Teoria de la probabilidad

Un evento se entiende como el acontecimiento de un hecho
en proceso o por venir. Se dice que es aleatorio, si no es
posible determinarlo con exactitud. En todo caso, será posible
predecirlo con un nivel dado de confianza. Al evento también
se le denomina un suceso o un fenómeno.
Generalmente, se simula el evento por un conjunto de
variables relacionadas entre si. Por lo tanto, un evento está
representado con una o más variables vinculadas entre ellas.
Si las variables (una o varias de éstas) no son predecibles
con exactitud se dice que el evento es aleatorio.
Generalmente las variables representan atributos y
propiedades de los entes que intervienen en el evento, y que
pueden ser medidos.
Eventos aleatorios

Ejemplos
 Se lanza una moneda de un peso mexicano. Se observa si el
resultado es águila o sol.
 Se lanza un par de dados y se observa la suma de los números de
la cara superior.
 De una baraja americana normal, se reparte una mano de póker de
cinco cartas y se cuenta el número de Ases entregados.
 Se coloca un foco a la corriente y se mide el tiempo que éste tarda
en fundirse.
 En una urna con bolas de igual forma pero donde hay 20 de color
negro y 30 de color blanco. Se extraen tres bolas y se cuenta el
número de bolas blancas extraídas.

Espacio muestral
 Un espacio muestral o espacio de muestreo es el
conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento aleatorio. A cada uno de sus elementos
se los denomina como punto muestral o,
simplemente, muestra.

• Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos
monedas, el espacio de muestreo es el conjunto
{(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}.
Un evento o suceso es cualquier subconjunto del
espacio muestral, llamándose a los sucesos que
contengan un único elemento sucesos elementales.
En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer
lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría
formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y
{(cara, cruz)}.

• En algunos casos, los experimentos pueden tener dos o
más espacios muéstrales posibles. El experimento de
tomar un naipe de una baraja española, por ejemplo,
tiene un espacio de muestreo compuesto por los números
y otro espacio muestral formado por los palos. La
descripción más completa, pues, debería incluir ambos
valores (número y palo) en un eje cartesiano.
• Los espacios maestrales pueden ser discretos (cuando el
número de sucesos elementales es finito o numerable) o
continuos (en los casos en que el número de sucesos
elementales es infinito incontable).

Técnicas de conteo
 Es un fenómeno fundado en la experiencia, el
cual al repetirlo y observarlo en las mismas
condiciones en que se desarrolla sus resultados
no son siempre los mismos, sino que los datos o
mediciones son solo aproximaciones al
verdadero valor de la probabilidad del evento.

Ejemplo 1:
 Un juego de dados consiste en adivinar el número de
puntos que caerán al lanzar un dado. Dos jugadores
hacen su apuesta por un número de puntos antes de
lanzarlo. El que adivina gana la apuesta. Si nadie adivina,
lo apostado se gana para el próximo juego. Los jugadores
se turnan para elegir primero un número por el cual
apostar.
a) ¿Cuántos resultados posibles hay?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer jugador que
seleccione un número de puntos que caerán adivine?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los
jugadores adivine el número de puntos que caerán?

 Al reflexionar, se concluye que los resultados posibles son 6 (1, 2,
3, 4, 5, 6), pero ninguna jugador sabe antes de lanzar el dado
cuantos puntos caerán.
La regularidad estadística indica que al practicar repetidamente el
experimento asociado a determinado fenómeno aleatorio se
obtiene una frecuencia relativa, la cual se aproximara al verdadero
valor de la probabilidad del evento si el número de observaciones n
es grande.
Algunos eventos posibles al desarrollarse el experimento de lanzar
el dado son:
a) Caen 4 puntos, A = 4
b) Caen mas de 4 puntos, B = 5,6
c) Caen un numero par de puntos, C = 2, 4, 6.

Ejemplo 2:
 Un vendedor de autos quiere presentar a sus
clientes todas las diferentes opciones con que
cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto
de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines
deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes
arreglos de autos y rines puede ofrecer el
vendedor?
 Para solucionar el problema podemos emplear la
técnica de la multiplicación, (donde m es número
de modelos y n es el número de tipos de rin).
 Número total de arreglos = 3 x 2

 No fue difícil de listar y contar todos los posibles
arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo.
Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para
ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines.
Sería tedioso hacer un dibujo con todas las
posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación
fácilmente realizamos el cálculo:
 Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48

Variables en técnicas de conteo
 Las variaciones son técnicas de conteo que
respetan el orden, es decir AB BA.
 En realidad cuando hemos resuelto el problema
de ¿ cuántas palabras de tres letras se pueden
escribir con las letras A B C D hemos resuelto
un problema de variaciones, porque
respetamos el orden: ABC CAB CBA etc.

