Presentación de calculo de longitud de una curva

1. CALCULO INTEGRAL
Pérez José
CI : 24 394 244

2. Longitud De Curvas
La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva,
es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o
dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud
en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas
específicas, la llegada del calculo trajo consigo la fórmula general para obtener
soluciones cerradas para algunos casos
La longitud de una curva plana
se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten
a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean
y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo una familia finita de
puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal
que pasa por dichos puntos. Cuantos más puntos escojamos en C, mejor
seria el valor obtenido como aproximación de la longitud de C
Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es
suave y su gráfica es una curva suave

3. Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede
calcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)2=(dx)2+(dy)2.
Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b
Deducción de la fórmula para funciones
Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquiera, determinada por
una función , y suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco de
curva que va desde un punto a uno . Con este propósito es posible diseñar
una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran"
el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método
"más funcional" también se puede exigir que las bases de todos aquellos
triángulos sean iguales a , de manera que para cada uno existirá un
cateto asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo
entonces cada hipotenusa, , al aplicarse el teorema de Pitágoras Así, una
aproximación de estaría dada por la sumatoria de todas aquellas hipotenusas
desplegadas
Métodos anteriores al cálculo
A través de la historia de las matemáticas, grandes pensadores consideraron
imposible calcular la longitud de un arco irregular. Aunque Arquímedes había
descubierto una aproximación rectangular para calcular el área bajo una curva con
un método de agotamiento, pocos creyeron que fuera posible que una curva tuviese
una longitud definida, como las líneas rectas. Las primeras mediciones se hicieron
posibles, como ya es común en el cálculo, a través de aproximaciones: los
matemáticos de la época trazaban un polígono dentro de la curva, y calculaban la
longitud de los lados de éste para obtener un valor aproximado de la longitud de la
curva. Mientras se usaban más segmentos, disminuyendo la longitud de cada uno,
se obtenía una aproximación cada vez mejor