Modulo dinamica

Ing. Gustavo Jiménez - Dinámica

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Dinámica

Introducción
En este módulo se hace una valoración del empleo del sistema de Leyes de Newton en el estudio, el cual
constituye, en primer lugar, un recurso didáctico de carácter motivacional y real para los estudiantes.
Se denomina dinámica la parte de la mecánica que estudia conjuntamente el movimiento y las fuerzas que
lo originan. En su sentido amplio la dinámica, la dinámica abarca casi toda la mecánica.
La estática trata de los casos especiales en los cuales la aceleración es nula y la cinemática es la que se
ocupa únicamente del movimiento.

Dinámica
Es la parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos y las fuerzas que producen dicho
movimiento.
Fuerza.
En física, la fuerza es una magnitud física que mide la intensidad del intercambio de momento lineal entre
dos partículas o sistemas de partículas (en lenguaje de la física de partículas se habla de interacción).
Según una definición clásica, fuerza es toda causa agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o
la forma de los cuerpos materiales. No debe confundirse con los conceptos de esfuerzo o de energía.
¿Cómo se originan las fuerzas?:
Una interacción entre dos objetos produce dos fuerzas iguales y opuestas, aplicadas una en cada objeto.
Las interacciones pueden ser como la electromagnética o por contacto, como las originadas en un choque
o cuando alguien empuja una caja o tira de una cuerda.
Características de una fuerza:
Una fuerza se caracteriza por tener cuatro elementos:
 Punto de aplicación
 Dirección
 Sentido
 Intensidad
Tipos de fuerzas
Fuerzas fundamentales
La gravitatoria es la fuerza de atracción que una masa ejerce sobre otra, y afecta a todos los cuerpos. La
gravedad es una fuerza muy débil y de un sólo sentido, pero de alcance infinito.
La fuerza electromagnética afecta a los cuerpos eléctricamente cargados, y es la fuerza involucrada en las
transformaciones físicas y químicas de átomos y moléculas. Es mucho más intensa que la fuerza
gravitatoria, puede tener dos sentidos (atractivo y repulsivo) y su alcance es infinito.
Una fuerza nuclear es aquella fuerza que tiene origen exclusívamente en el interior de los núcleos atómicos
La fuerza o interacción nuclear fuerte es la que mantiene unidos los componentes de los núcleos atómicos,
y actúa indistintamente entre dos nucleones cualesquiera, protones o neutrones. Su alcance es del orden de
las dimensiones nucleares, pero es más intensa que la fuerza electromagnética.
La fuerza o interacción nuclear débil es la responsable de la desintegración beta de los neutrones; los
neutrinos son sensibles únicamente a este tipo de interacción (aparte de la gravitatoria, electromagnética y
su alcance es aún menor que el de la interacción nuclear fuerte.
Fuerza a distancia: es la que se produce sin contacto entre los cuerpos que accionan uno sobre otro.
Ejemplos:
a) La fuerza magnética que ejerce un imán, a distancia sobre un clavo colocado cerca;
b) La fuerza eléctrica que existe entre dos cuerpos cargados de electricidad contraria;
c) La fuerza de gravedad que ejerce la Tierra sobre cualquier objeto o cuerpo. Ejemplos: un pájaro, un
globo, un avión, etc., que se levantan del suelo no escapan a la gravedad; la Tierra continúa ejerciendo
sobre ellos, a distancia, una fuerza de atracción, tanto más débil cuanto más se eleva el objeto.
Fuerza por contacto: es la fuerza que un cuerpo aplica a otro en contacto con él. Ejemplos:
a) la fuerza muscular desarrollada por un hombre o un animal para poner un cuerpo en movimiento,
impedirlo o modificarlo.
b) la fuerza elástica resultante de la deformación de un cuerpo elástico, por ejemplo, las gomas de una
honda.
c)la fuerza por empuje, ejercida por un gas comprimido, el aire o el agua en movimiento (sobre las velas de


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un bote, sobre los álabes de una turbina hidráulica, etc.).
d) la fuerza por frotamiento que se produce al oprimir un cuerpo sobre otro en movimiento, por ejemplo, al
accionar el freno sobre las ruedas de un vehículo en marcha.
fuerzas colineales: son fuerzas que actúan sobre la misma línea recta (recta de acción), ya sea en el
mismo sentido o en sentido contrario.
Fuerzas de sentidos contrarios:
F1 = 5 N F2 = 8 N
R = F2 - F1 = 8 N - 5 N = 3 N
R=3N
Fuerzas del mismo sentido:
F1 = 15 N F2 = 15 N
R = F1 + F2 = 15 N + 15 N
R = 30 N
Cuando dos personas empujan un mueble se dice que aplican un sistema de fuerzas; siempre es posible
hallar una fuerza que, aplicada al cuerpo, produzca exactamente el mismo efecto que todo el sistema. Si las
fuerzas de esas dos personas son remplazadas por otra persona que por sí sola emplee exactamente la
misma fuerza que las dos anteriores, se obtiene una resultante del sistema.
FUERZA DE ROZAMIENTO
La fuerza de rozamiento surge entre dos cuerpos puestos en contacto cuando uno se mueve respecto al
otro. Sobre cada uno de ellos aparece una fuerza de rozamiento que se opone al movimiento.
El valor de la fuerza de rozamiento depende de: a) tipo de superficies en contacto (ej. madera, metal,
plástico/granito, etc), b) del estado de la superficies, que pueden ser pulidas, rugosas, etc. (ej. madera
compacta finamente lijada, acero inoxidable) y c) de la fuerza de contacto entre ellas.
FUERZAS CONCURRENTES
Un sistema de fuerzas concurrentes es aquel para el cual existe un punto en común para todas las rectas de
acción de las fuerzas componentes. La resultante es el elemento más simple al cual puede reducirse un
sistema de fuerzas. Como simplificación diremos que es una fuerza que reemplaza a un sistema de fuerzas.
Se trata de un problema de equivalencia por composición, ya que los dos sistemas (las fuerzas
componentes por un lado, y la fuerza resultante,
por el otro) producen el mismo efecto sobre un cuerpo. En el ejemplo que veremos a continuación vamos a
hallar la resultante en forma gráfica y en forma analítica.
FUERZAS PARALELAS
Si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción son paralelas, la resultante
tendrá un valor igual a la suma de ellas con su línea de acción también paralela a las fuerzas, pero su punto
de aplicación debe ser determinado con exactitud para que produzca el mismo efecto que las componentes.
FUERZA NORMAL (O N)
Se define como la fuerza que ejerce una superficie sobre un cuerpo apoyado sobre la misma. Ésta es de
igual magnitud y dirección, pero de sentido opuesto, a la fuerza ejercida por el cuerpo sobre la superficie.
FUERZA ELÁSTICA
La fuerza elástica es la ejercida por objetos tales como resortes, que tienen una posición normal, fuera de la
cual almacenan energía potencial y ejercen fuerzas. La fuerza elástica se calcula como: F = - k ΔX ΔX =
Desplazamiento desde la posición normal k = Constante de elasticidad del resorte F = Fuerza elástica
FUERZA GRAVITATORIA
Entre dos cuerpos aparece una fuerza de atracción denominada gravitatoria, que depende de sus masas y
de la separación entre ambos. La fuerza gravitatoria disminuye con el cuadrado de la distancia, es decir que
ante un aumento de la separación, el valor de la fuerza disminuye al cuadrado. La fuerza gravitatoria se
calcula como: G = Constante de gravitación universal. Es un valor que no depende de los cuerpos ni de la
masa de los mismos.
FUERZA EQUILIBRANTE
Se llama fuerza equilibrante a una fuerza con mismo módulo y dirección que la resultante (en caso de que
sea distinta de cero) pero de sentido contrario. Es la fuerza que equilibra el sistema. Sumando
vectorialmente a todas las fuerzas (es decir a la resultante) con la equilibrante se obtiene cero, lo que
significa que no hay fuerza neta aplicada.
FUERZA CENTRÍFUGA
En la Mecánica Clásica, la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia que aparece cuando se describe el
movimiento de un cuerpo en un sistema de referencia en rotación.
El calificativo de "centrífuga" significa que "huye del centro". En efecto, un observador situado sobre la
plataforma de una silla voladora que gira con velocidad angular ω (observador no-inercial) siente que existe


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una «fuerza» que actúa sobre él, que le impide permanecer en reposo sobre la plataforma a menos que él
mismo realice otra fuerza dirigida hacia el eje de rotación, fuerza que debe tener de módulo , siendo la
distancia a la que se encuentra del eje de rotación. Así, aparentemente, la fuerza centrífuga tiende a alejar
los objetos del eje de rotación.
FUERZA CENTRÍPETA
Fuerza centrípeta es toda fuerza o componente de fuerza dirigida hacia el centro de curvatura de la
trayectoria de una partícula. Así, en el caso del movimiento circular uniforme, la fuerza centrípeta está
dirigida hacia el centro de la trayectoria circular y es necesaria para producir el cambio de dirección de la
velocidad de la partícula. Si sobre la partícula no actuase ninguna fuerza, se movería en línea recta con
velocidad constante.
FUERZA RESULTANTE
Se define así a aquella fuerza capaz de reemplazar a las fuerzas componentes para producir el mismo
efecto.
Las fuerzas, en un sistema en el que actúen todas en la misma dirección, tendrán una intensidad de sus
componentes e igual sentido. Por ejemplo, un caballo tira de un carro con una fuerza de 100 , mientras que
el carrero lo empuja con una fuerza de 50 . La resultante es de 150 , y tiene la misma dirección y sentido
(fuerzas colineales del mismo sentido).
También puede darse el caso de un sistema de fuerza con la misma dirección, pero en sentido opuesto. La
resultante tiene el mismo sentido que el de la mayor de las dos fuerzas, y su intensidad es la diferencia
entre ambas. Un ejemplo es el juego conocido como cinchada, en el que intervienen dos personas o más
que tiran con distintas fuerzas, una hacia la derecha y la otra hacia la izquierda; la resultante tendrá el
sentido de la mayor fuerza (fuerzas colineales de diferentes sentidos).
Cuando la resultante de las fuerzas aplicadas es igual a cero, se dice que el cuerpo está en equilibrio
EFECTOS DE LA FUERZA
1)Cambio de movimiento: Se producen de 3 maneras:
a) Un cuerpo q esta en reposo al aplicarle fuerza se mueve
b) Un cuerpo q esta en movimiento, al aplicar fuerza se detiene
c) Un cuerpo q esta en movimiento con una sierta velocidad al aplicarle fuerza puede aumentar o disminuir
velocidad
2)Cambio en la forma o deformacion:
b) Despues de ejercer la fuerza el cuerpo no recupera su forma original EJ: Arrugar un papel
Efectos de una fuerza
Cuando las fuerzas actúan producen movimiento sobre algún cuerpo o sino lo contrario. Sobre cada cuerpo
actúan muchas fuerzas a la vez, las cuales si las sumamos recibe el nombre de fuerza neta y estas equivale
a la fuerza de todas las demás. Si la fuerza neta fuese cero, quiere decir que el cuerpo esta sin movimiento
o a una velocidad constante. Y si no esta en cero , no esta en equilibrio y adquiere M.U.A.
Como se miden las fuerzas
Las fuerzas se miden por los efectos que producen, es decir, a partir de las deformaciones o cambios de
movimiento que producen sobre los objetos. En el Sistema Internacional de unidades, la fuerza se mide en
newtons: 1 newton (N) es la fuerza que proporciona a un objeto de 1 kg de masa una aceleración de 1
metro por segundo al cuadrado.
UNIDADES DE FUERZA
Newton (unidad)
En física, un newton o neutonio o neutón (símbolo: N) es la unidad de fuerza en el Sistema Internacional de
Unidades, nombrada así en reconocimiento a Isaac Newton por su trabajo y su extraordinaria aportación a
la Física, especialmente a la mecánica clásica.
El newton se define como la fuerza necesaria para proporcionar una aceleración de 1 m/s2 a un objeto de 1
kg de masa. Es una unidad derivada del SI que se compone de las unidades básicas:
En la tabla que sigue se relacionan los múltiplos y submúltiplos del newton en el Sistema Internacional de
Unidades.
Múltiplos del Sistema Internacional para newton (N)


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En física, una dina (de símbolo dyn) es la unidad de fuerza en el Sistema CGS. Equivale a 10 μN, o lo que
es lo mismo,la fuerza que, aplicada a una masa de un gramo, le comunica una aceleración de un centímetro
por segundo por segundo o gal. Es decir:

