hayya

1. -1-
ÔN TẬP TOÁN CAO CẤP A3 - 2020
CHƯƠNG 1: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC
Câu 1: Cho
1 2 1
2 1 3
2 1 1
A

 
 
  
 

 
và 1
B A
 . Tìm phần tử ở hàng 3 cột 2 của ma trận B.
A. 32
1
4
b   B. 32
1
4
b  C. 32
5
12
b   D. 32
5
12
b 
Câu 2: Cho
1 2 1
0 2 1
0 0 3
A
 
 
 
 
 
 
,
3 2 1
0 2 1
0 0 2
B

 
 
 
 
 
 
. Tính A B
 .
A.
1 4 0
0 2 2 6
0 0 3
A B
    B.
4 4 0
0 4 2 13
0 0 5
A B
   
C.
4 4 0
0 4 2 80
0 0 5
A B
    D.
3 4 0
0 2 2 12
0 0 2
A B
   
Câu 3: Cho các ma trận
1 2
2 0
3 1
A

 
 
  
 

 
,
2 0 1
1 2 2
4 0 3
3 1 0
B

 
 

 

 

 
 
. Phép toán nào sau đây thực hiện được:
A. A.B B. B.A C. . T
B A D. . T
A B
Câu 4: Ma trận
1 3
2 4
A
 
  
 
có ma trận nghịch đảo là 1
3
2
2
1
1
2
A
 

 
  
 

 
 
. Vậy ma trận T
A có ma trận
nghịch đảo là
A. 1
2 1
( ) 1
1
2
T
A 

 
 

 

 
B. 1
2 1
( ) 1 3
2 2
T
A 

 
 

 

 
C. 1 4 2
( )
1 1
T
A  
 
  

 
D. 1
2 1
( ) 3 1
2 2
T
A 

 
 

 

 
Câu 5: Cho ma trận
1 2 3
1 2 1
0 1 2
A
 
 
 
 
 
 
. Hãy xác định ma trận bù A23 của ma trận A
A. 23
1 2
0 1
A
 
  
 
B. 23
1 3
0 2
A
 
  
 
C. 23
1 2
1 2
A
 
  

 
D. 23
2 3
2 1
A
 
  
 
Câu 6: Cho
1 2 1
3 1 0
A

 
  
 
,
3 1 6 4
0 2 1 3
B

 
  
 
. Phép toán nào sau đây thực hiện được:
A. A + B B. AB C. AT
B D. ABT

2. -2-
Câu 7: Khẳng định nào sau đây sai:
A. Định thức của ma trận vuông có một hàng là các số 0 thì bằng 0.
B. Định thức của ma trận vuông có hai hàng tỉ lệ thì bằng 0.
C. Định thức của ma trận vuông có một hàng tỉ lệ với một cột thì bằng 0.
D. Nếu thay đổi vị trí hai hàng của định thức thì định thức đổi dấu.
Câu 8: Cho , n
A B M
 là các ma trận khả nghịch. Khẳng định nào sau đây sai:
A. 1 1
det
det
A
A

 B.  
1 1 1
AB B A
  
 C.  
1
1
A A


 D.  
1 1 1
AB A B
  

Câu 9: Cho  
4
A M
 , biết rank(A) = 3. Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. det 3
A B. det 0
A C. det 6
A D. 3
det 4
A 
Câu 10: Cho A, B là các ma trận khả nghịch. Khẳng định nào sau đây là sai:
A.    
1 1 T
T
A A
 
 B.  
1 1 1
AB B A
  
 C.  
1 1
, 0
A A
  
 
  D.  
 
1 1
det
AB
AB


Câu 11: Khẳng định nào sau đây sai:
A. Hạng của ma trận A bằng r nếu mọi định thức con của A cấp lớn hơn r đều bằng 0.
B. Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp.
C. Hạng của ma trận không thay đổi qua phép chuyển vị.
D. Hạng của ma trận bằng số dòng khác 0 trong dạng bậc thang của ma trận.
Câu 12: Ma trận nào sau đây không khả nghịch:
A.
10 0 0
5 3 0
4 2 1
 
 
 
 
 
B.
1 2 3
0 1 7
0 0 6

 
 
 
 
 
C.
1 2 3
5 0 7
2 4 6

 
 
 
 

 
D.
1 2 3
5 4 7
0 0 6

 
 

 
 
 
Câu 13: Cho
1 0 0 0
2 2 0 0
4 8 3 0
0 7 0 7
A
 
 
 

 
 
 
. Định thức của T
A là:
A. det 42
T
A   B. det 42
T
A  C. det 0
T
A  D. det 24
T
A 
Câu 14: Cho , n
A B M
 . Khẳng định nào sau đây sai:
A.  
T T T
A B A B
   B.  
T T T
A B A B
   C.  
T
T
A A
 D.  
T T T
AB A B

Câu 15: Cho
1 2 0
4 0 1
2 1 3
A
 
 
 
 
 
 
có ma trận nghịch đảo 1
1 6 2
1
14 1
27
3 8
A a
b


 
 
 
 
 

 
. Xác định a + b.
A. 7
a b
   B. 7
a b
  C. 1
a b
   D. 1
a b
  .
Câu 16: Cho các ma trận
1 2
3 1
A
 
  

 
,
0
1
x
B
y
 
  
 
,
1 1
2 1
C

 
  
 
. Xác định x, y sao cho 2
A B C
  .
A.
3 1
,
2 2
x y
    B.
3 1
,
2 2
x y
   C.
3 1
,
2 2
x y
  D.
3 1
,
2 2
x y
  

3. -3-
Câu 17: Cho 4
,
A B M
 có det 2
A , det 3
B  . Tính  
det 3AB .
A.  
det 3 3det .det 18
AB A B
  B.   4
det 3 3 det .det 486
AB A B
 
C.  
det 3 det .det 6
AB A B
  D.  
det 3 3.4.det .det 72
AB A B
 
Câu 18: Cho 2
( ) 2
f x x x
   và ma trận
1 2 3
0 1 0
0 0 1
A
 
 
  
 
 
. Xác định ( )
f A .
A.
0 2 3
( ) 0 0 0
0 0 0
f A
 
 
  
 
 
B.
1 2 3
( ) 0 1 0
0 0 1
f A
 
 
  
 
 
C.
2 2 3
( ) 0 2 0
0 0 2
f A
 
 
  
 
 
D.
2 0 0
( ) 0 2 0
0 0 2
f A
 
 
  
 
 
Câu 19: Cho hai ma trận
1 1 1
1 0 1
A

 
  
 
,
1 1
2 1
B
 
  
 
. Tìm các ma trận X sao cho AX = B
A.
1 2
3 1
X

 
  
 
B.
2 3
1 1
X
 
  

 
C.
1 1
1 4
1 2
X

 
 
  
 
 
D.
1 1 1
1 4 2
X
 
  

 
Câu 20: Cho hai ma trận
1 1 1 1 1
,
2 1 1 0 1
A B

   
 
   
   
. Tìm các ma trận X sao cho AX = B
A.
0 1 2
1 2 3
X

 
  

 
B.
1 1
1 4
1 2
X

 
 
  
 
 
C.
1 2
3 1
X

 
  
 
D.
2 1 0
3 2 1
X
 
  

