หวังเป็นอย่างยิ่งว่าโครงงานนี้จะเป็นประโยชน์ต่อผู้อ่านไม่มากก็น้อย

1. โครงงานคณิตศาสตร์
เรื่อง การประยุกต์ของอัตราส่วนทองคำ
จัดทำโดย
1.เด็กชาย ภูมิภัทร วัฒนกุลจรัส ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3/11
2.เด็กชาย สิรภพ ภักดีนอก ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3/11
3.เด็กชาย อภินันท์ อิศรางกูร ณ อยุธยา ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3/11
4.เด็กชาย อภิวิชญ์ จริยานุเคราะห์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3/11
โรงเรียนวัดสุทธิวราราม เขตสาทร กรุงเทพมหานคร
รายงานฉบับนี้เป็นส่วนหนึ่งของโครงงานคณิตศาสตร์
รายวิชา ค20205 เพิ่มพูนประสบการณ์ 5
ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3

2. โครงงานคณิตศาสตร์
เรื่อง การประยุกต์ของอัตราส่วนทองคำ
จัดทำโดย
1.เด็กชาย ภูมิภัทร วัฒนกุลจรัส ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3/11
2.เด็กชาย สิรภพ ภักดีนอก ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3/11
3.เด็กชาย อภินันท์ อิศรางกูร ณ อยุธยา ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3/11
4.เด็กชาย อภิวิชญ์ จริยานุเคราะห์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3/11
ครูที่ปรึกษา ครูบัณฑิต ขำพันดุง

3. บทคัดย่อ
สาขาวิชา คณิตศาสตร์
ชื่อโครงงาน การประยุกต์ของอัตราส่วนทองคำ
ชื่อผู้จัดทำโครงงาน
1.เด็กชาย ภูมิภัทร วัฒนกุลจรัส ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3/11
2.เด็กชาย สิรภพ ภักดีนอก ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3/11
3.เด็กชาย อภินันท์ อิศรางกูร ณ อยุธยา ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3/11
4.เด็กชาย อภิวิชญ์ จริยานุเคราะห์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3/11
โรงเรียน วัดสุทธิวราราม
เขตสาทร กรุงเทพมหานคร
ครูทีปรึกษา ครูบัณฑิต ขำพันดุง
โครงงานนี้มีมาได้เพื่อให้ค้นคว้าและต่อยอดทางความรู้ในวิชาคณิตศาสตร์ และ วิชาศิลปะ มี
วัตถุประสงค์เพื่อให้เข้าใจในหลักของการออกแบบ รู้จักสังเกต การวิเคราะห์ และการนำไปใช้ของ
อัตราส่วนทองคำ การสำรวจตามสถานที่ต่างๆในชีวิตประจำวัน ซึ่งจะต้องมีความสงสัยในสิ่งต่างๆ ว่า
สิ่งนั้นเป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่ แล้วจึงนำมาวิเคราะห์ มีความสามารถสร้างสรรค์ภาพกราฟิกขึ้นได้
จริง โดย การใช้โปรแกรมการออกแบบภาพกราฟิก อาทิเช่น The Geometer’s Sketchpad และ
Adobe illustrator เป็นต้น มีการสร้างภาพที่หลากหลายและต้องเป็นไปตามข้อกำหนดซึ่งเป็นความ
ท้าทายยิ่ง การสร้างสรรค์ภาพจริงร่วมกัน เป็นการระดมความคิดและฝึกการทำงานร่วมกันเป็นกลุ่ม
จนได้ผลออกเป็นงานที่สมาชิกภายในกลุ่มร่วมแรงร่วมใจกันทำ ทั้งนี้การดำเนินของโครงงานเป็นไป
ด้วยความเรียบร้อยและได้ผลงานที่ตรงตามเป้าหมายที่วางไว้ ตรงจุดประสงค์ในการทำงานอย่าง
ครบถ้วนสมบูรณ์

4. กิตติกรรมประกาศ
การสร้างสรรค์ผลงานศิลปะ ผลงานภาพกราฟิก และ การสำรวจตามสถานที่ในชีวิตประจำวัน
ภายใต้หัวข้อโครงงาน การประยุกต์ของอัตราส่วนทองคำนั้น ได้ดำเนินการจนประสบผลสำเร็จ ลุล่วง
ไปด้วยดี มาจากการร่วมมือร่วมใจของสมาชิกภายในกลุ่ม และโครงงานนี้จะสำเร็จไม่ได้เลย หากไม่ได้
รับความช่วยเหลือจากหลายฝ่าย
ขอขอบพระคุณ คุณครู บัณฑิต ขำพันดุง ซึ่งกรุณาสละเวลาให้ความรู้และคำแนะนำ เพื่อนำไป
ปรับปรุง ตลอดการจัดทำโครงงาน
ขอขอบพระคุณ โรงเรียนวัดสุทธิวราราม ที่เอื้อเฟื้อสถานที่ในการทำโครงงาน
ขอขอบคุณ เพื่อนๆสมาชิกในกลุ่มที่ได้ให้ความช่วยเหลือในการทำโครงงานเป็นอย่างดี
ท้ายสุดนี้ ขอกราบขอบพระคุณ คุณพ่อและคุณแม่ ที่เป็นกำลังใจและมอบโอกาสทางการศึกษาอันล้ำ
ค่ายิ่งกว่าสิ่งอื่นใด
คณะผู้จัดทำ

5. สารบัญ
หน้า
บทคัดย่อ………………………………………………………………………………………………………………………………ก
กิตติกรรมประกาศ…………………………………………………………………………………………………………………ข
สารบัญ…………………………………………………………………………………………………………………………………ค
สารบัญภาพ…………………………………………………………………………………………………………………………..ง
1 บทนำ…………………………………………………………………………………………………………………………..…1
1.1 ที่มาและความสำคัญของโครงงาน……………………………………………………………………….……….1
1.2 วัตถุประสงค์………………………………………………………………………………………………………….…..1
1.3 ข้อตกลงเบื้องต้น………………………………………………………………………………………………………..1
1.4 ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับ………………………………………………………………………………………….2
2 โครงงานและโครงงานที่เกี่ยวข้อง………………….………………………………………………………………….3
2.1 อัตราส่วนทองคำ………………………………………………………………………………………………………..3
2.2 โปรแกรม The Geometer’s sketchpad………………………………………………………………….12
2.3 โปรแกรม Adobe illustrator…………………………………………………………..………………………15
3 อุปกรณ์และวิธีดำเนินการทำโครงงาน…………………………………………………………………………….19
3.1 อุปกรณ์และโปรแกรมที่ต้องมีในการทำโครงงาน………………………………………………………….19
3.2 วิธีการดำเนินงาน…..…………………………………………………………………………………………………19
4 ผลการทดลองและวิเคราะห์ผล……………………………………………………………………………………...22
4.1 สร้างสรรค์ภายใต้หัวข้อ: ทดลองสร้างสรรค์ภาพอย่างอิสระ…………………………………………..22
4.2 สร้างสรรค์ภายใต้หัวข้อ: สร้างสรรค์ภาพเป็นไปตามกำหนดหัวข้อ………………………………….23

6. สารบัญ (ต่อ)
หน้า
4.3 สร้างสรรค์ภายใต้หัวข้อ: การสร้างสรรค์ภาพโดยการดัดแปลง……………………………………….25
4.4 สร้างสรรค์ภายใต้หัวข้อ: การสร้างสรรค์ภาพโดยใช้เฉพาะเส้นและสีขาวดำ…………………..…26
4.5 สร้างสรรค์ภายใต้หัวข้อ: การสร้างสรรค์ภาพโดยใช้เส้นโค้งและสี…………………………………..29
4.6 สร้างสรรค์ภายใต้หัวข้อ: ภาพสามมิติ………………………………………………………………………….31
4.7 สรุปแนวคิดการออกแบบ………………………………………………………………………………………….34
4.8 ผลงานการสร้างสรรค์ที่ได้รับการคัดเลือก ภายใต้หัวข้อ THE BEST……………………………….35
4.9 ภาพพิเศษ……………………………………………………………………………………………………………….37
4.10 การสำรวจสิ่งแวดล้อมในชีวิตประจำวัน…………………………………………………………………….38
4.11 การสร้างสรรค์ผลงานจริงบนกระดาษ A1 200 แกรม…………………………………………………43
5 สรุป อภิปรายผลการทดลองและข้อเสนอแนะ………………………………………………….……………..44
5.1 สรุปผลการสร้างสรรค์ภาพกราฟิกโดยใช้อัตราส่วนทองคำ…………………………………………….44
5.2 สรุปผลการสำรวจ สิ่งแวดล้อมรอบตัวในชีวิตประจำวัน………………………………………………..44
5.3 สรุปผลการสร้างสรรค์ภาพจริงบนกระดาษ………………………………………………………………….44
5.4 ข้อเสนอแนะและแนวทางการพัฒนาต่อ………………………………………………………………………45
5.5 ปัญหาและอุปสรรค……………………………………………………………………………………….…………45
บรรณานุกรม……………………………………………………………………………………………………………………….46
ภาคผนวก ก………………………………………………………………………………………………………………………..47