Tradicionalmente, los dina/centímetro se ha usado para medir tensiones superficiales.
Un kilopondio o kilogramo-fuerza, es la fuerza ejercida sobre una masa de 1 kg (kilogramo masa según se
define en el Sistema Internacional) por la gravedad estándar en la superficie terrestre, esto es 9,80665
m/s2.
En definitiva, el kilogramo-fuerza (o kilopondio) es el peso de un kilogramo de masa en la superficie
terrestre, expresión poco utilizada en la práctica cotidiana. Nunca oiremos decir: "yo peso 70 kilopondios o
kilogramos-fuerza" (que sería lo correcto si utilizamos el Sistema Técnico de Unidades) o: "yo peso 686
newtons" (si utilizamos el Sistema Internacional), sino que lo común es decir: "yo peso 70 kilogramos o
kilos" (unidad de masa del SI), a pesar de que, en realidad, nos estamos refiriendo a kilogramos-fuerza, y no
a kilogramos de masa. En lo anterior, debemos interpretar a la expresión "kilos" como acortamiento
coloquial de kilogramos-fuerza o kilopondios, ya que estamos hablando de un peso; es decir, de una fuerza
y no de una masa.
Equivalencias
El valor estándar de la gravedad (g) terrestre es de 9,80665 m/s² Entonces (y de acuerdo con la Segunda
Ley de Newton: fuerza = masa × aceleración) se dice que:

de modo que 1 kilogramo-fuerza o kilopondio equivale a 9,80665 newtons.
Ejemplos
El kilogramo-fuerza o kilopondio (Sistema Técnico) representa el peso de una masa de 1 kg (Sistema
Internacional) en la superficie terrestre. Esta circunstancia ha dado lugar a cierto desconcierto que parte de
la confusión inicial entre los conceptos de peso y masa.
Destaquemos un ejemplo: en la Luna ese mismo kg de masa va a pesar solamente 0,1666 kilopondios o
kilogramos-fuerza (ó 1,634 newtons si usamos el SI), ya que la gravedad lunar es la sexta parte de la
gravedad terrestre.
Resumiendo
 1 kg masa (S.I.) es igual a 0,102 u.t.m. (S.T.U.).
 Además, el kg de masa pesa:
 en la Tierra: 1 kilopondio o kilogramo-fuerza (S.T.U.), y 9,80665 newtons (SI).
 en la Luna: 0,1666 kilopondios o kilogramos-fuerza (S.T.U.), y 1,634 newtons (SI).
Sin embargo, su masa permanecerá invariable: 1 kg masa (SI) ó 0,102 u.t.m. (S.T.U.), tanto en la Tierra
como en la Luna u otro lugar.
Libra (unidad de fuerza)


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Libra

en física es una unidad de fuerza. Una libra es aproximadamente igual a la fuerza gravitacional ejercida
sobre una masa de un libra avoirdupois sobre una idealizada superficie de la Tierra.
La constante aceleración de la fuerza de gravedad de la Tierra es usualmente aproximada a 9,80665 m/s²
hoy en día, aunque se han utilizado otros valores, incluyendo 32,16 ft/s² (aproximadamente 9,80237 m/s²).
La aceleración de gravedad que ejerce la Tierra varía de lugar en lugar, en general incrementándose desde
el Ecuador (9,78 m/s²) a los polos (9,83 m/s²).
Equivalencias con otras unidades de fuerza

CONVERSIÓN DE UNIDADES DE FUERZA


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Leyes de Newton
Se denomina Leyes de Newton a tres leyes concernientes al movimiento de los cuerpos. La formulación
matemática fue publicada por Isaac Newton en 1687, en su obra Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica. Las leyes de Newton constituyen, junto con la transformación de Galileo, la base de la
mecánica clásica. En el tercer volumen de los Principia Newton mostró que, combinando estas leyes con su
Ley de la gravitación universal, se pueden deducir y explicar las Leyes de Kepler sobre el movimiento
planetario.
Debe aclararse que las leyes de Newton tal como comúnmente se exponen, sólo valen para sistemas de
referencia inerciales. En sistemas de referencia no-inerciales junto con las fuerzas reales deben incluirse las
llamadas fuerzas fictícias o fuerzas de inercia que añaden términos suplementarios capaces de explicar el
movimiento de un sistema cerrado de partículas clásicas que interactúan entre sí.
Primera ley de Newton o Ley de Inercia
Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que otros
cuerpos actúen sobre él.
Esta es una de las tres leyes de Newton y, a continuación, vamos a comentarla.
En ocasiones, esta ley se nombra también Principio de Galileo. Las leyes del movimiento tienen un interés
especial aquí; tanto el movimiento orbital como la ley del movimiento de los cohetes se basan en ellas.
Newton planteó que todos los movimientos se atienen a tres leyes principales formuladas en términos
matemáticos y que implican conceptos que es necesario primero definir con rigor. Un concepto es la fuerza,
causa del movimiento; otro es la masa, la medición de la cantidad de materia puesta en movimiento; los dos
son denominados habitualmente por las letras F y m.
Fuerza
Causa del movimiento (F).
Masa
Medición de la cantidad de materia puesta en movimiento (m).
se podria decir tambien, que la masa es la cuantificacion de la materia es decir un cuerpo mas masivo
posee mayor inercia que uno menos masivo.
LA PRIMERA LEY DE NEWTON, CONOCIDA TAMBIÉN COMO LEY DE INERCIA
La primera Ley de Newton, conocida también como Ley de Inercia, indica que todo cuerpo permanece en su
estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que otros cuerpos actúen sobre él.
Dice que si sobre un cuerpo no actúa ningún otro, este permanecerá indefinidamente moviéndose en línea
recta con velocidad constante (incluido el estado de reposo, que equivale a velocidad cero).
Como sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende de cual sea el observador que describa el
movimiento. Así, para un pasajero de un tren, el interventor viene caminando lentamente por el pasillo del
tren, mientras que para alguien que ve pasar el tren desde el andén de una estación, el interventor se está
moviendo a una gran velocidad. Se necesita, por tanto, un sistema de referencia al cual referir el
movimiento.
La primera Ley de Newton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como
Sistemas de referencia inerciales, que son aquellos sistemas de referencia desde los que se observa que
un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante.
En realidad, es imposible encontrar un sistema de referencia inercial, puesto que siempre hay algún tipo de
fuerzas actuando sobre los cuerpos, pero siempre es posible encontrar un sistema de referencia en el que
el problema que estemos estudiando se pueda tratar como si estuviésemos en un sistema inercial. En
muchos casos, suponer a un observador fijo en la Tierra es una buena aproximación de sistema inercial.

EJEMPLOS:
 El salto de una rana sobre una hoja de nenutar ilustra las leyes del movimiento.la pimera ley
establece que si ninguna fuerza empuja o tira de un objeto,este se mantiene en reposo o se mueve


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en linea recta con reposo constante
 Un excelente ejemplo en el que se ejerce esta fuerza, es cuando un auto choca o frena con rapidez,
si las personas en el auto no llevan puesto un cinturón de seguridad seguirán su movimiento
rectilíneo, es decir, se estrellaran con la primera cosa que se interponga en su camino. otro ejemplo
seria el movimiento de los meteoritos y asteroides que vagan por el espacio en linea recta a
velocidad constante siempre que no se encuentren frente a un cuerpo celeste que los desvie de su
trayectoria.
Ya que la primera ley de Newton dice
Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que
otros cuerpos actúen sobre él.
Si esa persona no porta cinturón de seguridad se estrellará contra algo.
SEGUNDA LEY DE NEWTON O LEY DE LA FUERZA
La variación del momento lineal de un cuerpo es proporcional a la resultante total de las fuerzas actuando
sobre dicho cuerpo y se produce en la dirección en que actúan las fuerzas.
La Primera ley de Newton nos dice que para que un cuerpo altere su movimiento es necesario que exista
algo que provoque dicho cambio. Ese algo es lo que conocemos como fuerzas. Estas son el resultado de la
acción de unos cuerpos sobre otros.
La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la fuerza neta
aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante de
proporcionalidad es la masa del cuerpo, de manera que podemos expresar la relación de la siguiente
manera:
F=m a
La segunda ley nos explica qué ocurre si sobre un cuerpo en movimiento actúa una fuerza. En ese caso, la
fuerza modificará el movimiento, cambiando la velocidad en módulo o dirección. Los cambios
experimentados en la cantidad de movimiento de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se
desarrollan en la dirección de esta; esto es, las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los
cuerpos.
Segunda Ley de Newton o Ley de la Fuerza Es el cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz
impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.
Cuando una fuerza actúa sobre un objeto este se pone en movimiento acelera, desacelera o varia su
trayectoria cuanto mayor es la fuerza, tanto mayor es la variación de movimiento.

TERCERA LEY DE NEWTON O LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN
Por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste realiza una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el
cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma: Las fuerzas siempre se presentan en pares de igual magnitud y
sentido opuesto.
Esta ley, junto con las anteriores, permite enunciar los principios de conservación del momento lineal y del
momento angular.
Ley de acción y reacción débil
En la ley de acción y reacción débil no se exige que las fuerzas de acción y reacción sean colineales, tan
sólo de la misma magnitud y sentido opuesto, sin actuar necesariamente en la misma línea. Ciertos
sistemas magnéticos no cumplen el enunciado fuerte de esta ley, y tampoco lo hacen las fuerzas eléctricas
ejercidas entre una carga puntual y un dipolo. La forma débil de la ley de acción-reacción se cumple
siempre.
Esta ley explica que con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: o sea, las acciones
mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto. Por ejemplo: Al empujar un
objeto o tirar de el, este empuja o tira con igual fuerza contraria


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APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON
Cuando aplicamos las leyes de Newton a un cuerpo, sólo estamos interesados en aquellas fuerzas externas
que actúan sobre el cuerpo.
• Aplicación de la primera Ley de Newton
Si desde un sistema de referencia inercial, un cuerpo está en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme,
permanecerá en ese estado, hasta que una fuerza actúe sobre él.
El cinturón de seguridad justamente evita, cuando un vehículo choca o frena de golpe, que nuestro cuerpo
al querer mantener el movimiento que traía, sea despedido hacia delante. Un ejemplo contrario es cuando el
cuerpo tiende a quedarse quieto cuando un vehículo arranca bruscamente.

•
Aplicación de la segunda Ley de Newton
Si se aplica la misma fuerza a dos cuerpos, uno de gran masa y otro de masa menor, el primero adquirirá
una pequeña aceleración y el segundo, una aceleración mayor. (la aceleración es inversamente
proporcional a la masa). La fuerza y la aceleración tienen la misma dirección y sentido

Para que nos quede más claro lo que es la segunda ley y que es lo que tiende a lograr daremos un
ejemplo: Se patea una pelota con una fuerza de 1,2 N y adquiere una aceleración de 3 m/s2, ¿cuál es la
masa de la pelota?
• Datos:


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• Aplicación de la tercera Ley de Newton
Un caballo tira de un carro que está detenido y lo, pone en movimiento: Los cuerpos involucrados en las
interacciones son: El carro, el caballo y el suelo. La fuerzas que representan estas interacciones son:
• T: Fuerza con que el caballo tira del carro y con la que el carro tira del caballo.
• R: Fuerza con la que el caballo empuja al suelo hacia atrás, y por lo tanto, con la que el suelo
empuja al caballo hacia delante.
• F: Fuerza análoga a R, que ejerce el carro con el suelo y viceversa

Cuando a un cuerpo se le aplica una fuerza (acción o reacción), este devuelve una fuerza de igual
magnitud, igual dirección y de sentido contrario (reacción o acción).

En una pista de patinaje sobre hielo, si un adulto empuja suavemente a un niño,no sólo existe la fuerza que
el adulto ejerce sobre el niño, sino que el niño ejerce una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el
adulto. Sin embargo, como la masa del adulto es mayor, su aceleración será menor.

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Ing. Gustavo Jiménez - Ecuaciones de dimensión

SISTEMAS DE UNIDADES Y ECUACIONES DE DIMENSIÓN

1- CONCEPTOS GENERALES
Los sistemas de unidades utilizados son cuatro, divididos en dos grupos, los que se
basan en las propiedades: Masa (M), Longitud (L) y Tiempo (T) el primero y Fuerza (F),
Longitud (L) y Tiempo (T) el segundo.
En el primer grupo encontramos los sistemas cgs (cm, gm, s), MKS (m, Km, s) y el
SIMELA (Sistema métrico legal argentino con idénticas unidades para nuestras
aplicaciones que las del sistema MKS). En el segundo grupo se encuentra el Sistema
Técnico o Gravitacional.
SISTEMAS DE UNIDADES

Gravitacional
(Fuerza peso)

Másicos

CGS

MKS

SIMELA

Técnico

Mientras el sistema cgs se usa para determinaciones de laboratorio, los restantes
son los que usa la tecnología en general y la Hidráulica en particular.
Dado que el concepto de masa es independiente de la gravedad, los sistemas que la
involucran son más rigurosos, por ello modernamente se han adoptado universalmente.
En cambio, el sistema técnico, no contemplado en las normas actualmente, es todavía
usado a pesar de que la vigencia del SIMELA, data en nuestro país desde 1974.
La razón por la que es tan difícil desprenderse de él se explica en la sensación
mucho más objetiva que tiene el ser humano, al percibir la fuerza (o peso) como un
esfuerzo muscular proporcional a realizar en función de su magnitud. En cambio, la Masa,
no tiene su correlato de sensación física, por lo que se hace más abstracta su evaluación.
Ello no obstante, se hace fácil pasar de un sistema al otro, si se tienen en cuenta las
siguientes definiciones:
1 Kgf = 1 Kgm. 9,81 m/s2
En la que, en el segundo término, la constante numérica es “g”, “aceleración normal
de la gravedad”.

