Regresi dan interpolasi

REGRESI DAN
INTERPOLASI
Di Buat Oleh :
Hamidatul Aminah 3515 100 043
Riva Dianita 3515 100 048
Istiqomah 3515 100 050
Kartika Tamara 3515 100 095

MATERI YANG DIBAHAS
Hamidatul Aminah Riva Dianita Istiqomah
Regresi Interpolasi

REGRESI LINIER
Regresi merupakan alat ukur yg digunakan untuk mengetahui ada tidaknya
korelasi antarvariabel.
Analisis regresi lebih akurat dlm analisis korelasi karena tingkat perubahan
suatu variabel thd variabel lainnya dpt ditentukan). Jadi pada regresi, peramalan
atau perkiraan nilai variabel terikat pada nilai variabel bebas lebih akurat pula.
Regresi linier adalah regresi yang variabel bebasnya (variabel x) berpangkat
paling tinggi satu. Utk regresi sederhana, yaitu regresi linier yg hanya melibatkan
dua variabel (variabel X dan Y).

PERSAMAAN REGRESI LINEAR DARI Y
TERHADAP X
Y = a + bx
Keterangan :
Y= variabel terikat
X= variabel bebas
A= intersep / konstanta
B= koefisien regresi / slop
Persamaan regresi linear di atas dpt pula dituliskan dlm bentuk
x
x
xy
Y 







 2

MENCARI NILAI A DAN B
• Rumus 1
• Pendekatan matriks
22
22
2
)())((
))(())((
)())((
))(())((
XXn
YXXYn
b
XXn
XYXXY
a






















































XYX
Yn
A
XXY
XY
A
XX
Xn
A
A
A
b
A
A
a
XY
Y
b
a
XX
Xn
2212
21
2
det
det
det
det
))(())((det
))(())((det
))(())((det
2
2
1
2
XYXYnA
XYXXYA
XXXnA




• Persamaan Linier 2 Variabel
• Rumus Ii
_____
22
.
)())((
))(())((
XbYa
XXn
YXXYn
b




)()(
)()( 2
XbnaY
XbXaX



CONTOH SOAL
Berikut ini data mengenai pengalaman kerja dan penjualan
X=pengalaman kerja (tahun)
Y=omzet penjualan (ribuan)
Tentukan nilai a dan b (gunakan ketiga cara)!
Buatkan persamaan regresinya!
Berapa omzet pengjualan dari seorang karyawan yg pengalaman
kerjanya 3,5 tahun
X 2 3 2 5 6 1 4 1
Y 5 8 8 7 11 3 10 4

Penyelesaian :
X Y X2 Y2 XY
2 5 4 25 10
3 8 9 64 24
2 8 4 64 16
5 7 25 49 35
6 11 36 121 66
1 3 1 9 3
4 10 16 100 40
1 4 1 16 4
24 56 96 448 198
7
8
56
3
8
24 ______
 YX
25,3
576768
752.4376.5
)24()96)(8(
)198)(24()96)(56(
2







a
a
25,1
576768
344.1584.1
)24()96)(8(
)56)(24()198)(8(
2







b
b
Cara 1.
Cara 2.
25,1
192
240
25,3
192
624
240)24)(56()198)(8(det
624)198)(24()96)(56(det
192)2424()96)(8(det
19824
568
96198
2456
9624
248
198
56
9624
248
2
1
21









































ba
A
A
A
AAA
b
a

Cara 3
a. Dari ketiga cara pengerjaan tersebut diperoleh nilai a = 3,25
dan nilai b = 1,25
b. Persamaan regresi linearnya adalah Y=3,25+1,25X
c. Nilai duga Y, jika X=3,5 adalah Y=3,25+1,25X
Y=3,25+1,25(3,5)
=7,625
25,3
)3(25,17
25,1
576768
344.1548.1
)24()96)(8(
)56)(24()198)(8(
2









a
a
b
b

Koefisien Determinasi (R2)
6696,0
016.86
600.57
)448)(192(
)240(
)136.3584.3()576768(
)344.1584.1(
))56()448(8()24()96(8(
))56)(24()198)(8((
))()(()()((
)))(())(((
2
2
2
2
22
2
2
2222
2
2










R
R
R
YYnXXn
YXXYn
R
Nilai determinasi (R2) sebesar 0,6696, artinya sumbangan atau pengaruh pegalaman
Kerja terhadap naik turunnya omzet penjualan adalah sebesar 66,96%. Sisanya 33,04%
Disebabkan oleh faktor lain yang tidak dimasukkan dalam model.

SELISIH TAKSIR STANDAR
(STANDAR DEVIASI)
 Angka indeks yg digunakan utk mengukur ketepatan
suatu penduga atau mengukur jumlah variasi titik-titik
observasi di sekitar garis regresi.
 Jika semua titik observasi berada tepat pada garis
regresi, selisih taksir standar sama dengan nol.
Menunjukkan pencaran data.
 Selisih taksir standar berguna mengetahui batasan
seberapa jauh melesetnya perkiraan dalam meramal
data.

RUMUS
2
)'(
2
)'(
2
./
2
./






n
YX
SeSS
atau
n
YY
SeSS
xyyx
yxxy
Keterangan :
Sy/x = Sx/y = Selisih taksir standar
Y = X = nilai variabel sebenarnya
Y’ = X’= nilai variabel yang diperkirakan
n = jumlah frekuensi

CONTOH :
• Hubungan antara variabel X dan variabel Y
a. Buatkan persamaan regresinya
b. Tentukan nilai duga Y, jika X = 8
c. Tentukan selisih taksir standarnya
X 1 2 3 4 5 6
Y 6 4 3 5 4 2

PENYELESAIAN
X Y X2
Y2
XY
1 6 1 36 6
2 4 4 16 8
3 3 9 9 9
4 5 16 25 20
5 4 25 16 20
6 2 36 4 12
21 24 91 106 75

















6
21
)5,0(
6
24
.
5,0
105
54
)21()91(6
)24)(21()75(6
)()(
))(()(
2
22
a
XbYa
b
b
XXn
YXXYn
b

a. Persamaan garis regresinya:
Y’ = 5,75 – 0,5 x
b. Nilai duga Y’, jika X=8
Y’ = 5,75 – 0,5 (8)
Y’ = 1,75
c. Selisih taksir standar
X Y Y' Y-Y' (Y-Y')2
1 6 5.25 0.75 0.5625
2 4 4.75 -0.8 0.5625
3 3 4.25 -1.3 1.5625
4 5 3.75 1.25 1.5625
5 4 3.25 0.75 0.5625
6 2 2.75 -0.8 0.5625
5.375
2,1
26
375,5
2
)'(
/
2
/






xy
xy
S
n
YY
S

REGRESI NON LINIER
• DEFINISI : regresi/trend non linier adalah regresi
yang variabel- variabelnya ada yang berpangkat.
Bentuk grafik regresi non linier adalah berupa
lengkungan. Bentuk-bentuk regresi non linier antara
lain regresi kuadratis atau parabola dan regresi
eksponensial.

REGRESI NON LINIER
• Regresi nonlinear Y atas X berbentuk lengkungan
A. Parabola kuadratis dengan persamaan
B. Parabola kubis dengan persamaan
C. Logaritmis dengan persamaan :
D. Hiperbola dengan persamaan :
b
aXY 
32
dXcXbXaY 
2
cXbXaY 
bXa
Y


1

PENGERTIAN INTERPOLASI

PENGERTIAN DAN TUJUAN INTERPOLASI
PENGERTIAN
Interpolasi adalah proses pencarian dan penghitungan nilai
suatu fungsi yang grafiknya melewati sekumpulan titik yang
diberikan. Titik – titik tersebut dapat diperoleh dari hasil
eksperimen dalam sebuah percobaan atau diperoleh dari
suatu fungsi yang diketahui.

Interpolasi adalah proses menemukan dan mengevaluasi sebuah fungsi yang grafiknya melalui beberapa
titik yang sudah diberikan. Fungsi yang dievaluasi paling banyak berupa polinomial.
Permasalahan dapat dijelaskan sebagai berikut :
Diberikan n+1 titik data yang berupa pasangan bilangan : (x0,y0), (x1,y1), … , (xnyn) dengan x0, x1, … , xn
semuanya berlainan. Akan dicari suatu polinom pn(x) yang pada setiap xi mengambil nilai f yang diberikan
yaitu :
pn(x0) = f0, pn (xi)= fi, …, pn(xn)= fn
Yang mempunyai derajat n atau kurang. Pn disebut penginterpolasi. Nilai – nilai xi sering disebut
simpul.
Nilai fi bisa berupa nilai – nilai fungsi matematis (tetapi nilai f(x) tidak di ketahui) atau nilai yang
diperoleh dari percobaan atau pengamatan. Polinom pn(x) digunakan untuk mendapatkan nilai- nilai
aprokmasi f(x) yang tidak dilakukan pengukuran.

