𝑐(0,0,1)
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑎, 𝑏, 𝑐)
𝑎 = 𝑥
𝑏 = 𝑦
𝑐 = 𝑧
𝑇(3,4,5) = 𝑥. 𝑇(2,1) + 𝑦. 𝑇(0,1,0) + 𝑧. 𝑇(0,0,1)
= 𝑥. (2,1) + 𝑦.(−1,0) + 𝑧.(1, −2)
= (2𝑥, 𝑥) + (−𝑦,0) + (𝑧, −2𝑧)
= (2𝑥 − 𝑦 + 𝑧, 𝑥 − 2𝑧)
Lista TED 17:
73) Uma transformação linear f: ℝ 2  ℝ 3
é tal que f(-1, 1) = (3, 2, 1) e f(0, 1) = (1, 1, 0)
Determinar:
a) f(2, 3)
𝑇(2,3) =?
(2,3) = 𝑎.(−1,1) + 𝑏(0,1)
(2,3) = (−𝑎, 𝑎) + (0, 𝑏)
(2,3) = (−𝑎, 𝑎 + 𝑏)
{
−𝑎 = 2
𝑎 + 𝑏 = 3
𝑎 = −2
−2 + 𝑏 = 3
𝑏 = 3 + 5
𝑏 = 5
𝑇(2,3) = 𝑎. 𝑇(−1,1) + 𝑏. 𝑇(0,1)
= −2. (3,2,1) + 5.(1,1,0)
= (−6, −4,−2) + (5,5,0)

35
= (−1,1,−2)
b) f(x, y)
( 𝑥, 𝑦) = 𝑎.(−1,1) + 𝑏.(0,1)
( 𝑥, 𝑦) = (−𝑎, 𝑎) + (0, 𝑏)
( 𝑥, 𝑦) = (−𝑎, 𝑎 + 𝑏)
{
−𝑎 = 𝑥
𝑎 + 𝑏 = 𝑦
𝑎 = −𝑥
−𝑥 + 𝑏 = 𝑦
𝑏 = 𝑦 + 𝑥
𝑇( 𝑥, 𝑦) = 𝑎. (𝑇(−1,1)) + 𝑏. (𝑇(0,1))
= (−𝑥).(3,2,1) + ( 𝑥 + 𝑦).(1,1,0)
= (−3𝑥,−2𝑥,−𝑥) + (𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑜)
𝑇( 𝑥, 𝑦) = (−2𝑥 + 𝑦, −𝑥 + 𝑦,−𝑥)
c)  ℝ 2
tal que f ( ) = (-2, 1, -3)
𝑇( 𝑣) = (−2,1, −3)
𝑇( 𝑥, 𝑦) = (−2,1,3)
(2𝑥 + 𝑦,−𝑥 + 𝑦, −𝑥) = (−2,1,3)
{
−2𝑥 + 𝑦 = −2
−𝑥 + 𝑦 = 1
−𝑥 = −3
𝑥 = 3
−3 + 𝑦 = 1
𝑦 = 4
−6 + 4 = −2
0 = 0
𝑣 = (3,4)
74) Seja ƒ: ℝ ³ → ℝ ² a transformação linear definida por ƒ (1,1,1) = (1,2), ƒ (1,1,0) = (2,3) e ƒ (1,0,0) =
(3,4). Determinar:
a) ƒ (x,y,z);
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎. (1,1,1) + 𝑏.(1,1,0) + 𝑐(1,0,0)
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 𝑎, 𝑎, 𝑎) + ( 𝑏, 𝑏,0) + (𝑐, 0,0)
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐, 𝑎 + 𝑏, 𝑎)
{
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑥
𝑎 + 𝑏 = 𝑦
𝑎 = 𝑧
𝑎 = 𝑧
𝑏 = 𝑦 − 𝑧
𝑧 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑐 = 𝑥
𝑐 = 𝑥 − 𝑦
𝑇( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎. ( 𝑇(1,1,1)) + 𝑏( 𝑇(1,1,0)) + 𝑐(𝑇(1,0,))
𝑇( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 𝑧). (1,2) + ( 𝑦 − 𝑧). (2,3) + ( 𝑥 − 𝑦).(3,4)
= ( 𝑧,2𝑧) + (2𝑦 − 2𝑧,3𝑦 − 3𝑧) + (3𝑥 − 3𝑦,4𝑥 − 4𝑦)
𝑇( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧, 4𝑥 + 3𝑦 − 5𝑦)
b) υ1  ℝ ³ tal que ƒ (υ1 ) = (-3,-2);
𝑇( 𝑢) = (−3, −2)
𝑇( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−3, −2)

36
(3𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧, 4𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧) = (−3, −2)
{
3𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = −3 . (−4)
4𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = −2 .(3)
{
−12𝑥 − 8𝑦 + 16𝑧 = 12
12𝑥 + 9𝑦 − 15𝑧 = −6
{
3𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = −3
𝑦 + 𝑧 = 6
{
3𝑥 + 2𝑦 = −3 + 4𝑧
𝑦 = 6 − 𝑧
3𝑥 + 2(6 − 𝑧) = −3 + 4𝑧
3𝑥 + 12 − 2𝑧 = −3 + 4𝑧
3𝑥 = 15 + 𝑧
𝑥 =
−15+6𝑧
3
𝑢 = (
−15+6𝑧
3
,6 − 𝑧, 𝑧)
c) υ 2  ℝ ³ tal que ƒ (υ 2 ) = (0,0).
𝑇( 𝑣) = (0,0)
𝑇( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0)
(3𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧,4𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧) = (0,0)
{
3𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = 0
4𝑥 + 3𝑦 − 5𝑦 = 0
{
3𝑥 + 2𝑦 = 4𝑧 (−4)
4𝑥 + 3𝑦 = 5𝑧(3)
−12−8𝑦−4𝑧=0
12𝑥+3𝑦−5𝑧=0
𝑦=−𝑧
{
3𝑥 + 2𝑦 = 4𝑧
𝑦 = −𝑧
3𝑥 − 2𝑧 = 4𝑧
3𝑥 = 6𝑧
𝑥 = 2𝑧
𝑣 = (2𝑧, −𝑧, 𝑧)
75) Dado o operador linear ƒ : ℝ ², ƒ (x,y) = (2x + y, 4x + 2y), dizer quais dos seguintes vetores pertencem
a N (ƒ):
𝑇: ℝ2  ℝ 2
𝑇( 𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 𝑦, 4𝑥 + 2𝑦)
(2𝑥 + 𝑦,4𝑥 + 2𝑦) = (0,0)
{
2𝑥 + 𝑦 = 0
4𝑥 + 2𝑦 = 0
2𝑥 + 𝑦 = 0
2x=y logo y=-2x
𝑁( 𝑡) = {( 𝑥, −2𝑥)|𝑐 ∈ ℝ}
a) υ1 = (1,-2)
𝑢1 = (1,−2) Sim, pois se x=1 então y=-2.
b) υ 2 = (2, -3)
𝑢2 = (2,−3) Não, pois se x=2 então y= -4.
c) υ 3 = (-3,6)
𝑢3 = (−3,6) Sim, pois se x=-3 então y= 6.

37
Lista TED 18:
76) Para o mesmooperador linear do problema anterior, verificar quais dos seguintes vetores pertencem
à Im (ƒ):
𝑇( 𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 𝑦, 4𝑥 + 2𝑦)
(2𝑥 + 𝑦),4𝑥 + 2𝑦) = (𝑎, 𝑏)
{
2𝑥 + 𝑦 = 𝑎.(−2)
4𝑥 + 2𝑦 = 𝑏
{
4𝑥 − 2𝑦 = −2𝑎
4𝑥 + 2𝑦 = 𝑏
0 = −2𝑎 + 𝑏
𝐼𝑚( 𝑇) = {( 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ ²|−2𝑎 + 𝑏 = 0}
a) 1 = (2,4)
𝑢1 = (2,4)
−2. (2) + 4 = 0
−4 + 4 = 0
Ok.
b)  2 = (-
2
1
, -1)
−2. (
−1
2
) + (−1) = 0
1 − 1 = 0
Ok.
c) 3 = (-1,3)
−2(−1) + 3 = 0
2 + 3 ≠ 0
Não é.
Nos 4 problemas seguintes são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas determinar:
a) o núcleo, uma base desse subespaço e sua dimensão;
b) a imagem, uma base desse subespaço e sua dimensão.
Verificar ainda, em cada caso, a propriedade 3, item 3.5, relativa à dimensão.
77) ƒ: ℝ ² → ℝ ², ƒ (x,y) = (3x-y, –3x + y)
a) T: ℝ ² → ℝ ²
𝑇( 𝑥, 𝑦) = (3𝑥 − 𝑦,−3𝑥 + 𝑦)
(3𝑥 − 𝑦, −3𝑥 + 𝑦) = (0,0)
{
3𝑥 − 𝑦 = 0
−3𝑥+= 0
{3𝑥 − 𝑦 = 0
{𝑦 = 3𝑥
𝑁( 𝑇) = {( 𝑥, 3𝑥) 𝑥 ∈ ℝ}
𝐷𝑖𝑚𝑁( 𝑇) = 1
𝐵𝑖𝑚 = {(1,3)}
b)(3𝑥 − 𝑦,−3𝑥 + 𝑦) = (𝑎, 𝑏)
{
3𝑥 − 𝑦 = 𝑎
−3𝑥 + 𝑦 = 𝑏
𝑎 = −𝑏
0 = 𝑎 + 𝑏
𝐼𝑚( 𝑇) = {( 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ | 𝑎 + 𝑏 = 0}