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Por otra parte, la condición de un sistema de unidades, es que las propiedades
físicas, representadas por una o más variables, impliquen valores unitarios de las mismas.
En particular para la famosa ecuación de Newton:
F=m.a
Se debe cumplir que la Unidad de fuerza resulte igual a la unidad de masa por la
unidad de aceleración. Esa unidad se define en los sistemas MKS y SIMELA como
“Newton”, por lo tanto:
1 N = 1 Kgm . 1 m/s2
Si se dividen miembro a miembro las dos ecuaciones anteriores, se obtiene:
1 Kgf
= 9,81 m / s 2
1N

Es decir que:

1 Kgf = 9,81 N ≅ 10 N ∴ 1 N = 0,102 Kgf ≅ 0,1 Kgf

Se define como “Ecuación de dimensión”, la que resulta de expresar en las
dimensiones básicas de un determinado sistema, la propiedad física en análisis.
La dimensión de una dada propiedad se especifica con el símbolo que la identifica
entre corchetes, así, por ejemplo, las constitutivas de los sistemas de unidades son:
Masa, [m] = M;
Fuerza [f] = F;
Longitud [L] = L;
Superficie [ ] = L2;
Volumen [V] = L3
Tiempo [T] = T;
Para propiedades físicas que resultan combinaciones de las variables básicas, se
tiene:
Velocidad, [v] =

L
L
; Aceleración, [a] = 2
T
T

La ecuación de dimensión de la fuerza en el sistema técnico resulta: [f] = F, en
cambio en los sistemas másicos resulta:
[f] = M

L
T2

La ecuación de dimensión de la Masa en los sistemas másicos resulta [m] = M, en
cambio en el sistema técnico es:

Cap.1 - 2

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F FT2
[M] =
=
L
L
2
T
La ecuación de dimensión de la Energía o Trabajo en el sistema técnico es:
E=FL

Y en los másicos al reemplazar F en la función de M, resulta la expresión:

L
L2
E= M 2L=M 2
T
T
Procediendo en forma similar para la potencia, se tiene que:

FL
L L
L2
P=
; y en los sistemas másicos: P = M 2 = M 3
T
T T
T
La propiedad más importante de la ecuación de dimensión, es que una vez
planteada la misma es inmediata la determinación de las unidades de la propiedad física
analizada para el sistema de unidades elegido.
En efecto, veamos como ejemplo la energía. En el sistema cgs (másico),
reemplazando en la ecuación correspondiente por las unidades básicas del sistema,
2
2
resulta: g cm . En los sistemas MKS o SIMELA (indistintamente), resulta: Kg m m .
m

s2

s2

En cambio, para el sistema técnico la unidad resulta: Kgf. m.

2- ECUACIONES DE DIMENSIÓN DE LAS PROPIEDADES FÍSICAS DE LAS
LÍQUIDOS
2-1-MASA ESPECÍFICA
Se la define como la relación entre la masa de una sustancia y el volumen que
ocupa, o, dicho de otra manera, la “Masa de la unidad de volumen”.
En símbolos: ρ =

M
; cuyas ecuaciones de dimensión son:
V

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FT2
M
1 F
[ρ]= 3 = 3 = 4
L
L L
L
2
T
Por lo que en el sistema SIMELA (o MKS) la unidad resulta Kg m , y en el sistema
técnico es

m3

Kg f s
m4

2

. Para el agua en condiciones normales de presión y temperatura, su

2
valor es de 102 kg f s , o 1000 kg m , indistintamente.

m3

m4

2-2- PESO ESPECÍFICO
Se lo define como el peso de la sustancia en estudio, en relación con el volumen que
ocupa, o también como el “peso de la unidad de volumen”.
En símbolos: γ =

P
; cuyas ecuaciones de dimensión son:
V
F 1 ML M
γ= 3 = 3 2 =
L L T
LT2

Es decir que las unidades en los sistemas técnico y SIMELA (o MKS), serán:

kg f
m3

kg m
m2 s2

y

Se recuerda que el peso P es la masa de la porción de sustancia considerada,
multiplicada por la aceleración normal de la gravedad g, es decir que:
P=M.g
Pero, por otra parte, de la definición de “Peso específico” se deduce que: P =
Por lo tanto:

P =M.g=

De donde se deduce que:

=

Nótese que para los valores medios de

γ

= 102

kg f s 2
m4

M
g=
V

. V;
g

y g, el valor de

9,81

resulta:

kg f
m
≅ 1000
m3
s2

. V

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2-3-DENSIDAD
Se la define como la relación entre la masa específica o peso específico de la
sustancia en análisis, con respecto a la del agua en condiciones normales de presión y
temperatura y medida a nivel del mar. En símbolos:

δ=

γ sust. M sust g ρ sust
=
=
γ agua M agua g ρ agua

De la anterior se deduce claramente, que al ser “g” un valor constante, puede ser
simplificado, por lo que el cociente de las masas específicas dará el mismo valor que el
cociente entre los pesos específicos.
La densidad también puede denominarse “Peso específico relativo” o “Masa
específica relativa”. Su característica fundamental es que es adimensional, es decir,
un número sin ninguna dimensión que lo acompañe. Obviamente la densidad del agua es
la unidad.

2-4- PRESIÓN Y ESFUERZO CORTANTE

Dada una fuerza actuando sobre una superficie, si se descompone en sus
componentes normal al plano S, Pn y tangente al mismo Pt Se define como Presión al
cociente entre la componente normal y la superficie S, y como Esfuerzo Tangencial, al
cociente entre la componente tangencial y la superficie S. En símbolos:
p=

Pn
S

τ=

Pt
S

Evidentemente, ambas constituyen, conceptual y dimensionalmente hablando, la
distribución de una fuerza sobre una superficie, por lo que sus ecuaciones de dimensión
resultarán idénticas y dadas por:

[p]= [τ] =

F
L2

2-5- COEFICIENTE Y MÓDULO DE COMPRESIBILIDAD DE LÍQUIDOS
La expresión de compresibilidad, en diferencias finitas es:

Pagina 6


∆p = ε

∆ρ
ρ

Evidentemente, las dimensiones de ε son las de presión puesto que el cociente ∆ρ/ρ
es adimensional, por lo que la igualdad implica que las dimensiones corresponden a las
del primer término. Obviamente, las dimensiones de α son las inversas de las
dimensiones de presión (ver “Propiedades Físicas” en el texto de base.
A continuación, las ecuaciones de dimensión de ambas:

L2
[α] =
F

;

[ε] =

F
L2

.
2-6- VISCOSIDAD
La expresión de Newton, en diferencias finitas, para la Viscosidad Absoluta es:

τ=µ

∆V
∆Z

La ecuación de dimensión se obtiene, para los sistemas másicos y el sistema técnico
como sigue:

L
F
1
= [µ] T = [µ]
2
L
L
T
∴ [µ] =

FT
L T
M
= M 2 2 =
2
L
T L
LT

En especial por constituir su determinación experiencias de laboratorio, se utiliza el
sistema de unidades cgs, por lo que la unidad resultará indistintamente gf.s/cm2 o gM
/cm.s, definida como “Poisse” en honor del investigador de los escurrimientos laminares,
Dr. Poisseuille. Cómo su orden de magnitud es 0.01, se utiliza por practicidad el
“Centipoisse”, para no usar números muy pequeños.
Cuando se considera la viscosidad absoluta de la sustancia fluida, relativa a su masa
específica, es decir el cociente entre
y , se obtiene la denominada “viscosidad
cinemática ”. La que debe su nombre al hecho que sus dimensiones son de la
cinemática, es decir, no aparecen fuerzas o masas, tal como se puede apreciar en el
análisis siguiente:


Pagina 7

HIDRÁULICA APLICADA A LAS CONDUCCIONES
CAPÍTULO 1

M
LT
µ
L2
υ=
∴ [υ] =
=
M
ρ
T
3
L
La unidad consecuente será m2/s en los sistemas SIMELA, MKS y Técnico y cm2/s
en el cgs.
En laboratorio, por razones similares a la descripta previamente se utiliza el
“centistoke”.

Ing. Gustavo Jiménez
Las Magnitudes Físicas
Los aspectos medibles de un fenómeno se denominan magnitudes.
Magnitud: Es toda propiedad de los cuerpos que se puede medir. Por ejemplo: temperatura, velocidad,
masa, peso, etc.
Medir: Es comparar la magnitud con otra similar, llamada unidad, para averiguar cuántas veces la contiene.
Unidad: Es una cantidad que se adopta como patrón para compara con ella cantidades de la misma
especie.
Sistema Internacional de Unidades: Para resolver el problema que suponía la utilización de diferentes
unidades en distintos países, en 1960, se estableció el SI. Para ello se actuó de la siguiente forma:
-Un primer lugar, se eligieron las magnitudes fundamentales y la unidad correspondiente a cada magnitud
fundamental. Una magnitud fundamental es aquella que se define por si misma y es independiente de las
demás ( masa, tiempo, longitud etc.).
-En segundo lugar, se definieron las magnitudes derivada y su unidad correspondiente. Una magnitud
fundamental es aquella que se obtiene mediante expresiones matemáticas a partir de las magnitudes
fundamentales ( densidad, superficie, velocidad etc.).
En el cuadro siguiente se pueden ver las magnitudes fundamentales y derivadas más frecuentes que se
utilizan en farmacia, expresándolas por su dimensión , unidad y símbolo.

Unidades básicas.
Magnitud

Nombre

Símbolo

Longitud

metro

m

Masa

kilogramo

kg

Tiempo

segundo

s

Intensidad de corriente eléctrica

ampere

A

Temperatura termodinámica

kelvin

K

Cantidad de sustancia

mol

Intensidad luminosa

candela

mol
cd

El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la
Unidad de longitud: metro (m) luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.
Unidad de masa

El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional
del kilogramo

Unidad de tiempo

El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la
radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles
hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.

Unidad de intensidad de
corriente eléctrica

El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que
manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de
longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a
una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una
fuerza igual a 2·10-7 newton por metro de longitud.

Unidad
El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la
de temperaturatermodinámica fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto
triple del agua.

1

Observación: Además de la temperatura termodinámica
(símbolo T) expresada en kelvins, se utiliza también la
temperatura Celsius (símbolo t) definida por la ecuación t = T T0 donde T0 = 273,15 K por definición.
Unidad de cantidad de
sustancia

El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que
contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012
kilogramos de carbono 12.
Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades
elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones,
electrones u otras partículas o grupos especificados de tales
partículas.

Unidad de intensidad luminosa La candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada,
de una fuente que emite una radiación monocromática de
frecuencia 540·1012 hertz y cuya intensidad energética en dicha
dirección es 1/683 watt por estereorradián.

Unidades derivadas sin dimensión.
Magnitud

Nombre

Símbolo

Expresión en unidades
SI básicas

Ángulo plano

Radián

rad

mm-1= 1

Ángulo sólido

Estereorradián

sr

m2m-2= 1

Unidad de ángulo plano

El radián (rad) es el ángulo plano comprendido entre dos radios
de un círculo que, sobre la circunferencia de dicho círculo,
interceptan un arco de longitud igual a la del radio.

Unidad de ángulo sólido

El estereorradián (sr) es el ángulo sólido que, teniendo su
vértice en el centro de una esfera, intercepta sobre la superficie de
dicha esfera un área igual a la de un cuadrado que tenga por lado
el radio de la esfera.

Unidades SI derivadas
Las unidades SI derivadas se definen de forma que sean coherentes con las unidades básicas y
suplementarias, es decir, se definen por expresiones algebraicas bajo la forma de productos de
potencias de las unidades SI básicas y/o suplementarias con un factor numérico igual 1.
Varias de estas unidades SI derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades SI básicas y
suplementarias. Otras han recibido un nombre especial y un símbolo particular.
Si una unidad SI derivada puede expresarse de varias formas equivalentes utilizando, bien nombres
de unidades básicas y suplementarias, o bien nombres especiales de otras unidades SI derivadas, se
admite el empleo preferencial de ciertas combinaciones o de ciertos nombres especiales, con el fin
de facilitar la distinción entre magnitudes que tengan las mismas dimensiones. Por ejemplo, el hertz
se emplea para la frecuencia, con preferencia al segundo a la potencia menos uno, y para el
momento de fuerza, se prefiere el newton metro al joule.

