Mecanica.para.ingenieria.estatica.5ed.Bedford.Fowler.PDF

Factores de conversión de unidades
TIEMPO
1 min = 60 s
1 h = 60 min = 3600 s
1 día = 24 h = 86,400 s
LONGITUD
1 m = 3.281 pies = 39.37 pulg
1 km = 0.6214 mi
1 pulg = 0.08333 pie = 0.02540 m
1 pie = 12 pulg = 0.3048 m
1 mi = 5280 pies = 1.609 km
1 milla náutica = 1852 m = 6080 pies
ÁNGULO
1 rad = 180/p grad = 57.30 grad
1 grad = p/180 rad = 0.01745 rad
1 revolución = 2p rad = 360 grad
1 rev/min (rpm) = 0.1047 rad/s
ÁREA
1 mm2
= 1.550 ⫻ 10⫺3
pulg2
= 1.076 ⫻ 10⫺5
pies2
1 m2
= 10.76 pies2
1 pulg2
= 645.2 mm2
1 pie2
= 144 pulg2
= 0.0929 m2
VOLUMEN
1 mm3
= 6.102 ⫻ 10⫺5
pulg3
= 3.531 ⫻ 10⫺8
pies3
1 m3
= 6.102 ⫻ 104
pulg3
= 35.31 pies3
1 pulg3
1.639 ⫻ 104
mm3
= 1.639 ⫻ 10⫺5
m3
1 pie3
= 0.02832 m3
VELOCIDAD
1 m/s = 3.281 pies/s = 39.37 pulg/s
1 km/h = 0.2778 m/s = 0.6214 mi/h = 0.9113 pie/s
1 mi/h = (88/60) pies/s = 1.609 km/h = 0.4470 m/s
1 nudo = 1 milla náutica/h = 0.5144 m/s = 1.689 pies/s
ACELERACIÓN
1 m/s2
= 3.281 pies/s2
= 39.37 pulg/s2
1 pulg/s2
= 0.08333 pie/s2
= 0.02540 m/s2
1 pie/s2
= 0.3048 m/s2
1 g = 9.81 m/s2
= 32.2 pies/s2
MASA
1 kg = 0.0685 slug
1 slug = 14.59 kg
1 t (tonelada métrica) = 103
kg = 68.5 slug
FUERZA
1 N = 0.2248 lb
1 lb = 16 oz = 4.448 N
1 kip = 1000 lb = 4448 N
1 ton = 2000 lb = 8896 N
TRABAJO Y ENERGÍA
1 J = 1 N-m = 0.7376 pie-lb
1 pie-lb 1.356 J
POTENCIA
1 W = 1 N-m/s = 0.7376 pie-lb/s = 1.340 ⫻ 10⫺3
hp
1 pie-lb/s = 1.356 W
1 hp = 550 pies-lb/s = 746 W
PRESIÓN
1 Pa = 1 N/m2
= 0.0209 lb/pie2
= 1.451 ⫻ 10⫺4
lb/pulg2
1 bar = 105
Pa
1 lb/pulg2
(psi) = 144 lb/pie2
= 6891 Pa
1 lb/pie2
= 6.944 ⫻ 10⫺3
lb/pulg2
= 47.85 Pa
Área
sen 2
=
= −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = +
␣
␣ ␣ ␣
R
I R I R
x y
2
4 4
2
2
0
sen 2␣
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
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Ixy
O
y
R
α
α
2R sen α
3α
Sector circular
Área = = = =
1
4
1
16
1
8
2 4 4
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R I I R I R
x y xy
,
Área =
+
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=
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+
+ +
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I
c b
n
I
cb
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x
n
y
n
xy
1
3 3 1 3
=
=
+
+
c b
n
n
2 2 2
4 4
4n ⫹ 2
y
x
(n ⫹ 1)cbn
(n ⫹ 1)b
n ⫹ 2
b
y ⫽ cxn
Enjuta
Área =
= = =
1
4
1
16
1
16
1
8
3 3 2 2
␲
␲ ␲
ab
I ab I a b I a b
x y xy
, ,
4R
3π
O
R
y
x
Área de un cuarto de círculo
b
O
y
x
4b
3π
3π
4a
a
a2
b2
x2
y2
⫹ ⫽ 1
Área de un cuarto de elipse
y
x
L
y
x z
z
2R
π
y
x
R
R
y
x
2R
π
2R
π
x
R
y
2R sen α
α
α
α
Arco semicircular Arco de un cuarto de círculo Arco circular
x
x dL
dL
y
y dL
dL
z
z dL
dL
L
L
L
L
L
L
= = =
∫
∫
∫
∫
∫
∫
, , .
2A Y 3A FORROS 11/3/08 12:54 Página 1
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Área
sen 2
=
= −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = +
␣
␣ ␣ ␣
R
I R I R
x y
2
4 4
1
4
1
2
1
4
1
,
2
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0
sen 2␣
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
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,
Ixy
O
y
x
R
α
α
2R sen α
3α
Sector circular
Área = = = =
1
4
1
16
1
8
2 4 4
␲ ␲
R I I R I R
x y xy
,
Área =
+
=
+
=
+
+
+ +
cb
n
I
c b
n
I
cb
n
I
n
x
n
y
n
xy
1
3 3 1 3
1
9 3 3
, , =
=
+
+
c b
n
n
2 2 2
4 4
4n ⫹ 2
y
x
(n ⫹ 1)cbn
(n ⫹ 1)b
n ⫹ 2
b
y ⫽ cxn
Enjuta
Área =
= = =
1
4
1
16
1
16
1
8
3 3 2 2
␲
␲ ␲
ab
I ab I a b I a b
x y xy
, ,
4R
3π
O
R
y
x
Área de un cuarto de círculo
b
O
y
x
4b
3π
3π
4a
a
a2
b2
x2
y2
⫹ ⫽ 1
Área de un cuarto de elipse
Líneas
y
x
L
y
x z
z
Las coordenadas del centroide de la línea L son
2R
π
y
x
R
R
y
x
2R
π
2R
π
x
R
y
2R sen α
α
α
α
Arco semicircular Arco de un cuarto de círculo Arco circular
x
x dL
dL
y
y dL
dL
z
z dL
dL
L
L
L
L
L
L
= = =
∫
∫
∫
∫
∫
∫
, , .
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Mecánicaparaingeniería
E S T Á T I C A
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Mecánicaparaingeniería
E S T Á T I C A
QUINTA EDICIÓN
Anthony Bedford • Wallace Fowler
University of Texas at Austin
M
Mi
ig
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el
l Á
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ng
ge
el
l R
Rí
ío
os
s S
Sá
án
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ch
he
ez
z
Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, Campus Estado de México
A
Al
le
ex
x E
El
lí
ía
as
s Z
Zú
úñ
ñi
ig
ga
a
Departamento de Ingeniería Mecánica
de Monterrey, Campus Monterrey
TRADUCCIÓN
J
Je
es
sú
ús
s E
El
lm
me
er
r M
Mu
ur
rr
ri
ie
et
ta
a M
Mu
ur
rr
ri
ie
et
ta
a
Maestro en Investigación de Operaciones
de Monterrey, Campus Morelos
REVISIÓN TÉCNICA
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Authorized translation from the English language edition, entitled Engineering mechanics: Statics 5th edition by Anthony M. Bedford and Wallace T.
Fowler, published by Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall, Copyright © 2008. All rights reserved.
ISBN 0136129153
Traducción autorizada de la edición en idioma inglés titulada Engineering mechanics: Statics 5th edition por Anthony M. Bedford y Wallace T. Fowler,
publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Prentice Hall, Copyright © 2008. Todos los derechos reservados.
Esta edición en español es la única autorizada.
Edición en español
Editor: Luis Miguel Cruz Castillo
e-mail: luis.cruz@pearsoned.com
Editor de desarrollo: Bernardino Gutiérrez Hernández
Supervisor de producción: Rodrigo Romero Villalobos
Edición en inglés
Datos de catalogación bibliográfica
BEDFORD, ANTHONY; FOWLER, WALLACE T.
Mecánica para ingeniería. Estática
Quinta edición
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008
ISBN: 978-970-26-1215-5
Área: Ingeniería
Formato: 20 ⫻ 25.5 cm Páginas: 656
Vice President and Editorial Director, ECS: Marcia J. Horton
Acquisitions Editor: Tacy Quinn
Associate Editor: Dee Bernhard
Managing Editor: Scott Disanno
Media Editor: David Alick
Marketing Manager: Tim Galligan
Production Editor: Craig Little
Director of Creative Services: Paul Belfanti
Creative Director: Juan Lopez
Art Director: Jonathan Boylan
Interior Designer: Kenny Beck
Cover Designer: Jonathan Boylan
Art Editor: Xiaohong Zhu
Manufacturing Manager: Alexis Heydt-Long
Manufacturing Buyer: Lisa McDowell
QUINTA EDICIÓN, 2008
D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Atlacomulco 500-5o. piso
Col. Industrial Atoto
53519, Naucalpan de Juárez, Estado de México
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031.
Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación
de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o
cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.
ISBN 10: 970-26-1215-2
ISBN 13: 978-970-26-1215-5
Impreso en México. Printed in Mexico.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 11 10 09 08
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v
Contenido
Prefacio xiii
Acerca de los autores xix
1 Introducción 3
1.1 Ingeniería y mecánica 4
Resolución de problemas 4
Números 5
Espacio y tiempo 5
Leyes de Newton 6
Sistema internacional de unidades 7
Unidades de uso común en Estados Unidos 8
Unidades angulares 8
Conversión de unidades 8
1.2 Gravitación de Newton 15
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2 Vectores 21
2.1 Escalares y vectores 22
Suma vectorial 22
Producto de un escalar y un vector 24
Resta vectorial 24
Vectores unitarios 24
2.2 Componentes en dos dimensiones 30
Manipulación de vectores en términos de sus componentes 30
Vectores de posición en términos de sus componentes 31
Manipulación de vectores en términos de sus componentes 32
2.3 Componentes en tres dimensiones 43
Magnitud de un vector en términos de sus componentes 44
Cosenos directores 45
Componentes de un vector paralelo a una línea dada 46
Cosenos directores 47
Componentes de un vector paralelo a una línea dada 48
2.4 Productos punto 60
Definición 60
Productos punto en términos de sus componentes 60
Componentes vectoriales paralela y normal a una línea 61
2.5 Productos cruz 68
Definición 68
Productos cruz en términos
de sus componentes 69
Evaluación de un determinante de 70
Productos triples mixtos 70
Problemas de repaso 77
3 Fuerzas 81
3.1 Fuerzas, equilibrio
y diagramas de cuerpo libre 82
Terminología 82
Fuerzas gravitatorias 82
Fuerzas de contacto 83
Equilibrio 86
Diagramas de cuerpo libre 87
3.2 Sistemas bidimensionales de fuerzas 91
3.3 Sistemas tridimensionales de fuerzas 108
3 * 3
vi Contenido
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4 Sistemas de fuerzas y momentos 121
4.1 Descripción bidimensional
del momento 122
4.2 Vector de momento 134
Magnitud del momento 134
Dirección del momento 134
Relación con la descripción bidimensional 136
Teorema de Varignon 137
4.3 Momento de una fuerza respecto a una línea 147
Definición 148
Aplicaciones 148
Determinación del momento de una fuerza F
respecto a una línea L 151
Casos especiales 151
4.4 Pares 162
4.5 Sistemas equivalentes 171
Condiciones de equivalencia 171
Representación de sistemas mediante sistemas equivalentes 172
Representación de un sistema mediante una llave de torsión 173
Sistemas equivalentes de fuerzas y momentos 175
Representación de sistemas de fuerzas y momentos mediante
sistemas equivalentes 176
5 Objetos en equilibrio 195
5.1 Aplicaciones bidimensionales 196
Ecuaciones de equilibrio escalares 196
Soportes 196
Diagramas de cuerpo libre 200
Ecuaciones de equilibrio 201
Soportes 201
5.2 Cuerpos estáticamente indeterminados 217
Soportes redundantes 217
Soportes impropios 219
5.3 Aplicaciones tridimensionales 223
Ecuaciones de equilibrio escalares 223
Soportes 223
Ecuaciones de equilibrio 229
Soportes 229
5.4 Elementos sometidos a dos y tres fuerzas 242
Elementos de dos fuerzas 242
Elementos de tres fuerzas 244
Contenido vii
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6 Estructuras en equilibrio 255
6.1 Armaduras 256
6.2 Método de las juntas 258
Método de las juntas 261
Juntas especiales 261
6.3 Método de secciones 268
Método de secciones 269
6.4 Armaduras espaciales 275
6.5 Bastidores y máquinas 282
Análisis de la estructura completa 283
Análisis de los elementos 283
7 Centroides y centros de masa 311
7.1 Centroides de áreas 312
7.2 Áreas compuestas 320
7.3 Cargas distribuidas 327
Descripción de una carga distribuida 328
Determinación de la fuerza y el momento 328
Analogía del área 329
7.4 Centroides de volúmenes y líneas 335
7.5 Volúmenes y líneas compuestos 343
7.6 Teoremas de Pappus-Guldinus 350
Primer teorema 350
Segundo teorema 351
Primer teorema de Pappus-Guldinus 352
Segundo teorema de Pappus-Guldinus 352
7.7 Centros de masa de objetos 355
7.8 Centros de masa de objetos compuestos 362
viii Contenido
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8 Momentos de inercia 375
Áreas 376
8.1 Definiciones 376
8.2 Teorema de los ejes paralelos 383
8.3 Ejes girados y ejes principales 396
Ejes girados 396
Momento de inercia respecto al eje x⬘ 397
Momento de inercia respecto al eje y⬘ 397
Ejes principales 397
8.4 Círculo de Mohr 405
Sistema coordenado x y y sistema coordenado girado x'y'. 405
Determinación de ejes principales y de momentos
de inercia principales 406
Masas 409
8.5 Objetos simples 409
Barras delgadas 409
Placas delgadas 410
8.6 Teorema de los ejes paralelos 415
9 Fricción 429
9.1 Teoría de la fricción seca 430
Coeficientes de fricción 432
Ángulos de fricción 433
9.2 Cuñas 448
9.3 Roscas 452
9.4 Cojinetes 459
9.5 Cojinetes de empuje axial y embragues 464
9.6 Fricción en bandas 471
Contenido ix
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10 Fuerzas y momentos internos 485
Vigas 486
10.1 Fuerza axial, fuerza cortante
y momento flector 486
10.2 Diagramas de fuerza cortante
y de momento flector 493
10.3 Relaciones entre carga distribuida,
fuerza cortante
y momento flector 498
Construcción del diagrama de fuerza cortante 500
Construcción del diagrama de momento flector 501
Cables 511
10.4 Cargas uniformemente distribuidas
a lo largo de líneas rectas 512
Forma del cable 512
Tensión en el cable 513
Longitud del cable 513
10.5 Cargas distribuidas uniformemente
a lo largo de cables 518
Forma del cable 519
Tensión en el cable 520
Longitud del cable 520
10.6 Cargas discretas en cables 523
Determinación de la configuración y las tensiones 523
Comentarios sobre modelos continuos y discretos 524
Líquidos y gases 529
10.7 Presión y centros de presión 529
Centro de presión 529
Presión en un líquido en reposo 531
x Contenido
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11 Trabajo virtual y energía potencial 545
11.1 Trabajo virtual 546
Trabajo 546
Principio del trabajo virtual 547
Aplicación a estructuras 548
Trabajo 549
Principio del trabajo virtual 550
11.2 Energía potencial 558
Ejemplos de fuerzas conservativas 558
Principio del trabajo virtual para fuerzas conservativas 559
Estabilidad del equilibrio 560
Energía potencial 561
APÉNDICES
A Repaso de matemáticas 573
A.1 Álgebra 573
Ecuaciones cuadráticas 573
Logaritmos naturales 573
A.2 Trigonometría 574
A.3 Derivadas 574
A.4 Integrales 575
A.5 Series de Taylor 576
B Propiedades de áreas y líneas 577
B.1 Áreas 577
B.2 Líneas 579
C Propiedades de volúmenes y objetos
homogéneos 580
Soluciones a los problemas de práctica 583
Respuestas a los problemas
con número par 613
Índice 623
Contenido xi
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xiii
Prefacio
El desarrollo de la quinta edición de Mecánica para Ingenie-
ría: Estática y Dinámica comenzó al preguntarnos de qué ma-
nera podrían reestructurarse nuestros libros de texto para ayudar
a los estudiantes a aprender mecánica de manera más eficaz y
eficiente.