38
𝐷𝑖𝑚 𝐼𝑚( 𝑇) = 1
𝐵𝑖𝑚 = {−1,1)}
78) ƒ: ℝ ² → ℝ ³, ƒ (x,y) = ( x + y, x, 2y)
a)( 𝑥 + 𝑦, 𝑥, 2𝑦) = (0,0,0)
{
𝑥 + 𝑦 = 𝑎
𝑥 = 𝑏
2𝑦 = 𝑐
𝑥 = 0
𝑦 = 0
𝑁( 𝑇) = {(0,0)}
𝐷𝑖𝑚(𝑁( 𝑇) = 0
𝐵 = {0,0}
b) ( 𝑥 + 𝑦, 𝑥, 2𝑦) = (𝑎, 𝑏, 𝑐)
{
𝑥 + 𝑌 = 𝑎
𝑥 = 𝑏
2𝑦 = 𝑐
𝑦 =
𝑐
2
𝑥 = 𝑏
𝑏 +
𝑐
2
= 𝑎
2𝑏 + 𝑐 = 2𝑎
2𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 = 0
𝐼𝑚( 𝑇) = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∈ ℝ ³ | 2𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 = 0}
𝐷𝑖𝑚(𝐼𝑚( 𝑇)) = 2
𝐵𝑖𝑚 = {(1,1,0),(2,2,)}
79) ƒ: ℝ ² → ℝ ², ƒ (x,y) = (x – 2y, x + y)
a)𝑇( 𝑥, 𝑦) = ( 𝑥 − 2𝑦, 𝑥 + 𝑦)
{
𝑥 − 2𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 = 0 (−1)
{
𝑥 − 2𝑦 = 0
−𝑥 − 𝑦 = 0
−3𝑦 = 0
𝑦 = 0
𝑥 = 0
𝑁( 𝑇) = {0,0,}
𝐷𝑖𝑚 𝑁( 𝑇) = 0
𝐵𝑛 = {(0,0)}
b)( 𝑥 − 2𝑦, 𝑥 + 𝑦) = ( 𝑎, 𝑏)
{
𝑥 − 2𝑦 = 𝑎
𝑥 + 𝑦 = 𝑏 (−1)
{
𝑥 − 2𝑦 = 𝑎
−𝑥 − 𝑦 = −𝑏
−3𝑦 = 𝑎 − 𝑏 (−1)
3𝑦 = −𝑎 + 𝑏
𝑦 =
−𝑎+𝑏
3
𝑥 + (
−𝑎+𝑏
3
) = 𝑏
3𝑥 − 𝑎 + 𝑏 = 3𝑏

39
3𝑥 = 𝑎 + 2𝑏
𝑥 =
𝑎+2𝑏
3
𝐼𝑚( 𝑇) = {(
𝑎+2𝑏
3
,
−𝑎+𝑏
3
) ∈ ℝ2}
𝐷𝑖𝑚(𝐼𝑚( 𝑇)) = 2
𝐵𝐼𝑚 = {(1,0), (
1
3
,
−1
3
)
80) ƒ: ℝ ³ → ℝ2
, ƒ (x,y,z) = (x + 2y –z, 2x –y +z)
a) ( 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧, 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧) = (0,0)
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 (2)
{
𝑥 + 2𝑦 = 𝑧
4𝑥 − 2𝑦 = 2𝑥
{
𝑥 + 2𝑦 = 𝑧
5𝑥 = −𝑧
𝑥 =
−𝑧
5
−
𝑧
5
+ 2𝑦 = 𝑧
−𝑧 + 10𝑦 = 5𝑧
𝑦 =
3𝑧
5
𝑁( 𝑇) = {(−
𝑧
5
,
3𝑧
5
, 𝑧) 𝑧 ∈ ℝ}
𝐷𝑖𝑚 𝑁( 𝑇) = 1
𝐵 𝑛 = {(−
1
5
,
3
5
, 1)}
b) ( 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧,2𝑥 − 𝑦 + 𝑧) = (𝑎, 𝑏)
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 𝑎
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 𝑏
+
3𝑥 + 𝑦 = 𝑎 + 𝑏
E x e y ∈ ℝ logo a+b ∈ ℝ
𝐼𝑚( 𝑇) = ℝ
𝐷𝑖𝑚(𝐼𝑚( 𝑇) = 2 (Pela propriedade)
𝐵 = {(1,0), (0,1)}

40
Lista TED 22:
Conjuntos
103) Numa escola com 557 alunos, 295 estudam Matemática, 205 estudam
Física e 120 não estudam nem Matemática nem Física. Pede-se:
a) quantos alunos estudam Matemática ou Física? 437 alunos
b) quantos alunos estudam Matemática e Física? 63 alunos
104) Numa escola foi feita uma pesquisa com todos os alunos sobre os times
de futebol para os quais os eles torcem e tiveram o seguinte resultado:
130 estudantes torcem pelo Flamengo, 105 torcem pelo Corinthians e 50 torcem
pelo Atlético Mineiro. Foi verificado também que 50 torcem simultaneamente para
Flamengo e Corinthians, 30 torce simultaneamente para Flamengo e Atlético e
25 torcem simultaneamente para Corinthians e Atlético. Lembramos ainda que
20 torcem pelos três times e 80 não torcem para ninguém. Pede-se:
a)Quantos alunos estudam na escola? 200
b)Quantos alunos torcem para dois times? 45
c) Quantos alunos não torcem pelo Flamengo?70
d)Quantos torcem exclusivamente para o Flamengo?70
105)Em uma pesquisa eleitoral, o candidato D deve 350 votos, o candidato S deve
139. Além disso também foram apurados que 200 pessoas não querem votar em
nenhum deles. Se ao todo foram entrevistados 650 pessoas, pergunta-se.
a)Quantas pessoas estão indecisas entre os dois candidatos?
b)Quantas pessoas só vão votar no candidato D?
c) Quantas pessoas só vão votar no candidato S?
557 120 500 437 205 295
-500 -57 -63 -295 -142 -63
57 63 437 142 63 232
U=557 Mat.
Fis.
NEstuda.120
142 232
63

41
T=650
N/V=200
T-N/V=450
D= 350
S=139
D+S= 489
489-450=39
D= 450-139= 311
S= 450-350= 100
A) 39
B) 311
C) 100
106)Numa comunidade são consumidos três produtos A, B e C. Feita uma pesquisa
de mercado sobre o consumo foram obtidos os resultados da tabela abaixo:
Produtos A B C A e B B e C A e C A e B e C
Nenhu
m
No. Consumidores
10
0
15
0
20
0
20 40 30 10 130
Determine quantas pessoas:
a) foram consultadas.
370 ssoas.
b) consomem somente dois produtos.

42
60 essoas.
c) não consomem o produto B.
350 ssoas.
d) Não consomem A ou não consomem B.
270 pessoas.
107)Uma fabrica pretende produzir motos de três cores (amarela, vermelha e
preta). Desejando saber a preferência dos consumidores encomendou uma
pesquisa sobre as cores e obteve o seguinte resultado:
Cores A V P A e V A e P V e P A e V e P
Nenhu
m
Votos 209
25
5
178 90 64 77 57 29
a) Quantos gostam só de moto amarela? 112
b) Quantos gostam só de moto vermelha? 145
c) Quantos gostam só de moto preta? 94
d) Quantos foram entrevistados? 497
108)Para determinar em qual veículo de comunicação uma empresa iria investir a
propaganda de seu novo produto foi feita uma pesquisa que obteve o seguinte
resultado:
Veículo
Rádi
o
TV
Jorn
a
l
Rádio e
TV
Rádio e
Jornal
TV e
Jorn
al
Rádio/Jornal
/TV
Nenhu
m
Pessoas 380
19
0
120 60 45 30 22 432
Pergunta-se:
a) Quantas pessoas ouvem só rádio? 297
432
u

43
b) Quantas pessoas leem só jornal? 67
c) Quantas pessoas foram entrevistadas ao todo? 1009
109)No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527
falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses
idiomas. Qual é o número de candidatos que falam as línguas inglesa e francesa?
979 − 321 = 658
527 + 251 = 778
778 − 658 = 120
R: O número de candidatos que falam a língua inglesa e francesa é 120
Lista TED 23:
Sistemas lineares
110)Resolva o seguinte sistema, pelos três métodos de resolução (escalonamento,
cramer da matriz inversa):
Método de Escalonamento








3
1642
0
zyx
zyx
zyx








3
142
0
zyx
zy
zyx








2/3
142
0
y
zy
zyx
−2x + 2y − 2z = 0 −2y + 4z = 1 x − (3
2⁄ ) + 1 = 0
2x − 4y + 6z = 1 −2(3
2⁄ ) + 4 = 1
x−3+1=0
2
0 − 2y + 4z = 1 − 6
2⁄ + 4z = 1 2x − 3 + 2 = 0
−3 + 4z = 1 2x − 1 = 0
x − y + z = 0 4z = 1 + 3 2x = 1
LI LF
U
407 131120
321

