Estudo da Elipse

1. Elipse
´
MODULO 1 - AULA 18
Aula 18 – Elipse
Objetivos
• Descrever a elipse como um lugar geom´trico.
e
• Determinar a equa¸ao reduzida da elipse no sistema de coordenadas
c˜ Conceitos:
Sistemas de coordenadas e
com origem no ponto m´dio entre os focos e eixo x como o eixo focal.
e distˆncias no plano.
a
• Esbo¸ar o gr´fico da elipse, a partir da equa¸ao reduzida, e fazer
c a c˜
Referˆncias:
e
transla¸oes.
c˜ Aulas 13 e 14.
• Identificar os parˆmetros a,b e c e a sua excentricidade.
a
• Determinar as coordenadas dos focos e dos v´rtices, a partir da
e
equa¸ao reduzida.
c˜
Como acabamos de mencionar na aula anterior, h´ muitas aplica¸oes
a c˜
para a par´bola, sendo esta curva plana encontrada em v´rias situa¸oes na
a a c˜
pr´tica cotidiana. A elipse, curva plana que vamos descrever nesta aula,
a
n˜o ´ t˜o facilmente encontrada na natureza. Por´m, observe as seguintes
a e a e
figuras:
Figura 18.3: Elipse no
Figura 18.1: Vemos uma Figura 18.2: Elipse na telhado do planet´rio Ty-
a
elipse olhando um c´
ırculo superf´
ıcie da agua num
´ cho Brahe em Copenha-
de lado. copo inclinado. gen, Dinamarca.
Embora os gregos j´ conhecessem as cˆnicas, apenas em 1609 o astrˆnomo
a o o
alem˜o Johann Kepler descobriu que as orbitas dos planetas eram elipses.
a ´ Kepler, 1571-1630.
Nasceu perto de Stuttgart.
Consideremos fixados no plano dois pontos F1 e F2 .
Obteve o modelo para o
A elipse ´ o lugar geom´trico dos pontos do plano cuja soma das
e e movimento dos planetas,
usando os dados observados
distˆncias aos pontos F1 e F2 ´ constante. Escrevendo esta constante como
a e pelo astrˆnomo Tycho
o
2a, temos Brahe.
elipse = {P | d(P, F1 ) + d(P, F2 ) = 2a}.
Foi Kepler quem introduziu
Os pontos F1 e F2 s˜o chamados focos da elipse.
a o nome foco.
243 CEDERJ

2. Elipse
Figura 18.4: Vista da orbita que a Terra faz ao redor do Sol.
´
Figura 18.5: A soma das distˆncias de um ponto da elipse a F1 e F2 ´ constante: d1 +d2 =
a e
2a.
Vocˆ j´ deve ter observado que os jardineiros, preferencialmente, cons-
e a
troem canteiros circulares e el´ ´
ıpticos. E muito f´cil desenhar na terra ou no
a
papel c´
ırculos e elipses. O jardineiro amarra cada ponta de um barbante em
um graveto, fixa os dois gravetos, na terra, a uma distˆncia menor que o
a
comprimento do barbante e, com um terceiro graveto, estica o barbante. Os
pontos na terra descritos pelo terceiro graveto formam a elipse.
Vocˆ pode desenhar uma elipse no papel, prendendo as extremidades
e
do barbante com tachas e usando um l´pis para esticar o barbante. As tachas
a
ser˜o os focos da elipse. Observe que a distˆncia entre os focos ´, obviamente,
a a e
menor do que o comprimento do barbante.
Figura 18.6: Desenhando uma elipse no papel.
Seja 2c a distˆncia entre F1 e F2 . Note que 2c < 2a, isto ´, c < a.
a e
Para encontrar a equa¸ao de uma elipse, vamos fixar um sistema de
c˜
coordenadas. Consideramos o eixo x como a reta passando por F1 e F2 , com
a origem O situada no ponto m´dio do segmento F1 F2 , e o eixo y sendo a
e
reta perpendicular a este segmento passando por O. A orienta¸ao do eixo x
c˜
CEDERJ 244