7. สารบัญภาพ
หน้า
ภาพที่ 2.1 สี่เหลี่ยมทองคำ (Golden rectangle)................................................................................4
ภาพที่ 2.2 สี่เหลี่ยมทองคำกับลำดับเลขฟีโบนักชี……...........................................................................5
ภาพที่ 2.3 เดอะวิทรูเวียนแมน (the Vitruvian Man)..........................................................................5
ภาพที่ 2.4 สัดส่วนต้นฉบับตาม Jan Tschichold……………………………………………………………………….6
ภาพที่ 2.5 วิหารพาร์เธนอน ในกรุงเอเธนส์ ประเทศกรีซ…………………………………………………………….6
ภาพที่ 2.6 “โมนาลิซา” (Mona Lisa)……………………………………………………………………………………….7
ภาพที่ 2.7 ภาพวาดของร่างกาย ของมนุษย์ในรูปดาวห้าแฉก……………………………………………………….8
ภาพที่ 2.8 การแบ่งส่วนของเส้นตามอัตราส่วนทองคำ………………………………………………………………..9
ภาพที่ 2.9 สามเหลี่ยมทองคำ………………………………………………………………………………………………..10
ภาพที่ 2.10 ภาพแสดงอัตราส่วนของรูปห้าเหลี่ยม……………………………………………………………………10
ภาพที่ 2.11 รูปดาวห้าแฉกสี………………………………………………………………………………………………….11
ภาพที่ 2.12 อัตราส่วนทองคำในรูปห้าเหลี่ยม………………………………………………………………………….12
ภาพที่ 2.13 การสร้างส่วนของเส้นตรงให้เท่ากับเส้นตรงที่กำหนดให้………………………………………….13
ภาพที่ 2.14 การระบายสี………………………………………………………………………………………………………13
ภาพที่ 2.15 การสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก…………………………………………………………………………….14
ภาพที่ 2.16 ตัวอย่างภาพแสดงถึงขั้นตอนการสร้างสี่เหลี่ยมทองคำ……………………………………………18
ภาพที่ 4.1 งานครั้งที่ 1 ภาพ 1………………………………………………………………………………………………22
ภาพที่ 4.2 งานครั้งที่ 1 ภาพ 2……………………………………………………………………………………………….22
ภาพที่ 4.3 งานครั้งที่ 2 ภาพ 1……………………………………………………………………………………………….23

8. สารบัญภาพ (ต่อ)
หน้า
ภาพที่ 4.4 งานครั้งที่ 2 ภาพ 2……………………………………………………………………………………………....23
ภาพที่ 4.5 งานครั้งที่ 2 ภาพ 3……………………………………………………………………………………………….24
ภาพที่ 4.6 งานครั้งที่ 2 ภาพ 4……………………………………………………………………………………………….24
ภาพที่ 4.7 งานครั้งที่ 3 ภาพต้นฉบับ……………………………………………………………………………………….25
ภาพที่ 4.8 งานครั้งที่ 3 ภาพ 1……………………………………………………………………………………………….25
ภาพที่ 4.9 งานครั้งที่ 3 ภาพ 2…………………………………………………………………….………………………..26
ภาพที่ 4.10 งานครั้งที่ 4 ภาพ 1……………………………………………………………………………………………..26
ภาพที่ 4.11 งานครั้งที่ 4 ภาพ 2……………………………………………………………………………………………..27
ภาพที่ 4.12 งานครั้งที่ 4 ภาพ 3……………………………………………………………………………………………..27
ภาพที่ 4.13 งานครั้งที่ 4 ภาพ 4……………………………………………………………………………………………..28
ภาพที่ 4.14 งานครั้งที่ 4 ภาพ 5……………………………………………………………………………………………..28
ภาพที่ 4.15 งานครั้งที่ 5 ภาพ 1……………………………………………………………………………………………..29
ภาพที่ 4.16 งานครั้งที่ 5 ภาพ 2……………………………………………………………………………………………..29
ภาพที่ 4.17 งานครั้งที่ 5 ภาพ 3……………………………………………………………………………………………..30
ภาพที่ 4.18 งานครั้งที่ 5 ภาพ 4…………………………………………………………………………………………….30
ภาพที่ 4.19 งานครั้งที่ 6 ภาพ 1…………………………………………………………………………………………….31
ภาพที่ 4.20 งานครั้งที่ 6 ภาพ 2…………………………………………………………………………………………….31
ภาพที่ 4.21 งานครั้งที่ 6 ภาพ 3…………………………………………………………………………………………….32
ภาพที่ 4.22 งานครั้งที่ 6 ภาพ 4…………………………………………………………………………………………….33

9. สารบัญภาพ (ต่อ)
หน้า
ภาพที่ 4.23 งานครั้งที่ 6 ภาพ 5……………………………………………………………………………………………..33
ภาพที่ 4.24 THE BEST (FIRST)……………………………………………………………………………………………..35
ภาพที่ 4.25 THE BEST (SECOND)………………………………………………………………………………………..36
ภาพที่ 4.26 ภาพพิเศษ ภาพ 1………………………………………………………………………………………………37
ภาพที่ 4.27 ภาพพิเศษ ภาพ 2………………………………………………………………………………………………37
ภาพที่ 4.28 ภาพจากการสำรวจ 1…………………………………………………………………………………………38
ภาพที่ 4.29 ภาพแสดงการวิเคราะห์ภาพสำรวจ 1…………………………………………………………………..38
ภาพที่ 4.30 ภาพจากการสำรวจ 2…………………………………………………………………………………………39
ภาพที่ 4.31 ภาพแสดงการวิเคราะห์ภาพสำรวจ 2……………………………………………………………………39
ภาพที่ 4.32 ภาพจากการสำรวจ 3…………………………………………………………………………………………40
ภาพที่ 4.33 ภาพแสดงการวิเคราะห์ภาพสำรวจ 3…………………………………………………………………..40
ภาพที่ 4.34 ภาพจากการสำรวจ 4…………………………………………………………………………………………41
ภาพที่ 4.35 ภาพแสดงการวิเคราะห์ภาพสำรวจ 4……………………………………………………………………41
ภาพที่ 4.36 ภาพจากการสำรวจ 5……………………………………………………………………………………….. 42
ภาพที่ 4.37 ภาพแสดงการวิเคราะห์ภาพสำรวจ……………………………………………………………………….42
ภาพที่ 4.38 ภาพ THE BEST (FIRST) เมื่อนำไปวาดจริงในกระดาษ A1……………………………………….43
ภาพที่ ก.1 ภาพต้นฉบับก่อนการสร้างลวดลาย…………………………………………………………………..…….51
ภาพที่ ก.2 ภาพหลังการสร้างลวดลาย…………………………………………………………………………………….51

10. สารบัญภาพ (ต่อ)
หน้า
ภาพที่ ก.3 เส้นและอักษร……………………………………………………………………………………………………..52
ภาพที่ ก.4 อักษรไปอยู่ตามแนวเส้น……………………………………………………………………………………….52

11. บทที่ 1
บทนำ
ที่มาและความสำคัญของโครงงาน
ปัจจุบันนี้โลกเรามีการพัฒนาด้านคณิตศาสตร์ และ ศิลปะที่เป็นการสร้างสรรค์ผลงานที่
งดงามโดยใช้อัตราส่วนทองคำ เป็นอัตราส่วนที่นักคณิตศาสตร์ นักวิศวกร สถาปนิก ได้ทำกล่าวถึง
และใช้อัตราส่วนทองคำในการออกแบบสิ่งต่างๆ และเป็นอัตราส่วนที่สืบทอดกันมาอย่างยาวนาน
และถูกใช้อย่างแพร่หลายในวงการศิลปะ
วัตถุประสงค์
1.เพื่อศึกษาค้นคว้าเกี่ยวกับอัตราส่วนทองคำในชีวิตประจำวันและการประยุกต์ใช้ในด้าน
ต่างๆอาทิเช่นด้านศิลปะ
2.เพื่อนำ ความรู้เรื่อง อัตราส่วนทองคำ ไปออกแบบลวดลายโดยใช้โปรแกรม The
Geometer’s Sketchpad และ illustrator
ข้อตกลงเบื้องต้น
ด้านเนื้อหา
ศึกษาอัตราส่วนทองคำในชีวิตประจำวันและศิลปกรรม ด้วย โปรแกรม The Geometer's
Sketchpad และ illustrator ในการสร้างและนำเสนอ และสถานที่ต่างๆที่ประยุกต์จากอัตราส่วน
ทองคำ
ด้านเวลา
ใช้เวลา 8 สัปดาห์ (ตั้งแต่ 8 กรกฎาคม ถึง 31 สิงหาคม 2557)
ด้านสถานที่
ที่บ้านของสมาชิก และ สถานที่ต่างๆที่สมาชิกพบในชีวิตประจำวัน
ด้านประชากร
4 คน ในการดำเนินงานและสำรวจ

12. ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับ
สามารถบอกความสำคัญของอัตราส่วนทองคำได้และสามารถนำมาประยุกต์ในด้านการ
ออกแบบและศิลปะได้