44
−x − y − z = −3 z = 4
4⁄ x = 1
2⁄
−0 − 2y = −3 z = 1
−2y = 3
y = 3
2⁄ 𝐒 = ( 𝟏
𝟐⁄ , 𝟑
𝟐⁄ , 𝟏)
Método de Cramer








3
1642
0
zyx
zyx
zyx
Det.D = (4 − 6 + 2) − (2 + 6 − 4)
= −8 + 0
Det. Dx = (0 − 18 + 1)— (1 + 0 − 12) Det. Dy = (1 + 0 + 6)—(0 + 18 − 1)
= −17 + 1 = 7 − 19
= −4 = −12
Det. Dz = (−12− 1 + 0)—(−6 + 1 + 0)
= −13 + 5
= −8 𝐒 = ( 𝟏
𝟐⁄ , 𝟑
𝟐⁄ , 𝟏)
Método de Matriz Inversa








3
1642
0
zyx
zyx
zyx
Det.D = (4 − 6 + 2) − (2 + 6 − 4)
= −8 + 0
1ª Linha 2ª Linha 3ª Linha
−4 − (6) = −10 −1 − (1) = −2 −6 − (−4) = −2
2 − (6) = −4 1 − (1) = 0 6 − (2) = −4
2 − (−4) = −2 1− (−1) = 2 −4 − (−2) = −2
Cop D = |
−10 4 −2
2 0 −2
−2 −4 −2
| Cop DT
= |
−10 2 −2
4 0 −4
−2 −2 −2
| Cop D−1
= |
|
−10
−8
2
−8
−2
−8
4
−8
0
−8
−4
−8
−2
−8
−2
−8
−2
−8
|
|
𝐷 = |
1 −1 1
2 −4 6
1 1 1
|
1 −1
2 −4
1 1
𝐷𝑥 = |
0 −1 1
1 −4 6
3 1 1
|
0 −1
1 −4
3 1
𝐷𝑦 = |
1 0 1
2 1 6
1 3 1
|
1 0
2 1
1 3
𝐷𝑥
= |
0 −1 1
1 −4 6
3 1 1
|
0 −1
1 −4
3 1
𝐷 = |
1 −1 1
2 −4 6
1 1 1
|
1 −1
2 −4
1 1

45
x, y, z =
|
|
−10
−8
2
−8
−2
−8
4
−8
0
−8
−4
−8
−2
−8
−2
−8
−2
−8
|
|
. |
0
1
3
| =
|
|
0 −
1
4
+
3
4
0 + 0+
3
2
0 +
1
4
+
3
4
|
|
=
|
|
2
4
3
2
4
4
|
|
= |
|
1
2
3
2
1
|
| 𝐒 = ( 𝟏
𝟐⁄ , 𝟑
𝟐⁄ , 𝟏)
cramer e da matriz inversa):
Cramer:








12
3
12
zx
zy
yx
|
1 −2 0
0 1 1
−1 0 2
|
1 −2
0 1
−1 0
= 2+2= 4
|
1 −2 0
3 1 1
1 0 2
|
1 −2
3 1
1 0
= 2-2+12=12
Dx
D
=
12
4
x= 3
|
1 1 0
0 3 1
−1 1 2
|
1 1
0 3
−1 1
= 6-1-1=4
Dy
d
=
4
4
y=1
|
1 −2 1
0 1 3
−1 0 1
|
1 −2
0 1
−1 0
= 1+6+1=8
Dz
D
=
8
4
z= 2
𝐒 = ( 𝟑, 𝟏, 𝟐)
Matriz inversa:








12
3
12
zx
zy
yx
|
1 −2 0
0 1 1
−1 0 2
|
1 −2
0 1
−1 0
det A = (2+2)-0 = 4 Cof A = |
2 −1 1
4 2 2
−2 −1 1
|

46
Cof At
= |
2 4 −2
−1 2 −1
1 2 1
| B−1
= |
|
2
4
4
4
−2
4
−1
4
2
4
−1
4
1
4
2
4
1
4
|
| B−1
= |
|
1
2
1
−1
2
−1
4
1
2
−1
4
1
4
1
2
1
4
|
|
X = |
|
1
2
1
−1
2
−1
4
1
2
−1
4
1
4
1
2
1
4
|
| . |
1
3
1
| = |
|
1
2
+ 3 −
1
2
−
1
4
+
3
2
−
1
4
1
4
+
3
2
+
1
4
|
| = |
3
1
2
| S = (3,1,2)
Escalonamento:
{
x − 2y = 1
y + z = 3
−x + 2z = 1
0 - 2y - 2z = -6
-x + 0 +2z = 1
-x – 2y / = -5
{
x − 2y + 0 = 1
−x − 2y + 0 = −5
−x + 0 + 2z = 1
−x + 2y + 0 = −1
−x − 2y + 0 = −5
−2x / + 0 = −6
{
−x − 2y = −5
−x + 2z = 1
−2x = −6
S = (3,1,2)
Escalonamento:








0
0
032
zy
yx
zyx








zy
yx
zyx
/
0
032








zy
y
zyx
0
032
X+2.(0)+3.(0)=0
X=0
S=(0,0,0)
-2x = -6 .(-1)
x = 6/2 = 3
-3 + 2z = 1
2z = 1+3
z = 4/2 = 2
-3 + 2y = -5
-2y = -5+3
-2y = -2 .(-1)
y = 2/2 = 1

47
Cramer:
Det d = |
1 2 3
−1 1 0
0 1 −1
|
1 2
−1 1
0 1
-1+0-3 –(2+0+0)
-4-2
-6
Det dx = |
0 2 3
0 1 0
0 1 −1
|
0 2
0 1
0 1
0+0+0-(0+0+0)
0
Det dy = |
1 0 3
−1 0 0
0 0 −1
|
1 0
−1 0
0 0
0+0+0-(0+0+0)
0
Det dz = |
1 2 0
−1 1 0
0 1 0
|
1 2
−1 1
0 1
0+0+0-(0+0+0)
0
S=(0,0,0)
Matriz inversa:
Det d = |
1 2 3
−1 1 0
0 1 −1
|
1 2
−1 1
0 1
-1+0-3 –(2+0+0)
-4-2
-6
1ºlinha 2ºlinha 3ºlinha
(-1)-(0)=-1 (-2)-(3)=-5 (3)-(0)=3
(0)-(1)=-1 -1(-0)=-1 (-3)-(0)=-3
0-(-1)=1 0-(1)=-1 (1)-(-2)=2
Cof B = |
1 −1 1
−5 1 −1
3 3 2
| Cof Bt
= |
1 −5 3
−1 1 −3
1 −1 2
|
B−1
= |
|
1
−6
−
5
−6
3
−6
−
1
−6
1
−6
−
3
−6
1
−6
−
1
−6
2
−6
|
|
B−1
= |
|
−
1
6
5
6
−
1
2
1
6
−
1
6
1
2
−
1
6
1
6
−
1
3
|
|

48
X = |
|
−
1
6
5
6
−
1
2
1
6
−
1
6
1
2
−
1
6
1
6
−
1
3
|
| . |
0
0
0
| = |
0
0
0
| S=(0,0,0)
cramer e da matriz inversa).
Solução pelo método do escalonamento:
{
2x − y + z = 12 ∗
2y− z = 13
x + y + z = 0 ∗
{
2x − y + z = 12
−2x − 2y − 2z = 0
= −3y − z = 12
{
2x − y + z = 12
2y − z = −13 (−1)
−3y − z = 12 ∗
∗ {
−2y + z = 13
−3y − z = 12
= y = −5 = y = −5
−3(−5) − z = 12 2x + 5 + 3 = 12
15 − z = 12 x = 2 S = {2, −5,3}
z = 3
Solução pelo método de Cramer:
{
2x − y + z = 12
2y − z = 13
x + y + z = 0
Det = |
2 − 1 1
0 2 − 1
1 1 1
|
2 −1
0 2
1 1
= (4 + 1) −(2 − 2) = 5
Dx = |
12 −1 1
−13 2 −1
0 1 1
|
12 −1
−13 2
0 1
= (24 − 13) − (13− 12) = 11 − 1 = 10
Dy = |
2 12 1
0 −13 −1
1 0 1
|
2 12
−0 −13
1 0
= (−26 − 12) − (−13) = −38 + 13 = −25
Dz = |
2 −1 12
0 2 −13
1 1 0
|
2 −1
0 2
1 1
= (13) − (24 − 26) = 15
x =
Dx
D
=
10
5
= 2 y =
Dy
D
=
−25
5
= −5 z =
Dz
D
=
15
5
= 3
S = {2, −5,3}
Solução pelo método Matriz Inversa
A = |
2 −1 1
0 2 −1
1 1 1
|
2 −1
0 2
1 1
detA = (4 + 1) − (2 − 2) = 5

