Guía de clase, bloque 3, tercer grado

103
PATRONES Y ECUACIONES
• Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación
de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones.
FÓRMULA GENERAL. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Hemos visto que algunas ecuaciones de segundo grado pueden resolverse por tanteo,
otras utilizando la factorización o con la transposición de términos.
Hay ecuaciones que se dificulta su solución con estos procedimientos. En estos casos es
conveniente usar una fórmula general con la que podemos resolver cualquier ecuación.
Esta fórmula se expresa de la siguiente manera.
-b ± √ b² - 4ac
2a
PROBLEMA EJE: Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado usando la fórmula.
5x² - 8x = -3
5x² - 8x + 3 = 0 Igualamos a 0, cambiando -3 al primer miembro como +3.
a = 5 b = -8 c = 3 El valor de “a” en la fórmula es el coeficiente de x².
El valor de “b” es el coeficiente de x.
El valor de “c” es el término independiente.
Aplicamos la fórmula cuadrática o fórmula general de ecuaciones de segundo grado.
-b ± √ b² - 4ac
2a
- ( -8 ) ± √ (-8)² - 4(5)(3) Sustituimos en la fórmula los valores de a, b y c.
2(5)
+8 ± √ 64 – 60 Simplificamos con operaciones el radicando y el denominador.
10 -(-8) = +8 (-8)² = (-8)(-8) = 64 (-4)(5)(3) = -60
+8 ± √ 4 Encontramos la raíz de 4.
10
+8 ± 2 Sumamos y restamos el 2 con el 8.
10
8 + 2 8 - 2
10 10
10 6
10 10
3 La ecuación tiene dos valores.
5
x =
x =
x =
x =
x =
x =
x1 =
x1 =
x1 = 1
x2 =
x2 =
x2 =
BLOQUE 3
Identificamos en la ecuación los
valores de a, b y c.

103
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado aplicando la fórmula general.
2x² + 7x - 4 = 0 3x² - 10x - 8 = 0 4x² + 3x – 22 = 0
a = b = c = a = b = c = a = b = c =
x² + 11x + 24 = 0 x² - 16x + 63 = 0 x² - 3x + 2 = 0

103
x² - 2x – 15 = 0 4x² - 20x + 24 = 0 x² - 4x – 21 = 0
4x² + 4x = 15 x² + 7x = 44 6x² + 6x = 12

103
DISCRIMINANTE DE LA FÓRMULA GENERAL
La expresión: b² - 4ac que se encuentra dentro del radical en la fórmula, se le conoce con
el nombre de discriminante.
Cuando usamos la fórmula cuadrática general, es conveniente primero hacer las
operaciones del discriminante. EJEMPLO:
PROBLEMA: Resuelve la ecuación: x² - x + 2 = 0
Primero operamos con el discriminante.
a = 1 b = -1 c = 2
b² - 4ac
(-1)² -4(1)(2)
1 – 8 =
-7 Como el discriminante es negativo, éste no tiene raíz
cuadrada, por lo tanto, la ecuación no tiene solución real.
1.- En las siguientes ecuaciones, opera primero con el discriminante de la fórmula
general, para que enseguida resuelvas las 4 ecuaciones que si tienen solución real.
2x² + 6x + 5 = 0 5x² + 2x + 1 = 0 x² - 2x – 48 = 0
4x² + 8x – 252 = 0 9x² - 6x + 1 = 0 x² - 8x + 16 = 0

103
2.- Utiliza las ecuaciones de segundo grado para resolver los siguientes problemas. Aplica
la fórmula general. Trabaja primero con el discriminante.
x
x + 2
PROBLEMA 1.- El largo de una sala es 2
metros más grande que su ancho. El área es
de 80 m².
¿Cuánto mide de largo? ______________
¿Cuánto mide de ancho? _____________
PROBLEMA 2.- El ancho de un rectángulo es
4 cm más pequeño que su largo. Su área es
de 320 cm².
¿Cuánto mide de largo? ______________
¿Cuánto mide de ancho? _____________
PREGUNTA: Encuentra la
medida del largo y el
ancho.
RESPUESTA

103
4.- Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas aplicando la fórmula general.
x² + 6x + 9 = 0 x² - 6x – 72 = 0 2x² - 20x + 48 = 0
PROBLEMA 3.- Encuentra 3 números
consecutivos cuyos cuadrados sumen 77.
Un número: x
Número consecutivo: x + 1
Siguiente número consecutivo: x + 2
x² + (x + 1)² + (x + 2)² = 77
PROBLEMA 4.- El producto de dos números
consecutivos es 552. ¿Cuáles son esos
números?