13. บทที่ 2
โครงงานและโครงงานที่เกี่ยวข้อง
ในการจัดทำโครงงานคณิตศาสตร์นี้ กลุ่มของข้าพเจ้าได้ สร้างสรรค์ภาพลวดลาย โดยใช้
โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad และ Adobe illustrator และ สำรวจสถานที่ต่างๆใน
ชีวิตประจำวัน
เอกสารที่เกี่ยวข้อง
1.อัตราส่วนทองคำ
อัตราส่วนทองคำ (Golden Ratio) หรือ ฟาย (Φ, Phi) คือ อัตราส่วนของจำนวน 2 จำนวน
กับ ผลลัพธ์ต่อจำนวนที่ใหญ่กว่า สามารถเขียนในรูปแบบพีชคณิตได้เมื่อ ab0
+
=
=
เมื่อ ฟาย () แทนอัตราส่วนทองคำ มีค่าคือ
=
√
= 1.6180339887..
ศิลปินและสถาปนิกในสมัยทศวรรษที่ 20 ได้สร้างสรรค์ผลงานตามอัตราส่วนทองคำ โดยส่วน
ใหญ่ในรูปของสี่เหลี่ยมทองคำ โดยเชื่อว่าเป็นอัตราส่วนที่งดงาม นักคณิตศาสตร์ตั้งแต่สมัยยูคลิดได้
ศึกษาคุณสมบัติของอัตราส่วนทองคำในรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีอัตราส่วนด้านยาวต่อด้านสั้นเท่ากับ
อัตราส่วนทองคำ หรือ Phi ความพิเศษของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำก็คือ หากแบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ทองคำออกเป็นสองส่วน โดยส่วนแรกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและส่วนที่สองเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า จะพบว่า
สี่เหลี่ยมผืนผ้าอันเล็กนั้นเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ ซึ่งหากแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำนี้ด้วยวิธีการเดิม
สี่เหลี่ยมที่เกิดขึ้นใหม่ก็ยังคงเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำเหมือนเดิม

14. ภาพที่ 2.1 สี่เหลี่ยมทองคำ (Golden rectangle)
อัตราส่วนทองคำ ได้จุดประกายนักคิดของทุกอาชีพอย่างที่ไม่มีเลขตัวไหนทำ ได้ใน
ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ การศึกษาอัตราส่วนทองคำ พบว่า สิ่งต่างๆที่มีอยู่ในธรรมชาติต่าง
เกี่ยวข้องกับค่านี้ อาทิ อัตราส่วนของความยาวส่วนต่างๆบนร่างกายมนุษย์ อัตราส่วนความกว้างและ
ความยาวของฟันซี่หน้าของมนุษย์ การเจริญเติบโตของดอกไม้และสัตว์เป็นต้น
การคำนวณ
จำนวน 2 จำนวนจะเป็นอัตราส่วนทองคำ ก็ต่อเมื่อ
+
=
=
+
=
+
= 1 +
φ + 1 =
− − 1 = 0
จากสมการแทนด้วย
±√
φ = √
= 1.6180339887..
และ = √
= −0.6180339887..

15. เพราะ φ เป็นอัตราส่วนของผลบวกทำให้ φ ต้องเป็นค่าบวก
อัตราส่วนทองคำนั้นมีความสัมพันธ์กับลำดับเลขฟีโบนักชี (Fibonacci) กล่าวคือ ค่า
อัตราส่วนทองคำจะเป็นค่าของอัตราส่วนระหว่างค่าลำดับเลขฟีโบนักชี 2 ค่าที่มีลำดับติดกัน
ตัวอย่างเช่น 1597:2584 มีอัตราส่วนประมาณ 1:1.618
ภาพที่ 2.2 สี่เหลี่ยมทองคำกับลำดับเลขฟีโบนักชี
เดอะวิทรูเวียนแมน (the Vitruvian Man) เป็นภาพวาดที่มีชื่อเสียงมากของ เลโอนาร์โด
ดาวินชี เนื่องจากเป็นภาพ ที่แสดงออกถึงความสามารถทางการวาดภาพ ที่เป็นศิลป์ผนวกกับความรู้
ทางวิทยาศาสตร์ของดาวินชีในการกำหนดสัดส่วน ทางคณิตศาสตร์ของร่างกายมนุษย์ โดยดาวินชีได้
นำ Phi มาให้ในกำหนดสัดส่วนต่างๆ ของร่างกาย จนได้ภาพวาดของมนุษย์เพศชาย ที่มีรูปร่าง
สมบูรณ์แบบ และมีสัดส่วนถูกต้องมากที่สุด ซึ่งถือว่าเป็นผลงาน ทางด้านกายวิภาคศาสตร์ ที่ก้าวล้ำ
สมัยมาก ซึ่งในเวลาต่อมา ได้กลายเป็นหนึ่งในสัญลักษณ์ ทางวัฒนธรรมของมนุษยชาติ
ภาพที่ 2.3 เดอะวิทรูเวียนแมน (the Vitruvian Man)

16. การออกแบบหนังสือ
ภาพที่ 2.4 สัดส่วนต้นฉบับตาม Jan Tschichold
หน้ากระดาษมีสัดส่วนเป็น 2:3 ขอบกระดาษสัดส่วนเป็น 1:1:2:3 พื้นที่สำหรับข้อความเป็น
สัดส่วนทองคำ
วิหารพาร์เธนอน และ องค์ประกอบในด้านหนาได้มาตั้งข้อสังเกตว่าเกี่ยวข้องกับสี่เหลี่ยมทองคำ
ภาพที่ 2.5 วิหารพาร์เธนอน ในกรุงเอเธนส์ ประเทศกรีซ
ภาพ “โมนาลิซา” (Mona Lisa) เป็นผลงานชิ้นเอกของ เลโอนาร์โด ดา วินชี จิตรกรชาวอิ
ตาเลียน ซึ่งในขณะนี้ตั้งแสดงอยู่ที่ห้องเดอะแกรนแกลเลอรี่ ในพิพิธภัณฑ์ลูฟว์ ประเทศฝรั่งเศส ใน
นาม “ลา โฌกงด์” (La Joconde) โมนาลิซาในภาพเป็นภาพเหมือนของหญิงสาวชื่อ “ลา จิโอกอน
ดา” (La Gioconda) ภรรยาของฟรานเซสโก เดล จิโอกอนดา ที่ เลโอนาร์โด วาดขึ้นโดยใช้เทคนิค
การวาดภาพแบบสฟูมาโต (sfumato) เพื่อให้โทนสีของภาพออกมาดูนุ่มเบา

17. ภาพที่ 2.6 “โมนาลิซา” (Mona Lisa)
การวาดภาพ
นักปรัชญาในศตวรรษที่ 16 เช่น Agrippa วาดรูปคนผ่านรูปดาวห้าแฉกในวงกลม เป็นนัยว่า
มีความสัมพันธ์กับอัตราส่วนทองคำ
สำหรับสุดยอดผลงานของเลโอนาร์โด คือภาพ The Last Supper หรืออาหารค่ำมื้อสุดท้าย
และภาพ โมนาลิซา ซึ่งวาดขึ้นภายหลังจากที่รู้จักกับลูกาในปี ค.ศ. 1496 แล้ว
The Last Supper มีผู้อ้างว่าพบสัดส่วนแห่งสวรรค์ในรูปร่างของ โต๊ะ ผนัง และหน้าต่าง
ส่วนภาพ โมนาลิซา อ้างกันว่าวงใบหน้าของเธอเป็นสัดส่วนแห่งสวรรค์
สำหรับผู้ที่รู้จักกับสัดส่วนแห่งสวรรค์แล้ว และหากได้ลองวัดระยะต่างๆ ในภาพอาหารค่ำมื้อสุดท้าย ก็
จะพบโดยไม่ยากว่าไม่มีส่วนใดที่ใกล้เคียงกับค่าฟายเลย
ส่วนในภาพ โมนาลิซา มีปัญหาว่าจะหาสัดส่วนแห่งสวรรค์จากบริเวณไหน เนื่องจากไม่มีรูป
เลขาคณิตใดๆ บนภาพ และหากจะวัดวงใบหน้าก็ไม่แน่ชัดว่าจะวัดจากจุดใดถึงจุดใด จึงเป็นการง่ายที่
จะกล่าวอ้างโดยขีดเส้นวัดระยะได้ตามใจชอบเพื่อให้ตรงกับค่าฟาย สัดส่วนแห่งสวรรค์บนวงใบหน้า
เจ้าของรอยยิ้มปริศนาจึงดูเลื่อนลอยพอสมควร ยิ่งหากพิจารณาในมุมของการสร้างงานศิลปะ เลโอ
นาร์โดไม่ต้องการสัดส่วนแห่งสวรรค์มาเป็นตัวช่วยเลย เขาได้ชื่อว่าเป็นเจ้าแห่งการสร้างภาพ
Perspective การวาดภาพมัวๆ แบบ “สฟูมาโต” ความสมบูรณ์แบบในสัดส่วนของคนที่เขาศึกษากาย

