1. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Mec´nica:
a
Ecuaciones de movimiento en coordenadas
cil´
ındricas.
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

2. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Coordenadas polares
Posici´n:
o
¯ = r ur
r ˆ
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

3. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Coordenadas polares
Velocidad:
d¯
r ˙
v=
¯ ˙
= ¯ = r ur + r ur
r ˙ˆ ˆ
dt
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

4. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Coordenadas polares
Velocidad:
d¯r ˙
˙
v=
¯
= ¯ = r ur + r ur
r ˙ˆ ˆ
dt
˙ ∆ur
ˆ ∆θ
ur = l´
ˆ ım = l´ ım uθ
ˆ
∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

5. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Coordenadas polares
Velocidad:
d¯r ˙
˙
v=
¯
= ¯ = r ur + r ur
r ˙ˆ ˆ
dt
˙ ∆ur
ˆ ∆θ
ur = l´
ˆ ım = l´ ım uθ
ˆ
∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t
˙ ˙ˆ
ur = θuθ
ˆ
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

6. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Coordenadas polares
Velocidad:
d¯r ˙
˙
v=
¯
= ¯ = r ur + r ur
r ˙ˆ ˆ
dt
˙ ∆ur
ˆ ∆θ
ur = l´
ˆ ım = l´ ım uθ
ˆ
∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t
˙ ˙ˆ
ur = θuθ
ˆ
v = vr ur + vθ uθ
¯ ˆ ˆ
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

7. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Coordenadas polares
Velocidad:
d¯r ˙
˙
v=
¯
= ¯ = r ur + r ur
r ˙ˆ ˆ
dt
˙ ∆ur
ˆ ∆θ
ur = l´
ˆ ım = l´ ım uθ
ˆ
∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t
˙ ˙ˆ
ur = θuθ
ˆ
v = vr ur + vθ uθ
¯ ˆ ˆ
˙uθ
v = r ur + r θ ˆ
¯ ˙ˆ
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

8. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Coordenadas polares
Aceleraci´n:
o
dv
¯
v=
¯ = v = ¨ur + r ur + r θuθ + r θuθ + r θu˙θ
˙
¯ rˆ ˙ˆ ˙ ˙˙ˆ ¨ˆ ˙ˆ
dt
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

9. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Coordenadas polares
Aceleraci´n:
o
dv
¯
v=
¯ = v = ¨ur + r ur + r θuθ + r θuθ + r θu˙θ
˙
¯ rˆ ˙ˆ ˙ ˙˙ˆ ¨ˆ ˙ˆ
dt
u˙θ = −θur
ˆ ˙ˆ
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

10. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Coordenadas polares
Aceleraci´n:
o
dv
¯
v=
¯ = v = ¨ur + r ur + r θuθ + r θuθ + r θu˙θ
˙
¯ rˆ ˙ˆ ˙ ˙˙ˆ ¨ˆ ˙ˆ
dt
u˙θ = −θur
ˆ ˙ˆ
¯ = ar ur + aθ uθ
a ˆ ˆ
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

11. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Coordenadas polares
Aceleraci´n:
o
dv
¯
v=
¯ = v = ¨ur + r ur + r θuθ + r θuθ + r θu˙θ
˙
¯ rˆ ˙ˆ ˙ ˙˙ˆ ¨ˆ ˙ˆ
dt
u˙θ = −θur
ˆ ˙ˆ
¯ = ar ur + aθ uθ
a ˆ ˆ
˙2 ¨ r˙ ˆ
¯ = (¨ − r θ )ur + (r θ + 2˙ θ)uθ
a r ˆ
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

12. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Coordenadas cil´
ındricas
r¯ = r ur + z uz
p ˆ ˆ
¯ ˙ˆ ˙uθ + z uz
v = r ur + r θ ˆ ˙ˆ
a r ˙ ˆ
2 ¨ r˙ ˆ ¨ˆ
¯ = (¨ − r θ )ur + (r θ + 2˙ θ)uθ + z uz
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

13. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Ejemplo
Un juego mec´nico consiste en una silla que gira en una
a
trayectoria circular horizontal de radio r , de modo que la
˙
velocidad angular y la aceleraci´n angular del brazo QB son θ
o
¨ respectivamente. Determine las componentes radial y
y θ,
transversal de la velocidad y aceleraci´n del pasajero.
o
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

14. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Ejemplo
r es constante.
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

15. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Ejemplo
r es constante.
vr = r = 0
˙
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

16. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Ejemplo
r es constante.
vr = r = 0
˙
˙
vθ = r θ
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

17. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Ejemplo
r es constante.
vr = r = 0
˙
˙
vθ = r θ
˙ ˙
ar = ¨ − r θ2 = −r θ2
r
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

18. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Ejemplo
r es constante.
vr = r = 0
˙
˙
vθ = r θ
˙ ˙
ar = ¨ − r θ2 = −r θ2
r
¨ r˙
aθ = r θ + 2˙ θ = r θ¨
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

19. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Ejemplo
r es constante.
vr = r = 0
˙
˙
vθ = r θ
˙ ˙
ar = ¨ − r θ2 = −r θ2
r
¨ r˙
aθ = r θ + 2˙ θ = r θ¨
Los ejes n y t en el movimiento circular son colineales con los
ejes r y θ:
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

20. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Ejemplo
r es constante.
vr = r = 0
˙
˙
vθ = r θ
˙ ˙
ar = ¨ − r θ2 = −r θ2
r
¨ r˙
aθ = r θ + 2˙ θ = r θ¨
Los ejes n y t en el movimiento circular son colineales con los
ejes r y θ:
v2 ˙
(r θ)2
− ar = an = = ˙
= r θ2
ρ r
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

21. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Ejemplo
r es constante.
vr = r = 0
˙
˙
vθ = r θ
˙ ˙
ar = ¨ − r θ2 = −r θ2
r
¨ r˙
aθ = r θ + 2˙ θ = r θ¨
Los ejes n y t en el movimiento circular son colineales con los
ejes r y θ:
v2 ˙
(r θ)2
− ar = an = = ˙
= r θ2
ρ r
dv d ˙ dr ˙ dθ ˙
aθ = at = = (r θ) = θ + r = 0 + rθ¨
dt dt dt dt
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

22. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Fr = mar
Fθ = maθ
Fz = maz
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

23. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Problemas
El doble anillo liso de 0.5 kg puede deslizarse libremente sobre el
brazo AB y la barra gu´ circular. Si el brazo gira a un velocidad
ıa
angular constante de θ ˙ = 3rad/s, determine la fuerza que el brazo
ejerce sobre el anillo en el instante θ = 45o . El movimiento ocurre
en el plano horizontal.
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

24. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Problemas
El cilindro C liso de 2 kg tiene un pasador P a trav´s de su centro el
e
cual pasa por la ranura en el brazo OA. Si se hace que el brazo gire
˙
en el plano vertical a una raz´n constante θ = 0.5rad/s, determine
o
la fuerza que ejerce el brazo sobre la clavija en el instante θ = 60o .
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.

25. Coordenadas cil´
ındricas Ecuaciones de movimiento: coordenadas cil´
ındricas
Problemas
Una lata C de 0.5 kg de masa se mueve a lo largo de una ranura
horizontal. La ranura tiene la forma de una espiral, la cual
est´ definida por la ecuaci´n r = (0.1θ)m, donde θ est´ en
a o a
˙
radianes. Si el brazo OA gira a una velocidad constante θ = 4rad/s
en el plano horizontal, determine la fuerza que ejerce en la lata en
el instante θ = π rad. Ignore la fricci´n y el tama˜o de la lata.
o n
Juan Jos´ Reyes Salgado
e
Ecuaciones de movimiento en coordenadas cil´
ındricas.