2


Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades básicas y
suplementarias.
Magnitud

Nombre

Símbolo

Superficie

metro cuadrado

m2

Volumen

metro cúbico

m3

Velocidad

metro por segundo

m/s

Aceleración

metro por segundo cuadrado

m/s2

Número de ondas

metro a la potencia menos uno

m-1

Masa en volumen

kilogramo por metro cúbico

kg/m3

Velocidad angular

radián por segundo

rad/s

Aceleración angular

radián por segundo cuadrado

rad/s2

Unidad de velocidad

Un metro por segundo (m/s o m·s-1) es la velocidad de un cuerpo
que, con movimiento uniforme, recorre, una longitud de un metro
en 1 segundo.

Unidad de aceleración

Un metro por segundo cuadrado (m/s2 o m·s-2) es la aceleración
de un cuerpo, animado de movimiento uniformemente variado,
cuya velocidad varía cada segundo, 1 m/s.

Unidad de número de ondas Un metro a la potencia menos uno (m-1) es el número de ondas
de una radiación monocromática cuya longitud de onda es igual a 1
metro.
Unidad de velocidad angular Un radián por segundo (rad/s o rad·s-1) es la velocidad de un
cuerpo que, con una rotación uniforme alrededor de un eje fijo,
gira en 1 segundo, 1 radián.
Unidad de aceleración
angular

Un radián por segundo cuadrado (rad/s2 o rad·s-2) es la
aceleración angular de un cuerpo animado de una rotación
uniformemente variada alrededor de un eje fijo, cuya velocidad
angular, varía 1 radián por segundo, en 1 segundo.

Unidades SI derivadas con nombres y símbolos especiales.
Magnitud

Nombre

Símbolo

Expresión en
otras unidades
SI

Expresión en unidades
SI básicas

Frecuencia

hertz

Hz

s-1

Fuerza

newton

N

m·kg·s-2

Presión

pascal

Pa

N·m-2

m-1·kg·s-2

Energía, trabajo,

joule

J

N·m

m2·kg·s-2

3

cantidad de calor
Potencia

watt

W

J·s-1

m2·kg·s-3

Cantidad de electricidad coulomb
carga eléctrica

C

s·A

Potencial eléctrico
fuerza electromotriz

volt

V

W·A-1

m2·kg·s-3·A-1

Resistencia eléctrica

ohm



V·A-1

m2·kg·s-3·A-2

Capacidad eléctrica

farad

F

C·V-1

m-2·kg-1·s4·A2

Flujo magnético

weber

Wb

V·s

m2·kg·s-2·A-1

Inducción magnética

tesla

T

Wb·m-2

kg·s-2·A-1

Inductancia

henry

H

Wb·A-1

m2·kg s-2·A-2

Unidad de frecuencia

Un hertz (Hz) es la frecuencia de un fenómeno periódico cuyo
periodo es 1 segundo.

Unidad de fuerza

Un newton (N) es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una
masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por
segundo cuadrado.

Unidad de presión

Un pascal (Pa) es la presión uniforme que, actuando sobre una
superficie plana de 1 metro cuadrado, ejerce perpendicularmente a
esta superficie una fuerza total de 1 newton.
Unidad de energía, trabajo, Un joule (J) es el trabajo producido por una fuerza de 1 newton,
cuyo punto de aplicación se desplaza 1 metro en la dirección de la
cantidad de calor
fuerza.
Unidad de potencia, flujo
radiante

Un watt (W) es la potencia que da lugar a una producción de
energía igual a 1 joule por segundo.

Unidad de cantidad de
Un coulomb (C) es la cantidad de electricidad transportada en 1
electricidad, carga eléctrica segundo por una corriente de intensidad 1 ampere.
Unidad de potencial
eléctrico, fuerza
electromotriz

Un volt (V) es la diferencia de potencial eléctrico que existe entre
dos puntos de un hilo conductor que transporta una corriente de
intensidad constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre
estos puntos es igual a 1 watt.

Unidad de resistencia
eléctrica

Un ohm () es la resistencia eléctrica que existe entre dos puntos
de un conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1
volt aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor,
una corriente de intensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza
electromotriz en el conductor.

4

Unidad de capacidad
eléctrica

Un farad (F) es la capacidad de un condensador eléctrico que entre
sus armaduras aparece una diferencia de potencial eléctrico de 1
volt, cuando está cargado con una cantidad de electricidad igual a 1
coulomb.

Unidad de flujo magnético

Un weber (Wb) es el flujo magnético que, al atravesar un circuito
de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de
1 volt si se anula dicho flujo en un segundo por decaimiento
uniforme.

Unidad de inducción
magnética

Una tesla (T) es la inducción magnética uniforme que, repartida
normalmente sobre una superficie de 1 metro cuadrado, produce a
través de esta superficie un flujo magnético total de 1 weber.

Unidad de inductancia

Un henry (H) es la inductancia eléctrica de un circuito cerrado en
el que se produce una fuerza electromotriz de 1 volt, cuando la
corriente eléctrica que recorre el circuito varía uniformemente a
razón de un ampere por segundo.

Unidades SI derivadas expresadas a partir de las que tienen nombres
especiales
Magnitud

Nombre

Símbolo

Expresión en
unidades SI
básicas

Viscosidad dinámica

pascal segundo

Pa·s

m-1·kg·s-1

Entropía

joule por kelvin

J/K

m2·kg·s-2·K-1

Capacidad térmica másica

joule por kilogramo
kelvin

J/(kg·K)

m2·s-2·K-1

Conductividad térmica

watt por metro kelvin

W/(m·K)

m·kg·s-3·K-1

Intensidad del campo
eléctrico

volt por metro

V/m

m·kg·s-3·A-1

Unidad de viscosidad dinámica

Un pascal segundo (Pa·s) es la viscosidad dinámica de un
fluido homogéneo, en el cual, el movimiento rectilíneo y
uniforme de una superficie plana de 1 metro cuadrado, da
lugar a una fuerza retardatriz de 1 newton, cuando hay una
diferencia de velocidad de 1 metro por segundo entre dos
planos paralelos separados por 1 metro de distancia.

Unidad de entropía

Un joule por kelvin (J/K) es el aumento de entropía de un
sistema que recibe una cantidad de calor de 1 joule, a la
temperatura termodinámica constante de 1 kelvin, siempre

5

que en el sistema no tenga lugar ninguna transformación
irreversible.
Unidad de capacidad térmica
másica

Un joule por kilogramo kelvin (J/(kg·K) es la capacidad
térmica másica de un cuerpo homogéneo de una masa de 1
kilogramo, en el que el aporte de una cantidad de calor de un
joule, produce una elevación de temperatura termodinámica
de 1 kelvin.

Unidad de conductividad térmica

Un watt por metro kelvin W/(m·K) es la conductividad
térmica de un cuerpo homogéneo isótropo, en la que una
diferencia de temperatura de 1 kelvin entre dos planos
paralelos, de área 1 metro cuadrado y distantes 1 metro,
produce entre estos planos un flujo térmico de 1 watt.

Unidad de intensidad del campo
eléctrico

Un volt por metro (V/m) es la intensidad de un campo
eléctrico, que ejerce una fuerza de 1 newton sobre un cuerpo
cargado con una cantidad de electricidad de 1 coulomb.

Nombres y símbolos especiales de múltiplos y submúltiplos decimales de unidades SI autorizados
Magnitud

Nombre

Símbolo

Relación

Volumen

litro

loL

1 dm3=10-3 m3

Masa

tonelada

t

103 kg

Presión y
tensión

bar

bar

105 Pa

Unidades definidas a partir de las unidades SI, pero que no son múltiplos o
submúltiplos decimales de dichas unidades.
Magnitud

Nombre

Ángulo plano

Símbolo

vuelta

Relación
1 vuelta= 2 rad


grado

(/180) rad

minuto de ángulo

'

( /10800) rad

segundo de ángulo
Tiempo

º

"

( /648000) rad

minuto

min

60 s

hora

h

3600 s

día

d

86400 s

6


Unidades en uso con el Sistema Internacional cuyo valor en unidades SI se
ha obtenido experimentalmente.
Magnitud

Nombre

Símbolo

Valor en unidades SI

Masa

unidad de masa atómica

u

1,6605402 10-27 kg

Energía

electronvolt

eV

1,60217733 10-19 J

Múltiplos y submúltiplos decimales
Factor

Prefijo

Símbolo

Factor

Prefijo

Símbolo

1024

yotta

Y

10-1

deci

d

1021

zeta

Z

10-2

centi

c

1018

exa

E

10-3

mili

m

1015

peta

P

10-6

micro

μ

1012

tera

T

10-9

nano

n

109

giga

G

10-12

pico

p

106

mega

M

10-15

femto

f

103

kilo

k

10-18

atto

a

102

hecto

h

10-21

zepto

z

101

deca

da

10-24

yocto

y

Unidades con nombre especial


[editar]

Hertz o hercio (Hz). Unidad de frecuencia.
Definición: un hercio es un ciclo por segundo.



Newton (N). Unidad de fuerza.
Definición: un newton es la fuerza necesaria para proporcionar una aceleración de 1 m/s2 a un
objeto cuya masa sea de 1 kg.



Pascal (Pa). Unidad de presión.
Definición: un pascal es la presión normal (perpendicular) que una fuerza de un newton ejerce sobre
una superficie de un metro cuadrado.

7



Vatio (W). Unidad de potencia.
Definición: un vatio es la potencia que genera una energía de un julio por segundo. En términos
eléctricos, un vatio es la potencia producida por una diferencia de potencial de un voltio y
una corriente eléctrica de un amperio.



Culombio (C). Unidad de carga eléctrica.
Definición: un culombio es la cantidad de electricidad que una corriente de
un amperio de intensidad transporta durante un segundo.



Voltio (V). Unidad de potencial eléctrico y fuerza electromotriz.
Definición: diferencia de potencial a lo largo de un conductor cuando una corriente de
una intensidad de un amperio utiliza un vatiode potencia.



Ohmio (Ω). Unidad de resistencia eléctrica.
Definición: un ohmio es la resistencia eléctrica existente entre dos puntos de un conductor cuando en ausencia de fuerza electromotriz en éste- una diferencia de potencial constante de un voltio
aplicada entre esos dos puntos genera una corriente de intensidad de un amperio.



Siemens (S). Unidad de conductancia eléctrica.
Definición: un siemens es la conductancia eléctrica existente entre dos puntos de un conductor de
un ohmio de resistencia.



Faradio (F). Unidad de capacidad eléctrica.
Definición: un faradio es la capacidad de un conductor que con la carga estática de un culombio
adquiere una diferencia de potencial de un voltio.



Tesla (T). Unidad de densidad de flujo magnético e intensidad de campo magnético.
Definición: un tesla es una inducción magnética uniforme que, repartida normalmente sobre una
superficie de un metro cuadrado, a través de esta superficie produce un flujo magnético de
un weber.

8




Weber (Wb). Unidad de flujo magnético.
Definición: un weber es el flujo magnético que al atravesar un circuito uniespiral genera en éste una
fuerza electromotriz de un voltio si se anula dicho flujo en un segundo por decrecimiento uniforme.



Henrio (H). Unidad de inductancia.
Definición: un henrio es la inductancia de un circuito en el que una corriente que varía a razón de
un amperio por segundo da como resultado una fuerza electromotriz autoinducida de un voltio.



Radián (rad). Unidad de ángulo plano.
Definición: un radián es el ángulo que limita un arco de circunferencia cuya longitud es igual
al radio de la circunferencia.



Estereorradián (sr). Unidad de ángulo sólido.
Definición: un estereorradián es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera,
sobre la superficie de ésta cubre un área igual a la de un cuadrado cuyo lado equivalga al radio de
la esfera.



Lumen (lm). Unidad de flujo luminoso.
Definición: un lumen es el flujo luminoso producido por una candela de intensidad luminosa,
repartida uniformemente en un estereorradián.



Lux (lx). Unidad de iluminancia.
Definición: un lux es la iluminancia generada por un lumen de flujo luminoso, en una superficie
equivalente a la de un cuadrado de un metro por lado.



Becquerelio (Bq). Unidad de actividad radiactiva.
Definición: un becquerel es una desintegración nuclear por segundo.

9




Gray (Gy). Unidad de dosis de radiación absorbida.
Definición: un gray es la absorción de un julio de energía ionizante por un kilogramo de material
irradiado.



Sievert (Sv). Unidad de dosis de radiación absorbida equivalente.
Definición: un sievert es la absorción de un julio de energía ionizante por un kilogramo de tejido vivo
irradiado.



Katal (kat). Unidad de actividad catalítica.
Definición: un katal es la actividad catalítica responsable de la transformación de un mol de
compuesto por segundo.