Secara khusus terdapat 2 macam pengertian untuk interpolasi, yaitu :
 Interpolasi : x terletak di antara simpul – simpul yang ada
 Ektrapolasi : x tidak terletak di antara simpul – simpul  biasanya kurang cermat
Interpolasi dan ekstrapolasi digunakan untuk memprediksi suatu nilai dalam suatu fungsi yang belum
diketahui, dimana fungsi itu bersifat kontinyu dalam interval tertentu

INTERPOLASI

PERBEDAAN INTERPOLASI DAN EKSTRAPOLASI

MACAM – MACAM INTERPOLASI POLINOMIAL
Ada beberapa macam interpolasi, yaitu sebagai berikut :
a. Interpolasi Linier
b. Interpolasi Kuadratik
c. Interpolasi Beda Terbagi Newton
d. Intepolasi Lagrange

x0 x1
x
f(x)
L(x)
Interpolasi Linier

INTERPOLASI LINIER
Interpolasi linear merupakan interpolasi yang
diperoleh dengan cara menghubungkan dua titik yang
mengapit daerah yang akan dicari interpolasinya.
Interpolasi linear atau interpolasi lanjar adalah
interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus.
Misal diberikan dua buah titik, (x0,y0) dan (x1,y1).
Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah
persamaan garis lurus yang berbentuk:
𝑃 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥

Garis lurus yg menginterpolasi titik – titik (x0,y0) dan (x1,y1)

Koefisien 𝑎0 dan 𝑎1 dicari dengan proses substitusi dan eliminasi. Dengan mensubstitusikan (𝑥0, 𝑦0) dan
(𝑥1, 𝑦1) ke dalam persamaan 𝑝1 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 diperoleh dua persamaan linear:
𝑦0 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥0 . . . . . . . (1)
𝑦1 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥1 . . . . . . . (2)
Dari dua persamaan diatas, dengan eliminasi diperoleh :
𝑦0 − 𝑦1 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥0 − (𝑎0+𝑎1 𝑥1)
𝑦0 − 𝑦1 = 𝑎1 𝑥0 − 𝑎1 𝑥1 ⇔ 𝑦0 −𝑦1 = 𝑎1(𝑥0−𝑥1)
⇔ 𝑎1 =
𝑦0−𝑦1
𝑥0−𝑥1
Substitusikan nilai 𝑎1 ke dalam persamaan (1), diperoleh:

𝑦0 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥0
⇔ 𝑦0= 𝑎0 +
𝑦0−𝑦1
𝑥0−𝑥1
𝑥0
⇔ 𝑦0= 𝑎0 +
𝑥0 𝑦0−𝑥0 𝑦1
𝑥0−𝑥1
⇔ 𝑦0= 𝑎0 +
𝑥0 𝑦0−𝑥0 𝑦1
𝑥0−𝑥1
⇔ 𝑎0= 𝑦0 −
𝑥0 𝑦0−𝑥0 𝑦1
𝑥0−𝑥1
⇔ 𝑎0=
𝑦0(𝑥0−𝑥1)−𝑥0 𝑦0+𝑥0 𝑦1
𝑥0−𝑥1
⇔ 𝑎0=
𝑥0 𝑦0−𝑥1 𝑦0−𝑥0 𝑦0+𝑥0 𝑦1
𝑥0−𝑥1
⇔ 𝑎0=
𝑥0 𝑦1−𝑥1 𝑦0
𝑥0−𝑥1
Dengan melakukan manipulasi aljabar untuk menentukan nilai
𝑝1 𝑥 dapat dilakukan sebagai berikut:

𝑝1 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥
𝑝1 𝑥 =
𝑥1 𝑦0 − 𝑥0 𝑦1
𝑥1 − 𝑥0
+
𝑦1 – 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
𝑥
𝑝1 𝑥 =
𝑥1 𝑦0 − 𝑥0 𝑦1 + 𝑥𝑦1 – 𝑥𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
𝑝1 𝑥 =
𝑥1 𝑦0 − 𝑥0 𝑦1 + 𝑥𝑦1 – 𝑥𝑦0 + (𝑥0 𝑦0 − 𝑥0 𝑦0)
𝑥1 − 𝑥0
𝑝1 𝑥 =
𝑥1 𝑦0 − 𝑥0 𝑦0 − 𝑥0 𝑦1 + 𝑥𝑦1 – 𝑥𝑦0 + 𝑥0 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
𝑝1 𝑥 =
𝑦0 𝑥1 − 𝑥0 + 𝑦1 (𝑥 − 𝑥0) – 𝑦0(𝑥 − 𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
𝑝1 𝑥 =
𝑦0 𝑥1 − 𝑥0 + (𝑦1− 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
𝑝1 𝑥 = 𝑦0 +
(𝑦1− 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
⇔

