03-PDE-parabolic-PDF

03-PDE (Parabolic)
‫جسئی‬ ‫دیفراوسیل‬ ٍ‫معادل‬
‫سُمًی‬
Farlow
‫بیگلری‬-‫مکانیک‬-‫تبریز‬
1

ٍ‫خالص‬
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
2
•
•
•
•

‫درس‬1-‫ريشُای‬‫حل‬PDE
•
•
3

4

5

‫اوًاع‬PDE
•
6

•
•
•
•
•
•
7

•
•
8

‫درس‬2-PDE‫سُمًی‬-‫مسائل‬‫از‬‫وًع‬‫وفًر‬
•
•
•
9

‫مذل‬‫ریاضی‬ٌ‫پذیذ‬‫وفًر‬
•
•
•
•

•
10

•
•
•
•
11
0 0
0 0
xx t
xx t
u u
u u
  
  
2
: 0 , 0t xxPDE u u x L t     

•
•
•
•
12

•
•

•
13

•
•
14

‫اوًاع‬‫معادالت‬PDE‫در‬‫اوتقال‬‫حرارت‬
 
152
( , )t xxu u f x t 

16

17

‫درس‬3-‫اوًاع‬‫شرایط‬‫مرزی‬‫در‬‫مسائل‬‫وفًر‬
•
18

•
•
•
•
•
20

ٍ‫ومًو‬‫ای‬‫از‬‫شرایط‬‫مرزی‬‫ياقعی‬
•

•
25

‫حالت‬‫دي‬‫بعذی‬
•
•
27

‫درس‬5-‫جذاسازی‬‫متغیرَا‬
•
   
36

•
•
•
37

•
•
•
38

•
•
•
•
39
1 1
( ) ( )n n n n n
n n
u A u A X x T t
 
 
  

•
•
•
40
2
2
' 0 ( ) k t
T k T T t Ae 
   

•
•

•
41
   
2 2
( )
( ) sin cos
t
T t Ce
X t A x B x
 
 


 
    
2 2
( , ) sin cost
u x t e A x B x 
 
 

•
•
•
•
•
•
42

•
•
43

•
•
•
•
44
2 1 1
2
0 0
4 4
( )sin( ) ( )sin( )
2
T T
nA x n x dx x n x dx
T
   
 
  

•
•


45
 
 
   
2
1
1
0
( , ) sin
2 sin
n t
n
n
n
u x t A e n x
A x n x dx


 










46

‫تمرین‬‫درس‬5
47

‫یادآيری‬‫سری‬ٍ‫فًری‬
•
48

•
•
49

‫درس‬6-‫تبذیل‬‫شرایط‬‫مرزی‬‫واَمگه‬ٍ‫ب‬‫َمگه‬
•
•
•
50

•
•
•
51
2
1 1 1
2 2 2
: 0 , 0
(0, ) (0, ) ( )
:
( , ) ( , ) ( )
: ( ,0) ( )
t xx
x
x
PDE u u x L t
u t u t g t
BCs
u L t u L t g t
IC u x x

 
 

     
 

 


•
•
52
   
2
1
2
2 1 1
: 0
(0)
:
( )
xxPDE u
u k
BCs
u L k
x
u x k k k
L




  

•
•
53

•
•
54
 
2
1
, sin
n
t
L
n
n
n x
U x t a e
L

 
   
 

 
  
 


•
•
•
55

•
•
•
•
56

•
•
•
•
57
     1 20 , 0, ( ) , , , ( )xx xS S t g t S L t hS L t g t   

‫وکات‬
58

59

‫درس‬7-‫حل‬‫مسایل‬ٌ‫پیچیذ‬‫تر‬‫تًسط‬‫ريش‬‫جذاسازی‬‫متغیرَا‬
•
60
   1, (1, ) 0 (1, )xu t h u t hu t    

•
•
•
61

•

62
2
2
' 0 ( ) t
T T T t Ae 
   

 

•
63
 
   
2
2 2
2
' 0 ( )
0 ( ) sin cos
t
T T T t Ce
X X X x A x B x

 
  
    
 
     
   
    
2
, sin cos
t
u x t e A x B x

 
 