Grado Celsius (°C). Unidad de temperatura termodinámica.
Definición: la magnitud de un grado Celsius (1 °C) es igual a la de un kelvin.
, donde t es la temperatura en grados Celsius, y T significa kélvines.
De escala Fahrenheit a escala Kelvin:

De escala Kelvin a escala Fahrenheit:

Unidades sin nombre especial
En principio, las unidades básicas se pueden combinar libremente para generar otras unidades. A
continuación se incluyen las importantes.


Unidad de área.
Definición: un metro cuadrado es el área equivalente a la de un cuadrado de un metro por lado.



Unidad de volumen.
Definición: un metro cúbico es el volumen equivalente al de un cubo de un metro por lado.

10



Unidad de velocidad o de rapidez.
Definición: un metro por segundo es la velocidad de un cuerpo que, con movimiento uniforme, en un
segundo recorre una longitud de un metro.



Unidad de ímpetu lineal o cantidad de movimiento.
Definición: es la cantidad de movimiento de un cuerpo con una masa de un kilogramo que se mueve
a una velocidad instantánea de un metro por segundo.



Unidad de aceleración.
Definición: es el aumento de velocidad regular -que afecta a un objeto- equivalente a un metro por
segundo cada segundo.



Unidad de número de onda.
Definición: es el número de onda de una radiación monocromática cuya longitud de onda es igual a
un metro.



Unidad de velocidad angular.
Definición: es la velocidad de un cuerpo que, con una rotación uniforme alrededor de un eje fijo, en
un segundo gira un radián.



Unidad de aceleración angular.
Definición: es la aceleración angular de un cuerpo sujeto a una rotación uniformemente variada
alrededor de un eje fijo, cuya velocidad angular, en un segundo, varía un radián.



Unidad de momento de fuerza y torque.
Definición: es el momento o torque generado cuando una fuerza de un newton actúa a un metro de
distancia del eje fijo de un objeto e impulsa la rotación de éste.



Unidad de viscosidad dinámica.

11


Definición: es la viscosidad dinámica de un fluido homogéneo, en el cual, cuando hay una diferencia
de velocidad de un metro por segundo entre dos planos paralelos separados un metro, el
movimiento rectilíneo y uniforme de una superficie plana de un metro cuadrado provoca una fuerza
retardatriz de un newton.



Unidad de entropía.
Definición: es el aumento de entropía de un sistema que -siempre que en el sistema no ocurra
transformación irreversible alguna- a la temperatura termodinámica constante de un kelvin recibe
una cantidad de calor de un julio.



Unidad de calor específico o capacidad calorífica.
Definición: es la cantidad de calor, expresada en julios, que, en un cuerpo homogéneo de una masa
de un kilogramo, produce una elevación de temperatura termodinámica de un kelvin.



Unidad de conductividad térmica.
Definición: es la conductividad térmica de un cuerpo homogéneo isótropo en la que una diferencia
de temperatura de un kelvin entre dos planos paralelos de un metro cuadrado y distantes un metro,
entre estos planos genera un flujo térmico de un watio.



Unidad de intensidad del campo eléctrico.
Definición: es la intensidad de un campo eléctrico que ejerce una fuerza de un newton sobre un
cuerpo cargado con una cantidad de electricidad de un culombio.



Unidad de rendimiento luminoso.
Definición: es el rendimiento luminoso obtenido de un artefacto que gasta un vatio de potencia y
genera un lumen de flujo luminoso.

12

Ing. Gustavo Jiménez - Teoría de las Ecuaciones

TEORÍA DE LAS ECUACIONES

En este tema se va a estudiar de manera breve un poco de la teoría sobre la resolución de ecuaciones de grado superior a dos. Como se irá analizando sobre la marcha, está bastante restringido
el tema, pues solamente se refiere a ciertas ecuaciones y a ciertas soluciones, no a todas.
Para ello es necesario tener como antecedentes algunos teoremas y la división sintética.
1) TEOREMA DEL RESIDUO: Se utiliza para obtener de manera rápida el residuo de la división
de un polinomio entre un binomio (x - r), sin hacer la división.
TEOREMA DEL RESIDUO
Sea P(x) un polinomio cualquiera. Entonces el residuo que se obtiene de dividir
P(x) entre el binomio (x - r) es P(r).

Ejemplo 1:

Encontrar el residuo que se obtiene al dividir 2x 4 - 5x 3 + 11x 2 - 20x + 5 entre x - 2.

Solución:

En este caso, P(x) = 2x 4 - 5x 3 + 11x 2 - 20x + 5 y (x - r) = (x - 2) , de donde se deduce que
r = 2. Así que el residuo es


P(2) = 2(2)4 - 5(2)3 + 11(2)2 - 20(2) + 5
P(2) = 1
El residuo es uno.
COMPROBACIÓN:

2x3 − x 2 + 9x − 2
x − 2 2 x 4 − 5 x 3 + 11x 2 − 20 x + 5
− 2x 4 + 4x3
− x 3 + 11x 2
x3 − 2x 2
9 x 2 − 20 x
− 9 x 2 + 18 x
− 2x + 5
2x − 4
+1

Ejemplo 2:

Hallar el residuo que se obtiene al dividir 5x 4 + 6x 3 - 10x 2 + 20x + 15 entre x + 3.

Solución:

En este caso, P(x) = 5x 4 + 6x 3 - 10x 2 + 20x + 15 y (x - r) = (x + 3) , de donde se deduce que
r = - 3. Así que el residuo es
P(- 3) = 5(- 3)4 + 6(- 3)3 - 10(- 3)2 + 20(- 3) + 15
P(- 3) = 108
El residuo es 108.


EJERCICIO 19
Encontrar el residuo que se obtiene de las siguientes divisiones, aplicando el teorema del residuo.
1)
2)

(x4 + x3 - 7x2 - 5x + 2) ÷ (x - 5)
(4x5 - 8x3 + 12x - 11) ÷ (x + 1)

3)
4)

(2x4 - 12x3 + x2 + 21x - 34) ÷ (x - 6)
(6x6 - 2x3 - 17x2 - 11) ÷ (x + 4)

5)
6)
7)

(3x4 + 2x3 + 17x2 - 55x - 21) ÷ (x - 9)
(2x5 - 7x3 - 11x + 31) ÷ (x + 9)
(7x4 - 10x3 - 3x2 + 29x - 44) ÷ (x - 10)

8)

(x6 + x5 - 7x3 - 7x2 - 31) ÷ (x + 8)

2) TEOREMA DEL FACTOR Y SU RECIPROCO:

TEOREMA DEL FACTOR Y SU RECIPROCO
Sea P(x) un polinomio cualquiera. Si r es raíz de la ecuación racional entera
P(x) = 0, entonces (x - r) es factor de P(x).
Si (x - r) es factor de P(x) = 0, entonces r es raíz de la ecuación racional entera
P(x) = 0.

Se trata de un teorema cuya demostración o veracidad es muy directa y obvia. De hecho, su
fundamentación es el equivalente al inverso de la solución de una ecuación por el método de
factorización.
Por ejemplo, para resolver la ecuación x 2 + 3x - 4 = 0 por el método de factorización se siguen
estos pasos:
1) x 2 + 3x - 4 = 0
2) Se factoriza: (x - 1)(x + 4) = 0
3) Se razona de la siguiente forma: Dos cantidades multiplicadas entre sí dan cero solamente
que por lo menos una de ellas sea cero. Dos cantidades diferentes de cero multiplicadas
entre sí nunca dan cero.


Lo anterior implica que si el factor (x - 1) es igual a cero, la igualdad propuesta en la
ecuación (x - 1)(x + 4) = 0 es cierta, porque cero por lo que sea da cero. Por lo tanto el
siguiente paso es igualar a cero dicho factor:
de donde

x-1=0
x1 = 1

De igual forma, si el factor (x + 4) es igual a cero, la igualdad propuesta en la ecuación
(x - 1)(x + 4) = 0 es cierta. Por lo tanto el siguiente paso es igualar a cero dicho factor:
de donde

x+4=0
x2 = - 4

El proceso inverso sería:
1) Si x2 = - 4 , se afirma la existencia de una raíz para la ecuación x 2 + 3x - 4 = 0.
2) Se construye con esa raíz el factor (x + 4), a partir de que si x + 4 = 0 , la igualdad o ecuación original es igual a cero también.
Ejemplo 3:

Demostrar que (x + 1) es factor del polinomio x 3 + 3x 2 + 4x + 2.

Solución:

Si (x + 1) es factor del polinomio, implica que x = - 1 es raíz de la ecuación racional entera
x 3 + 3x 2 + 4x + 2 = 0 ; y si x = - 1 es raíz de dicha ecuación, entonces el residuo de la división de x 3 + 3x 2 + 4x + 2 entre (x + 1) debe ser cero, lo cual se puede probar con el teorema
del residuo:
P(x) = x 3 + 3x 2 + 4x + 2
P(- 1) = (- 1)3 + 3(- 1)2 + 4(- 1) + 2
P(- 1) = - 1 + 3 - 4 + 2
P(- 1) = 0
Es decir, el residuo es cero y por lo tanto (x + 1) es factor.

DIVISION SINTETICA
Es un proceso mediante el cual se puede reducir considerablemente el trabajo realizado para
encontrar el cociente y el residuo que resultan al dividir un polinomio P(x) entre (x - r).
Se deja como ejercicio de clase deducir los pasos de reducción del proceso hasta llegar a la
regla misma de la división sintética, la cual es:


REGLA DE LA DIVISIÓN SINTÉTICA
Para dividir el polinomio P(x) entre x - r :
1) Se escriben en el primer renglón los coeficientes de P(x) en el mismo orden
que las potencias decrecientes de x. Si falta una de éstas se escribe cero en
el lugar que le corresponde.
2) Se sustituye el divisor (x - r) por + r y se escribe también en el primer renglón, a la derecha, separado por el signo

.

3) Se vuelve a escribir debajo de él mismo y en la tercera línea, el coeficiente
de la mayor potencia de x (el de la izquierda) y se multiplica por r . El producto obtenido se coloca en la segunda línea inmediatamente debajo del
coeficiente de x que sigue en orden, se suma con éste y el resultado se escribe en la tercera línea. La suma obtenida se multiplica por r y el producto
obtenido se coloca en la segunda línea debajo del coeficiente que sigue en
orden y se suma con el mismo. Se continúa con el procedimiento hasta obtener un producto que se suma al término constante.
4) El último número de la tercera línea es el residuo y los otros, leídos de izquierda a derecha, son los coeficientes del cociente, cuyo grado es siempre
menor en uno que el grado de P(x).

Ejemplo 4:

Obtener el cociente y el residuo, empleando la división sintética, de la división del polinomio
P(x) = 4x 3 + 2x 2 + 9x - 11 entre (x + 2) .

Solución:

En este caso, r = - 2 .
PASO 1: Se escriben en la primera línea los coeficientes del polinomio P(x). A su derecha,
, se escribe el valor de + r . Se deja libre por el momenen la misma línea y separado por
to el segundo y el tercer renglones, separándolos con una línea, como se muestra a continuación:
+r

coeficientes de P ( x

)

segundo renglón
tercer renglón

+4

+2

+9

− 11 − 2


PASO 2: Se reproduce el primer coeficiente en el tercer renglón y abajo de él mismo:

4

+2

+9

− 11 − 2

4
PASO 3: Se multiplica el coeficiente 4 escrito en el tercer renglón por - 2 y el producto se
escribe en el segundo renglón, exactamente abajo del siguiente coeficiente del polinomio
P(x):

4

+2

+9

− 11 − 2

−8
4
se suman
PASO 4: Se suman y el resultado se escribe abajo en el tercer renglón:

4

+2

+9

− 11 − 2

−8
4

−6

PASO 5: Se multiplica el - 6 obtenido en el paso anterior por - 2 y se repite todo el proceso
hasta terminar con todos los coeficientes de P(x):

4

+2

+9

− 11 − 2

−8

4

+ 12

− 42

−6

residuo

+ 21 − 53

coeficientes
del cociente

El último número de la derecha obtenido en el tercer renglón es el residuo de la división. Los
otros números del tercer renglón, leídos de izquierda a derecha son los coeficientes del cociente, es decir, el cociente es 4x 2 - 6x + 21 y el residuo es - 53 .


Ejemplo 5:

Obtener el cociente y el residuo, empleando la división sintética, de la división del polinomio
P(x) = 5x 4 - 63x 2 + 8x - 11 entre (x - 4) .

