Este documento presenta un modelo de tercer orden de homotopia para caracterizar la solución de la ecuación diferencial algebraica que describe el comportamiento del memristor. Se obtiene una solución preliminar en forma cerrada y se analizan las características de la solución y su comportamiento bajo diferentes parámetros. El modelo propuesto es útil para entender la naturaleza dinámica del memristor excepto en algunas regiones críticas identificadas.

1. Modelo de homotopia de orden 3 para el
memrristor- Caracterización de una solución de
tercer orden de homotopia de la ecuación
diferencial algebraica del memrristor.
Fuentes Castillo Héctor Alberto, Instituto
Politécnico Nacional - Unidad Profesional
Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnología
Avanzadas, fuenteshect@gmail.com. Asesor: Dr.
Alejandro Díaz Sánchez y Dr. Arturo Sarmiento
Reyes, Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y
Electrónica Puebla jarocho@inaoep.mx,
adiazs@inaoep.mx
Introducción
En 1971 el Prof. León O. Chua introdujo por primera
vez el memrristor [1], como el cuarto elemento
básico pasivo; finalmente en 2008 fue descubierto
dentro de HP Labs y a partir de entonces ha
comenzado un gran auge de su estudio, en virtud de
sus posibles aplicaciones en electrónica. El
memrristor completa el esquema de relaciones de
rama entre las cuatro variables eléctricas (fig. 1):
voltaje, corriente, carga y flujo. Posteriormente Chua
describió una familia de sistemas dinámicos
denominados sistemas memrristivos, de los cuales el
memrristor es un caso particular.
El memristor se entiende como todo dispositivo que
establezca una relación de rama entre las variables
eléctricas flujo y carga, esta relación de rama puede
o no ser lineal, dentro de las posibles relaciones que
se pudieran dar, existen algunas de interés especial,
y estas son aquellas que sean inyectivas para al
menos una de las variables eléctricas, esta condición
establece la forma de control del dispositivo por una
o ambas variables eléctricas, es decir si el flujo Φ es
funcion de carga se dice que el dispositivo es
controlado por carga[4]. Analogamente ocurre con
los casos controlados por flujo.
Asumiendo un memrristor controlado por carga
tendríamos una expresión de la forma:
(1)
Donde fm(q) es función de la carga; luego es posible
obtener una expresión para el potencial
diferenciando con respecto al tiempo.
(1.1)
O de forma equivalente haciendo
Y sustituyendo en (1)
(2)
Donde u es el voltaje e i (t) es la corriente, de donde
se puede apreciar que se trata de un dispositivo
controlado por corriente, llamaremos a M (q)
memrristancia en lo sucesivo.
El modelo físico en el que se basó el trabajo, es el
proporcionado por HP en su artículo publicado en
Nature[2], dado que no existían sistemas prácticos
con las propiedades de memrristancia no lineal, por
ello se emplearon los parámetros de fabricación
logrados por HP para el memrristor. El modelo físico
consiste de una película de semiconductor de
espesor D con un par de terminales en los extremos,
dentro de la película existen dos regiones
diferenciadas por el dopado del semiconductor, una
con dopado de iones asumidos como positivos, y
otra con muy pobre dopado como se muestra a
continuación:

2. La longitud w denota la región dopada, al ser
polarizado por un voltaje causara un campo eléctrico
uniforme bajo el cual los dopantes entraran en
movimiento de deriva iónica lineal, causando que la
frontera establecida a una distancia w se mueva.
Obteniendo para dopantes de movilidad promedio
μV la siguiente expresión considerando resistores
en serie según [2].
(3)
Y para la deriva iónica lineal se tiene:
(4)
De donde se deduce:
(5)
Y al sustituir esta última expresión en v (t)
obtenemos la expresión de memrristancia de este
modelo físico que se simplifica dejando asumiendo
que Ron <<R off:
(6)
Aquí es donde la ventaja de modelos nanométricos
resulta evidente pues se puede notar que la
memrristancia se ve ampliamente beneficiada por
espesores D mucho más pequeños.
En las expresiones antes descritas la variable de
estado inicial w está limitada a valores entre 0 y D,
sin embargo es de especial utilidad emplear una
normalización bajo la cual se establecen los
siguientes parámetros:
La variable w está limitada en un rango de [0, D],
podemos cambiar esta variable por y*D y dejando
únicamente que el rango sea [0,1], además
introducimos la función de ventana fw (y), como
coeficiente del segundo miembro obtenemos la
ecuación diferencial algebraica correspondiente a la
coordenada y (t) de la frontera entre las regiones
dopada y no dopada. La función de ventana debe ser
introducida, como se reportó en [3], debido a que
pequeños voltajes en películas delgadas producen
enormes campos eléctricos de provocando así un
comportamiento no lineal en la velocidad e
transporte de los iones dopantes. La función de
ventana fw aquí propuesta tiene la forma de un
polinomio de grado tres sin término independiente:
(7)
Finalmente remplazando D por Δ tenemos la
siguiente ecuacion algebraica diferencial:
(8)
Con valor inicial y(0)=Xo
Esta ecuación diferencial no lineal fue resuelta
utilizando el método conocido como perturbación
de homotopia (HPM por sus siglas en inglés) el
método introduce un parámetro p cuyo rango esta
entre cero y uno.
Para el método de perturbación de homotopia una
ecuación diferencial no lineal puede ser expresada
de la siguiente forma [5]:

