Libro de matematicas 9no grado

SERIE EDUCATIVA:
“EDUCACIÓN GRATUITA Y DE CALIDAD, DERECHO HUMANO
FUNDAMENTAL DE LAS Y LOS NICARAGÜENSES”
Este texto es propiedad del Ministerio de Educación (MINED), de la República de Nicaragua.
Se prohíbe su venta y reproducción parcial o total.
Matemática
Educación Secundaria
Matemática 9GRADO
9Educación Secundaria GRADO
h
g
r
Programa de Apoyo al Sector de Educación en Nicaragua
P R O S E N
REPÚBLICA DE
NICARAGUA

Coordinación General, Revisión y Asesoría Técnica
Profesora María Elsa Guillén
Profesora Rosalía Ríos Rivas
Autor
Profesor Enrique Pérez Ávalos
Revisión Técnica General
Profesora Rosalía Ríos Rivas
Revisión y Asesoría Técnica Científica
Profesor Humberto Antonio Jarquín López
Profesor Francisco Emilio Díaz Vega
Profesor Primitivo Herrera Herrera
Sociedad Matemática de Nicaragua
Diseño y Diagramación
Ramón Nonnato Morales
Róger Alberto Romero
Miguel Ángel Mendieta Rostrán
con la colaboración de Andrea Ráudez Irías
Ilustración
Róger Alberto Romero
Fuente de Financiamiento
PASEN I - Recursos del Tesoro - PROSEN
Agradecemos los valiosos aportes de la Sociedad Matemática de Nicaragua y de los docentes
durante el proceso de validación.
Primera Edición___________
© Todos los derechos son reservados al Ministerio de Educación (MINED), de la República de
Nicaragua.
Este texto es propiedad del Ministerio de Educación (MINED) , de la República de Nicaragua.
Se prohíbe su venta y reproducción total o parcial.
«La presente publicación ha sido reproducida con el apoyo de la Unión Europea a través del
Programa de Apoyo al Sector Educación en Nicaragua (PROSEN). El contenido de la misma es
responsabilidad exclusiva del MINED y en ningún caso debe considerarse que refleja los puntos
de vista de la Unión Europea».

PRESENTACIÓN
El Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional, a través del Ministerio
de Educación (MINED), entrega a docentes y a estudiantes de Educación
Secundaria, el libro de texto de Matemática en el cual se desarrollan los
cinco pensamientos: aleatorio, numérico, variacional, métrico y espacial. La
Matemática es una herramienta esencial en campos como las ciencias de la
Tierra y la naturaleza, la medicina, las ciencias sociales, la computación, la
arquitectura, la ingeniería y en la vida cotidiana.
El propósito fundamental del texto, es propiciar en los estudiantes un papel
más activo en el proceso de aprendizaje para que puedan interactuar con los
conocimientos planteados en el libro, permitiéndoles que complementen lo
desarrollado en la clase, consolidar, comparar, profundizar en aquellos aspectos
que explicó su docente y prepararse para la evaluación.
El libro de texto a través de sus contenidos y actividades, contribuye a la
formación en valores individuales, comunitarios y sociales, los que se reflejarán
en el comportamiento de la o el estudiante dentro y fuera del Centro Educativo.
El libro de texto es un tesoro valioso en las manos de cada estudiante, y cuidarlo
con esmero, permitirá que otros compañeros que están en los grados que les
anteceden también puedan hacer uso de él, en su proceso de aprendizaje.
Esto significa que el libro de texto es una propiedad social por tanto se debe
cuidar porque no solo a usted le será de ayuda, sino que dependiendo del cuido
que le dé, también le será de provecho a otros, razón por la que le sugerimos
lo forre, no lo manche, no lo ensucie, no lo rompa, ni lo deshoje. Esa será
su contribución desinteresada y solidaria, con los próximos estudiantes que
utilizarán este libro.
Ministerio de Educación

INTRODUCCIÓN
El presente texto corresponde a los contenidos del área de Matemática del Noveno Grado
de Educación Media.
El texto contiene 7 unidades con los siguientes contenidos:
En la Unidad I, se desarrollan los conceptos fundamentales de la Estadística Descriptiva
para datos agrupados, se calculan las medida de posición y de variabilidad, además, se
presenta un repaso de los temas de estadística descriptiva para datos no agrupados, los
cuales han sido abordados con detalle en el Libro de Texto de Matemática de Séptimo
Grado.
En la Unidad II, se estudia el conjunto de los números reales y sus propiedades. Se hace
énfasis en la interpretación geométrica de las propiedades de los números reales. Se hace
un repaso de las propiedades fundamentales de los números naturales, enteros y racionales.
En la Unidad III, se estudian los conceptos fundamentales de álgebra. Se abordan las
expresiones algebraicas tales como monomio, binomio y trinomio, y las operaciones en las
que intervienen. Se utiliza la geometría para la interpretación de las propiedades básicas
de las expresiones algebraicas y la construcción de modelos algebraicos basados en
situaciones de la realidad.
En la Unidad IV, se estudian las operaciones con polinomios: suma, resta, multiplicación y
división y se introduce la división sintética (o regla de Ruffini). La geometría se utiliza para la
interpretación de las propiedades de los polinomios. Se desarrollan los productos notables
y su interpretación geométrica, además se estudia la radicación.
En la Unidad V, se estudian sistemas de ecuaciones lineales de 2x2 y sus métodos de
soluciones, además se resuelven problemas de la vida cotidiana y se hace una interpretación
gráfica de las soluciones.
En la Unidad VI, se desarrollan la congruencia y la semejanza de triángulos al igual que el
teorema de Thales, el teorema de la altura y el teorema del cateto. Las demostraciones están
presentes, sin embargo, no representan un peso específico significativo en el desarrollo de
la teoría.
En la Unidad VII, se inicia con un repaso del concepto de relación, que ya ha sido abordado
con detalle en Séptimo Grado. Una característica fundamental de esta unidad, es que
las funciones que se estudian tienen como dominio el conjunto de los números enteros o
subconjuntos de números enteros. Estas funciones son llamadas funciones discretas. Se
abordan las funciones lineales con sus propiedades tratándolas como funciones lineales

discretas y las funciones cuadráticas. Se presentan diferentes interpretaciones del concepto
de función a través de modelos basados en situaciones de la realidad cotidiana. También se
estudian en esta unidad las ecuaciones lineales y las ecuaciones cuadráticas. Como tema
novedoso se estudia las desigualdades lineales y los números complejos con sus operaciones.
El texto está estructurado a doble columna, siendo la columna izquierda dedicada a temas
sobre historia de la Matemática, curiosidades matemáticas (también se incluyen curiosidades
y pasatiempos en el desarrollo de los temas en la columna derecha), juegos matemáticos.
También aparecen en la columna izquierda algunos conceptos sobre los cuales es necesario
hacer especial énfasis y algunos temas que no aparecen en el programa oficial de la asignatura
pero que son importantes para una debida comprensión de los conceptos.
Se presentan actividades que tienen como objetivo reforzar los conocimientos, aplicarlos a
la realidad y fundamentarlos desde el punto de vista matemático y didáctico-metodológico.
Los íconos utilizados en el texto tienen los siguientes significados:
Indican aquellas ideas y conceptos que deben ser recordados y sobre los cuáles se
debe reflexionar. Estas ideas y conceptos son básicos para la comprensión de los
temas tratados en la unidad correspondiente.
Indica aquellas actividades orientadas para el trabajo en equipo. Gran parte de
estas actividades se orientan a la realización de construcciones, justificación de
demostraciones (en muy pocos casos) y a la resolución de ejercicios y problemas
de aplicación a la vida real.
Indica aquellas partes del texto dedicadas al planteamiento de ejercicios que deben
ser resueltos por el estudiante. Todos los ejercicios propuestos se resuelven con la
teoría expuesta en cada una de las unidades.

Estadística.................................................................2
Introducción..........................................................2
Tablas de Frecuencias ............................................2
Frecuencia Relativa y Porcentual..............................4
Frecuencia RelativaAcumulada..................................6
Histograma.................................................................7
La Ojiva.......................................................................9
Medidas de posición..............................................13
Los cuartiles..............................................................13
Los Deciles y los Percentiles...................................17
Lugar que ocupa la mediana.....................................17
Localizando deciles...................................................18
Los percentiles..........................................................20
Medidas de dispersión...........................................23
Laamplitud................................................................24
La desviación media..................................................25
Lavarianza................................................................27
La desviación típica o estándar.................................27
El coeficiente de variación........................................28
Ejercicios de Cierre de Unidad..............................31
Segunda Unidad: Números Reales
Números Reales......................................................38
Introducción.........................................................38
Potencias de base real y exponente entero.............38
Potencia de base real y exponente entero positivo..39
Producto de potencias de igual base.........................40
Potencia de una potencia..........................................42
Producto de potencias de igual exponente...............43
Potencia de un cociente............................................44
Cociente de dos potencias de igual base.................47
Potencia de base real y exponente nulo...................51
Potencia de exponente 0..........................................51
Potencias de base real y exponente racional............52
Propiedades del inverso...........................................56
Leyes de los exponentes........................................57
Potencias de base real y exponente racional............63
Raíz de un número real positivo.............................64
Raíz de un número negativo...................................64
Producto de dos radicales del mismo índice.............68
Radical de un radical.............................................69
Cociente de radicales del mismo índice...................70
Leyes de los radicales...............................................71
Definición de potencia de exponente racional..........71
Radicales equivalentes............................................73
Introducción y extracción de factores
en un radical.........................................................75
Radicales semejantes............................................76
Tercera Unidad: Factorización
Factorización..........................................................82
Introducción.........................................................82
Extracción de Factor Común...................................82
Factor Común Monomio.........................................86
Factor Común Polinomio........................................88
Índice
Primera Unidad: Estadística

Ámbito de Factorización.........................................90
Polinomio Irreducible............................................91
Factorización de una Diferencia de Cuadrados........93
Factorización de una Suma o Diferencia
de Cubos.............................................................96
Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto....101
Factorización de Trinomios de la
Forma x2
+ bx + c.....................................................106
Factorización de Trinomios de
la Forma px2
+ qx + r.................................................................113
Factorización de polinomios del tipo
a3
+3a2
b+3ab2
+b3
y a3
-3a2
b+3ab2
-b3
........................119
Resolución de Ecuaciones por Factorización.................121
Ejercicios de Cierre de Unidad............................................125
Cuarta Unidad: Operaciones con
Radicales y FraccionesAlgebraicas
Operaciones con Radicales y
Fracciones Algebraicas.....................................128
Introducción......................................................128
Operaciones con Radicales..................................128
Simplificación de Radicales................................129
Suma de Radicales..............................................132
Multiplicación de Radicales..................................133
Racionalización..................................................135
Operaciones con Fracciones Algebraicas...............141
Simplificación de Fracciones Algebraicas .......142
Suma de Fracciones Algebraicas.......................143
Multiplicación de Fracciones Algebraicas...............147
División de Fracciones Algebraicas.......................148
Ejercicios de Cierre de Unidad...............................151
Quinta Unidad: Sistemas de
Ecuaciones Lineales.
Sistemas de Ecuaciones Lineales.......................154
Introducción.......................................................154
Ecuaciones lineales en dos variables.....................154
Sistemas de Ecuaciones Lineales
en dos incógnitas................................................164
Operaciones elementales sobre
un sistema..............................................................166
Método de Sustitución.........................................178
Método de Reducción..........................................180
Matrices y Determinantes de 2 x 2.........................181
Matriz de un Sistema de
dos Ecuaciones Lineales.......................................182
Método de Cramer...............................................183
Tipos de Sistemas...............................................186
Sexta Unidad: Congruencia y
Semejanza.
Congruencia.........................................................192
Introducción.......................................................192
Relaciones de congruencia....................................193
Criterios de congruencia de triángulos .................196
Congruencia de triángulos isósceles .....................199
Semejanzas .......................................................202
Semejanza de triángulo ......................................211
Criterios de semejanza de triángulo .....................213
Teorema de Pitágoras .........................................214
Teoremadelaalturayteoremadelcateto................215
Teorema del cateto .............................................216
Ejercicios de cierre de unidad ..............................217

Séptima Unidad: Funciones y
Ecuaciones
Introducción..............................................................220
Función Lineal y Afín................................................220
Función Constante...................................................222
Gráfica de una función.............................................222
Función Inyectiva.....................................................223
Función lineal..........................................................224
Función Afín............................................................226
Gráfica de la función afín..........................................227
Movimientos de gráficas en el Plano..........................229
Función Cúbica........................................................231
Ecuaciones Cuadráticas..........................................236
Discriminante..........................................................238
Ecuaciones Cuadráticas y Números Complejos...........241
Números Complejos.................................................242
Desigualdades..........................................................249
Compatibilidadde <conlaadición.............................251
Compatibilidad de < con la multiplicación.................251
Ecuaciones lineales racionales
en una variable..........................................................259
Ecuación Racional....................................................260
Función Cuadrática..................................................263
Ejercicios de cierre de la unidad................................268