Solución:

En este caso, r = + 4 .
Mecanizando el proceso, lo que se obtiene se muestra a continuación:

5

+0

− 63

+8

+ 20

5

− 11 4

+ 80

+ 68

+ 304

+ 20

+ 17

+ 76

+ 293

residuo

coeficientes
del cociente

El cociente es:
el residuo es:

5x 3 + 20x 2 + 17x + 76
+ 293

EJERCICIO 20
Encontrar el cociente y el residuo que se obtiene de las siguientes divisiones, aplicando división sintética.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)

(x4 + x3 - 7x2 - 5x + 2) ÷ (x - 5)
(4x5 - 8x3 + 12x - 11) ÷ (x + 1)
(2x4 - 12x3 + x2 + 21x - 34) ÷ (x - 6)
(6x6 - 2x3 - 17x2 - 11) ÷ (x + 4)
(3x4 + 2x3 + 17x2 - 55x - 21) ÷ (x - 9)
(2x5 - 7x3 - 11x + 31) ÷ (x + 9)
(7x4 - 10x3 - 3x2 + 29x - 44) ÷ (x - 10)

8)

(x6 + x5 - 7x3 - 7x2 - 31) ÷ (x + 8)


RAICES RACIONALES DE UNA ECUACION RACIONAL ENTERA
El estudio de las ecuaciones al que se refiere este tema, como se dijo al inicio, está bastante
restringido, ya que solamente se refiere a ciertas ecuaciones y a ciertas soluciones, no a todas. Una
de las limitantes es que las soluciones que se pueden encontrar por el método que un poco más
adelante se va a detallar solamente son racionales. El presente método no localiza raíces que sean
números irracionales o complejos.
Para establecer los pasos a seguir en la localización de raíces en una ecuación polinomial, es
necesario introducir dos conceptos.
Sea la ecuación polinomial a 0 x n + a1 x n − 1 + a 2 x n − 2 + ... + a n − 1 x + a n = 0 , es decir, a0 representa el coeficiente de la mayor potencia de x y an representa el coeficiente del término independiente. Entonces se tiene que:
1) POSIBLES RAÍCES: Las posibles raíces racionales de una ecuación racional entera o polinomial tienen como numerador a un factor de an y como denominador a un factor de a0 .
Significa que si la ecuación tiene raíces racionales, serán algunas de las que se enlisten como
posibles, ninguna otra.
Ejemplo 1:

Enlistar las posibles raíces de la ecuación 2x 4 - 5x 3 - 13x 2 + x + 6 = 0 .

Solución:

Factores del numerador:
Factores del denominador:

±1,±2,±3 y ±6
±1 y ±2

(factores de 6).
(factores de 2).

Las posibles raíces son todas las fracciones que se puedan obtener combinando todos los
posibles numeradores con todos los posibles denominadores. Son:
±1,±2,±3,±6
±

1
2

, ±

3
2

(con denominador 1)
(con denominador 2)

Nótese que en los que contienen denominador 2 no aparecen las combinaciones que tienen
numerador 2 y 6, ya que equivalen a un entero y tres enteros respectivamente, que ya estaban
enlistados.
Ejemplo 2:

Enlistar las posibles raíces de la ecuación 6x 4 - 5x 3 - 13x 2 + x + 10 = 0 .

Solución:

Factores del numerador: ± 1 , ± 2 , ± 5 y ± 10
Factores del denominador ± 1 , ± 2 , ± 3 y ± 6

(factores de 10).
(factores de 6).

Las posibles raíces son todas las fracciones que se puedan obtener combinando todos los
posibles numeradores con todos los posibles denominadores. Son:


± 1 , ± 2 , ± 5 , ± 10

(con denominador 1)

±

1
5
, ±
2
2

(con denominador 2)

±

1
2
5
10
,±
,±
,±
3
3
3
3

(con denominador 3)

±

1
5
,±
6
6

(con denominador 6)

Nótese que en los que contienen denominador 2 y denominador 6 no aparecen las combinaciones que tienen numerador 2 y 10, ya que equivalen a fracciones simplificadas que ya estaban enlistados.

2) ECUACION DEGRADADA: La Ecuación degradada es la que se obtiene de igualar a cero el
cociente de la división del polinomio P(x) entre (x - r) , donde r es una raíz encontrada.
Se emplea la ecuación degradada una vez obtenida una raíz, en virtud de que, por los teoremas
del residuo y del factor, si r es raíz de la ecuación polinomial P(x) = 0 , significa que (x - r)
es un factor del polinomio P(x) , o sea que el residuo de la división de P(x) ÷ (x - r) es igual
a cero.
En otras palabras, P(x) = (x - r) Q(x) , en donde Q(x) es el cociente.
Si P(x) = 0 , entonces es lo mismo que (x - r) Q(x) = 0 . Y por el razonamiento del método de
factorización de las ecuaciones, si dos cantidades multiplicadas dan cero, implica que por lo
menos una de ellas sea cero. Así que se puede hacer Q(x) = 0 para que se cumpla la ecuación
original.
Ejemplo 1:

Hallar la ecuación degradada de la ecuación 5x 4 - 12x 3 + 8x 2 - 11x + 6 = 0 , sabiendo que
x = 2 es una raíz.

Solución:

Realizando la división de 5x 4 - 12x 3 + 8x 2 - 11x + 6 ÷ (x - 2) , por división sintética se obtiene que

El cociente es Q(x) = 5x 3 - 2x 2 + 4x - 3 . Como el residuo es cero, significa que
5x 4 - 12x 3 + 8x 2 - 11x + 6 = (x - 2)(5x 3 - 2x 2 + 4x - 3)
Como está igualada a cero, entonces la ecuación original puede escribirse también como


(x - 2)(5x 3 - 2x 2 + 4x - 3) = 0
De manera que por el razonamiento del método de factorización de las ecuaciones, si dos
cosas multiplicadas dan cero implica que al menos una de ellas sea cero. Si el primer factor
es igual a cero, es decir que x - 2 = 0 , se obtiene la raíz propuesta desde el enunciado; pero
también el segundo factor puede ser igual a cero y de allí salen las demás raíces.
Así que la ecuación degradada es
5x 3 - 2x 2 + 4x - 3 = 0

PROCESO GENERAL
De manera muy general, sin manejar todavía algunos detalles, el proceso para localizar las
raíces racionales de una ecuación polinomial es el siguiente:

PASOS GENERALES PARA LOCALIZAR LAS RAÍCES RACIONALES DE
UNA ECUACIÓN POLINOMIAL:
1) Se enlistan todas las posibles raíces.
2) Se ensaya por división sintética una a una las posibles raíces, hasta que el
residuo sea cero. Por el teorema del residuo y del factor, ésa será una raíz.
3) Una vez localizada una raíz, se continúa ensayando con la ecuación degradada hasta localizar la siguiente raíz de la ecuación.
4) Se continúa así hasta llegar a una ecuación de segundo grado, la que se resuelve por la fórmula general.
5) Toda posible raíz que haya salido que no es raíz en la división sintética, tampoco lo será en la ecuación degradada; en cambio, cualquier raíz que ya haya
salido, puede volver a serlo en la ecuación degradada.

Ejemplo 1:

Localizar las raíces racionales de la ecuación 2x 3 + 3x 2 - 8x - 12 = 0 .

Solución:

Las posibles raíces son
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 12

±

1
3
,±
2
2

(con denominador 1)
(con denominador 2)


Se ensayan por división sintética una por una las posibles raíces, hasta que el residuo sea
igual a cero. Haciéndolo, por ejemplo, con + 1 :

Como el residuo es - 15 , es decir, no es igual a cero, significa que x = 1 no es raíz de la
ecuación. Debe ensayarse con otra de las posibles raíces, por ejemplo con 2:

Como el residuo es cero, significa que x = 2 es una raíz y además (x - 2) es un factor de

2 x 3 + 3 x 2 − 8 x − 12 . El otro factor es el cociente obtenido en la división, el cual es

2 x 2 + 7 x + 6 . Es decir,
2x 3 + 3x 2 - 8x - 12 = (x - 2)(2x 2 + 7x + 6) = 0
por lo que se puede afirmar que 2x 2 + 7x + 6 = 0 (que es igual a cero). Esta es la ecuación
degradada y a partir de este momento con ella se seguirá trabajando. Pero como ya es una
ecuación de segundo grado, ya se puede utilizar la fórmula general:
−b±

b 2 − 4ac
2a

−7±

7 2 − 4 (2)(6)
2(2)

x=
x=

−7±

x=
x=

− 7 ±1
4

−3
2
x3 = - 2

x2 =

49 − 48
4


Las tres raíces son: x1 = 2 ;

x2 = −

3
2

; x3 = - 2

Nótese que las tres raíces pertenecen al enlistado inicial que se hizo de las posibles raíces.
Ejemplo 2:

Localizar las raíces racionales de la ecuación 6x 4 - 5x 3 - 39x 2 - 4x + 12 = 0 .

Solución:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 12

1
3
, ±
2
2
1
2
4
±
, ±
,±
3
3
3
1
±
6
±

(con denominador 1)
(con denominador 2)
(con denominador 3)
(con denominador 6)


Como el residuo es - 30 , es decir, no es igual a cero, significa que x = 1 no es raíz de la
ecuación. Debe ensayarse con otra de las posibles raíces, por ejemplo con 3:


6 x 4 − 5 x 3 − 39 x 2 − 4 x + 12 . El otro factor es el cociente obtenido en la división, el cual

es 6x 3 + 13x 2 - 4 . Es decir,

6x 4 - 5x 3 - 39x 2 - 4x + 12 = (x - 3)(6x 3 + 13x 2 - 4) = 0
por lo que se puede afirmar que 6x 3 + 13x 2 - 4 = 0 (que es igual a cero). Esta es la ecuación
degradada y a partir de este momento con ella se seguirá trabajando. Se vuelven a realizar
ensayos por división sintética, en donde hay que considerar que x = 1 ya no puede ser raíz


porque no lo fue anteriormente, en cambio, x = 3 sí puede volver a serlo. Ensayando por
ejemplo con - 1 :

Como el residuo es + 3 , es decir, no es igual a cero, significa que x = - 1 no es raíz de la
ecuación. Debe ensayarse con otra de las posibles raíces, por ejemplo con - 2:

Como el residuo es cero, significa que x = - 2 es una raíz y además (x + 2) es un factor de

6 x 3 + 13 x 2 − 4 . El otro factor es el cociente obtenido en la división, el cual es

6 x 2 + x − 2 . Es decir,
6x 3 + 13x 2 - 4 = (x + 2)(6x 2 + x - 2) = 0
por lo que se puede afirmar que 6x 2 + x - 2 = 0 (que es igual a cero). Esta es la ecuación

x=

x=

x=

−b±

b 2 − 4ac
2a

− 1±

12 − 4(6)( − 2)
2(6)

− 1± 7
12

x3 = −
x4 =

1
2

2
3


Las cuatro raíces son: x1 = 3 ; x2 = - 2 ; x3 = −

2
3

; x4 =

1
2

Ejemplo 3:

Localizar las raíces racionales de la ecuación 9x 4 - 30x 3 + 13x 2 + 20x + 4 = 0 .

Solución:

±1,±2,± 4
1
2
4
±
,± , ±
3
3
3

±

1
2
4
,±
,±
9
9
9

(con denominador 1)
(con denominador 3)
(con denominador 9)



9 x 4 − 30 x 3 + 13 x 2 + 20 x + 4 . El otro factor es el cociente obtenido en la división, el cual
es 9x 3 - 12x 2 - 11x - 2 . Es decir,
9x 4 - 30x 3 + 13x 2 + 20x + 4 = (x - 2)(9x 3 - 12x 2 - 11x - 2) = 0
por lo que se puede afirmar que 9x 3 - 12x 2 - 11x - 2 = 0 (que es igual a cero). Esta es la
ecuación degradada y recordar que a partir de este momento con ella se seguirá trabajando.
Se vuelven a realizar ensayos por división sintética, en donde hay que considerar que x = 2
sí puede volver a ser raíz. Ensayando entonces de nuevo con 2 :


9 x 3 − 12 x 2 − 11x − 2 . El otro factor es el cociente 9 x 2 + 6 x + 1 . Es decir,


9x 3 - 12x 2 - 11x - 2 = (x - 2)(9x 2 + 6x + 1) = 0
por lo que se puede afirmar que 9x 2 + 6x + 1 = 0 (que es igual a cero). Esta es la ecuación

− b ± b 2 − 4ac
2a

x=
x=

−6±

6 2 − 4 (9) (1)
2 (9)

−6±

36 − 36
18

x=

x=
x3 =

−6±0
18
−6+0
18

x3 = −

x4 =

1
3

−6−0
18

x4 = −

1
3

Las cuatro raíces son: x1 = 2 ; x2 = 2 ; x3 = −

1
3

; x4 = −

1
3

Nótese que se trata de un caso de raíces repetidas.
Ejemplo 4:

Localizar las raíces racionales de la ecuación 9x 3 - 24x 2 + 14x - 4 = 0 .

solución:

±1,±2,±4
1
2
4
±
,±
,±
3
3
3

±

1
2
4
,±
,±
9
9
9

(con denominador 1)
(con denominador 3)
(con denominador 9)




9 x 3 − 24 x 2 + 14 x − 4 . El otro factor es el cociente obtenido en la división, el cual es
9 x 2 − 6 x + 2 . Es decir,
9x 3 - 24x 2 + 14x - 4 = (x - 2)(9x 2 - 6x + 2) = 0
por lo que se puede afirmar que 9x 2 - 6x + 2 = 0 (que es igual a cero). Esta es la ecuación

x=
x=

x=

−b±
6±

6±

b 2 − 4ac
2a
6 2 − 4 (9) (2)
2 (9)

− 36
18

Como la raíz cuadrada es negativa, las raíces de la ecuación serán complejas. De manera que
por lo visto en el tema 5 de números complejos, se tiene que:

x=

x=
x=

6±

36
18

6 ± 6i
18
6( 1 ± i
18

x=

1± i
3

x=

1
1
± i
3
3

)

−1


x2 =
x3 =
Las tres raíces son:

1
1
+ i
3
3
1
1
− i
3
3

x1 = 2

x2 =

1
1
+ i
3
3

x3 =

1
1
− i
3
3

Nótese que la primera raíz pertenece al enlistado inicial que se hizo de las posibles raíces,
las otras dos no, ya que son complejas y realmente no se obtuvieron por este método, sino
por la fórmula general. Conviene recordar que este método de raíces racionales solamente
proporciona soluciones en el campo de los números racionales, es decir, reales, pero no complejas.

