Notes for a Seminar Talk in Mainz

1. Dimension und Multiplizit¨at
Heinrich Hartmann
Juni 2006
Generalvorraussetzungen. Im gesamten Vortrag bezeichne k einen K¨orper der Charakteristik
0.Es sei k[x1, . . . , xn] der Polynomring und An(k) = k < x1, . . . , xn, ∂1, . . . , ∂n > die Weil Algebra
in n Variablen mit der kanonischen Filtration Ti = k <xα∂β | |α| + |β| ≤ i>
Definition 1. Eine graduierte k-Algebra ist ein Ring S zusammen mit einer Zerlegung S =
∞
i=0 Si als (additive) ablsche Gruppe, mit:
∀ s ∈ Si, t ∈ Sj st ∈ Si+j
Eine graduierter Modul ¨uber S ist ein S-Modul M zusammen mit einer Zerlegung M = ∞
i=0 Mi
als ablsche Gruppe, mit:
∀ s ∈ Si, m ∈ Mj sm ∈ Si+j
Beispiel 2. k[x1, . . . , xn] = ∞
i=0 k < xν | |ν| = i > ist ein graduierte k-Algebra.
Satz 3. Sei M = ∞
i=0 Mi eine endlicher graduierter k[x1, . . . , xn]-Modul. Dann existiert ein
Polynom P ∈ Q[X] so, dass
i
j=0
dimk(Mj) = P(i)
f¨ur alle i >> 0.
Beweis. Induktion nach n, der Anzahl der Variablen xi. Sei n = 0. Nach Vorraussetzung ist M ein
endlich dimensionaler k-Vektorraum. Also k¨onnen nur endlich viele Mi unglich 0 sein. Es ist damit
i
j=0
dimk(Mj) = dimk M
f¨ur alle i >> 0.
Sei die Behauptung f¨ur endliche k[x1, . . . , xn−1]-Moduln bereits gezeigt. Sei nun M = ∞
i=0 Mi
ein endlicher k[x1, . . . , xn]-Modul. Setze K := ker(xn· : M → M) ⊂ M und N := M/xnM.
Sowohl K als auch N sind endliche k[x1, . . . , xn]-Moduln und da sie von xn annulliert werden, sind
sie bereits endliche k[x1, . . . , xn−1]-Moduln. Da xn homogen (vom Grad 1) tragen sie außerdem
eine nat¨urliuche Graduierung: K = ∞
i=0(Mi ∩ K) =: ∞
i=0 Ki und N = ∞
i=0(Mi/xnMi−1) =:
∞
i=0 Ni. Damit ist die Induktionsverraussetzung f¨ur N und K erf¨ullt. Seien nun P, Q ∈ Q[X]
Polynome mit i
j=0 dimk(Kj) = P(i) und i
j=0 dimk(Nj) = Q(i) f¨ur alle i >> 0. Damit ist auch
dimk Ki = P(i) − P(i − 1) =: p(i) und dimk Ni = Q(i) − Q(i − 1) =: q(i) f¨ur große i durch ein
Polynom gegeben.
Wir haben f¨ur i ∈ N0 exakte Sequenzen:
0 → Ki → Mi → xnMi → 0
0 → xnMi → Mi+1 → Ni+1 → 0
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2. Also gilt: dimk Mi = dimk Ki + dimk xnMi und dimk Mi+1 = dimk xnMi + dimk Ni+1. Subtrahiert
man die beiden Gleichungen so erh¨alt man: dimk Mi+1−dimk Mi = dimk Ni+1−dimk Ki = p(i+1)−
q(i) =: h(i) mit einem Polynom h ∈ Q[X]. Nach dem n¨achsten Lemma ist nun das diskrete Integral
H(j) = i−1
j=0 h(j) = dimk Mi von h wieder ein rationales Polynom womit der Satz bewiesen ist.
Lemma 4. (vgl. Hartshorne Algebraic Geometry, S.49) Ein numerisches Polynom ist ein Polynom
P ∈ Q[X] mit der Eigenschaft, dass P(n) ∈ Z f¨ur große n ∈ N.
1. Ist P ein solches, dann gibt es ganze Zahlen c0, . . . , cr sodass:
P(X) = c0
X
r
+ c1
X
r − 1
+ · · · + cr (1)
Insbesondere ist P(n) ∈ Z f¨ur alle n ∈ Z.
2. Ist f : Z → Z eine beliebige Funktion, deren Differenzfunktion ∆f := f(n + 1) − f(n) ein
numerisches Polynom Q(n) ist. So ist auch f selbst ein numerisches Polynom P(n) f¨ur große
n.
Beweis. zu 1. Mit Induktion nach dem Grad von P. F¨ur grad Null ist die Behauptung trivial. Da
x
r = xr/r! + . . . k¨onnen wir P auf jeden Fall in der obigen Form schreiben, falls wir ci aus Q
w¨ahlen. Betrachten wir nun ∆P(x) = P(x + 1) − P(x), so erhalten wir mit ∆ x
r = x
r−1 :
∆P = c0
x
r − 1
+ c1
x
r − 2
+ · · · + cr (2)
Dies ist nun ein numerisches Polynom vom Grad r − 1, nach Induktionsvorraussetzung sind also
c0, . . . , cr−1 ∈ Z. Doch nun folgt sofort cr ∈ Z, da P(n) ganzzahlig wird f¨ur große n.
zu 2. Schreibe Q wie in (1), dann setze
P = c0
x
r + 1
+ c1
x
r
+ · · · + cr
x
1
(3)
Nun ist ∆P = Q, und damit ∆(f − P)(n) = 0 f¨ur große n. Also ist (f − P) eine Konstante cr+1
f¨ur große n und es gilt f = P + cr+1.