Unidad 1
El Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional puso en funcionamiento el parque
eólico “Comandante Camilo Ortega” quien es considerado el Apóstol de la Unidad
Sandinista. “La unidad de todos los nicaragüenses, unidos por el Bien Común de este
país en reconciliación y haciendo patria siempre para este pueblo”.
Este parque eólico cuenta con una capacidad para generar 40 megawatts (MW), y se
encuentra ubicado en el sureño departamento de Rivas. Con este se busca la
transformación de la matriz energética y la generación de energía renovable, lo cual
conlleva a un impacto de menos costos de producción y un mayor beneﬁcio para las
familias.
Fuente: 19 digital
12 de Marzo 2014
Estadística
1 - 1,9
0
5
10
15
20
25
2 - 2,9 3 - 3,9 4 - 4,9
Sismos reportados por INETER entre el 24 y 28 de Abril 2014

2
Estadística
Introducción
En esta unidad abordaremos algunas de las más importantes
labores de la Estadística, como son el diseño, la recolección,
análisis e interpretación de datos obtenidos sobre algún fenómeno
o comportamiento estudiado en un determinado grupo, ya sea para
ayudar a la toma de decisiones o para explicar las condiciones de tal
comportamiento.
Tablas de Frecuencias
Una de las ocupaciones primordiales de la estadística consiste en la
organización, descripción y resumen de colecciones de datos, con el
objetivo de presentar la información de forma que pueda ser analizada
e interpretada de manera significativa. Las tablas de frecuencias
constituyen uno de los medios para lograr este propósito.
En el censo de población y vivienda realizado en Nicaragua en el año
2005, por primera vez se investigó las formas de eliminar la basura en
los hogares nicaragüenses. Los resultados para el área urbana del
departamento de Masaya se exponen en la siguiente tabla.
TABLA 1 Formas de eliminar la basura en el departamento de
Masaya
Categoría
Frecuencia absoluta
(fi
) (hogares)
1: Se la lleva el camión de la basura 18 461
2: Basurero autorizado / contenedor 703
3: La queman 7 302
4: La entierran 1 678
5: Tiran a predio baldío / cauce / calle / guindo 1 568
6: Tiran al río / laguna / quebrada / arroyo 592
7: Pagan para que la boten 2 813
8: Abono orgánico 158
9: Otro 119
Total 33 394
¿Qué es un censo?
Un censo es un recuento
de todos los elementos
que componen una
población.
En el censo de población
y vivienda se cuentan
todas las personas y las
viviendas de un grupo
humano, usualmente un
país o una nación.
Ejemplo 1

3
Recuerde, reflexione y concluya
La tabla 1 es una tabla de frecuencias absolutas. En la primera
columna se despliegan las categorías en que se han clasificado las
distintas maneras de eliminar la basura y en la segunda columna se
disponen las frecuencias absolutas correspondientes. Recuerde que
la frecuencia absoluta de un dato es la cantidad de veces que éste
se repite. Por ejemplo, la categoría “entierran la basura” tiene una
frecuencia absoluta igual a 1 678; esto significa que hay 1 678 hogares
en la zona urbana del departamento de Masaya que utilizan esta forma
de eliminar la basura.
1. Con el auxilio de la tabla 1, responda a las siguientes interrogantes
relativasalmanejodelabasuraenelsectorurbanodeldepartamento
de Masaya.
¿Cuántos hogares queman o entierran la basura?
¿Cuántos hogares usan la basura como abono orgánico?
¿Cuál es la forma más usada para eliminar la basura?
¿Cuál es la menos usual?
¿Cuántos hogares entierran la basura o la usan como abono
orgánico?
¿Cuántos hogares tiran la basura a una fuente natural de agua
o a un terreno baldío o bien cauce, calle o guindo.
2. Realice una encuesta entre sus compañeros sobre la forma en
que eliminan la basura en sus hogares. Con los datos recabados
construya una tabla de frecuencias absolutas.
3. Reflexione sobre el tratamiento de la basura y su influencia en el
medio ambiente, la salud y la economía.
De acuerdo con la tabla 1, en el sector urbano del departamento de
Masaya hay 7 302 hogares que queman la basura.Al observar la tabla 2
notamos que eso sucede en apenas 3 074 hogares de la parte urbana
del departamento de Boaco. En base a estos datos, ¿sería correcto
afirmar que es más popular quemar la basura en el departamento de
Masaya que en Boaco? Realmente los datos suministrados no permiten
sustentar tal afirmación. Para poder establecer una comparación se
requiere de las frecuencias relativas.
Recordemos:
La frecuencia absoluta
es la cantidad de veces
que se repite un dato.
Otawa (Canadá) se ubica
entre las ciudades más
ecológicas del mundo.
Recuerde
En una serie de
observaciones,
la moda es el
dato que tiene
mayor frecuencia
absoluta.
Formas de eliminar
la basura en el
departamento de Boaco.
Sector Urbano.
TABLA 2
Categoría Frecuencia
1 5 407
2 77
3 3 074
4 146
5 936
6 83
7 161
8 13
9 39
Total 9 936
La numeración de las
categorías es la misma
de la tabla 1.

4
Frecuencia Relativa y Porcentual
Para obtener la frecuencia relativa se divide la frecuencia absoluta
entre el número total de observaciones.
En el caso de Masaya el total de hogares censados alcanza la cifra
de 33 394 y la categoría “queman la basura” tiene una frecuencia
absoluta de 7 302. Por tanto, la frecuencia relativa de esta categoría
es igual a:
7302
33 394
0 2187,=
Para expresarla en términos porcentuales la multiplicamos por 100.
Este número se denomina frecuencia porcentual y en nuestro caso,
significa que el 21,87% casi 22 de cada 100 hogares de los hogares
del área urbana del departamento de Masaya elimina la basura
quemándola.
7
33 394
100 21 87
302
⋅ = , %
En el caso del departamento de Boaco, el total de hogares censados
en el área urbana es igual a 9 936 y de ellos 3 074 queman la basura,
para este departamento la frecuencia relativa de la categoría “queman
la basura” es igual a:
3 074
9 936
0 309,=
Por tanto, la frecuencia porcentual correspondiente es 30,9%, que
resulta de multiplicar la frecuencia relativa, 0,309, por 100.
Así, el 30,9% (casi 31 de cada 100 hogares) de los hogares de la zona
urbana del departamento de Boaco quema la basura, en tanto que el
porcentaje correspondiente al departamento de Masaya es 21,87.
En consecuencia, en lo que respecta a la parte urbana, la quema de la
basura es más frecuente en Boaco que en Masaya.
Es importante destacar cómo determinar el porcentaje de un número.
Por ejemplo:
El 12% de 48 es
12
100
48 0 12 48 5 76( )= ( )=, , %
¿Cuál es la moda en la
serie de números de la
siguiente tabla?
Dato 1 3 1 3 3
fi
3 1 2 2 0
La frecuencia relativa
es el cociente entre la
frecuencia absoluta
y el número total de
datos:
f
f
n
r
i
=
La frecuencia porcentual
se obtiene al multiplicar
la frecuencia relativa por
100:
% fi
= fr
· 100

5
Complete la tabla 3 con las frecuencias relativas y relativas
porcentuales restantes.
TABLA 3: Formas de eliminar la basura en los departamentos de
Masaya y Boaco. Sector Urbano.
Categoría fi
fr
%fr
Masaya Boaco Masaya Boaco Masaya Boaco
1 18 461 5 407
2 703 77
3 7 302 3 074 0,22 0,31 21,87 30,94
4 1 678 146
5 1 568 936
6 592 83
7 2 813 161
8 158 13
9 119 39
Total 33 394 9 936
Una vez que haya llenado la tabla 3, responda a las siguientes
preguntas:
1. ¿Qué porcentaje de los hogares de la parte urbana del departamento
de Masaya la basura se la lleva el camión, o bien la queman o la
entierran? y ¿en Boaco?
2. ¿Qué porcentaje de los hogares se quema la basura o se usa como
abono orgánico?
3. ¿Qué porcentaje de hogares usan la basura como abono orgánico?
4. ¿Cuál es la suma de las frecuencias relativas de las cuatro primeras
categorías? ¿Qué significado tiene este valor?
Compare las frecuencias relativa porcentual para determinar en qué
departamento, Masaya o Boaco, una categoría tiene mayor predominio.
Los tiempos de
degradación de la
basura dependen de las
sustancias y materiales
de que está hecha, así
como de las condiciones
de aire, luz solar y
humedad.
NOTACIÓN:
fi
: Frecuencia
absoluta
fr
: Frecuencia relativa
%fr
: Frecuencia
relativa porcentual
“Las botellas de
plásticos son las
más resistentes a
la degradación; la
naturaleza tarda entre
100 y 1 000 años en
degradarlas”

6
Frecuencia Relativa Acumulada
En una prueba de Convivencia y Civismo practicada a 50 estudiantes
de undécimo grado, la distribución de las calificaciones fue la siguiente:
TABLA 4: Distribución de las calificaciones
Número de Clase Clase Frecuencia: fi
Frecuencia acumulada: Fi
1 50 - 59 12 12
2 60 - 69 15 12 + 15 = 27
3 70 - 79 13 27 + 13 =40
4 80 - 89 6 40 + 6 = 46
5 90 - 99 4 46 + 4 = 50
Total 50
La frecuencia relativa de la clase 1 es igual a 0,24, valor que resulta al
dividir su frecuencia absoluta, 12, entre 50, que es el número total de
observaciones. La frecuencia relativa acumulada (Fr
) de una clase se
halla sumando su frecuencia relativa con las frecuencias relativas
de las clases que le anteceden.
La frecuencia relativa acumulada de la segunda clase se calcula
dividiendo la frecuencia absoluta acumulada de la clase, 27, entre el
número total de datos:
27
50
0 54= ,
Junto con sus compañeros calcule las frecuencias relativas (fr
) y las
frecuencias relativas acumuladas (Fr
) de las clases restantes.
Agregando los nuevos datos a la tabla 4, obtenemos la tabla siguiente.
TABLA 5: Calificaciones
Clase fi
Fi
fr
Fr
50-59 12 12 0,24 0,24
60-69 15 27 0,30 0,54
70-79 13 40 0,26 0,80
80-89 6 46 0,12 0,92
90-99 4 50 0,08 1,00
Total 50 1
¡Explique!
¿Puede haber una
frecuencia relativa igual
a 1,6?
o
¿Qué sea igual a -1?
La frecuencia relativa
acumulada (Fr
) es
el cociente entre la
frecuencia acumulada
(Fi
) y el número total de
datos. Es decir,
F
F
n
r
i
=
Ejemplo 2

7
Compare sus resultados con los valores contenidos en la tabla 4.
¿Qué información nos brindan las frecuencias relativas acumuladas?
La frecuencia relativa acumulada de la clase 2 es la suma de las
frecuencias relativas de la clase 1 y 2. Por tanto, las dos clases en
conjunto tendrán una frecuencia relativa acumulada de 0,54. Esto
quiere decir que el 54% de los estudiantes que realizaron el examen
obtuvieron una nota entre 50 y 69, o bien 69 o menos, similarmente el
80 % de los estudiantes obtuvieron una calificación de 79 o menos.
Las frecuencias acumuladas y las frecuencias relativas acumuladas,
siempre hacen referencia a los limites superiores de cada clase.
Histograma
La altura de cada barra corresponde a la frecuencia relativa de la clase
respectiva (también se puede utilizar la frecuencia absoluta).
Otra forma de representar
gráficamente esta distribución
es mediante un polígono de
frecuencias, la cual se obtiene
a partir de la gráfica de
barras al unir, con segmentos
rectilíneos, los puntos medios
superiores de los rectángulos.
¡Reflexione!
¿Puede ser una
frecuencia relativa
acumulada de signo
negativo o de valor
mayor que 1?
¡Explique!

