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仮説検定
- 1. 仮説検定 高橋秀征
- 3. 用語の準備 両側検定…𝐻0：𝜇 ≠ 𝜇0 （𝜇0はある値） の検定(p.132) 片側検定 右片側検定…𝐻1：𝜇 > 𝜇0 (p.132) 左片側検定…𝐻1：𝜇 < 𝜇0 (p.132) 単純仮説…パラメータの値が1点だけの仮説(p.133) 複合仮説…パラメータの値が1点だけではない仮説(p.133) （パラメータの値が範囲を持つ仮説）
- 5. 用語の準備 棄却域…｛𝑍 > 𝑧 𝛼｝や｛𝑍 < −𝑧 𝛼｝,｛ 𝑍 > 𝑧 𝛼 2 ｝(p.134) 採択域…｛𝑍 ≦ 𝑧 𝛼｝や｛Z ≧ −𝑧 𝛼｝,{ 𝑍 ≦ 𝑧 𝛼 2 ｝(p.134) 棄却点…𝑧 𝛼や𝑧 𝛼 2 (p.134)
- 6. 8.1 仮説検定の考え方 背理法 2を有理数と仮定する （ 2 = 𝑛 𝑚 ） 2𝑛 = 𝑚 ⇄ 2𝑛2 = 𝑚2 左辺の因数は奇数個に対し 右辺の因数の数は偶数個 これは素因数分解の一意性に反する よって矛盾である ゆえに 2は無理数である ■ 仮説検定 帰無仮説（𝐻0）が真と仮定する その仮定の下で確率を求める 確率が低い 確率が低くない ↓ ↓ 帰無仮説を棄却 帰無仮説を採択 対立仮説（𝐻1)が真 帰無仮説（𝐻0）が真 仮定 推論 矛盾
- 7. 帰無仮定の下で確率を求める 8.2 平均の検定（正規母集団,母分散が既知） 8.4 平均の検定（正規母集団,母分散が未知） 8.5 平均の差の検定 8.6 等分散の検定 8.7 比率の検定
- 8. 8.2 平均の検定（正規母集団,母分散が既知） 𝐻0：μ=𝜇0 𝐻1：μ≠𝜇0 について考える。 𝑁(𝜇, 𝜎2 ）から大きさ𝑛の無作為標本を抽出する。 標本平均を 𝑋とすると、標準化変量Zは Z = 𝑋 − 𝜇 𝜎2 𝑛 ~𝑁(0,1) 𝐻0のもとではZ= 𝑋−𝜇0 𝜎2 𝑛 ~𝑁(0,1)となるはずである。 既知の値を代入することで平均からどれほど離れているか がわかる。
- 9. 8.2 平均の検定（正規母集団,母分散が既知） 帰無仮説が正しければ、 𝑃 𝑍 > 𝑧 𝛼 2 = 𝛼 を満たす𝑧 𝛼 2 を求めることが出来る。 実際に 𝑍 > 𝑧 𝛼 2 (𝑍 < −𝑧 𝛼 2 , 𝑧 𝛼 2 < 𝑍)となった時、𝛼の確率 の事象が起こったこととなる。 この𝛼を棄却点とすると、𝐻0を棄却できる。 逆に、 𝑍 ≦ 𝑧 𝛼 2 となった時、（1 − 𝛼）の確率が起こったこ ととなる。よって、𝐻0は採択される。
- 10. 8.2 平均の検定（正規母集団,母分散が既知） 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 𝐻1: 𝜇 > 𝜇0 （右片側検定）の場合 Z = 𝑋−𝜇0 𝜎2 𝑛 として、Z > 𝑧 𝛼となるかどうかを調べる。 𝐻0：𝜇 = 𝜇0 𝐻1：μ<𝜇0 （左片側検定）の場合 Z = 𝑋−𝜇0 𝜎2 𝑛 として、Z < −𝑧 𝛼となるかどうかを調べる。
- 11. 帰無仮定の下で確率を求める 8.2 平均の検定（正規母集団,母分散が既知） 8.4 平均の検定（正規母集団,母分散が未知） 8.5 平均の差の検定 8.6 等分散の検定 8.7 比率の検定
- 12. 8.4.0 平均の検定（正規分布,分散が未知）の準備 p.97 定理6.5 正規母集団𝑁(𝜇, 𝜎2 )から大きさｎの無作為標本 を抽出する。 標本平均を 𝑋, 標本分散を𝑆2 で表す。この時、 𝑇𝑛 = 𝑋−𝜇 𝑆2 𝑛 ~𝑡(𝑛 − 1) （ただし𝑆2 = 1 𝑛−1 𝑖=1 𝑛 (𝑋𝑖 − 𝑋)2)
- 13. 8.4.1 平均の検定（正規分布,分散が未知） 𝑁(𝜇, 𝜎2 )から大きさ𝑛の無作為標本を抽出する。 標本平均を 𝑋とすると、 Z = 𝑋 − 𝜇 𝜎2 𝑛 ~𝑁(0,1)が成り立つ。 ここでσが未知より、T = 𝑋−𝜇 𝑆2 𝑛 ~𝑡(𝑛 − 1) となる。
- 14. 8.4.1 平均の検定（正規分布,分散が未知） 𝐻0：𝜇 = 𝜇0 𝐻1：𝜇 ≠ 𝜇0 （両側検定）の場合 𝐻0が正しい時、検定統計量は𝑇 = 𝑋−𝜇0 𝑆2 𝑛 となる。 また、𝑃 𝑇 > 𝑡 𝛼 2 𝑛 − 1 = 𝛼 が成立する。 𝑇 > 𝑡 𝛼 2 の時、有意水準𝛼で𝐻0は棄却、 𝑇 ≦ 𝑡 𝛼 2 の時、有意水準𝛼で𝐻0は採択される。
- 15. 8.4.1 平均の検定（正規分布,分散が未知） 𝐻0：μ=𝜇0 𝐻1：μ>𝜇0 （右片側検定）の場合 𝑇 = 𝑋−𝜇0 𝑆2 𝑛 として,𝑇 > 𝑡 𝛼となるかどうかを調べる。 𝐻0：𝜇 = 𝜇0 𝐻1：μ<𝜇0 （左片側検定）の場合 𝑇 = 𝑋−𝜇0 𝑆2 𝑛 とし,𝑇 < −𝑡 𝛼となるかどうかを調べる。
- 16. 帰無仮定の下で確率を求める 8.2 平均の検定（正規母集団,母分散が既知） 8.4 平均の検定（正規母集団,母分散が未知） 8.5 平均の差の検定 8.6 等分散の検定 8.7 比率の検定
- 17. 8.5.0 平均値の差の検定の準備 p.60 定理4.5 確率変数𝑋, 𝑌について 𝐸[𝑋 ± 𝑌] = 𝐸[𝑋] ± 𝐸[𝑌] (複合同順) p.62 定理4.8 相関係数𝜌(𝑋, 𝑌) = 0であるならば、 𝑉(𝑋 ± 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌)
- 18. 8.5.1 平均値の差の検定(正規分布,分散が既知) N(𝜇1, 𝜎1 2 )から大きさ𝑛1の無作為標本を抽出する。 𝑁(𝜇2, 𝜎2 2 )から大きさ𝑛2の無作為標本を抽出する。 標本平均は 𝑋1～N(𝜇1 , 𝜎1 2 𝑛1 ) 𝑋2～𝑁(𝜇2, 𝜎2 2 𝑛2 ) 𝐸[X1 − X2] = E[X1] − E[X2] = 𝜇1 − 𝜇2 𝑉(X1 − X2) = 𝑉(X1) + V X2 = 𝜎1 2 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 分布の再生性より 𝑋1 − 𝑋2~N(μ1 − μ2, 𝜎1 2 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 )
- 19. 8.5.1 平均値の差の検定(正規分布,分散が既知) 𝐻0：𝜇1 − 𝜇2 = 0 𝐻1：𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0 （両側検定）の場合 𝐻0の下では𝑋1 − 𝑋2~𝑁(0, 𝜎1 2 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 ) 検定統計量はZ = 𝑋1− 𝑋2 𝜎1 2 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 ~𝑁(0,1) 𝑍 > 𝑧 𝛼 2 の時、有意水準𝛼で𝐻0を棄却、 𝑍 ≦ 𝑧 𝛼 2 の時、 有意水準𝛼で𝐻0を採択する。
- 20. 8.5.1 平均値の差の検定(正規分布,分散が既知) 𝐻0： 𝜇1-𝜇2=0 𝐻1： 𝜇1-𝜇2>0 の場合 𝑍 = 𝑋1−𝑋2 𝜎1 2 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 として,𝑍 > 𝑧 𝛼となるかどうかを調べる。 𝐻0：𝜇1−𝜇2=0 𝐻1：𝜇1-𝜇2<0 の場合 𝑍 = 𝑋1−𝑋2 𝜎1 2 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 として,𝑍 < −𝑧 𝛼となるかどうかを調べる。
- 21. 8.5.2 平均値の差の検定(正規分布,分散が未知) 𝜎1 2 , 𝜎2 2 が未知で𝜎1 2 ≠ 𝜎2 2 の時、一般には厳密な検定は不可能。 ただし、𝑛1, 𝑛2が共に大きい時のみ可能。 𝜎1 2 , 𝜎2 2 を不偏推定量𝑆1 2 , 𝑆2 2 で置き換えると 検定統計量は𝑍 = 𝑋1−𝑋2 𝑆1 2 𝑛1 + 𝑆2 2 𝑛2 仮定より中心極限定理が使え、𝑍は正規分布に近づいていく。
- 22. 帰無仮定の下で確率を求める 8.2 平均の検定（正規母集団,母分散が既知） 8.4 平均の検定（正規母集団,母分散が未知） 8.5 平均の差の検定 8.6 等分散の検定 8.7 比率の検定
- 23. 8.6.0 等分散の検定の準備 p.94 定理6.3 𝑆2をN(𝜇, 𝜎2)から大きさnの無作為抽出された標本不偏分散 とする。 この時、𝑈 = (𝑛−1)𝑆2 𝜎2 = 𝑖=1 𝑛 ( 𝑋 𝑖− 𝑋 𝜎 )2 ~𝜒2 (𝑛 − 1) p.94 定理6.6 U~𝜒2 m ，V~𝜒2 (𝑛)でU, Vが互いに独立に分布するとき、 Y = 𝑈 𝑚 𝑉 𝑛 ~𝜒2 (𝑚, 𝑛)
- 24. 8.6.1 等分散の検定 𝑁(𝜇1 , 𝜎1 2 ）から大きさ𝑛1の無作為標本を抽出する。 N(𝜇2, 𝜎2 2 )から大きさ𝑛2の無作為標本を抽出する。 これらの標本不偏分散を𝑆1 2 , 𝑆2 2 とする。 これらは独立で (𝑛1−1)𝑆1 2 𝜎1 2 ~𝜒2 (𝑛1 − 1) (𝑛2−1)𝑆2 2 𝜎2 2 ~𝜒2 (𝑛2 − 1) となる。
- 25. 8.6.1 等分散の検定 𝐻0：𝜎1 2 = 𝜎2 2 𝐻1：𝜎1 2 > 𝜎2 2 の場合 V = (𝑛1−1)𝑆1 2 (𝑛1−1)𝜎1 2 (𝑛2−1)𝑆2 2 (𝑛2−1)𝜎2 2 = 𝑆1 2 𝑆2 2 𝜎2 2 𝜎1 2 𝐻0の下では、V = 𝑆1 2 𝑆2 2 検定統計量はV = 𝑆1 2 𝑆2 2 𝑉 > 𝐹𝛼(𝑛1 − 1, 𝑛2 − 1)となるとき、有意水準αで𝐻0を棄却、 𝑉 ≦ 𝐹𝛼(𝑛1 − 1, 𝑛2 − 1)となるとき有意水準αで𝐻0を採択する。
- 26. 8.6.1 等分散の検定 𝐻0：𝜎1 2 = 𝜎2 2 𝐻1：𝜎1 2 < 𝜎2 2 の場合 V = 𝑆2 2 𝑆1 2として、V > 𝐹𝛼 𝑛2 − 1, 𝑛1 − 1 となるかどうかを調 べる。 𝐻0：𝜎1 2 = 𝜎2 2 𝐻1：𝜎1 2 ≠ 𝜎2 2 の場合 V = 𝑆2 2 𝑆1 2として,V > 𝐹𝛼 𝑛2 − 1, 𝑛1 − 1 となるかどうか V = 𝑆1 2 𝑆2 2として,V > 𝐹𝛼 𝑛1 − 1, 𝑛2 − 1 となるかどうか
- 27. 帰無仮定の下で確率を求める 8.2 平均の検定（正規母集団,母分散が既知） 8.4 平均の検定（正規母集団,母分散が未知） 8.5 平均の差の検定 8.6 等分散の検定 8.7 比率の検定
- 28. 8.7.0 比率の検定の準備 p.90 定理6.1 中心極限定理 𝑍 𝑛 = 𝑋−𝜇 𝜎2 𝑛 （ 𝑋 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖） は𝑛が大きくなるにつれて𝑍 𝑛~𝑁 0,1 に近づく。
- 29. 8.7 比率の検定 母集団から大きさ𝑛の標本を無作為抽出する。 𝑋𝑖 = 1（ある属性を持つ） 𝑋𝑖 = 0 (持たない)とする。 ある属性を持つものの割合𝑝の点推定量 𝑝は 𝑝 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖となる。
- 30. 8.7 比率の検定 𝑛がある程度大きいとき 𝑝−𝑝 𝑝(1−𝑝) 𝑛 ~𝑁(0,1)となる。 𝐻0：𝑝 = 𝑝0 𝐻1: 𝑝 ≠ 𝑝0 の場合 𝐻0の下では、𝑍 = 𝑝−𝑝0 𝑝0(1−𝑝0) 𝑛 ~𝑁(0,1) 検定統計量はZ = 𝑝−𝑝0 𝑝0(1−𝑝0) 𝑛 となる。 𝑍 > 𝑧 𝛼 2 となるとき有意水準αで𝐻0を棄却、 𝑍 ≦ 𝑧 𝛼 2 となるとき有意水準αで𝐻0を採択する。
- 31. 8.7 比率の検定 𝐻0: 𝑝 = 𝑝0 𝐻1: 𝑝 > 𝑝0 の場合 𝑍 = 𝑝−𝑝0 𝑝0(1−𝑝0) 𝑛 としてZ > 𝑧 𝛼となるかどうかを調べる。 𝐻0：𝑝 = 𝑝0 𝐻1：𝑝<𝑝0 の場合 𝑍 = 𝑝−𝑝0 𝑝0(1−𝑝0) 𝑛 として、Z < −𝑧 𝛼となるかどうかを調べる。
- 32. 各検定のまとめ 検定 正規母集団 平均 一つの平均 分散既知 Z検定 分散未知 T検定 2つの平均 分散既知 Z検定 分散 2つの分散 F検定 標本サイズ が大きい 比率 Z検定
- 33. 8.1 仮説検定の考え方 背理法 2を有理数と仮定する （ 2 = 𝑛 𝑚 ） 2𝑛 = 𝑚 ⇄ 2𝑛2 = 𝑚2 左辺の因数は奇数個に対し 右辺の因数の数は偶数個 これは素因数分解の一意性に反する よって矛盾である ゆえに 2は無理数である ■ 仮説検定 帰無仮説（𝐻0）が真と仮定する その仮定の下で確率を求める 確率が低い 確率が低くない ↓ ↓ 帰無仮説を棄却 帰無仮説を採択 𝑯 𝟏を真と見なす 𝑯 𝟎を偽ではない とする 仮定 推論 矛盾
- 34. 8.3 2種類の過誤 仮説検定は100％正しいわけではない 行動 H0を採択 H0を棄却 母集団のあり 得る状態 H0が真 正しい 第1種の過誤 アルファエラー H0が偽 第2種の過誤 ベータエラー 正しい