 Además las variaciones pueden ser con repetición o sin
repetición.
 Conocemos como variaciones sin repetición…
 Variaciones sin repetición:
 Con las letras A, B, C, D se pueden escribir 24 palabras
de 3 letras diferentes, esto mismo matemáticamente se
dice: hay 24 variaciones de 4 elementos tomados de 3
en 3.
 Y se escribe 4v3 =24
 Y se calcula así: 4v3= 4 * 3 * 2 =24

De manera general se considera la
probabilidad de un evento, como el número
de eventos positivos partido el número
eventos global en el espacio muestral. Pero
para determinar este último valor, hay
varias formas para hacerlo, en esto
consisten las técnicas de conteo.

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un
experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los
pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a
cabo.
Ejemplos:
1.Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a:
su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O)
y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja).
Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas
clasificaciones pueden
estar los pacientes de este médico?

Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta
que el número de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas
que podemos enumerar;
MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc.

Ejemplo
¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la
palabra IMPUREZA?
Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en
diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para
nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger
una segunda letra, y una vez que hayamos usado dos, nos quedan 6, así
sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:
8 ´ 7 ´ 6 ´ 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 = 40320

Las combinaciones de n objetos o cosas tomando r de ellas a la vez,
representan el número de subconjuntos diferentes, de tamaño r, que se
pueden obtener con esos n objetos. A diferencia de las permutaciones, el
orden de aparición es irrelevante.
Ejemplo:
En un centro de trabajo se van a seleccionar 3 personas para integrar una
comisión de evaluación.
Si el centro tiene 20 trabajadores, de cuántas maneras pueden ser
seleccionadas:
a) Las tres personas
b) Las tres personas si el comité estará formado por presidente, tesorero y
secretario.
Solución:
a) n = 20 , r = 3,
1140
))!320(!3
!20
320 

C
6840
320
20
320 


))!(
!
Pb) n = 20 ; r = 3 y

Contenido
 PROBABILIDAD CONDICIONAL
 PROBABILIDAD INDEPENDIENTE
 TEOREMA DE BAYES
 LEY MULTIPLICATIVA

Es la probabilidad de que ocurra un event
o A, sabiendo que también sucede otro e
vento B. La probabilidad condicional se e
scribe
y se lee:
«la probabilidad de A dado B».
Probabilidad Condicional
Definición
P(𝑨|𝑩)

• No tiene por qué haber una relación ca
usal o temporal entre A y B.
• A puede preceder en el tiempo a B, su
cederlo o pueden ocurrir simultáneame
nte.
• A puede causar B, viceversa o pueden
no tener relación causal.
Definición

Donde:
= Probabilidad de que ocurra A dado
B.
= Probabilidad de que ocurra A y B a
un mismo tiempo
= Probabilidad de que ocurra B
Definición
𝐏(𝐀|𝐁) =
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝐏(𝐁)
𝐏(𝐀|𝐁)
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝐏(𝐁)

Definición
A B
S
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

Se seleccionan dos semillas aleatoriame
nte, una por una, de una bolsa que contie
ne 10 semillas de flores rojas y 5 de flore
s blancas.
¿Cuál es la probabilidad de que:
a) La primera semilla sea roja?
b) La segunda semilla sea blanca dado q
ue la primera fue roja?
Ejemplo Teórico

La probabilidad de que la segunda semilla sea
blanca se ve influida por lo que salió primero, e
s decir esta probabilidad está sujeta a una con
dición, la de que la primera semilla sea roja.
Este tipo de probabilidad se le llama probabilid
ad condicional y se denota por
Ejemplo Teórico
𝑷(𝑨|𝑩)

En una empresa hay 75 empleados, de los cua
les, 40 son encargados de sección, y 35 son a
dministrativos. Algunos de ellos utilizan ordena
dor para sus tareas, y otros no.
Resumimos la información en el siguiente cua
dro de doble entrada:
Ejemplo Practico

• Calcular la probabilidad de que al elegir una
persona de la empresa sea un encargado, s
abiendo que no tiene ordenador.
Ejemplo Practico
Sin
Ordenador
Con
Ordenador
Total
Encargados 8 32 40
Administrativo
s
20 15 35
Total 28 47 75

Lo primero que debemos hacer es indicar cual
es la probabilidad pedida, y cual es la condició
n.
a) La persona sea un encargado (suceso pedi
do)
b) No tiene ordenador (suceso que condiciona
)
Solución
𝑷(𝑨|𝑩) =
𝟖
𝟕𝟓
𝑷(𝑨|𝑩) =
𝟐𝟖
𝟕𝟓
𝑷(𝑨|𝑩) =
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑩)
=
𝟖
𝟕𝟓
𝟐𝟖
𝟕𝟓
= 𝟎. 𝟐𝟖𝟔

En teoría la probabilidad independiente,
se dice que 2 sucesos aleatorios son ind
ependientes entre si cuando la probabilid
ad de cada uno de ellos no esta influida p
orque el otro suceso ocurra o no, es decir
, cuando ambos sucesos no estas correla
cionados.
Probabilidad Independiente
Definición

P(Salga 2 soles) = P(S,S)=0.25
P(Salga 1 sol y 1 Águila) = P(A,S)=
0.50
P(Salga 2 Águilas)= P(A,A) = 0.25
Ejemplo Teórico
Evento
Sol
Águila
Águila
Sol
Águila
Sol 1/4
1/4
1/4
1/4
𝐏(𝐀∩𝐁) = 𝐏(𝐀) 𝐏(𝐁)

Ejemplo Practico

Ejemplo Practico
.
3
.
7

.
3
.
7
.22
.77
.33
.66
Ejemplo Practico

El teorema de Bayes se utiliza para revis
ar probabilidades previamente calculadas
cuando se posee nueva información.
Expresa la probabilidad condicional de un
evento aleatorio A dado B en términos de
la distribución de probabilidad condicional
del evento B dado A y la distribución de p
robabilidad marginal de sólo A.
Teorema de Bayes
Definición

Es decir que sabiendo la probabilidad de
tener un dolor de cabeza dado que se tie
ne gripe, se podría saber -si se tiene algú
n dato más-, la probabilidad de tener grip
e si se tiene un dolor de cabeza
Teorema de Bayes
Definición

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de suceso
s, tales que la probabilidad de cada uno de ellos
es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier
del que se conocen las probabilidades condicion
ales P(B/Aἰ). entonces la probabilidad P(Aἰ /B) vie
ne dada por la expresión:
P(Aἰ) son las probabilidades a priori.
P(B/Aἰ) es la probabilidad de B en la hipótesis A
.
P (Aἰ/B) son las probabilidades a posterior
Teorema de Bayes
Ejemplo Teórico
P ( Aἰ|B) =
𝐏(𝐀ἰ)(𝐁|𝐀ἰ)
𝐏 𝐀ἰ 𝐏 𝐁 𝐀ἰ +𝐏 𝐀2 +...+𝐏 𝐀n 𝐏 𝐁 𝐀 𝐧

En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de
los pacientes son niñas. De los niños el 35% son
menores de 24 meses. El 20% de las niñas tiene
n menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a
la sala selecciona un infante al azar.
a) Determine el valor de la probabilidad de que s
ea menor de 24 meses.
b) Si el infante resulta ser menor de 24 meses.
Determine la probabilidad que sea una niña.
Teorema de Bayes
Ejemplo Practico

Se definen los sucesos:
• Suceso H: seleccionar una niña.
• Suceso V: seleccionar un niño.
• Suceso M: infante menor de 24 meses
.
Teorema de Bayes
Ejemplo Practico

En los ejercicios de probabilidad total y Teorema de Ba
yes, es importante identificar los sucesos que forman la
población y cuál es la característica que tienen en com
ún dichos sucesos. Estos serán los sucesos condiciona
dos.
a) En este caso, la población es de los infantes. Y la c
aracterística en común es que sean menores de 24
meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar
un infante menor de 24 meses es un ejemplo de pr
obabilidad total. Su probabilidad será:
Teorema de Bayes
Ejemplo Practico
𝐏 𝐌 = 𝐏 𝐇 ∗P 𝐌|𝐇 +P 𝐕 ∗ P 𝐌|𝐕 =0.6*0.2+0.4*0.35 = 𝟎. 𝟐𝟔 ó 𝟎. 𝟐𝟔%

b) Para identificar cuando en un ejercicio se hace refer
encia al teorema de Bayes, hay que partir de recon
ocer esta es una probabilidad condicionada y que la
característica común de los sucesos condicionantes
ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que se
a niña una infante menor de 24 meses será:
Teorema de Bayes
Ejemplo Practico
P 𝐇|𝐌 =
𝐏 𝐇 ∗(𝐌|𝐇)
𝐏 𝐇 ∗𝐏 𝐌 𝐇 +𝐏 𝐕 ∗𝐏(𝐌|𝐕)
=
𝟎.𝟔∗𝟎.𝟐
𝟎.𝟔∗𝟎.𝟐+𝟎.𝟒∗𝟎.𝟑𝟓
=
𝟎.𝟏𝟐
𝟎.𝟐𝟔
= 𝟎. 𝟒𝟔 ó 𝟒𝟔%

El 20% de los empleados de una empresa son ingenier
os y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenier
os ocupan un puesto directivo y el 50% de los economi
stas también, mientras que los no ingenieros y los no e
conomistas solamente el 20% ocupa un puesto directiv
o.
¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo
elegido al azar sea ingeniero?
Teorema de Bayes
Ejemplo Practico