8
Otra forma de representar la gráfica de un polígono de frecuencias, es
utilizando la frecuencia relativa.
Procedimiento:
1. En el eje vertical se colocan las frecuencias relativas.
2. En el eje horizontal en cada intervalo se indica la clase.
Polígono de Frecuencias Relativas.
Histograma de Frecuencias Relativas Acumuladas.
La distribución de frecuencias relativas acumuladas también podemos
representarla mediante una gráfica de barras, como se observa en la
siguiente ilustración.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
50-59 60-69 70-79 80-89 90-99
Frecuencias RelaƟvas Acumuladas
0,24
0,54
0,80
0,92
1,00
Con su Ars
Conjectandi (el Arte de
la Conjetura) la teoría
de probabilidades
adquiere autonomía
científica.
Jacob Bernoulli
(1 654 - 1 705)

9
La Ojiva
También podemos representar la distribución de frecuencias relativas
acumuladas mediante un gráfico de línea llamado Ojiva. Esta se
construye de la siguiente manera:
1. En el eje horizontal en lugar de las clases se colocan los límites
superiores.
2. En el eje vertical se escriben las frecuencias.
La ojiva comienza con el límite superior de la primera clase.
La ojiva elaborada anteriormente se contruye generalmente de la
siguiente manera:
La ojiva es el polígono
de frecuencias
acumuladas, es decir,
en ellas se permite ver
cuántas observaciones
se encuentran por
debajo de ciertos
valores en lugar de
mostrar los números
asignados a cada
intervalo.
Creador de la Inferencia
Estadística.
Ronald Fisher
(1 890 - 1 962)

10
Compruebe lo aprendido
1. Con la información contenida en la tabla 5, responder a las siguientes
preguntas:
Si la nota mínima para aprobar es 60, ¿Qué porcentaje de
estudiantes reprobó la clase? ¿Cuál es el porcentaje de
estudiantes que aprobaron el examen?
¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo una calificación entre 50
y 79? y ¿entre 60 y 89?
¿Qué porcentaje obtuvo calificaciones mayores que 69?
¿Qué porcentaje obtuvo calificaciones menores o iguales que
79?
2. De acuerdo con el censo del año 2005, la población de Nicaragua
en ese entonces era de 5 142 098. La tabla muestra la distribución
de la población adolescente de Nicaragua según ese mismo censo.
TABLA 6: Distribución de la edad de adolescentes
Edad Número de habitantes
15 125 986
16 121 047
17 113 325
18 113 324
19 109 903
Total 583 585
Calcule las frecuencias relativas y las frecuencias relativas
acumuladas.
Diseñe una tabla de frecuencias en la que incluya las frecuencias
absolutas, frecuencias acumuladas, frecuencias relativas y
frecuencias relativas acumuladas.
Trace una gráfica de barras para la distribución de frecuencias
relativas y una ojiva para la distribución de frecuencias
acumuladas.
Matemático belga que
aplicó los métodos
estadísticosalasCiencias
Sociales, padre de la
Estadística Moderna.
Lamber Adolphe
Jacques Quételet
(1 796 - 1 874)

11
¿Cuál era la población entre las edades de 15 y 19 años?
¿Qué porcentaje de esa población estaba conformada por
jóvenes entre las edades de 17 y 18 años inclusive?
¿Qué tanto por ciento de esa misma población eran mayores
de 18 años? ¿Y de menor o igual edad?
¿Según el censo del 2005, qué tanto por ciento de la población
de Nicaragua eran jóvenes de entre 15 y 19 años? ¿Y de entre
17 y 19 años?
3. En los grupos de noveno grado de un colegio de secundaria, se
realizó una encuesta sobre los colores preferidos para el uniforme
de la banda musical. Con los datos de los 200 estudiantes
encuestados se hizo el siguiente diagrama de sector circular.
¿Qué porcentaje de estudiantes no eligió el color rojo?
¿Cuántos estudiantes no eligieron el celeste?
¿Cuántos eligieron el celeste o el amarillo?
¿Cuántos no eligieron ni el amarillo ni el rojo?
Haga una tabla de frecuencias.
¿Cuántos eligen el rojo?
¿Cuántos eligen amarillo?
¿Cuántos eligen el verde y el amarillo?
Reforzamiento.
El número de
empleados de una
empresa se distribuye
porcentualmente de
acuerdo a su tiempo de
trabajo.
1. Menos de 5 años,
20%.
2. Entre 5 y menos de
10 años, 50%.
15 años, 15%.
20 años, 10%.
5. Más de 20 años, 5%.
Construye un diagrama
de sector circular para la
situación.

12
Actividad en grupo
1. El poema “A Roosevelt” de Rubén Darío contiene 1 660 letras. La
letra “a” se repite 184 veces, de modo que su frecuencia relativa es
Organícense en grupos de 2 ó 3 estudiantes y determinen cuáles
son las frecuencias relativas de las otras letras vocales del alfabeto.
Investiguen cuál es la vocal más utilizada en el idioma español.
Construyan una tabla de frecuencias para el número de letras de
las palabras usadas en el poema. ¿Cuál es la letra de mayor
frecuencia?
Representen la distribución de frecuencias relativas mediante una
gráficadebarrasytracenunaojivaparaladistribucióndefrecuencias
acumuladas.
2. La moneda de un córdoba, en una de sus dos caras tiene el
escudo de Nicaragua y, en la otra, el número uno; compruébenlo
ustedes mismos observando una moneda. Lancen una moneda
de un córdoba 20 veces, registren los resultados y con los datos
recabados llenen la siguiente tabla de frecuencias:
Resultado fi
fr
Número
Escudo
Repitan la experiencia en grupos de 5 o 6 estudiantes y construyan
una nueva tabla donde relacione los datos anteriores y los nuevos.
Construyan una tabla con los datos de toda la clase.
Observe y analice. ¿Qué pasa a medida que se consideran más
datos?
Repitan la experiencia usando un dado en lugar de una moneda.
“Hay
que
unirse, no
para estar
juntos, sino
para hacer
algo juntos”
Juan
Donoso
Cortés

13
Medidas de posición
Las medidas de posición dividen a un conjunto de datos ordenados en
partes con la misma cantidad de individuos. Entre los más populares
están los cuartiles, los deciles y los percentiles. La mediana es parte
de ellos y se ubica al centro de los datos.
La Mediana
Una prueba de Matemática practicada a siete estudiantes dió como
resultado las siguientes calificaciones :
68 72 73 81 85 87 91.
En esta lista ordenada el dato central es 81, ya que hay la misma
cantidad de datos menores que 81 y mayores que 81. El dato central
de una lista ordenada, cuando existe, se denomina mediana. Así, la
mediana de las siete calificaciones es 81.
Escriba la lista de las calificaciones menores que 81 y la lista de las
mayores que 81. Para cada una de ellas determine la mediana.
1. Considere el siguiente conjunto de datos:
7 12 18 21 25 32 41 43 50 51 60.
Encuentre la mediana
Escriba la parte inferior a la mediana y la parte superior. Indique la
mediana de cada una de estas partes.
2. Suponga un conjunto de datos como el siguiente:
12 23 108 32 10 51 18 20 67 59 21 83 76 44 70.
Ordene los datos de menor a mayor.
Anote la lista de datos menores que la mediana y la de los mayores
que la mediana. Para cada una de ellas determine la mediana.
3. Considere ahora el siguiente conjunto ordenado de datos:
7 8 10 18 23 40.
¿Hay un dato central en esta lista?
Los cuartiles son valores
que dividen a los datos
ordenados en cuatro
partes con la misma
cantidad de datos.
117
115
101
97
96
95
93
Mitad
Superior
Mitad
Inferior
Mediana

14
Incorpore un nuevo número a la lista de modo que el número
agregado sea la mediana del nuevo conjunto de datos. ¿Cuántos
datos de la lista original están bajo dicho número? ¿Cuántos están
sobre él? ¿De cuántas maneras podemos elegir el número a
incorporar a la lista original para satisfacer las condiciones
indicadas? ¿Tendría usted preferencia por alguno de ellos?
Analicemos la siguiente situación:
Las cantidades de carreras anotadas por los líderes históricos en la
liga de beisbol profesional de Nicaragua son las siguientes: 117, 115,
101, 97, 96, 95 y 93. Al ordenar los datos en orden creciente advertimos
que la mediana, el dato central, deja el mismo número de datos por
debajo y por arriba de ella.
93 95 96 97 101 115 117
mediana
Así, la mediana determina dos subconjuntos: el de datos menores que
la mediana y el de datos mayores que la mediana.
La mediana de la mitad inferior, 95, se denomina primer cuartil y se
denota por Q1
.
93 95 96 97 101 115 117
Primer cuartil mediana
La mediana de la mitad superior es el llamado tercer cuartil Q3
.
El segundo cuartil Q2
, es la mediana de todos los datos.
93 95 96 97 101 115 117
Primer cuartil Segundo cuartil Tercer cuartil
Si cambiamos los extremos por otros valores, ¿variarán los
cuartiles? y ¿si agregamos valores mayores que 117 o menores
que 93?
¿De qué manera podríamos agregar más datos sin hacer variar los
cuartiles?
El elemento
mínimo de un
conjunto numérico
es el menor de
todos los elementos
que pertenecen al
conjunto.
¿Cuál es el máximo?

15
Los cuartiles junto con los valores extremos, el máximo M y el mínimo
m, pueden usarse para exponer en forma resumida la información
que nos brindan los datos. En nuestro ejemplo, el resumen de los 5
números es:
m Q1
Q2
Q3
M
93 95 97 115 117
Podemos mostrar esta síntesis en una gráfica de caja - brazos, la cual
se dibuja mediante el siguiente procedimiento.
Paso 1. Tracemos una recta numérica que contenga a los valores
máximo y mínimo y a los cuartiles.
Paso 2. Marquemos el valor más bajo, el más alto, y los cuartiles.
Paso 3. Dibujemos una caja que vaya del primer al tercer cuartil.
Paso 4. Marquemos la mediana con un segmento vertical que divida
la caja en dos.
113 115 117

16
Paso 5. Tracemos dos segmentos horizontales, uno que se extienda
desde la caja hasta el dato mínimo y otro que vaya de la caja al valor
máximo.
Finalmente obtenemos la gráfica caja-brazos o caja-bigotes.
Con un poco de reflexión se puede responder a los siguientes
planteamientos:
Dada una gráfica caja-brazos, ¿cuáles de las siguientes medidas
se pueden determinar: la mediana, la moda, la media aritmética, la
amplitud?
¿Por qué en la gráfica caja-brazos que construimos la mediana no
se encuentra en el centro de la caja?
¿Cambiará la caja si sustituimos el número 93 por otro de menor
valor?
Haga una descripción de los pasos necesarios para determinar los
cuartiles.
Si la cantidad de datos que superan a la mediana es un número
par, ¿cómo se calcula el tercer cuartil?
La amplitud de una
serie de datos es la
diferencia entre el dato
máximo y el mínimo.
Recuerde:
Si la cantidad de datos
es par, la mediana es
la media aritmética del
par de datos centrales.

17
Los Deciles y los Percentiles.
Los deciles son valores que dividen a una conjunto ordenado de datos
en diez partes con igual cantidad de términos.
Hay distintos métodos para calcular los deciles y, en general, las
medidas de posición.
Los valores que resultan al aplicar dos métodos distintos pueden diferir,
aunque la diferencia se torna despreciable a medida que aumenta la
cantidad de datos.
Lugar que ocupa la mediana
Un primer paso para determinar una medida de posición, es encontrar
el lugar que ocupa en relación al conjunto de datos.
Examinemos el caso de la mediana. Si el número de datos es igual a
3, como en la serie 5, 7, 8, la mediana ocupa la posición número.
2
3 1
2
=
+
Si la cantidad de datos es 5, como en 4, 6, 8, 10, 15, la mediana ocupa
la posición número.
3
5 1
2
=
+
Cuando hay 7 datos, como en la serie 2, 5, 8, 9, 12, 17, 20, la mediana
se localiza en posición número.
4
7 1
2
=
+
¿Cuál es la posición de la mediana si la serie consta de 9 datos?
¿Cuál sería la posición de la mediana de una secuencia de
observaciones, si ésta consta de n datos?
Si observamos los casos particulares considerados, la posición de la
mediana se calcula dividiendo entre dos el número de datos aumentado
en uno. Es decir, cuando una serie tiene n datos, la posición de la
mediana es:
n +1
2

18
Localizando deciles
En forma similar se determinan las posiciones de los deciles, solamente
que en este caso hay que dividir entre 10. Si hay n datos, la posición
del primer decil es:
Pos D
n
1
1
10
( )=
+
Para hallar la posición del segundo decil, multiplicamos la del primer
decil por dos:
Pos(D2
) = 2 Pos(D1
)
De manera similar, la posición del tercer decil es la del primero
multiplicada por 3:
Pos(D3
) = 3Pos(D1
)
¿Cuál es la posición del cuarto decil? y ¿la del noveno?
¿Con qué cuartil coincide el quinto decil?
Indique las posiciones de todos los deciles.
En general, en un conjunto de n datos ordenados, la posición del
k - ésimo decil es:
Pos(Dk
) = kPos(D1
) (k = 1,2,...9)
Las facturas de 30 abonados del servicio de energía eléctrica de un
barrio capitalino registraron cifras contenidas en la segunda columna
de la tabla 7. Hallar los deciles primero, quinto y octavo.
Lo primero que se debe hacer es ordenar los datos en orden
creciente, pero este paso lo podemos saltar ya que los datos están
dispuestos de esa manera. La cantidad de datos es n = 30, así que
la posición del primer decil es:
n +
=
+
=
1
10
30 1
10
3 1,
Este resultado se interpreta de esta manera: debe tomarse el dato que
ocupa la posición número 3, más una décima, 0,1, de la distancia que
hay al siguiente dato. En la serie dada, el dato de la posición número 3
es 281; la distancia entre éste y el siguiente dato es:
289 - 281 = 8
Ejemplo 3
El k-ésimo decil se
denota con el símbolo.
Dk

19
Luego, el primer decil es:
D1
= 281 + 0,1(8) = 281 + 0,8 = 281,8
La posición del quinto decil es la del primer decil multiplicada por 5, es
decir,
Pos(D5
) = 5Pos(D1
) = 5 (3,1) = 15,5
Por tanto, el quinto decil es el dato que está en la posición número 15,
es decir 336, más cinco décimas, 0,5, de la diferencia 338-336.
Así,
D5
= 336 + (0,5) 2 = 336 + 1 = 337
Observemos que este valor coincide con la mediana. Esta coincidencia
no es casual, para una serie ordenada cualquiera de n datos, la posición
del quinto decil es:
5
1
10
1
2
+




 =
+
que, como sabemos, es la posición de la mediana.
La posición del octavo decil es la posición del primer decil multiplicada
por ocho, es decir,
D8
= 8 Pos (D1
) = 8 (3,1) = 24,8
El octavo decil es el dato de la posición 24 más 8 décimas de la distancia
de éste al dato de la posición 25, es decir:
D8
= 365 + 0,8 (369 - 365) = 365 + 3,2 = 368,2
Calcule los restantes deciles y responda a las siguientes preguntas.
¿Qué tanto por ciento de los datos son menores que el decil número
dos?
¿Qué tanto por ciento son mayores?
¿Qué porcentaje de los datos excede al sexto decil? ¿Qué tanto
por ciento está constituido por datos menores que el sexto decil?
Si se premiara a los abonados que presenten facturas cuyo monto
no exceda el séptimo decil, ¿Qué porcentaje de ellos alcanzarían
el premio?
Tabla 7: Factura de
30 abonados
Posición
Cantidad
C$
1 238
2 245
3 281
4 289
5 290
6 295
7 295
8 310
9 314
10 319
11 321
12 322
13 331
14 332
15 336
16 338
17 350
18 356
19 356
20 356
21 359
22 361
23 364
24 365
25 369
26 402
27 407
28 409
29 412
30 415

20
Los percentiles
Los percentiles son valores que dividen a una colección ordenada de
datos, en cien partes con igual cantidad de términos. Las posiciones
de los percentiles se calculan en forma análoga a las de los deciles,
pero en lugar de dividir entre diez se divide por 100. Así, para una
serie de n observaciones el primer percentil ocupa la posición
Pos P
n
1
1
100
( )=
+
Luego, la posición del k-ésimo percentil será:
Pos (Pk
) = k Pos P1
A una prueba clasificatoria para optar a una especialidad en medicina,
se presentaron 200 candidatos. El criterio para clasificar establece
que se admitirán aquellos postulantes cuyos puntajes superen los 74
puntos y que además se ubiquen por encima del percentil ochenta.
Las primeras 152 calificaciones fueron menores de 75 puntos y las
restantes 48 calificaciones fueron las siguientes:
75, 75, 76, 77, 78, 79, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 81, 81, 83, 83,
83, 83, 84, 85, 86, 86, 86, 87, 87, 87, 87, 88, 88, 88, 88, 89,
89, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 94, 94, 95, 95, 95, 95, 96, 96, 96.
Determine cuáles son las calificaciones de los postulantes que
clasificaron.
Puesto que la serie completa de las calificaciones consta de 200
términos, la posición del primer percentil es:
Pos P
n
1
1
100
200 1
100
2 01( )=
+
=
+
= ,
Luego, la posición del percentil ochenta será:
Pos (P80
) = 80 Pos (P1
) = 80 (2,01) = 160,8
Por tanto, el percentil ochenta es el dato que ocupa la posición número
160 más ocho décimas de la distancia que hay al siguiente dato. Como
hay 152 calificaciones que no superaron los 74 puntos, la primera
calificación de la lista dada es la número 153, luego la calificación
número 160 se encuentra a siete posiciones más adelante, es decir la
calificación de 79 puntos que precede a la nota de 80 puntos. Por tanto,
el percentil ochenta es:
P80
= 79 + 0,8 (80 - 79) = 79,8
El k-ésimo percentil
se denota con el
símbolo.
Pk
Por ejemplo,
P25
representa al
percentil veinticinco.
Ejemplo 4

21
Puesto que los que clasifican para ser admitidos en la especialidad
ofertada deben superar este valor, los postulantes que tienen puntajes
mayores o iguales a 80 son los que serán admitidos. Por tanto, clasifican
los que sacaron las 40 calificaciones más altas.
Actividad en grupo
De acuerdo al ejemplo 4, resuelva los siguientes ejercicios.
Calcule los percentiles 25 y 75.
Determine cuáles calificaciones se encuentran por encima del
percentil 75.
¿Qué tanto por ciento de las calificaciones están por debajo del
percentil 25? y ¿Por encima?
¿Qué tanto por ciento de las calificaciones están entre el percentil
25 y el percentil 75?
¿Cuál percentil coincide con la mediana?
1. Los datos que aparecen en la siguiente tabla corresponden a las
extensiones territoriales de los 31 municipios de los departamentos
de Chinandega, León y Managua. Las cifras están dadas en Km2
.
66,61 222,64 60,58 70,67 104,54 1 274,91 149,01
617,34 120,31 71,50 39,99 724,71 779,88 820,19
416,24 431,48 692,97 691,57 598,39 85,70 227,60
393,67 207,17 51,11 225,72 297,40 668,30 357,30
60,79 975,30 562,01
Realice los siguientes ejercicios:
a. Ordene los datos de menor a mayor.
b. Calcule los tres cuartiles y las extensiones territoriales máxima y
mínima.
Una manera sencilla de
entender el concepto de
percentil es cuando un
pediatra observa la tabla
de crecimiento y peso de
un niño registrado en el
MINSA.
Si el peso de un niño
está en el percentil 25,
significa que el 25% de
lactantes varones de
dicha edad pesa menos
que él y un 75% pesa
más que él.

22
c. ¿Qué tanto por ciento de los datos están entre el primero y tercer
cuartil?
d. ¿Dónde se ubican los extremos de la caja en una gráfica caja-
brazos?
e. La gráfica caja-brazos para estos datos, ¿será larga?
f. Si una gráfica caja-brazos tiene una caja larga, ¿qué indica esto
acerca de los datos? y ¿Si la caja es corta?
g. ¿De dónde a dónde se extienden los brazos de la gráfica caja-
brazos?
h. Trace la gráfica caja-brazos para los datos de la tabla ubicada en
la página 21.
i. ¿En qué parte de la gráfica caja-brazos se encuentra la mediana?
j. ¿Qué significado tiene la posición de la mediana en el recuadro de
la gráfica?
k. Los brazos de la gráfica, ¿tienen igual longitud, o tienen distinto
largo?
l. ¿Qué nos indica sobre los datos las longitudes de los brazos de la
gráfica?
m. Calcule los deciles segundo, sexto y séptimo.
n. Determine los percentiles 25 y 75. ¿Qué tanto por ciento de las
extensiones territoriales de los municipios de los departamentos de
Chinandega, León y Managua, están por encima del percentil 75?
¿Qué tanto por ciento está por debajo?
o. ¿Qué tanto por ciento de las extensiones territoriales están entre el
percentil 25 y el 75?
2. Midan las tallas y los pesos de sus compañeros de clase. Registren
también las edades. Con los datos recabados encuentren los
cuartiles, y los percentiles 25, 50 y 75.
3. Investiguen cuál es el peso ideal según la edad y la talla de una
persona. Haga un gráfico que refleje esta información. Comparen
con los registros realizados por sus compañeros de clase.
Publicó el error
probable de una media
y todos sus artículos
bajo el pseudónimo
de Student, por ello su
logro más famoso se
llama distribución t de
Student.
William Sealy Gosset
(1 876 - 1 937)
Recuerde
Si la suma de dos
números es cero,
cada uno de ellos es
el opuesto o inverso
aditivo del otro.

23
Medidas de dispersión
Las medidas de ubicación o posición, como la media o la mediana,
en muchas situaciones no solamente resultan insuficientes, sino que
pueden incluso conducir a errores de interpretación. Al respecto, nos
dice George Bernard Shaw:
“La estadística es una ciencia que demuestra que si mi vecino tiene
dos carros y yo ninguno, los dos tenemos uno”
Las medidas de ubicación como la media y la mediana sirven para
describir el centro de los datos, pero no permiten describir la extensión
de éstos ni su variabilidad. Por eso se requieren otras medidas
denominadas medidas de dispersión.
Las medidas de dispersión nos resumen la información de la “muestra”
o serie de datos, dándonos así información acerca de la magnitud del
alejamiento de la distribución de datos en relación a un valor central o
de concentración de los datos.
La estadística nos permite tener una visión del comportamiento de
una serie de sucesos o eventos a los que denominamos "variables",
así tenemos varias herramientas estadísticas como lo son la media
aritmética, la mediana y la moda.
Pero estas medidas no son suficientes para describir un conjunto
de datos, necesitamos conocer la variabilidad de los datos, es decir,
como se dispersan los datos reales en comparación a las medidas de
tendencia central, para esto contamos con esta nueva herramienta.
Las medidas de dispersión, son indicadores de variabilidad y cuya
importancia reside en la necesidad de tomar decisiones, basadas en
estadísticas básicas.
Los principales estadísticos de medidas de dispersión son:
1. Amplitud o rango
2. Desviación media
3. Varianza
4. Desviación estándar o desviación típica
5. Coeficiente de variación
Ejemplo de Rango
Si tenemos una
producción de camisas y
sabemos que diariamente
se producen un promedio
de 500 camisas, y si un
día se produce un mínimo
de 415 camisas y otro día
se produce un máximo de
573 camisas, entonces
el rango de producción
es de 158 camisas, es
decir, podemos tener
una producción de 158
camisas a partir del valor
mínimo.
Rango es la diferencia
entre el valor máximo
y mínimo valor de una
serie de datos y nos
da una idea de la
posible dispersión que
se puede tener de los
datos.
R = Dato mayor - Dato
menor.
El inverso aditivo de 5
es -5, ya que,
5 + (-5) = 0.
Por la misma razón, el
opuesto de -5 es 5.
El valor absoluto de
un número real a se
denota por
| a |
Si a ≥ 0, entonces,
| a | = a
Pero si a < 0,
| a | = -a

24
La amplitud
La amplitud en una colección de datos es la distancia entre los extremos,
es decir, la diferencia entre el dato máximo y el mínimo.
En el conjunto 3, 5, 6, 7, 21, 43, 54, 24, 28, los valores máximo y mínimo
son 54 y 3, respectivamente. Por tanto, la amplitud en la serie es la
distancia entre estos valores, es decir,
| 3 - 54 | = 54 - 3 = 51
¿Cuál es la amplitud en la serie 34, 51, 23, 56, 32, 109, 46, 52?
Supongamos que unos excursionistas deben decidir si atraviesan
o no un río a pie. Se les informa que, según una muestra tomada
recientemente, la profundidad media del río es igual a 0,35 m. ¿Es
suficiente este dato para tomar una decisión acertada? ¿Cuál sería su
decisión en cada uno de los siguientes casos?
1. La amplitud en la muestra es igual a 0,52 m.
2. La amplitud en la muestra es igual a 1,65 m.
El conocimiento de la profundidad media del río no es suficiente para
dar garantías de seguridad al cruzar el río a pie; podría suceder que en
el tramo en que se pretende atravesar el río, el valor de la profundidad
varíe considerablemente respecto a la media.
Caso 1. Supongamos que la amplitud de las profundidades del río es
igual a 0,52 m. Esto significa que la distancia entre las profundidades
extremas, la máxima M y la mínima m, es igual a 0,52, medida en
metros.
Esto es M - m = | M - m | = 0,52, es decir M = 0,52 + m.
Puesto que la profundidad mínima m es menor que la profundidad
media de 0,35, la suma
0,52 + profundidad mínima = 0,52 + m = M
es menor que
0,52 + profundidad media = 0,52 + 0,35.
Por lo tanto,
M es menor que 0,87.
Mínima
Media
Máxima
0,35
Profundidad del río
Ejemplo 5
Ejemplo 6

25
En conclusión, el río tiene una profundidad máxima de menos de 0,87
metros y, si los excursionistas son personas adultas de talla normal,
pueden cruzar el río sin preocuparse por la profundidad de éste.
Caso 2. Consideremos ahora el problema en que la amplitud de las
profundidades del río es de 1,65 metros. Como en el caso anterior, la
profundidad máxima es igual a la suma de la amplitud y la profundidad
mínima,
M = amplitud + m = 1,65 + m
la cual tiene un valor menor que la suma de la amplitud y la profundidad
media,
amplitud + media = 1,65 + 0,35 = 2,00
Por tanto, la profundidad máxima M tiene un valor menor que 2,00. Por
otra parte, M es mayor que la media de 0,35 metros.
Vemos que en este caso la profundidad máxima se encuentra entre
0,35 y 2 metros de profundidad. Este intervalo es muy grande para las
circunstancias del problema planteado, de modo que habría mucha
incertidumbre en la toma de una decisión.
Como hemos comprobado la amplitud puede brindar información
valiosa a la hora de decidir un asunto. Sin embargo, en muchos casos
su utilidad resulta muy limitada.
Otras medidas de dispersión son la desviación media, la varianza, la
desviación típica o estándar y el coeficiente de variación.
La desviación media
Anteriormente definimos la amplitud como la distancia entre el dato más
alto y el más bajo. Similarmente, la desviación media puede tratarse
como una distancia, pero con la ventaja de que, a diferencia de la
amplitud, que sólo toma en cuenta dos datos, ésta medida considera
toda la información.
La desviación de un dato x respecto a la media x, es la diferencia
x - x entre él y la media. Esta puede ser negativa si el dato es menor
que la media, o positiva, cuando el dato es mayor que la media o igual
a cero cuando el dato es igual a la media.
Matemático británico,
primero en explicar el
fenómeno de regresión
a la media e introducir
el concepto de
correlación.
Sir Francis Galton,
(1 822 - 1 911)