 
Câu 21: Cho
1 0 0 0
3 2 1 0 0
1 3 3 0
1 5 2
m
A
m
m m
 
 

 

 
 
 

 
. Tìm m để A khả nghịch.
A. 3, 0
m m
   B.
1
, 2
2
m m
   C. 3, 0
m m
   D. 2
m  
Câu 22: Cho ma trận
2 1
3 2
A
 
  

 
và 5
A kA
 . Xác định k.
A. 49
k  B. 49
k   C. 7
k   D. 7
k 
Câu 23: Cho  
4
,
A B M
 , biết 3
A  , 4
B  .Tìm  
1
3 AB

.
A.
3
4
B.
3
3
4
C. 36 D. 12
Câu 24: Cho các ma trận
1 1
2 0
A

 
  
 
,
1 2
0 3
B

 
  
 
,
2 1
3 4
C

 
  
 
,
1 3
7 5
D
 
  

 
. Xác định a, b, c sao
cho D aA bB cC
   .
A. 1, 2, 1
a b c
    B. 2, 3, 1
a b c
   C. 2, 3, 1
a b c
    D. 2, 3, 1
a b c
    

4. -4-
Câu 25: Tính
10
1 2 0
det 1 3 2
1 0 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A. 45
B. 410
C. 54
D. 510
Câu 26: Cho ma trận
1 0
.
1 1
A
 
  
 
Tính An
với n .
A.
1 0
1
n
A
n
 
  
 
B.
0
1 1
n n
A
 
  
 
C.
1 0
1
n
A
n
 
  
 
D.
1 0
1 1
n
A
 
  
 
Câu 27: Cho ma trận
0 0 0
1 1 1
2 1 1 2
3 2 0 0
 
 

 

 
 
 
m
m m
A . Tìm m để detA = 0.
A. m = 2, m = 0 B. m = 1, m = 0 C. Với mọi m D. Không tồn tại m
Câu 28: Cho
0 0 1 2 3
0 0 5 1 2
0 4 1 0 0
1 0 7 5 3
1 0 3 2 1
A
 
 
 
 

 

 
 
 
. Tính định thức của ma trận A.
A.
0 1 2 3
0 5 1 2
det 4 260
1 7 5 3
1 3 2 1
A   

B.
0 1 2 3
0 5 1 2
det 4 260
1 7 5 3
1 3 2 1
A   

C.
0 1 2 3 0 1 2 3
0 5 1 2 0 5 1 2
160
4 1 0 0 4 1 0 0
0 3 2 1 0 7 5 3
A     D.
0 1 2 3 0 1 2 3
0 5 1 1 0 5 1 1
100
3 4 0 0 3 4 0 0
0 3 0 2 0 7 5 4
A
 
   
CHƯƠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Câu 29: Cho hệ phương trình:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
0
2 3 4 0
3 2 5 0
4 6 3 0
x x x x
x x x x
x x x x
x x x mx
   

    


   

    

có ma trận hệ số được đưa về dạng bậc thang là
1 1 1 1
0 1 2 3
0 0 3 4
0 0 0 3 14
m
 
 

 
 

 

 
. Tìm tất cả giá trị m để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường.
A.
14
3
m  B.
14
3
m  C. Với mọi m D. Không tồn tại m

5. -5-
Câu 30: Cho hệ phương trình theo 3 ẩn x, y, z, có ma trận bổ sung được đưa về dạng bậc thang là
1 2 1 1
0 0 2 3
0 0 0 4
m
m
  
 
 
 
 
 
 
. Tìm tất cả giá trị m để hệ phương trình có vô số nghiệm:
A. Không tồn tại m B. m = 2 C. m = 4 D. m = 2, m = 4
Câu 31: Cho hệ phương trình theo 3 ẩn x, y, z, có ma trận bổ sung được đưa về dạng bậc thang là:
2
1 1 1 1
0 1 3 2
0 0 1 1
m m
  
 

 
 
 
 
. Tìm tất cả giá trị m để hệ phương trình có vô số nghiệm:
A. m  –1 B. m = –1 C. m = 1 D. m = 1
Câu 32: Cho hệ phương trình:
2
3 1
2 6 ( 1) 4
4 12 ( 3) 3
x y z
x y m z
x y m z m
    

    

     

có ma trận bổ sung được đưa về dạng bậc
thang là
1 3 1 1
0 0 1 2
0 0 0 3
m
m
  
 

 
 
 
 
. Tìm tất cả giá trị m để hệ phương trình có vô số nghiệm:
A. m = 3 B. m  3 C. Không tồn tại m D. Với mọi m
Câu 33: Tìm tất cả giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
3
2 2 1
3 1
x y z
x my z
mx y z
  


  

    

A. m  1 B. m = 2 C. m = 1, m = 2 D. m  1, m  2
Câu 34: Cho hệ phương trình thuần nhất theo 3 ẩn x, y, z, có ma trận hệ số được đưa về dạng bậc thang là
2
1 1 1
0 3 2 5
0 0 4
m
m m
m

 
 
 
 
 

 
. Tìm tất cả giá trị m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất bằng 0.
A.
5
1, , 2
2
m m m
     B. 2, 3
m m
   C.
5
1, , 2
2
m m m
     D. 2
m  
Câu 35: Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình
1
2
3 4 5
3 4 5
3 4 5
1
2
3 3 0
2 2 3
4 8
x
x
x x x
x x x
x x x






  

   

    

A. Hệ phương trình vô nghiệm B. Hệ phương trình có vô số nghiệm
C. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất D. Hệ phương trình có 3 nghiệm
Câu 36: Tìm tất cả giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2
2 3
3 2 5 2
2
x y z m
x y z
x y z m
   

  

   

A. m  –1, m  2 B. m = –1, m = 2 C. Với mọi m D. Không tồn tại m

6. -6-
Câu 37: Cho hệ phương trình:
2
1
2 3 4
3 3 ( 4) 2
x y z
x y z
x y m z m
   

  

     

có ma trận bổ sung được đưa về dạng bậc
thang là:
2
1 1 1 1
0 1 3 2
0 0 1 1
m m
  
 

 
 
 
 
. Tìm tất cả giá trị m để hệ phương trình vô nghiệm:
A. m ≠ 1 B. m = –1 C. m  –1 D. Không tồn tại m
Câu 38: Tìm nghiệm của hệ phương trình
1 2 3 4
2 3 4
3 4
3 4
2 3 0
2 0
3 0
4 0
x x x x
x x x
x x
x x
   

   


 

  

.
A. Hệ phương trình vô nghiệm B. Hệ phương trình có vô số nghiệm
C. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (0, 0, 0, 0) D. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1, 1, 1, 1)
Câu 39: Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình
1 2 3 4
2 3 4
3 4
3 4
2 +3 4 0
2 + 0
3 0
2 4 0
x x x x
x x x
x x
x x
  

  


 

  

A. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất B. Hệ phương trình có 2 nghiệm
C. Hệ phương trình vô nghiệm D. Hệ phương trình có vô số nghiệm
Câu 40: Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 +3 0
2 4 +6 2 0
3 6 +9 3 0
4 8 +12 4 0
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
  

   


  

   

.
A. Hệ phương trình vô nghiệm B. Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 3 tham số
C. Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số D. Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số
Câu 41: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
2 3 4
1 2 3
3 4
2 3
2 3
2 3
3 7 0
1
x x x
mx x x
x x
mx x
   

