EL SISTEMAS DE NUMEROS

2. SISTEMA DE NUMERACIÓN
Un sistema de numeración es una serie
de símbolos que se utilizan, de acuerdo
a ciertas reglas, para construir aquellos
números que se consideran válidos

3. SISTEMA DECIMAL
El sistema de numeración decimal, también llamado sistema
decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las
cantidades se representan utilizando como base aritmética las
potencias del numero diez (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
El sistema decimal, como dijimos, apela a diez dígitos y tiene las
potencia del número diez como base. De este modo: 10 elevado a 0
es igual a 1; 10 elevado a 1 es igual a 10; 10 elevado a 2 es igual a
100; etc.

4. El número 523, por ejemplo, tiene tres cifras. En el sistema decimal, se
construye de la siguiente forma, respetando las posiciones
correspondientes:
(5 x 10 elevado a 2) + (2 x 10 elevado a 1) + (3 x 10 elevado a 0)
(5 x 100) + (2 x 10) + (3 x 1)
500 + 20 + 3
523
Como se puede apreciar, de derecha a izquierda, el primer lugar
corresponde a la unidad (10 elevado a 0), el segundo lugar
corresponde a la decena (10 elevado a 1) y el tercer lugar corresponde
a la centena (10 elevado a 2).

5. SISTEMA BINARIO
es aquello que está formado por dos componentes o unidades.
El sistema binario, de este modo, emplea sólo dos dígitos o cifras: el cero
(0) y el uno
El método más común consiste en dividir la cantidad del sistema decimal
por 2: el número entero que da como resultado se divide nuevamente por 2,
de forma sucesiva hasta que el dividendo resulta inferior al divisor. Hecho
esto, los restos de cada división se ordenan desde el último resto hasta el
primero.
De este modo, si queremos expresar el número 34 en el sistema binario haremos lo
siguiente:
34 / 2 = 17 (resto = 0)
17 / 2 = 8 (resto = 1)
8 / 2 = 4 (resto = 0)
4 / 2 = 2 (resto = 0)
2 / 2 = 1 (resto = 0)
1 / 2 = 0 (resto = 1)
Y para sacar el equivalente se ordenan del ultimo resultado hacia arriba(100010)
De este modo, el número decimal 34 es equivalente al número binario 100010.

6. SISTEMA OCTAL
Sistema octal. El sistema numérico en base 8 se llama octal y
utiliza los dígitos 0 a 7. Los números octales pueden construirse a
partir de números binarios agrupando cada tres dígitos
consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y
obteniendo su valor decimal
entonces para el número 3452.32q tenemos:
2*(80) + 5*(81) + 4*(82) + 3*(83) + 3*(8-1) + 2*(8-2) =
2 + 40 + 256 + 1536 + 0.375 + 0.03125 = 1834 +0. 40625d
entonces, 3452.32q = 1834.40625d

7. NUMERO HEXADECIMAL (HEX)
El sistema hexadecimal (Hex) es el que tiene como base el 16. Su uso
actual está muy vinculado a la informática ,pues los computadores suelen
utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que
un byte representa valores posibles, y esto puede representarse como ,
que equivale al número en base 16 , dos dígitos hexadecimales
corresponden exactamente a un byte.
Se debe notar que 1,2,3,4,5,6,7,8,9,A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F =
15. En ocasiones se emplean letras minúsculas en lugar de mayúsculas.
Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de
cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de
dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del
sistema, que en este caso es 16.

8. Por ejemplo: 3E0A16 = 3×163 + E×162 + 0×161 + A×160 = 3×4096 + 14×256 +
0×16 + 10×1 = 15882.

9. DE DECIMAL A BINARIO
Para hacer la conversión de decimal a binario, hay que ir dividiendo el
número decimal entre dos y anotar en una columna a la derecha el resto (un 0
si el resultado de la división es par y un 1 si es impar).
La lista de ceros y unos leídos de abajo a arriba es el resultado.
Ejemplo: vamos a pasar a binario 7910
79 1 (impar). Dividimos entre dos:
39 1 (impar). Dividimos entre dos:
19 1 (impar). Dividimos entre dos:
9 1 (impar). Dividimos entre dos:
4 0 (par). Dividimos entre dos:
2 0 (par). Dividimos entre dos:
1 1 (impar).
Por tanto, 7910 = 10011112
CONVERSIONES