49
Rascunho
1ª linha 2ª linha 3ª linha
2 − (−1) = 3 − 1 − (1) = −2 1 − (2) = −1
0— 1 = 1 2− (1) = 1 − 2 − (0) = −2
0 − (2) = −2 2—1 = 3 4− (0) = 4
Cof A = |
3 −1 −2
2 1 −3
−1 2 4
| Cof At
= |
3 2 −1
−1 1 2
−2 −3 4
| A−1
= ||
3
5⁄ 2
5⁄ −1
5⁄
−1
5⁄ 1
5⁄ 2
5⁄
−2
5⁄ −3
5⁄ 4
5⁄
||
X = ||
3
5⁄ 2
5⁄ −1
5⁄
−1
5⁄ 1
5⁄ 2
5⁄
−2
5⁄ −3
5⁄ 4
5⁄
|| ∙ |
12
−13
0
| = |
|
36−26+0
5
−12−13+0
5
−24+39+0
5
|
| = ||
10
5⁄
−25
5⁄
15
5⁄
|| = |
2
−5
3
|
S = {2, −5,3}








32
322
0
zyx
zyx
zyx
Cramer








32
322
0
zyx
zyx
zyx
12
21
11
112
221
111





2))2(1-1)-2(1-1)1((-1--1))1(12)-2(-1-1)2((1 
-6=
(3)-(-3)=

-6=
(-3)-(-9)=
-3))2(1+-1)-2(0+-1)3((-1--1))3(1+-3)-2(-1+-1)2((0=


13
23
10
113
223
110






50
-18=
(12)-(-6)=
-2))3(1+-3)-2(1+-1)1((0--3))1(1+-2)-2(0+-1)3((1=


-12=
(0)-(-12)=
2))2(0+-1)3(1+-3)1((-1--1))1(0+2)3(-1+-3)2((1=


2=
16-
12-
==
3=
6-
18-
==
1=
6-
6-
==









s={1,3,2}
Matriz inversa
12
21
11
112
221
111





2))2(1-1)-2(1-1)1((-1--1))1(12)-2(-1-1)2((1 
-6=.det
(3)-(-3)=

1°ordem 2°ordem 3°ordem
-2-(2)=-4 1-(-1)=2 2-(2)=0
-1-(-4)=3 -1-(2)=-3 -2-(1)=-3
-1-(4)=-5 -1-(-2)=1 2-(-1)=3
330
132
534
,



cof
315
333
024
, 1




cof
32
31
01
132
231
101


12
21
11
312
321
011





51
2
3
1
6
12
6
18
6
6
6
9
6
3
0
6
9
6
9
0
0
6
6
0
3
3
0
6
3
6
1
6
5
6
3
6
3
6
3
6
0
6
2
6
4
6
3
6
1
6
5
6
3
6
3
6
3
6
0
6
2
6
4
1
























S{1,3,2}
Escalonamento











32
2
322
0
zyx
zyx
zyx
 
    2020310
3
2
6
62
3323233213
323
32
0
32
0
133
322
0222

























zzzzyx
yyy
yyy
yx
zyx
zyx
zyx
zyx
xx
zyx
zyx
S{1,3,2}








52
832
33
zyx
zyx
zyx
Método do Escalonamento:

52
{
x
−2x
−x
−3y
+3y
+2y
+z
−z
−z
= 3
= −8
= −5
x − 3y + z = 3
−2x + 3y − z = −8
−x = −5
x − 3y + z = 3
−x + 2y − z = −5
−y = −2
{
x
−x
0x
−3y
0y
−y
+z
0z
0z
= 3
= −5
= −2
x = 5
y = 2
x − 3y + z = 3
5 − 3(2) + z = 3
5 − 6 + z = 3
z = 4
S= (5,2,4)
Método de Cramer:
D = [
1 −3 1
−2 3 −1
−1 2 −1
] [
1 −3
−2 3
−1 2
] = D = (−3 − 3 − 4) − (−3 − 2 − 6) = 1
Dx = [
3 −3 1
−8 3 −1
−5 2 −1
] [
3 −3
−8 3
−5 2
] = Dx = (−9 − 15 − 16)− (−15 − 6 − 24) = 5
Dy = [
1 3 1
−2 −8 −1
−1 −5 −1
] [
1 3
−2 −8
−1 −5
] = Dy = (8 + 3 + 10) − (8 + 5 + 6) = 2
Dz = [
1 −3 3
−2 3 −8
−1 2 −5
] [
1 −3
−2 3
−1 2
] = Dz = (−15 − 24 − 12)—9 − 16 − 30 = 4
X =
Dx
D
=
5
1
= 5
Y =
Dy
D
=
2
1
= 2 S= (5,2,4)
Z =
Dz
D
=
4
1
= 4

53
Método da Matriz Inversa:
A = {
x
−x
0x
−3y
0y
−y
+z
0z
0z
= 3
= −5
= −2
A = [
1 −3 1
−2 3 −1
−1 2 −1
] =
D = [
1 −3 1
−2 3 −1
−1 2 −1
] [
1 −3
−2 3
−1 2
] = D = (−3 − 3 − 4) − (−3 − 2 − 6) = 1
CofA = [
−1 −1 −1
−1 0 1
0 −1 −3
]
CofAt
= [
−1 −1 0
−1 0 −1
−1 1 −3
]
A−1
=
[
−1
1
−1
1
0
1
−1
1
0
1
−1
1
−1
1
1
1
−3
1 ]
= [
−1 −1 0
−1 0 −1
−1 1 −3
]
S = [
−1 −1 0
−1 0 −1
−1 1 −3
] . [
3
−8
−5
] = [
−3 + 8 + 0
−3 + 0 + 5
−3 − 8 + 15
] = [
5
2
4
]
S= (5,2,4)
Lista TED 24:
Espaço vetorial
−3 − (−2) = −1
2 − (1) = 1
−4 − (−3) = −1
3 − (2) = 1
−1 − (−1) = 0
2 − (3) = −1
3 − (3) = 0
−1 − (−2) = 1
3 − (6) = −3
+ − +
− + −
+ − +

54
116)Abaixo é dado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por
escalar nele definidas, verificar se ele é ou não espaço vetorial, se acaso não for,
citar os axiomas que não se verificam.
 ℝ2
 (x1 , y1) + (x2 , y2) = (x1 , y1 )
  (x1 , y1) = ( x1 , y1)
u = (x1, y1) v = (x2, y2) w = (x3, y3)
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(x1, y1)+ (x2, y2)] + (x3, y3) = (x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)]
(x1+y1) + (x3, y3) = (x1, y1) + (x2+x3, y2+y3)
(x1+x3, y1+y3) = (x1+x3, y1+y3)
A2) u + v = v + u
(x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) + (x1, y1)
(x1, y1) = (x1, y1)
A3) u + 0 = u
(x1, y1) + (0,0) = (x1, y1)
(x1, y1) = (x1, y1)
A4) u +(-u) = 0
(x1, y1) + (-(x1, y1)) = (0,0)
(x1, y1) - (x1, y1) = (0,0)
(0,0) = (0,0)
M1) (𝛂𝛃).u = 𝛂(𝛃.u)
(αβ).(x1, y1) = α(β.(x1, y1))
(αβx1,βy1)= α(β x1, βy1)
(αβx1, βy1)= (αβ x1, βy1)
M2) (𝛂 + 𝛃).u = 𝛂.u + 𝛃.u
(α + β).(x1, y1) = α.(x1, y1) + β.(x1, y1)
((α+ β)x1, (α + β)yx1= (α x1, y1) + (β x1, βy1)
(αx1+ βx1,y1, βy1) = (αx1+ βx1, y1, βy1)
M3) 𝛂(u + v) = 𝛂.u + 𝛂.v
α[(x1, -2x1, -x1) + (x2, -2x2, -x2)] = α.(x1, -2x1, -x1) + α.(x2, -2x2, -x2)
α [(x1+x2, -2x1-2x2, -x1-x2)] = (α x1, -α 2x1, - α x1) +(α x2, -2 α x2, - α x2)
α [(x1+x2, -2(x1+x2), -(x1+x2))] = (α x1+ α x2,- α 2x1-2 α x2, - α x1- α x2)
(α (x1+x2), -2 α (x1+x2), - α (x1+x2)) = (α (x1+x2), -2 α (x1+x2), - α (x1+x2))

55
M4) 1.u = u
1.(x1, -2x1, -x1) = (x1, -2x1, -x1)
(x1, -2x1, -x1) = (x1, -2x1, -x1)
Como todos os 8 axiomas foram verificados positivamente, logo este é um
espaço vetorial.
117)Abaixo é dado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por
escalar nele definidas, verificar se ele é ou não espaço vetorial, se acaso não for,
 ℝ 2
 (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
  (x1, y1) = ( x1, y1)
u + v = v + u
(x1, y1)+(x2, y2) = (x2, y2)+(x1, y1)
(x1+x2, y1+y2) = (x2+x1, y2+y1)
Este axioma se verifica logo
u + (v + w) = (u + v) + w
(x1, y1)+[(x2, y2) + (x3, y3)]=[(x1, y1)+(x2, y2)]+(x3+y3)
(x1, y1)+(x2+x3, y2)=(x1+x2,y1)+(x1+x2,y1)+(x3,y3)
(x1+x2+x3,y1+y2+y3) = (x1+x2+x3,y1+y2+y3)
u + 0 = u
(x1, y1)+ (0, 0) = (x1, y1)
(x1, y1)= (x1, y1)
u+(-u) = 0
x1, y1)+ (-x1, -y1) = (0, 0)
(0,0) = (0,0)
α(βu) = (αβ)u
α(β.(x1,y1) =αβ.(x1,y1)
α(βx1,βy1) = (αβx1,αβy1)
(αβx1,αβy1 =αβx1, αβy1)
(α+β).u = α u + βu
(α+β)(x1, y1) = α(x1, y1) + β(x1, y1)
(α+βx1,α+βy1 = α+βx1, α+βy1)
α (u+v) = αu + αv