 
   
 
   
 
2
2 2
0, 0 0 0
1, 1, 0 cos sin 0
cos sin 0 tan /
t
t t
x
u t Be B
u t hu t A e hAe
A h h

 
  
    

 
    
 
     
     

•
•
•
•
64

•

•
•
65

•
•
•
•
66
 
 
2
( , ) ( ) ( ) sinn t
n n n nu x t X x T t e x
 

 

•
•
•
67
   
   
2 2
2
1
( ) ( ) ( ) 0
1
, ,
b b
n n n n n na a
n n
p x y q x r x y
f x a y a rf x y dx y ry dx
y



   
    
     
 
1
1 12 2
0 0
0
1 1 1
sin 1 cos 2 sin 2
2 2 2
sin cos1 1
1 sin 2
2 2 2
n n n n
n
n n n
n
n n
X d d        

  

 
 
        
 
  
   
 
 

•
•
68
 
1
0
1
2
0
2
2
sin
sin cos
2 cos( ) sin( )
sin cos
2 sin cos sin cos2
sin cos sin cos
n
n n
n n n
n n n
n n n n n
n n n n n n n
n n n n n n n n
a x x dx
x x
x


  
  
    
      
       


 
   
  
 
 
 


•
69
   
     
2
4 24 63.3
0 1 0 1
(0, ) 0
1, 1, 0 0
( ,0) 0 1
( , ) 0.24 sin 2.02 0.22 sin 4.91 0.03 sin 7.98 ...
t xx
x
t t t
PDE u u x t
u t
BCs
u t u t t
ICs u x x x
u x t e x e x e x

  
      


    
  
   

‫وکات‬
•
•
•
70

 
71

‫درس‬8-‫تبذیل‬‫معادالت‬‫سخت‬ٍ‫ب‬‫معادالت‬ٌ‫ساد‬‫تر‬
•
•
•
•
72

•

73

•
•
•



74
   
   ,
,0
t t
u u
u x t x e
u x x





 
 


•
•
75
 
 
 
 
 
 
 
           xtxwxtxwexxuIC
tw
tw
twe
twe
tu
tu
BCs
ww
weweweweuuuPDE
t
t
xxt
t
xx
t
t
tt
xxt
































,,0,:
0,1
0,0
0,1
0,0
0,1
0,0
:
:
0
2
22

•
76

•
•
77

•
78
 
2 22
( , ) ,
v vt
x
u x t e w x t
 
 
 


•
•
79

‫درس‬9-‫حل‬PDE‫غیرَمگه‬-‫بسط‬‫تًابع‬ٌ‫يیژ‬
•
•
•
80

•
•
•
•
81

•
•
82

•
•
•
•
83

•
•
•
•
84

•
•
•
85
       
       
     
22
1 1 1
1 1
1
: ( )sin( ) ( )sin sin
: sin 0 0 , sin 0
: 0 sin
n n n
n n n
n n
n n
n
PDE T t n x n T t n x f t n x
BCs T t T t n
IC T n x x
    

 
  
  
 
 


   
 

  
 


•
•
•
•
86
       
 
   
  
2 2
2 2
0
0
tn t n t
n n n
tn t n
n n
T t a e e f d
e a e f d
  
  
 
 
  

 
 


   
pdt pdt
y t e C h t e dt
     
 

•
•
87

‫مثال‬
•
•
•
88

•
•
89

‫وکات‬
90

‫درس‬10-‫تبذیل‬ٍ‫فًری‬‫سیىًسی‬‫یا‬‫کسیىًسی‬
•
•
•
•
91

•
•
92

•
•
93

94

‫تحقیق‬
•
•
95

‫طیف‬‫یک‬‫تابع‬-spectrum
•
•
•
96

•
•
•
97

•
•
•
•
98

• 
•

•
99

•
•
•
•
•
100
   
        
0
0 0
2
cos
2 2
cos sin 0
C
S
F f f x dx
f x f x dx f F f


   
 



 
    



•
•
•
•
101

•
•
•
•
•
102

•
•
•
103
 
2
2 2
2 2
1
1 1
2
2 1
erfc , 0
2
2 2 1
1 erfc
2
aw
S
tw
w t
S S
e x
F a
w a
A e x
F e AF A
w w t