3. Elipse
´
MODULO 1 - AULA 18
´ de O para F2 . O eixo y tem a sua orienta¸ao, for¸osamente, fixada (para
e c˜ c
relembrar o conceito de orienta¸ao, reveja a Aula 13).
c˜
Figura 18.7: Constru¸ao do sistema de coordenadas.
c˜
Nesse sistema de coordenadas, temos F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), onde c
´ um n´ mero real positivo. Ent˜o, P = (x, y) ´ um ponto da elipse
e u a e
⇐⇒ 2a = d(P, F1 ) + d(P, F2 )
⇐⇒ 2a = d((x, y), (−c, 0)) + d((x, y), (c, 0))
⇐⇒ 2a = (x − (−c))2 + (y − 0)2 + (x − c)2 + (y − 0)2
⇐⇒ 2a = (x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2
⇐⇒ 2a − (x − c)2 + y 2 = (x + c)2 + y 2 .
Elevando ao quadrado ambos os membros da ultima igualdade, obtemos
´
4a2 − 4a (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = (x + c)2 + y 2 .
Desenvolvendo os quadrados, temos
4a2 − 4a (x − c)2 + y 2 + x2 − 2cx + c2 + y 2 = x2 + 2cx + c2 + y 2 .
Cancelando as parcelas iguais e somando −4a2 + 2cx a ambos os mem-
bros da igualdade, obtemos
−4a (x − c)2 + y 2 = 4cx − 4a2 .
Cancelando o fator comum, temos
−a (x − c)2 + y 2 = cx − a2 .
Elevando ao quadrado ambos os membros desta igualdade, temos
a2 ((x − c)2 + y 2 ) = c2 x2 − 2a2 cx + a4 .
Desenvolvendo o lado esquerdo desta igualdade, obtemos
a2 x2 − 2a2 cx + a2 c2 + a2 y 2 = c2 x2 − 2a2 cx + a4 .
Somando −c2 x2 + 2a2 cx − a2 c2 a ambos os membros desta igualdade,
reescrevemos a equa¸ao como
c˜
(a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a4 − a2 c2 = a2 (a2 − c2 ).
245 CEDERJ

4. Elipse
Como a > c > 0, temos que a2 > c2 . Assim, a2 − c2 ´ um n´ mero real
e u
positivo e podemos escrevˆ-lo como o quadrado de um n´ mero real b > 0,
e u
logo b2 = a2 − c2 . Observe que b < a. A equa¸ao anterior se reescreve como
c˜
b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 que, dividindo por a2 b2 = 0, ´ equivalente a
e
x2 y 2
+ 2 = 1, onde c2 = a2 − b2 .
a2 b
Esta equa¸ao ´ chamada equa¸ao reduzida da elipse.
c˜ e c˜
A interpreta¸ao geom´trica para a e b pode ser vista a partir da equa¸ao
c˜ e c˜
x2
reduzida. Fazendo y = 0 nesta equa¸ao, obtemos 2 = 1, que ´ equivalente
c˜ e
a
2 2
a x = a . Portanto, x = ±a e os pontos A1 = (−a, 0) e A2 = (a, 0) s˜o a
pontos da elipse, chamados v´rtices. O eixo maior da elipse ´ o segmento de
e e
y2
reta A1 A2 , que tem comprimento 2a. Fazendo agora x = 0, obtemos 2 = 1,
b
que d´ y = ±b. Logo, os pontos B1 = (0, −b) e B2 = (0, b) s˜o os pontos de
a a
interse¸ao da elipse com o eixo y e s˜o as extremidades do eixo menor, cujo
c˜ a
comprimento ´ 2b. A origem O ´ o centro da elipse. Observe que os focos
e e
est˜o situados no eixo maior da elipse.
a
Figura 18.8: Eixos maior e menor da Figura 18.9: Rela¸ao dos parˆmetros:
c˜ a
elipse. a2 = b 2 + c 2 .
O gr´fico da elipse ´
a e
x2 y2
Graf = (x, y) + 2 =1 .
a2 b
x2 y2
Ilustramos, nas Figuras 18.10 e 18.11, os gr´ficos de
a + =1e
4 1
x2 y2
+ = 1.
9 4
CEDERJ 246