26
Parecería natural definir la desviación media de un conjunto de
datos como el promedio de las desviaciones, sin embargo, esto no
proporcionaría ninguna información útil ya que, cómo se muestra en el
siguiente ejemplo, la suma de las desviaciones es igual a cero.
Compruebe la validez de este resultado para otras series. ¿Puede
usted presentar un razonamiento convincente que nos indique que
este resultado es válido para cualquier serie de datos?.
Una forma de solventar el problema de la nulidad de la suma de las
desviaciones es considerar, no las propias desviaciones, sino sus
valores absolutos, es decir las distancias entre la media y cada uno de
los datos. Esto da lugar a la siguiente definición.
La desviación media de un conjunto de datos es el promedio de los
valores absolutos de las desviaciones de los datos respecto a la
media.
En símbolos, desviación media: DM =
n
i
k
−
=
∑1
, donde n es la cantidad
de los datos.
Entre menor es la desviación media, más agrupados están los datos
alrededor de la media y ésta los representa con mayor fidelidad. Por el
contrario, entre mayor es la desviación media, más alejados están los
datos de la media y por tanto hay mayor dispersión.
En una pequeña empresa los salarios devengados por siete empleados,
expresados en miles de córdobas son los siguientes: 2,8; 2,9; 2,9; 2,9;
3,5. Calcular la desviación media.
De acuerdo con la definición, para calcular la desviación media se
requiere determinar primero la media aritmética. Para los datos dados
ésta es:
x =
+ + + +
=
2 8 2 9 2 9 2 9 3 5
5
3
, , , , ,
Salarios
x x - |x - |
2,8 3 -0,2 0,2
2,9 3 -0,1 0,1
2,9 3 -0,1 0,1
3,5 3 -0,1 0,1
15 3 0,5 0,5
∑|x - x| = 1,0
La desviación típica
o estándar, es una
medida de dispersión
usada en estadística
que nos indica cuanto
tienden a alejarse
los valores concretos
del promedio de una
distribución.
Ejemplo 7
Recuerde que la media
aritmética se calcula
usando la siguiente
fórmula:
x
f X
n
i
i
k
i
= =
∑1
O bien
x
X X X
n
k
=
+ + +1 2 ...
x x x

27
Las distancias entre los datos y la media aparecen registradas en
la cuarta columna de la tabla de la página anterior. Su promedio, es
decir su suma dividida entre la cantidad de datos, nos proporciona la
desviación media:
desviación media =
n
i
k
−
=
∑1
=
1,0
5 = 0,2
Observe que la suma de las desviaciones es igual a cero como se dijo
anteriormente.
Encuentre la desviación media para la serie 3, 2, 1, 0, 4, 7.
La varianza (S2
)
Si en la fórmula del cálculo de la desviación media cambiamos las
desviaciones por sus cuadrados, obtenemos el indicador estadístico
denominado varianza. Es decir,
S
x x
n
i
i
k
2
2
1
1
=
−( )
−
=
∑
Observe indicación en la columna izquierda.
x x x - x (x - x)2
2,8 3 -0,2 0,04
2,9 3 -0,1 0,01
2,9 3 -0,1 0,01
2,9 3 -0,1 0,01
3,5 3 0,5 0,25
Total 0,32
La desviación típica o estándar (S)
Si extraemos la raíz cuadrada a la varianza obtenemos la desviación
típica o estándar, que es la medida de dispersión más utilizada.
La desviación tipica o estandar de un conjunto de datos es la raíz
cuadrada positiva del promedio de los cuadrados de las desviaciones,
es decir:
Desviación típica: S
x x
n
i
i
k
=
−( )
−
=
∑
2
1
1
Para el cálculo de la
varianza se utiliza la
siguiente ecuación:
S
x x
n
i
i
k
2
2
1
1
=
−( )
−
=
∑
n: significa número de
datos.
De acuerdo a la tabla de
la derecha, el resultado
de la varianza es:
S
x x
n
i
i
k
2
2
1
1
=
−( )
−
=
∑
S
5 - 1
2
= 0,32
S2
= 0,08

28
Para los salarios de la empresa del ejemplo 7, la desviación estándar
es igual a:
Desviación estándar: S=
−
= ≈
0 32
5 1
0 08 0 283
,
, ,
En el lenguaje corriente decimos que dos objetos están cercanos si
se encuentran a poca distancia. Lo mismo decimos de una serie de
datos y su media, si la desviación estándar es pequeña significa que
los datos están agrupados alrededor de la media. Por el contrario, si
la desviación estándar es muy grande entonces los datos están muy
dispersos.
El coeficiente de variación
El coeficiente de variación, CV, es el cociente entre la desviación
estándar y la media:
CV S
x
=
El coeficiente de variación, es una medida de la dispersión relativa de
una serie de datos. Cuando CV, está cerca de cero, la media representa
adecuadamente a la distribución de los datos, pero cuando su valor
excede a 0,75, la media pierde representatividad.
Para el ejemplo abordado anteriormente, el coeficiente de variación es
igual a:
CV= =
0 283
3
0 094
,
, ,
lo cual significa que la media representa significativamente a los
salarios de los cinco trabajadores.
1. De acuerdo con datos preliminares del Instituto Nacional de
Información de Desarrollo, los rendimientos agrícolas en el cultivo
del café en seis de los departamentos de la zona de Pacífico de
Nicaragua en el año 2 013, en: (quintales/manzana): 4,77 ; 3,45;
5,20; 6,27; 4,30; 5,05. Hallar el rendimiento medio, la amplitud,
la desviación media, la desviación estándar y el coeficiente de
variación.
Ejemplo 8
Medidas de tendencia
central: Son estadísticos
alrededor de los cuales se
concentran gran parte de los
valores de la distribución
MEDIANA (Me
) o x
Es una medida de
centralizacion que se
caracteriza por lo siguiente:
deja tras de sí el 50%
de la distribución.
El símbolo de la mediana x
MODA (Mo
)
de la variable que tiene
mayor frecuencia absoluta
LA MEDIA ARITMÉTICA (x)
Es un estadístico que nos
da una idea de entorno a
qué valor se encuentran
concentrados los valores
de una variable estadística,
aunque en ocasiones no
resulte un valor demasiado
representativo.
El símbolo de la media es x
y se lee como "equis barra".
x : media aritmética
para una muestra .
: media aritmética
para una población.
Recuerde.

29
2. La siguiente tabla contiene los parámetros de la anidación de las
tortugas carey, registrados por un equipo de investigación en el año
2008, Cayos Perlas, Nicaragua, de acuerdo con un censo realizado
por dos equipos de campo de la Wildlife Conservation Society
(Sociedad para la Conservación de la Vida Silvestre, WCS por sus
siglas en inglés).
££ Determine el coeficiente de variación e indique cuál de los promedios
representa mejor a los datos.
Anidación de tortugas carey en el 2008, Cayos Perlas, Nicaragua.
Tamaño de la nidada Promedio
Desviación
Estándar
Profundidad del nido-nidadas in situ (cm) 167,2 28,4
Profundidad del nido-nidadas reubicadas 41,6 4,5
Longitud del rastro 36,7 6,1
Distancia LMA al nido 8,8 6,3
Línea de Marea Alta 5,1 3,5
Trabajo en equipo
Organícense en equipos y midan con un cronómetro el tiempo que
tarda cada uno de los miembros del equipo en realizar la lectura del
poema de Rubén Darío: “Yo persigo una forma”. Luego reúnan los
datos de toda la clase y calculen:
a. La media aritmética.
b. La amplitud.
c. La desviación media.
d. La desviación estándar.
e. El coeficiente de variación.
f. Indiquen si la media representa adecuadamente a los datos.
Matemático británico
fundador de la
Bioestadística.
Karl Pearson
(1 857 - 1 936)

30
Yo Persigo una Forma
Yo persigo una forma que no encuentra mi estilo,
botón de pensamiento que busca ser la rosa;
se anuncia con un beso que en mis labios se posa
al abrazo imposible de la Venus de Milo.
Adornan verdes palmas el blanco peristilo;
los astros me han predicho la visión de la Diosa;
y en mi alma reposa la luz como reposa
el ave de la luna sobre un lago tranquilo.
Y no hallo sino la palabra que huye,
la iniciación melódica que de la flauta fluye
y la barca del sueño que en el espacio boga;
y bajo la ventana de mi Bella-Durmiente,
el sollozo continuo del chorro de la fuente
y el cuello del gran cisne blanco que me interroga.
Rubén Darío
Obra pictórica de
Alejandro Aróstegui

31
Ejercicios de Cierre de Unidad
1. El Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional otorgó prestamos a 30 campesinos para
la siembra y producción de frijoles. El número de manzanas de tierra financiada a través
de ALBA-CARUNA fueron:
80, 80, 80, 80, 75, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 67, 65, 65,
65, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 56, 56, 55, 55, 55, 55, 55, 66.
a. Elabore una tabla de frecuencias.
b. Determine los cuartiles y los deciles.
c. Trace una gráfica caja-brazos.
2. En una prueba de velocidad de escritura practicada a 32 estudiantes del Instituto Miguel
de Cervantes, se obtienen los resultados, medidos en segundos:
13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 19,
19, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 22, 22, 23, 25, 27, 30.
Calcule:
a. La velocidad de escritura promedio.
b. La desviación estándar.
c. El coeficiente de variación.
d. Realice un comentario sobre los resultados.
3. La estación meteorológica de San Carlos, Río San Juan, registró en el año
2008, en el período mayo-octubre, las siguientes precipitaciones pluviales:
310,8; 353,4; 264,8; 271,6; 265,3; 267,6 en cm3
.
Calcule:
a. La precipitación promedio.
b. La amplitud.
c. La desviación estándar.

32
4. Estos son los registros de las velocidades de los vientos en los meses del año 2013,
obtenidos en las estaciones meteorológicas de Chinandega y Managua (A.C. Sandino).
Calcule:
Velocidad de los vientos en km/h
Mes Chinandega Managua
Enero 2,5 3,0
Febrero 2,2 3,0
Marzo 2,5 3,0
Abril 2,2 3,0
Mayo 2,1 2,3
Junio 1,6 1,7
Julio 1,7 2,3
Agosto 1,7 2,1
Septiembre 1,8 2,5
Octubre 2,0 2,2
Noviembre 1,6 2,1
Diciembre 1,9 1,5
a. Las velocidades medias.
b. Las desviaciones estándar.
c. Los coeficientes de variación.
5. Se le preguntó a 20 estudiantes en un congreso de la FES sobre la cantidad de horas que
habían dormido la noche anterior. Las respuestas fueron las siguientes: 5, 4, 6, 6, 7, 7, 8,
8, 5, 9, 6, 8, 8, 6, 9, 8, 8, 7, 7, 6. Obtenga:
a. La media aritmética y la moda.
b. La amplitud.
e. Una representación caja-brazos.

33
6. A continuación se presentan la cantidad de familias beneficiadas con el plan techo que
impulsa el Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional en 30 comarcas del departamento
de Rivas:
84 70 75 75 68
56 60 60 68 75
61 66 67 74 56
75 56 75 54 62
61 54 51 67 53
70 71 69 54 59
Obtenga:
a. Los cuartiles.
b. Una representación caja-brazos.
7. Las horas extra mensuales que trabajaron 7 empleados de ENATREL son:
4,20,24,48,42,48 y 48.
Encuentre:
a. El número medio de horas extra trabajadas.
b. La mediana.
c. La moda.
d. La desviación media.
e. La desviación estándar.
f. El coeficiente de variación.

34
8. Se atienden a 70 personas con problemas de visión en la “Misión Milagros” que impulsa
el Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional, con sede en Ciudad Sandino cuyas
edades en años cumplidos son:
41 60 60 38 60 63 21 66 56 57 51 57 44 43
35 30 35 47 53 49 50 49 38 43 28 41 47 41
53 32 54 38 40 63 48 33 35 61 47 41 55 53
27 20 21 42 21 39 39 34 43 39 28 54 33 35
43 48 48 27 53 30 29 53 38 52 54 27 27 43
a. Construye una tabla de frecuencias de 5 intervalos.
b. Calcule la media arimética.
c. Determine la desviación estándar.
9. Los pesos en libras de los jugadores del equipo de fútbol Walter Ferreti son los siguientes:
167 172 165 165 178 165 143 180 156 149 156
a. Determine el peso medio del equipo.
b. Halle la mediana.
c. Elabore una gráfica caja-brazos.
d. Halle la desviación media.
e. Calcule la desviación estándar.
10. Se entrega un bono de patio que impulsa el Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional
el cual consiste en entregar un número determinado de gallinas por familia. Los datos se
indican a continuación:
19, 20, 21, 22, 18, 21, 19, 19, 20, 21, 21, 19, 18, 21, 22, 18, 19, 20, 21, 20, 19, 20, 21, 19, 19,
22, 17, 18, 21, 19, 21, 18, 20, 20, 21, 19, 20, 19, 20, 21, 18, 19, 20, 19, 21, 20, 19, 19, 23, 23.
a. Construye una tabla de frecuencias con datos no agrupados.
b. Determine el percentil 25 y el percentil 70 con los datos originales. ¿Qué significado
tienen estos valores?