103
2x² + 6x – 80 = 0 4x² + 12x -7 = 0 x² - 13x + 40 = 0
6.- EL APRETÓN DE MANOS.
Todas las personas que asistieron a una reunión
se estrecharon la mano. En total fueron 66
apretones de manos.
¿Cuántas personas asistieron a la reunión?
SOLUCIÓN:
Cada una de las personas: x
Las otras personas: x – 1
Total de apretones: x (x – 1)
Cuando Jurado le da la mano a Colunga,
Colunga estrecha la mano de Jurado.
Esto significa que de dos personas solo
se dan un apretón de mano. Por eso, el
número de apretones es la mitad de x(x - 1).
En consecuencia resulta la siguiente ecuación:
x (x – 1)
2
= 66
NOTA: El resultado positivo será el
que tiene sentido.
5.- PROBLEMA: Iván tiene “x”
cantidad de pesos y Alonso tiene 4
pesos menos que Iván. El cuadrado
de la cantidad de pesos de Iván más
el cuadrado de la cantidad de pesos
de Alonso es igual a 656.
¿Cuánto dinero tiene cada uno?

103
FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS
• Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución
de problemas.
SEMEJANZA
a) Que son figuras semejantes porque tienen
la misma forma aunque diferente tamaño.
b) Que los lados homólogos de los triángulos
son proporcionales:
3 x 8 = 6 x 4
24 = 24
4 a
8 10
10
6
4
Son lados homólogos los que miden: 3
y 6; 4 y 8; a y 10.
Para encontrar la medida del lado “a”
del primer triángulo, aplicamos una
proporción con los lados homólogos de
las dos figuras y resolvemos.
a
83
=
3 4
6 8=
Una manera que puede resultar más fácil
para encontrar la medida de “a”, es por medio
de la equivalencia de fracciones para
encontrar el factor constante. EJEMPLO:
Establecemos la proporción con los lados
homólogos:
4 a
8 10
Buscamos el factor constante dividiendo 10 ÷
8 = 1.25, para ver por cuánto se multiplicó el
8 para que nos diera 10.
Multiplicamos 4 por el factor constante:
4 x 1.25 = 5
a = 5
=
“El producto de
los medios es
igual al producto
de los extremos”
Cuando construimos triángulos o cualquier otra
figura con las mismas medidas de sus ángulos,
independientemente de la longitud de sus
lados, observamos lo siguiente:
PROBLEMA: Encuentra la medida de
“a” en los siguientes triángulos que son
semejantes.

103
(8)(a) = (4)(10)
8a = 40
a =
a = 5
OTRO EJEMPLO: Encuentra la medida de “b” en los siguientes triángulos semejantes.
1.- La fotografía que aparece en la credencial de elector del Profesor Néstor mide 4 cm de
largo por 3 cm de ancho. Se desea ampliar la fotografía con una escala de 2 a 1, es decir,
que el lado homólogo del lado que mide 4 cm, mida 8 cm. ¿Cuánto deberá medir el otro
lado? ______________
a) Representa enseguida con unidades cuadradas enseguida los dos rectángulos, el de la
foto original y el de la foto ampliada. Enseguida compara las dos figuras y contesta.
b
7 cm14 cm
8 cm
40
8
¿Cambió el tamaño? _______
¿Cuánto aumentó cada lado en relación al
lado original? ________________
¿Cambió la forma? _______
¿Cómo son ambas fotografías, iguales o
semejantes? ________________
14
7
8
b
=
14b = (7)(8)
14b = 56
b =
b = 4
56
14
CON FACTOR
CONSTANTE
7 ÷ 14 = 0.5
0.5 x 8 = 4

103
¿Con cuál número completas la siguiente proporción que representa a este problema?
4 3 Puedes encontrarlo con la constante.
8 x x = _____
k = = .75
2.- Ahora se pretende que una fotografía de 6 x 3 cm, se amplíe de tal manera que el lado
homólogo del lado que mide 6 cm, mida 8 cm. ¿Cuánto deberá medir el otro lado?
a) Dibuja enseguida los dos rectángulos, el de la foto original y el de la foto ampliada.
Encuentra el lado que falta con la siguiente proporción. Utiliza también la constante.
6 3
8 x
=
=
34

103
¿Cómo son ambas fotografías? ________________________
¿Cuánto aumentó cada lado? u
¿Cambió la forma? _________ ¿Cuántos lados homólogos tienen las fotos? ______
b) Ahora representen en un mismo plano las dos fotografías anteriores, sobreponiendo
una sobre la otra y haciendo que coincidan en uno de sus vértices, es decir en el punto 0.
0
Traza la diagonal a partir del punto cero de las coordenadas con las fotografías y verás
que los tres puntos están alineados.
3.- Observa en el siguiente triángulo sus características.
a) Que es un triángulo rectángulo.
6
8
8
6