   


 

  

.
A. m = 0 B.
17
7
m   C. 0
m  ,
7
17
m   D. m = 0,
7
17
m  
Câu 42: Tìm nghiệm của hệ phương trình
2 0
0
x y t
y z
  


 

A. ( 2 , , , ), ,
m n m m n m n
    B. (2 , , , ), ,
m n m m n m n
  
C. ( , , , ), ,
m n n m n m n
   D. ( 2 , , , ), ,
m n m m n m n
  
Câu 43: Tìm số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình
3 0
2 0
x y z t
x z
   


 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7. -7-
Câu 44: Tìm nghiệm của hệ phương trình 1 2 4
1 3
2 0
3 0
x x x
x x
  


 

A. ( , , 3 , 2 ), ,
m n m m n m n
   B. ( , , 3 , 2 ), ,
m n m m n m n
  
C.
1 1
( , , , 2 ), ,
3 3
m n m n m m n
   D.
1 1
( , , , 2 ), ,
3 3
m n m n m m n
  
Câu 45: Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 2 1
4 6 4 2 3
2 3 +2 1
6 9 +6 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
   

    


    

   

.
A. Hệ phương trình vô nghiệm B. Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số
C. Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 3 tham số D. Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số
Câu 46: Tìm một cơ sở của không gian nghiệm của hệ phương trình
3 4 0
2 0
x y z t
x z
   


 

A.    
 
1,0, 2,1 ; 0,1,0,4
 B.    
 
1,0, 2,5 ; 0,1,0,4

C.    
 
3,4, 1, 1 ; 2,0,0,1
  D.  
 
1,4,0, 1

Chương 3: KHÔNG GIAN VECTƠ
Câu 47: Hệ vectơ nào sau đây của 3
là phụ thuộc tuyến tính:
A. 1 2 3
(1,2, 1), (3,1,0), (1,2,1)
u u u
    B. 1 2 3
(1,2, 1), (3,0,1), (2,4, 2)
u u u
    
C. 1 2 3
(2, 1,0), (1,2, 1), (3,0,1)
u u u
     D. 1 2 3
( 2,1,0), ( 1,0,0), ( 2,0,1)
u u u
     
Câu 48: Hệ vectơ nào sau đây là hệ sinh của 3
?
A.  
1 2 3
(2,1, 1), (1,9,4), ( 6, 3,3)
v v v
      B.  
1 3 2
(2, 2,3), (5, 1,7), (0,0,0)
u u u
    
C.  
1 2 3
(2,0,2), (1,3, 1), (3,2, 5)
v v v
     D.  
1 2 3
(4,0,1), (1, 1,5), (6, 2,11)
u u u
    
Câu 49: Tìm m để hệ  
(1,2,1, ); (0, ,3,1); (0,0, 2,1); (0,0,0,1)
m m m độc lập tuyến tính.
A. m = 0, m = –2 B. m = 0 C. m  0, m  –2 D. m  0 hoặc m  –2
Câu 50: Trong 4
cho  
1,2, 1,3
v   và
1 0 1 2
0 2 1 2
0 0 1 3
0 0 0 4
B E
P 

 
 

 

 
 

 
, tìm  B
v .
A.  
4
1
8
12
B
v
 
 
 

 
 
 
B.  
4
1
8
12
B
v
 
 
 

 
 

 
C.  
1
1
8
12
B
v
 
 
 

 
 

 
D.  
4
1
8
12
B
v
 
 

 

 
 

 
Câu 51: Tìm m để hệ  
1 2 3
( ,1, ), (0, ,1), (2,0,1)
u m m u m u
   phụ thuộc tuyến tính.
A. 2
m  hoặc 2
m   B. 2
m  C. 2
m   D. Không tồn tại m

8. -8-
Câu 52: Trong 3
cho hai cơ sở B, B’ và
1 2 6
1 2 1
0 1 3
B E
P 
 
 
 
 
 
 
, '
1 1 2
0 1 1
0 1 0
E B
P 

 
 
  
 
 
, Tìm '
B B
P  .
A. '
5 20 5
1
. 3 13 19
5
1 6 8
B B E B B E
P P P

  
 
 
  
 
 
 
 
B.
2 2 11
. 1 3 4
1 2 1
B B E B B E
P P P
 
  
 
 
  
 
 

 
C. '
4 9 16
1
. 1 1 4
5
4 4 11
B B B E E B
P P P

  
 
 
 
   
 
 

 
D.
1 7 4
. 1 4 0
0 4 1
B B B E E B
P P P
 
  
 
 
  
 
 
 
Câu 53: Hệ vectơ nào sau đây của 3
là phụ thuộc tuyến tính:
A. 1 2 3
(2,1, 3), (3,2, 5), (1,0,0)
u u u
     B. 1 2 3
(1,3, 1), (2,1,0), (0,0,1)
u u u
   
C. 1 2 3
(1, 2,1), (2,1, 1), (0,0,0)
u u u
     D. 1 2 3
(0, 1,1), (1,0,1), (2,1,2)
u u u
   
Câu 54: Hệ vectơ nào sau đây của 3
là độc lập tuyến tính:
A. 1 2 3
(2,3,1), (0, 1,1), (1,0,1)
u u u
    B. 1 2 3
( 1,3,7), (0,0,0), (2,1,3)
u u u
   
C. 1 2 3
( 1,2,6), (4, 8, 24), (2,1,3)
u u u
      D. 1 2 3
(0,1,4), (2,2,8), ( 1,1,4)
u u u
   
Câu 55: Hệ vectơ nào sau đây là hệ sinh của 3
?
A.  
1 2 3
(1, 2,1), ( 1,2, 1), (3,1,5)
u u u
      B.  
1 2 3
(0, 1,1), (0,0,1), (2,1,0)
u u u
   
C.  
1 2 3
(2, 1,1), (4,0,2), (6,1,3)
u u u
    D.  
1 2 3
(1, 3,7), (1,1,1), (2,2,2)
u u u
   
Câu 56: Giá trị của m để vectơ (3, , )
x m m W
  , với 1 2
(1,0,1), (1,2, 1)
W u u
    là:
A.
3
2
m  B.
3
2
m  C. Không tồn tại m D. Với mọi m
Câu 57: Biểu diễn vectơ (7, 2,15)
u   thành tổ hợp tuyến tính của 1 2
(2,3,1), (3,7,2),
 
v v 3 (1, 6,1)
 
v .
A. 1 2 3
68 12 65
  
u v v v B. 1 2 3
24 16 7
   
u v v v C. 1 2 3
68 12
13
5 5
  
u v v v D. 1 2 3
24 16 7
  
u v v v
Câu 58: Trong 3
cho hai cơ sở  
1 2 3
(1,0,0), (0, 1,0), (0,0, 1)
B u u u
      và
 
1 2 3
(1,0,1), (0,1,1), (0,0,1)
B v v v
     . Tìm B B
P 
 :
A.  
1 2 3
1 0 0
[ ] [ ] [ ] 0 1 0
1 1 1
B B B B B
P v v v


 
 
   
 
 
B.
1 0 0
. 0 1 0
1 1 1
B B B E E B
P P P
 
  
 
 
  
 
 
  
 