  



  
    
           
     
                 

•
104

‫درس‬11-‫سری‬ٍ‫فًری‬‫ي‬‫تبذیل‬ٍ‫فًری‬
• 
•
•
•
105

•
•
•
106

•
•
•
•
•
107

•
•
•
•
 
108

‫طیف‬‫فرکاوسی‬ٍ‫گسست‬‫یک‬‫تابع‬‫متىايب‬
•
•
109  0
0
2
, , 0
2
n n
aL
c c c
n
  
‫توالی‬{cn}‫با‬‫مختلف‬‫رنگهای‬‫به‬‫سفید‬‫نور‬‫تجزیه‬‫شبیه‬
‫است‬‫مختلف‬‫فرکانسهای‬

‫اوتگرال‬ٍ‫فًری‬-‫تبذیل‬ٍ‫فًری‬
• 
•
•
110

• 
•
•
•
111

112

•
•
• 
•
113

•
•
114


 
 
115
 f x dx M




‫درس‬12-‫تبذیل‬ٍ‫فًری‬‫ي‬‫کاربرد‬‫آن‬‫در‬PDE
•
•
  
116

•

•
•
•

117

•
•
•
•
•
118

•
•
•
•
119

•
•
•
•
120

•
•
121
       1 1
* *F F f F g F F f g f g 
 

‫حل‬ٍ‫مسال‬‫مقذار‬ٍ‫ايلی‬IVP‫با‬‫تبذیل‬ٍ‫فًری‬
•
•
•
122

•
•
•
•
123

•

•

124
222
2
41
2
1 xaa
ee
a
F 










 

125

•
  
•
•

126
( ) , ( ) , ( ) sinx
f x cte f x e f x x  

‫درس‬13-‫تبذیل‬‫الپالس‬
•
•
•
•
•
127

‫خًاص‬‫تبذیل‬‫الپالس‬
•
•
•
128

‫شرایط‬‫الزم‬‫برای‬‫يجًد‬‫تبذیل‬‫الپالس‬
 
129

130

131
2 1
( ) ( ) ( 1)
2
at t
L e f t F S a L e
S
        

•
•
•
132
 1 1
( )
2
c i
st
c i
L F F s s ds
i
 

 
 

•
133


134

135

‫اوتقال‬‫حرارت‬‫در‬‫یک‬‫محیط‬ٍ‫ویم‬‫بیىُایت‬
•
136

•
•
•
•
137

•

•
138
 
0
2
1
u
c
s s




•
•
139

•
•
140

‫درس‬14-‫اصل‬Duhamel
•
•
141

•
•
142

•‫حال‬‫از‬‫ابعي‬‫ر‬‫زیر‬‫استفادى‬‫میکویم‬:
143

•
•
•
•
144
 tsW L w

‫اَمیت‬‫اصل‬Duhamel
•
•
•
145

‫وکات‬
•
•
146

•
•
•
147
 ( ) 1L t 

‫درس‬15-‫ترم‬‫َمرفت‬(‫ريش‬‫تغییر‬‫متغیر‬)
•
•
•
148

•
149

•‫با‬‫ی‬‫جایگذار‬‫این‬‫دو‬‫ابعي‬‫ر‬‫در‬‫اصل‬‫بكاء‬،‫جرم‬‫مػادلي‬‫زیر‬‫حاصل‬‫میصٍد‬:
•‫ای‬‫ر‬‫ب‬‫سی‬‫ر‬‫بر‬‫بٌتر‬،‫حل‬‫ابتدا‬‫اثر‬‫ًمرفت‬‫ا‬‫ر‬‫بي‬‫ی‬‫توٌای‬‫د‬‫ر‬ٍ‫م‬‫سی‬‫ر‬‫بر‬‫ار‬‫ر‬‫ل‬‫میدًیم‬.‫در‬‫این‬‫حالت‬‫مسالي‬
‫بي‬‫فرم‬‫زیر‬‫است‬:
•‫اکوٍن‬‫مسالي‬‫ًماهود‬‫دخاهي‬‫و‬‫ر‬‫یا‬‫هٍار‬‫هكالي‬‫ای‬‫است‬‫کي‬‫در‬‫هكعي‬x=0‫در‬‫ن‬‫ا‬‫مادى‬‫ت‬‫ر‬ٍ‫بص‬‫ثابت‬
‫ریختي‬‫میصٍد‬.
•‫بدیٌی‬‫است‬‫کي‬‫با‬‫اضافي‬‫کردن‬‫مٍاد‬‫بي‬‫دخاهي‬‫و‬‫ر‬‫یا‬،‫هكالي‬‫این‬‫مٍاد‬‫با‬‫سرغت‬V‫بي‬‫سمت‬‫پایین‬
‫دست‬‫دخاهي‬‫و‬‫ر‬‫یا‬‫هكالي‬‫حرکت‬‫خٍاًد‬‫کرد‬.
150

•‫مسالي‬‫ا‬‫ر‬‫چٍن‬‫ای‬‫ر‬‫دا‬PDE‫و‬BC‫ًمگن‬‫و‬‫خعی‬،‫است‬‫میتٍان‬‫از‬‫ش‬‫و‬‫ر‬‫ی‬‫جداساز‬‫متغیرًا‬‫یا‬
‫تبدیل‬‫الی‬‫ر‬‫اهتگ‬‫حل‬‫همٍد‬.
•‫البتي‬‫چٍن‬‫داموي‬x‫هامحدود‬،‫است‬‫از‬‫ش‬‫و‬‫ر‬‫ی‬‫جداساز‬‫متغیرًا‬‫همیتٍان‬‫پیش‬‫رفت‬.
•‫ای‬‫ر‬‫ب‬‫حل‬‫از‬‫تبدیل‬‫الپالس‬‫هسبت‬‫بي‬‫متغیر‬t‫بٌرى‬‫میبریم‬:
•‫کي‬‫در‬‫ن‬‫ا‬U‫تبدیل‬‫الپالس‬u‫است‬.
•‫حل‬‫مسالي‬‫مكدار‬‫اولیي‬‫باال‬‫ت‬‫ر‬ٍ‫بص‬‫زیر‬‫است‬:
151

•‫حال‬‫باید‬‫تبدیل‬‫الپالس‬‫مػکٍس‬‫گرفت‬.‫ظبق‬‫لضیي‬،‫اهتكال‬‫تبدیل‬‫مػکٍس‬‫ت‬‫ر‬ٍ‫بص‬‫زیر‬‫است‬:
‫لضیي‬‫اهتكال‬‫در‬‫فضای‬‫الپالس‬:
•‫کي‬H‫تابع‬‫پلي‬(Heaviside)‫است‬:
•‫این‬‫ر‬‫بواب‬‫حل‬‫بفرم‬‫زیر‬‫است‬:
152
 1
( ) ( )as
L e F S f t a H t a 
     

•‫حل‬‫مسالي‬‫فكط‬‫بر‬‫اثر‬‫ًمرفت‬‫سادى‬‫بٍدو‬‫احتی‬‫ر‬‫ب‬‫حل‬‫ضد‬.‫حال‬‫پدیدى‬‫هفٍذ‬‫هیز‬‫بي‬‫مسالي‬‫اضافي‬
‫میصٍد‬.
•‫ای‬‫ر‬‫ب‬‫سی‬‫ر‬‫بر‬‫اثر‬‫مٍج‬،‫هفٍذ‬‫مسالي‬‫زیر‬‫ا‬‫ر‬‫در‬‫محیط‬‫بیوٌایت‬‫سی‬‫ر‬‫بر‬‫میکویم‬:
•‫ضرط‬‫اولیي‬‫مسالي‬‫ت‬‫ر‬ٍ‫بص‬‫زیر‬‫است‬:
•‫ای‬‫ر‬‫ب‬‫حل‬‫مسالي‬‫باال‬‫میتٍان‬‫از‬‫تبدیل‬‫الپالس‬‫یا‬‫یي‬‫ر‬ٍ‫ف‬‫بٌرى‬‫گرفت‬.
•‫اى‬‫ر‬‫حل‬‫جالب‬‫دیگر‬‫ن‬‫ا‬‫است‬‫کي‬‫بجای‬‫سی‬‫ر‬‫بر‬‫مسالي‬‫در‬‫مختصات‬‫ثابت‬x،‫در‬‫مختصات‬‫متحرک‬
‫کي‬‫در‬‫استای‬‫ر‬x‫با‬‫سرغت‬V‫حرکت‬،‫میکود‬‫سی‬‫ر‬‫بر‬‫ضٍد‬.
153