103
b) Que tiene un ángulo que mide 90° y dos que miden 45°.
c) Que dos de sus lados miden 5 unidades.
Enseguida haz lo que se indica.
A la derecha del triángulo, dibuja otros tres con diferentes medidas de sus lados, pero
que sus tres ángulos midan lo mismo.
¿Cómo es la forma de todos los triángulos? _________________________
¿Todos los triángulos son semejantes o iguales? ____________________
¿Cuántas unidades miden en su base los lados homólogos de los triángulos? _________
¿Por qué los lados de los triángulos son proporcionales? __________________________
________________________________________________________________________
4.- En los siguientes pares de dibujos se encuentran figuras que son semejantes.
Ilumínalas y escribe los lados homólogos que se piden.
Lados homólogos:
7 con _________
c con ______
3.71 con _______
45 m
xb
b
2.4 m7 m
1.272
c
3.71

103
Lados homólogos:
75 con ________
x con ________
b con ________
Lados homólogos:
50 con __________
m con __________
(x + 5) con __________
Lados homólogos:
s con _____
d con _____
60 con ________
SEMEJANZA
PROBLEMA: Identifica los lados homólogos proporcionales en la siguiente figura.
MP es paralela a BC.
El lado AC es homólogo con el lado AP.
El lado AB es homólogo con el lado AM.
El lado CB es homólogo con el lado PM.MBA
C
P
37 m13 m
x + 5
87.46 m
75 m
400 m
b
144
60
d
m
s
a
m
a

103
Al separar los dos triángulos que forman la figura podemos comprobar que sus lados
homólogos son proporcionales.
3 4
6 8
3 x 8 = 6 x 4
24 = 24
3 y 6 son lados homólogos.
4 y 8 también son lados homólogos.
• Dos triángulos son semejantes si sus lados homólogos son proporcionales.
• Dos triángulos son semejantes si sus ángulos homólogos son iguales.
PROBLEMA: ¿Cuál es la medida de x en la siguiente figura?
Los lados homólogos son los que miden: 75 y 400
45 y "x”
Los lados homólogos son: 75 y 400 45 y “x”
PROPORCIÓN
75 45 Ahora con el factor constante (k) o fracciones equivalentes.
400 x Dividimos 45 ÷ 75 para encontrar el factor constante.
400 x 45 k = = 0.6
75
x = 240 Multiplicamos 400 por el factor constante: (400)(0.6) = 240
1.- Encuentra el término que falta en las siguientes proporciones. Utiliza los productos
cruzados: “El producto de los medios es igual al producto de los extremos”. EJEMPLO:
4 8
26
x
=
45 m
75 m
400 m
x
6
3
=
=
x =
45
75
13
4
x = (26)(4)
13
x = 104
13
16
x
=
2
7
7
x
=
14
8
27
x
=
3
5
Para resolver el problema, aplicamos la proporción considerando los
lados que son homólogos en los dos triángulos.

103
2.- Encuentra el término que falta en las siguientes proporciones. Aplica la equivalencia de
fracciones con el factor constante. EJEMPLO:
Di
Dividimos:
26 ÷ 13 = 2
Multiplicamos:
(2)(4) = 8
x = 8
3.- Calcula la medida señalada con x en cada pareja de triángulos. Establece la
proporción en cada caso, y enseguida, puedes aplicar los productos cruzados o el factor
constante para resolver el problema.
80
50
20
x 8 m
50 m
x
5 m
x = 8
x
20
=
3
4
x_
10.5
=
12
7
x_
27.2
=
5
8
45
x
=
30
10
26
x
=
13
4
16
x
=
2
7
7
x
=
14
8
27
x
=
3
5
x_
10.5
=12
7
x_
27.2
=5
8
45
x
=30
10
x
20
=
3
4

103
4.- Resuelve los siguientes problemas.
24.36 m 11.3 m
24 mx
30 m x 19.5 m17.4 m
20 m 15 m
14.4
x
6
7.8
9 m
x
1.66
x
x5 84
x
8.96
6.725.6
1.- ¿Cuál es la altura de una casa que
proyecta una sombra de 1.66 m, si una
persona de 1.68 m de altura proyecta su
sombra de 0.80 m?
2.- ¿Cuál es la altura de un árbol que
proyecta una sombra de 3 metros, si un
poste que mide 2 metros de altura proyecta
una sombra de 1.2 metros?