35
11. Según el INTUR los datos de la estadía promedio (EP) en días y el gasto diario promedio
(GP) en dólares por turista en Nicaragua en los meses del primer semestre del año 2012
y del año 2013.
2012 2013
Mes EP GP EP GP
Enero 6,6 49 7,6 41,2
Febrero 6,7 50,1 7,2 53,2
Marzo 7,7 47,3 7,2 49,8
Abril 6,4 52,8 7,1 50,9
Mayo 6,6 51,8 6,7 59,1
Junio 8 40,8 7,7 47,5
Para cada uno de los años 2012 y 2013 obtenga:
a. La media semestral de las estadías por días, la media de los gastos promedios en dólares,
la desviación estándar de las estadías, la desviación estándar de los gastos promedios.
b. Compare los resultados del año 2012 con los del año 2013. Describa una conclusión
relevante.
12. Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños de un colegio. La
información obtenida está en la siguiente tabla:
Número de Caries fi
fr
0 25 0,25
1 20 0,2
2 x z
3 15 0,15
4 4 0,05
Obtener los valores de x, z y el número medio de caries.

36
13. Lea, analice y resuelva los siguientes ejercicios
a. La tabla adjunta
Edad (en años) 15 16 17 18 19
Estudiantes 50 40 60 50 20
muestra las edades de 220 estudiantes de un colegio. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones
son verdaderas?
I. La moda es 17 años.
II. La mediana es mayor que la media (promedio).
III. La mitad de los estudiante del colegio tiene 17 ó 18 años.
Alternativas
• Sólo I
• Sólo II
• Sólo I y III
• Sólo II y III
• I, II y III
b. El gráfico de sectores circulares de esta figura muestra las
preferencias de 30 estudiantes en actividades deportivas.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones son correctas?
I. La frecuencia relativa, expresada en %, del grupo de
fútbol es de 40%.
II. La frecuencia relativa, expresada en %, del grupo de
básquetbol es de 30%.
III. La mitad del grupo no prefirió fútbol ni tenis.
Alternativas
• Sólo I
• Sólo II
• Sólo I y II
• Sólo II y III
• I, II y III
Fútbol
12
Básquetbol
9
Tenis
3
Atletismo
6

Unidad 2
Conjunto de
Números Reales
El Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional ha impulsado un importante proyecto
como es la construcción del puente Santa Fe y paralelo a la construcción del puente
también se construyó la carretera ubicada en la costa Sur del Río San Juan de Nicaragua
hasta concluir en la frontera con Costa Rica, lo que facilitará que las exportaciones de la
zona central del país puedan salir en esa dirección hacia Puerto Limón en Costa Rica,
además de la entrada y salida de nicaragüenses hacia el país vecino del Sur.
Fuente: 19 digital.
Abril 2014.

38
Números Reales
Introducción
Esta unidad continúa con el estudio de las propiedades de los números
reales y sus operaciones, concentrando su atención en las potencias
de base real y exponente racional. El uso de las potencias nos permite
expresar en forma abreviada y operar con facilidad cantidades muy
grandes o muy pequeñas que aparecen en campos como la Física, la
Química y la Astronomía.
Potencias de base real y exponente entero
En grados anteriores se abordó el estudio de las potencias con
exponente entero y base racional. En esta oportunidad estudiaremos las
potencias con exponente entero y en las que la base es un número real
cualquiera, como por ejemplo el número π, más adelante abordaremos
el caso cuando el exponente es racional de la forma 1
n
.
Calcule el valor de las siguientes potencias de base entera
a. 33
b. (-3)3
c. 64
d. 93
e. (-2)4
f. (-2)5
g. (-4)3
h. (-5)3
i. (-5)6
j. -54
■¿Qué tipo de número dan los resultados?
■ Cuando la base es negativa y el exponente es impar, ¿cómo es el
resultado? y ¿Si el exponente es par?
Escriba cada potencia como un producto de factores iguales
a. 25
b. 64
c. (-4)8
d. (-5)7
e. 1710
El átomo de hidrógeno
tiene una masa
aproximadamente
igual a la fracción
de un kilogramo
representada por
17 precedido de 26
ceros y una coma
decimal. Su escritura,
con este tamaño de
letra, no cabe en este
espacio. En notación
exponencial es
1,7 · 10-27
kg
Recuerde
El símbolo ℕ denota
el conjunto de los
números naturales.
Si A es un conjunto y
x es cierto objeto, se
usa la expresión x ∈ A,
para indicar que x es
elemento de A.
Notación exponencial
En muchos lenguajes de
programación se usa el
símbolo ∧ para denotar
las potencias. Por
ejemplo, en lugar de 23
se escribe 2∧
3

39
Escriba cada uno de los siguientes productos como una potencia y
calcule su valor
a) 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2
b) (-5)∙(-5)∙(-5)∙(-5)∙(-5)∙(-5)
c) 112∙112∙112∙112∙112
d) 21 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 21 ∙ 21
Escriba en forma de potencia cada uno de los siguientes números
de manera que la base sea la menor posible.
a) 125
b) 10 000
c) 64
d) 15 625
Al calcular (-3)4
y -34
, ¿se obtiene el mismo resultado?
Potencia de base real y exponente entero positivo
La definición de potencia de base entera y exponente entero positivo
se traslada al caso de base real. Es decir, que una potencia de base
real y exponente entero positivo no es más que la abreviatura de un
producto de factores iguales.
Si a es un número real y n es un entero positivo, la expresión:
an
es el producto de n factores, todos iguales al número a. Es decir,
an
= a · a ∙ ... ∙ a
n - veces
Los puntos suspensivos en la parte derecha de esta igualdad señalan
que se debe continuar multiplicando por a hasta completar exactamente
n factores.
En particular,
a1
= a, a2
= a ∙ a, a3
= a ∙ a ∙ a.
En la expresión an
, a se llama base y n es el exponente. Este último
indica cuantas veces se toma la base como factor.
¿Sabías qué?
Los italianos
utilizaban las letras
“p” y “m”, iniciales
de las palabras
piu (más) y minus
(menos) para indicar
respectivamente la
suma y la resta.
Con el tiempo se
impulsó la notación "+"
y "-" para denotar la
suma y la resta.
El texto más antiguo
que se conoce en el
que aparecen estos
signos denotando la
suma y la resta es
un libro de aritmética
comercial del alemán
Johann Widman
publicado en 1 489

40
Escriba la potencia (0,7)5
como un producto de factores iguales.
El exponente 5 indica cuántas veces se repite la base. Siendo la base
igual a 0,7 tenemos que:
(0,7)5
= (0,7) ∙ (0,7) ∙ (0,7) ∙ (0,7) ∙ (0,7).
Escriba el siguiente producto como una potencia y calcule su valor.
(-0,5) ∙ (-0,5) ∙ (-0,5) ∙ (-0,5)
El factor que se repite en este producto es -0,5. Luego este número
yacerá como base y, el número de veces que se repite, cuatro, será
el exponente. Por tanto,
(-0,5) ∙ (-0,5) ∙ (-0,5) ∙ (-0,5) = (-0,5)4
.
Por otra parte al agrupar tenemos que
(-0,5)4
= [(-0,5) ∙ (-0,5)] ∙ [(-0,5) ∙ (-0,5)], es decir,
(-0,25)2
= (-0,25) ∙ (-0,25) = 0,0625
Efectuar el producto de las potencias tercera y quinta de π.
La tercera y quinta potencia del número π son π3
y π5
respectivamente.
Por tanto,
π3
∙ π5
= (π ∙ π ∙ π) (π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π) = π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π
8 veces
Luego,
π π π π3 5 3 5 8
= =+
En general, para multiplicar potencias de igual base, se escribe la
misma base y se suman los exponentes. Así tiene lugar la siguiente
regla:
Producto de potencias de igual base
Para todo número real a, y para cualesquiera números
naturales m,n se cumple:
am
∙ an
= am + n
Primera ley de los
exponentes
Para efectuar el
producto de potencias
de igual base, se
conserva la base y se
suman los exponentes.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3

41
Escribir el producto de 3π11
por 5π7
como un múltiplo de una
potencia de π.
Agrupamos primero los coeficientes y luego las potencias de π
involucradas para obtener:
(3π11
)(5π7
) = (3)(5)(π11
∙ π7
) = 15π11+7
= 15π18
¿Quépropiedaddelamultiplicaciónpermiterealizaresteagrupamiento?
Escribir cada producto indicado como un término con una
potencia de π,e o a.
1.
2.
3
2
5
6
4 11
a a












3. −( )( )4 2512 3
e e
Escribir a15
como una potencia con base a5
.
El exponente 15 señala que a se debe tomar 15 veces como factor. Si
agrupamos los factores de cinco en cinco, tendremos tres grupos cada
uno de ellos con cinco factores iguales al número a.
Tenemos así:
a15
= (a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a) ∙ (a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a) ∙ (a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a).
Es decir,
a15
= a5
∙ a5
∙ a5
= (a5
)3
.
3 - veces
Por tanto,
a15
= (a5
)3
.
Ejemplo 4
Ejemplo 5

42
Por la simetría de la igualdad y descomponiendo 15 en sus factores
primos, obtenemos que
a15
= (a5
)3
= a5(3)
.
Esta propiedad también tiene validez general, es decir, podemos
cambiar 5 y 3 por números naturales arbitrarios m y n, manteniéndose
inalterable la validez de la regla. Así tiene lugar la siguiente propiedad:
Potencia de una potencia
Si a es un numero real y m y n son números naturales,
entonces
(am
)n
= am ∙ n
Escribir cada expresión dada como una potencia con la base
indicada.
1. a3
∙ a3
∙ a3
∙ a3
; con base a2
.
2. b24
; con base b4
.
Suponga que a, x ∉ {0,1}. Encuentre todos los posibles números
enteros m y n que hacen posible la igualdad.
1. (am
)n
= a12
2. (em
)n
= e125
3. [(0,12)m
]n
= (0,12)18
Escriba el siguiente producto como el múltiplo de una potencia.
3∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π
Tenemos un primer factor 3 y a continuación el producto de siete
factores idénticos a π, luego,
3∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π = 3(π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π) = 3π7
Expresar (3π)7
como un múltiplo de una potencia de π.
Por definición de potencia:
(3π)7
= 3π ∙ 3π ∙ 3π ∙ 3π ∙ 3π ∙ 3π ∙ 3π, Ahora reagrupemos los factores
(3π)7
= (3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3)∙(π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π).
¡Importante!
Sean a ∈ ℝ+
y p,q ∈ ℝ+
.
Si a ≠ 0 y a ≠ 1,
entonces,
a ap q
=
p = q
Por ejemplo, si 2x
= 212
entonces base igual
exponente igual:
x = 12
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Segunda ley de los
exponentes
Para efectuar la
potencia de una
potencia, se conserva
la base y se multiplican
los exponentes.

43
Luego, al aplicar la definición de potencia en la parte derecha, se
obtiene
(3π)7
= 37
∙ π7
= 2 187 ∙ π7
.
Expresar el siguiente producto como una potencia.
e ∙ e ∙ e ∙ e ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π
Al agrupar e con π obtenemos:
e ∙ e ∙ e ∙ e ∙ π ∙ π ∙ π ∙ π = (e ∙ π)(e ∙ π)(e ∙ π)(e ∙ π)
¿Qué propiedades de la multiplicación permiten realizar este
agrupamiento?
La parte derecha de esta igualdad es la cuarta potencia de (e ∙ π) luego,
(e ∙ π)(e ∙ π)(e ∙ π)(e ∙ π) = (e ∙ π)4
La parte izquierda de la expresión dada, la podemos escribir como el
producto de las potencias e4
y π4
, de modo que:
e4
∙ π4
= (e ∙ π)4
Esta igualdad es caso particular de la siguiente regla:
Producto de potencias de igual exponente
Si a y b son números reales y n es un entero positivo, entonces
an
∙ bn
= (ab)n
En efecto, sean a y b números reales cualesquiera. Por definición de
potencia tenemos que:
an
∙ bn
= (a ∙ a ∙...∙ a)∙(b ∙ b ∙... ∙ b).
n - veces n - veces
En cada uno de los grupos de la parte derecha de la igualdad hay n
factores. Agrupemos cada factor a del primer grupo con exactamente
un factor del segundo grupo. Obtenemos:
an
∙ bn
= (ab) ∙ (ab) ∙...∙ (ab)
n - veces
Tercera ley de los
exponentes
Para multiplicar dos
potencias con el
mismo exponente, se
multiplican las bases y
el producto resultante
se eleva al mismo
de las potencias
originales.
"Dios hizo los números
enteros, el resto es
obra del hombre."
Leopold Kronecker
Ejemplo 8

44
La parte derecha por definición de potencia es igual a (ab)n
. Por tanto,
an
∙ bn
= (ab)n
que es lo que se quería demostrar.
Escribir en forma abreviada el producto (0,1)4
∙ (0,2)4
∙ 34
.
Por la propiedad asociativa de la multiplicación
(0,1)4
∙ (0,2)4
∙ 34
= (0,1)4
[(0,2)4
(34
)]
Luego, al utilizar en la parte derecha la tercera ley de los exponenetes
se obtiene:
(0,1)4
∙ (0,2)4
∙ 34
= (0,1)4
[(0,2)4
(34
)] = (0,1)4
[(0,2)(3)]4
de donde, por la misma ley,
(0,1)4
∙ (0,2)4
∙ 34
= [(0,1) ∙ (0,6)]4
= 0,064
Compruebe lo aprendido.
Escriba el producto de (0,345)7
por (0,345)4
en forma de una potencia.
¿Cuántos factores iguales a 0,345 contiene?
Escribir el cociente
a
b
4
4 como una potencia.
Por la definición de potencia y de acuerdo con la multiplicación de
fracciones, obtenemos:
a
b
a a a a
b b b b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
4
4
4
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ =






En general, vale la siguiente ley:
Potencia de un cociente
Si a y b son numeros reales, con b ≠ 0 , si n es un entero
positivo, entonces
a
b
a
b
n n
n





 =
Encuentre el valor del cociente de 23
y 0,53
.
Por la ley arriba enunciada
2
0 5
2
0 5
3
3
3
, ,
=






La tercera ley de los
exponentes también
puede formularse
así: La potencia de
un producto es igual
al producto de las
potencias de las
bases, afectadas con
el mismo exponente
de la potencia original.
(ab)n
= an
∙ bn
Cuarta ley de los
exponentes
La potencia de
un cociente, es
igual al cociente
del numerador y
del denominador,
afectados con el
mismo exponente de
la potencia original.
Recuerde:
Si a, b, c, d ∈ ℝ con b ≠
0 y d ≠ 0, entonces:
a
b
c
d
a c
b d
⋅ =
⋅
⋅
Ejemplo 9
Ejemplo 10

45
Puesto que 0,5 =
1
2
, al sustituir en 0,5 por
1
2
la parte derecha de la
igualdad, se obtiene:
2
0 5
2
1
2
3
3
3
,
=










,
pero,
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
4= = ⋅ = ,
por tanto,
2
0 5
4 64
3
3
3
,
= =
a) Exprese el número 23 000 000 a través de una potencia de 10.
b) Sin usar calculadora encuentre el valor del cociente.
( , )
( , )
0 5
0 1
4
4
a. Puesto que 23 000 000 = 23 · 1000 000 y 1 000 000 = 106
,
23 000 000 = 23 · 106
b. Por la propiedad de la potencia de un cociente tenemos que:
0 1
0 5
0 1
0 5
4
4
4
,
,
,
,
( )
( )
=






pero 0,1 =
1
10
y 0,5 =
5
10
. Por tanto, al sustituir en la parte derecha de
la igualdad obtenemos:
0 1
0 5
1
10
5
10
4
4
4
,
( , )
( ) =










Ahora bien, el cociente dentro del paréntesis en la parte derecha
es igual a 1
10
10
5
2
10
⋅ = . Luego,
0 1
0 5
2
10
4
4
4
,
,
( )
( )
=






,
Recuerde:
Si n es un número
natural, la potencia
10n
, en notación
decimal, es igual a 1
seguido de n ceros.
Por ejemplo
106
= 1 000 000
¿Cómo pasar de un
decimal exacto a
fracción?
En el numerador se
pone el número decimal
sin coma, y en el
denominador un uno
seguido de tantos ceros
como decimales haya.
Por ejemplo
1,32 =
132
100
Ejemplo 11

46
pero,
2
10
2
10
16
10 000
0 0016
4 4
4





 = = = ,
por tanto,
0 1
0 5
0 0016
4
4
,
,
,
( )
( )
=
Exprese los siguientes cocientes como una sola potencia.
1. e
e
e e
2 030
2 010
2 030 2 010 20
= =− 2. 13 13 13 13
23 1
2
23 1
2
23
23
2
( ) = ( )





 = =
⋅
La solución de cada ejercicio es:
1. e
e
e e
2 030
2 010
2 030 2 010 20
= =− 2. 13 13 13 13
23 1
2
23 1
2
23
23
2
( ) = ( )





 = =
⋅
Simplifique el cociente
π
π
3
5
Por la ley del producto de potencias de igual base se tiene que
π5
= π3
· π2
en consecuencia,
π
π
π
π π
3
5
3
3 2
1
=
⋅
⋅
Al desarrollar la parte derecha de esta igualdad como un producto de
dos fracciones se llega a que:
π
π
π
π π π
3
5
3
3 2 2
1
1
1
= ⋅ = ⋅
por tanto,
π
π π
3
5 2
1
=
Observe que el resultado anterior se puede expresar de la siguiente
manera:
π
π π
3
5 5 3
1
= −
Simplificar una expresión
donde hay potencias de
números reales significa
cambiarla por otra en la
que cada número real
base, aparece una vez y
todos los exponentes son
positivos.
Ejemplo 12
Ejemplo 13

47
Este ejemplo se puede generalizar como veremos a continuación.
Sea a un número real no nulo y sean m y n números enteros positivos.
Caso 1. Supongamos que m > n , y sea p = m - n. Entonces p es un
entero positivo y como m = p + n se tiene que:
am
= ap + n
Por la regla para multiplicar potencias de igual base tenemos que:
ap + n
= ap
∙ an
luego,
a
a
a a
a
a a
a
a
m
n
p n
n
p n
n
p
=
⋅
= ⋅ =
1
Pero, como p = m - n. Al sustituir p por m - n, obtenemos que
a
a
a
m
n
m n
= −
Caso 2. Asumamos que m < n entonces n - m > 0, an
= an - m
∙ am
y, en
consecuencia,
a
a
a
a a a
a
a a
m
n
m
n m m n m
m
m n m
= = ⋅ =− − −
1 1
Así, en este caso,
a
a a
m
n n m
= −
1
De esta manera verificamos la validez de la quinta ley de los exponentes.
Cociente de dos potencias de igual base
Sean a un número real diferente de cero y m y n números enteros
positivos.
a) Si m > n, entonces :
a
a
a
m
n
m n
= −
b) Si m < n,
a
a a
m
n n m
= −
1
Reforzamiento:
Resuelva aplicando
las propiedades de los
exponentes:
•
c d
c d
2 8
6 5
•
a d m
a d m
3 7 6
8 4 1−
• (2x4
y2
)-3

48
Simplifique cada una de las siguientes fracciones. Suponga que x, y,
p, q son números reales distintos de cero.
a.
x y
x y
5 6
3 5
b. x y
x y
2 6
4 2
c.
5 4
2
3
2
7
9
p
q
q
p
( )
( )
i
a. Desarrollando la fracción como un producto de fracciones y
aplicando la regla para evaluar un cociente de potencias de igual
base, obtenemos:
x y
x y
x
x
y
y
x y x y
5 6
3 5
5
3
6
5
5 3 6 5 2
= ⋅ = ⋅ =− −
b. En forma análoga, tenemos que:
x y
x y
y
x
y
x
2 6
4 2
6 2
4 2
4
2
= =
−
−
c. Por potencia de un producto y por la ley para elevar una potencia a
un exponente se tiene que:
5 25
4
2
3
2
7
9
8
6
7
9
p
q
q
p
p
q
q
p
( )
( )
⋅ = ⋅
Al multiplicar las fracciones de la derecha y reordenar los factores en
el numerador y denominador se llega a que:
25 258 7
9 6
7 6
9 8
p q
p q
q
p
=
−
−
por tanto,
25 258 7
9 6
p q
p q
q
p
⋅
⋅
=
Ejemplo 14

49
I. Utilice la propiedad de la potenciación apropiada para resolver
correctamente cada ejercicio.
1. (1,21)3
2. (0,013)4
3. (0,02)5
4. −






3
4
3
5. 0 2
0 3
3
3
,
,
( )
( )
6. 0 5
10
4
4
,( )
7.
25
0 5
3
,( )
8. (-0,1)7
9.
0 004
0 0002
3
3
,
,
10.
1 33
2 66
1 33
2 66
2
2
4
,
,
,
,
( ) ⋅
11. [(0,11)3
]4
+ (0,2)2
12. 6
9
6
9
2
3
1
4
( ) ⋅
−
−
Recuerde
La división
a
b
c
d
÷ de
dos fracciones, se
realiza multiplicando
la primera fracción
por la segunda
fracción invertida,
esto es:
a
b
c
d
a
b
d
c
÷ = ⋅

50
II. Exprese como una potencia:
a. x3
y3
b. u5
∙ v5
c. p3 7
( )
d.
z
w
5
5
e. e
e
7
5
f. a7. a2008
g. x y
x y
3 5
3 5
h.
a
b b
3 4
2 10
( )
⋅
i. a x
b
a x
b
2 3
3
3 2
2
⋅
j.
m uv
m m uv
2 3
4 3 5
1( ) ⋅
( )
k.
6 36 2
4 3
4 5
6 8
x y
z w
x y
z w
÷
III. Simplifique
a.
5
10
2 3 4
3 5
ab c b
b a
( )
b.
p
p
6
4
c. m
m
5
8
d. u v
u v
6 8
2 6
e. u v
u v
6 8
2 6
f. x y
xy
3 4
7
g. a b c
a b c
4 3 6
2 7 4
h. x y z
y z x
5 3 4
5 7 2
i. a
b
ab
c
b
c
4 3
2
2013
3 4






( )
( )
ii
IV. Exprese como múltiplo de una potencia de 10
a) 17 000 b) 510 000 c) 312 000 000 000 000 000

51
V. Suponga que a es un número real y que n denota un número natural
arbitrario.
■ ¿Qué valores toman las potencias 0n
y 1n
?
■ Si a es positivo, ¿es an
un número positivo?
■ Si a es un número negativo, ¿en qué casos es an
un número
negativo? ¿Cuándo es positivo?
VI. Sea a un número real tal que a ≠ 0 , a ≠ 1. En cada caso determine
todos los valores de m y n tales que:
a. [(2,3)m
]n
= (2,3)114
b. [(-12)m
]n
= (-12)2013
c. (0,001m
)n
= (0,001)322
d. [(1,32)m
]n
= (1,32)25
Potencia de base real y exponente nulo
Consideremos de nuevo la ley de los exponentes: Para todo número
real a no nulo, se cumple:
a =
a
a
=10
m
m
Potencia de exponente 0
Al elevar cualquier número real no nulo al exponente cero el resultado
es 1
Si m > n. Si admitimos que m coincida con n, tendríamos m - n = 0,
y am
= an
, lo cual sugiere definir, para todo real a ≠ 0,
a =
a
a
=10
m
m
Esto nos conduce a la siguiente definición:
Para todo número real a ≠ 0, a0
= 1
Por ejemplo
2013° = 1
(56 000 000)o
= 1
Explique
¿Por qué toda
potencia de 5, con
exponente entero
positivo, termina en
25?

52
Evalúe la expresión:
22 0,2 013 +
46,7
68 222,56
2
23 000 123 0
( )⋅( )














Como la cantidad dentro del paréntesis es no nulo, podemos elevarla
a cero; el resultado es 1, de acuerdo con la definición de potencia real
y exponente nulo.
Sea p un número diferente de cero. Simplifique la expresión:
[(2p)56
]0
∙ (2p)56°
Por definición de potencia de exponente nulo:
[(2p)56
]0
= 1
y
560
= 1
Luego,
[(2p)56
]0
∙ (2p)56°
= 1 ∙ (2p)1
= 1 ∙ 2p = 2p
Potencias de base real y exponente racional
Para decidir si un número es inverso de otro, basta multiplicar los
números. Si el resultado es 1, la respuesta es afirmativa. Si el producto
no es 1, entonces ninguno de los números es el inverso del otro. Por
ejemplo,
1
2
es el inverso de 2
Ya que
1
2
∙ 2 = 1. Por la misma razón,
2 es en inverso de
1
2
.
En general, decir que,
1
a
es el inverso de a,
Recuerde
El inverso multiplicativo
de un número real
no nulo, o el inverso,
de un número, es
aquel número que
multiplicado por este
da 1.
1
a
es el inverso de a,
por tanto:
1
1
a
a⋅ =
Ejemplo 15
Ejemplo 16

53
equivale a afirmar que “a es el inverso de
1
a
”,ya que en ambos
casos estamos aseverando que el producto de a y 1
a
es igual a 1.
Una de las propiedades de los números reales establece que todo
número real a, no nulo, tiene inverso multiplicativo. El inverso de a se
denota por a-1
.
Esto nos define las potencias de números reales para cuando el
exponente es -1.
Por ejemplo,
1
8
=8
-1






Ya que el inverso de
1
8
es 8, puesto que 8
1
8
= 1.
Escriba a la par del concepto, la simbología correspondiente.
1. El inverso multiplicativo de 0,23
2. El inverso multiplicativo de π
3. El inverso del inverso de π
4. El inverso de a-1
Cocientes de números reales.
El concepto de inverso permite definir cocientes de números reales. En
el caso del cociente a
b
de dos enteros a y b, se cumple:
a
b
a
b
= ⋅
1
Definición: Si a y b son números reales, donde b ≠ 0, el cociente de a
y b se define como:
a
b
a b= ⋅ −1
Por ejemplo
0,1
2
debe interpretarse como el producto de 0,1 por el
inverso de 2 .
Es decir,
0 1
2
0 1 2
1,
,= ⋅( )
−

54
Compatibilidad de la
multiplicación con la
igualdad.
Si a = b, ∀ k ∈ ℝ,
entonces a · k = b · k
Compatibilidad de
la división con la
igualdad.
Si a = b, ∀ k ∈ ℝ,
entonces
a
k
b
k
=
El inverso de 2 no es racional, pues de serlo, también lo sería 2 .
Si a,b,c y d son números reales con b ≠ 0 y d ≠ 0, y si además se tiene
que a = c y b = d, entonces:
a = c
y
b-1
= d-1
de donde, por la compatibilidad de la multiplicación con la igualdad, se
obtiene que:
a · b-1
= c · d-1
,
es decir,
a
b
c
d
=
Por tanto la toma de cociente también es compatible con la relación de
igualdad.
Consideremos un número real arbitrario a ≠ 0. Como a-1
representa el
inverso de a, esto equivale a decir que:
a es el inverso de a-1
,
obtenemos que:
a = (a-1
)-1
Si a y b son números reales distintos de cero, entonces, por definición
a ∙ a-1
= 1 y b ∙ b-1
= 1
A partir de estas igualdades, utilizando la compatibilidad de la
multiplicación con la igualdad, y agrupando adecuadamente,
demuestre que a-1
b-1
es el inverso de
a
b
.