18. วิภาคมาอย่างละเอียด และการถ่ายทอดอารมณ์บนใบหน้าบุคคลในภาพ ผลงานของเลโอนาร์โดจึงมี
ชีวิตและสมจริง จนได้รับการยกย่องให้เป็นผลงานชิ้นเอกแห่งยุคเรอเนซองซ์
ในทางกลับกัน ลูกา พาซีโอลี ต้องการความสามารถในการวาดภาพมีมิติแบบ Perspective
ของเลโอนาร์โดเพื่อช่วยแสดงรูปทรงเหลี่ยมที่เกี่ยวข้องกับสัดส่วนแห่งสวรรค์
นับได้ว่าเลโอนาร์โดเป็นคนแรกที่วาดภาพแสดงมิติความลึกของรูปทรงเหลี่ยมให้เห็นกันอย่าง
แจ่มแจ้ง ลูกา ถึงกับประกาศเกียรติคุณสูงสุดของเลโอนาร์โดไว้ในหนังสือ The Divine Propotion ว่า
“ The most excellent painter in perspective , architect , musician , the man endowed
with all virtues , Leonado Da Vinci , who deduced and elaborated a series of diagrams
of regular solids. ”
การศึกษาทางสถิติใน 565 ผลงานศิลปะของจิตรกรที่ดีที่ แตกต่างกันดำเนินการในปี ค.ศ.
1999 พบว่าศิลปินเหล่านี้ไม่ได้ใช้อัตราส่วนทองคำ การศึกษาสรุปได้ว่า อัตราเฉลี่ยของทั้งสองด้าน
ของภาพวาดการศึกษา คือ 1.34 มีค่าเฉลี่ยสำหรับศิลปินแต่ละคนตั้งแต่ 1.04 (Goya) ที่ 1.46
(Bellini) ในขณะที่ Pablo Tosto จดทะเบียนกว่า 350 ผลงานโดยศิลปินที่รู้จักกันดีรวมกว่า 100 ซึ่ง
มีผ้าใบที่มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีทองและสัดส่วนราก -5, และอื่น ๆ ที่มีสัดส่วนเหมือนราก -2, 3, 4,
และ 6
ภาพที่ 2.7
ภาพวาดของร่างกาย ของมนุษย์ในรูปดาวห้าแฉก ที่แสดง
ให้เห็นความสัมพันธ์ กับ อัตราส่วนทองคำ

19. การแบ่งส่วนของเส้น
ขั้นตอนวิธีการดังต่อไปนี้ เป็นการสร้างทางเรขาคณิต ที่แบ่งส่วนของเส้นออกเป็นสองส่วน
สายที่อัตราส่วนของเส้นที่ยาว กับส่วนของเส้นที่สั้น เป็นอัตราส่วนทองคำ :
1. มีส่วนของเส้น AB, BC สร้างเส้นตั้งฉาก BC ที่จุด B กับ BC ที่มีความยาวเป็นครึ่งหนึ่ง
ของ AB วาด AC ที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก
2. วาดโค้งด้วย C ศูนย์ และรัศมี BC โค้งนี้ตัดกับด้านตรงข้ามมุมฉาก AC ที่จุด D
3. วาดโค้งกับศูนย์ และรัศมี AD โค้งนี้ตัดส่วนของเส้นเดิม AB ที่จุด S แบ่งเดิมส่วน AB
เป็นส่วนเส้น AS และ SB ที่มีความยาวในอัตราส่วนทองคำ
ภาพที่ 2.8 การแบ่งส่วนของเส้นตามอัตราส่วนทองคำ
สามเหลี่ยมทองคำ
สามเหลี่ยมทองคำ สามารถจะมีลักษณะเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC กับสัดส่วน ที่แบ่ง
ครึ่งมุม C ได้สามเหลี่ยม CXB ใหม่ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายกับต้นฉบับ
ถ้ามุม BCX = α แล้ว XCA = α เพราะแยกเป็นสองส่วนและ CAB = α เพราะ
รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ; ABC = 2α จากสมมาตรหน้าจั่วเดิม และ BXC = 2α โดยความ
คล้ายคลึงกัน มุมภายในรูปสามเหลี่ยมเพิ่มขึ้นถึง 180 ° เพื่อให้ 5α = 180 ให้ α = 36 °
ดังนั้นมุมของสามเหลี่ยมทองคำจึง 36°-72°-72° มุมที่เหลือสามเหลี่ยมหน้าจั่วป้าน AXC (บางครั้ง
เรียกว่าแสงแดดสีทอง หรือ Golden gnomon) 36°-36°-108 °
สมมติว่า XB มีความยาว 1 และที่เราเรียก BC ระยะทาง φ เพราะหน้าจั่วสามเหลี่ยม
XC = XA และ BC = XC ดังนั้นเหล่านี้ยังมีระยะทางใน φ ความยาว AC = AB จึงเท่ากับφ
+ 1 แต่สามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายกับ CXB ดังนั้น AC / BC = BC / BX และ
อื่น AC ยังเท่ากับ φ^2 ดังนั้น φ2 = φ + 1, φ ยืนยันว่า เป็นจริงตามอัตราส่วนทองคำ

20. ในทำนองเดียวกัน อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมขนาดใหญ่ AXC ที่จะมีขนาดเล็ก
CXB เท่ากับ φ ในขณะที่อัตราส่วนผกผันจะเป็น φ - 1
ภาพที่ 2.9 สามเหลี่ยมทองคำ
รูปห้าเหลี่ยม
ในรูปห้าเหลี่ยมปกติ อัตราส่วนระหว่างด้านข้าง และเส้นทแยงมุมเป็น (เช่น 1 / φ) ในขณะ
ที่เส้นทแยงมุมตัด แต่ละส่วนอื่นๆ ในอัตราส่วนทองคำ
อัตราส่วนระหว่างความยาวของเส้นทแยงมุมกับความยาวด้านของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าจะมี
ค่าเท่ากับ Phi เสมอ
ภาพที่ 2.10 ภาพแสดงอัตราส่วนของรูปห้าเหลี่ยม
รูปดาวห้าแฉก
ในรูปดาวห้าแฉกและรูปห้าเหลี่ยม เราจะพบสัดส่วนแห่งสวรรค์ปรากฏเต็มไปหมด ดังรูป
นอกจากนี้ภายในตรงกลางรูปดาวห้าแฉกยังปรากฏรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า ซึ่งหากลากเส้น
เชื่อมภายในก็จะเกิดรูปดาวห้าแฉกรูปเล็กที่มีสัดส่วนแห่งสวรรค์ขึ้นซ้ำอีก และเราสามารถสร้างรูปซ้ำๆ
เช่นนี้ไปได้ไม่รู้จบ

21. ลูกาได้ขอให้ เลโอนาร์โด ดาวินชี วาดภาพรูปทรงเหลี่ยมต่างๆ ประกอบในหนังสือ The
Divine Propotion ของเขา โดย เลโอนาร์โด ดาวินชี วาดไว้ราว 60 ภาพ จากแบบจำลองที่ทำด้วยไม้
ข้อเท็จจริงที่ว่า เลโอนาร์โด ดาวินชี สนิทกับลูกาและได้วาดภาพประกอบในหนังสือ The
Divine Propotion ทำให้ไม่มีข้อกังขาว่าเขารู้จักคุ้นเคยกับสัดส่วนแห่งสวรรค์หรืออัตราส่วนทองคำนี้
หรือเปล่า
แต่ที่อ้างว่าเลโอนาร์โดใช้สิ่งดังกล่าวในภาพวาดผลงานสุดยอดของเขา “เดอะวิทรูเวียนแมน” ยังเป็น
สิ่งที่ต้องพิสูจน์
รูปที่ 2.11 รูปดาวห้าแฉกสีที่แสดงถึงความสัมพันธ์
กับอัตราส่วนทองคำ
ทฤษฎีบทของปโตเลมี
คุณสมบัติอัตราส่วนทองคำของ รูปห้าเหลี่ยม จะพิสูจน์ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของปโตเลมี ไป
เป็น รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน โดยการเอาจุดหนึ่งออก ถ้าด้านยาวรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและเส้น
ทแยงมุมเป็น b, และด้านสั้นเป็น a แล้วทฤษฎีบทของปโตเลมี ที่ = + ซึ่งได้
รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านต่างๆ เป็นลำดับทางก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ถ้าความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมเป็นรูปแบบก้าวหน้าทางเรขาคณิต (Geometry
progression) และอยู่ในอัตราส่วน 1 : r : r2, ที่ r คือ อัตราส่วนทั่วไปแล้วจะต้องอยู่ในช่วง φ-1
Rφ ซึ่งเป็นผลมาจากรูปสามเหลี่ยม ความไม่เท่าเทียมกัน (ผลรวมของสองด้านของสามเหลี่ยม
จะต้องมีขนาดใหญ่กว่าความยาวของด้านที่สาม) ถ้า r = φ แล้วสั้นทั้งสองฝ่าย คือ 1 และ φ