COTAS
Como se puede ver, el trabajo de calcular las raíces racionales de una ecuación polinomial es
bastante laborioso. Con la intención de reducir un poco ese trabajo, algunos Matemáticos se han
dado a la tarea de investigar la manera de "cercar" lo más posible las raíces, que no es otra cosa
que tratar de eliminar de la lista de posibles raíces las más que se puedan que no lo sean, para
evitar cálculos inútiles. Las cotas son eso.
Encontrar cotas es definir un rango de valores entre los cuales estén todas las raíces reales de
una ecuación polinomial, de tal manera que toda posible raíz que quede afuera de ese rango, automáticamente queda eliminada.
MÉTODO DE LA RAÍZ
Sea la ecuación polinomial f ( x) = a 0 x + a1 x − 1 + ... + a n − 1 x + a n = 0 con a 0 > 0
y sean
k=

Diferencia entre el grado n de la ecuación y el exponente de la máxima potencia
de x que tenga coeficiente negativo.
G = Máximo valor absoluto de los coeficientes negativos de la ecuación f(x).
U = Cota superior.
L=
Cota inferior.


Entonces una cota superior U r es

Ur = 1 +

k

G
a0

La cota inferior se obtiene repitiendo el proceso anterior con la ecuación f(- x) = 0 , donde
también debe cumplirse que a0 > 0 . Si U 'r es la cota superior de f(- x) = 0 , entonces la cota
inferior de f(x) = 0 es L r = - U 'r .
MÉTODO DE LAS FRACCIONES
Se construyen todas las fracciones posibles que tengan por numerador respectivamente el valor
absoluto de cada coeficiente negativo de f(x) = 0 y por denominador la suma de todos los coeficientes positivos que lo preceden. Agréguese 1 a la mayor fracción así obtenida y ésa será cota
superior U f .
La cota inferior se obtiene repitiendo el proceso anterior con la ecuación f(- x) = 0 , donde
también debe cumplirse que a0 > 0 . Si U'f es la cota superior de f(- x) = 0 , entonces la cota inferior de f(x) = 0 es Lf = - U'f .
A veces, pero no siempre, coinciden las cotas obtenidas por un método con las del otro. Cuando
no coinciden deben seleccionarse las mejores cotas.
Ejemplo 1:

Hallar las mejores cotas para la ecuación x 4 - 14x 3 + 51x 2 - 14x - 80 = 0 .

Solución:

Haciéndolo por el método de la raíz:
En este caso se tiene:
f(x) = x 4 - 14x 3 + 51x 2 - 14x - 80
a0 = 1
n=4
k=4-3=1
G = 80
sustituyendo en la fórmula

Ur = 1 +

k

G
a0


Ur = 1 +

80
1

1

U r = 1 + 80
U r = 81
Para obtener la cota inferior, se construye la ecuación f(- x) = 0 , que no es otra cosa que
sustituir la x por - x en la ecuación original. Haciéndolo:
f(- x) = (- x)4 - 14(- x)3 + 51(- x)2 - 14(- x) - 80 = 0
f(- x) = x 4 + 14x 3 + 51x 2 + 14x - 80 = 0
y repitiendo el procedimiento de cota superior, ahora con
a0 = 1
n=4
k=4-0=4
G = 80

U 'r = 1 +

k

U 'r = 1 +

4

G
a0
80
1

U'r = 1 + 2.990697562
U'r = 3.990697562
De modo que la cota inferior para f(x) = 0 es
Lr = - 3.990697562
Haciéndolo ahora por el método de las fracciones. Las fracciones que se pueden construir
tomando como numerador cada coeficiente negativo (en valor absoluto) y como denominador la suma de los coeficientes positivos que le anteceden, son
14
14
80
,
,
1
1 + 51
1 + 51

La mayor fracción así obtenida es

14
.
1


Entonces una cota superior es dicha fracción más uno, es decir
U f = 1 + 14 = 15
U f = 15
f(- x) = (- x)4 - 14(- x)3 + 51(- x)2 - 14(- x) - 80 = 0
f(- x) = x 4 + 14x 3 + 51x 2 + 14x - 80 = 0
y repitiendo el procedimiento de cota superior, se construyen ahora las fracciones
80
80
=
1 + 14 + 51 + 14
80

La mayor fracción así obtenida, por ser la única, es

80
80

. Entonces una cota superior para

f(- x) = 0 es dicha fracción más uno, es decir
U 'f = 1 + 1 = 2
Lr = - 2
Lo que resta es comparar las cotas obtenidas por uno y otro método y seleccionar las mejores.

MÉTODO DE LA RAÍZ


U r = 81

U f = 15

L r = - 3.99069

Lf = - 2

Las mejores cotas son
U = 15
L=-2
lo que significa que las raíces reales de la ecuación x 4 - 14x 3 + 51x 2 - 14x - 80 = 0 están
entre - 2 y 15 .


Ejemplo 2:

Hallar las mejores cotas para la ecuación 2x 5 + x 4 - 11x 3 + 25x 2 - 34x - 8 = 0 .

Solución:

Haciéndolo por el método de la raíz:
En este caso se tiene:
f(x) = 2x 5 + x 4 - 11x 3 + 25x 2 - 34x - 8
a0 = 2
n=5
k=5-3=2
G = 34

Ur = 1 +

k

Ur = 1 +

2

G
a0
34
2

U r = 1 + 4.123105626
U r = 5.123105626
f(- x) = 2(- x)5 + (- x)4 - 11(- x)3 + 25(- x)2 - 34(- x) - 8 = 0
f(- x) = - 2x 5 + x 4 + 11x 3 + 25x 2 + 34x - 8 = 0
Como es necesario que a 0 sea positivo, basta multiplicar por (- 1) toda la ecuación, o lo que
es lo mismo, cambiarle de signo, aplicando la ley uniforme o de las igualdades. Haciéndolo
resulta:
2x 5 - x 4 - 11x 3 - 25x 2 - 34x + 8 = 0
y repitiendo el procedimiento de cota superior, ahora con
a0 = 2
n=5
k=5-4=1
G = 34

U´ = 1 +
r

k

G
a0


U´ = 1 +
r

1

34
2

U'r = 1 + 17
U'r = 18
Lr = - 18
Haciéndolo ahora por el método de las fracciones. Las fracciones que se pueden construir
tomando como numerador cada coeficiente negativo (en valor absoluto) y como denominador la suma de los coeficientes positivos que le anteceden, son

11
34
8
,
,
2 + 1 2 + 1 + 25 2 + 1 + 25

11
3

= 3.666666 .

Entonces una cota superior es dicha fracción más uno, es decir
Uf = 1 + 3.666666 = 4.66666666
Uf = 4.66666666
f(- x) = 2(- x)5 + (- x)4 - 11(- x)3 + 25(- x)2 - 34(- x) - 8 = 0
f(- x) = - 2x 5 + x 4 + 11x 3 + 25x 2 + 34x - 8 = 0
Como es necesario que a 0 sea positivo, basta multiplicar por (- 1) toda la ecuación, o lo que
es lo mismo, cambiarle de signo, aplicando la ley uniforme o de las igualdades. Haciéndolo
resulta:
2x 5 - x 4 - 11x 3 - 25x 2 - 34x + 8 = 0
y repitiendo el procedimiento de cota superior, se construyen ahora las fracciones
1
2

,

11
2

,


25
2
34
2

,

34
2
= 17 .

Entonces una cota superior para f(- x) = 0 es dicha fracción más uno, es decir


U'f = 1 + 17= 18
L r = - 18
Lo que resta es comparar las cotas obtenidas por uno y otro método y seleccionar las mejores.

MÉTODO DE LA RAÍZ


U r = 5.123105626

U f = 4.66666666

L r = - 18

L f = - 18

Las mejores cotas son
U = 4.6666666
L = - 18
que significa que las raíces reales de la ecuación 2x 5 + x 4 - 11x 3 + 25x 2 - 34x - 8 = 0 están
entre - 18 y 4.666666 .

Algunas consideraciones prácticas son:
1) En los ejemplos anteriores, compárense las ecuaciones f(x) = 0 con los resultados obtenidos
al calcular f(- x) = 0 . En la siguiente tabla se muestran:

EN EL PRIMER EJEMPLO

EN EL SEGUNDO EJEMPLO

f ( x)

x 4 - 14x 3 + 51x 2 - 14x - 80 = 0

2x 5 + x 4 - 11x 3 + 25x 2 - 34x - 8 = 0

f( - x )

x 4 + 14x 3 + 51x 2 + 14x - 80 = 0

2x 5 - x 4 - 11x 3 - 25x 2 - 34x + 8 = 0

Se nota que los términos colocados en lugar non, leídos de izquierda a derecha, conservaron
su signo, mientras que los situados en lugar de orden par lo cambiaron. Esa es una regla práctica para obtener f(- x) = 0 .


2) La ecuación f(x) = 0 no tiene raíces positivas si todos los coeficientes son positivos, lo que
implica que todas sus raíces o son cero o son negativas, ya que si alguna fuera positiva, al sustituir en la ecuación se obtendría una suma de términos todos positivos y eso jamás daría cero.
Por una razón similar, la ecuación f(x) = 0 no tiene raíces negativas si los coeficientes son
alternadamente positivos y negativos, lo que implica que todas sus raíces o son cero o son positivas, ya que al hacer f(- x) = 0 , por lo dicho renglones arriba, solo se cambian de signo los
términos colocados en 2º, 4º, 6º, etc., lugares que corresponden justamente a los negativos de

f ( x ) = 0 , volviéndose así todos positivos.

EJERCICIO 21
Encontrar las raíces racionales y/o reales de las siguientes ecuaciones:

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)

2x3 + x2 - 4x - 3 = 0
6x3 + 19x2 - 19x + 4 = 0
6x3 + 17x2 + 4x - 12 = 0
27x3 - 27x2 + 9x - 1 = 0
4x3 + x2 + 9x - 9 = 0
3x3 + 8x2 + 19x + 10 = 0
6x3 - 5x2 + 35x + 6 = 0
2x4 + 3x3 - 3x2 - 7x - 3 = 0
6x4 + 31x3 + 19x2 - 34x + 8 = 0
6x4 + 47x3 + 89x2 + 8x - 60 = 0
16x4 - 8x3 + 33x2 - 63x + 27 = 0
9x4 + 30x3 + 73x2 + 68x + 20 = 0


FACTORIZACIÓN
Pueden utilizarse los teoremas vistos al inicio de este tema y los métodos de resolución de ecuaciones para encontrar la factorización del polinomio f(x) , considerando que si x = c es una raíz
de la ecuación f(x) = 0 , entonces (x - c) es un factor de dicha ecuación.
Únicamente debe tenerse cuidado de que el producto de los primeros términos de cada factor
dé exactamente el primer término del polinomio f(x) . En caso de que no sea así significa que hace
falta agregarle el factor numérico que los iguales. Dicho factor numérico debe "distribuirse" entre
todos aquellos que contengan fracciones para eliminarlas.
Esa diferencia se debe a que originalmente se tiene el polinomio f(x) sin igualar a cero ni a
nada, ya que no tiene por qué estarlo, es simplemente un polinomio, es decir, no es ecuación, y
para encontrar sus factores se iguala arbitrariamente a cero para construir una ecuación que coincida con el polinomio y aplicarle las técnicas y teoremas vistos. El polinomio original f(x) no se
puede multiplicar por ninguna cantidad porque se altera, ya que no está igualado a nada, en cambio
la ecuación f(x) = 0 sí se puede multiplicar aplicando la ley uniforme o ley de las igualdades.
Ejemplo 1:

Factorizar 6x 3 - 29x 2 - 62x + 120 .