56
α (x1, y1) + (x2, y2) = α(x1, y1) + α(x2, y2)
α(x1+x2, y1+y2) = (αx1, αy1) + (αx2, αy2)
α(x1+x2), α(y1+y2) = (αx1+αx2, αy1+αy2)
(αx1+αx2, αy1+αy2 = αx1+αx2, αy1+αy2)
1. u=u
1(x1, y1) = (x1, y1)
(x1, y1) = (x1, y1)
Como todos os 8 axiomas foram verificados positivamente, logo este é um espaço
vetorial.
118)A seguir apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação
por escalar nele definidas. Verificar se é um espaços vetorial. Se não for espaço,
{(x, 2x, 3x); x  IR} com as operações usuais
u = (x1, 2x1, 3x1), v = (x2, 2x2, 3x2) e w = (x3, 2x3, 3x3),
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(x1, 2x1, 3x1)+(x2, 2x2, 3x2)]+(x3, 2x3, 3x3) = (x1,2x1,3x1)+[(x2, 2x2, 3x2) + (x3,
2x3, 3x3)]
[(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2)] + (x3, 2x3, 3x3) = (x1, 2x1, 3x1) + [(x2+x3, 2x2+2x3,
3x2 + 3x3)]
(x1+x2+x3, 2x1+2x2+2x3, 3x13x2-3x3) = (x1+x2+x3, 2x1+2x2+2x3, 3x1+3x2+3x3)
(x1+x2+x3, 2(x1+x2+x3), 3(x1+x2+x3)) = (x1+x2+x3, 2(x1+x2+x3), 3(x1+x2+x3))
A2) u + v = v + u
(x1, 2x1, 3x1)+ (x2, 2x2, 3x2) = (x2, 2x2, 3x2) + (x1, 2x1, 3x1)
(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2) = (x2+x1, 2x2+2x1, 3x2+3x1)
(x1+x2, 2(x1+x2), 3(x1+x2)) = (x2+x1, 2(x2+x1), 3(x2+x1))
A3) u + 0 = u
(x1, 2x1, 3x1) + (0,0,0) = (x1, 2x1, 3x1)
(x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)
A4) u +(-u) = 0
(x1, 2x1, 3x1) + (-x1, -2x1,-3x1) = (0,0,0)
(0,0,0) = (0,0,0)
M1) (𝛂𝛃).u = 𝛂(𝛃.u)
(αβ). (x1, 2x1, 3x1) = α(β. (x1, 2x1, 3x1))
(αβ x1, 2 αβ x1, 3 αβ x1) = α(β x1, 2 β x1, 3 β x1)

57
(αβ x1, 2 αβ x1, 3 αβ x1) = (αβ x1, 2 αβ x1, 3 αβ x1)
M2) (𝛂 + 𝛃).u = 𝛂.u + 𝛃.u
(α + β). (x1, 2x1, 3x1) = α. (x1, 2x1, 3x1) + β. (x1, 2x1, 3x1)
((α + β)x1, (α + β)2x1, (α + β) 3x1) = (α x1, α 2x1, 3α x1) + (β x1, β 2x1,
3β x1)
(α x1+ βx1, α 2x1+ β2x1, 3α x1 + 3 β x1) = (α x1+ β x1, α 2x1+ β 2x1, 3α
x1+3 β x1)
M3) 𝛂(u + v) = 𝛂.u + 𝛂.v
α[(x1, 2x1, 3x1) + (x2, 2x2, 3x2)] = α. (x1, 2x1, 3x1) + α. (x2, 2x2, 3x2)
α [(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2)] = (α x1, α 2x1, 3 α x1) + (α x2, 2 α
x2, 3 α x2)
α [(x1+x2, 2(x1+x2), 3(x1+x2))] = (α x1+ α x2, α 2x1+2 α x2, 3 α
x1+3 α x2)
(α (x1+x2), 2 α (x1+x2), 3 α (x1+x2)) = (α (x1+x2), 2 α (x1+x2), 3 α
(x1+x2))
M4) 1.u = u
1. (x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)
(x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)
 ℝ2
 com as operações: (a, b) + (c, d) = (a, b)
  (a, b) = ( a,  b)
A1) u + v = v + u
(x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) + (x1,y1)
(x1, y1) ≠ (x2, y2) NÃO
A2) u + (v + w) = (u + v) + w
(x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)] = [(x1,y1) + (x2, y2)] + (x3, y3)
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1,y1) + (x3, y3)
(x1, y1) = (x1, y1) OK
A3) u + 0 = u
(x1, y1) + (0,0) = (x1, y1)
(x1, y1) = (x1, y1) OK
A4) u + (−u) = 0
(x1, y1) + (−x1, −y1) = (0,0)
(x1, y1) ≠ (0,0) NÃO

58
M1) α(βu) = (αβ)u
α[β(x1,y1)] = (αβ)(x1,y1)
α(βx1, βy1) = (αβx1, αβy1)
(αβx1, αβy1) = (αβx1, αβy1) OK
M2) (α + β)u = αu + βu
(α + β)(x1,y1) = α(x1, y1) + β(x1, y1)
[(α + β)x1, (α + β)y1,] = (αx1, αy1) + (βx1,βy1)
(αx1 + βx1,αy1 + βy1) = (αx1 + βx1,αy1 + βy1) OK
M3) α(u + v) = αu + αv
α[(x1,y1) + (x2, y2)] = α(x1, y1) + α(x2, y2 )
α(x1 + x2, y1 + y2) = (αx1,αy1) + (αx2, αy2)
[α(x1 + x2),α(y1 + y2)] = (αx1 + αx2, αy1 + αy2)
(αx1 + αx2, αy1 + αy2) = (αx1 + αx2, αy1 + αy2) OK
M4) 1 ∙ u = u
1 ∙ (x1,y1) = (x1,y1)
(x1,y1) = (x1,y1) OK
NÃO É ESPAÇO VETORIAL, NAO VERIFICANDO NOS AXIOMAS A1 E A4.
 ℝ2
 com as operações (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y')
  (x, y) = ( x,0)
u =(x, y), v =(x', y') e w =(x”,y”)
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(x, y) + (x', y')] + (x”,y”) = (x, y) + [(x', y') + (x”,y”)]
(x+ x', y+ y') + (x”,y”) = (x, y) + (x'+ x”, y'+ y”)
(x+ x'+ x”, y+ y'+ y”) = (x+ x'+ x”, y+ y'+ y”)
ok
A2) u + v = v + u
(x, y) + (x', y') = (x', y') + (x, y)
(x+ x', y+ y') = (x'+x, y'+y)
ok
A3) u + 0 = u
(x, y) + (0,0) = (x,y)
(x,y) = (x,y)
ok
A4) u +(-u) = 0
(x,y) + (-x,-y) = (0,0)

59
(0,0) = (0,0)
ok
M1) (𝛂𝛃).u = 𝛂(𝛃.u)
(αβ).(x,y) = α(β.(x,y))
(αβ x,0) = α(β.x,0))
(αβ x,0) = (αβ x,0)
ok
M2) (𝛂 + 𝛃).u = 𝛂.u + 𝛃.u
(α + β).(x,y) = α.(x,y) + β.(x,y)
((α + β).x,0) = ( α.x,0) + (β.x,0)
(α x+ β.x,0) = (α x+ β.x,0)
ok
M3) 𝛂(u + v) = 𝛂.u + 𝛂.v
α [(x, y) + (x', y')] = α.(x,y) + α.( x', y')
α (x+ x', y+ y') = (α.x,0) + (α. x', 0)
(α (x+ x'), α (y+ y')) = (α.x+ α. x',0)
(α x+ α x'), α y+ α y')) ≠ (α.x+ α. x',0)
Este não se verifica
M4) 1.u = u
1. (x, y) = (x, y)
(x, 0) ≠ (x, y)
Este não se verifica
Como pelo menos um axioma não foi verificado, logo este não é um espaço
vetorial.
A = {(x, y) IR2 | y = 5x} Com as operações usuais
u = (x1,5x1) v = (x2, 5x2)
A1) u + v = v + u
(x1, 5x1) + (x2, 5x2) = (x2, 5x2) + (x1, 5x2)
(x1 + x2, 5x1 + 5x2) = (x2 + x1, 5x2 + 5x1) ok
A2) u + (v + w) = (u + v )+ w
(x1, 5x1) + (x2, 5x2) + (x3, 5x3) = (x1, 5x1) + (x2, 5x2) + (x3, 5x3)
(x1, 5x1) + (x2 + x3, 5x2 + 5x3) = (x1 + x2, 5x1′ + 5x2) + (x3, 5x3)
(x1 + x2 + x3, 5x1 + 5x2 + 5x3 ) = (x1 + x2 + x3, 5x1 + 5x2 + 5x3, 5x1 + 5x2 + 5x3)ok
A3) u + 0 = u
(x1, 5x1) + (0,0) = (x1, 5x1)
(x1, 5x1) = (x1,5x1) ok
A4) u + (−u) = 0