22. แต่ผลรวมของพวกเขาคือ φ2, rφ การคำ นวณที่คล้ายกันแสดงให้เห็นว่า r φ-1 รูป
สามเหลี่ยมที่มีด้านในอัตราส่วน 1 : √φ : φ เป็นสามเหลี่ยมด้านขวา (เพราะ 1 + φ = φ2) ที่
รู้จักกันเป็นรูปสามเหลี่ยมเคปเลอร์
ภาพที่ 2.12 อัตราส่วนทองคำในรูปห้าเหลี่ยม
สามารถคำนวณได้ โดยใช้ทฤษฎีบท ของ ปโตเลมี
2.โปรแกรม The Geometer’s sketchpad
การใช้งานเบื้องต้น
การสร้างส่วนของเส้นตรงที่ยาวเท่ากับความยาวของส่วนของเส้นตรงที่กำหนดให้
ให้ AB เป็นส่วนของเส้นตรงที่กำหนดให้
1. กำหนดจุดอิสระใดๆ 1 จุด บริเวณที่ว่าง สมมติชื่อ จุด C
2. เลือกจุด C และส่วนของเส้นตรง AB --ที่เมนูสร้าง
เลือกคำสั่ง วงกลมที่สร้างจากจุดศูนย์กลางและรัศมี
จะได้วงกลมที่มี C เป็นจุดศูนย์กลาง มีรัศมียาวเท่ากับส่วนของเส้นตรง AB
3. เลือกเส้นวงกลม C --ที่เมนูสร้าง
เลือกสร้างจุดบนเส้นรอบวง สมมติชื่อจุด D
จากนั้น ลากส่วนของเส้น ตรงเชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางกับ จุดอิสระD จะได้ ส่วนของเส้นตรง CD
มีความยาวเท่ากับส่วนของเส้นตรง AB ตามต้องการ

23. 4. ซ่อนส่วนที่ไม่ต้องการโดยเลือกวัตถุนั้นๆ แล้ว เลือกที่เมนูแสดงผล— ซ่อนอ็อบเจกต์
ภาพที่ 2.13 การสร้างส่วนของเส้นตรงให้เท่ากับเส้นตรงที่กำหนดให้
การระบายสี
การระบายสีบริเวณภายในรูปต่างๆ ที่เกิดจากการสร้างสามารถทำได้ดังนี้
1. สร้างรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ขึ้นมา 1 รูป ตั้งชื่อเป็นสี่เหลี่ยม ABCD
2. เลือกที่จุด A, B, C และ D (โดยเรียงไปตามแนวเส้น) เลือกที่เมนูสร้าง คำสั่งภายในรูป
สี่เหลี่ยม จะได้สีบริเวณภายในรูป
ภาพที่ 2.14 การระบายสี

24. การสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
1. สร้างส่วนของเส้นตรง AB
2. เลือกที่จุด A และส่วนของเส้นตรง AB ใช้คำสั่งสร้างเส้นตั้ง ฉาก จากเมนูสร้าง
3. สร้างจุดอิสระบนเส้นตั้งฉากที่ได้ตั้งชื่อเป็นจุด C
4. เชื่อมส่วนของเส้น ตรง AC และ ส่วนของเส้นตรง BC
ภาพที่ 2.15 การสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
การแปลงทางเรขาคณิต
การเลื่อนขนาน
1. สร้างและเลือกรูปเรขาคณิตที่ต้องการจะเลื่อนแบบตายตัว
2 .สำรวจโดยการลากรูปต้น แบบ หรือ ส่วนต่างๆของรูป ---- การแปลง ---- เลื่อนขนาน
แล้วเลือกแบบของการเลื่อน แบบเชิงขั้วหรือแบบสี่เหลี่ยมมุมฉาก
3. กำหนดการเลื่อนแบบอื่น ทำได้ดังนี้ สร้างจุด 2 จุดใดๆ เพื่อกำหนดเป็น เวกเตอร์จากจุดแรก
ไปยังจุดที่สอง คลิกเลือก 2 จุดนี้ตามลำดับแล้ว
4. สำรวจโดยการลากรูปต้นแบบ ส่วนต่างๆของรูป หรือจุดที่แสดงเวกเตอร์
---การแปลง --- ระบุเวกเตอร์ คลิกเลือกรูป
--- การแปลง --- เลื่อนขนาน

25. หมุน
การแปลงโดยวิธีหมุนนี้แยกออกเป็น 2 ชนิดดังนี้
หมุนด้วยมุมคงที่ เลือกจุดศูนย์กลางของการหมุนก่อน แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกระบุจุด
ศูนย์กลาง เลือกวัตถุต้นแบบที่จะทำการแปลง ไปที่เมนูการแปลง เลือก หมุน จะเกิดกล่องข้อความ
หมุน เลือกมุมคงที่ ใส่ค่ามุมที่ต้องการ กดปุ่ม หมุน ก็จะได้วัตถุตามต้องการ เช่น หมุนจุด B รอบจุด A
ด้วยมุม 30 องศาได้จุด B′
หมุนด้วยมุมที่ระบุ เลือกจุดศูนย์กลางของการหมุนก่อน แล้วไปที่เมนูการแปลง เลือกระบุจุด
ศูนย์กลาง เลือกจุด 3 จุดที่ทำให้เกิดมุมที่ต้องจะหมุนตามมุมนั้น ไปที่เมนู การแปลง เลือกระบุมุม
เลือกวัตถุต้นแบบที่จะทำการแปลง ไปที่เมนูการแปลง เลือกหมุน จะเกิดกล่องข้อความหมุน เลือกมุม
ที่ระบุ กดปุ่มหมุน ก็จะได้วัตถุตามต้องการ เช่น หมุนจุด E รอบจุด D เท่ากับขนาดของมุม A องศาได้
จุด E′
สะท้อน เป็นการสร้างวัตถุที่สะท้อนกับวัตถุ ต้นแบบผ่านเส้นสะท้อน เหมือนเรามองตัวเองในกระจก
ดังนั้นวัตถุที่ได้จะมีลักษณะเหมือนวัตถุต้นแบบทุกอย่าง โดยเส้นสะท้อนเป็นตัวกำหนดระยะทางและ
ทิศทาง วิธีการ คือต้องมีวัตถุตรง เลือกวัตถุตรง ไปเมนูการแปลง เลือก ระบุเส้นสะท้อน เลือกวัตถุ
ต้นแบบ ไปที่เมนูการแปลง เลือกสะท้อน ก็จะได้วัตถุตามต้องการ
3.โปรแกรม Adobe illustrator
การใช้งานเบื้องต้น
เครื่องมือพื้นฐานของโปรแกรม มีดังนี้
Selection tool เครื่องมือกลุ่มนี้ว่าด้วยเรื่องการเลือกวัตถุ ประกอบไปด้วย
 Selection tool (ลูกศรสีดำ) ใช้เลือกวัตถุทั้งชิ้น
 Direct-selection tool (ลูกศรสีขาว) ใช้เลือก points หรือ path ของวัตถุ (กดคีย์ Alt)
 Magic wand tool (ไม้เท้าวิเศษ) เป็นเครื่องมือใหม่ ใช้เลือกวัตถุที่มีสีเดียวกัน
 Lasso tool ใช้เลือกโดยการคลิกเมาส์ Drag การใช้งานเหมือนใน Photoshop (กดคีย์ Alt
และ Shift)
Create tool เครื่องมือกลุ่มนี้ว่าด้วยการสร้างวัตถุต่างๆ ไม่ว่าจะเป็นเส้น รูปทรงต่างๆ และ
ตัวหนังสือ

26.  Pen tool สร้างเส้น path อย่างแม่นยำ โดยการใช้แขน มีผลทำให้วัตถุมีจุดน้อย-น้อยมาก
ส่วนเครื่องมือย่อยจะเอาไว้ใช้ปรับแต่ง curved ไม่ว่าจะเป็นการเพิ่มจุด ลบจุด หักแขนของ
แกนเส้นสัมผัส (กดคีย์ Alt)
 Type tool ใช้สร้างตัวหนังสือ ข้อความต่างๆ ส่วนเครื่องมือย่อย ก็ง่ายๆตามรูป ใช้พิมพ์
ตัวหนังสือให้อยู่ในกรอบบ้าง ทำตัวอักษรวิ่งตาม paths
 Line segment tool สำหรับสร้างเส้นตรง
 Basic shape tool สำหรับวาดรูปทรงพื้นฐาน หลายเหลี่ยม และวงกลม รูปดาว และ flare
tool ใช้สร้าง Affect lens-flare
 Paintbrush tool แปรงที่เอาไว้สำหรับสร้างเส้น path โดยการ drag เมาส์ลากอย่างอิสระ
สามารถใช้ brush แบบพิเศษ
 Pencil tool จะคล้ายๆ paintbrush tool แต่จะมีเครื่องมือย่อยให้เรียกใช้ในการแก้ไขเส้น
ซึ่งจะช่วยในการปรับแต่งแก้ไข และทำให้งานดูดี เร็วขึ้น
Transform tool เครื่องมือกลุ่มนี้ใช้ในการปรับแต่งรูปทรงของวัตถุ ไม่ว่าจะเป็นหมุน เอียง บิด กลับ
ด้าน ย่อ ขยาย
 Rotate tool ใช้ในการหมุนวัตถุ โดยการกำหนดจุดหมุนก่อนแล้วจึงทำการหมุน ซึ่งสามารถ
กำหนดได้ว่าต้องการหมุนกี่องศา
 Reflect tool ใช้ในการกลับด้านของวัตถุ
 Twist tool ใช้ในการบิดวัตถุ โดยการกำหนดจุดก่อนแล้วจึงทำการบิด ซึ่งสามารถกำหนดได้
ว่าต้องการบิดมากน้อย
 Scale tool ปรับย่อขยายวัตถุ
 Shear tool ใช้เอียงวัตถุ
 Reshape tool ใช้เพิ่มจุด และดึงยืดวัตถุ
 The warp tool ใช้โน้มวัตถุให้บิดเบี้ยว
 Twirl tool ทำให้วัตถุบิดตามจุดที่กำหนด
 Pucker tool ดึงดูดจุดให้เข้าสู่จุดศูนย์กลาง
 Bloat tool ทำให้วัตถุแบออก
 Scallop tool ดึงวัตถุให้เข้าศูนย์กลางพร้อมกับสร้างรอยหยัก
 Crystallize tool ขยายวัตถุให้ออกจากศูนย์กลางพร้อมกับสร้างรอยหยัก
 Wrinkle tool สร้างคลื่นให้วัตถุ
 Free transform tool ย่อ ขยาย หมุน เอียง วัตถุ โดยอิสระ

