Nos centraremos en las ecuaciones paramétricas, las cuales nos permiten el representar curvas o superficies en el plano o espacio, mediante una variable llamada parámetro.

1. Ecuaciones Paramétricas.
República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria.
Instituto Politécnico Universitario “Santiago Mariño”.
Escuela de arquitectura.
Sede - Barcelona.
Profesor:
Pedro Beltrán.
Estudiante:
Ivana Montilla.
C.I: 26.971.894.
Carrera: Arquitectura.Barcelona, octubre 2020.

2. Introducción.
Mediante esta presentación se desea inculcar todo el conocimiento
posible, respecto a las “ecuaciones paramétricas”, pero antes de
profundizar sobre este tema, se dará un repaso general a lo que
conocemos sobre el álgebra vectorial. Se hablara no solo de su
origen, sino también de sus 3 fundamentos y principales sistemas.
Luego nos centraremos en las ecuaciones paramétricas, las cuales
nos permiten el representar curvas o superficies en el plano o
espacio, mediante una variable llamada parámetro.
Ya sabiendo sus definición, con la ayuda del algún ejemplo,
seguiremos explicando el cómo de desarrolla su graficación con
estas ecuaciones paramétricas, mostrado algunas curvas y su
representación.
También se hablara un poco del cómo trasformar estas ecuaciones
paramétricas a cartesianas con su respectivo ejemplo, además de
que se explicar para concluir, la longitud de arco en ecuaciones
paramétricas.
2

3. Generalidades
del álgebra
vectorial.
El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas
encargada de estudiar sistemas de ecuaciones lineales,
vectores, matrices, espacios vectoriales y sus
transformaciones lineales.
3
Esta se originó del estudio de los cuaterniones: 1, i, j y k, así como también
de la geometría cartesiana promovida por Gibbs y Heaviside, quienes se
dieron cuenta de que los vectores servirían de instrumento para
representar varios fenómenos físicos.

4. “
4
El álgebra vectorial es estudiada a través de 3 fundamentos:
Los vectores son
representados por rectas que
tienen una orientación, y las
operaciones como suma,
resta y multiplicación por
números reales son definidas
a través de métodos
geométricos.
Geométricamente. Analíticamente.
La descripción de los vectores
y sus operaciones es
realizadas con números,
llamados componentes. Este
tipo de descripciones es
resultado de una
representación geométrica
porque se utiliza un sistema
de coordenadas.
Axiomáticamente.
Se hace una descripción de
los vectores,
independientemente del
sistema de coordenadas o de
cualquier tipo de
representación geométrica.

5. Estudio de
figuras en el
espacio.
Se hace a través de su representación en un sistema de
referencia, que puede ser en una o más dimensiones. Entre
los principales sistemas se encuentran:
5
Sistema Unidimensional.
Se trata de una recta donde un punto (O)
representa el origen y otro punto (P)
determina la escala (longitud) y el sentido de
esta.
Sistema de coordenadas rectangulares
(bidimensional).
Está compuesto por 2 rectas
perpendiculares llamadas eje X y eje Y, que
pasan por un punto (O) origen; de esa forma
el plano queda dividido en 4 regiones
llamadas cuadrantes. En este caso un punto
(P) en el plano es dado por las distancias que
existen entre los ejes y P

6. Estudio de
figuras en el
espacio.
Sistema de coordenadas polares
(bidimensionales).
El sistema es compuesto por un punto O
(origen) que es llamado polo y una
semirrecta con origen en O llamada eje
polar. En este caso el punto P del plano, con
referencia al polo y al eje polar, es dado por
el ángulo (), que se forma por la distancia
que existe entre el origen y el punto P.
6
Sistema tridimensional rectangular.
Formado por 3 rectas perpendiculares (x, y,
z) que tiene como origen un punto O en el
espacio. Se forman 3 planos coordenados:
xy, xz y yz; el espacio quedará dividido en 8
regiones llamadas octantes. La referencia de
un punto P del espacio es dada por las
distancia que existen entre los planos y P.

7. Una ecuacion paramétrica permite
representar una o varias curvas o superficies
en el plano o en el espacio, mediante valores
arbitrarios o mediante una constante, llamada
parámetro, en lugar de mediante una variable
independiente de cuyos valores se desprenden los de
la variable dependiente.
7
Ecuaciones Paramétricas. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se
usa un parámetro de tiempo (t) para determinar
la posición y la velocidad de un móvil.
Puede describirse una hélice con la ecuación
paramétrica  (t)= 5 cos 𝑡 , 5 sin(𝑡 , 𝑡/5). Al
variar el valor de t, se obtienen los distintos punto
de curva.
Estas ecuaciones se representan en la siguiente forma
general:
x= F(z)
y= F(z)
Es muy importante aclarar que cada 2 ecuaciones
paramétricas representan una sola curva
perfectamente referida a un sistema de ejes
cartesianos

8. Ejemplo:
Dada la ecuación y= 𝑥2
, una parametrización tendrá la
forma
ቊ
𝑥 = 𝑢 (𝑡)
𝑦 = 𝑣 (𝑡)
, 𝑡 ∈ 𝑅
Una parametrización posible sería ൜
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 𝑡2 , 𝑡 ∈ 𝑅
8
Ecuaciones Paramétricas. Con el ejemplo dado, el punto (2,4) de la curva
aparecería en la primera parametrización cuando
t=2, y en el segundo cuando U=1.
Cuando se toma un intervalo en el eje t, los
puntos c(t)= (t, 𝑡2
) describen una parábola.
Se debe destacar que para cada curva existen infinitas
parametrizaciones posibles. Una en donde x e y
equivaliesen a 2U y 4𝑈2
con U ∈ 𝑅, respectivamente, sería
igualmente valida. La diferencia seria que, para encontrar
un punto determinado (a,b) de la curva, el valor del
parámetro sería diferente en cada caso.

9. Gráfica de ecuaciones paramétricas.
Todos estamos familiarizados
con las ecuaciones del
tipo y=f(x) y sus gráficas.
Dependiendo de función de la
que se trate, las gráficas pueden
ser líneas rectas, secciones
cónicas (círculo, elipse,
parábola, hipérbola),
Un tipo de ecuación que permite
obtener gráficos de formas muy
diferentes variando solo el
valor de algunos parámetros
son las llamadas ecuaciones
paramétricas. En estas
ecuaciones, tanto x como y son
funciones de un parámetro
usualmente denominado t. Por
ejemplo, un conjunto de
ecuaciones paramétricas que
representan un círculo son:
Dado un valor de t, se obtienen valores de x y de y correspondientes. Como ya
he dicho las gráficas de ecuaciones paramétricas resultan ser curvas con una
presentación singular. Por ejemplo, una ecuación como la siguiente:
Puede tomar una gran cantidad de formas diversas dependiendo del valor del
cociente entre a y b. Las figuras a continuación son el resultado de variar este
cociente.

10. Gráfica de
ecuaciones
paramétricas.
10
Algunas curvas y su
representación.
Circunferencia.
Sea la circunferencia de centro en O y radio a. Sean además M(x, y) un punto de la curva y
Se tiene, como ecuaciones paramétricas de
la circunferencia:
x= a cos 𝜃
y= a sin 𝜃

11. Gráfica de
ecuaciones
paramétricas
11
Algunas curvas y su
representación.
Cicloide.
Es la curvatura descrita por un
punto fijo de una
circunferencia que rueda, sin
resbalar, a lo largo de una
recta fija.
Tómese al eje x como la recta
fija OX sobre la cual se hace
rodar la circunferencia de
centro C y radio r, y sea M el
punto fijo que describe la
curva.
Teniendo presente que cuando la medida del ángulo se da en radianes, el arco es igual al
radio multiplicado por el número que mide el ángulo, se puede escribir:
x= OP= OT- MN= r- 𝑟 sin 𝜃 ;
y= PM= TC- NC= r- 𝑟 cos 𝜃 ;
De donde:
x= 𝑟(𝜃 − 𝑟 sin 𝜃);
Y= 𝑟(1 − cos 𝜃);
Que son las ecuaciones paramétricas de la cicloide.
En el momento en que
empieza a rodar la
circunferencia, el punto M
coincide en el origen con T,
punto de contacto de la
circunferencia con OX.
Cuando M y T lleguen a A,
cada punto habrá hecho un
recorrido igual a 2r, es
decir, en todo instante
genérico, la distancia OT es
igual al arco TM.