103
AC = 14 m
CE = 6 m
CD = 14 m
5.- Realiza lo que se te pide enseguida.
En la siguiente figura se pueden identificar dos triángulos semejantes. Dibújalos por
separado en la cuadrícula y encuentra el valor de los lados señalados con letras.
x
15 m
y
x
60
80 m
A C E
D
B
0.80
1.68
9
3.- ¿Cuál es el ancho del río? 4.- ¿Cuál es la altura del edificio?
5.- Una astabandera proyecta una sombra
de 15 metros, cuando un árbol de 4.5
metros a la misma hora proyecta una
sombra de 2 metros.
¿Cuánto mide de alto la astabandera?
6.- Una antena proyecta una sombra de 3.6
metros, cuando un aire acondicionado de 1.5 m
de altura proyecta una sombra de 0.75 m
¿Cuánto mide de alto la antena?
50

103
6.- Encuentra la medida que falta en las siguientes parejas de figuras semejantes.
ACTIVIDAD DE AFIANZAMIENTO
INSTRUCCIÓN: Escribe, según corresponda, dentro del paréntesis la letra que conteste
correctamente cada cuestión o sobre la línea el resultado correcto.
1.- ¿Cuál de las siguientes parejas de figuras son semejantes?................................ (____)
a) b) c) d)
a
120
50
60
b4.5
12.968.1
a
y150
27
60
8
8.8
11
80
40

103
2.- ¿En cuál de las siguientes respuestas, se encuentra la relación de proporcionalidad
correcta de los triángulos semejantes dibujados enseguida?..................................... (____)
a) = b) =
d) c) = d) =
3.- ¿Cuál es el valor de x en el siguiente dibujo que representa a unas banderolas? (____)
a) 10 cm
b) 15 cm
c) 30 cm
d) 20 cm
4.- ¿Cuánto mide el lado x en los siguientes triángulos semejantes?................... ________
5.- Encuentra lo que mide el segmento BE del triángulo rectángulo menor que se identifica
en la siguiente figura…………………………………………..…………………………… (____)
a) 3 u
b) 4 u
c) 8 u
d) 5 u
• Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales.
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES. TEOREMA DE TALES.
PROBLEMA: Divide los siguientes segmentos PD en 4 partes iguales y demuestra que
los segmentos determinados en las transversales son proporcionales.
R
8 u
4 u
4 u
E
DC
B
A
x
14 cm
21 cm
15 cm
x
60 cm
10
30
3
5
6
10
10
3
6
5
5
6
3
10
10
5
6
3
6
5
10
3

103
a) A partir del punto P trazamos el segmento PR, con una medida que sea más larga que
PD.
b) Trazamos con el compás 4 partes iguales en el segmento PR y los llamamos puntos
A´, B´, C´ y D´.
c) Unimos con una línea el último punto D´ con el punto D.
d) A partir de los puntos C´, B´ y A´ trazamos rectas que sean paralelas con el segmento
D´D.
• Queda dividido el segmento PD en 4 partes iguales.
• Vemos que los segmentos determinados en las transversales son proporcionales.
3 3 3 x 3 = 3 x 3 9 = 9
3 3
PC PC´ 9 9 9 x 3 = 9 x 3 27 = 27
CD C´D´ 3 3
1.- Divide los siguientes segmentos en el número de partes iguales que se te pide.
D´
C´
B´B´
A´
A´
P A B C DP A B C D
C´
D´
PA PA´
AB A´B´
= =
= =
PROBLEMA: Divide el segmento AB
en tres partes iguales.
PROBLEMA: Divide el segmento BC
en cuatro partes iguales.
R

103
TEOREMA DE TALES
Si tres o más rectas paralelas intersecan a dos rectas transversales, entonces los
segmentos determinados en dichas transversales son proporcionales.
PROBLEMA: Encuentra la medida de “x” en el siguiente dibujo en donde A,B y C son
paralelas y D y E son dos transversales cruzadas por dichas paralelas.
.
1.- Encuentra la medida que falta en cada una de las siguientes figuras representativas.
x
EDDC
CB BA
12
6
8
PROBLEMA: Divide el segmento CD
en cuatro partes iguales.
PROBLEMA: Divide el segmento DE
en cinco partes iguales.
ED
C
B
A
Con productos cruzados
10
x
4
8
4 x
8 10
x =
x =
=
Con el factor constante (k).
k =
10
8
k = 1.25
x = (4)(1.25) = 5
x = 5
4 x
8 10
=
(4)(10)
8
40
8x = 5
8 2
a
8.8

103
2.- Resuelve los siguientes problemas.
7 cm
y
7 cm
10 cm
x
50 m
50
x
7.2
6 5
4.2
5.28
4.62
x
10.92 m
32 m
b
67.5 m
150 m
60 m
y 20 m
1.- Encuentra el valor de x que
representa la altura de un edificio.
2.- Encuentra el valor de y.