Teorema de Bayes
Ejemplo Practico
P 𝐈𝐧𝐠𝐞𝐧𝐢𝐞𝐫𝐢𝐨/𝐃𝐢𝐫𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐨 =
𝟎.𝟐∗𝟎.𝟕𝟓
𝟎.𝟐∗𝟎.𝟕𝟓+𝟎.𝟐∗𝟎.𝟓+𝟎.𝟔∗𝟎.𝟐
= 𝟎. 𝟒𝟎𝟓
0.75 Directivo
0.5 Directivo
0.2 Directivo

Si un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, ent
onces 𝑷 𝑨ç𝑩 = 𝐏 𝑨 𝐏(𝐁/𝐀)
Así la probabilidad de que ocurran A y B es igual a la pr
obabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabili
dad de que ocurra B, dado que ocurre A.
Ley Multiplicativa
Definición

El propósito de la multiplicación consiste en determinar la pr
obabilidad del evento conjunto 𝐏(𝐀∩𝐁)
Es decir que para encontrar la probabilidad de A y B, simple
mente se multiplican sus respectivas probabilidades.
El procedimiento exacto depende de si A y B son dependie
ntes o independientes. Los eventos A y B son independient
es si 𝐏 𝐀 = 𝐏(𝐀|𝐁)
Es decir la probabilidad de A es la misma bien se considere
o no el evento B. De igual forma, si A y B son independient
es, si 𝐏 𝐁 = 𝐏(𝐁|𝐀)
Ley Multiplicativa
Definición

Eventos Independientes
𝐏 𝐀∩𝐁 = 𝐏 𝐀 ∗ 𝐏(𝐁)
Eventos Dependientes
𝐏 𝐀∩𝐁 = 𝐏 𝐀 ∗ 𝐏(𝐁|𝐀)
Ley Multiplicativa
Definición

Supongamos que en el departamento de circulación de un diario se sabe que 84%
de las familias de una determinada colonia tiene una suscripción para recibir
el periódico de lunes a sábado.
Si hacemos que D represente el evento de una familia que tiene tal tipo de suscripción
𝑷 𝑫 = 𝟎. 𝟖𝟒
Se sabe que la probabilidad de que una familia cuya suscripción, además de ser de lune
s a sábado, también se suscriba a la edición dominical (evento S) es de 0.75; esto es 𝑃
𝑆
𝐷
= 0.75 cual es la probabilidad de que una suscripción de una familia incluya tanto a l
a edición dominical como a la del lunes a sábado? se calcula de la siguiente manera P(
S n D como sigue:
𝑷 𝑺∩𝑫 = 𝑷 𝑫 𝑷
𝑺
𝑫
= 𝟎. 𝟖𝟒(𝟎. 𝟕𝟓 = 𝟎. 𝟔𝟑
Sabemos que ahora el 635% de las familias tiene una suscripción de las ediciones
dominical y entre semana
Ley Multiplicativa
Ejemplo

Se selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un lote de 100
unidades, se sabe que 98 de los 100 artículos están en bue
n estado. La muestra se selecciona de manera tal que el pri
mer artículo se observa y se regresa antes de seleccionar el
segundo artículo (con reemplazo)
1. Calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en
buen estado
2. Si la muestra se toma sin reemplazo, calcule la probabili
dad de que ambos artículos estén en buen estado
a) El primer artículo está en buen estado
b) El segundo artículo está en buen estado
Ley Multiplicativa
Ejemplo

Ley Multiplicativa
Ejemplo
𝑃 𝐴 = .98 𝑃 𝐵 = .98
𝑃 A∩𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃 𝐵 =
98
100
98
100
= 0.9604
Independiente

Ley Multiplicativa
Ejemplo
Si la muestra se toma «sin reemplazo» de mod
o que el primer artículo no se regresa antes de
seleccionar el segundo entonces:
𝑃 A∩𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃 𝐵 =
98
100
97
100
= 0.9602

AGRADECIMIENTOS
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES (PROFR. JUAN FERNANDO CHIPIA LOB
O)
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CIUDAD MADERO
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LEÓN
(Estévez Torres Arnold, Guerrero Gómez Juana, Martínez Pérez José
Miguel, Rodríguez Ramírez Ricardo
Rangel Ramos Jesús Ismael, Silva González Valentín)

Teoria de la probabilidad

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à Teoria de la probabilidad

Similaire à Teoria de la probabilidad (20)

Plus de Ing.Joel Lopezgarcia LOPEZ GARCIA

Plus de Ing.Joel Lopezgarcia LOPEZ GARCIA (7)

Dernier

Dernier (20)

Teoria de la probabilidad