27. Special tool เป็นเครื่องมือใหม่ที่จัดการเกี่ยวกะ Symbol และ graph
 Symbol tool ใช้จัดการเกี่ยวกับ symbol ซึ่งมีเครื่องมือย่อยมากมาย แต่จะไม่ขอกล่าวถึง
เพราะเครื่องมือแต่ละชิ้นมีไอคอนที่ง่ายต่อการเข้าใจอยู่แล้ว
 Graph tool ใช้สร้าง graph ในรูปแบบต่างๆ
Paint color tool เป็นกลุ่มเครื่องมือที่ใช้จัดการเรื่องของสี
 Mesh tool ในการสร้าง point และมีแกนในการควบคุม (
 Gradient tool เครื่องมือไล่ระดับสี ซึ่งมีการไล่ระดับอยู่ด้วยกัน 2 แบบ คือ Linear และ
Radial ใช้การลากจากจุดเริ่มต้น และ สิ้นสุดที่จุดปล่อยเมาส์ ในการควบคุมการไล่ระดับของ
สี
 Eyedropper tool หลอดดูดสี ใช้ copy สีของวัตถุ สามารกำหนดได้ด้วยว่าจะ copy
ลักษณะอย่างไร อะไรบ้าง
 Paint bucket tool ส่วนใหญ่จะใช้ควบคู่กับ eyedropper tool โดยใช้เทสีลงบนวัตถุ
 Measure tool เครื่องมือวัดขนาด
 Blend tool เครื่องมือไล่ระดับการเปลี่ยนรูปร่างและสี สามารถควบคุมการไล่ระดับได้ 3
ชนิด
 Auto trace tool ใช้ในการ trace จากภาพต้นฉบับที่เป็น bitmap ไปเป็น Vector ซึ่งเป็น
เครื่องมืออำนวยความสะดวกสำหรับคนขี้เกียจโดยเฉพาะ
View tool กลุ่มเครื่องมือกลุ่มนี้จะเน้นที่มุมมองเป็นหลัก
 Slice tool ใช้เกี่ยวกับการตัดแบ่งภาพออกเป็นส่วนๆ ใช้ในงานเว็บ
 Scissors tool ใช้คลิกบริเวณ Outline ของวัตถุเพื่อกำหนดจุดตัด 2 จุดเพื่อแยกวัตถุออก
จากกัน
 Knife tool ใช้ drag ลากผ่านวัตถุเพื่อแยกวัตถุออกจากกันเป็น 2 ส่วน โดยจะทำการ close
paths ให้เราโดยอัตโนมัติ
 Hand tool ใช้เลื่อนดูบริเวณพื้นที่การทำงานบนหน้าจอ
 Page tool ใช้กำหนด print size
 Zoom tool ใช้ย่อ และ ขยายพื้นที่การทำงาน

28. ตัวอย่างการสร้างรูปสี่เหลี่ยมทองคำใน illustrator
.
ภาพที่ 2.16 ภาพแสดงถึงขั้นตอนการสร้างสี่เหลี่ยมทองคำ
โครงงานที่เกี่ยวข้อง
โครงงาน เครื่องมือวัดความสวย ของ นายสหรัฐ สระสงคราม และ นายปฏิภาณ ศรีมีชัย
นักศึกษาชั้นปีที่ 4 ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งในหลักสูตรวิศวกรรมศาสตร์บัณฑิต ภาควิชาวิศวกรรมคอมพิวเตอร์
คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น พ.ศ. 2555 เพื่อใช้วิเคราะห์ความเหมาะสมของสัดส่วน
ใบหน้าของบุคคล โดยใช้หลักการของอัตราส่วนทองคำเปรียบเทียบกับอัตราส่วนที่ได้จากใบหน้า
บุคคล โดยอัตราส่วนจากใบหน้านั้นได้มาจากการทำการตรวจจับใบหน้า ซึ่งได้จากรูปภาพที่ได้จาก
การจับภาพจากกล้องวีดีโอ และตรวจหาตำแหน่งบนใบหน้าที่จำเป็นในการคำนวณหาอัตราส่วนเพื่อ
เปรียบเทียบกับอัตราส่วนทองคำ ซึ่งโปรแกรมสามารถวิเคราะห์หาค่าความเหมาะสมของสัดส่วน
ใบหน้าบุคคลและแสดงผลเป็นคะแนนเต็ม 10 ตามความเหมาะสมของสัดส่วนใบหน้าของแต่ละบุคคล

29. บทที่ 3
อุปกรณ์และวิธีการทำโครงงาน
1.อุปกรณ์และโปรแกรมที่ต้องมีในการทำโครงงาน
ความต้องการของระบบ
คอมพิวเตอร์ที่ใช้ระบบปฏิบัติการ
 Windows XP Service Pack 3 หรือ Windows 7 Service Pack 1 ขึ้นไป
 Mac OS X 10.6.8 ขึ้นไป (แนะนำ OS X 10.8)
 หน่วยความจำหลัก หรือ แรม อย่างน้อย 1 GB
 การแสดงผล 1024 x 768 (แนะนำ 1280 x 800)
โปรแกรมหลักที่จำเป็น
 The Geometer’s Sketchpad
 Adobe illustrator CS6 ขึ้นไป
โปรแกรมทางเลือก
 Adobe Photoshop CS6 ขึ้นไป
 Inkscape รุ่น 0.48.5 ขึ้นไป
2.วิธีการดำเนินงาน
ขั้นตอนแรก ปฏิบัติงานครั้งที่ 1 การทดลองสร้างสรรค์ภาพอย่างอิสระ
สมาชิกจะทดลองวาดลงในกระดาษ A4 แล้วนำมาสร้างสรรค์ภาพอย่างอิสระตามหลักของ
อัตราส่วนทองคำ
ขั้นตอนสอง ปฏิบัติงานครั้งที่ 2 การสร้างสรรค์ภาพเป็นไปตามกำหนดหัวข้อ
มีการกำหนดหัวข้อ ขึ้นมาดังนี้
1) ธรรมชาติ 2) ความเรียบง่าย 3) ความเป็นเอกภาพ 4) สิ่งมหัศจรรย์ในเมืองใหญ่ 5) โลโก้ สัญลักษณ์
6) ความเปลี่ยนแปลง 7) การขัดแย้ง 8) จารีต-ประเพณี 9) กฎหมาย 10) ความฝัน