Solución:

Nótese que el enunciado no hace referencia a ninguna ecuación, simplemente al polinomio
6x 3 - 29x 2 - 62x + 120 . No es una igualdad, simplemente es una expresión algebraica.
El procedimiento para factorizar es tratar a f(x) como ecuación, es decir, igualándola a cero
y aplicándole todos los conceptos antes vistos.
Así que considérese la ecuación 6x 3 - 29x 2 - 62x + 120 = 0 .
Las cotas son U = 11.33 y L = - 4.42 ; se deja como ejercicio al alumno que las obtenga
aplicando los métodos de la raíz y de las fracciones vistas en las páginas 189 y 190.
Las posibles raíces, considerando las cotas, son:
± 1 ; ± 2 ; ± 3 ; ± 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 10
±

1
2

, ±

3
2

, ±

5
2

, +

15
2

±

1
3

, ±

2
3

, ±

4
3

, ±

5
3

±

1
6

, ±

5
6

, ±

Luego de ensayar con algunos valores se llega a

8
3

, ±

10
3

, +

20
3


La primera raíz de la ecuación es x 1 = 6 .
De la ecuación degradada 6x 2 + 7x - 20 = 0 , se obtiene que

x=
x =
x =

−7±

7 2 − 4 ( 6 )( − 20 )
2 ( 6)

− 7±

49 + 4 80
12

− 7 ± 23
12

x2 =

4
3

x3 = −

5
2

Las raíces de la ecuación son
x1 = 6
x2 =

4
3

x3 = −

5
2

Por el teorema de la raíz, los factores de la ecuación son

(x

4 ⎤ ⎡
5 ⎤
⎡
− 6)⎢ x −
x +
= 0
3 ⎥ ⎢
2 ⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦

que es equivalente a 6x 3 - 29x 2 - 62x + 120 = 0 .
Sin embargo (no son iguales),

4⎤⎡
5⎤
⎡
6 x 3 − 29 x 2 − 62 x + 120 ≠ ( x − 6 ) ⎢ x − ⎥ ⎢ x + ⎥ = 0
3⎦⎣
2⎦
⎣


Puede comprobarse fácilmente que no son iguales ya que si multiplican los primeros términos de los tres factores, se obtiene x 3 , pero no 6x 3 como está en la ecuación equivalente.
Lo mismo puede hacerse con los términos independientes, en donde si se multiplican

(− 6 ) ⎡ −
⎢
⎣

4 ⎤⎡ 5 ⎤
3 ⎥⎢ 2 ⎥
⎦⎣
⎦

no se obtiene + 120 que es el término independiente de la otra expresión.
Debe tenerse mucho cuidado y entenderse que las dos ecuaciones anteriores, la factorizada
y la no factorizada, son equivalentes porque al estar igualadas a cero se puede aplicar la ley
uniforme o de las igualdades "lo que se haga de un lado de una igualdad debe hacerse del
otro lado", de manera que lo que realmente se hizo fue dividir entre seis a la ecuación original factorizada.
Este es el detalle fundamental en el proceso de factorización por este método. El error que
suele cometer el estudiante es afirmar que

⎡ 4⎤⎡ 5⎤
6x3 −29x2 −62x+120=( x−6) ⎢x− ⎥⎢x+ ⎥
⎣ 3⎦⎣ 2⎦
cuando realmente no son iguales ambas expresiones por lo que se acaba de mencionar.
Para que sí sean iguales debe descubrirse qué factor le hace falta al producto de los primeros
términos de la factorización para que dé el primer término de la no factorizada, y agregarlo.
En este caso, lo que hace falta es multiplicar por seis. De manera que
4 ⎤⎡
5 ⎤
⎡
6 x 3 − 29 x 2 − 62 x + 120 = 6 ( x − 6 ) ⎢ x −
x+
3 ⎥⎢
2 ⎥
⎣
⎦⎣
⎦

sí es ya realmente igual, ya que al multiplicar (x)(x)(x) por el seis agregado ahora sí da el

6x 3 original del primer término.
⎡ 4 ⎤⎡ 5 ⎤
Y también al multiplicar ( − 6 ) ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ por el 6 agregado se obtiene + 120.
⎣ 3 ⎦⎣ 2 ⎦
Lo único que resta por hacer es "distribuir" ese seis agregado en los factores que tienen fracción para que desaparezcan. En este caso, ese seis agregado es igual a tres por dos. El tres
es para el segundo factor que tiene un denominador tres, mientras que el dos es para el tercer
factor que tiene un denominador dos, de la siguiente forma:


6 x 3 − 29 x 2 − 62 x + 120 = ( x − 6)(3 x − 4)(2 x + 5)
Esto último es la factorización correcta de la expresión polinomial original. Obsérvese que
la multiplicación de los primeros términos (x)(3x)(2x) sí da ahora 6x 3 , lo mismo que la de
los términos independientes (- 6)(- 4)(5) da 120 . De hecho, puede comprobarse fácilmente
haciendo toda la multiplicación.

FACTORES IRREDUCTIBLES
En este último tema de factorización es conveniente saber que algunos factores de segundo
grado son reductibles y otros no. Reductible significa que se pueden reducir a dos o más por factorización, es decir, que son factorizables.
Los factores de segundo grado que son irreductibles (no reductibles) son aquellos que tratados
como ecuación de segundo grado dan negativa la raíz cuadrada
fórmula conocida x =

−b±

b 2 − 4 ac
2a

b 2 − 4 ac de la correspondiente

.

Por ejemplo, 3x 2 - 2x + 23 es irreductible, ya que tratado con la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado, el radical da negativo. Se deja al alumno que lo practique y lo compruebe.

EJERCICIO 22
Factorizar los siguientes polinomios dentro del campo de los números reales. Si al llegar a la ecuación de segundo
grado la raíz cuadrada resulta negativa, significa que no se puede factorizar dentro de los números reales y ese polinomio de segundo grado es ya un factor.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)

9x3 - 39x2 - 29x - 5
3x3 - 25x2 + 64x - 48
8x3 + 20x2 + 14x + 3
6x3 + 17x2 + 4x - 12
8x3 + 42x2 + 63x + 27
4x3 + x2 + 9x - 9
3x3 + 8x2 + 19x + 10
16x4 - 8x3 + 33x2 - 63x + 27
9x4 - 6x3 + 25x2 + 52x + 20
6x4 + 47x3 + 89x2 + 8x - 60


VECTORES

Un vector es una magnitud fisica que tiene modulo y dirección. Se representa como
un segmento orientado, con una dirección, dibujando de forma similar una
“flecha”.

Ejemplos de vectores.

 Módulo: Valor de un vector que determina el tamaño de este. Es decir, a
mayor valor del vector (módulo) mayor sera su tamaño en una
representación gráfica.
 Sentido: Esta definido según “hacia donde apunte la flecha del vector”. Si
bien existe una relación estrecha entre sentido y dirección de un vector,
poseen significados distintos.
 Dirección: La dirección de un vector esta definido por el ángulo existente
entre las líneas de acción del vector y la línea de referencia. Está última es
determinada en forma arbitraria por quien está desarrollando el análisis
vectorial.


COMPONENTES DE UN VECTOR
Las proyecciones de un vector o tambien llamadas componentes de un vector, son
las proyecciones del vector en los ejes “X” e “Y” del plano cartesiano. Por ejemplo,
como muestra la figura adjunta, el vector v posee dos proyecciones, una en el eje X
(vx) y otra en el eje Y (vy).

Ambas proyecciones se logran proyectando verticalmente el vector v (para poder
obtener vx) y horizontalmente el vector v (para obtener vy).
OPERACIONES CON VECTORES
Suma de vectores: Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como
representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el
extremo origen del otro vector.
 Método del paralelogramo: Consiste en colocar los dos vectores de manera que
los orígenes de ambos coincidan en un punto, así completando un
paralelogramo, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el
extremo del otro. El resultado de la
suma es la diagonal del paralelogramo
que parte del origen común de ambos
vectores.

5


 Método del triángulo: Consiste en disponer un vector a continuación de otro; es
decir, el origen de uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro y luego
se une el origen del primer vector con el extremo del segundo.

Ejemplo:
a = (-2, 5)
a + b = (-2+3, 5-1) = (1,4)
Propiedades de la suma de vectores:
 Asociativa:
 Conmutativa:
 Elemento neutro:
 Elemento opuesto:

b = (3, -1)


Resta de vectores: Para restar vectores libres (a y b) se suma a con el opuesto de b
para formar (a-b).

Método del triángulo

Método del paralelogramo

Ejemplo:
a = (-2, 5)
a – b = (-2-3, 5-(-1)) = (-5, 6)

b = (3, -1)


Coordenadas de un vector: Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:
A (x1, y1)

B(x2, y2)

Las coordenadas del vector AB, son las coordenadas del extremo menos las
coordenadas del origen.
AB = (x2 – x1, y1 – y2)
A (2, 2)

B (5, 7)

AB = (5 – 2, 7 – 2)
AB = (3, 5)

Distancia entre dos puntos: La distancia entre dos puntos es igual al módulo del
vector que tiene de extremos dichos puntos.
A (x1, y1)

B(x2, y2)

Ejemplo:
A (2,1)

B (-3,2)

Producto de vectores: El producto de un número n por un vector u es otro vector:
 De igual dirección que el vector u.
 Del mismo sentido que el vector u si n es positivo.
 De sentido contrario del vector u si n es negativo.


Los componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por n los
componentes de un vector.
u = (u1, u2)
n*(u1,u2) = (n*u1, n*u2)
Ejemplo:
u = (-2, 5)

v = (3, -1)

-u = (2, 5); 3*v = (9,-3)
Propiedades del producto de un número por un vector:
 Asociativa:
 Distributiva respecto a la suma de vectores:
 Distributiva respecto a los escalares:
 Elemento neutro:
Punto medio: Si las coordenadas de los puntos
extremos, A y B, son:
A (x1, y2)

B (x1, y2)

Las coordenadas del punto medio de un segmento
coinciden con la semisuma de las coordenadas de
los puntos extremos.
XM = X1 + X2
2

YM = Y1 + Y2
2


Ejemplo: Las coordenadas del punto medio del segmento AB.
A (3, 9)
XM = 3 -1

B (-1, 5)
YM = 9 + 5

2

2

M = (1, 7)
Condición para que tres puntos estén alineados: Los puntos A (x1, y1), B (x2, y2) y
C (x3, y3) están alineados siempre que los vectores AB y AC tengan la misma
dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales.

Ejemplo: El valor para que los puntos estén alineados será:
A (2, 1)

B (4, 2)

C (6, a)

4-2 = 2–1
6–4

a -2

a=3
Punto simétrico: Si A’ es el simétrico de A respecto de
M, entonces M es el punto medio del segmento AA’. Por
lo que se verificará igualdad:
AM= MA’


Ejemplo: Hallar el punto simétrico A (7,4) respecto de M (3,-11)
AM= MA’
(-4, -15) = (x -3, y + 11)
x – 3 = -4
y + 11 = -15

x = -1
y = -26
A´ = (-1, -26)

PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el
producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Ejemplo:

Expresión analítica del producto del escalar:

Ejemplo:


Expresión analítica del módulo de un vector:

Ejemplo:

Expresión analítica del ángulo de dos vectores:

Ejemplo:

Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores:

Ejemplo:

No son perpendiculares.


Interpretación geométrica del producto escalar: El producto de dos vectores no
nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Ejemplo: Hallar la proyección del vector u = (2, 1) sobre el vector v = (-3, 4)

Propiedades del producto escalar:
 Conmutativa:
 Asociativa:
 Distributiva:
 Producto escalar de un vector (no nulo) por si mismo siempre es positivo:


PRODUCTO VECTORIAL O CRUZ
El producto vectorial es una operación binaria
entre dos vectores de un espacio euclídeo
tridimensional, que da como resultado un vector
ortogonal a los dos vectores originales. También se
les denomina producto cruz (pues se lo denota
mediante el símbolo ×) o producto externo (pues
está relacionado con el producto exterior).
Definición: Sean a y b dos vectores en el espacio vectorial

. El producto vectorial

entre a y b da como resultado un nuevo vector c. Para definir este nuevo vector es
necesario especificar su módulo y dirección:


El modulo de c esta dado por:
donde



es el ángulo determinado por los vectores a y b.

La dirección del vector c, que es ortogonal a, a y ortogonal a b.

El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama
también producto cruz.
El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente
manera:

Donde

es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y es, como antes, el

ángulo entre a y b.

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