Definition 5. Sei M = ∞
i=0 Mi eine endlicher graduierter k[x1, . . . , xn]-Modul. Das Polynom
P = adXd + · · · + a0 aus dem letzten Satz heißt Hilbertpolynom von M. Wir sagen Grad(P) =:
d(M) ist die Dimension und die ganze Zahl(!) d! ad =: e(M) die Multiplizit¨at von M.
Bemerkung 6. Aus dem Beweis des Satzes folgt, dass d(M) ≤ n der Anzahl der Variablen xi.
Korollar 7. Sei Γ eine gute Filtration eines (endlichen) An(k)-Linksmoduls M. Dann existiert ein
Polynom P ∈ Q[X] mit dimk Γi = P(i) f¨ur große i.
Beweis. grΓ(M) ist ein endlicher graduierter k[x1, . . . , xn]-Modul und da grΓ(M) ∼= M als k-
Vektorraum folgt die Behauptung.
Wir wollen nun Dimension und Multiplizit¨at f¨ur einen endlichen An(k)-Modul definieren. Dazu
m¨ussen wir sicherstellen, dass Grad und Leitkoeffizient von P nicht von der gew¨ahlten Filtration
abh¨angen.
Lemma 8. Seien Γ, Γ zweit gute Filtrationen eines An(k)-Linksmoduls M. Dann gibt es eine Zahl
b ∈ N0 mit Γi−b ⊂ Γi ⊂ Γi+b.
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3. Beweis. Es reicht Γi ⊂ Γi+b f¨ur ein geeignetes b ∈ N0 zu zeigen. Da Γ eine gute Filtration ist
gibt es eine Zahl a ∈ N so, dass grΓ(M) von Γ(0) ⊕ · · · ⊕ Γ(a) als gr(An(k))-Modul erzeugt wird.
W¨ahlt man nun m ∈ Γi Γi−1 f¨ur i ≥ a so ist γ(m) ∈ T (i)Γ(0) + · · · + T (i − a)Γ(a) (wobei
γ : Γi → Γ(i) = Γi/Γi−1 die kanonische Projektion bezeichnet). Setzen wir nun
Ri := TiΓ0 + · · · + Ti−aΓa
so gilt demnach Γi ⊂ Ri + Γi−1 f¨ur alle i ≥ a. (W¨ahle ein Urbild m von γ(m) in Ri, dann ist
γ(m − m ) = 0 und m unterscheidet sich von m durch ein Element von Ker(γ) = Γi−1)
Da f¨ur j ≤ i : Rj ⊂ Ri und Γa = Ra folgt induktiv sogar: ∀ i ≥ a : Γi ⊂ Ri.
Betrachte nun (Γi ∩ Γa)i ist eine aufsteigende Folge von Unterr¨aumen des endlich dimensionalen
k-Vektorraums Γa und da Γi = M gibt es eine Zahl b ∈ N mit Γa ⊂ Γb. Ist nun 0 ≤ j ≤ a und
i ≥ a so ist
Ta−jΓj ⊂ Ta−jΓa ⊂ Ta−jΓb ⊂ Γa+b
und damit Γi ⊂ Ri ⊂ Γa+b f¨ur alle i ≥ a. Zusammengefasst gilt also f¨ur i < a:
Γi ⊂ Γa ⊂ Ra ⊂ Γb ⊂ Γa+b
was das Lemma beweist.
Definition 9. Sei M ein endlicher An(k)-Linksmodul. W¨ahle eine gute Filtration Γ. Nach Korollar7
ist dimk Γi f¨ur große i durch ein Polynom PΓ(X) = adXd +· · ·+a0 gegeben, dessen Grad und Leit-
koeffizient nach Lemma 8 nicht von der gew¨ahlten Filtration abh¨angen. Setze also die Dimension
d(M) := d und die Multiplizit¨at e(M) := d! a0.
Satz 10. Sei 0 → M → M → M → 0 eine exakte Sequenz endlicher An(k)-Linksmoduln. Dann
gilt: d(M) = max{d(M ), d(M )} und falls d(M) = d(M ) = d(M ) so ist e(M) = e(M ) + e(M) .
Beweis. Sei Γ eine gute Filtration von M. Γ induziert verm¨oge Γi := Γi ∩ M und Γi := Γi/Γi
Filtrationen auf M bzw. M . Insbesondere ist 0 → Γi → Γi → Γi → 0 eine exakte Seqenz von
endlichen k-Vektorr¨aumen und somit dimk Γi = dimk Γi + dimk Γi . Es reicht also zu zeigen, dass
Γ und Γ gute Filtrationen sind. Denn dann folgen aus P = P + P die Behaupteten Relationen
der Grade und Leitkoeffizienten.
Betrachte dazu 0 → grΓ (M ) → grΓ(M) → grΓ (M ) → 0. Diese exakte Sequenz von gr(An(k))-
Moduln ist exakt, nach Definition von Γ und Γ . Da Γ gute Filtration folgt grΓ(M) endlich und da
gr(An(k)) noethersch sind auch grΓ (M ) und grΓ (M ) endliche gr(An(k))-Moduln. Das ist aber
¨aquivalent zu Γ ,Γ gut, was zu zeigen war.
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