55
Indique en qué parejas de números, cada uno el inverso del otro
1. 5 y
1
5
2. 3
4
y 8
3.
1
8
y 8
4. 2
5
5
2
y
¿Cuál es el inverso de
1
3
? y ¿De
7
4
?
Si a y b son enteros distintos de 0, ¿cuál es el inverso de b? y
¿El de
a
b
?
Halle el valor entero de x tal que
(7x)2013°
= 14 ∙ (324 000 000)0
En los siguientes ejercicios complete y justifique su respuesta
9-1
1)
1
7
-1





2)
−





−
9
5
1
3)
4
7
1






−
4) 2
8
3
1
+






−
5)
Escriba cada cociente como el producto de un número entero y el
inverso de otro número entero:
1. 2
5
2. 19
7
3. 1 989
2 014
4.
23
18
5.
42
71
3
1
5
1
−






−
6)

56
Verifique que:
a
b
a
b
⋅ =
−
−
1
1
1
por tanto,
a
b
−
−
1
1
es el inverso de
a
b
.
Al terminar este ejercicio habremos demostrado que para cualesquiera
números reales a ≠ 0 y b ≠ 0, se cumplen las siguientes propiedades:
Propiedades del inverso
1. (a-1
)-1
= a
2. (ab)-1
= a-1
b-1
3. a
b
a
b
b
a





 = =
− −
−
1 1
1
De la definición de cociente se llega al caso particular de que, para
todo número real a ≠ 0:
1
1 1
a
a= ⋅ −
es decir que:
En forma análoga definimos las potencias de exponente −n, para n
natural arbitrario.
Definición. Para todo número real a ≠ 0 y para todo entero positivo n:
a
a
n
n
−
=
1
Expongamos algunos casos particulares de esta definición:
1. 0 18
1
0 18
3
3
,
,
( ) =
( )
−
2. π
π
−
=12
12
1
3.
1
4
42013
2013
= −
Matemático británico que
en 1 993 logró demostrar
el célebre Teorema de
Fermat (formulado en
1 637) que establece que
la ecuación
an
+ bn
= cn
con a,b,c
enteros, a,b > 0
y n ≥ 3 no tiene solución.
Tuvieron que pasar más
de 300 años para que
este teorema pudiera ser
demostrado.
Andrew Wiles
EL VALOR DE LA
PERSEVERANCIA
Ejemplo 17

57
Evalúe sin hacer uso de la calculadora:
(0,25)-3
.
Por definición,
0 25
1
0 25
3
3
,
( , )
( ) =
−
pero,
0 25
25
100
25
25 4
1
4
1
4
1
64
3
3 3 3
3
,( ) =





 =
⋅





 =





 = =
Al sustituir en la primera igualdad obtenemos
0 25
1
1
64
64
3
,( ) = =
−
Evalúe la expresión:
0 03
0 2
3
,
,






−
sin utilizar calculadora
Hasta aquí hemos definido las potencias de base real y exponente
entero. Puede probarse, sin mucha dificultad, que para estas potencias
también valen las leyes de los exponentes siempre que los cocientes y
las potencias involucradas existan.
Leyes de los exponentes
1. am
∙ an
= am + n
2. (am
)n
= amn
3. an
∙ bn
= (a ∙ b)n
4.
a
b
=
a
b
n
n
n






5. a
a
= a
m
n
m-n
;
a
a
=
1
a
m
n n-m
Observaciones
• Si un exponente
es negativo, la
base debe ser
diferente de cero.
• En cada cociente
el denominador
debe ser distinto
de cero.
Ejemplo 18

58
Exprese el número como una fracción
a
b
, donde a y b son números
enteros, b ≠ 0
1. −






−
3
2
4
Solución:
−





 = −














− −
3
2
3
2
4 1 4
Potencia de una potencia
=





-
2
3
4
Inverso de un cociente
= −( )⋅











1
2
3
4
Propiedad del Opuesto
= −( ) ⋅





1
2
3
4
4
Potencia de un producto
=
2
3
4
4
Potencia de un cociente
=
16
81
Desarrollando potencia
2. 5
3
3
5
3
2
6
4
⋅
Al multiplicar y reordenar términos obtenemos:
5
3
3
5
5 3
3 5
5
5
3
3
3
2
6
4
3 6
2 4
3
4
6
2
⋅ =
⋅
⋅
= ⋅
Luego, por la ley 5,
5
5
3
3
1
5
3
3
4
6
2 4 3
6 2
⋅ = ⋅−
−
= ⋅
1
5
31
4
=
81
5
Simplifique
4x a
2a x
4 -
6
3
4−
Ejemplo 19
Ejemplo 20

59
Reordenando términos y expresando el cociente como un producto de
fracciones tenemos que:
4
2
4
2
4 3
4 6
4 4
3 6
x a
a x
a x
a x
−
−
=
=
4
2
4
3
4
6
⋅ ⋅
a
a
x
x
= 2a
x
4 3
4 6
1−
−
⋅
=
2a
x2
¿Qué propiedades de las operaciones con números reales son
necesarias aplicar para llegar al resultado?
Por la ley 5, si n es un entero positivo y a ≠ 0, entonces
1 0
0
a
a
a
a an n
n n
− −
− −( )
= = =
Además, por definición de potencia de exponente negativo
a
a
n
n
−
=
1
Por tanto, para simplificar fracciones cuyo numerador y denominador
son producto de potencias podemos trasladar primero los factores que
tienen exponente negativo, del denominador al numerador, o viceversa,
según sea el caso. Por ejemplo,
x z
y
y
x z
− −
−
=
3 2
5
5
3 2
Simplifique la expresión
x y z
x y z
5 5 2
2 3 7
− −
−
Por la ley 5 de los exponentes, dejamos cada variable en el lugar donde
tiene mayor exponente. El nuevo exponente será igual al exponente
mayor menos el menor:
x y z
x y z
x
y z
x
y z
5 5 2
2 3 7
5 2
3 5 7 2
3
2 9
− −
−
−
− − −( ) − −( )
= =
Ejemplo 21

60
También se puede trasladar primero los términos que tienen signo
negativo cambiando el signo del exponente, y luego aplicar las reglas
1 y 5. Así,
x y z
x y z
x y
x y z z
5 5 2
2 3 7
5 3
2 5 7 2
− −
−
=
=
−
− +
x
y z
5 2
5 3 7 2
=
x
y z
3
2 9
I. Exprese como potencia de a, o de x, o bien de y.
1. 1
6
a−
2.
x
3. 1 1
7 2
x x
⋅
4.
y
y
−
−
5
16
II. Simplifique expresando el resultado con exponentes positivos.
1. a a6 12
⋅ −
2. 28
12
2 7
3 4
x y
x y
3. x
y x
−
− −
12
5 4
4. 2 86
3
4
2
xy y( ) ( )
−
5.
x
y x
−
− −
12
5 4
6. 56
16 4 5
u v
v u
s s− −
−
7. x y
y x
3 7
3 3
−
− −
8. 1
2
1
2
a a+( )−
9.
1
3
95 2
3
7
x y x−




 ( )
Reforzamiento.
Aplique las propiedades
de los exponentes y
simplifique las siguientes
expresiones:
10
10
5
3
4
2
5
20012
0x
x
x
( )
( )
⋅( )
u v
wz
w v
u z
− − −
−
( )3
2
4
3 2
5 3
.
b b
b
b
+( )
+( )−
−
−
1
3
2
3
2
1
.
−( ) ( )
−
− −
4 32 4
7
3 1
2
h q h q

61
Actividad en grupo
Utilizando las propiedades de las operaciones con números reales
y las leyes de los exponentes constate la certeza de las siguientes
expansiones:
1. (a + b)0
= 1
2. (a + b)1
= 1a + 1b
3. (a + b)2
= 1a2
+ 2ab + 1b2
4. (a + b)3
= 1a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ 1b3
5. (a + b)4
= 1a4
+ 4a3
b + 6a2
b2
+ 4ab3
+ 1b4
Las diagonales de la tabla siguiente están compuestas por los
coeficientes de estas expansiones.
1 1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6
1 4
1
El triángulo que conforman estos números se denomina triángulo de
Pascal. Noten que en la tabla de arriba los valores de la primera fila y la
primera columna son todos iguales a uno. Observen cómo se relaciona
cada uno de los restantes números con los números adyacentes de la
diagonal anterior.
Puede que se tenga una mejor visión del triángulo de Pascal, si a
la tabla de arriba se le aplica un giro de 45 grados a favor de las
manecillas del reloj. En tal caso las diagonales del triángulo inicial se
convierten en filas del triángulo resultante.
Matemático, físico,
filósofo y teólogo francés.
Considerado el padre de
las computadoras.
Blaise Pascal
(1 623 - 1 662)

62
Si observamos con detención nos daremos cuenta que los coeficientes
del desarrollo de (a + b)n
presentan las siguientes características:
1. Los términos primero y último tienen coeficiente a la unidad.
2. Los coeficientes organizados de varios desarrollos del binomio
(a + b)n
, con n tomando valores consecutivos a partir de cero, dan
origen a la formación de un triángulo con las siguientes propiedades:
a. Cada coeficiente distinto de uno, es la suma de los coeficientes
adyacentes de la fila anterior.
b. Trazando una línea central en el triángulo, los números
equidistantes de cada fila, son iguales. Es decir, hay simetría
con respecto a la línea central.
c. El número de coeficientes de cada caso es igual al exponente
aumentado en uno.
Escriba los valores de la siguiente fila del triángulo de Pascal. Los
valores correctos son los coeficientes de la expansión de (a + b)5
.
En la expansión de (a + b)n
, el exponente de a despunta con el valor
de n y luego, en cada nuevo término va disminuyendo de uno en uno
hasta llegar a cero, entre tanto, el exponente de b, arranca con el valor
de cero y va aumentando de uno en uno hasta alcanzar del valor de n
en el último término.
“Un Matemático es un
quijote moderno que
lucha en un mundo
real con armas
imaginarias.”
P. Corcho
"El valor de la felicidad
eterna es infinito."
Blaise Pascal
¡Importante!
La raíz n-ésima de un
número negativo a, existe
si n es impar. En tal caso
− =−a an n

63
Determinar los valores de las filas 7 y 8 del triángulo de Pascal y
encuentren las expansiones de (a + b)7
y (a + b)8
.
En el siguiente segmento vamos a considerar las potencias con base
real y exponente fraccionario del tipo 1
n
, donde n es un entero no nulo.
Potencias de base real y exponente racional
I. ¿Qué número elevado a 6, da como resultado 15 625?
Para responder a esta pregunta descompongamos el número 15 625
en sus factores primos. La descomposición que muestra en la parte
izquierda indica que:
15 625 = 56
.
Por tanto el número buscado es 5.
II. ¿Qué número elevado al cubo es igual a 343?
III. Complete encontrando la base que corresponda de manera que se
obtenga una proposición verdadera.
1. ( )3
= 64
2. ( )5
= 32
3. ( )2
= 1 316
4. ( )3
= 1 331
5. ( )7
= 0
6. ( )13
= 1
IV. Indique cuáles de los siguientes números son iguales a una potencia
de algún número entero.
a) 5 607 b) 1 316 c) 147 d) 1 728 e) 2 401
Matemático francés,
gran divulgador del
método científico,
realizó estudios en las
4 grandes divisiones
de la Matemática:
Aritmética, Álgebra,
Geometría y Análisis.
Jules-Henri Poincaré
(1 854- 1 912)
15 625 5
3 125 5
625 5
125 5
25 5
5 5
1

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