•‫لذا‬‫بجای‬‫هصستن‬‫در‬‫کوار‬،‫دخاهي‬‫و‬‫ر‬‫داخل‬‫دخاهي‬‫و‬‫ر‬‫ار‬‫ر‬‫ل‬‫گرفتي‬‫و‬‫با‬‫ن‬‫ا‬‫حرکت‬،‫کردى‬‫پدیدى‬
‫هفٍذ‬‫ا‬‫ر‬‫سی‬‫ر‬‫بر‬‫میکویم‬.
•‫در‬‫والع‬‫بر‬‫ی‬‫و‬‫ر‬‫پیصاهی‬‫مٍج‬‫هفٍذ‬‫ار‬‫ر‬‫ل‬‫میگیریم‬.
•‫لذا‬‫از‬‫هظر‬،‫ریاضی‬‫ًدف‬‫تبدیل‬‫مسالي‬IVP‫از‬‫مختصات‬(x,t)‫بي‬‫مختصات‬(,)‫و‬
‫مجددا‬‫بازگصت‬‫بي‬‫مختصات‬(x,t)‫است‬.‫بي‬‫این‬،‫ش‬‫و‬‫ر‬‫ش‬‫و‬‫ر‬‫تغییر‬‫متغیر‬‫مستكل‬
(change of variable)‫گٍیود‬:
154

•‫تغییر‬‫مختصات‬‫تٍسط‬‫همٍدار‬‫تابػی‬fundamental diagram‫لابل‬‫سی‬‫ر‬‫بر‬‫است‬.
•‫با‬‫تغییر‬‫متغیر‬،‫جدید‬‫مػادلي‬PDE‫بفرم‬‫زیر‬
‫میصٍد‬:
•‫لذا‬‫مسالي‬‫در‬‫مختصات‬‫جدید‬‫بفرم‬‫است‬:
•‫تٍجي‬:‫در‬‫زمان‬‫صفر‬‫داریم‬:
•‫یػوی‬‫اگر‬‫بر‬‫پیصاهی‬‫کٍج‬،‫بوصیویم‬‫فكط‬‫مسالي‬‫هفٍذ‬‫دیدى‬‫میصٍد‬.
155
0t
x Vt x 

   

•‫این‬‫مسالي‬‫لبال‬‫تٍسط‬‫تبدیل‬‫یي‬‫ر‬ٍ‫ف‬‫در‬‫درس‬12‫حل‬‫ضدى‬‫است‬:
•‫کي‬‫تابع‬‫تابع‬‫ایط‬‫ر‬‫ض‬‫اولیي‬‫بٍد‬.‫لذا‬‫با‬‫ی‬‫جایگذار‬‫ایط‬‫ر‬‫ض‬‫اولیي‬،‫مسالي‬‫داریم‬:
•‫با‬‫تغییر‬‫متغیر‬‫زیر‬:
•‫ال‬‫ر‬‫اهتگ‬‫لابل‬‫حل‬‫است‬:
156

•‫حل‬‫در‬‫ضکل‬‫زیر‬‫هصان‬‫دادى‬‫ضدى‬‫است‬.‫یػوی‬‫پدیدى‬،‫هفٍذ‬‫پیصاهی‬‫مٍج‬‫ا‬‫ر‬‫کود‬‫میکود‬.
•‫تي‬‫هک‬:
•‫حال‬‫حل‬‫ا‬‫ر‬‫بي‬‫مختصات‬(x,t)‫بر‬‫میگرداهیم‬:
•‫تفسیر‬‫حل‬.‫تمرین‬‫درس‬15
157
  1,
2
u     

03-PDE-parabolic-PDF

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

En vedette

En vedette (20)

03-PDE-parabolic-PDF