C.  
1 2 3
1 0 0
[ ] [ ] [ ] 0 1 0
0 0 1
B B B B B
P u u u
   

 
 
  
 
 

 
D.
1 1 0
. 0 1 0
1 1 1
B B B E E B
P P P
 
  
 
 
   
 
 
Câu 59: Trong 3
cho cơ sở chính tắc  
1 2 3
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)
E e e e
    và cơ sở
 
1 2 3
(1,1,0), (1,0,2), (0,1, 3)
B u u u
     . Tìm B E
P 

9. -9-
A.  
1
1 1 0
1 0 1
0 2 3
B E E B
P P

 
 
 
   
 

 
B.  
1
2 3 1
3 3 1
2 2 1
B E E B
P P

 

 
 
  
 
 

 
C.  
1
2 3 1
3 3 1
2 2 1
B E E B
P P

 

 
 
   
 
 
 
 
D.  
1
2 3 2
3 3 2
1 1 1
B E E B
P P

 

 
 
   
 
 
 
 
Câu 60: Trong 3
cho hai cơ sở  
1 2 3
(5,2,1), (1,1,0), (2,0,1)
B u u u
    và
 
1 2 3
(1,1,1), (1,2,1), (2,1,1)
B v v v
     . Tìm B B
P 

A.
2 3 1
. 5 8 3
3 4 2
B B B E E B
P P P
 
  
  
 
 
   
 
 
B.
8 9 13
. 3 4 5
2 2 3
B B E B E B
P P P
 
  
 
 
   
 
 
C.
5 2 4
. 10 3 3
8 2 3
B B E B E B
P P P
 
  
 
 
   
 
 
D. 1
4 2 1
( ) . 1 1 1
4 1 1
B B E B E B
P P P

 
  
 
 
 
  
 
 
 
Câu 61: Biết
1 1 2
1 1 0
1 1 1
B E
P 
 
 
 
 
 
  
 
, E là cơ sở chính tắc. Tìm tọa độ của vectơ (1,0,1)
x  theo cơ sở B.
A.  
1 1 2 0
[ ] .[ ] 1 1 0 1 0 1 0
1 1 1 2
B B E E
x P x

   
   
   
   
   
  
   
B.
1
1 1 2 1 2
[ ] .[ ] 1 1 0 0 2
1 1 1 1 5
B E B E
x P x


     
     
   
     
     
   
     
C.  
1
1 1 2 1 3
[ ] .[ ] 1 1 0 0 1
1 1 1 1 2
B E B E
x P x


    
    
   
    
    
   
    
D.  
1 1 1 1 0
[ ] .[ ] 1 1 1 0 0
2 0 1 1 1
T
B B E E
x P x


    
    
    
    
    

    
Câu 62: Trong 3
cho hai cơ sở  
1 2 3
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)
E e e e
    ,
 
1 2 3
(1,2,3), (2,3,4), (2,4,7)
B u u u
    và
1
[ ] 2
0
B
x
 
 
  
 
 
. Tìm [ ]E
x :
A.
1 2 3 1 5
[ ] .[ ] 2 3 4 2 8
2 4 7 0 10
E E B B
x P x

    
    
  
    
    
    
B.
1 2 2 1 5
[ ] .[ ] 2 3 4 2 8
3 4 7 0 11
E E B B
x P x

    
    
  
    
    
    
C.  
1
1 0 0 1 1
[ ] .[ ] 0 1 0 2 2
0 0 1 0 0
E B E B
x P x


    
    
  
    
    
    
D.    
[ ] [ ] 5 8 10
T
E B E B
x x P 
 
Câu 63: Trong 3
cho hai cơ sở  
1 2 3
(1,2,3), (1,3,4), (2,4,7)
B u u u
    ,
 
1 2 3
(1,1, 1), (1,2,1), (2,1,1)
B v v v
      và '
2
[ ] 1
3
 
 
 
 
 
 
B
x . Tìm [ ]B
x .

10. -10-
A. ' '
1 1 2 1 1 2 2 66
[ ] . [ ] 1 2 1 . 2 3 4 . 1 56
1 1 1 3 4 7 3 29
 
       
       
   
       
       

       
B E B E B B
x P P x
B.  
1
1
'
1 1 2 1 1 2 2 49
1
[ ] [ ] 1 2 1 . 2 3 4 1 48
5
1 1 1 3 4 7 3 18



 

      
      
   
      
      

      
B E B E B B
x P P x
C.
1
'
1 1 2 1 1 2 2 38
[ ] [ ] 2 3 4 . 1 2 1 . 1 11
3 4 7 1 1 1 3 10



       
       
    
       
       
 
       
B B B B
x P x
D. '
1 1 2 1 1 2 2 10
[ ] [ ] 2 3 4 . 1 2 1 . 1 23
3 4 7 1 1 1 3 33


       
       
   
       
       

       
B B B B
x P x
Câu 64: Tìm m để hệ B =  
1 2 3
(1,2, 3), ( 1, , 1), (1, 1,1 )
u m u m m u m
        là cơ sở của 3
A. m  1, m  2 B. m = 1, m = 2 C. m  1 D. m  2
Câu 65: Tìm hạng của hệ vectơ sau:      
 
1,2,3,4 ; 2,4,8,5 ; 1,2,5,1
S 
A. rankS = 0 B. rankS = 1 C. rankS = 2 D. rankS = 3
Câu 66: Hãy xác định m để (1,2, 1)
x m
  là tổ hợp tuyến tính của 1 2
( 1,3,1), (2,0,1)
u u
   .
A.
3
2
m  B.
1
2
m  C. Không tồn tại m D. Với mọi m
Câu 67: Cho các vectơ ( ,1,3)
x m
 , 1 2
(1, 2,1), (3,4, 3)
u u
    . Hãy xác định m để 1 2
,
x u u
 .
A. 18
m   B. 18
m  C. Không tồn tại m D. Với mọi m
Câu 68: Trong 3
cho hai cơ sở  
1 2 3
(1,0,1), (2,1,1), (1,1,1)
B u u u
    ,
 
1 2 3
(1,2,0), (3, 1, 3), ( 2,1,2)
B v v v
        và '
2
[ ] 5
1
B
x

 
 
  
 

 
. Tìm [ ]B
x .
A.
1
' '
1 2 0 1 0 1 2 15
[ ] . [ ] 3 1 3 . 2 1 1 . 5 6
2 1 2 1 1 1 1 17
B B E E B B
x P P x

 
 
       
       
    
       
       
  
       
B.
1
' '
1 3 3 1 2 1 2 9
[ ] . [ ] 2 1 1 . 0 1 1 . 5 30
0 3 3 1 1 1 1 44
B B E E B B
x P P x

 

       
       
     
       
       
   
       
C.
1
' '
1 0 1 1 2 0 2 15
[ ] . [ ] 2 1 1 . 3 1 3 . 5 1
1 1 1 2 1 2 1 23
B B E E B B
x P P x

 
 
       
       
     
       
       
 
       
D.
1
' '
1 2 1 1 3 3 2 7
[ ] . [ ] 0 1 1 . 2 1 1 . 5 32
1 1 1 0 3 3 1 42
B B E E B B
x P P x

 
 
       
       
    
       
       
   
       

11. -11-
Chương 4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Câu 69: Tìm đa thức đặc trưng của ma trận sau:
1 1
3 0

 
 
 
A. 2
3
 
   B. 2
3
 
  C. 2
3
 
  D. 2
3
 
  
Câu 70: Ánh xạ 2 3
:
f  nào dưới đây là ánh xạ tuyến tính:
A. 1 2 1 1 2 1 2
( , ) ( 2,2 3 , )
f x x x x x x x
    B. 1 2 1 2 1 2 2
( , ) ( 2 ,2 , )
f x x x x x x x
   
C. 1 2 1 2 1 2
( , ) ( 2 ,2 , )
f x x x x x x
   D. 2
1 2 1 2 1 2 1
( , ) ( 2 , , )
f x x x x x x x
  
Câu 71: Ánh xạ 2 3
:
f  nào dưới đây không là ánh xạ tuyến tính:
A. 1 2 2 1 2 2
( , ) (2 ,3 2 , )
f x x x x x x
  B. 1 2 1 1 2 1 2
( , ) ( ,3 3 , )
f x x x x x x x
  
C. 1 2 2 1 2 1
( , ) (2 , , )
f x x x x x x
  D. 1 2 1 2 2
( , ) (2, , )
f x x x x x
 
Câu 72: Cho ánh xạ tuyến tính 4 3
:
f  xác định bởi  
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
( , , , ) ,2 , 2
f x x x x x x x x x x
    .
Vectơ nào sau đây thuộc Ker f :
A. (1, 1,2,1) Ker f
  B. (1, 1, 2) Ker f
   C. (1,1,2, 1) Ker f
  D. (1, 1, 2, 1) Ker f
   
Câu 73: Cho toán tử tuyến tính 2 2
:
f  có biểu thức: ( , ) ( 2 , )
f x y x y x
  . Tìm ma trận của f theo
cơ sở chính tắc  
2 1 2
(1,0), (0,1)
E e e
   .
A.
1 0
0 1
 
 
 
B.
1 2
1 0

 
 
 
C.
1 2
0 1

 
 
 
D.
1 2
1 0
 
 
 
Câu 74: Tìm đa thức đặc trưng của ma trận sau:
1 0 0
2 0 1
1 2 1

 
 
 
 

 
.
A. 2
1 0 0
1
2 1 2
2 1
1 2 1


  


 

    
 
 
B.    
2
1 0 0
1 1
2 1 1 1
2 1
1 2 1

   


 

     
 
 
C.     
2
1 0 0
1
2 1 1 1 2
2 1
1 2 1


   


 

      
 
 
D.    
2
1 0 0
1 1
2 1 1 1
2 1
1 2 1

  


 

    
 
 
Câu 75: Cho toán tử tuyến tính 3 3
:
f  xác định bởi:  
( , , ) , 2 , 2
f x y z y z x y z
   . Tìm ma trận của
f theo cơ sở chính tắc  
3 1 2 3
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)
E e e e
    .
A.   3
0 1 0
1 2 0
1 1 2
E
f
 
 
 
 
 
 
B.   3
0 1 0
1 2 0
1 0 2
E
f
 
 
 
 
 
 
C.   3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
E
f
 
 
  
 
 
D.   3
0 1 1
1 2 0
0 0 2
E
f
 
 
 
 
 
 

12. -12-
Câu 76: Cho
1
3
1
v
 
 
 
 
 
 
là một vectơ riêng của ma trận
1 0 1
3 3 0
9 2 1
A
 
 
  
 

 
. Tìm giá trị riêng  tương ứng.
A.  = –3 B.  = 3 C.  = –2 D.  = 2
Câu 77: Cho ánh xạ tuyến tính 3 3
:
f  thỏa (1,0,0) (1, 2,1), (0,1,0) ( 2,3,1)
f f
    ,
(0,0,1) ( 2,0,1)
f   . Tìm (1,2,3)
f .
A. Ta có          
1,2,3 1,0,0 2 0,1,0 3 0,0,1 1,2,3
f    
B. Ta có        
1,2,3 1 1,0,0 2 0,1,0 3 0,0,1
   nên  
1,2,3 ( 9,4,6)
f  
C. Ta có        
1,2,3 1 1,0,0 2 0,1,0 3 0,0,1
   nên  
1,2,3 ( 3,3,4)
f  
D. Ta có        
1,2,3 1 1,0,0 2 0,1,0 3 0,0,1
   nên  
1,2,3 ( 3,1,3)
f  
Câu 78: Cho ánh xạ tuyến tính 3 3
:
f  xác định bởi  
( , , ) 2 , 3 ,
f x y z x y x y x z
    . Xác định
 
( ) B
f u biết  
2, 1,1
u   và  
1 2 3
(1,0,1), (1,1,1), (2,1,1)
B u u u
    là một cơ sở của 3
.
A.  
6
( ) 0
5
B
f u
 
 
  
 
 
B.  
5
1
( ) 4
7
2
B
f u
 
 
 
 
 

 
C.  
2
( ) 5
4
B
f u
 
 
 
 
 
 
D.  
6
( ) 3
1
B
f u
 
 
  
 
 
Câu 79: Cho toán tử tuyến tính 3 3
:
f  có ma trận trong cơ sở chính tắc là
0 2 1
1 4 0
3 0 0
A
 
 
 
 
 
 
. Tìm ma
trận của f trong cơ sở  
1 2 3
(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)
B u u u
    .
A.   3 3 3
3 3 3
[ ] 6 6 2
6 5 1
B E E E B
B
f P f P
 
 
 
    
 
 

 
B.   3 3
3 0 0
[ ] 2 4 0
1 6 1
B E E
B
f P f

 
 
   
 
 

 
C.   3 3
3 2 0
[ ] 3 3 1
3 3 3
E E B
B
f f P 
 
 
   
 
 
 
D.   3 3 3
3 2 4
[ ] 0 1 1
3 2 0
E B E E B
B
f P f P
 
 
 
  
 
 
 
Câu 80: Cho toán tử tuyến tính 3 3
:
f  thỏa (1;0;0) (2;1;3), (0;1;0) ( 1;1;0)
  
f f ,
(0;0;1) (4;1;2)
f  . Tìm ( ; ; )
f x y z .
A.  
( ; ; ) (2;1;3) (4;1;2) ( 1;1;0) 2 4 ; ;3 2
f x y z x y z x y z x y z x z
         
B. ( ; ; ) (1;0;0) (0;1;0) (0;0;1) ( ; ; )
   
f x y z x y z x y z
C.  
( ; ; ) (2;1;3) ( 1;1;0) (4;1;2) 2 3 ; ;4 2 2
f x y z x y z x y z x y x y z
          
D.  
( ; ; ) . (1;0;0) . (0;1;0) . (0;0;1) 2 4 ; ;3 2
f x y z x f y f z f x y z x y z x z
        
Câu 81: Cho ánh xạ tuyến tính 2 2
:
f  có   2
1 2
.
0 1
E
f

 
  
 
Xác định   2
( ) E
f u biết  
1,2
u   và
 
2 1 2
(1,0), (0,1)
E e e
   là một cơ sở chính tắc của 2
.
A.   2
5
( )
2
E
f u
 
  
 
B.   2
5
( )
2
E
f u

 
  
 
C.   2
2
( )
5
E
f u

 
  

 
D.   2
2
( )
5
E
f u
 
  
 

13. -13-
Câu 82: Cho toán tử tuyến tính 3 3
:
f  xác định bởi:  
( , , ) 2 ,2 4 ,
f x y z x y z x y z z
     . Tìm ma
trận của f theo cặp cơ sở  
3,
E B với  
3 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)
E  và
 
1 2 3
(1,1,1), (1,2,1), (2, 1,1)
B u u u
     .
A.   3 3
3
0 2 5
[ ] 1 5 9
1 1 1
E E B
E B
f f P 

 
 
   
 
 
 
. B.   3 3
3
3 6 4
[ ] 5 10 2
3 6 3
E B E
E B
f P f


 
 
  
 
 

 
.
C.   3 3
3
1
5 10 1
( ) [ ] 4 8 0
1 2 0
E B E
E B
f P f



 
 
  
 
 

 
. D.   3 3
3
1
6 3 10
[ ] ( ) 13 6 21
1 0 1
E E B
E B
f f P 

 
 
 
   
 
 

 
.
Câu 83: Cho ma trận
1 2 1
2 0 2
1 2 3
A
 
 
 
 
 

 
. Tìm cơ sở B của không gian riêng ứng với giá trị riêng  = 2.
A.
1 2 1 1 2 1 1 2 1
2 0 2 0 4 4 0 4 4
1 2 3 0 4 4 0 0 0
A
     
     
       
     
     

     
nên
1 2 3
2 3
2 0
0
x x x
x x
  


 

. Do đó  
(1; 1;1)
B  
B. Ta có 3
1 2 1 1 2 1
2 2 2 2 0 0 0
1 2 1 0 0 0
A I
 
   
   
    
   
   

   
nên 1 2 3
2 0
x x x
    .  
(1;0;1),(2;1;0)
B 
C. Ta có 3
1 2 1 1 2 1
2 2 2 2 0 2 0
1 2 1 0 0 0
A I
 
   
   
    
   
   

   
nên
1 2 3
2
2 0
2 0
x x x
x
   




.  
(1;0;1)
B 
D. Ta có 2
3 2 1 1 2 5 1 2 5 1 2 5
2 2 2 2 0 6 8 0 1 2 0 1 2
1 2 5 0 8 16 0 3 4 0 0 2
A I
  
       
       
     
       
       
 
       
. Do đó  
(0;0;0)
B 
Câu 84: Cho ánh xạ tuyến tính 2 3
:
f  và hai cơ sở B1, B2 tương ứng, biết  
1 (1,1), (1,2)
B  ,
  1 2
1 2
1 3
B B
f
 
  

 
và (3, 1)
x   . Tìm   2
( ) B
f x .
A.          
1 2
2 1 2 1 1 2 2
1
1 2 1 1 3 1
( )
1 3 1 2 1 19
B E
B B B B B B E
f x f x f P x



      
   
      
  
      
B.        
2 1 2 1 1 2 2 2
2 1 2 2
1 1 3 4
( )
2 3 1 3
B B B B B E B E
B B E E
f x P x P P x P x
   

    
    
    

    
C.          
1 2
2 1 2 1 1 2 2
1 2 1 1 3 4
( )
1 3 1 2 1 1
B E
B B B B B B E
f x f x f P x

     
   
     
 
     
D.          
1 2
2 1 2 1 1 2 2
1
1 2 1 1 3 1
( )
1 3 1 2 1 11
B E
B B B B B B E
f x f x f P x


      
   
      
  
      

14. -14-
Câu 85: Cho ánh xạ tuyến tính 3 3
:
f  và hai cơ sở B1, B2 tương ứng, biết
 
1 (1,2, 1), (2,0,1), (0, 1,1)
B    ,   1 2
1 1 2
0 3 1
4 5 1
B B
f

 
 
  
 

 
và (1,2, 1)
x   . Tìm   2
( ) B
f x .
A.      
2 1 2 1
1 1 2 1 3
( ) 0 3 1 2 5
4 5 1 1 15
B B B B
f x f x
 
    
    
  
    
    
 
    
B.          
1 3
2 1 2 1 1 2 3
1
1 1 2 1 2 0 1 1
( ) 0 3 1 2 0 1 2 0
4 5 1 1 1 1 1 4
B E
B B B B B B E
f x f x f P x



      
      
    
      
      
  
      
C.          
1 3
2 2 1 1 2 1 3
1 13
36
7
36
29
12
1 1 2 1 2 0 1
( ) 0 3 1 2 0 1 2
4 5 1 1 1 1 1
B E
B B B B B B E
f x f x f P x


  
    
 
    
      
    
      
  
      
D.      
2 2 1 1
1 17
36
13
36
11
12
1 1 2 1
( ) 0 3 1 2
4 5 1 1
B B B B
f x f x
 
  
   
 
   
    
   
     
 
     
Câu 86: Cho ánh xạ tuyến tính 2 3
:
f  có ma trận của f theo cặp cơ sở chính tắc  
2 3
,
E E là
  2 3
1 3
0 2
4 3
E E
f

 
 
  
 
 
. Với  
1 2
(1,1), (1,0)
B u u
   ,  
1 2 3
(1,0,1), (1,1,1), (1,0,0)
B v v v
     , hãy xác
định  BB
f 
.
A.    
3 2
2 3
1
1
1 1 1 1 3 7 4
1 1
( ) 0 1 0 0 2 4 1
1 0
1 1 0 4 3 9 3
E B E B
BB E E
f P f P



 


     
 
     
   
 
     
 
     
 
     
.
B.    
3 2
2 3
1 1 1 1 3 7 5
1 1
0 1 0 0 2 2 0
1 0
1 1 0 4 3 0 1
E B E B
BB E E
f P f P

 


    
 
    
  
 
    
 
    
    
.
C.    
3 2
2 3
1
1 1 1 1 3 5 4
1 1
0 1 0 0 2 2 0
1 0
1 1 0 4 3 9 3
B E E B
BB E E
f P f P

 


     
 
     
  
 
     
 
     
 
     
.
D.    
3 2
2 3
1
1
1 1 1 1 3 2 3
1 1
( ) 0 1 0 0 2 2 2
1 0
1 1 0 4 3 1 2
E B E B
BB E E
f P f P



 


    
 
    
   
 
    
 
    

    
.
Câu 87: Cho ánh xạ tuyến tính 3 3
:
f  xác định bởi  
( , , ) 3 , 2 ,
f x y z x y x y x z
    . Xác định
 
( ) B
f u biết  
0,1,2
u  và  
(1, 3, 3);(1,0,2);(0,1,2)
B    là một cơ sở của 3
.
A.  
2
( ) 5
7
B
f u
 
 
  
 
 
B.  
2
( ) 5
7
B
f u

 
 
  
 

 
C.  
2
( ) 5
7
B
f u

 
 
 
 
 
 
D.  
2
( ) 5
7
B
f u

 
 
  
 
 

15. -15-
Câu 88: Cho ánh xạ tuyến tính 2 3
:
f  thỏa (1,1) (0,2,1), (2, 1) (3,1, 1)
f f
    . Tìm ( , )
f x y .
A. Ta có  
1
0 3
1 2
( , ) 2 1
1 1
1 1
E
x y
x
f x y x y
y
y
 
   
   
   
  
   
   

   
   

   
. Do đó ( , ) ( , , )
f x y x y x y y
  
B. ( , ) (1,1) (2,1)
x y x y
  nên ( , ) (1,1) (2,1) (0,2,1) (3,1, 1) (3 , 2 , )
f x y xf yf x y y x y x y
       
C. Ta có  
0 3 3 3
1 2
( , ) 2 1 3 3
1 1
1 1 3
E
x y
x
f x y x y
y
y

   
  
   
  
  
   

  
   

   
. Do đó ( , ) (3 3 , 3 3 , 3 )
f x y x y x y y
  
D. Ta có ( , ) (1,1) (2, 1)
x y a b
   nên
1 2
3 3
1 1
3 3
a x y
b x y

 



  


. Do đó
2
( , ) ,
3 3 3 3
x y x y
f x y
 
  
 
 
Chương 5: KHÔNG GIAN EUCLIDE
Câu 89: Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. 1 2
{ , ,..., }
n
S u u u
 là hệ trực giao nếu : , 0
i j
i j u u
   .
B. Mọi hệ trực giao trong n
chứa vectơ 0 đều độc lập tuyến tính
C. Hệ S là cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi S là cơ sở trực giao
D. Nếu , 0
u v  thì u và v là hai vectơ trực giao
Câu 90: Trong các ma trận sau, ma trận nào là ma trận trực giao?
A.
2 2 1
2 1 2
1 2 2
 
 

 
 

 
B.
2 2 1
1
2 1 2
3
1 2 2
 
 

 
 

 
C.
2 2 1
2
2 1 2
3
1 2 2
 
 
 
 

 
D.
2 2 1
2
2 1 2
3
1 2 2
 
 
 
 
 
Câu 91: Trong các ma trận sau, ma trận nào không chéo hóa trực giao được:
A.
2 0 7
0 1 2
7 2 3

 
 
 
 
 
B.
1 2 1
2 3 0
1 0 5

 
 

 
 
 
C.
2 0 7
0 1 3
7 3 5

 
 
 
 
 
D.
1 2 1
7 1 0
1 2 1

 
 
 
 
 
Câu 92: Trong các ma trận sau, ma trận nào chéo hóa trực giao được:
A.
2 1 3
7 1 0
2 1 3

 
 
 
 
 
B.
1 2 3
0 3 1
4 1 0

 
 
 
 
 
C.
1 2 1
2 0 5
1 5 3

 
 

 
 
 
D.
1 2 1
7 6 0
3 1 7

 
 
 
 
 
Câu 93: Xác định xem hệ vectơ nào sau đây là hệ trực chuẩn.
A.
2 2 1 1 2 2 2 1 2
, , , , , , , ,
3 3 3 3 3 3 3 3 3
 
     
 
 
     
     
 
B.
2 2 1 1 2 2 2 1 2
, , , , , , , ,
3 3 3 3 3 3 3 3 3
 
     
 
     
     
 
C.  
(1, 1,2), ( 3,1,2), ( 1,2,1)
   D.  
( 2,2,1), (1,2, 2), (2,1,2)
 
Câu 94: Tìm m để      
 
1,1,2,2 ; 3,1, 2,0 ; 1, 1, , 1
m
   là hệ trực giao.
A. 0
m  B. 1
m  C. 2
m  D. Với mọi m

16. -16-
Câu 95: Tìm m để      
 
3, 1,2,0 ; 1,1,2,2 ; 1,1, ,2
m
   là hệ trực giao.
A. 0
m  B. 2
m  C. Với mọi m D. Không tồn tại m
Câu 96: Cho vectơ  
3,5, 1
v   . Vectơ v trực giao với các vectơ trong hệ vectơ nào sau đây:
A.  
(0,1, 1), ( 2,1,3)
  B.  
(1,2,1), ( 2,1,1)
 C.  
(1,1,8), ( 2,1, 1)
  D.  
(2,3,1), ( 1,2,1)

Câu 97: Trong không gian vectơ 4
, tìm vectơ  trực chuẩn hóa của vectơ  
1,2, 1,2
v    .
A.
1 2 1 2
, , ,
10 10 10 10

 
 
 
 
B.
1 2 1 2
, , ,
10 10 10 10

 
  
 
 
C.
1 2 1 2
, , ,
2 2 2 2 2 2

 
  
 
 
D.
1 2 1 2
, , ,
2 2 2 2 2 2

 
 
 
 
Câu 98: Trực giao hóa cơ sở 1 2
{ (2,3), (1,4)}
B u u
   trong 2
bởi thuật toán Gram - Schmidt ta được
cơ sở trực giao:
A.  
1 2
15 10
2,3 , ,
13 13
w w
 
 
 
 
 
 
 
B.    
 
1 2
2,3 , 15,10
w w
  
C.  
1 2
15 10
2,3 , ,
13 13
w w
 
 
  
 
 
 
 
D.  
1 2
15 10
3,2 , ,
13 13
w w
 
 
  
 
 
 
 
Câu 99: Trực chuẩn hóa cơ sở 1 2
{ (2,3), ( 3,2)}
B u u
    trong 2
bởi thuật toán Gram - Schmidt ta
được cơ sở trực chuẩn:
A. 1 2
2 3 3 2
; , ,
13 13 13 13
w w
 
   
  
 
   
   
 
B. 1 2
2 3 3 2
; , ,
13 13 13 13
w w
 
   
 
 
   
   
 
C. 1 2
3 3
1, , ,1
2 2
w w
 
   
  
 
   
   
 
D. 1 2
3 3
,1 , 1,
2 2
w w
 
   
  
 
   
   
 
Câu 100: Cho dạng song tuyến tính 2 2
:
f   có 1 1 1 2 2 1 2 2
( , ) 3 3 4
f x y x y x y x y x y
    . Khi đó
dạng toàn phương tương ứng 2
:
q  được xác định là:
A. 2 2 2
1 1 2 2 1 2
( ) 6 4 , ( , )
q x x x x x x x x
      B. 2 2 2
1 1 2 2 1 2
( ) 6 , ( , )
q x x x x x x x x
     
C. 2 2 2
1 1 2 2 1 2
( ) 3 4 , ( , )
q x x x x x x x x
      D. 2 2 2
1 1 2 2 1 2
( ) 3 , ( , )
q x x x x x x x x
     
Câu 101: Cho dạng song tuyến tính 3 3
:
f   có
1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2 2 2
( , ) 2 2 3 3 4
f x y x y x y x y x y x y x y x y x y
        .
Khi đó dạng toàn phương tương ứng 3
:
q  được xác định là:
A. 2 2 3
1 1 2 1 3 2 3 2 1 2 3
( ) 4 6 2 , ( , , )
q x x x x x x x x x x x x x
       
B. 2 2 3
1 1 2 1 3 2 3 2 1 2 3
( ) 2 2 4 , ( , , )
q x x x x x x x x x x x x x
       
C. 2 2 3
1 1 2 1 3 2 3 2 1 2 3
( ) 4 6 2 4 , ( , , )
q x x x x x x x x x x x x x
       
D. 2 2 3
1 1 2 1 3 2 3 2 1 2 3
( ) 4 6 2 4 , ( , , )
q x x x x x x x x x x x x x
       
Câu 102: Từ dạng toàn phương 2 2 2
1 2 3 1 2 2 3
( ) 4 6
q x x x x x x x x
     , sử dụng thuật toán Lagrange ta
được dạng chính tắc 2 2 2
1 2 3
( ) 3 2
q y y y y
   ; trong đó 1 1 2 3 3
2 ,
y x x y x
   . Hãy xác định 2
y .
A. 2 2 3
3
y x x
  B. 2 2 3
y x x
  C. 2 2 3
3
y x x
  D. 2 2 3
y x x
 

17. -17-
Câu 103: Từ dạng toàn phương 2 2 2
1 2 3 1 3 2 3
( ) 9 2 6 8
q x x x x x x x x
     , sử dụng thuật toán Lagrange ta
được dạng chính tắc 2 2 2
1 2 3
( ) 2 8
q y y y y
   ; trong đó 1 1 3 3 3
3 ,
y x x y x
   . Hãy xác định 2
y .
A. 2 2 3
2
y x x
  B. 2 2 3
2
y x x
  C. 2 2 3
2
y x x
  D. 2 2 3
2
y x x
 
Câu 104: Viết ma trận của dạng toàn phương q trong cơ sở chính tắc, biết
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 2 4 2 8
q x x x x x x x x x x x x
      .
A.
1 2 1
2 2 4
1 4 1
A

 
 
  
 
 
 
B.
1 4 2
4 2 8
2 8 1
A

 
 
  
 
 
 
C.
1 4 2
0 2 8
0 0 1
A

 
 
  
 

 
D.
1 2 1
2 2 4
1 4 1
A
 
 
 
 
 
 

 
Câu 105: Ma trận của dạng toàn phương 2 2
1 1 2 2 2 3
( ) 4 2 4
q x x x x x x x
    trong cơ sở
 
(1,0,0), ( 2,1,0), (2, 1,1)
B    là:
A. 1
3 12 2
2 8 2
0 2 2
PAP
  
 
 
  
 
 
 
B. 1
5 4 0
2 4 2
0 2 2
P AP


 
 
 
 
 

 
C. 1
5 10 2
4 10 6
0 4 4
P AP


 
 
 
 
 

 
D. 1
7 22 0
4 14 2
0 4 4
PAP
 
 
 
  
 
 
 
Câu 106: Tìm dạng toàn phương 1 2 3
( , , )
q x x x biết ma trận của q trong cơ sở chính tắc là
0 1 3
1 0 2
3 2 0
A

 
 
  
 

 
A. 2 2 2
1 2 3 1 2 3
( , , ) 2 6 4
q x x x x x x
   B. 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 3 2
q x x x x x x x x x
  
C. 2 2 2
1 2 3 1 2 3
( , , ) 3 2
q x x x x x x
   D. 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 2 6 4
q x x x x x x x x x
  
Câu 107: Trong 3
cho dạng toàn phương 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 5 5 5 2 2 2
q x x x x x x x x x x x x
      . Bằng
phép chéo hóa trực giao với cơ sở trực chuẩn
1 1 1 1 1 1 2 1
, , , ,0, , , ,
3 3 3 2 2 6 6 6
W
 
   
 
   
 
   
 
 
   
 
ta đưa q về dạng chính tắc là:
A. 2 2 2
1 2 3 1 2 3
( , , ) 4 4 7
q y y y y y y
   B. 2 2 2
1 2 3 1 2 3
( , , ) 4 7 4
q y y y y y y
  
C. 2 2 2
1 2 3 1 2 3
( , , ) 7 4 4
q y y y y y y
   D. 2 2 2
1 2 3 1 2 3
( , , ) 7 4 4
q y y y y y y
   
Câu 108: Cho các hệ vectơ như sau:
     
 
1,2,1 ; 1,0,3 ; 1;2;1
 ;    
 
1,2,0 ; 2, 1,4
 ;
   
2 2 1
1, 2,2 ; ; ; ; 6; 3; 6
3 3 3
 
 
     
 
 
 
 
;      
 
1, 2,2 ; 1,0, 1 ; 5; 3; 7
     .
Số hệ vectơ trực giao trong các hệ trên là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

18. -18-
Câu 109: Trong 3
cho dạng toàn phương 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 3
( , , ) 7 2 6
q x x x x x x x x
    . Bằng phép chéo hóa trực
giao với ma trận
1 0 3
1
0 10 0
10
3 0 1
P
 
 
  
 

 
ta đưa q về dạng chính tắc:
A. Do
8 0 0
0 2 0
0 0 2
T
P AP
 
 
  
 

 
, nên 2 2 2
1 2 3 1 2 3
( , , ) 2 8 2
q y y y y y y
  
B. Do 1
2 0 0
0 2 0
0 0 8
P AP

 
 
 
 
 
 
, nên 2 2 2
1 2 3 1 2 3
( , , ) 2 2 8
q y y y y y y
  
C. Do
8 0 0
0 2 0
0 0 2
T
P AP
 
 
  
 

 
, nên 2 2 2
1 2 3 1 2 3
( , , ) 8 2 2
q y y y y y y
  
D. Do 1
2 0 0
0 2 0
0 0 8
P AP


 
 
  
 
 
, nên 2 2 2
1 2 3 1 2 3
( , , ) 2 2 8
q y y y y y y
   
Câu 110: Trực giao hóa cơ sở  
1 2 3
( 1;2; 2), (1;2; 2); (2;2; 1)
B u u u
        trong 3
bởi thuật toán
Gram - Schmidt:
A. Đặt  
1 1 1;2; 2
v u
    ,    
2 1
2 2 1
1 1
, 7 10 8 8
1;2; 2 1;2; 2 ; ;
, 3 3 3 3
u v
v u v
v v
 
        
 
 
,
   
3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
, , 4 1 10 8 8 580 122 293
2;2; 1 1;2; 2 ; ; ; ;
, , 3 57 3 3 3 171 171 171
u v u v
v u v v
v v v v
   
           
   
   
Do đó  
1 2 3
, ,
v v v là cơ sở cần tìm.
B. Đặt  
1 1 1;2; 2
v u
    ,    
2 1
2 2 1
1 1
, 7 16 4 4
1;2; 2 1;2; 2 ; ;
, 9 9 9 9
u v
v u v
v v
 
        
 
 
,
   
3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
, , 4 11 16 4 4 1 1
2;2; 1 1;2; 2 ; ; 0; ;
, , 9 8 9 9 9 2 2
u v u v
v u v v
v v v v
   
          
   
   
Do đó  
1 2 3
, ,
v v v là cơ sở cần tìm.
C. Đặt 1
1
1
1 2 2
; ;
3 3 3
u
v
u
 
   
 
 
, 2
2
2
1 2 2
; ;
3 3 3
u
v
u
 
  
 
 
, 3
3
3
2 2 1
; ;
3 3 3
u
v
u
 
  
 
 
Do đó  
1 2 3
, ,
v v v là cơ sở cần tìm.
D. Đặt  
1 1 1;2; 2
v u
    ,    
2 1
2 2 1
1 1
, 7 10 8 8
1;2; 2 1;2; 2 ; ;
, 3 3 3 3
u v
v u v
v v
 
        
 
 
,
 
3 2
3 3 2
2 2
, 1 10 8 8 352 334 163
2;2; 1 ; ; ; ;
, 57 3 3 3 171 171 171
u v
v u v
v v
   
        
   
   
  
1 2 3
, ,
v v v là cơ sở cần tìm.