103
3.- Una de las rejas de las ventanas de la casa del Profesor Mario tiene las medidas
representadas en el siguiente dibujo. AB mide 35 cm.
22 cm 21 cm 24 cm 23 cm
Encuentra la medida de los siguientes segmentos:
BC = ________ CD = ________
DE= ________ AE = _________
4.- En el siguiente croquis se encuentra el punto poblado C.
Se desea construir una carretera BC, para que la gente viaje en tren de A a B, y por
carretera de B a C. Actualmente solo está construida la carretera DEC.
EC
x 13 km
40
A
B
D
E
C
35

103
¿Cuántos kilómetros deben construirse hasta terminar la carretera BC? ______________
5.- TEXTO: El siguiente dibujo representa el frente de un gimnasio.
8 m 12 m 10 m
Encuentra las medidas que faltan en el techo:
AB = __________
BC = __________
6.- Distancias inaccesibles.
Encuentra las medidas que faltan en los siguientes dibujos representativos del problema.
A B
D
10.5 mA
C
B
D
20 km 16 km
A
D B
H
G
F
LA ANTENA LA RAMPA

103
BC = 24 m
AD = 13.2 m
DE = 26.4 m
AB = ________
Encuentra la medida de:
BC = __________
GH = _________
AD = _________
EH = _________
ACTIVIDAD DE AFIANZAMIENTO
INSTRUCCIÓN: Escribe, según corresponda, dentro del paréntesis la letra que conteste
correctamente cada cuestión o sobre la línea el resultado correcto.
1.- Utiliza la fórmula general para resolver la siguiente ecuación.
x² - 3x + 2 = 0 ¿Cuáles son los resultados?........................................_________
G
F
A B C D
86.7 cm 85 cm
150 m
C
B
180 m
O
120 m
64 cm
A E
B F
C G
HD
31 cm
E C
8.- Dos personas salen del punto O. Una se
dirige al punto C y la otra al punto G.
¿Qué distancia le falta recorrer a una de las
personas para llegar del punto B al punto C?
____________
7.- ENREDADERA DE FLORES
AB = 15 m
BC = 13 m
CD = 14 m
AF = 18 m
FG = ________
GH = ________
AH = ________

103
2.- Encuentra el discriminante (b² - 4ac) de la siguiente ecuación:
5x² + 2x + 1 = 0
¿Cuál es su discriminante?......................................................................................... (____)
a) 32 b) -16 c) 21 d) -17
3.- ¿Cuáles son los resultados de la siguiente ecuación?.......................................... (____)
2x² - 10x + 12 = 0
a) 6 y 2 b) 3 y 2 c) 2 y 4 d) 0 y -3
4.- ¿Cuánto mide “a” en el siguiente dibujo?............................................................... (____)
5.- Encuentra el valor de “d” en la siguiente figura para lo cual puedes aplicar el teorema
de Tales
• Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas.
CONOCIMIENTOS
d
4
68
a
20
8
16
a) 8
b) 3
c) 12
d) 10

103
HOMOTECIAS. MOVIMIENTOS EN EL PLANO.
Una homotecia es una transformación de una figura plana con la ayuda de un punto O y
un número K. Al aplicar la homotecia resultan figuras homotéticas.
El punto O se llama centro de homotecia.
El número K se llama razón de homotecia.
Se llama homotecia porque se aplica la proporcionalidad (Teorema de Tales).
PROBLEMA EJE: Obtener la figura homotética del triángulo ABC donde la razón de
homotecia sea 2 a 1, es decir, donde k = 2 y el centro de homotecia sea O.
Los lados del triángulo A’B’C’ miden el doble
que los lados del el triángulo ABC.
La distancia OA = AA´
La distancia OA´ es el doble que OA.
La distancia OB´ es el doble que OB.
PROCEDIMIENTO
a) Trazamos la recta que parta de O y que pase por A.
b) Tomamos con el compás la distancia de O a A y esa misma distancia la marcamos
desde A para encontrar el punto A´.
c) Hacemos lo mismo por los puntos B y C.
d) Unimos los puntos A’, B’ y C’.
B´
A´
C´C
B
A
O