3. (9)
Donde L y N son los operadores lineal y no lineal, y
f(r) es una función analítica conocida.
La formulación de homotopia puede entonces
establecerse como:
(10)
Don de u es la aproximación de la solución de H(u, p)
y p es conocido como el parámetro de perturbación
de homotopia.
La solución de (10) puede ser vista en serie de
potencias como:
(11)
Luego el modelo que hemos obtenido puede ser
sustituido en la formulación de homotopia.
(12)
De la siguiente forma:
(13)
A partir de donde se sigue el proceso de homotopia
y cuyo criterio u orden es el número de términos a
tomar, para este trabajo se empleó una solución de
orden tres, que se presenta en la siguiente sección.
Solución preliminar de la ecuación diferencial
algebraica
Posteriormente empleando métodos numérico -
simbólicos de homotopia fue posible hallar una
solución preliminar de esta expresión de forma
cerrada, para homotopia de orden tres, la solución
fue la siguiente:
(14)
Donde la corriente de excitación fue:
(15)
Y con cambios en las siguientes variables:
Y (16)
La funcionalidad de esta posible solución, sus
características así como las repuestas presentadas
por el modelo propuesto a distintos valores de la
variable de estado Xo (valor inicial), Ap: amplitud de
la señal de excitación y a1: coeficiente del polinomio
utilizado como función ventana fueron analizados.
Análisis inicial de la solución
Dada la forma de la solución, como una suma de
términos que son coeficientes de cosenos
justamente en la frecuencia base, y el resto con
frecuencias de múltiplos enteros de la frecuencia
fundamental así como una componente
aparentemente fija en frecuencia. El análisis se
realizó con ayuda de la paquetería de software
MAPLE, por brevedad solo se han incluido aquellas
gráficas de los coeficientes contra los parámetros
más relevantes.

4. Primero mostramos un gráfico de la solución
completa, contra la frecuencia y el tiempo,
manteniendo la variable de estado inicial Xo
constante e igual a 0.1.
Como primera referencia podemos observar que la
expresión de “componente en DC”, esta ha sido
graficada contra la variación de la frecuencia
trabajando con una condición inicial variable Xo en
un rango [0,1] y la frecuencia tomando valores de 0
hasta 10 y tomando el resto de parámetros de los
reportes de HP Labs (anexos):
La grafica anterior muestra el comportamiento
únicamente de la componente de frecuencia cero
contra frecuencia y contra la variable de estado. Para
el análisis de los componentes armónicos se dejaron
fuera los factores coseno para enfocarnos
únicamente en el comportamiento de sus
coeficientes contra los parámetros Xo y ω con el fin
de facilitar la interpretación dada la naturaleza de la
función coseno.
H1 ->
H2 ->

5. H3 ->
Análisis de la memrristancia obtenida
A partir de la solución obtenida para y(t), fue posible
obtener una expresión correspondiente para la
memrristancia. Dada por:
(Yt=Y(t))
De acuerdo con la ecuación (3), posterior a ello se
agruparon nuevamente los términos de manera
análoga a como se hizo con la función Y(t) y con dicha
expresión ordenada se realizaron gráficas
correspondientes a los armónicos que se muestran a
continuación igualmente contra frecuencia y contra
la variable de estado Xo.
H0 ->
H1 ->