5. Elipse
´
MODULO 1 - AULA 18
x2 y2 x2 y2
Figura 18.10: Elipse 4 + 1 = 1. Figura 18.11: Elipse 9 + 4 = 1.
Note que:
(1) um ponto P = (x, y) est´ na elipse ⇐⇒ (x, −y) tamb´m est´ na elipse.
a e a
(2) um ponto P = (x, y) est´ na elipse ⇐⇒ (−x, y) tamb´m est´ na elipse.
a e a
(3) um ponto P = (x, y) est´ na elipse ⇐⇒ (−x, −y) tamb´m est´ na elipse.
a e a
As propriedades anteriores s˜o conseq¨ˆncia das vari´veis x e y apare-
a ue a
cerem ao quadrado na equa¸ao da elipse e significam, respectivamente, que:
c˜
(1) o gr´fico da elipse ´ sim´trico com respeito ao eixo x.
a e e
(2) o gr´fico da elipse ´ sim´trico com respeito ao eixo y.
a e e
(3) o gr´fico da elipse ´ sim´trico com respeito a origem O.
a e e `
Figura 18.12: Visualiza¸ao das simetrias dos pontos da elipse.
c˜
A excentricidade da elipse ´ o n´ mero real
e u
c
e= , 0 < e < 1.
a
A excentricidade da elipse ´ respons´vel pela forma da elipse.
e a
Elipses com excentricidade pr´xima de zero tˆm os semi-eixos com com-
o e
primentos pr´ximos. Elas s˜o aproximadamente um c´
o a ırculo, pois
c
e= ≈ 0 =⇒ c ≈ 0 =⇒ c2 ≈ 0 =⇒ b2 = a2 − c2 ≈ a2 =⇒ b ≈ a. o s´
ımbolo ≈ significa
a aproximadamente.
247 CEDERJ

6. Elipse
Elipses com excentricidade pr´xima de um tˆm uma forma alongada,
o e
com o semi-eixo menor de comprimento pr´ximo de zero, pois
o
c
e= ≈ 1 =⇒ c ≈ a =⇒ c2 ≈ a2 =⇒ b2 = a2 − c2 ≈ 0 =⇒ b ≈ 0.
a
Os planetas tˆm orbitas el´
e ´ ıpticas em torno do Sol, um dos focos, com
excentricidade pr´xima de zero. O Cometa Halley leva 76 anos para dar uma
o
volta em torno do Sol, com orbita el´
´ ıptica com excentricidade 0, 96, enquanto
a excentricidade da orbita da Terra ´ 0, 02.
´ e
Exemplo 18.1
Qual ´ o subconjunto do plano E = {(x, y)| 4x2 − 8x + 9y 2 + 36y = −4}?
e
Para responder vamos tentar reescrever a equa¸ao anterior, tomando como
c˜
modelo a equa¸ao reduzida da elipse. Temos:
c˜
−4 = 4x2 − 8x + 9y 2 + 36y, isolando os polinˆmios em x e em y,
o
2 2
= (4x − 8x) + (9y + 36y), colocando 4 e 9 em evidˆncia, na primeira
e
e segunda parcelas, respectivamente,
= 4(x2 − 2x) + 9(y 2 + 4y), completando os quadrados dos polinˆmios
o
em x e y, respectivamente,
= 4(x2 − 2x + 1 − 1) + 9(y 2 + 4y + 4 − 4), reescrevendo,
= 4(x2 − 2x + 1) − 4 + 9(y 2 + 4y + 4) − 36, escrevendo os quadrados,
= 4(x − 1)2 + 9(y + 2)2 − 40.
Esta igualdade ´ equivalente a
e
4(x − 1)2 + 9(y + 2)2 = 36.
Dividindo ambos os membros desta igualdade por 36, obtemos
(x − 1)2 (y + 2)2
+ = 1,
9 4
x2 y2 (x−1)2 (y+2)2
Figura 18.13: Elipses 9 + 4 =1e 9 + 4 = 1.
que ´ a equa¸ao de uma elipse obtida pela transla¸ao de 1 unidade, horizon-
e c˜ c˜
talmente, e de −2 unidades, verticalmente, dos pontos da elipse com equa¸ao
c˜
CEDERJ 248