103
El triángulo A’B’C’ queda del mismo lado que el triángulo ABC con respecto a O. La
homotecia es positiva por quedar del mismo lado de O las figura homotéticas.
1.- Traza la figura homotética del triángulo ABC donde la razón de homotecia sea 2,
K = 2 y el centro de homotecia O. Llama a la figura trazada A´B´C´. Contesta e ilumina.
¿Cuánto mide OA´? _____ ¿Cuánto mide OA? _____
¿Cuál es el valor de la razón ? _____
¿Cuántas veces son más grandes los lados del triángulo A’B’C’? _____
¿A qué escala se transformó la figura? ________________
¿Cómo son los dos triángulos, iguales o semejantes? ____________________
¿La homotecia es positiva o negativa? _____ ¿Por qué? __________________________
2.- Traza la figura homotética del cuadrado ABCD donde K = 2
OB´
A
C
B
D
.O
C
B
A
.
O
= _____
OA´
OA

103
OB
K = ______
Escala: ________
¿Son semejantes? __
3.- Traza una figura homotética a cada una de las siguientes, donde k = 2 y justifica que
cada pareja de figuras son semejantes.
.
.O
.O
O
.O

103
4.- Completa las siguientes composiciones de figuras homotéticas y analiza los
resultados. (Medidas, escala, razón de homotecia, semejanza, etc.)
Considera que la medida de OD sea igual que DD´ y que DD´ sea igual que D´D”.
Si OD mide 6 unidades, ¿cuánto mide OD” ______?
¿Cuál es el área de la figura 1? ____ ¿Cuál es el área de la figura 2? ____
¿Cuál es el área de la figura 3? ____ ¿Son semejantes las tres figuras? ____
O
Altura del triángulo: 4 u
O
D´´
D´
D
C
A 4 u B
C´´
C´
C
A 4 u B

103
¿Cuánto mide el lado A´B´? ____
¿Cuánto mide el lado A”B”? ____
¿Cuál es el área de la figura 1? ____
¿Cuál es el área de la figura 2? ______
¿Cuál es el área de la figura 3? _____
¿Son semejantes las tres figuras? ______
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
• Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas
situaciones o fenómenos.
GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
Se pretende que analicemos la posición y la forma de la parábola de una función
cuadrática.
PROBLEMA: Representa en una tabla y en una gráfica la función: y = x² - 2
Elaboramos la tabla, dando valores arbitrarios a x, procurando incluir valores negativos de
x, también donde x valga 0.
y = x² - 2
Si x = 3 si x = -3
y = 3² - 2 y = -3² - 2
y = 9 – 2 y = 9 - 2
y = 7 y = 7
si x = -1 si x = 0
y = -1² - 2 y = 0² - 2
x y
3 7
2 2
1 -1
0 -2
-1 -1
-2 2
-3 7

103
y = 1 – 2 y = 0 – 2
y = -1 y = -2
Vértice es el punto más bajo o más alto de la curva (0, -2).
Parábola es el resultado de graficar una función de segundo grado.
1.- LA COPA DE VINO.
y
Traza la gráfica para la función: y = x² Ilumina el dibujo.
x y
3 9
2
1
0
-1
-2
-3
Vértice
Parábola

103
x
2.- EL COLOR.
Traza la gráfica de la función y = 2x² para que completes el dibujo. Ilumínalo.
y = 2x²
x
3.- Observa cómo cambian las gráficas, si cambia la función y = x² + 1.
Completa las tablas y enseguida construye las gráficas de las siguientes funciones en el
plano cartesiano dibujado abajo. Observa que lo que cambia en las funciones son los
términos independientes: 1, 2, 3 y -2. Haz la comparación de las gráficas de las 4
funciones.
x y
3
2
1
0
-1
-2
-3 18

103
y = x² + 1 y = x² + 2 y = x² + 3 y = x² - 2
¿Todas las gráficas tienen la misma forma de parábola? _______
¿Todas las gráficas tienen un punto bajo o alto, llamado vértice de la parábola? _______
¿Cuáles son los vértices de cada una de las gráficas? _____, ______, ______ y ______
x y
3
2
1
0
-1
-2
-3
x y
3
2
1
0
-1
-2
-3
x y x y
y
x

103
¿En qué son diferentes las gráficas?___________________________________________
4.- COMPARACIÓN DE GRÁFICAS.
Construye en el plano cartesiano la gráfica de las siguientes funciones y determina el
cambio que sufre al modificarse el signo. Da valores a x, de 3, 2, 1, 0, -1, -2, y -3.
y = 2x² y = -2x²
Contesta:
¿Todas las gráficas tienen la misma forma de parábola? _______
¿Todas las gráficas tienen un punto bajo o alto, llamado vértice de la parábola? _______
¿Cuáles son los vértices de cada una de las gráficas? ______ _______
¿En qué son diferentes las gráficas de las dos funciones?_________________________
y
x

103
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
• Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan
situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera.
1.- Tres líneas de camiones van de Chihuahua a Ciudad Juárez a una velocidad que no
rebase los 100 kilómetros por hora, para respetar las reglas de seguridad.
a) El camión de Transportes Chihuahuenses inicia el viaje durante los primeros 15
minutos a una velocidad tal y como se muestra en la siguiente gráfica:
b) El camión de Transportes Ballezanos inicia el viaje durante los primeros 30 minutos a
una velocidad tal y como se muestra en la siguiente gráfica:
KILÓMETROS (d)
10
15
M
I
N
U
T
O
S
(t)
5
5 10 15
¿Cuánto km recorre en 10 minutos? ________
Si el camión mantiene esa misma
velocidad, ¿cuántos kilómetros
recorrerá en una hora y media? __________
KILÓMETROS (d)
20
30
M
I
N
U
T
O
S
(t)
10
10 20 30
recorrerá en una hora? __________

103
b) El camión de Transportes Tarahumara inicia el viaje durante los primeros 40 minutos a
una velocidad tal y como se muestra en la siguiente gráfica:
2.- La siguiente gráfica nos muestra la temperatura ambiente durante unas horas de un
día de diciembre en la ciudad de Chihuahua.
KILÓMETROS (d)
20
30M
I
N
U
T
O
S
(t)
10
10 20 30 40
recorrerá en una hora y media? __________
TIEMPO (horas)
10
15T
E
M
P
E
R
A
TURA
(°C) 5
6:00 8:00 10:00 12:00 14:00
¿Cuál fue la temperatura a las 8:00 horas? ________
¿Cuál fue la temperatura a las 10:00 horas? _______
¿Qué pasó con la temperatura entre las 6:00 horas y
las 10:00 horas? _____________________________
___________________________________________
¿Qué pasó con la temperatura entre las 10:00 horas y
las 14:00 horas? _____________________________
¿Cuál fue la más alta temperatura durante ese día? ___

103
1
12
1
2
1
6
1
2
1
6
1
12
NOCIONES DE PROBABILIDAD
• Cálculo de la probabilidad de dos eventos independientes. Regla del producto.
REGLA DEL PRODUCTO
PROBLEMA: Vamos a suponer que arrojamos al mismo tiempo una moneda y un dado.
Cómo encontramos la probabilidad de que caiga águila y el número 4.
Aquí vamos a encontrar la probabilidad de que sucedan las dos cosas, es decir, que caiga
águila pero que junto con el águila caiga el 4. Por ello usamos el conectivo “y”.
En un arreglo rectangular lo podemos representar de la siguiente manera:
1 2 3 4 5 6
Águila Á - 1 Á - 2 Á - 3 Á - 4 Á - 5 Á - 6
Sello S - 1 S - 2 S - 3 S - 4 S - 5 S - 6
El número de casos favorables es 1.
Los datos posibles de los dos eventos son en total 12. 2(águila y sello) x 6(1, 2, 3, 4, 5, 6) = 12
Por lo tanto la probabilidad de que caiga águila y 4 es
Como estos dos eventos son independientes, entonces la probabilidad la podemos
encontrar multiplicando las probabilidades de cada evento:
¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila?
x =
¿Cuál es la probabilidad de que caiga 4?
Este procedimiento se conoce como regla del producto o teorema de multiplicación de
probabilidades.
1.- Encuentra la probabilidad de los siguientes eventos independientes.
a) Suponiendo que se arrojan un dado y una moneda al mismo tiempo:
¿Cuál es la probabilidad de que salga un sello en la moneda?
¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3 en el dado?
¿Cuál es la probabilidad de que salga un sello y un 3?
b) Suponiendo que se arrojan un dado y una moneda al mismo tiempo:
¿Cuál es la probabilidad de que obtener un 5?
¿Cuál es la probabilidad de que salga un 3?

103
¿Cuál es la probabilidad de obtener un 5 y de que salga un 3?
2.- En la feria del pueblo pusieron un juego de azar que consiste en lanzar dos dardos al
mismo tiempo. Un dardo se lanza a una rueda que tiene los números del 1 al 8. El otro
dardo se avienta a un cuadrado que tiene los colores rojo, azul, verde y café, tal y como
se representan en los siguientes dibujos. Las personas ganan si le atinan al número y al
color en que caen los dardos al mismo tiempo en que los lanzan.
Evento 1: Participación de Ana Paula.
¿Cuál es la probabilidad de que el primer dardo se clave en el número 4? ______
¿Cuál es la probabilidad de que el segundo dardo se clave en el color verde? ______
Si Ana Paula le apuesta a que los dardos van a caer uno en el número 4 y el otro en el
color verde, ¿cuál es la probabilidad de que gane Ana Paula? ______
Evento 2: Participación de Daniela.
¿Cuál es la probabilidad de que el primer dardo se clave en el número 8? ______
¿Cuál es la probabilidad de que el segundo dardo se clave en el color rojo? ______
Si Daniela le apuesta a que los dardos van a caer uno en el número 8 y el otro en el
color rojo, ¿cuál es la probabilidad de que gane Daniela? ______
Evento 3: Participación de Ximena.
¿Cuál es la probabilidad de que el primer dardo se clave en el número 3?
¿Cuál es la probabilidad de que el segundo dardo se clave en el color café?
Si Ximena le apuesta a que los dardos van a caer uno en el número 3 y el otro en el
1 2
8 6
3 5
4 7
Rojo
AzulVerde
Café