Desde las primeras ediciones, nuestro objetivo ha sido
presentar el material de una forma que emule el desarrollo de
los conceptos por parte del profesor en el salón de clases y en-
fatice el análisis visual para mejorar la comprensión del estu-
diante.
Ahora, con base en nuestras experiencias a través de mu-
chos años en el salón de clases y los comentarios de colegas y
estudiantes, hemos diseñado la quinta edición para apegarnos a
la manera en que los estudiantes actualmente usan los libros de
texto para aprender mecánica. Durante el desarrollo de los nue-
vos elementos descritos anteriormente seguimos apegados a
nuestros objetivos originales de enseñar procedimientos efica-
ces para la resolución de problemas y la importancia central de
los diagramas de cuerpo libre.
Novedades en esta edición
Ejemplos activos
Un nuevo formato de ejemplo diseñado para ayudar a los estu-
diantes a aprender conceptos y métodos, y a probar la com-
prensión de los mismos. Los análisis se relacionan de manera
visual con figuras y ecuaciones en un diseño con ilustraciones
y texto integrados para una lectura eficiente. Al final del ejem-
plo activo se proporciona un “problema de práctica” de manera
que los estudiantes se vean motivados a verificar si compren-
dieron el material; y pueden evaluar fácilmente sus conoci-
mientos al consultar la respuesta, que se proporciona en la
misma página, o estudiando la solución completa que se pre-
senta en el apéndice, con el mismo formato de ilustraciones y
texto integrados.
Problemas con enfoque en ejemplos
Se incluyen nuevos problemas de tarea diseñados para incenti-
var a los alumnos a estudiar los ejemplos dados y expandir su
comprensión de los conceptos. Los números de estos proble-
mas se mencionan al inicio de cada ejemplo, de manera que los
profesores puedan usarlos con facilidad para estimular el estu-
dio de ciertos temas seleccionados.
Resultados
La mayoría de las secciones del libro ahora concluye con una
nueva subsección de resultados, una descripción completa y su-
ficiente de los resultados necesarios para entender los ejemplos
y problemas siguientes. Para una comprensión más fácil, se pre-
sentan en el mismo formato de ilustraciones y texto integrados
que se usa en los ejemplos activos y se puede consultar de ma-
nera eficiente estas subsecciones mientras se estudia el ejem-
plo y trabaja con los problemas.
Conjunto de problemas
En este texto de estática, treinta por ciento de los problemas
son nuevos. Se han marcado con un asterisco los que son re-
lativamente más largos o difíciles. También es posible gene-
rar problemas adicionales usando el sistema de tareas en línea
con sus capacidades algorítmicas (vea el sitio Web de este
libro).
Elementos especiales de este texto
Ejemplos
Además de los nuevos ejemplos activos, mantenemos los que si-
guen una estructura con tres partes —Estrategia/Solución/Ra-
zonamiento crítico— diseñados para ayudar a los estudiantes
a desarrollar sus habilidades en la resolución de problemas de
ingeniería. En las secciones de estrategia, demostramos cómo
planear la solución de un problema, la cual presenta los pasos
detallados necesarios para llegar a los resultados requeridos.
Algunos de los ejemplos se concentran en el diseño y pro-
porcionan análisis detallados de aplicaciones de la estática al
diseño de ingeniería.
Mecánica en computadoras
Algunos profesores prefieren enseñar estática sin dar énfasis al
uso de la computadora. Otros usan la estática como una opor-
tunidad de introducir a los estudiantes al uso de las computado-
ras en ingeniería, y piden a los alumnos que escriban sus propios
programas en un lenguaje de nivel básico o que utilicen softwa-
re de nivel superior para la resolución de problemas. Nuestro libro
es compatible con ambos enfoques. Existe material opcional de
mecánica en computadoras en el sitio Web Companion, donde se
incluyen tutoriales en MathCad y MATLAB. Para mayor infor-
mación, vea la sección de suplementos.
Programa de ilustraciones
Reconocemos la importancia de ayudar a los estudiantes a vi-
sualizar los problemas de mecánica. Los alumnos prefieren y
se sienten más motivados con situaciones reales. Nuestros tex-
tos incluyen muchas fotografías y figuras realistas que ayudan
www.FreeLibros.org

a visualizar las aplicaciones y proporcionar una conexión más
fuerte con la práctica de la ingeniería.
Uso del segundo color
Para ayudar a reconocer e interpretar los elementos de las figu-
ras, hemos usado ciertos valores de identificación:
Estos participantes también revisaron el texto, los ejemplos y
los problemas para asegurar su exactitud. Cualquier error sigue
siendo responsabilidad de nosotros, los autores, y agradecere-
mos la comunicación de estudiantes y profesores en relación
con yerros o áreas de mejoramiento. Nuestra dirección de co-
rreo es Department of Aerospace Engineering and Enginee-
ring Mechanics, University of Texas at Austin, Texas 78712.
Nuestra dirección de correo electrónico es:
abedford@mail.utexas.edu.
Recursos adicionales
Recursos para el estudiante
El paquete de estudio Statics está diseñado para pro-
porcionar a los estudiantes herramientas que mejoren sus
habilidades al dibujar diagramas de cuerpo libre, y para re-
pasar los temas antes de los exámenes. Contiene una ayuda
para los diagramas de cuerpo libre con cincuenta problemas
de práctica de dificultad ascendente, los cuales incluyen so-
luciones completas. Las estrategias y recomendaciones adi-
cionales ayudan a los estudiantes a comprender cómo utilizar
los diagramas en la resolución de problemas relacionados.
Este suplemento y material de repaso adicional para cada
capítulo fue preparado por Peter Schiavone de la University
of Alberta.
Evaluación en la red y tutoriales: Los estudiantes pueden
acceder a los recursos de ayuda, como los problemas de prácti-
ca complementarios, en el sitio Web de este libro.
www.pearsoneducacion.net/bedford
Adicionalmente, los profesores pueden asignar tareas en línea
a los estudiantes usando PH GradeAssist. Las respuestas y los
resultados se califican y registran de manera electrónica.
En cada tutorial se analiza un concepto básico de mecáni-
ca, y después se muestra cómo resolver un problema relaciona-
do con este concepto usando MATLAB y MathCad. Estos
archivos están disponibles en formato PDF para que los profe-
sores las distribuyan entre los estudiantes. Las hojas de trabajo
fueron desarrolladas por Ronald Larsen y Stephen Hunt de la
Montana State University-Bozeman.
Recursos para el profesor
Manual de soluciones para el profesor: Este suplemento,
disponible para los profesores en la página Web, contiene solu-
ciones completas. Cada solución viene con el enunciado del
problema e ilustraciones asociadas. Cabe aclarar que todos estos
complementos están en idioma inglés.
xiv Prefacio
Vectores unitarios
Fuerzas
Posiciones
Pares
Triple verificación de la exactitud:
Compromiso con los estudiantes
y profesores
Nuestro compromiso con los estudiantes y profesores es tomar
precauciones para asegurar la exactitud del texto hasta donde
nuestra capacidad lo permita. Usamos un sistema de triple
verificación de la exactitud en el cual tres participantes, ade-
más de los autores, resuelven los problemas en un esfuerzo por
asegurar que las respuestas son correctas y que tienen un nivel
de dificultad apropiado. Nuestro equipo de exactitud se com-
pone de:
• Scott Hendricks, de la Virginia Polythecnic University
• Karim Nohra de la University of South Florida
• Kurt Norlin del Laurel Technical Services
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Prefacio xv
Centro de recursos para el profesor: Contiene diaposi-
tivas en PowerPoint y archivos JPEG de todas las ilustraciones
del texto. También contiene series de diapositivas en Power-
Point que muestran cada ejemplo.
Evaluación en la red y recursos adicionales: A través
de PH GradeAssist, el profesor puede crear tareas en línea para
los estudiantes usando problemas del texto, los cuales están en
un formato algorítmico, de manera que cada alumno trabaje con
problemas un poco diferentes. Las respuestas a los problemas se
registran en un libro de calificaciones en línea que puede ba-
jarse en Excel. Para recursos adicionales, acceda al sitio Web
del libro, donde encontrará series de problemas complementa-
rios y demás información. Para mayores detalles contacte a su
representante de Pearson Educación.
Reconocimientos
Los siguientes colegas realizaron revisiones con base en su co-
nocimiento y experiencia en la enseñanza, las cuales fueron de
gran ayuda al preparar tanto esta edición como las anteriores.
Shaaban Abdallah
University of Cincinnati
Edward E. Adams
Michigan Technological University
George G. Adams
Northeastern University
Raid S. Al-Akkad
University of Dayton
Jerry L. Anderson
Memphis State University
James G. Andrews
University of Iowa
Robert J. Asaro
University of California, San Diego
Leonard B. Baldwin
University of Wyoming
Haim Baruh
Rutgers University
Gautam Batra
University of Nebraska
David M. Bayer
University of North Carolina
Glenn Beltz
University of California–Santa Barbara
Mary Bergs
Marquette University
Don L. Boyer
Arizona State University
Spencer Brinkerhoff
Northern Arizona University
L. M. Brock
University of Kentucky
William (Randy) Burkett
Texas Tech University
Donald Carlson
University of Illinois
Major Robert M. Carpenter
U.S. Military Academy
Douglas Carroll
University of Missouri, Rolla
Paul C. Chan
New Jersey Institute of Technology
Namas Chandra
Florida State University
James Cheney
University of California, Davis
Ravinder Chona
Texas A & M University
Daniel C. Deckler
The University of Akron Wayne College
Anthony DeLuzio
Merrimack College
Mitsunori Denda
Rutgers University
James F. Devine
University of South Florida
Craig Douglas
University of Massachusetts, Lowell
Marijan Dravinski
University of Southern California
S. Olani Durrant
Brigham Young University
Estelle Eke
California State University, Sacramento
Bogdan I. Epureanu
University of Michigan
William Ferrante
University of Rhode Island
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Robert W. Fitzgerald
Worcester Polytechnic Institute
George T. Flowers
Auburn University
Mark Frisina
Wentworth Institute
Robert W. Fuessle
Bradley University
Walter Gerstle
University of New Mexico
William Gurley
University of Tennessee, Chattanooga
John Hansberry
University of Massachusetts, Dartmouth
Mark J. Harper
United States Naval Academy
W. C. Hauser
California Polytechnic University, Pomona
Linda Hayes
University of Texas–Austin
R. Craig Henderson
Tennessee Technological University
Paul R. Heyliger
Colorado State University
James Hill
University of Alabama
Robert W. Hinks
Arizona State University
Allen Hoffman
Edward E. Hornsey
University of Missouri, Rolla
Robert A. Howland
University of Notre Dame
Joe Ianelli
University of Tennessee, Knoxville
Ali Iranmanesh
Gadsden State Community College
David B. Johnson
Southern Methodist University
E. O. Jones, Jr.
Auburn University
Serope Kalpakjian
Illinois Institute of Technology
Kathleen A. Keil
California Polytechnic University, San Luis Obispo
Yohannes Ketema
University of Minnesota
Seyyed M. H. Khandani
Diablo Valley College
Charles M. Krousgrill
Purdue University
B. Kent Lall
Portland State University
Chad M. Landis
Rice Unversity
Kenneth W. Lau
University of Massachusetts, Lowell
Norman Laws
University of Pittsburgh
William M. Lee
U.S. Naval Academy
Donald G. Lemke
University of Illinois, Chicago
Richard J. Leuba
North Carolina State University
Richard Lewis
Louisiana Technological University
John B. Ligon
Michigan Tech University
Bertram Long
V. J. Lopardo
U.S. Naval Academy
Frank K. Lu
University of Texas, Arlington
Mark T. Lusk
Colorado School of Mines
K. Madhaven
Christian Brothers College
Nels Madsen
Auburn University
James R. Matthews
University of New Mexico
Gary H. McDonald
University of Tennessee
James McDonald
Texas Technical University
Jim Meagher
California Polytechnic State University, San Luis Obispo
Lee Minardi
Tufts University
xvi Prefacio
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Prefacio xvii
Norman Munroe
Florida International University
Shanti Nair
University of Massachusetts, Amherst
Saeed Niku
California Polytechnic State University,
San Luis Obispo
Mohammad Noori
North Carolina State University
Harinder Singh Oberoi
Western Washington University
James O’Connor
University of Texas, Austin
Samuel P. Owusu-Ofori
North Carolina A & T State University
Venkata Panchakarla
Florida State University
Assimina A. Pelegri
Rutgers University
Noel C. Perkins
Corrado Poli
University of Massachusetts–Amherst
David J. Purdy
Rose-Hulman Institute of Technology
Yitshak Ram
Louisiana State University
Colin E. Ratcliffe
U.S. Naval Academy
Daniel Riahi
University of Illinois
Charles Ritz
California Polytechnic State University, Pomona
George Rosborough
University of Colorado, Boulder
Edwin C. Rossow
Northwestern University
Kenneth Sawyers
Lehigh University
Robert Schmidt
University of Detroit
Robert J. Schultz
Oregon State University
Richard A. Scott
Brian Self
U.S. Air Force Academy
William Semke
University of North Dakota
Patricia M. Shamamy
Lawrence Technological University
Sorin Siegler
Drexel University
Peng Song
Rutgers State University
Candace S. Sulzbach
Colorado School of Mines
L. N. Tao
Illinois Institute of Technology
Craig Thompson
Western Wyoming Community College
John Tomko
Cleveland State University
Kevin Z. Truman
Washington University
John Valasek
Texas A & M University
Christine Valle
Georgia Institute of Technology
Dennis VandenBrink
Western Michigan University
Thomas J. Vasko
University of Hartford
Mark R. Virkler
University of Missouri, Columbia
William H. Walston, Jr.
University of Maryland
Andrew J. Walters
Mississippi University
Reynolds Watkins
Utah State University
Charles White
Norman Wittels
Julius P. Wong
University of Louisville
T. W. Wu
University of Kentucky
Constance Ziemian
Bucknell University
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xviii Prefacio
Los elementos nuevos que diferencian esta edición de las
anteriores, particularmente la integración de texto e ilustra-
ciones, fueron desarrollados con ayuda de estudiantes, colegas
y editores. Los revisores de las primeras pruebas nos motivaron
y sugirieron refinamientos útiles. Después de haber establecido
el nuevo formato, el apoyo que recibimos de Prentice Hall en el
desarrollo de los libros fue estupendo. Nuestra editora Tacy
Quinn organizó el gran esfuerzo en equipo que requieren los li-
bros de este tipo y nos ofreció una ayuda entusiasta y consejos
valiosos. Marcia Horton y Tim Galligan hicieron la revisión
más importante desde las conversaciones iniciales acerca de
nuestras ideas hasta la publicación del libro. Craig Little con-
tinuó enseñándonos los detalles de la producción del libro y fue
el instrumento para mantener el proyecto dentro del calendario
establecido. De nuevo, Xiaohong Zhu nos proporcionó un apoyo
consumado en los aspectos relativos a ilustraciones y fotografías.
Dee Bernhard y Mack Patterson administraron nuestra comu-
nicación con los revisores y usuarios de los libros. Jennifer Lons-
chein proporcionó apoyo editorial y de producción. DavidAlick,
Ben Paris y Kristin Mayo coordinaron el desarrollo de los re-
cursos en línea que se han convertido en herramientas tan esen-
ciales para los usuarios. Jonathan Boylan diseñó las portadas.
Agradecemos a Peter Schiavone por desarrollar los paquetes de
estudio que acompañan a los libros, y a Stephen Hunt y Ronald
Larsen por escribir los apoyos en MATLAB y MathCad. Scout
Hendricks, Karim Nohra y Kart Norlin, valiosos colegas de
nuestras campañas anteriores, nos dieron consejos con respec-
to al estilo y la claridad, corrigieron muchos de nuestros errores
y revisaron los manuales de solución. Somos responsables por
los errores que aún quedan. Nancy Bedford nos ofreció conse-
jo editorial y nos ayudó con la revisión. Muchas otras per-
sonas talentosas y profesionales tanto de Prentice Hall como de
otras partes también contribuyeron en la revisión de este texto, por
lo que les estamos agradecidos. Y una vez más agradecemos a
nuestras familias, especialmente a Nancy y Marsha, por su pa-
ciencia y comprensión en la realización de las nuevas ediciones.
Anthony Bedford and Wallace Fowler
Austin, Texas
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xix
Acerca de los autores
Anthony Bedford es profesor emérito de Ingeniería Aero-
espacial e Ingeniería Mecánica en la University of Texas at
Austin, y ha ejercido la docencia desde 1968. Es miembro de la
Academia de Maestros Distinguidos de la University of Texas.
Su actividad profesional principal ha sido la educación y la in-
vestigación en la mecánica para ingeniería. Ha escrito artículos
sobre teoría mixta, propagación de ondas y la mecánica de im-
pactos a alta velocidad, y es autor de los libros Principio de
Hamilton en Mecánica Continua, Introducción a la Propagación
Elástica de Ondas (con D. S. Drumheller) y Mecánica de Ma-
teriales (con K. M. Liechti). Tiene experiencia industrial en
Douglas Aircraft Company, TRW, y Sandia National Laborato-
ries.
Wallace T. Fowler es Profesor Centenario Paul D. & Betty
Robertson de ingeniería en la University of Texas y es director
del Consorcio de Apoyo Espacial de Texas. Pertenece al Ame-
rican Institute of Aeronautics and Astronautic (AIAAs) y a la
American Society for Engineering Education (ASEE). El
Dr. Fowler recibió el premio de excelencia en la enseñanza de
dinámica general en 1976, el premio John Leland Atwood
de AIAAA y ASEE en 1985 (para el mejor profesor en inge-
niería aeroespacial), el premio a la enseñanza del consejo de
maestros de la University of Texas en 1990-1991, además
del premio a la enseñanza en diseño Fred Merryfield de ASEE
en 1994. En 1997 fue seleccionado para pertenecer a la acade-
mia de profesores distinguidos de la University of Texas. El
Dr. Fowler también se desempeñó como presidente de la Ame-
rican Society for Engineering Education (ASEE) de 2000 a
2001. Los intereses del Dr. Fowler relativos a la investigación
y la enseñanza en la UT, en Austin, se enfocan en la ingenie-
ría y el diseño de sistemas espaciales.
Anthony Bedford (l ) y Wallace T. Fowler
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CAPÍTULO
1
Introducción
¿Cómo diseñan y construyen los ingenieros los dispositivos
que se usan en la vida diaria, desde objetos simples como sillas
y sacapuntas hasta estructuras complicadas como presas,
automóviles, aviones y naves espaciales? Ellos deben tener un
conocimiento profundo de la física subyacente al diseño de tales
dispositivos y ser capaces de usar modelos matemáticos para
predecir su comportamiento. Al estudiar mecánica, los
estudiantes de ingeniería comienzan a aprender cómo analizar y
predecir los comportamientos de los sistemas físicos.
Los ingenieros utilizan los principios de la estática en cada paso del diseño y
ensamble de una estructura. La estática es una de las ciencias sobre las que se
basa el arte del diseño estructural.
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4 Capítulo 1 Introducción
1.1 Ingeniería y mecánica
ANTECEDENTES
¿Cómo pueden los ingenieros diseñar sistemas complejos y predecir sus caracte-
rísticas antes de construirlos? Los ingenieros siempre han confiado en su cono-
cimiento de diseños anteriores, en experimentos y en su ingenio y creatividad para
producir nuevos diseños. Los ingenieros modernos tienen además una poderosa téc-
nica: desarrollan ecuaciones matemáticas basadas en las características físicas de los
objetos que diseñan. Con estos modelos matemáticos predicen el comportamiento de
sus diseños, los modifican y los prueban antes de su construcción real: los ingenie-
ros aeroespaciales usan modelos matemáticos para predecir las rutas que seguirá un
trasbordador espacial durante su vuelo; los ingenieros civiles usan modelos mate-
máticos para analizar los efectos de las cargas sobre edificios y sus cimientos.
En su nivel más básico, la mecánica es el estudio de las fuerzas y sus efectos.
La mecánica elemental se divide en estática, que es el estudio de los objetos en
equilibrio, y dinámica, que es el estudio de los objetos en movimiento. Los resul-
tados obtenidos en la mecánica elemental se aplican directamente a muchos cam-
pos de la ingeniería. Los ingenieros civiles y mecánicos que diseñan estructuras
usan ecuaciones de equilibrio obtenidas por medio de la estática. Tanto los inge-
nieros civiles que analizan las respuestas de edificios frente a terremotos, como los
ingenieros aeroespaciales que determinan las trayectorias de satélites, usan las
ecuaciones de movimiento obtenidas de la dinámica.
La mecánica fue la primera ciencia analítica, por eso los conceptos funda-
mentales, los métodos analíticos y las analogías de la mecánica se encuentran casi
en todas las ramas de la ingeniería. Los estudiantes de ingeniería química y eléc-
trica aprecian de una manera más profunda conceptos básicos de sus campos,
como el equilibrio, la energía y la estabilidad al aprenderlos en sus contextos
mecánicos originales. Cuando estudian mecánica vuelven a trazar el desarrollo
histórico de esas ideas.
La mecánica consiste en principios generales que rigen el comportamiento de
los objetos. En este libro se describen esos principios y se proporcionan ejemplos
que muestran algunas de sus aplicaciones. Aunque es esencial que el estudiante
resuelva problemas similares a esos ejemplos, y se incluyen muchos problemas
de este tipo, el objetivo del texto es ayudar a entender los principios suficiente-
mente bien para aplicarlos a las nuevas situaciones que se presenten. Cada gene-
ración de ingenieros se enfrenta a problemas nuevos.
Resolución de problemas
En el estudio de la mecánica usted aprenderá procedimientos para resolver pro-
blemas que usará en cursos posteriores y a lo largo de su carrera. Aunque los dife-
rentes tipos de problemas requieren distintos métodos, los siguientes pasos se apli-
can a muchos de ellos:
• Identifique la información dada y la información, o respuesta, que debe deter-
minarse. Con frecuencia resulta útil reformular el problema en sus propias
palabras. Cuando sea apropiado, asegúrese de que entiende el sistema físico o
el modelo involucrado.
• Desarrolle una estrategia para el problema. Esto es, identifique los principios
y ecuaciones aplicables, y plantéese cómo los usará. Cuando sea posible,
dibuje diagramas para visualizar y resolver el problema.
• Siempre que pueda, trate de predecir la respuesta. Esto desarrollará su intui-
ción y lo ayudará a reconocer una respuesta incorrecta.
• Resuelva las ecuaciones y, cuando sea posible, interprete sus resultados y
compárelos con su predicción. El último paso se llama verificación en la rea-
lidad. ¿Es razonable su respuesta?
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Números
Las mediciones, los cálculos y los resultados de ingeniería se expresan en núme-
ros. Usted necesita saber cómo se expresan los números en los ejemplos y proble-
mas de este libro, y cómo deberá expresar los resultados de sus propios cálculos.
Dígitos significativos Este término se refiere al número de dígitos significati-
vos (o sea, exactos) en un número, contando hacia la derecha a partir del primer
dígito distinto de cero. Los números 7.630 y 0.007630 están expresados con cua-
tro dígitos significativos. Si se sabe que sólo los primeros cuatro dígitos del núme-
ro 7,630,000 son exactos, esto se puede indicar escribiendo el número en notación
científica como 7.630 106.
Si un número es el resultado de una medición, los dígitos significativos que
contiene están limitados por la exactitud de la medición. Si el resultado de una
medición es 2.43, esto significa que el valor real estará más cercano a 2.43 que a
2.42 o a 2.44.
Los números pueden redondearse a cierta cantidad de dígitos significativos.
Por ejemplo, el valor de puede expresarse con tres dígitos significativos, 3.14,
o con seis dígitos significativos, 3.14159. Cuando se usa una calculadora o una
computadora, el número de dígitos significativos está limitado por la cantidad de
cifras significativas que la máquina puede manejar según su diseño.
Uso de números en este libro Los números dados en los problemas deben
tratarse como valores exactos sin importar cuántos dígitos significativos contie-
nen. Si un problema establece que una cantidad es igual a 32.2, se puede suponer
que su valor es 32.200... Por lo general se utilizarán al menos tres dígitos signifi-
cativos para expresar los resultados intermedios y las respuestas en los ejemplos,
así como las respuestas a los problemas. Si usa calculadora, sus resultados deben
tener esa exactitud. Asegúrese de evitar los errores que ocurren al redondear
resultados intermedios cuando realice una sucesión de cálculos. En vez de esto,
efectúe sus cálculos con la exactitud disponible al retener los valores en su
calculadora.
Espacio y tiempo
El espacio se refiere simplemente al universo tridimensional en que vivimos. Las
experiencias diarias proporcionan una noción intuitiva del espacio y de las ubica-
ciones, o posiciones, de los puntos en éste. La distancia entre dos puntos en el
espacio es la longitud de la línea recta que los une.
Para medir la distancia entre puntos en el espacio se requiere una unidad de
longitud. Se usarán tanto las unidades del Sistema Internacional, o unidades SI,
como las unidades de uso común en Estados Unidos. En unidades SI, la unidad de
longitud es el metro (m). En unidades de uso común en Estados Unidos la unidad
de longitud es el pie (ft).
Por supuesto, el tiempo resulta familiar; la vida se mide por medio de él. Los
ciclos diarios de luz y oscuridad y las horas, minutos y segundos medidos por un
reloj proporcionan una noción intuitiva del tiempo. Éste se mide mediante los in-
tervalos entre eventos repetidos, como las oscilaciones del péndulo de un reloj o las
vibraciones en un reloj de cristal de cuarzo. Tanto en las unidades SI como en las de
uso común en Estados Unidos, la unidad de tiempo es el segundo (s); también se
utilizan los minutos (min), las horas (h) y los días.
Si la posición de un punto en el espacio en relación con algún punto de refe-
rencia cambia con el tiempo, la razón del cambio de su posición se llama veloci-
dad, y la razón del cambio de su velocidad se denomina aceleración. En unidades
SI, la velocidad se expresa en metros por segundo (m/s) y la aceleración en metros
por segundo cuadrado (m/s2). En las unidades de uso común en Estados Unidos, la
p
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velocidad se expresa en pies por segundo (pie/s) y la aceleración en pies sobre
segundo cuadrado (pie/s2).
Leyes de Newton
La mecánica elemental se estableció sobre una base sólida con la publicación en
1687 de Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de Isaac Newton. Aunque
sumamente original, este trabajo se basó en conceptos fundamentales desarrolla-
dos durante una lucha larga y difícil hacia el conocimiento (figura 1.1).
Guerra del Peloponeso 400 a. C.
d. C. 400
800
1200
1400
1600
1650
1700
Invasión de Roma a Bretaña
Coronación de Carlomagno
Conquista normanda de Bretaña
Firma de la Carta Magna
Peste bubónica en Europa
Impresión de la Biblia de Gutenberg
Viaje de Colón
Fundación de la colonia de Jamestown
Guerra de los treinta años
Llegada de los peregrinos a Massachussets
Fundación de la Universidad de Harvard
Establecimiento en Carolina
Cesión de Pennsylvania a William Penn
Juicios por brujería en Salem
Aristóteles: Estática de palancas, especulaciones sobre dinámica
Arquímedes: Estática de palancas, centros de masa, flotación
Hero de Alejandría: Estática de palancas y poleas
Papo: Definición precisa del centro de masa
Juan Filopono: Concepto de inercia
Jordano de Nemora: Estabilidad del equilibrio
Alberto de Sajonia:Velocidad angular
Nicola d’Oresme: Cinemática gráfica, coordenadas
William Heytesbury: Concepto de aceleración
Nicolás Copérnico: Concepto del sistema solar
Dominic de Soto: Cinemática de objetos que caen
Tycho Brahe: Observaciones de movimientos planetarios
Simon Stevin: Principio del trabajo virtual
Johannes Kepler: Geometría y cinemática de
movimientos planetarios
Galileo Galilei: Experimentos y análisis en estática
y dinámica, movimiento de un proyectil
René Descartes: Coordenadas cartesianas
Evangelista Torricelli: Experimentos sobre hidrodinámica
Blaise Pascal:Análisis en hidrostática
John Wallis, Christopher Wren, Christian Huyghens:
Impactos entre objetos
Isaac Newton: Concepto de masa, leyes de
movimiento, postulado de la gravitación
universal, análisis de movimientos planetarios
0
Figura 1.1
Cronología de sucesos fundamentales en el desarrollo de la mecánica hasta la publicación
de Principios de Newton, en relación con otros eventos en la historia.
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Newton estableció tres “leyes” del movimiento que, expresadas en términos
modernos, son:
1. Cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a cero,
su velocidad es constante. En particular, si inicialmente la partícula se encuen-
tra en reposo, permanecerá en reposo.
2. Cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula no es igual a
cero, la suma de las fuerzas es igual a la razón de cambio de la cantidad de
movimiento lineal de la partícula. Si la masa es constante, la suma de las
fuerzas es igual al producto de la masa de la partícula y su aceleración.
3. Las fuerzas ejercidas por dos partículas entre si son iguales en magnitud y
opuestas en dirección.
Observe que no se definió fuerza ni masa antes de enunciar las leyes de Newton.
La visión moderna es que estos términos se definen mediante la segunda ley. Para
demostrarlo, suponga que se elige un cuerpo arbitrario y se especifica que tiene
masa unitaria. Luego se define una unidad de fuerza como la fuerza que imparte a
esta masa unitaria una aceleración de magnitud unitaria. En principio, es posible
determinar la masa de cualquier cuerpo: se le aplica una fuerza unitaria, se mide
la aceleración resultante y se usa la segunda ley para determinar la masa. También
se puede determinar la magnitud de cualquier fuerza: se le aplica a la masa unita-
ria, se mide la aceleración resultante y se usa la segunda ley para determinar la
fuerza.
De esta manera, la segunda ley de Newton proporciona significados precisos
a los términos masa y fuerza. En unidades SI, la unidad de masa es el kilogramo
(kg). La unidad de fuerza es el newton (N), que es la fuerza requerida para impar-
tir a una masa de un kilogramo una aceleración de un metro por segundo al cuadra-
do (m/s2). En las unidades del uso común en Estados Unidos, la unidad de fuerza
es la libra (lb). La unidad de masa es el slug, que es la cantidad de masa acelera-
da a un pie por segundo cuadrado por una fuerza de una libra.
Aunque los resultados que se analizan en este libro son aplicables a muchos de
los problemas que surgen en la práctica de la ingeniería, hay límites para la validez
de las leyes de Newton. Por ejemplo, éstas no dan resultados precisos si un proble-
ma implica velocidades que no son pequeñas comparadas con la velocidad de la luz
(3 108 m/s). La teoría de la relatividad especial de Einstein se aplica a tales pro-
blemas. La mecánica elemental también falla en problemas que implican dimensio-
nes que no son grandes comparadas con las dimensiones atómicas. Para describir
los fenómenos en la escala atómica se debe usar la mecánica cuántica.
Sistema internacional de unidades
En unidades SI, la longitud se mide en metros (m) y la masa en kilogramos (kg).
El tiempo se mide en segundos (s), aunque cuando es conveniente también se usan
los minutos (min), las horas (h) y los días. A los metros, kilogramos y segundos se
les llama unidades básicas del SI. La fuerza se mide en newtons (N). Recuerde que
esas unidades están relacionadas por la segunda ley de Newton: un newton es la
fuerza requerida para imprimir a un objeto de un kilogramo de masa una acelera-
ción de un metro por segundo cuadrado:
Como el newton se puede expresar en función de las unidades básicas, se le llama
unidad derivada.
Para expresar cantidades por medio de números de tamaño conveniente, los
múltiplos de unidades se indican por medio de prefijos. En la tabla 1.1 se mues-
tran los prefijos más comunes, sus abreviaturas y los múltiplos que representan.
Por ejemplo, 1 km es 1 kilómetro, o sea 1000 m, y 1 Mg es 1 megagramo, que son
106 g o 1000 kg. Con frecuencia se usan los kilonewtons (kN).
1 N = 11 kg211 m/s2
2 = 1 kg-m/s2
.
Tabla 1.1 Prefijos comunes usados en
las unidades SI y los múltiplos que
representan.
Prefijo Abreviatura Múltiplo
nano- n
micro-
mili- m
kilo- k
mega- M
giga- G 109
106
103
10-3
10-6
m
10-9
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s
s
R
u
u R
Figura 1.2
Definición de un ángulo en radianes.
Tabla 1.2 Conversión de unidades.
Tiempo 1 minuto 60 segundos
1 hora 60 minutos
1 día 24 horas
Long. 1 pie 12 pulg
1 milla 5280 pies
1 pulg 25.4 milímetros
1 pie 0.3048 metros
Ángulo 2p radianes 360 grados
Masa 1 slug 14.59 kilogramos
Fuerza 1 libra 4.448 newtons
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Unidades de uso común en Estados Unidos
En las unidades de uso común en Estados Unidos, la longitud se mide en pies (pie)
y la fuerza se mide en libras (lb). El tiempo se mide en segundos (s). Éstas son las
unidades básicas de uso común en Estados Unidos. En este sistema de unidades la
masa es una unidad derivada. La unidad de masa es el slug, que es la masa de mate-
rial acelerado a un pie por segundo cuadrado mediante una fuerza de una libra. La
segunda ley de Newton establece que
1 lb = (1 slug)(1 pie/s2).
A partir de esta expresión se obtiene
1 slug = 1 lb-s2/pie.
En este sistema se usan otras unidades como la milla (1 mi = 5280 pies) y
la pulgada (1 pie = 12 pulg). También se utiliza la kilolibra (kip), que es igual a
1000 lb.
Unidades angulares
En ambos sistemas de unidades los ángulos se expresan normalmente en radianes
(rad). En la figura 1.2 se muestra el valor de un ángulo u en radianes. Se define
como la razón de la parte de la circunferencia subtendida por u y el radio del círcu-
lo. Los ángulos también se expresan en grados. Como hay 360 grados (360°) en
un círculo completo y la totalidad de la circunferencia del círculo es 2pR, 360° son
iguales a 2p rad.
Las ecuaciones que contienen ángulos casi siempre se obtienen suponiendo
que los ángulos se expresan en radianes. Por consiguiente, cuando en una ecuación
se desee sustituir el valor de un ángulo expresado en grados, primero deberá con-
vertirse a radianes. Una excepción notable a esta regla es que muchas calculado-
ras están diseñadas para aceptar ángulos expresados ya sea en grados o en radia-
nes cuando se utilizan para evaluar funciones como sen u.
Conversión de unidades
En la práctica de ingeniería surgen muchas situaciones que requieren convertir
valores expresados en unidades de una clase a valores en otras unidades. Por
ejemplo, si algunos de los datos que deben usarse en una ecuación están dados
en unidades SI y otros en unidades de uso común en Estados Unidos, todos se
deben expresar en términos de un solo sistema de unidades antes de ser sustitui-
dos en la ecuación. La conversión de unidades es sencilla pero debe hacerse con
cuidado.
Suponga que se desea expresar 1 milla por hora (mi/h) en términos de pie por
segundo (pie/s). Como 1 milla es igual a 5280 pies y 1 hora equivale a 3600 segun-
dos, se pueden emplear las expresiones
como razones cuyos valores son iguales a 1. De esta forma se obtiene
.
En la tabla 1.2 se proporcionan algunas conversiones útiles entre unidades.
1 m/h (1 mi/h)
5280 pies
1 mi
h
3600 s
= ⎛
⎝
⎞
⎠
⎛ 1
⎝
⎝
⎞
⎠
= 1 47
. pies/s
5280 1
pies
1 mi
y
h
3600 s
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
1 mi/h
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Identifique la información dada y la información
que debe determinarse.
Desarrolle una estrategia; identifique los principios
y ecuaciones aplicables y plantéese cómo los usará.
Siempre que sea posible, trate de predecir la respuesta.
Obtenga la respuesta y, cuando sea posible,
interprétela y compárela con su predicción.
Unidades SI: Las unidades básicas son el tiempo en
segundos (s), la longitud en metros (m) y la masa
en kilogramos (kg). La unidad de fuerza es el newton (N),
que es la fuerza requerida para acelerar una masa de un
kilogramo a un metro por segundo cuadrado.
Unidades de uso común en Estados Unidos: Las unidades
básicas son el tiempo en segundos (s), la longitud en pies
y la fuerza en libras (lb). La unidad de masa el slug, que
es la masa acelerada a un pie por segundo cuadrado
mediante una fuerza de una libra.
Las cantidades equivalentes, como 1 hora = 60 minutos,
pueden escribirse como razones cuyos valores son 1:
y usarse para realizar la conversión de unidades. Por ejemplo,
15 min 15 min 0.25 h.
Resolución de problemas:
Estos pasos se aplican
a muchos tipos de problemas.
Sistemas de unidades.
Definición de un
ángulo en radianes.
Conversión de unidades.
1 h
60 min
1,
1 h
60 min
s
u R
s
R
u
RESULTADOS
Existe un documento muy completo sobre unidades recopilado por Russ Rowlett
de la University of North Carolina en Chapel Hill, el cual está disponible en línea
en www.unc.edu/~rowlett/units.
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Ejemplo 1.2 Conversión de unidades de presión ( Relacionado con el problema 1.16)
Vehículo de sumersión profunda
La presión ejercida en un punto del casco del vehículo de sumersión profunda es de
3.00 106 Pa (pascales). Un pascal es 1 newton por metro cuadrado. Determine la
presión en libras por pie cuadrado.
Estrategia
A partir de la tabla 1.2, 1 libra = 4.448 newtons y 1 pie = 0.3048 metros. Con estas
conversiones de unidades es posible calcular la presión en libras por pie cuadrado.
Solución
La presión (con tres dígitos significativos) es
62,700 lb/pie2
Razonamiento crítico
¿Cómo podría haberse obtenido este resultado de una manera más directa? Obser-
ve en la tabla para conversión de unidades de la contraportada de este libro que
1 Pa = 0.0209 lb/pie2. Por lo tanto,
3 00 10 3 00 10
0 0209
6 6
. ( . )
.
× = ×
N/m N/m
lb/pie
2 2
2
1
1 N/m2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= 62,7
700 lb/pie2
.
3.00 * 106
N/m2
= 13.00 * 106
N/m2
2a
1 lb
4.448 N
b a
0.3048 m
1 ft
b
2
Ejemplo activo 1.1 Conversión de unidades ( Relacionado con el problema 1.11)
Un hombre maneja una bicicleta a una velocidad de 6 metros por segundo (m/s).
¿Qué tan rápido se desplaza en kilómetros por hora (km/h)?
Estrategia
Un kilómetro equivale a 1000 metros y una hora a 60 minutos 60 segundos = 3600
segundos. Estas unidades de conversión pueden utilizarse para determinar su velo-
cidad en km/h.
Solución
Problema de práctica Un hombre maneja una bicicleta a una velocidad de 10 pies por
segundo (pie/s). ¿Qué tan rápido se desplaza en millas por hora (mi/h)?
Respuesta: 6.82 mi/h.
21.6 km/h.
Convierta de metros a kilómetros.
Convierta de segundos a horas.
6 m/s 6 m/s
1 km
1000 m

3600 s
1 h

1 pie
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Ejemplo 1.3 Determinación de unidades a partir de una ecuación ( Relacionado con el problema 1.20)
Suponga que en la ecuación de Einstein
la masa m está en kilogramos y la velocidad de la luz c en metros por segundo.
a) ¿Cuáles son las unidades SI de E?
b) Si el valor de E en unidades SI es igual a 20, ¿cuál es su valor en las unidades
básicas de uso común en Estados Unidos?
Estrategia
a) Como se conocen las unidades de los términos m y c, es posible deducir las uni-
dades de E a partir de la ecuación dada.
b) Pueden usarse las conversiones de unidades para la masa y la longitud dadas en
la tabla 1.2 para convertir E de unidades SI a unidades de uso común en Estados
Unidos.
Solución
a) De la ecuación para E,
las unidades SI de E son kg-m2/s2.
b) De la tabla 1.2, 1 slug 14.59 kg y 1 pie 0.3048 metros. Por lo tanto,
El valor de E en unidades de uso común en Estados Unidos es
E = (20)(0.738) = 14.8 slug-pie2/s2.
En el inciso a), ¿cómo se supo que era posible determinar las unidades de E al
determinar las unidades de mc2? Las dimensiones, o unidades, de cada término en
una ecuación deben ser las mismas. Por ejemplo, en la ecuación a b c, las
dimensiones de cada uno de los términos a, b y c deben ser las mismas. Se dice
que la ecuación es dimensionalmente homogénea. Este requisito se expresa
mediante la frase coloquial. “No se pueden comparar peras con manzanas”.
1 1
kg-m /s kg-m /s )
1 slug
14.59 kg
2 2 2 2
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
(
1
1 pie
0.3048 m
⎛
⎝
⎞
⎠
=
2
0 738
. s
slug-pie /s .
2 2
E = 1m kg21c m/s22
,
E = mc2
,
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1.1 El valor p es 3.14159265… C es la circunferencia de un círcu-
lo y r su radio. Determine el valor de r/C con cuatro dígitos signi-
ficativos.
Problemas
Problema 1.1
C
r
1.2 La base de los logaritmos naturales es e = 2.718281828....
a) Exprese e con cinco dígitos significativos.
b) Determine el valor de e2 con cinco dígitos significativos.
c) Use el valor de e obtenido en el inciso a) para determinar el
valor de e2 con cinco dígitos significativos.
[El inciso c) demuestra el peligro de usar valores redondeados du-
rante los cálculos].
1.3 Un técnico perfora un agujero circular en un panel con un
radio nominal r = 5 mm. El radio real del agujero está en el rango
r = 5 ± 0.01 mm.
a) ¿Hasta cuál número de dígitos significativos puede expresar el
radio?
b) ¿Hasta cuál número de dígitos significativos puede expresar el
área del agujero?
5 mm
Problema 1.3
1.5 El Burj Dubai, que debe estar terminado en 2008, será el edifi-
cio más alto del mundo con una altura de 705 m. El área de su base
será de 8000 m2. Convierta su altura y su área de base en unidades
de uso común en Estados Unidos con tres dígitos significativos.
Problema 1.5
Problema 1.4
1.4 Una portería de fútbol tiene 24 pies de ancho y 8 de alto, por
lo que el área es 24 8 pies 192 pies2. ¿Cuál es el área en m2
con tres dígitos significativos?
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Problemas 13
Problema 1.8
1.7 Suponga que se sabe que la altura del Monte Everest está
entre 29,032 pies y 29,034 pies. Con base en esta información, ¿a
cuántos dígitos significativos puede expresarse la altura a) en pies
y b) en metros?
1.8 El tren maglev (levitación magnética) que viaja de Shangai al
aeropuerto en Pundong alcanza una velocidad de 430 km/h. Deter-
mine su velocidad a) en mi/h y b) en pie/s.
1.6 Suponga que acaba de comprar un Ferrari F355 Coupé y
desea saber si puede usar su juego de llaves SAE (unidades de uso
común en Estados Unidos) para trabajar en él. Usted tiene llaves
con anchos v = 1/4 pulg, 1/2 pulg, 3/4 pulg y 1 pulg y el automóvil
tiene tuercas con dimensiones n = 5 mm, 10 mm, 15 mm, 20 mm
y 25 mm. Si se establece que una llave ajusta si v no es 2% mayor
que n, ¿cuál de sus llaves puede usar?
w n
Problema 1.6
1.11 La energía cinética del hombre del ejemplo activo 1.1 se
define mediante donde m es su masa y v es su velocidad.
La masa del hombre es 68 kg y se mueve a 6 m/s, de forma que su
energía cinética es ¿Cuál es
su energía cinética en unidades de uso común en Estados Unidos?
1.12 La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar en uni-
dades SI es g = 9.81 m/s2. Mediante la conversión de unidades,
use este valor para determinar la aceleración debida a la gravedad
al nivel del mar en unidades de uso común en Estados Unidos.
1.13 Un estadio por quincena es una unidad de velocidad en
broma, inventada tal vez por un estudiante como comentario satí-
rico sobre la gran variedad de unidades con la que deben tratar los
ingenieros. Un estadio equivale a 660 pies (1/8 milla). Una quin-
cena consta de 2 semanas (14 noches). Si usted camina rumbo a
su clase a 2 m/s, ¿cuál es su velocidad en estadios por quincena
con tres dígitos significativos?
1.14 Determine el área de la sección transversal de la viga a) en
m2 y b) en pulg2.
1
2(68 kg)(6 m/s)2
= 1224 kg-m2
/s2
.
1
2 mv2
,
Problema 1.10
1.9 En los Juegos Olímpicos de Invierno de 2006, la carrera de
ski a campo traviesa de 15 km fue ganada por Andrus Veerpalu de
Estonia en un tiempo de 38 minutos 1.3 segundos. Determine su
velocidad promedio (la distancia viajada entre el tiempo utilizado)
con tres dígitos significativos a) en km/h y b) en mi/h.
1.10 El motor del Porsche ejerce un par de torsión de 229 pies-lb
(pies-libra) a 4600 rpm. Determine el valor del par de torsión en
N-m (newton-metros).
Problema 1.14
120 mm x
y
40 mm
40 mm
40
mm
200 mm
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x
y
A
Problema 1.15
1.15 El área de la sección transversal de la viga de acero Canal
Estándar Americano es A = 8.81 pulg2. ¿Cuál es el área
de su sección transversal en mm2?
C12 * 30
1.16 Un transductor de presión mide un valor de 300 lb/pulg2.
Determine el valor de la presión en pascales. Un pascal (Pa) es
igual a un newton por metro cuadrado.
Problema 1.17
1.17 Un caballo de fuerza equivale a 550 pies-lb/s. Un watt es
igual a 1 N-m/s. Determine cuántos watts son generados por los
motores de un jet comercial, si éstos producen 7000 caballos de
fuerza.
1.18 En el capítulo 7 se analizan las cargas distribuidas, que se
expresan en unidades de fuerza por unidad de longitud. Si el valor
de una carga distribuida es de 400 N/m, ¿cuál es su valor en
lb/pie?
1.19 El momento de inercia del área rectangular con respecto al
eje x está dado por la ecuación
Las dimensiones del área son b = 200 mm y h = 100 mm. Deter-
mine el valor de I con cuatro dígitos significativos en términos de
a) mm4, b) m4 y c) pulg4.
I = 1
3 bh3
.
h
b
x
y
Problema 1.19
1.20 En el ejemplo 1.3, en vez de la ecuación de Einsten con-
sidere la ecuación L = mc, donde la masa m está en kilogramos y
la velocidad de la luz c está en metros por segundo. a) ¿Cuáles
son las unidades SI de L? b) Si el valor de L en unidades SI es 12,
¿cuál es el valor en unidades básicas de uso común en Estados
Unidos?
1.21 La ecuación
se usa en la mecánica de materiales para determinar esfuerzos nor-
males en vigas.
a) Cuando esta ecuación se expresa en términos de unidades bási-
cas SI, M está en newton-metros (N-m), y está en metros (m) e I
está en metros a la cuarta potencia (m4). ¿Cuáles son las unidades
SI de s?
b) Si M 2000 N-m, y 0.1 m e I 7 105 m4, ¿cuál es el
valor de s en unidades básicas de uso común en Estados Unidos?
s =
My
I
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1.2 Gravitación de Newton
ANTECEDENTES
Newton postuló que la fuerza gravitatoria entre dos de masas m1 y m2 que están
separadas por la distancia r (figura 1.3) es
(1.1)
donde G se denomina constante de gravitación universal. El valor de G en unida-
des SI es 6.67 10–11 N-m2/kg2. Con base en su postulado, Newton calculó la
fuerza gravitatoria entre una partícula de masa m1 y una esfera homogénea de masa
m2, y encontró que también está dada por la ecuación (1.1), donde r expresa la dis-
tancia de la partícula al centro de la esfera. Aunque la Tierra no es una esfera
homogénea, es posible usar este resultado para obtener el peso aproximado de un
cuerpo de masa m debido a la atracción gravitatoria de la Tierra. Se tiene
(1.2)
donde mE es la masa de la Tierra y r es la distancia del centro de la Tierra al obje-
to. Observe que el peso de un cuerpo depende de su posición con respecto al cen-
tro de la Tierra, mientras que la masa del cuerpo es una medida de la cantidad de
materia que contiene y que no depende de su posición.
Cuando el peso de un objeto es la única fuerza que actúa sobre él, la acelera-
ción resultante se denomina aceleración debida a la gravedad. En este caso la
segunda ley de Newton establece que W ma, y de la ecuación (1.2) se observa
que la aceleración debida a la gravedad es
(1.3)
La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar se expresa con g. Si el
radio de la Tierra se representa mediante RE, se observa a partir de la ecuación (1.3)
que Sustituyendo este resultado en la ecuación (1.3), se obtiene una
expresión para la aceleración debida a la gravedad a una distancia r del centro de
la Tierra en función de la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar:
(1.4)
Como el peso del cuerpo es W ma, el peso de un cuerpo a una distancia r
del centro de la Tierra es
(1.5)
Al nivel del mar (r RE), el peso de un cuerpo está dado en función de su
masa mediante la simple relación
(1.6)
El valor de g varía de lugar a lugar sobre la superficie de la Tierra. Los valo-
res que se usarán en los ejemplos y problemas son g 9.81 m/s2 en unidades SI
y g 32.2 pies/s2 en unidades de uso común en Estados Unidos.
W = mg.
W = mg
RE
2
r2
.
a = g
RE
2
r2
.
GmE = gRE
2
.
a =
GmE
r2
.
W =
GmmE
r2
,
F =
Gm1m2
r2
,
m2
F
m1
F
r
Figura 1.3
Las fuerzas gravitatorias entre dos partículas
son iguales en magnitud y están dirigidas a lo
largo de la línea que las une.
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donde G es la constante de gravitación universal.
El valor de G en unidades SI es
6.67 10 11
N-m2
/kg2
.
donde g es la aceleración debida a la gravedad
al nivel del mar.
donde m es la masa del objeto y g es la aceleración
debida a la gravedad al nivel del mar.
W mg, (1.6)
F (1.1)
,
Cuando la Tierra se modela como una esfera
homogénea de radio RE, la aceleración debida a la
gravedad a una distancia r desde el centro es
La fuerza gravitatoria entre dos partículas de masas
m1 y m2 que están separadas por la distancia r es
Gravitación de Newton.
Aceleración debida a la
gravedad de la tierra.
Peso de un objeto
al nivel del mar.
Gm1m2
r2
,
a g (1.4)
R2
E
r2
Ejemplo activo 1.4 Peso y masa ( Relacionado con el problema 1.22)
La prensa C que se muestra en la figura pesa 14 oz al nivel del mar [16 oz (onzas)
1 lb]. La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar es g 32.2 pies/s2. ¿Cuál
es la masa de la prensa C en slugs?
Estrategia
Primero debe determinarse el peso de la prensa C en libras. Después puede usarse
la ecuación (1.6) para determinar la masa en slugs.
Solución
Problema de práctica La masa de la prensa C es 0.397 kg. La aceleración debi-
da a la gravedad al nivel del mar es g 9.81 m/s2. ¿Cuál es el peso de la prensa C
al nivel del mar en newtons?
Respuesta: 3.89 N.
Convierta el peso de
onzas a libras.
Use la ecuación (1.6) para
calcular la masa en slugs.
0.875 lb
32.2 pies/s2
1 lb
16 oz
W
g
m 0.0272 slug.
14 oz 14 oz 0.875 lb.

RESULTADOS
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Ejemplo 1.5 Determinación del peso de un objeto (䉴 Relacionado con el problema 1.27)
Cuando el vehículo exploratorio de Marte (Rover) se ensambló por completo, su
masa fue de 180 kg. La aceleración debida a la gravedad en la superficie de Marte
es 3.68 m/s2 y el radio de Marte es 3390 km.
a) ¿Cuál era el peso del Rover cuando estaba al nivel del mar en la Tierra?
b) ¿Cuál es el peso del Rover sobre la superficie de Marte?
c) La fase de ingreso comenzó cuando la nave espacial alcanzó el punto de inter-
faz con la atmósfera de Marte a 3522 km desde el centro de Marte. ¿Cuál era el
peso del Rover en ese punto?
Operación de ensamble del vehículo exploratorio de Marte (Rover)
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Estrategia
El peso del Rover al nivel del mar en la Tierra está dado por la ecuación (1.6) con
g 9.81 m/s2.
El peso sobre la superficie de Marte puede determinarse mediante el uso de la ecua-
ción (1.6), con la aceleración debida a la gravedad igual a 3.68 m/s2.
Para determinar el peso del Rover al inicio de la fase de introducción, se puede es-
cribir una ecuación para Marte equivalente a la ecuación (1.5).
Solución
a) El peso al nivel del mar en la Tierra es
b) Sea gM 3.68 m/s2 la aceleración debida a la gravedad en la superficie de Marte.
Entonces el peso del Rover sobre la superficie de Marte es
c) Sea RM 3390 km el radio de Marte. A partir de la ecuación (1.5), el peso del
Rover cuando éste se encuentra a 3522 km por encima del centro de Marte es
En el inciso c), ¿cómo supo que la ecuación 1.5 podía aplicarse a Marte? La ecua-
ción 1.5 se aplica a la Tierra con base en su modelación como una esfera homo-
génea. La ecuación puede ser aplicada a otros cuerpos celestes bajo el mismo
supuesto. La exactitud de los resultados depende de qué tan poco esférico y no
homogéneo sea el objeto.
= 614 N 1138 lb2.
= 1180 kg213.68 m/s2
2
13,390,000 m22
13,522,000 m22
W = mgM
RM
2
r2
= 662 N 1149 lb2.
= 1180 kg213.68 m/s2
2
W = mgM
= 1770 N 1397 lb2.
= 1180 kg219.81 m/s2
2
W = mg
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Problema 1.29
Problemas 19
1.28 Si un objeto está cerca de la superficie de la Tierra, la varia-
ción de su peso debida a su distancia desde el centro de la Tierra
frecuentemente se omite. La aceleración debida a la gravedad al
nivel del mar es g 9.81 m/s2. El radio de la Tierra es de 6370
km. El peso de un objeto al nivel del mar es mg, donde m es su
masa. ¿A que altura sobre la superficie terrestre el peso del objeto
se reduce a 0.99mg?
1.29 El planeta Neptuno tiene un diámetro ecuatorial de 49,532 km
y su masa es 1.0247 1026 kg. Si el planeta se modela como una es-
fera homogénea, ¿cuál es la aceleración debida a la gravedad en su
superficie? (La constante gravitatoria universal es G 6.67 10–11
N-m2/kg2).
1.22 La aceleración debida a la gravedad en la superficie de la
Luna es 1.62 m/s2. a) ¿Cuál sería la masa de la prensa C del ejem-
plo activo 1.4 sobre la superficie de la Luna? b) ¿Cuál sería el
peso de la prensa C en newtons sobre la superficie de la Luna?
1.23 El cubo de hierro de 1 pie 1 pie 1 pie pesa 490 lb al
nivel del mar. Determine el peso en newtons de un cubo de
1 m 1 m 1 m del mismo material al nivel del mar.
Problemas
1 pie
1 pie 1 pie
Problema 1.23
1.24 El área del Océano Pacífico es 64,186,000 millas cuadradas
y tiene una profundidad promedio de 12,925 pies. Suponga que el
peso por unidad de volumen del agua del océano es 64 lb/pie3.
Determine la masa del Océano Pacífico a) en slugs y b) en kilo-
gramos.
1.25 La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar es
g 9.81 m/s2. El radio de la Tierra es de 6370 km. La constante
gravitatoria universal es G 6.67 10–11 N-m2/kg2. Use esta in-
formación para determinar la masa de la Tierra.
1.26 Una persona pesa 180 lb al nivel del mar. El radio de la Tie-
rra es de 3960 millas. ¿Qué fuerza ejerce la atracción gravitatoria
de la Tierra sobre la persona si ésta se encuentra en una estación
espacial en órbita a 200 millas sobre la superficie de la Tierra?
1.27 La aceleración debida a la gravedad en la superficie de la
Luna es 1.62 m/s2. El radio de la Luna es RM 1738 km (consul-
te el ejemplo 1.5).
a) ¿Cuál es el peso en Newtons en la superficie de la Luna de un
objeto que tiene una masa de 10 kg?
b) Usando el método descrito en el ejemplo 1.5, determine la fuer-
za ejercida sobre el objeto por la gravedad de la Luna si éste se
encuentra a 1738 km por encima de la superficie lunar.
1.30 En un punto entre la Tierra y la Luna, la magnitud de la
fuerza ejercida sobre un objeto por la gravedad de la Tierra es
igual a la magnitud de la fuerza ejercida sobre el objeto por la
gravedad de la Luna. ¿Cuál es la distancia desde el centro de
la Tierra hasta ese punto, con tres dígitos significativos? La dis-
tancia desde el centro de la Tierra hasta el centro de la Luna es
383,000 km, y el radio de la Tierra es 6370 km. El radio de la
Luna es 1738 km, y la aceleración debida a la gravedad en su
superficie es 1.62 m/s2.
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V
Los campos de vectores muestran las velocidades y direcciones de un flujo
de gas en tres posiciones verticales. Los vectores se utilizan para describir y
analizar cantidades que tienen magnitud y dirección, incluyendo posiciones,
fuerzas, momentos, velocidades y aceleraciones.
Vectores
Si un objeto está sometido a varias fuerzas que tienen diferentes
magnitudes y actúan en distintas direcciones, ¿cómo pueden de-
terminarse la magnitud y la dirección de la fuerza total resultante
sobre el objeto? Las fuerzas son vectores y deben sumarse de
acuerdo con la definición de la suma de vectores. En ingeniería
se trata con muchas cantidades que tienen tanto magnitud como
dirección y que pueden expresarse y analizarse como vectores.
En este capítulo se revisan las operaciones con vectores, se ex-
presan los vectores en términos de sus componentes y se presen-
tan ejemplos de aplicaciones de los vectores a la ingeniería.
CAPÍTULO
2
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22 Capítulo 2 Vectores
2.1 Escalares y vectores
ANTECEDENTES
Una cantidad física que puede describirse mediante un número real se denomina
escalar. El tiempo es una cantidad escalar; la masa también lo es. Por ejemplo, se
puede describir la masa de un automóvil al decir que su valor es 1200 kg.
Por otro lado, para describir una cantidad vectorial se debe especificar tanto
un número real no negativo, o magnitud, como una dirección. Dos cantidades vec-
toriales son iguales sólo si sus magnitudes y direcciones son iguales.
La posición de un punto en el espacio en relación con otro es una cantidad
vectorial. Para describir la localización de una ciudad con respecto a su casa, no es
suficiente decir que está a 100 millas; debe decir que está 100 millas al oeste de su
casa. La fuerza también es una cantidad vectorial: cuando usted empuja un mue-
ble sobre el piso, aplica una fuerza de magnitud suficiente para moverlo en la
dirección deseada.
Los vectores se representarán mediante letras en negritas, U, V, W, ..., y la
magnitud de un vector U se denotará por medio de U. Un vector se representa
gráficamente por medio de una flecha: su dirección indica el sentido del vector y
su longitud se define como proporcional a la magnitud. Por ejemplo, considere los
puntos A y B del mecanismo de la figura 2.1a. La posición del punto B respecto
al punto A puede especificarse mediante el vector rAB de la figura 2.1b. La direc-
ción de rAB indica la dirección del punto A hacia el punto B. Si la distancia entre
los dos puntos es 200 mm, la magnitud rAB 200 mm.
En la figura 2.2, el cable AB ayuda a soportar la torre de transmisión de tele-
visión. La fuerza que ejerce el cable sobre la torre se puede representar por medio
de un vector F, como se muestra en la figura. Si el cable ejerce una fuerza de
800 N sobre la torre, F 800 N (un cable tal mostraría algún pandeo, o curva-
tura, y la tensión variaría junto con su longitud; por ahora, supondremos que la
curvatura en los cables y cuerdas suspendidas y las variaciones en sus tensiones
pueden ignorarse, supuesto más o menos válido si el peso de la cuerda o el cable
es pequeño en comparación con la tensión. En el capítulo 10 se estudiarán y ana-
lizarán los cables y las cuerdas suspendidas con mayor detalle).
Los vectores son un medio conveniente para representar cantidades físicas
que tienen magnitud y dirección, aunque eso es sólo el principio de su utilidad. Así
como los números reales se manipulan con las reglas conocidas para la suma, la
resta, la multiplicación, etcétera, existen reglas para operar con vectores. Esas
reglas proporcionan herramientas poderosas para el análisis en ingeniería.
Suma vectorial
Cuando un objeto se mueve de un lugar a otro en el espacio, se dice que expe-
rimenta un desplazamiento. Si se mueve un libro (o, hablando de manera más
precisa, algún punto de un libro) de un lugar de la mesa a otro, como muestra la
figura 2.3a, es posible representar el desplazamiento mediante el vector U. La
dirección de U indica la dirección del desplazamiento y |U| es la distancia recorri-
da por el libro.
Suponga que al libro se le da un segundo desplazamiento V, como se mues-
tra en la figura 2.3b. Los desplazamientos U y V equivalen a un solo desplaza-
miento del libro de su posición inicial a su posición final, que se representa
mediante el vector W en la figura 2.3c. Observe que la posición final del libro
es la misma si primero ocurre el desplazamiento U y después el desplazamiento
V que si primero ocurre el desplazamiento V y luego el desplazamiento U (figu-
ra 2.3d). El desplazamiento W se define como la suma de los desplazamientos
U y V:
U V W.
A
B
(a)
(b)
B
rAB
A
B
A
Figura 2.1
(a) Dos puntos, A y B, de un mecanismo.
(b) Vector rAB de A hacia B.
F
A
B
Figura 2.2
Representación de la fuerza que ejerce el cable
AB sobre la torre, por medio de un vector F.
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(a) (b)
(c) (d)
U U V
U V
W
U
V
U V
W
(a)
U
V
(b)
U
V
U
U V
V
(c)
(d)
U
U
V
V
(e)
U
V
U V U V
Figura 2.4
(a) Dos vectores, U y V.
(b) La cabeza de U colocada en la cola de V.
(c) Regla del triángulo para obtener la suma de U y V.
(d) La suma es independiente del orden en que se sumen los
vectores.
(e) Regla del paralelogramo para obtener la suma de U y V.
Figura 2.3
(a) Desplazamiento representado por el vector U.
(b) El desplazamiento U seguido por el desplaza-
miento V.
(c) Los desplazamientos U y V son equivalentes al
desplazamiento W.
(d) La posición final del libro no depende del orden
de los desplazamientos.
U
V
W
U V W
Figura 2.5
Suma de tres vectores U, V y W.
La definición de suma vectorial está basada en la suma de desplazamientos.
Considere los vectores U y V de la figura 2.4a. Si se colocan cabeza con cola (figu-
ra 2.4b), su suma se define como el vector que va de la cola de U a la cabeza de V
(figura 2.4c). Esto se llama regla del triángulo para la suma vectorial. La figura
2.4d demuestra que la suma es independiente del orden en que los vectores se colo-
can cabeza con cola. De esta figura se obtiene la regla del paralelogramo para la
suma vectorial (figura 2.4e).
La definición de la suma vectorial implica que
U V V U La suma vectorial es conmutativa. (2.1)
y
(U V) W U (V W) La suma vectorial es (2.2)
asociativa.
para cualesquiera vectores U, V y W. Estos resultados indican que al sumar dos o
más vectores, el orden en que se sumen no importa. La suma puede obtenerse colo-
cando los vectores cabeza con cola en cualquier orden. El vector que va de la cola
del primer vector a la cabeza del último es la suma (figura 2.5a). Si la suma de dos
o más vectores es igual a cero, los vectores forman un polígono cerrado cuando se
colocan cabeza con cola (figura 2.6).
W
U
V
Figura 2.6
Tres vectores U, V y W cuya suma es igual a
cero.
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Una cantidad física se denomina vector si tiene magnitud y dirección y obe-
dece la definición de la suma vectorial. Se sabe que un desplazamiento es un vec-
tor. La posición de un punto en el espacio respecto a otro punto también es una
cantidad vectorial. En la figura 2.7, el vector rAC de A a C es la suma de rAB y rBC.
Una fuerza tiene dirección y magnitud pero, ¿obedecen las fuerzas la definición de
la suma vectorial? Por ahora se asumirá que sí. Cuando se estudie la dinámica, se
mostrará que la segunda ley de Newton implica que la fuerza es un vector.
Producto de un escalar y un vector
El producto de un escalar (número real) a por un vector U es un vector que se
escribe como aU. Su magnitud es aU, donde a es el valor absoluto del escalar
a. La dirección de aU es igual que la de U cuando a es positivo y es opuesta a la
dirección de U cuando a es negativo.
El producto (–1)U se escribe –U y se llama “negativo del vector U”. Tiene la
misma magnitud que U pero dirección opuesta. La división de un vector U entre
un escalar a se define como el producto
En la figura 2.8 se muestran un vector U y los productos de U con los escalares
2, –1 y 1/2.
Las definiciones de la suma vectorial y del producto de un escalar y un vec-
tor implican que
El producto es asociativo con respecto (2.3)
a la multiplicación escalar.
Los productos son distributivos con (2.4)
respecto a la suma escalar.
y
Los productos son distributivos con (2.5)
respecto a la suma vectorial.
para cualesquiera escalares a y b y vectores U y V. Estos resultados serán necesa-
rios cuando se estudien las componentes de los vectores.
Resta vectorial
La diferencia de dos vectores U y V se obtiene sumando U al vector (–1)V:
(2.6)
Considere los dos vectores U y V que se muestran en la figura 2.9a. El vector
(–1)V tiene la misma magnitud que el vector V pero dirección opuesta (figura
2.9b). En la figura 2.9c se suma el vector U al vector (–1)V para obtener U – V.
Vectores unitarios
Un vector unitario es simplemente un vector cuya magnitud es igual a la unidad. Un
vector unitario especifica una dirección y permite expresar en forma conveniente
un vector que tiene una dirección particular. Si un vector unitario e y un vector U
tienen la misma dirección, se puede escribir U como el producto de su magnitud
U y el vector unitario e (figura 2.10),
U = ƒUƒe.
U - V = U + 1-12V.
a1U + V2 = aU + aV,
1a + b2U = aU + bU,
a1bU2 = 1ab2U,
U
a
= a
1
a
bU.
A
A
A
A
B
B
rAB
AB
rAB
C
C
rAC
AC
rAC
r
rBC
BC
rBC
Figura 2.7
Las flechas que denotan las posiciones
relativas de los puntos son vectores.
U 2U U (1)U
U
2
1
2
U
U V
(c)
U
(1)V
(1)V
(b)
U
V
V
(a)
Figura 2.8
Un vector U y algunos de sus múltiplos escalares.
Figura 2.9
(a) Dos vectores U y V.
(b) Vectores V y (–1)V.
(c) La suma de U y (–1)V es la diferencia
vectorial U – V.
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Cualquier vector U puede verse como el producto de su magnitud y un vector uni-
tario que tiene la misma dirección de U. Dividiendo ambos lados de esta ecuación
entre U se obtiene
entonces, al dividir cualquier vector entre su magnitud se obtiene un vector unita-
rio que tiene la misma dirección.
RESULTADOS
Una cantidad física que está completamente descrita por un número real se llama
escalar. Un vector tiene tanto magnitud como dirección y satisface una regla defi-
nida para la suma. Un vector se representa gráficamente mediante una flecha cuya
longitud se define como proporcional a la magnitud.
U
ƒUƒ
= e,
U
U
Ue U
e 1
Figura 2.10
Como U y e tienen la misma dirección, el vec-
tor U es igual al producto de su magnitud y e.
Regla del triángulo
U
U V
V
Regla del paralelogramo
U
V
U V
Suma vectorial
La suma de dos vectores U y V se
define mediante la regla del
triángulo o su equivalente, la regla
del paralelogramo.
U 2U U (1)U U
Producto de un escalar y un vector
El producto de un escalar a y un vector U se define
como un vector aU con magnitud aU. Su dirección
es la misma que la de U cuando a es positiva y opuesta
a la de U cuando a es negativa. La división de U entre
a se define como el producto (1/a)U.
U
2
1
2
U V
U
(1)V
U
V
Resta vectorial
La diferencia de dos vectores U y V se
define por medio de
U V U (1)V.
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U
U
Ue U
e 1
Vectores unitarios
Un vector unitario es aquel que tiene una magnitud
de 1. Cualquier vector U puede expresarse como
|U|e, donde e es un vector unitario con la misma
dirección que U. Al dividir un vector U entre su
magnitud se obtiene un vector unitario con la misma
dirección de U.
Ejemplo activo 2.1 Operaciones vectoriales ( Relacionado con el problema 2.1)
El valor medido de
2V
13.0
U
45
U 2V es 13.0.
Dibuje los vectores U y 2V a escala,
colóquelos cabeza con cola.
2V
6
8
U
45
Las magnitudes de los vectores que se muestran son U 8 y V 3. El vector V
es vertical. Determine gráficamente la magnitud del vector U 2V.
Estrategia
Al dibujar los vectores a escala y aplicar la regla del triángulo para la suma, es po-
sible medir la magnitud del vector U 2V.
Solución
U V
45
Problema de práctica Las magnitudes de los vectores que se muestran son U 8 y
V 3. El vector V es vertical. Determine gráficamente la magnitud del vector U – 2V.
Respuesta: |U - 2V| = 5.7.
V
U
45
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Problemas 27
Una parte del techo en voladizo de un estadio deportivo debe estar soportada por los
cables AB y AC. Las fuerzas que ejercen los cables sobre la pila a la que están uni-
dos se representan con los vectores FAB y FAC. Las magnitudes de las fuerzas son
FAB 100 kN y FAC 60 kN. Determine la magnitud y la dirección de la suma
de las fuerzas ejercidas sobre la pila por los cables.
Ejemplo 2.2 Suma de Vectores ( Relacionado con el problema 2.2)
Estrategia
Al dibujar el paralelogramo, con los vectores a escala, para sumar las dos fuerzas
se puede medir la magnitud y dirección de su suma.
Solución
Se construye gráficamente el paralelogramo para obtener la suma de las dos fuer-
zas con las longitudes de FAB y FAC proporcionales a sus magnitudes (figura a). Mi-
diendo la figura, se estima que la magnitud del vector FAB FAC es de 155 kN y su
dirección es de 19° sobre la horizontal.
En las aplicaciones de ingeniería, las operaciones con vectores casi siempre se
hacen de manera analítica. Entonces, ¿por qué es importante adquirir experiencia
con los métodos gráficos? Al hacerlo se mejora la intuición acerca de los vectores
y ayuda a entender las operaciones vectoriales. Asimismo, el bosquejo de una solu-
ción gráfica puede ayudar frecuentemente a formular una solución analítica.
B
A
C
30
30
FAC
FAB
FAB
FAC
FAB FAC
100 kN
60 kN
19
(a) Solución gráfica.
Problemas
2.1 En el ejemplo activo 2.1, suponga que los vectores U y V
se reorientan como lo muestra la figura. El vector V es vertical.
Las magnitudes son U 8 y V 3. Determine en forma gráfi-
ca la magnitud del vector U 2V.
V
U
45
Problema 2.1
2.2 Suponga que la pila del ejemplo 2.2 se coloca más cerca
del estadio de manera que el ángulo entre las fuerzas FAB y FAC
es de 50°. Dibuje un bosquejo de la nueva situación. Las magnitu-
des de las fuerzas son FAB 100 kN y FAC 60 kN. Determine
gráficamente la magnitud y la dirección de la suma de las fuerzas
ejercidas por los cables sobre la pila.
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FB
FA
a
FC

2.3 La magnitud FA 80 lb y el ángulo a 65°. La magni-
tud FA FB 120 lb. Determine gráficamente la magnitud
de FB.
2.4 Las magnitudes FA 40 N, FB 50 N y FC 40 N. Los
ángulos a 50° y b 80°. Determine gráficamente la magnitud
de FA FB FC.
2.5 Las magnitudes FA FB FC 100 lb, y el ángulo
a 30°. Determine gráficamente el valor del ángulo b para el
cual la magnitud FA FB FC es mínima y el valor mínimo de
FA FB FC.
2.6 El ángulo u 50°. Determine gráficamente la magnitud del
vector rAC.
Problemas 2.3–2.5
60 mm 150 mm
A C
B
rAB rBC
rAC

Problema 2.6
2.7 Los vectores FA y FB representan las fuerzas ejercidas
por la banda sobre la polea. Sus magnitudes son FA 80 N y
FB 60 N. Determine gráficamente la magnitud de la fuerza
total que ejerce la banda sobre la polea.
45
FA
FB
10
Problema 2.7
2.8 La suma de las fuerzas FA FB FC 0. La magnitud
FA 100 N y el ángulo a 60°. Determine gráficamente las
magnitudes FB y FC.
2.9 La suma de las fuerzas FA FB FC 0. Las magnitudes
FA 100 N y FB 80 N. Determine gráficamente la magni-
tud FC y el ángulo a.
30
FB
FA
FC
a
Problemas 2.8/2.9
Al resolver los problemas 2.3 a 2.5 consulte el siguiente
diagrama. Los vectores de fuerza FA, FB y FC pertenecen
al mismo plano.
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Problemas 29
2.10 Las fuerzas que actúan sobre el planeador están represen-
tadas por tres vectores. El empuje L y el arrastre D son perpen-
diculares. La magnitud del peso W es de 500 lb. La suma de las
fuerzas W L D 0. Determine gráficamente las magnitudes
del empuje y el arrastre.
W
D
L
25
Problema 2.10
2.12 La cuerda ABC ejerce fuerzas FBA y FBC de igual magnitud
sobre la polea en B. La magnitud de la fuerza total ejercida sobre
la polea por las dos fuerzas es de 200 lb. Determine gráficamente
FBA.
2.11 Un tanque de almacenamiento esférico está soportado
por cables. El tanque está sometido a tres fuerzas: las fuerzas FA y
FB ejercidas por los cables y el peso W. El peso del tanque es
W 600 lb. La suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre
el tanque es igual a cero. Determine gráficamente las magnitudes
de FA y FB.
OXÍGENO LÍQUIDO
40
FA
W
FB
20 20
Problema 2.11
2.13 Dos tractores para nieve remolcan un refugio de emergencia
hacia una nueva ubicación en la base McMurdo de la Antártica (se
muestra una vista aérea; los cables son horizontales). La fuerza
total FA FB ejercida sobre la unidad tiene una dirección paralela
a la línea L, y su magnitud es de 400 lb. Determine gráficamente
las magnitudes de FA y FB.
FBC
FBA
B
C
A
B
Problema 2.12
L
FA
FB
Vista Superior
Problema 2.13
2.14 Un topógrafo determina que la distancia horizontal del
punto A al punto B de la figura es de 400 m y que la distancia
horizontal de A a C es de 600 m. Determine gráficamente la
magnitud del vector rBC y el ángulo a.
Este
Norte
60
20
C
B
A
rBC
a
Problema 2.14
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2.2 Componentes en dos dimensiones
ANTECEDENTES
Es más fácil trabajar con vectores cuando se pueden expresar en términos de com-
ponentes vectoriales perpendiculares. Aquí se explicará cómo descomponer vecto-
res en componentes cartesianas y se darán ejemplos de manipulaciones de vectores
usando componentes.
Considere el vector U de la figura 2.11a. Al colocar un sistema coordenado
cartesiano de modo que el vector U sea paralelo al plano x-y, es posible escribirlo
como la suma de los componentes vectoriales perpendiculares Ux y Uy que son
paralelas a los ejes x e y (figura 2.11b):
Luego, si se introduce un vector unitario i que señale en la dirección positiva del
eje x y un vector unitario j que señale en la dirección positiva del eje y (figura
2.11c), se puede expresar el vector U en la forma
(2.7)
Los escalares Ux y Uy se llaman componentes escalares de U. Cuando se nombran
simplemente las componentes de un vector, se hace referencia a las componentes
escalares. Se llamará a Ux y Uy las componentes x e y de U.
Las componentes de un vector especifican tanto sus direcciones relativas al
sistema coordenado cartesiano como sus magnitudes. En el triángulo rectángulo
formado por el vector U y sus componentes vectoriales (figura 2.11c), se observa
que la magnitud de U está dada en términos de sus componentes por el teorema de
Pitágoras:
(2.8)
Con esta ecuación se podrá determinar la magnitud de un vector cuando se conoz-
can sus componentes.
Manipulación de vectores en términos de sus componentes
La suma de dos vectores U y V en términos de sus componentes es
(2.9)
= 1Ux + Vx2i + 1Uy + Vy2j.
U + V = 1Uxi + Uy j2 + 1Vxi + Vy j2
ƒUƒ = 2U2
x + U2
y.
U = Ux i + Uy j.
U = Ux + Uy.
(a)
U
(b)
x
y
Ux
Uy
U
j
(c)
i
x
y
U
Ux Uxi
Uy Uy j
Figura 2.11
(a) Vector U.
(b) Componentes vectoriales Ux y Uy.
(c) Las componentes vectoriales se pueden
expresar en función de i y j.
A
C
B
rAC
r
r
rAB
AB
rAB
Problema 2.15
2.15 El vector r se extiende desde el punto A de la figura hasta el
punto medio entre los puntos B y C. Demuestre que
r = 1
21rAB + rAC2.
2.16 Por medio de un bosquejo de los vectores, explique por qué
U + 1V + W2 = 1U + V2 + W.
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(a)
U
V
(b)
x
y
U V
U V
Uy j
Vy j
Ux i
U V
(Uy Vy)j
(Ux Vx)i
Vx i
(c)
x
y
(a)
x
A
B
rAB
rAB
(xA, yA)
(xB, yB)
(b)
x
y
(xB xA)i
(yB yA)j
A
B
yB
yA
xA xB
y
Figura 2.13
(a) Puntos A y B, y el vector posición rAB de A
a B.
(b) Las componentes de rAB se pueden determi-
nar a partir de las coordenadas de los pun-
tos A y B.
Figura 2.12
(a) Suma de U y V. (b) Componentes vectoriales de U y V. (c) La suma de las componentes
en cada dirección coordenada es igual a la componente de U V en esa dirección.
Las componentes de U V son las sumas de las componentes de los vectores U y V.
Observe que para obtener este resultado se usaron las ecuaciones (2.2), (2.4) y (2.5).
Es instructivo derivar gráficamente la ecuación (2.9). La suma de U y V se
muestra en la figura 2.12a. En la figura 2.12b se introduce un sistema coordenado
y se muestran las componentes de U y V. En la figura 2.12c se suman las compo-
nentes x e y y se obtuvo la ecuación (2.9).
El producto de un número a y un vector U en términos de las componentes de
U es
aU a(Uxi Uy j) aUxi aUy j.
La componente de aU en cada dirección coordenada es igual al producto de a
y la componente de U en esa dirección. Se usaron las ecuaciones (2.3) y (2.5) para
obtener este resultado.
Vectores de posición en términos de sus componentes
El vector de posición de un punto relativo a otro punto se puede expresar en tér-
minos de las coordenadas cartesianas de ambos puntos. Considere el punto A con
coordenadas (xA, yA) y el punto B con coordenadas (xB, yB). Sea rAB el vector que
especifica la posición de B en relación con A (figura 2.13a). Esto es, mediante rAB
se denota el vector que va de un punto A a otro punto B. Se observa en la figura
2.13b que rAB está dado en términos de las coordenadas de los puntos A y B por
rAB (xB – xA)i (yB – yA)j. (2.10)
Observe que la componente x del vector de posición que va del punto A al punto
B se obtiene restando la coordenada x de A de la coordenada x de B, y la compo-
nente y se obtiene restando la coordenada y de A de la coordenada y de B.
RESULTADOS
x
y
U
Un vector U que es paralelo al plano x–y puede expresarse como
donde i es un vector unitario que apunta en la dirección positiva
del eje x y j es un vector unitario que apunta en la dirección
positiva del eje y.
La magnitud de U está dada por
U U2
x U2
y. (2.8)
(2.7)
U Uxi Uy j,
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La suma (o resta) vectorial y la
multiplicación de un vector por
un número puede realizarse en
términos de sus componentes.
U V (Uxi Uy j) (Vxi Vyj)
aU a(Uxi Uy j)
aUxi aUy j.
(Ux Vx)i (Uy Vy)j, (2.9)
El vector de posición de A a B está dado por
A
x
y
B
rAB
(xA, yA)
(xB, yB)
rAB (xB xA)i (yB yA)j. (2.10)
Manipulación de vectores en términos de sus componentes
Ejemplo activo 2.3 Determinación de componentes ( Relacionado con el problema 2.31)
El cable entre los puntos A y B ejerce una fuerza de 900 N sobre la parte superior
de la torre de televisión que se muestra en la figura, la fuerza está representada por
el vector F. Exprese F en términos de sus componentes usando el sistema coorde-
nado que se indica.
Estrategia
Se determinarán las componentes del vector F de dos maneras distintas. En el pri-
mer método se encontrará el ángulo entre F y el eje y, y después se usará trigono-
metría para determinar las componentes. En el segundo método se usará la pendiente
dada para el cable AB y se aplicarán triángulos semejantes para determinar las com-
ponentes de F.
Solución
Primer método
A
B
80 m
40 m
A
B
80 m
F
40 m
x
y
Fuerza
ejecida
sobre la
torre por
el cable
AB
Vectores de posición en términos de sus componentes
x
y
40 m
80 m F
B
A
a
Determine el ángulo entre F
y el eje y:
a arctan 26.6.
40
80

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Segundo método
Use trigonometría para determinar F en
términos de sus componentes:
F Fsen ai Fcos aj
900 sen 26.6 i 900 cos 26.6 j (N)
402i 805j (N).
x
y
F
B
A
a
Usando las dimensiones dadas calcule
la distancia desde A hasta B:
(40 m)2
(80 m)2
89.4 m.
x
y
40 m
80 m
B
A
Use triángulos semejantes para
determinar las componentes de F:
entonces
402i 805j (N).
F
40
89.4
(900 N)i
80
89.4
(900 N)j
40 m
80 m
x
y
89.4 m
Fx
F
Fy
Fx
F
y

40 m
89.4 m
Fy
F

80 m
89.4 m
,
Problema de práctica El cable que va del punto A al punto B ejerce una fuerza de
900 N sobre la parte superior de una torre de televisión; la fuerza se representa median-
te el vector F. Suponga que se puede cambiar la colocación del punto B de manera que
la magnitud de la componente y de F sea tres veces la magnitud de la componente x de
F. Exprese F en términos de sus componentes. ¿Qué tan lejos del origen del sistema co-
ordenado debería colocarse B a lo largo del eje x?
Respuesta: Coloque el punto B a 26.7 m del origen.
F = 285i - 854j (N).
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A
F
x
30
y
B
30 A
B
Ejemplo 2.4 Determinación de componentes en términos del ángulo ( Problema relacionado 2.33)
Muchos dispositivos mecánicos utilizan cilindros hidráulicos para ejercer fuerzas.
La fuerza se ejerce mediante un líquido a presión (fluido hidráulico) que empuja un
émbolo contra un pistón dentro del cilindro. El cilindro hidráulico AB de la figu-
ra ejerce una fuerza F de 4000 lb sobre la caja del camión de volteo en B. Exprese
F en términos de componentes usando el sistema coordenado que se muestra.
Estrategia
Cuando la dirección de un vector se especifica por medio de un ángulo, como en este
ejemplo, es posible determinar los valores de las componentes con ayuda del trián-
gulo rectángulo formado por el vector y sus componentes.
Solución
La figura a muestra el vector F y sus componentes vectoriales. En el triángulo rec-
tángulo resultante se observa que la magnitud de Fx es
Fx apunta en la dirección x negativa, por lo que
La magnitud de Fy es
Fy F sen 30° (4000 lb) sen 30° 2000 lb.
La componente vectorial Fy apunta en la dirección y positiva, por lo que
El vector F, en términos de sus componentes, es
La componente x de F es –3460 lb y la componente y es 2000 lb.
Cuando se han determinado las componentes de un vector dado se debe verificar
que los resultados sean razonables. En este ejemplo se puede observar, a partir de
la dirección del vector, que la componente x debería ser negativa y la componen-
te y positiva. También se puede verificar que las componentes tengan la magnitud
correcta. En este ejemplo,
ƒFƒ = 21-3460 lb22
+ 12000 lb22
= 4000 lb.
F = Fx + Fy = -3460i + 2000j 1lb2.
Fy = 2000j 1lb2.
Fx = -3460i 1lb2.
ƒFxƒ = ƒFƒ cos 30° = 14000 lb2cos 30° = 3460 lb.
30
Fx
Fy
F
y
x
(a) La fuerza F y sus componentes
forman un triángulo rectángulo.
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Ejemplo 2.5 Determinación de una magnitud vectorial desconocida ( Relacionado con el
problema 2.47)
Los cables A y B de la figura ejercen fuerzas FA y FB sobre el gancho. La magnitud
de FA es de 100 lb. La tensión en el cable B se ha ajustado para que la fuerza total
FA FB sea perpendicular a la pared a la que está unido el gancho.
a) ¿Cuál es la magnitud de FB?
b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total ejercida por los dos cables sobre el gancho?
Estrategia
La suma vectorial de las dos fuerzas es perpendicular a la pared, por lo que la suma
de las componentes paralelas a la pared es igual a cero. A partir de esta condición
puede obtenerse una ecuación para la magnitud de FB.
Solución
a) En términos del sistema coordenado de la figura a, las componentes de FA y
FB son
La fuerza total es
Ahora, la componente de la fuerza total paralela a la pared (la componente y), se igua-
la a cero
así se obtiene una ecuación para la magnitud de FB:
b) Como ahora se conoce la magnitud de FB, es posible determinar la fuerza total
que actúa sobre el gancho:
La magnitud de la fuerza total es de 92.2 lb.
Pensamiento crítico
La solución del inciso a) se puede obtener de una manera menos formal. En la fi-
gura a se observa que, si la componente de la fuerza total paralela a la pared es cero,
la magnitud de la componente vertical de FA debe ser igual a la magnitud de la com-
ponente vertical de FB:
Por lo tanto, la magnitud de FB es
ƒFBƒ =
ƒFAƒ cos 40°
cos 20°
=
1100 lb2 cos 40°
cos 20°
= 81.5 lb.
ƒFAƒ cos 40° = ƒFBƒ cos 20°.
= [1100 lb2sin 40° + 181.5 lb2sin 20°]i = 92.2i 1lb2.
FA + FB = 1ƒFAƒ sin 40° + ƒFBƒ sin 20°2i
ƒFBƒ =
ƒFAƒ cos 40°
cos 20°
=
1100 lb2cos 40°
cos 20°
= 81.5 lb.
ƒFAƒ cos 40° - ƒFBƒ cos 20° = 0,
+ 1ƒFAƒ cos 40° - ƒFBƒ cos 20°2j.
FA + FB = 1ƒFAƒ sin 40° + ƒFBƒ sin 20°2i
FB = ƒFBƒ sin 20°i - ƒFBƒ cos 20°j.
FA = ƒFAƒ sin 40°i + ƒFAƒ cos 40°j,
A
20
40
B
40 FA
FB
20
FA
20
FB
y
x
40
a) Resolución de FA y FB en
componentes paralelas y per-
pendiculares a la pared.
sen
sen
sen sen
sen sen
sen sen
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