30. 11) ปัญหาในสังคม 12) ความพอเพียง 13) ความสมดุล 14) หนังสือ 15) ความรู้ 16) ความดี – ความ
ชั่ว 17) ศาสนา 18) เทคโนโลยี 19) ความงาม 20) ศิวิไลซ์
เลือกหัวข้อดังกล่าวแล้วนำมาสร้างสรรค์โดยใช้สีและลายเส้น และเป็นไปตามหลักของ
อัตราส่วนทองคำ
ขั้นตอนสาม ปฏิบัติงานครั้งที่ 3 การสร้างสรรค์ภาพโดยการดัดแปลง จำนวน 2 ภาพ
ในงานนี้ควรใช้ Adobe Photoshop ด้วย
1. เลือกภาพใดๆก็ได้ที่ต้องการ แต่ภาพนั้นต้องมิได้ใช้หลักของอัตราส่วนทองคำ
2. ดัดแปลงภาพดังกล่าวอย่างอิสระ โดยต้องให้เป็นอัตราส่วนทองคำ
ขั้นตอนสี่ ปฏิบัติงานครั้งที่ 4 การสร้างสรรค์ภาพโดยใช้เฉพาะเส้นและสีขาวดำ จำนวน 2 ภาพ
สมาชิกจะสร้างสรรค์ภาพอย่างอิสระ แต่ต้องใช้เฉพาะเส้น และ ลงสีได้เพียง ขาว-ดำ เท่านั้น
และเป็นไปตามหลักของอัตราส่วนทองคำ
ขั้นตอนห้า ปฏิบัติงานครั้งที่ 5 การสร้างสรรค์ภาพโดยใช้เส้นโค้งและสีจำนวน 2 ภาพ
สมาชิกจะสร้างสรรค์ภาพอย่างอิสระ เน้นที่เส้นโค้ง และใช้เฉพาะสีต่างๆเท่านั้น และเป็นไป
ตามหลักของอัตราส่วนทองคำ
ขั้นตอนหก มอบหมายหน้าที่ในการสำรวจนอกสถานที่ในชีวิตประจำวัน โดยแบ่งให้ 2 คนแรก ใน
สัปดาห์นั้นๆ ส่วนอีก 2 คน ในสัปดาห์ถัดไป โดยมีวิธีการดังนี้
1. ผู้สำรวจเมื่อเดินทางออกนอกเคหสถาน สังเกตสิ่งแวดล้อมรอบตัว พิจารณา อาทิเช่น ป้าย
สัญลักษณ์ต่างๆ ว่า สิ่งใดน่าจะมาจากการสร้างสรรค์โดยใช้หลักของอัตราส่วนทองคำ
2. ผู้สำรวจบันทึกภาพดังกล่าว ลงในโทรศัพท์มือถือ หรือ กล้อง ของผู้สำรวจ
ขั้นตอนเจ็ด ปฏิบัติงานครั้งที่ 6 การสร้างสรรค์ภาพโดยเป็นรูปทรง 3 มิติ จำนวน 2 ภาพ
สมาชิกจะสร้างสรรค์ภาพอย่างอิสระ หรือ ตามหัวข้อในขั้นตอนที่สองก็ได้ แต่ต้องเป็นรูปทรง
สามมิติ โดยใช้สีต่างๆและลายเส้น และเป็นไปตามหลักของอัตราส่วนทองคำ

31. ขั้นตอนแปด ปฏิบัติงานครั้งที่ 7 สรุปแนวคิดการออกแบบ
สมาชิกทุกคนจะสรุปแนวคิดและหลักการออกแบบในการสร้างสรรค์ภาพโดยรวม พร้อม
อธิบายการนำไปใช้ของอัตราส่วนทองคำในภาพต่างๆ ลงในกระดาษ A4
ขั้นตอนเก้า ปฏิบัติงานครั้งที่ 8 การร่วมกันสร้างสรรค์ภาพ
ในงานนี้ทำทั้งกลุ่ม สร้างสรรค์ภาพอย่างอิสระตามหลักของอัตราส่วนทองคำ โดยใช้กระดาษ
ขนาดอย่างน้อย A3 แล้วลงสีด้วยสีโปสเตอร์ สีน้ำ หรือ สีไม้
ขั้นตอนสิบ การเขียนรายงาน
หลังจากปฏิบัติงานตามแผนเสร็จแล้ว ก็ดำเนินการเขียนรายงานพร้อมสรุปผล

32. บทที่ 4
ผลการทดลองและวิเคราะห์ผล
1.สร้างสรรค์ภายใต้หัวข้อ: ทดลองสร้างสรรค์ภาพอย่างอิสระ
ภาพที่ 4.1 งานครั้งที่ 1 ภาพ 1
เป็นการสร้างสรรค์โดยการสร้างเส้นคดโดยอยู่ที่อัตราส่วนทองคำแล้วสิ้นสุดที่จุดตรงข้ามของ
จุดตัดอัตราส่วนทองคำ
ภาพที่ 4.2 งานครั้งที่ 1 ภาพ 2
เป็นการสร้างสรรค์โดยการสะท้อนสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ จนได้ครบเป็น 4 ภาพดังรูป

33. 2.สร้างสรรค์ภายใต้หัวข้อ: สร้างสรรค์ภาพเป็นไปตามกำหนดหัวข้อ
ภาพที่ 4.3 งานครั้งที่ 2 ภาพ 1
หัวข้อที่เลือกคือ ธรรมชาติ การหมุนของสี่เหลี่ยมด้านขนานกับมุม 30*0,618 แล้วสะท้อน
ครึ่งหนึ่งและมีการไล่สี
ภาพที่ 4.4 งานครั้งที่ 2 ภาพ 2
หัวข้อที่เลือก คือ เทคโนโลยี เป็นการสร้างสรรค์ โดยการเรียง code ของ Brainfuck ที่ได้
ออกมาเป็น Hello World อยู่บนเส้นขดที่ไล่จากจุดตัดของอัตราส่วนทองคำจนถึงจุดขอบล่างขวา
และไล่สี

34. ภาพที่ 4.5 งานครั้งที่ 2 ภาพ 3
สร้างสรรค์ภาพในหัวข้อ ความสมดุล วงกลมแรกมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 1.618 วงกลมต่อๆไป
คูณด้วย 1.618 ไปจนครบ 4 ภาพ
ภาพที่ 4.6 งานครั้งที่ 2 ภาพ 4
สร้างสรรค์ภาพในหัวข้อ ความสมดุล วิธีการ คือ ให้วงกลมวงแรกมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว
1.618 ซ.ม. แล้ววงต่อๆไปก็ให้คูณ 1.618 ไปเรื่อยๆ จนครบ 4 ภาพ แล้วนำมา วางเรียงกัน ดัง
รูป วงกลมย่อยในแต่ละส่วน ต่อจากนั้น ก็ทำหมุนภาพรอบจุด ทีละ 90 องศา ให้ได้ทั้งหมดรวม
4 ภาพ

35. 3.สร้างสรรค์ภายใต้หัวข้อ: การสร้างสรรค์ภาพโดยการดัดแปลง
ภาพที่ 4.7 งานครั้งที่ 3 ภาพต้นฉบับ
เมื่อดัดแปลงแล้ว ได้ 2 ภาพ
ภาพที่ 4.8 งานครั้งที่ 3 ภาพ 1
เป็นการสร้างสรรค์เป็นการเปลี่ยนภาพให้ขาวดำและเปลี่ยนสีดำเป็นสีแดงและใช้ Plastic
filter แล้วย่อภาพให้เล็กลง 61.8% แล้วหมุนด้วยขนาด 30*1.618

36. ภาพที่ 4.9 งานครั้งที่ 3 ภาพ 2
เป็นการใช้ neon filter แล้วลดขนาดของรูปลง 61.8% และหมุนภาพในอัตราส่วนของ 30 องศา
* 1.618
4.สร้างสรรค์ภายใต้หัวข้อ: การสร้างสรรค์ภาพโดยใช้เฉพาะเส้นและสีขาวดำ
รูปภาพที่ 4.10 งานครั้งที่ 4 ภาพ 1
เป็นการสร้างสรรค์โดยการสร้างรูปห้าเหลี่ยม โดยมีความยาวในแต่ละด้านเป็น 1 ซม. จากนั้นขยาย
1.618 เท่า 2 ครั้ง แล้วนำมาหมุนดังรูปแล้วตีกรอบเป็นรูปห้าเหลี่ยม

37. ภาพที่ 4.11 งานครั้งที่ 4 ภาพ 2
เป็นการสร้างสรรค์โดยการสร้างรูปห้าเหลี่ยม ที่มีความยาวในแต่ละด้านเป็น 1 ซม.
ต่อจากนั้นก็ทำการขยายภาพ 1.618 เท่า 3 ครั้ง แล้วนำมาเรียง ต่อจากนั้นนำมาหมุนแล้วเรียงดังรูป
ภาพที่ 4.12 งานครั้งที่ 4 ภาพ 3

38. ภาพที่ 4.13 งานครั้งที่ 4 ภาพ 4
เป็นการสร้างเส้นโค้งเป็นลวดลายต่างๆโดยที่จุดควบคุมอยู่ที่ขอบของภาพและอัตราส่วน
ทองคำกับจุดกึ่งกลาง
ภาพที่ 4.14 งานครั้งที่ 4 ภาพ 5
เป็นการนำขดหอยมามาประยุกต์ทำให้ซ้อนกัน โดยปกติเป็นเส้นโค้งก็ทำให้เป็นเส้นตรง

39. 5.สร้างสรรค์ภายใต้หัวข้อ: การสร้างสรรค์ภาพโดยใช้เส้นโค้งและสี
ภาพที่ 4.15 งานครั้งที่ 5 ภาพ 1
เป็นการลดขนาดวงกลมลง 61.8% และเลื่อนขนาน 61.8 pixels และหมุนภาพที่ได้จากการ
เลื่อนขนานมาขยาย 161.8% แล้วก็สะท้อน
ภาพที่ 4.16 งานครั้งที่ 5 ภาพ 2
เป็นรูปช่วงล่างของผู้หญิงโดยที่กระโปรงเริ่มจาก 1/3 ของด้านบนแล้วโค้งมาที่จุดตัดของ
อัตราส่วนทองคำกับ 2/3 ของขอบซ้ายก่อนที่จะโค้งไปที่จุดตัดด้านขวาและโค้งกับไปที่ 2/3 ของขอบ
บน ขามีการโค้งโดยที่จุดควบคุมอยู่ที่อัตราส่วนทองคำและมีการสะท้อนเพื่อเป็นขาอีกด้านหนึ่ง