12. Gráfica de
ecuaciones
paramétricas.
12
Algunas curvas y su
representación.
Hipocicloide.
Es la curvatura que
describe un punto fijo de
una circunferencia que
rueda, sin resbalar,
permaneciendo siempre
tangente interiormente a
otra circunferencia fija.
Sea a el radio de la circunferencia fija de centro
O, b el radio de la circunferencia menor, de
centro O, rueda, permaneciendo siempre
tangente a la circunferencia mayor, M el punto
fijo de la circunferencia menor, que describe la
hipocicloide, y T el punto de tangente.
En A coinciden M y T. cuando M haya descrito la
arcada AB; habrá girando 360º, y el punto T
habrá recorrido el arco AB; o sea: arco AB= 2b.
Por la figura se tiene, designado por  el ángulo O’MN:
𝑥 = 𝑂𝑃 = 𝑂𝑄 + 𝑁𝑀 = 𝑂𝑂′ cos 𝜃+ O’Mcos 𝜑 ; (1)
𝑦 = 𝑃𝑀 = 𝑄𝑂′
− 𝑁𝑂′
= 𝑂𝑂′ sin 𝜃- O’Msin 𝜑. (2)
Conviene expresar el ángulo  en función de  para que figure un parámetro solamente.

13. Gráfica de
ecuaciones
paramétricas.
13
Algunas curvas y su
representación.
Hipocicloide.
El ángulo ’ es exterior al triangulo OO’R; por tanto:
’= áng O’OR+ áng O’RO=𝜑+ ;
O sea: 𝜑 =’- . (3)
Además, por la manera de ser generada la curva, el arco AT es igual al arco MT; de donde:
𝑎𝜃 = 𝑏𝜃′
, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟: 𝜃′
=
𝑎
𝑏
𝜃;
Valor que, sustituido en (3) da:
𝜑 =
𝑎
𝑏
𝜃 − 𝜃 =
𝑎 − 𝑏
𝑏
𝜃.
Sustitúyase  por este valor, OO’ por a-b, O’M por b, en (1) y (2); se obtiene:
𝑥 = 𝑎 − 𝑏 cos 𝜃 + 𝑏 cos
𝑎 − 𝑏
𝑏
𝜃;
𝑦 = 𝑎 − 𝑏 sin 𝜃 − 𝑏 sin
𝑎 − 𝑏
𝑏
𝜃;
Que son las ecuaciones paramétricas de la hipocicloide.

14. Gráfica de
ecuaciones
paramétricas
14
Algunas curvas y su
representación.
Astroide.
Si los radios de las
circunferencias que
intervienen en la generación
de la hipocicloide son
inconmensurables, la curva
no vuelve a pasar por el punto
inicial A. pero, si los radios a y
b son conmensurables,
resulta una curva cerrada.
En el caso particular de b=(1/4)a, se obtiene una curva llamada astroide.
Las ecuaciones paramétricas de esta curva se deducen de las hipocicloides, sustituyendo
b por (1/4)a y después reduciendo queda:
𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠3
𝜃;
𝑦 = 𝑎𝑠𝑖𝑛3
𝜃
Que son las ecuaciones paramétricas de la astroide.

15. 15
Otras gráficas de curvas con sus respectivas ecuaciones
paramétricas.

16. Transformar las paramétricas a las cartesianas.
Con este sistemas de referencia y una unidad de medida métrica (para poder
asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano
corresponde a un par ordenado( r, ) donde r es la distancia de P al origen y  es
el ángulo formado entre el eje polar y recta dirigida OP que va de O a P.
Es un sistema de coordenadas bidimensionales en el cual cada punto del plano se
determina por un ángulo y una distancia.
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen
o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje
polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia.
El valor  crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r
(r  0) se conoce como la coordenada radial o radio vector, mientras que el
ángulo es la coordenada angular o ángulo polar.
En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de  es indefinido. En
ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).

17. 17
Transformar las paramétricas a las cartesianas.
Dada la función en forma paramétrica:
𝑓: ൝ 𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 5𝑠𝑒𝑛2
𝜃
Obtén la función en forma cartesiana, determina el dominio y el rango, la gráfica e identifica a la función.
Función en forma cartesiana. 𝑓: ൝ 𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 5𝑠𝑒𝑛2
𝜃
Despejando a cos y 𝑠𝑒𝑛2
𝜃:
𝑥
5
= cos 𝜃
𝑦
5
= 𝑠𝑒𝑛2
𝜃
Utilizando identidad trigonométrica:
𝑐𝑜𝑠2
𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 = 1
𝑥2
5
+
𝑦
5
= 1
𝑥2
+ 𝑦
5
= 1𝑥2
+ 𝑦 = 5 𝑓: ቄ 𝑥2 = −𝑦 + 5

18. 18
Transformar las paramétricas a las cartesianas.
Dominio y rango
𝑦 = − 𝑥2
+ 5
Dominio: R
Rango: (−∞, ሿ5
𝑓: ሼ 𝑥2
= −𝑦 + 5 X Y
-2 1
-1 4
0 5
1 4
2 1