Dalam menentukan persamaan dari interpolasi linear juga dapat dilakukan melalui cara
berikut:
Menentukan titik-titik antara dari 2 buah titik dengan menggunakan garis lurus.
Gambar. Interpolasi Linier
Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1 (x0,y0) dan P2
(x1,y1) dapat dituliskan dengan:
𝑦 − 𝑦0
𝑦1 − 𝑦0
=
𝑥 − 𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linear sebagai
berikut:
𝑦 =
𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
𝑥 − 𝑥0 + 𝑦0

Algoritma Interpolasi Linear
1. Tentukan nilai 𝑥0, 𝑦0, 𝑥1, dan 𝑦1.
2. Periksa apakah 𝑥0 = 𝑥1. Jika ya, maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya
tidak terdefinisi dalam kondisi ini. Jika tidak, maka dilanjutkan ke langkah 3.
3. Masukkan nilai x.
4. Periksa apakah min x0, x1 ≤ x ≤ max x0, x1 . Jika tidak, maka masukkan nilai 𝑥
yang lain. Jika ya, maka dilanjutkan langkah 5.
5. Hitung P = y0 + (x − x0)
y1−y0
x1−x0
.
6. Periksa apakah y0 = y1. Karena jika sama, maka akan diperoleh P = y0.
7. Tulis hasil 𝑦 = P.

Contoh Soal 1
1. Perkirakan atau prediksi jumlah penduduk Purworejo pada tahun 2005
berdasarkan data tabulasi berikut:
Tahun 1990 2000
Jumlah
Penduduk
187.900 205.700

Penyelesaian:
Dipunyai: x0 = 1990, x1 = 2000, y0 = 187.900, y1 = 205.700.
Ditanya: Prediksi jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 1995.
Ingat :
𝑝1 𝑥 = 𝑦0 +
(𝑦1− 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
Misalkan 𝑥 = 1995
𝑝1 2005 = 187.900 +
(205.700 − 187.900)(1995 − 1990)
2000 − 1990
𝑝1 2005 = 196.800
Jadi, diperkirakan jumlah penduduk Purworejo pada tahun 1995 adalah 196.800 orang.
Tahun 1990 2000
Jumlah Penduduk 187.900 205.700

Contoh Soal 3
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi
kecepatan. Data percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara
kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan.
Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kenderaan yang
melaju dengan kecepatan 45 mil/jam.

Maka untuk mencari nilai x=45 maka,
𝑓1 𝑥 = 𝑓 𝑥0 +
𝑓 𝑥1 −𝑓 𝑥0
𝑥1− 𝑥0
(𝑥 − 𝑥0)
𝑓1 45 = 65 +
90−65
50− 40
(45 − 40)
𝑓1 45 = 65 +
25
10
(5)
𝑓1 45 = 65 + 12,5
𝑓1 45 = 77,5 𝑓𝑒𝑒𝑡

Dari data ln(9.0) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513, tentukan ln(9.2)
dengan interpolasi linier sampai 4 desimal. Bandingkan hasil
yang diperoleh dengan nilai sejati ln(9.2)=2.2192.
Contoh Soal 2

Dipunyai:
𝑥0 = 9.0, y0 = 2.1972.
𝑥1 = 9.5, y1 = 2.2513.
Ditanya : tentukan nilai ln(9.2) sampai 5 angka bena kemudian dibandingkan dengan
nilai sejati ln(9.2) = 2.2192.
Ingat:
𝑝1 𝑥 = 𝑦0 +
(𝑦1− 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
𝑝1 9.2 = 2.1972 +
( 2.2513 − 2.1972)(9.2 − 9.0)
9.5 − 9.0
𝑝1 9.2 = 2.21884
Galat = nilai sejati ln(9.2) – nilai ln(9.2) hasil perhitungan dengan metode interpolasi
linear
Galat = 2.2192 – 2.21884 = 3,6 x 10-4 .

Alhamdulillah….

Regresi dan interpolasi

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à Regresi dan interpolasi

Similaire à Regresi dan interpolasi (20)

Dernier

Dernier (19)

Regresi dan interpolasi