10. BINARIO A DECIMAL
Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente:
1. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada cifra multiplíquela por 2 elevado a
la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0, 20).
2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número
resultante será el equivalente al sistema decimal.
Vamos a convertir el número 10100112 a Sistema decimal:
PASO 1 – Numeramos los bits de derecha a izquierda comenzando desde el 0.
PASO 2 – A cada bit le hacemos corresponder una potencia de base 2 y exponente igual al
número de bit.
PASO 3 – Por último se suman todas las potencias.
6 5 4 3 2 1 0 exponentes
1 0 1 0 0 1 1
1*2
6
+ 0*2
5
+ 1*2
4
+ 0*2
3
+ 0*2
2
+ 1*2
1
+ 1*2
0
= 83
64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 =83
10100112 = 8310

11. OCTALES A DECIMALES:
Veamos ahora como pasar números Octales a Decimales:
1.- Tomamos nuestro numero octal, digamos 3014 y lo dividimos en cifras:
3 0 1 4
2.- A cada una de extras cifras le agregamos un multiplicador por 8 (*8):
3*8 0*8 1*8 4*8
3.- Cada “*8″ lo elevamos, de derecha a izquierda, a una potencia consecutiva
empezando del cero:
3*83 0*82 1*81 4*80
4.- Resolvemos cada uno de estos grupos:
1536 + 0 + 8 + 4
5.- Sumamos estos resultados:
1536 + 0 + 8 + 4 = 1548
6.- “1548″ es nuestro numero decimal y con esto hemos terminado la
transformación

12. NÚMERO DECIMAL A OCTAL
La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica
que ya hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones
sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por
ejemplo, para escribir en octal el número decimal 12210 tendremos que
hacer las siguientes divisiones:
122 : 8 = 15 Resto: 2
15 : 8 = 1 Resto: 7
1 : 8 = 0 Resto: 1
Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:
12210 = 1728

13. BINARIOS A OCTALES Y VICEVERSA
Observa la tabla siguiente, con los siete primeros números
expresados en los sistemas decimal, binario y octal:
DECIMA
L
BINARIO OCTAL
0 000 0
1 001 1
2 010 2
3 011 3
4 0100 4
5 101 5
6 110 6
7 111 7

14. BINARIO A OCTAL
Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema
binario. Por tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas de
numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos binarios, o
en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente
dígito octal.
Por ejemplo, para convertir el número binario 1010010112 a octal tomaremos
grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:
1012 = 58
0012 = 18
0112 = 38
y, de ese modo: 1010010112 = 5138

15. OCTAL A BINARIO
La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el
mismo método, reemplazando cada dígito octal por los tres bits
equivalentes. Por ejemplo, para convertir el número octal 7508 a
binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus
dígitos:
78 = 1112
58 = 1012
08 = 0002
y, por tanto: 7508 = 1111010002

16. DECIM
AL
BINARI
O
HEXADECIM
AL
0 0000 0
1 0001 1
2 0010 2
3 0011 3
4 0100 4
5 0101 5
6 0110 6
7 0111 7
8 1000 8
9 1001 9
10 1010 A
BINARIOS A HEXADECIMALES Y VICEVERSA
Del mismo modo que hallamos la correspondencia entre números
octales y binarios, establecer una equivalencia directa entre cada
dígito hexadecimal y cuatro dígitos binarios, como se ve en la
siguiente tabla:
DECIM
AL
BINARI
O
HEXADECIM
AL
11 1011 B
12 1100 C
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F

17. HEXADECIMAL A BINARIO
La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza
"expandiendo" o "contrayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos
binarios. Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el número binario
1010011100112 bastará con tomar grupos de cuatro bits, empezando por la
derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal:
10102 = A16
01112 = 716
00112 = 316
y, por tanto: 1010011100112 = A7316
En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro
dígitos, se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último
grupo. Por ejemplo:
1011102 = 001011102 = 2E16

18. HEXADECIMAL A BINARIOS
La conversión de números hexadecimales a binarios se hace del
mismo modo, reemplazando cada dígito hexadecimal por los cuatro
bits equivalentes de la tabla. Para convertir a binario, por ejemplo, el
número hexadecimal 1F616 hallaremos en la tabla las siguientes
equivalencias:
116 = 00012
F16 = 11112
616 = 01102
y, por tanto: 1F616 = 0001111101102