19. 19
Transformar las paramétricas a las cartesianas.
Gráfica de la función. Parábola vertical V(0,5) que abre hacia abajo
𝑥2
= −(𝑦 − 5)

20. “En matemáticas, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o
camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.
Para encontrat la longitud de arco de una curva, construimos una integral de la forma:
20
Longitud de arco en ecuaciones paramétricas.
න (𝑑𝑧)2 + (𝑑𝑦)2
Cuando z y y son funciones de una nueva variable, el parámetro t.
Para poder usar la integral de longitud de arco, primero
calculamos las derivadas de ambas funciones y obtenemos dz y
dy en términos de dt.
𝑑𝑥 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑦 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Se sustituye estas expresiones en la integral y factoría el termino 𝑑𝑡2
fuera del radical.

21. “Calcular la longuitud de arcos de una curva pero expresando parametros
Sea la curva L. Determinar su longitud.
21
Longitud de arco de ecuaciones paramétricas.
ቊ
𝑥 = 𝑓′(𝑡)
𝑦 = 𝑔(𝑡)
𝐿 = න
𝑎
𝑏
1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)2 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑓′
𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑔′(𝑡)
= න 1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
. 𝑑𝑡
𝐿 = න (
𝑑𝑥
𝑑𝑡
)2 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
)2 𝑑𝑡 = න (
𝑑𝑥
𝑑𝑡
)2 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
)2 𝑑𝑡
𝐿 = න
𝑡1
𝑡2
(𝑓′ 𝑡 )2 + (𝑔′ 𝑡 )2 𝑑𝑡
Resultado:

22. Conclusión.
Podemos concluir en que las ecuaciones paramétricas son de suma
importancia, ya que en la misma radica el que permite tratar como
funciones a curvas que no lo son si se las considera dentro del sistema de
coordenadas clásico, como por ejemplo las circunferencias y elipses. Aun
así. Es también útil para facilitar cálculos en sistemas de 4 o más variables,
que no poseen representación gráfica.
22

23. 23
Anexos.
❑ Ecuaciones paramétricas- grafica por tabulación – Ejercicio
resuelto.
https://www.youtube.com/watch?v=gWz1HHNiaVQ
❑ Como pasar una ecuación en forma paramétrica a cartesiana.
https://www.youtube.com/watch?v=DJVgP_fD4YQ
❑ Longitud de arco- Ecuaciones paramétricas.
https://www.youtube.com/watch?v=JDZrHSxkXkM

24. Bibliografía.
❑ Como parar de una ecuación en forma paramétrica a cartesiana. . (julio 15, 2016). Tus
matemáticas. YouTube. Recuperado de https://you.be/DJVgP_fD4YQ
❑ Cronytech0. (Diciembre 4, 2016). Gráficas de ecuaciones paramétricas: simplicidad y
belleza. wordpress.com. Recuperado de
https://cronytech.wordpress.com/2016/12/04/graficas-de-ecuaciones-parametricas-
simplicidad-y-belleza/
❑ Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. (s.f.) Tema 2.pdf.
Recuperado de http://cursos.aiu.edu/Matematicas%20Superiores/PDF/Tema%202.pdf
❑ D’Alessio, Torres. V. J. (s.f.). Álgebra Vectorial: Fundamentos, Magnitudes, Vectores.
Lifeder.com. Recuperado de https://w.w.w.lifeder.com/algebra-vectorial-fundamentos-
magnitudes-vectores/
❑ Ecuaciones paramétricas. (s.f.). CALCULO VECTORIAL. Recuperado de
https://sites.google.com/site/calculovectorial001/primer-parcial/ecuaciones-parametricas

25. Bibliografía.
❑ Ecuación paramétrica. (s.f). En Wikipedia. Recuperado el 16 de octubre del 2020 de
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9trica
❑ Elixhg. (noviembre 8, 2019). Ecuaciones paramétricas. SlideShare.net. Recuperado de
https://es.slideshare.net/Elixhg/ecuaciones-paramtricas-191772054
❑ González, G. José. I. (noviembre 10, 2019). Ecuaciones paramétricas. SlideShare.net.
Recuperado de https://es.slideshare.net/josegonzalez1606/mate3-191946591
❑ Villena, Muñoz. M. (s.f.). Grafica de curvas cuya ecuaciones están dadas en forma
paramétrica. Ecuaciones paramétricas (pp. 2). Recuperado de
https://www.google.com/search?q=grafica+de+curvas+parametricas&tbm=isch&ved=2ahU
KEwii3KmiucHsAhVFtFMKHYkgD6kQ2-cCegQIABAA