40. ภาพที่ 4.17 งานครั้งที่ 5 ภาพ 3
เป็นการสร้างภูเขาโดยที่เริ่มจากจุดกึ่งกลางของด้านซ้ายไปและตั้งจุดควบคุมอยู่ที่จุดตัดของ
อัตราส่วนทองคำด้านซ้ายบนแล้วจบลงตรงจุดกึ่งกลางขอบซ้าย มีการไล่สีที่พื้น
ภาพที่ 4.18 งานครั้งที่ 5 ภาพ 4
สร้างรูปครึ่งวงกลมรัศมี 0.618 แล้วสร้างส่วนของเส้นตรงจากจุดศูนย์กลางที่ด้านล่าง 1 ซม.
แล้วขยายรูปทั้งหมด 1.618 เท่า จำนวนทั้งหมด 4 เท่า ทำให้มีรูปทั้งหมด 5 รูปซ้อนกัน แล้วนำมา
หมุนให้ได้ 4 รูป

41. 6.สร้างสรรค์ภายใต้หัวข้อ: ภาพสามมิติ
ภาพที่ 4.19 งานครั้งที่ 6 ภาพ 1
สร้างสรรค์โดยการสร้างสี่เหลี่ยมขนาด 26.18 เซนติเมตร ปรับให้มีขนาดเล็กลง 2 เท่า หมุน
45 องศา ทำรูปให้สมดุล แล้วทำให้เป็นรูปสามมิติ
ภาพที่ 4.20 งานครั้งที่ 6 ภาพ 2

42. ในการสร้างสรรค์ภาพนี้ สร้างขึ้นภายใต้หัวข้อ ภาพสามมิติ ซึ่งในที่นี้เป็นภาพ Isometric ที่
นำมาประยุกต์ใช้กับอัตราส่วนทองคำ โดย รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ขนาดด้านกว้าง 0.618 ซม. ด้าน
ยาว 1 ซม. และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาว 1 ซม. แล้วหมุนรูป 45 องศา ยาว 1.618 ซม. รูป
สี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวด้านละ 1 ซม. มีความสูง 0.618 ซม. แล้วขยาย 1.618 เท่า จำนวน 2
ครั้ง ได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ซ้อนกัน 3 รูป สัดส่วนเป็น 1.618 จากซ้ายไปขวายาวสัดส่วนเป็น 1 รูป
ตัว L ชิดขอบ ด้านข้างยาว 1.618 ซม. กว้างภายใน 0.618 ซม. หนา 0.309 เอียง 45 องศา
ภาพที่ 4.21 งานครั้งที่ 6 ภาพ 3
เป็นการใช้เส้นตรงแบบ Perspective อยู่ที่จุดตัดด้านล่างซ้ายและมีการทำปริซึมทรง
สี่เหลี่ยมผืนผ้าไว้ที่ด้านซ้ายล่าง

43. ภาพที่ 4.22 งานครั้งที่ 6 ภาพ 4
เป็นการใช้ Perspective แบบจุดเดียวอยู่ที่ตรงกลางและตั้งผนังไว้ที่จุดตัดของอัตราส่วน
ทองคำและนำข้อความ GEEK มาแปะตามสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านคู่ขนานระหว่างขอบของรูปและ
สี่เหลี่ยมที่เกิดจากการตัดกันของอัตราส่วนทองคำ
ภาพที่ 4.23 งานครั้งที่ 6 ภาพ 5
เป็นภาพสามมิติที่เกิดจากรูปสามเหลี่ยมที่นำไป Extrude หมุน 168.1 องศา และนำมา
สะท้อน และเลื่อนขนาน เท่าๆกัน

44. 7.สรุปแนวคิดการออกแบบ
อภิวิชญ์ จริยานุเคราะห์ ได้สรุปไว้ดังนี้
“หลักในที่ใช้ในการออกแบบ คือ จินตนาการส่วนตัวที่ได้รับจากสถานที่ต่างๆ เช่น จาก
โทรทัศน์ ภาพยนตร์ หนังสือ นิตยสาร สื่อสิ่งพิมพ์ นำมาประยุกต์ใช้ได้ภาพในรูปแบบที่แตกต่างกัน
ออกไป ได้ฝึกฝนความคิดจินตนาการของแต่ละบุคคลได้มีการพัฒนามากขึ้นกว่าเดิมและเป็นพื้นฐาน
ในการต่อยอดความคิดในรูปแบบอื่นๆด้วย”
อภินันท์ อิศรางกูร ณ อยุธยา ได้สรุปไว้ดังนี้
“ในการออกแบบสิ่งต่างๆ เราต้องคำนึงถึงข้อกำหนดหรือกรอบที่เขาได้กำหนดไว้ เราจะได้
ทำความเข้าใจในสิ่งนั้น เป็นแนวทางการทำงานที่ถูกต้อง หลักสำคัญที่ใช้ในการออกแบบของฉัน ก็คือ
ความเป็นเอกภาพ ความสมดุล และความกลมกลืนซึ่งเป็นสิ่งฉันได้ให้ความสำคัญมาโดยตลอด และได้
นำไปประยุกต์ใช้กับภาพต่างๆ ไว้แล้ว”
สิรภพ ภักดีนอก ได้สรุปไว้ดังนี้
“การออกแบบโดยมีหลักการ หมายถึง การคิด หรือจินตนาการต่างๆ โดยให้มีต้นกำเนิดของ
มันมาด้วย แล้วนำมาดัดแปลงในความคิดของตนเองให้มีความสวยงาม หรือ สิ่งต่างๆให้มันดีขึ้นจาก
เดิม และยังช่วยให้การฝึกจินตนาการมีการพัฒนาขึ้นเพื่อให้เกิดความสร้างสรรค์ในรูปแบบต่างๆอีก
ด้วย”
ภูมิภัทร วัฒนกุลจรัส ได้สรุปไว้ดังนี้
“การออกแบบก็เหมือนกับการถ่ายทอดความคิด จากตัวเราสู่ผลงานที่เราสร้างสรรค์ ก่อนอื่น
เราต้องมีจินตนาการก่อน จึงจะทำได้ เราต้องศึกษาหลักหรือเงื่อนไขของงานก่อน ทำตามแนวปฏิบัติ
ที่เหลือเราก็อิสระ ปลดปล่อยความเป็นตัวเราได้เต็มที่”

45. 8.ผลงานการสร้างสรรค์ที่ได้รับการคัดเลือก ภายใต้หัวข้อ THE BEST
ภาพที่ได้รับการคัดเลือกที่ดีที่สุด
ภาพที่ 4.24 THE BEST (FIRST)

46. ภาพที่ได้รับคัดเลือกรองลงมา
ภาพที่ 4.25 THE BEST (SECOND)

47. 9.ภาพพิเศษ: เป็นภาพที่ผู้สร้างสรรค์สร้างเองเพื่อเป็นภาพเสริม
ภาพที่ 4.26 ภาพพิเศษ ภาพ 1
ภาพที่ 4.27 ภาพพิเศษ ภาพ 2

48. 10.การสำรวจสิ่งแวดล้อมในชีวิตประจำวัน
ภาพที่ 4.28 ภาพจากการสำรวจ 1
Golden Ratio
ภาพที่ 4.29 ภาพแสดงการวิเคราะห์ภาพสำรวจ 1

49. ภาพที่ 4.30 ภาพจากการสำรวจ 2
ผู้สำรวจดำเนินการวิเคราะห์
ภาพที่ 4.31 ภาพแสดงการวิเคราะห์ภาพสำรวจ 2
ข้อสรุป เป็นอัตราส่วนทองคำ

50. ภาพที่ 4.32 ภาพจากการสำรวจ 3
ผู้สำรวจดำเนินการวิเคราะห์
ภาพที่ 4.33 ภาพแสดงการวิเคราะห์ภาพจากการสำรวจ 3
ข้อสรุป ภาพบางส่วนเป็นอัตราส่วนทองคำ ซึ่งเป็นเฉพาะในกรอบสี่เหลี่ยมดังรูป

51. ภาพที่ 4.34 ภาพจากสำรวจ 4
ผู้สำรวจดำเนินการวิเคราะห์
ภาพที่ 4.35 ภาพแสดงการวิเคราะห์ภาพจากการสำรวจ 4
ข้อสรุป ภาพบางส่วนเป็นอัตราส่วนทองคำ ซึ่งเป็นเฉพาะในกรอบสี่เหลี่ยมดังรูป

52. ภาพที่ 4.36 ภาพจากสำรวจ 5
ผู้สำรวจดำเนินการวิเคราะห์
ภาพที่ 4.37 ภาพแสดงการวิเคราะห์ภาพจากการสำรวจ 5
ข้อสรุป ภาพบางส่วนเป็นอัตราส่วนทองคำ ซึ่งเป็นเฉพาะในกรอบสี่เหลี่ยมดังรูป

53. 11.การสร้างสรรค์ผลงานจริงบนกระดาษ A1 200 แกรม
ในที่นี้เราเลือก ภาพ THE BEST (FIRST) โดยใช้สีไม้และสีโปสเตอร์
ภาพที่ 4.38 ภาพ THE BEST (FIRST) เมื่อนำไปวาดจริงในกระดาษ A1