60
(x1, 5x1) + (− x1,−5x1) = (0,0)
(0,0) = (0,0)ok
M1) ∝ (βu) = (∝ β)u
∝ (β(x1,5x1) = (∝ β)(x1, 5x1)
∝ (βx1,β5x1) = (∝ βx1, ∝ β5x1)
(∝ βx1,∝ β5x1) = (∝ βx1, ∝ β5x1)ok
M2) (∝ +β)u = ∝ u + βu
(∝ +β)(x1 ,5x1) =∝ (x1,5x1) + β(x1,5x1)
(∝ +β)x1,(∝ +β)5x1 = (∝ x1, ∝ 5x1)
(∝ x1 + βx1 , ∝ 5x1 + β5x1) = (∝ x1 + βx1 , ∝ 5x1 + β5x1)ok
M3) ∝ (u + v) =∝ u + ∝ v
∝ ((x1, 5x1) + (x2,5x2 )) =∝ ((x1,5x1)+ ∝ (x2, 5x2))
∝ ((x1 + x2 , 5x1 + 5x2)) = (∝ x1, ∝ 5x1) + (∝ x2 , ∝ 5x2 )
(∝ x1+ ∝ x2, ∝ 5x1+∝ x2) = (∝ x1+ ∝ x2, ∝ 5x1+∝ x2)ok
M4) 1. u = u
1(x1, 5x1) = (x1,5x1)
(x1, 5x1) = (x1, 5x1)ok
A = {(x, y,z) ℝ3 | y = 5x e z = 0} com as operações usuais
u = (x,5x, 0), v = (x2, 5x2, 0) e w = (x3, 5x3, 0)
Adição
I) u + v = v + u
= (x,5x, 0) + (x2, 5x2, 0) = (x2, 5x2, 0) + (x,5x, 0)
= (x + x2, 5x + 5x2, 0 + 0) = (x2 + x, 5x2 + 5x, 0 + 0)
= [x + x2, 5(x + x2),0] = [x2 + x,5(x2 + x), 0] //ok
II) u + (v + w) = (u + v) + w
= (x,5x, 0) + [(x2, 5x2, 0) + (x3, 5x3, 0)] = [(x,5x, 0) + (x2, 5x2, 0)] + (x3, 5x3, 0)
= (x,5x, 0) + (x2 + x3, 5x2 + 5x3, 0 + 0) = (x + x2 ,5x + 5x2, 0 + 0) + (x3, 5x3, 0)
= (x + x2 + x3, 5x + 5x2 + 5x3, 0 + 0 + 0) = (x + x2 + x3, 5x + 5x2 + 5x3, 0 + 0 + 0)
= [(x+ x2 + x3, 5(x + x2 + x3, 0)] = [(x + x2 + x3 , 5(x+ x2 + x3,0)] //ok
III) u + 0 = u
= (x,5x, 0) + (0,0,0) = (x, 5x,0)
= (x,5x, 0) = (x,5x, 0) //ok
IV) u + (−u) = 0
= (x,5x, 0) − (x,5x, 0) = (0,0,0)
= (x,5x, 0) + (−x,−5x, 0) = (0,0,0)

61
= (0,0,0) = (0,0,0) //ok
Multiplicação
I)(αβ). u = α(β.u)
= (αβ)(x,5x, 0) = α[(β)(x,5x, 0)]
= (αβx,5αβx, αβ0) = α(βx,5βx, β0)
= (αβx,5αβx, 0) = (αβx,5αβx, 0) //ok
II)(α + β). u = α. u + β. u
= (α + β)(x,5x, 0) = α(x, 5x,0) + β(x,5x, 0)
= (αx + βx, 5αx + 5βx,α0 + β0) = (αx, 5αx, α0) + (βx, 5βx,β0)
= (αx + βx, 5αx + 5βx,α0 + β0) = (αx + βx, 5αx + 5βx,α0 + β0)
= [αx + βx, 5(αx + βx), 0] = [αx + βx, 5(αx + βx), 0] //ok
III)α(u + v) = α. u + α. v
= α[(x,5x,0) + (x2, 5x2, 0)] = α(x,5x, 0) + α(x2,5x2,0)
= α(x + x2, 5x + 5x2, 0 + 0) = (αx,5αx, α0) + (αx2, 5αx2, α0)
= (αx + αx2, 5αx + 5αx2, α0 + α0) = (αx + αx2,5αx + 5αx2, α0 + α0)
= [(αx+ αx2, 5(αx + αx2), 0] = [(αx + αx2, 5(αx + αx2),0] //ok
IV)1. u = u
= 1(x,5x,0) = (x,5x, 0)
= (x,5x, 0) = (x,5x, 0) //ok
Logo A é Espaço Vetorial
Lista TED 25:
Subespaço vetorial
123)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço.
S = {(x, y, z)| x = 4y e z = 0}
u = (4y, y, 0) v = (4y1, y1, 0)
u + v=(4y, y, 0) + (4y1, y1, 0)
=(4y +4y1, y+y1, 0+0) ok
α(u)=α(4y, y, 0)
= (α4y, αy, 0) ok Logo é subespaço vetorial
S = {(x, y, z)|x = z²}
u = ( z1
2
, y1 , z1) e v = (z2
2
, y2, z2)
u+v
(z²1, y1, z1) + (z²2, y2, z2)
(z1
2
+ z2
2
, y1 + y2 , z1 + z2) não pois z1
2
+ z2
2
≠ (z1 + z2)2

62
α.u
α(z1
2
,y1, z1)
(αz1
2
, αy1, αz1) não pois αz1
2
≠ (αz1)2
S não é um subespaço de V
S = {(x, y, z)| z= 2x - y}
u = (x1,y1, 2x1 – y1)
v = ( x2, y2, 2x2 – y2)
u + v = (x1+x2, y1+y2 + 2x1-y1+2x2-y2)
(x1+x2 , y1+y2 + 2(x1 + x2 -y1-y2)
α .u = α (x,y, 2x − y)
= (αx,αy, 2αx − αy)
Logo S é um subespaço de ℝ3
S =
1) u + v = [
a1 b1
a1 + b1 0
] + [
a2 b2
a2 + b2 0
]
u + v = [
a1 + a2 b1 + b2
a1 + a2 + b1 + b2 0
] OK
2) αu = α [
a1 b1
a1 + b1 0
]
[
αa1 αb1
αa1 + αb1 0
] OK
S = {(x, 2x ); x  ℝ }
u=(x, 2x) v=(x’, 2x’)
u+v
   
 
  '2,'
'22´,
'2,'2,
xxxx
xxxx
xxxx



ok
 .u
 
 
 xx
xx
xx



2,
2,
2,












0; debac
dc
ba

63
ok
é um subespaço
S =












R,,;
0
cba
c
ba
S= {[
a b
0 c
] ; a, b c є R} u = [
a1 b1
0 c1
] v = [
a2 b2
0 c2
]
u + v = [
a1 b1
0 c1
] + [
a2 b2
0 c2
] = [
a1 + a2 b1 + b2
0 c1 + c2
]ok
∝. u = ∝.[
a1 b1
0 c1
] = [
∝ a1 ∝ b1
0 ∝ c1
]ok
Logo é um subespaço.
S = {(x, y) | x = 0}
u = (0, y1) v = (0, y2)
u + v = (0, y1 + y2) //ok
α. u = α(0,y1) = (0,αy1) //ok
Logo S é subespaço
Lista TED 26:
Combinação linear
130)Sejam os vetores u = (2, -3, 2) e v = (-1, 2, 4) em ℝ3.
a) Escrever o vetor w = (5, -7, 10) como combinação linear de u e v.
(5, -7, 10) = a . (2, -3, 2) + b . (-1, 2, 4)
(5, -7, 10) = (2a, -3a, 2a) + (-b, 2b, 4b)
(5, -7, 10) = (2a-b , -3a+2b, 2a+4b)
{
2a − b = 5
−3a + 2b = −7
2a + 4b = 10
8a - 4b = 20 2(3) - b = 5 -3a + 2b = -7
2a + 4b = 10 6 - b = 5 -3(3) + 2(1) = -7
10a = 30 -b = 5 - 6 -9 + 2= -7
a = 30
10⁄ = 3 b = 1 -7 = -7
Logo 𝐰 = 𝟑. 𝐮 + 𝟏 . 𝐯

64
b) Para que valores de k o vetor (-8, k, 12) é uma combinação linear de u e v?
(-8, k, 12) = a .(2, -3, 2) + b . (-1, 2, 4)
(-8, k, 12) =(2a, -3a, 2a) + (-b, 2b, 4b)
(-8, k, 12) =(2a-b , -3a+2b, 2a+4b)
{
2a − b = −8
−3a + 2b = k
2a + 4b = 12
8a – 4b = –322 (–2) – b = 5 –3a + 2b = k
2a + 4b = 12 – 4 – b = 5 –3 (–2) + 2 (–9) = k
10a = –20 –b = 5 +4 6 –18 = k
a = –20/10 = –2 –b = 9 –12 = k
b = -9 k = –12 k = -12
131)Para qual valor de K o vetor u = (1, k, 2) em ℝ³ é uma combinação linear dos
vetores v = (3, 0, -2) e w = (2, -1, -5)?
(1, k, 2) = a(3,0,-2) + b(2,-1,-5)
(1, k, 2) = (3a,0,-2a) + (2b,-b,-5b)
(1, k, 2) = (3a + 2b, -b, -2a - 5b)
{
3a + 2b = 1
−b = k .(−1)
−2a − 5b = 2
 b = -k
3a + 2.(-k) = 1
3a = 2k+1
a =
2k+1
3
-2 .(
2k+1
3
) - 5.(-k) = 2
(
−4k−2
3
) + 5k = 2
−4k−2+15k=6
3
11k = 6+2
k =
8
11
S = (
𝟖
𝟏𝟏
)
132)Sejam os vetores u = (1, 2, 1) e v = (-1, 0, 2) em ℝ3.
Escrever o vetor w = (7, 10, 1) como combinação linear de u e v.
Para que valores de k o vetor (4, 6, k) é uma combinação linear de u e v?
W= a.u + b.v

65
(7, 10, 1) = a . (1, 2, 1) + b . (-1, 0, 2)
(7, 10, 1) = (a, 2a, a) + (-b, 0, 2b)
(7, 10, 1) = (a – b ,2a,a + 2b)
{
a − b = 7
2a = 10
a + 2b = 1
a = 5 b = −2
a − b = 7
5 − b = 7
−b = 7 − 5
b = −2
a + 2 b = 1
5 + 2. (−2) = 1
5 − 4 = 1
1=1
Logo 𝐰 = 𝟓. 𝐮 − 𝟐 . 𝐯
(4, 6, k) = a . (1, 2, 1) + b . (-1, 0, 2)
(4, 6, k) = (a, 2a, a) + (-b, 0, 2b)
(4, 6, k) = (a – b ,2a,a + 2b)
(4, 6, k) = (a-b,2a ,a+2b)
{
a − b = 4
2a = 6
a + 2b = k
a = 3
a − b = 4
3 − b = 4
−b = 4 − 3
b = −1
3 + 2. (−1) = k
3 + (−2) = k
𝐤 = 𝟏
133)Sendo os vetores u = (0, 1, 2) e v = (3, -5, 7), escrever o vetor w = (6, -13,
8) como combinação linear de u e v.
(6, −13,8) = a(0,1,2) + b(3,−5,7)
(6, −13,8) = (0,a, 2a) + (3b, −5b,7b)
(6, −13,8) = (3b,a − 5b,2a + 7b)
{
3b = 6
a − 5b = −13
2a + 7b = 8
b = 2 a − 5(2) = −13 a = −13 + 10 a = −3
w = -3 u + 2 v

66
134)Os dois problemas a seguir se referem aos vetores u = (2,-3,2) e v = (-1,2,4) do
ℝ3.
a) Escrever o vetor a = (7,-11, 2) como combinação linear de u e v.
     
     bbbaaa
ba
4,2,2,11,72,11,7
4,2,12,11,72,11,7













242
2
11211
77
ba
ba
ba
1
33
1111
14214




a
a
ba
ba
 
0
77
77
717




b
b
b
b
Logo a = 1.u+0.v
b) Para que valor de k o vetor w = (-8, 14, K) é combinação linear de u e v?
     
     bbbaaak
bak
4,2,2,3,2,14,8
4,2,12,3,2,14,8


 
2
1416
1414163
142823
28
28






a
a
aa
aa
ab
ab








kba
ba
ba
42
1423
82

67
 
4
82
1426
14223




b
b
b
b
   
12
12
164
4422




k
k
k
k
135)Dados os vetores v1= (−3,2, 1) e v2 = (0, 5, 4), para que valor de K o vetor v =
(15, K ,3) é combinação linear de v1 e v2?
(15, k, 3) = a(−3,2,1) + b(0,5,4)
(15, k, 3) = (−3a,2a, a) + (0,5b,4b)
(15, k, 3) = (−3a,2a + 5b, a + 4b)
{
−3a = 15
2a + 5b = k
a + 4b = 3
−3a = 15
a =
−15
3
a = −5
a+ 4b = 4 2.(−5) + 5 (
9
4
) = k −40 + 45 = k
−5 + 4b = 4 −10 +
45
4
= k 𝐤 = 𝟓
4b = 4 + 5
b =
9
4
Os dois problemas a seguir se referem aos vetores
v1 = (-1,2,1), v2 = (1,0,2) e v3 = (-2,-1, 0) do ℝ3.
136)Expressar o vetor w = (-8,4,1) como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3.
D = [
−1 1 −2
2 0 −1
1 2 0
] [
−1 1
2 0
1 2
] = D = (0 − 1 − 8) − (0 + 2 + 0) = −11
Dx = [
−8 1 −2
4 0 −1
1 2 0
] [
−8 1
4 0
1 2
] = Dx = (0 − 1 − 16) − (0 + 16 + 0) = −33

68
Dy = [
−1 −8 −2
2 4 −1
1 1 0
] [
−1 −8
2 4
1 1
] = Dy = (0 + 8 − 4) − (−8 + 1 + 0) = 11
Dz = [
−1 1 −8
2 0 4
1 2 1
] [
−1 1
2 0
1 2
] = Dz = (0 + 4 − 32)− (0 − 8 + 2) = −22
X =
Dx
D
=
−33
−11
= 3
Y =
Dy
D
=
11
−11
= −1
Z =
Dz
D
=
−22
−11
= 2
w = 3(v1)+ (−1)(v2)+ 2(v)
137)Expressar o vetor v = (0,2,3) como combinação linear de v1, v2 e v3.
D = [
−1 1 −2
2 0 −1
1 2 0
] [
−1 1
2 0
1 2
] = D = (0 − 1 − 8) − (0 + 2 + 0) = −11
Dx = [
0 1 −2
2 0 −1
3 2 0
] [
0 1
2 0
3 2
] = Dx = (0 − 3 − 8) − (0 + 0 + 0) = −11
Dy = [
−1 0 −2
2 2 −1
1 3 0
] [
−1 0
2 2
1 3
] = Dy = (0 + 0 − 12) − (−4 + 3 + 0) = −11
Dz = [
−1 1 0
2 0 2
1 2 3
] [
−1 1
2 0
1 2
] = Dz = (0 + 2 + 0) − (0 − 4 + 6) = 0
X =
Dx
D
=
−11
−11
= 1
Y =
Dy
D
=
−11
−11
= 1
Z =
Dz
D
=
0
−11
= 0
v = 1(v1) + 1(v2)+ 0(v3)
Lista TED 27:

69
Transformações lineares
138)Verificar se a função (transformação) é linear.
f: R²  R², f(x, y) = (x², y²)
Definição: Sejam U e V espaços vetoriais. Diz-se que T: U  V é uma transformação
linear se satisfaz às duas seguintes propriedades:
1. Para qualquer u e v de R²: T(u+v) = T(u) + T(v).
2. Para qualquer k real e qualquer v de V: T(kv)=k.T(v).
Então, você escreve dois vetores u(u1, u2) e v(v1 , v2), por exemplo. Daí verifica se
as duas propriedades são satisfeitas.
T(u + v) = T((u1, u2) + (v1, v2)) = T(u1+v1, u2, v2) = [(u1 + v1)², (u2 + v2)²]
T(u) = T(u1, u2) = (u1², u2²)
T(v) = T(v1, v2) = (v1², v2²)
T(u) + T(v) = (u1², u2²) + (v1², v2²) = [(u1²+v1²), (u2², v2²)]
Veja que [(u1 + v1)², (u2 + v2)²] não é igual a [(u1²+v1²), (u2², v2²)], logo, a
transformação não é linear.
f : ℝ2  ℝ 2 , f(x,y) = (2x – y, 3x + 5y)
))5533(),22((
))(5)(3,)()(2(
),()v(
)()()v(
21212121
21212121
2121
2,21,1
yyxxyyxxf
yyxxyyxxf
yyxxfuf
yxfyxfuf




))5353(),22(()v()(
)53,2()53,2()v()(
2,2112,211
2,22,2111,1
yxyxyxyxffuf
yxyxfyxyxffuf


))5353(),22(())5533(),22((
)v()()(
2,2112,21121212121 yxyxyxyxfyyxxyyxxf
fufvuf


Logo a função (transformação) é linear.
140)Dada a transformação linear f: ℝ 3  ℝ 2 tal que:
f(1, 0, 0) = (2, 1), f(0, 1, 0) = (-1, 0) e f(0, 0, 1) = (1, -2)
i. Determinar a matriz canônica de f;
10
01
00
0
0
1










ii. Calcular f(3, 4, 5);
Expressando o vetor )5,4,3( como combinação linear dos vetores da base, vem:
)1,0,0()0,1,0()0,0,1()5,4,3( cba 
)c,0,0()0,b,0()0,0,()5,4,3(  a
)c,b,()5,4,3( a

70








5
4
3
c
b
a
Sistema cuja solução é: 5ce4b,3 a . Então,
321 543)5,4,3(  
Aplicando f , vem:
7)-(9,
10)-5,(0)(-2,3)(6,
2)-(1,50)(-1,21)(2,3
)(5)(4)(3)5,4,3( 321



  ffff
iii. Calcular f(x, y, z).
Procedendo do mesmo modo com o vetor genérico (x, y, z) tem-se:








z
y
x
c
b
a
Sistema cuja solução é: zyxa  ceb, . Então,
321)z,y,(  zyxx 
Aplicando f , vem:
2z)-xz,y-(2x
2z)-z,(0)(-y,x)(2x,
2)-z(1,0)(-1,y1)(2,x
)(z)()(x)z,y,( 321



  ffyfxf
141)Uma transformação linear f: ℝ2  ℝ 3 é tal que
f(-1, 1) = (3, 2, 1) e f(0, 1) =(1, 1, 0) Determinar:
i. f(2, 3)
Expressando o vetor )3,2( como combinação linear dos vetores da base, vem:
)1,0()1,1()3,2( ba 
),0(),()3,2( baa 
)ba,()3,2(  a





3ba
20a
Sistema cuja solução é: 5b,2 a . Então,
21 52)3,2(  
Aplicando f , vem:
2)-1,(-1,
0)5,(5,2)-4,-(-6,
0)1,(1,51)2,(3,2-
)(5)(2-)3,2( 21



  fff
ii. f(x, y)
Procedendo do mesmo modo com o vetor genérico (x, y) tem-se:

71





yba
x0a
Sistema cuja solução é: yxxa  b, . Então,
))(()()y,( 21  yxxx 
aplicando f , vem:
x)y,3xy,(4x
0)y,xy,(xx)2x,(3x,
0)1,(1,)(1)2,(3,x
)()()(x)y,( 21




yx
fyxfxf 
142)Dada a transformação linear T: R³  R² tal que:
T(1, 0, 0) = (2, -1), T(0, 1, 0) = (-1, 1) e T(0, 0, 1) = (1, -2)
a) determinar a matriz canônica de T;
b) calcular T(3, 4, 2);
c) calcular T(x, y, z).
i. Sabemos que: T(x,y,z) = T[x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)] ( fácil a observação
)
Mas, foi dito que a transformação é linear, então ela obedece as duas
propriedades, ou seja,
T(x, y, z) = T[x(1, 0, 0)] + T[y(0, 1, 0)] + T[z(0, 0, 1)] (primeira propriedade)
T(x, y, z) = x.T(1, 0, 0) + y.T(0, 1, 0) + z.T(0, 0, 1) ( segunda propriedade )
T(x, y, z) = x(2, -1) + y(-1, 1) + z(1, -2) ----> (substitui os dados do problema
)
T(x, y, z) = (2x, -x) + (-y, y) + (z, -2z)
T(x, y, z) = (2x-y+z , -x+y-2z)  (Letra c )
T(3,4,2) = (2.3-4+2 , -3+4-2.2) = (4 , -3)  (Letra b)
A matriz canônica é:
[
2 −1 1
−1 1 −2
]
ii. Uma transformação linear T: R²  R³ é tal que
T(-1, 1) = (3, 2, 0) e T(0, 1) = (1, 1, -1) Determinar:
a) T(2, 4)
T(x, y)
T(x, y) = T[x(1, 0) + y(0, 1)]
T(-1, 1) = T[-1(1, 0) + 1(0,1)] = -1.T(1, 0) + 1.T(0, 1)
(3, 2, 0) = -1.T(1, 0) + (1, 1, -1)
(3, 2, 0) - (1, 1, -1) = -1.T(1, 0)
(2, 1, 1) = -1.T(1, 0)
T(1, 0) = (-2, -1, -1)
Daí, T(x, y) = T[x(1, 0) + y(0, 1)] = x.T(1, 0) + y.T(0, 1) = x(-2, -1, -1) + y(1, 1, -
1)
T(x, y) = (-2x, -x, -x) + (y, y, -y)
T(x, y) = (-2x+y, -x+y, -x-y) ---> (letra b )

72
T(2, 4) = (-2.2+4, -2+4, -2-4)
T(2, 4) = (0, 2, -6) ----> (letra a)
f : R2  R2 , f(x,y) = (x + 1 , y)
Resposta:
(x,y) = a.(x+1,y) + b.(x+1,y)
(x,y) = (ax+a,ay) + (bx+b,by)
(x,y) = (ax+a +bx+b,ay+by)
{
ax + a + bx + b = x
ay + by = x
= 2ax + 2bx = x (y) = 2ayx+2ayx = xy
ay + by = y (2x) -2ayx-2byx = -2xy
4ayx = xy = 4ayx = xy = - 4byx= -3xy (÷xy)
-2ayx – 2byx =-2xy (2) - 4axy – 4byx = -4xy - 4b = -3
b =
−3
4
ay + by =y 4ay= 4y+3y
ay + (
−3
4
.y) = y 4ay = 7y (÷y)
ay -
3y
4
= y 4a=7
4ay −3y=4y
4
a=
7
4
S= {
7
4
,
−3
4
}
Logo a função é linear…
144)Dada a transformação linear f: R3  R2 tal que:
f(1, 0, 0) = (2, 0), f(0, 1, 0) = (0, 1) e f(0, 0, 1) = (2, -2)
i. determinar a matriz canônica de f;
)2,3(),,( zyxzyxzyxf 
2
2
10
02
)2,2()1,0,0(
)1),0(20,1)0(30()1,0,0(
)1,0()0,1,0(
)0)1(20,0)1(30()0,1,0(
)0,2()0,0,1(
)0)0(21,0)0(31()0,0,1(







f
f
f
f
f
f
ii. calcular f(1, 4, 2);

73
3.22.41.1
3.2.1.
)2,4,1(
)2,4,1(
vvvw
vcvbvaw
w
f



),0,0()0,,0()0,0,()2,4,1(
)1,0,0()0,1,0()0,0,1()2,4,1(
cba
cba


)0,6()2,4,1(
)4,4()4,0()0,2()2,4,1(
)2,2(2)1,0(4)0,2(1)2,4,1(
2
4
1











f
f
f
c
b
a
iii. calcular f(x, y, z).
)2,22(),,(
)2,2(),0()0,2(),,(
)2,2()1,0()0,2(),,(
),0,0()0,,0()0,0,(),,(
)1,0,0()0,1,0()0,0,1(),,(
)3()2()1(
)3()2()1(
),,(
),,(
zyzxzyxf
zzyxzyxf
zyxzyxf
cz
by
ax
cbazyx
cbazyx
vzvyvxw
vcvbvaw
zyxw
zyxf
















145)Uma transformação linear f: R2  R3 é tal que
f(-1, 1) = (3, 1, 0) e f(0, 1) = (1, -2, -1) Determinar:
i. f(-2, 4)
(-2,4) = -2 (-1,1) + [4 (0,1)]
f(-2,4) = -2f(-1,1)+ [4f(0,1)]
= -2.(3,1,0) + [ 4(1,-2,-1)]
= (-6,-2,0) + (4,8,4)
= (-2,6,4)
ii. f(x, y)
(x,y) = x(-1,1) + y (0,1)
F(x,y) = xf(-1,1) + yf(0,1)
= x(3,1,0) + y(1,-2,-1)
= (3x,x,0) + (y,-2y,-y)
= (3xy,-2xy,-y)

74
f : R2  R2 , f(x, y) = (x + 1 , y)
Resposta:
(x, y) = a.(x+1,y) + b.(x+1,y)
(x, y) = (ax+a, ay) + (bx+b, by)
(x, y) = (ax+a +bx+b, ay+by)
{
ax + a + bx + b = x
ay + by = x
= 2ax + 2bx = x (y) = 2ayx+2ayx = xy
ay + by = y (2x) -2ayx-2byx = -2xy
4ayx = xy = 4ayx = xy = - 4byx= -3xy (÷xy)
-2ayx – 2byx =-2xy (2) - 4axy – 4byx = -4xy - 4b = -3
b =
−3
4
ay + by =y 4ay= 4y+3y
ay + (
−3
4
.y) = y 4ay = 7y (÷y)
ay -
3y
4
= y 4a=7
4ay−3y=4y
4
a=
7
4
S= {
7
4
,
−3
4
}
Logo a função é linear…
147)Dada a transformação linear f: R3  R2 tal que:
f(1, 0, 0) = (2, 0), f(0, 1, 0) = (0, 1) e f(0, 0, 1) = (2, -2)
i. determinar a matriz canônica de f;
)2,3(),,( zyxzyxzyxf 
2
2
10
02
)2,2()1,0,0(
)1),0(20,1)0(30()1,0,0(
)1,0()0,1,0(
)0)1(20,0)1(30()0,1,0(
)0,2()0,0,1(
)0)0(21,0)0(31()0,0,1(







f
f
f
f
f
f
ii. calcular f(1, 4, 2);
3.22.41.1
3.2.1.
)2,4,1(
)2,4,1(
vvvw
vcvbvaw
w
f




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