7. Elipse
´
MODULO 1 - AULA 18
x2 y2
+ = 1. O centro (0, 0) desta ultima elipse ´ transladado para (1, −2).
´ e
9 4
x2 y2
De modo geral, a elipse 2 + 2 = 1 tem centro (0, 0) e eixos de simetria
a b
x = 0 e y = 0. Quando esta elipse ´ transladada de h unidades, horizontal-
e
mente, e de k unidades, verticalmente, uma elipse congruente ´ obtida tendo
e
equa¸ao
c˜
(x − h)2 (y − k)2
+ = 1.
a2 b2
O centro (0, 0) ´ transladado para o ponto (h, k) e os focos, os v´rtices,
e e
as extremidades do eixo menor e os eixos de simetria s˜o transladados como
a
indicado a seguir:
x2 y2 (x − h)2 (y − k)2
+ 2 =1 + =1
a2 b a2 b2
centro: (0, 0) −→ (h, k)
focos: (c, 0) e (−c, 0) −→ (c + h, k) e (−c + h, k)
v´rtices:
e (a, 0) e (−a, 0) −→ (a + h, k) e (−a + h, k)
extremidades
do eixo menor : (0, b) e (0, −b) −→ (h, b + k) e (h, −b + k)
eixos de simetria: x=0ey=0 −→ x=hey=k
Aten¸˜o:
ca
A transla¸ao n˜o afeta a excentricidade, porque a transla¸ao n˜o de-
c˜ a c˜ a
forma a figura.
x2 y2 (x−h)2 (y−k)2
Figura 18.14: Elipses a2 + b2 =1e a2 + b2 = 1, com a > b.
249 CEDERJ

8. Elipse
Resumo
Vocˆ aprendeu a descrever a elipse como um lugar geom´trico; a deter-
e e
minar os parˆmetros a, b e c da elipse, a partir da equa¸ao reduzida obtida
a c˜
no sistema de coordenadas onde o eixo x ´ o eixo focal e a origem ´ o centro
e e
de simetria da elipse ; a fazer transla¸oes; a determinar as coordenadas dos
c˜
focos, dos v´rtices e do eixo menor; a determinar a excentricidade da elipse
e
e o seu significado.
Exerc´
ıcios
1. Esboce o gr´fico das elipses:
a
x2 y2 (e) x2 + 9y 2 = 36
(a) + =1
16 9
(x − 1)2 (y + 2)2
x2 y2 (f) + =1
(b) + =1 9 4
4 1 (g) 9(x − 3)2 + 16(y − 2)2 = 144
x2 y2
(c) + =1 (h) 4(x + 2)2 + 9(y − 3)2 = 36
25 16
(d) 8x2 + 9y 2 = 72 (i) 9x2 + 25y 2 = 225
2. Considere as elipses do exerc´ anterior. Determine:
ıcio
(a) as coordenadas dos focos e dos v´rtices.
e (b) a excentricidade.
3. Determine a equa¸ao reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade
c˜
dada:
(a) Centro (0, 0), eixo maior horizontal de comprimento 8 e eixo menor
de comprimento 6.
(b) Focos (±3, 0) e v´rtices (±5, 0).
e
(c) Os pontos limitantes dos eixos maior e menor s˜o, respectiva-
a
mente, (3, 1), (9, 1) e (6, −1), (6, 3).
(d) Focos (−2, 4) e (6, 4), eixo menor de comprimento 8.
4. Determine as coordenadas do centro, v´rtices e focos das elipses:
e
4x2 − 8x + 9y 2 − 36y + 4 = 0 e 16y 2 + 64y + x2 − 4x + 52 = 0.
5. O Sputnik, primeiro sat´lite lan¸ado da Terra em 1957, descrevia uma
e c
orbita el´
´ ıptica, sendo o centro da Terra um dos focos. Determine a
equa¸ao da sua orbita, sabendo que, aproximadamente, a sua maior
c˜ ´
CEDERJ 250

9. Elipse
´
MODULO 1 - AULA 18
altitude foi de 840 km, a sua menor altitude foi de 189 km e o raio da
Terra ´ de 570 km.
e
Auto-avalia¸ao
c˜
Se vocˆ sabe determinar a equa¸ao reduzida da elipse, a partir das
e c˜
propriedades geom´tricas; esbo¸ar o gr´fico da elipse, usando a sua equa¸ao
e c a c˜
reduzida; determinar as coordenadas dos v´rtices, dos focos e das extremi-
e
dades do eixo menor, a partir da equa¸ao reduzida, ent˜o pode passar para
c˜ a
a pr´xima aula. Na Aula 22 continuaremos a estudar a elipse e veremos a
o
sua interessante propriedade reflexiva!
251 CEDERJ