103
color café, ¿cuál es la probabilidad de que gane Ximena? ______
3.- En la posada de navidad de la escuela se prepararon varios platillos para darlos a los
alumnos. Un platillo se puede formar por un tipo de sopa con un guisado. Los tipos de
sopa que se prepararon son macarrón, arroz y espagueti. Los tipos de guisado
preparados son pavo, pollo, asado y pierna. De doce alumnos, a cada uno se le dará al
azar un boleto que señala el tipo de sopa y el tipo de asado que le corresponde comer.
a) Completa la siguiente tabla para escribir todas las combinaciones de platillos que
puede haber.
Pavo Pollo Asado Pierna
Macarrón
Arroz
Espagueti
¿Cuántos tipos de sopa hay?_______ ¿Cuántos tipos de guisado hay?_______
Si se escoge al azar por separado la sopa, ¿qué probabilidad hay de que a un alumno le
toque comer sopa? ______
Si se escoge al azar por separado el guisado, ¿qué probabilidad hay de que a un
alumno le toque comer guisado? ______
¿Cuál es la probabilidad de que un alumno le toque un boleto donde diga que su platillo
va a ser de espagueti y asado? ______
¿Cuáles fracciones se multiplican para encontrar esta probabilidad? ____________
4.- En la escuela de Idaly hay talleres de dibujo, computación y cocina. Los deportes que
les ofrecen son natación, volibol y basquetbol. A los alumnos los ubican al azar dándoles
a escoger una tarjeta donde dice el taller y el deporte que le corresponde llevar.
a) Completa la siguiente tabla para escribir todas las combinaciones de talleres y deportes
que puede haber.
¿Cuál es la probabilidad de que a Idaly le toque un boleto donde diga que su taller y el
deporte que llevará es computación y volibol? _______

103
¿Cuáles fracciones se multiplican para encontrar esta probabilidad? _____________
5.- El grupo de danza de la escuela está formado por los hombres Mario, Luis, Omar y
René. Las mujeres del grupo son Ana, Rosa, Elena y Paty.
a) Completa la siguiente tabla para escribir todas las parejas que se pueden formar.
¿Cuál es la probabilidad de que la pareja que se forme al azar sea Omar con Elena? ____
¿Qué fracciones se multiplican para encontrar esta probabilidad?
6.- El profesor de Matemáticas tiene una camisa blanca, una azul, una verde y una café.
Tiene un pantalón de mezclilla, uno blanco y otro café. Si el lunes escoge para vestirse al
azar un pantalón y una camisa:
¿Cuál es la probabilidad de que se ponga camisa azul y pantalón blanco?
¿Qué fracciones se multiplican para encontrar esta probabilidad?
7.- Se lanzan al aire una moneda y un dado:
¿Cuál es la probabilidad de que caiga el número 4 en el dado y sello en la moneda?
¿Cuál es la probabilidad de que no caiga el 3 y una águila?
¿Cuál es la probabilidad que caiga el número 1 y águila?
¿Cuál es la probabilidad de que no caiga el 1 ni el 2 y que caiga sello?
8.- En un concurso de canto que se realiza cada mes, uno de los premios que puede
obtener la persona es un carro de 20 que se le presentan. Los carros son: 4 nissan rojo, 2
nissan blanco, 1 nissan verde, 3 chevroleth rojo, 1 chevroleth blanco, 3 chevroleth verde,
1 Ford rojo, 3 ford blanco y 2 ford verde. Los carros se colocan atrás de una cortina y la
persona elige al azar el carro por la marca y el color y si lo adivina se gana el carro.
Completa la siguiente tabla y enseguida contesta la pregunta.
Rojo Blanco Verde
Nissan 4
Chevroleth
Ford
¿Qué probabilidad tiene una
persona de ganar si dice que atrás
de la puerta está un carro ford y de
color blanco?

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