6. H2 ->
H3 ->
Curvas voltaje - corriente
Una vez revisados los coeficientes se trabajó con las
expresiones resultantes para las curvas de voltaje –
corriente, donde se observaron lazos de histéresis,
con una tendencia a colapsar al incrementar la
frecuencia, aquí mostramos una gráfica
concentradora de dichos lazos para distintas
frecuencias; con una variable de estado Xo=0.1, y el
resto de parámetros con los valores que se han
venido trabajando:
Como se mencionó antes, bajo este modelo los lazos
tienden a contraerse en rectas al incrementar la
frecuencia.
También fueron obtenidas para este mismo grupo de
frecuencias las curvas memrristancia-voltaje y
memrristancia-corriente que se muestran a
continuación:

7. Posteriormente la solución fue considerada para
obtener las curvas ahora bajo frecuencia constante,
haciendo variar otros parámetros, por brevedad
solo se incluyen aquellas en las que el modelo
presento comportamientos interesantes, por
ejemplo al obtener las curvas de voltaje –corriente
se observaron comportamientos interesantes dentro
de dos rangos de valores para Xo. El primer es
(0.1,0.3), en donde la curva abandona el primer y
tercer cuadrante característicos de los elementos
pasivos. Mostramos a continuación un gráfico en
este rango.
Otro rango limitante encontrado fue en valores
pertenecientes al rango [0.45, 0.65], donde se
presenta un comportamiento de contracción de los
lazos de histéresis llegando incluso a ser curvas
multi-valuadas. Por ejemplo:
Las curvas de memrristancia evidentemente
muestran efectos de memrristancia negativa y multi-
valuada en estos rangos.

8. Otras regiones críticas ocurren también al modificar
otros parámetros de fabricación, pero antes
mostraremos el rango de amplitud [1/25000,
1/12500] de la señal de excitación para el cual el
modelo también presenta problemas.
Al variar Ron hallamos problemas para valores
superiores a 100 Ω y para valores de a1 mayores a 3.
Sin embargo es importante notar que estas
singularidades solo ocurren al emplear frecuencias
bajas, en este caso a frecuencias superiores a 2 rad/s
el modelo no presentó regiones críticas.
Conclusiones generales
Los elementos memrristivos introducidos por Chua,
establecen sin duda un nuevo desarrollo dentro de la
electrónica púes, dentro de las aplicaciones
potenciales se encuentran un sin fin de productos y
tecnologías, que incluyen memorias semi-vólatiles,
redes de aprendizaje asi como toda una nueva
familia de circuitos y sistemas electrónicos. La
caracterización de la soluciones mejora el
entendimiento de la naturaleza dinámica del
memristor, con el propósito de darle usos
adecuados. El análisis ha arrojado características del
comportamiento del dispositivo, para múltiples
frecuencias, además de caracterizar su
comportamiento bajo distintas condiciones iniciales
y parámetros de fabricación, como se muestra en la
última sección aún quedan problemas abiertos, sin
embargo podemos afirmar que el modelo aquí
presentado resulta útil fuera de estas singularidades
y como un marco de referencia para futuras
propuestas de modelos de memrristor.

9. [1] CHUA, L.O. Memristor – the missing circuit
element. IEEE Trans. Circuit Theory, 1971, vol. CT-18,
no. 5, p. 507 – 519.
[2] DMITRI B. STRUKOV, GREGORY S. SNIDER,
DUNCAN R. STEWART & R. STANLEY WILLIAMS- The
missing memristor found. Nature Magazine, Vol
453| 1 May 2008| doi:10.1038/nature06932.
[3] Z. BIOLEK, D. BIOLEK, V. BIOLKOVÁ - spice model
of memristor with nonlinear dopant drift.
Radioengineering, vol. 18, no. 2, june 2009.
[4] SANGHO SHIN, MEMBER, KYUNGMIN KIM AND
SUNG-MO KANG.- Compact Models for Memristors
Based on charge–Flux Constitutive Relationships.
IEEE transactions on computer-aided design of
integrated circuits and systems, vol. 29, no. 4, april
2010.
[5] CARLOS HERNÁNDEZ MEJÍA, ARTURO
SARMIENTO REYES, HÉCTOR VÁZQUEZ-LEAL.-
Existence of Multiple Operating Points in Memristive
Circuits. Circuits and Systems (LASCAS), 2012 IEEE
Third Latin American Symposium on Circuits and
Systems.
Anexo. Parámetros físicos del memrristor reportados
en [2]: