PORTAFOLIO CONTENIDOS DE ALGEBRA

1. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL
CARCHI
FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS
AMBIENTALES
Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario
Módulo
“ALGEBRA”
PRIMER NIVEL
PARALELO: ―A‖
JOSELYN CHILES
Ing. Oscar René Lomas Reyes
Enero del 2014
MODULO DE ALGEBRA
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2. Índice.
Introducción…………………………………………………………………………….1
Conjunto de los números reales…………………………………………………...2
Conjunto de los números naturales……………………………………………...3
Conjunto de los números enteros…………………………………………………4
Conjuntos de los números racióneles……………………………………………5
Propiedad conmutativa…………………………………………………………...6
Propiedades de los números reales……………………………………………...7
Propiedad transitiva……………………………………………………………......8
Propiedad de la suma y multiplicación……………………………………….9
Propiedad conmutativa de la suma y multiplicación…………………..10
Propiedad asociativa de la suma y multiplicación………………………11
Propiedad de la identidad………………………………………………………..12
Propiedades del inverso……………………………………………………………13
Propiedad distributiva……………………………………………………………14
Exponentes y radicales…………………………………………………………....15
Exponentes…………………………………………………………………………….16
Radicales……………………………………………………………………………….17
Operaciones con expresiones algebraicas……………………………………18
Expresiones algebraicas…………………………………………………………...19
Suma de expresiones algebraicas………………………………………………20
Resta de expresiones algebraicas………………………………………………21
Factorización…………………………………………………………………………22
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3. Factor común…………………………………………………………………………23
Factorización de trinomios……………………………………………………...24
Fracciones……………………………………………………………………………..25
Simplificación de fracciones……………………………………………………..26
Multiplicación y división de fracciones……………………………………..27
Racionalización de denominadores…………………………………………..28
Suma y resta de fracciones………………………………………………………29
Operación combinada de fraccione…………………………………………..30
Ecuaciones lineales…………………………………………………………………31
Ecuaciones lineales…………………………………………………………………31
Terminología para las ecuaciones……………………………………………..32
Ecuaciones equivalentes…………………………………………………………..33
Ecuaciones lineales…………………………………………………………………34
Ecuaciones con literales…………………………………………………………..35
Ecuaciones fraccionarias…………………………………………………………36
Ecuación con radicales……………………………………………………………37
Ecuaciones cuadráticas…………………………………………………………..38
Resolución por factorización……………………………………………………39
Formula………………………………………………………………………………..40
Desigualdades lineales…………………………………………………………….41
Aplicación de las desigualdades………………………………………………..42
Valor absoluto………………………………………………………………………..43
Ecuaciones con valor absoluto………………………………………………….44
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4. Propiedades del valor absoluto…………………………………………………45
Sistemas de ecuaciones lineales………………………………………………...46
Sistemas de ecuaciones con dos variables…………………………………...47
Método de eliminación por adición…………………………………………...48
Método de eliminación por sustitución……………………………………...49
Sistemas de ecuaciones con tres variables………………………………….50
Sistemas no lineales…………………………………………………………………51
Aplicaciones de sistemas de ecuaciones……………………………………...52
Programación lineal……………………………………………………………….53
Sistemas de desigualdades………………………………………………………..54
Método simplex………………………………………………………………………55
Programación lineal en Excel…………………………………………………..56
Solver……………………………………………………………………………………57
Bibliografía…………………………………………………………………………..59
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5. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
Introducción.
.
El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el
llamado sistema de los números reales. Números tales como: 1,3,
y sus
correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas.
Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno
de ellos comienza con un sistema más primitivo – tal como el conjunto de los números
naturales o enteros positivos; 1, 2, 3, 4,..., y a partir de él, por medio de una secuencia
lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales.
En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números
reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades
(axiomas) de las cuales muchas otras propiedades pueden deducirse.
En esta primer parte, se hará una presentación intuitiva del conjunto
de los
números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto N de los
números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo
más a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones, en las cuales los conjuntos que se
van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático
del mismo
El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números.
Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes 6 conjuntos:
Conjunto de los números naturales.
El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z+,
corrientemente se presenta así:
N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
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6. La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.
Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen, de los
sistemas numéricos, y lleva principalmente a la consideración de los números reales.
Conjunto de los números enteros.
El conjunto de los números enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta
así:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
En el conjunto de los números enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen
solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x =
-2.
Puede notarse que
.
Conjunto de los números racionales.
El conjunto de los números racionales, que se denota por Q , se define de la siguiente
manera:
Q=
/ m, n son enteros y n
La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la
ecuación:
ax = b, con a, b
Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a es un divisor de b.
Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en
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7. consecuencia, se puede concluir que:
Z
En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d,..., se
entenderá que a, b, c, d,..., son números enteros y que los denominadores son
diferentes de cero.
Conjunto de los números irracionales.
En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución
el conjunto Q de los números racionales resulta insuficiente. Así, por ejemplo, al
considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal
de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer
que x, satisface la ecuación: x2 = 2.
Puede demostrarse fácilmente, que no existe X
Q que verifique esta última ecuación.
En general, una ecuación de la forma xn = a, con a
Q y n
N, carecerá (excepto
casos particulares) de solución. Se hace por lo tanto necesario, describir otro conjunto,
en el cual, ecuaciones como las anteriores tenga solución.
El conjunto de los números irracionales, que se denota por Q*, está constituido por los
números reales que no admiten la representación racional.
Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural),
, etc.
En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en Q, como
sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cuyas soluciones son: x =
, que
no son números racionales.
*
Finalmente se define el Conjunto R de los números reales como:
.
En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y
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8. multiplicación (.), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también
axiomas de campo).
LOS NUMEROS REALES Y ARECTA REAL
En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia
entre los números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen los
números reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia
biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos
en la recta o eje. A cada número real le corresponde un único punto sobre la recta y a
cada punto en la recta o eje se le asocia un único número real. Como se observa en el
gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina
origen. Se selecciona además una unidad de longitud para medir distancias. Se elige
también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como
negativo al sentido opuesto. A cada número real entonces se le asocia un punto de la
recta teniendo en cuenta lo siguiente:

Se asocia al origen el número 0, Se asocia a cada número positivo p un punto
que está a una distancia de p unidades del origen en la dirección positiva,

Se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de
distancia del origen en la dirección negativa.
Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número real
que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto
y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica o recta de
los números reales. También se la conoce como eje coordenado o eje real.
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos".
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9. Ejemplo.
Orden
Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones
siguientes: dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea
mayor que b o a sea igual a b.
Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al número a
está a la izquierda del punto que representa al número b.
Análogamente, a > b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la
derecha del que representa a b.
Si a = b, los puntos se superponen.
La relación de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a preceder al
punto b si el número real a es menor que el número real b
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10. (a < b).(matemati@fca.unl.edu.ar, s.f.)
La propiedad conmutativa
Dice que resultado de una operación es el mismo cualquiera que sea el orden de los
elementos con los que se opera
Propiedad conmutativa de la suma
El orden de los sumandos no varía la suma.
a+b=b+a
2+5=5+2
7=7
Propiedad conmutativa de la multiplicación
El orden de los factores no varía el producto.
a·b=b·a
2·5=5·2
10 = 10
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales.
Conocer sus propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas
cuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias
experimentales, ciencias sociales, etc.
Sean
, entonces se verifican las siguientes propiedades:
Sean
, entonces se verifican las siguientes propiedades:
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11. Propiedad
Adición
Multiplicación
Cerradura
Conmutativa
Asociativa
Distributiva
Identidad
Inverso
Propiedad de la cerradura
La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más
números reales, y el resultado será siempre un número real. Por ejemplo:
Importante:
La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO para la
división, no se puede dividir entre cero.
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12. Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes
cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el
mismo. Por ejemplo:
Importante:
La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división, pues el
resultado se altera.
Propiedad asociativa
La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer
sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para
después sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una
expresión. Por ejemplo:
Importante:
La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el
resultado se altera.
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13. Propiedad distributiva
La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las
operaciones de adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar las
operaciones aritméticas.
Propiedad de identidad (elemento neutro)
La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado
elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el
resultado de la suma:
, el elemento neutro de la adición es el número CERO.
La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número
(llamado elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no
cambia el resultado de la multiplicación:
, el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.
Propiedad del inverso
La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como
sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.
el inverso aditivo para esta suma es el número
La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser
usado como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.
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14. , el inverso multiplicativo para esta multiplicación es
EXPONENTES Y RADICALES
Exponentes
Los exponentes también se llaman potencias o índices
El exponente de un número nos dice
cuántas veces se usa el número en una
multiplicación.
En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

En palabras: 82 se puede leer "8 a la
segunda potencia", "8 a la potencia 2"
o simplemente "8 al cuadrado"
Más ejemplos:
Ejemplo: 53 = 5 × 5 × 5 = 125

En palabras: 53 se puede leer "5 a la tercera potencia", "5 a la potencia 3" o
simplemente "5 al cubo"
Ejemplo: 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

En palabras: 24 se puede leer "2 a la cuarta potencia" or "2 a la potencia 4"
o simplemente "2 a la cuarta"
Y los exponentes hacen más fácil escribir muchas multiplicaciones
Ejemplo: 96 es más fácil de escribir y leer que 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9
Puedes multiplicar cualquier número por sí mismo tantas veces como quieras con
esta notación.
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15. Así que, en general:
an te dice que multipliques a por sí mismo,
y hay n de esos a's:
Exponentes negativos
¿Negativos? ¿Qué es lo contrario de multiplicar? ¡Dividir! Un exponente negativo
significa cuántas veces se divide entre el número.
Ejemplo: 8-1 = 1 ÷ 8 = 0,125
O varias divisiones:
Ejemplo: 5-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0,008
Pero esto lo podemos hacer más fácilmente:
5-3 también se podría calcular así:
1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/53 = 1/125 = 0,008
Este último ejemplo nos muestra una manera más fácil de manejar
exponentes negativos:

Calcula la potencia positiva (an)

Después cacula el recíproco (o sea 1/an)
Más ejemplos:
Exponente negativo
4-2
Recíproco del exponente positivo
=
1 / 42
Respuesta
=
1/16 = 0,0625
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16. 10-3
=
1 / 103
=
1/1.000 = 0,001
¿Qué pasa si el exponente es 1 o 0?
Si el exponente es 1, entonces tienes el número solo (por ejemplo 91 = 9)
Si el exponente es 0, la respuesta es 1 (por ejemplo 90 = 1)
Radicales
Un radical es una expresión de la forma
, en la que n
ya
; con tal que
cuando a sea negativo, n ha de ser impar.
Potencias y radicales
Se puede expresar un radical en forma de potencia:
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17. Radiales equivalentes
Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones
que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la
fracción es equivalente, obtenemos que:
Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo
número natural, se obtiene otro radical equivalente.
Simplificación de radicales
Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los
exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.
Reducción a índice común
1. Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común
índice
2. Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado
obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.
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18. Extracción de factores en un radical
Se descompone el radicando en factores. Si:
1. Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja
en el radicando.
2. Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del
radicando.
3. Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el
índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del
radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.
OPERACIÓN CON EXPRESIONES ALGÉBRICAS
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19. 1. Suma
2. Resta
3. Multiplicación
4. División.
Suma de expresiones algebraicas
Para realizar la suma de expresiones algebraicas se agrupa los términos
semejantes. Se puede realizar en forma horizontal o vertical, para llevar a cabo la
suma en forma vertical se puede disponer en filas, con los términos semejantes
por su grado en la misma columna y a continuación, se suman los términos de
cada columna.
Ejemplo.
Suma horizontal
(2x³ + x² -5) + (x² + x +6)
= 2x³ + x² -5 + x² + x +6
= 2x³ + (x² + x²) + x + (6 -5)
= 2x³ + 2x² + x + 1
Suma vertical
(5x³ + 2x² - x + 7) + (3x² - 4x + 7) + (-x³ + 4x² - 8)
Resta de expresiones algebraicas
Para restar cambie el signo de cada uno de los términos que va a restarse y después
sume los términos semejantes resultantes.
Se lo realiza en forma horizontal y vertical.
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20. Ejemplo.
Resta horizontal.
Restar x³ + 2x² - x – 4 de 3x³ - 5x² + 3
(3x³ - 5x² + 3) – (x³ + 2x² - x – 4)
= 3x³ - 5x² + 3 – x³ - 2x² + x + 4
= (3x³ - x³) + (-5x² - 2x²) + x + (3 + 4)
= 2x³ - 7x² + x + 7
Resta vertical
(4x4 - 2x³ + 5x² - x + 8) – (3x4 - 2x³ + 3x – 4)
Multiplicación de expresiones algebraicas
Podemos tener multiplicaciones como las siguientes:
1. Multiplicación de dos o más monomios.
Se realiza aplicando las reglas de la potenciación, de los signos y las propiedades
asociativa y conmutativa del producto.
Ejemplo.
Multiplicar -3x²y³z, 2x4y, y -4xy4z²
(-3x²y³z)(2x4y)(-4xy4z²)
=[(-3)(2)(-4)][(x²)(x4)(x)][(y³)(y)(y4)][(z)(z²)]
= 24x7y8z3  para obtener este resultado se debe realizar mentalmente en
próximos ejercicios, esto se realizar con la práctica.
2. Multiplicación de un monomio por un polinomio
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21. El producto se obtiene por la directa aplicación de la propiedad distributiva.
Ejemplo
4x²(3x – 2x³ + 1)
= 4x²(3x) – 4x²(2x³) +4x²(1)
= 12x³ – 8x5 + 4x²
= – 8x5 + 12x³ + 4x²
3. Multiplicación de binomios
Utilizando la propiedad distributiva
Ejemplo
(x + 2)(x – 3)
= x(x – 3) + 2(x – 3)
= x² - 3x + 2x – 6
= x² - x – 6
Utilizando el método PEIU
PEIU significa que se debe realizar los productos de los Primeros términos, los
términos Externos, términos Internos y el término Último.
Ejemplo
(3x + 4)(2x + 1)
Multiplicación de polinomios
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22. Para multiplicar polinomios que tienen tres o más términos, se puede usar el
mismo principio básico que se usa para multiplicar monomios y binomios. Esto es
cada término de un polinomio debe multiplicarse por cada término del otro
polinomio. Puede hacer la multiplicación en forma horizontal o vertical.
Multiplicación horizontal
Ejemplo.
Multiplicar (4x² - 3x – 1) (2x – 5)
= 4x²(2x – 5) -3(2x – 5) -1(2x – 5)
= 8x³ - 20x² - 6x² + 15x -2x + 5
= 8x³ - 26x² + 13x + 5
Multiplicación vertical
Se alinea términos semejantes en las mismas columnas verticales.
Ejemplo
Multiplicar (4x² + x – 2) (-x² + 3x + 5)
División de expresiones algebraicas
1. División de dos monomios.
Se realiza hallando el cociente de los coeficientes y el de los factores literales
aplicando las reglas de potenciación.
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23. Ejemplo.
Dividir: 24x4y²z³ por -3x³y4z
División de dos polinomios
a.
Se ordenan los términos de ambos polinomios según las potencias decrecientes
(o crecientes) de una de las letras comunes a los dos polinomios.
b.
Se divide el primer término del dividendo por el primero del divisor, con lo que
resulta el primer término del cociente.
c.
Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta el dividendo,
obteniéndose un nuevo dividendo.
d.
Con el dividendo del literal c., se repite las operaciones del los literales b. y c.
hasta que se obtenga un resto igual a cero o de grado menor que el del dividendo.
e.
El resultado es:
Ejemplo
Dividir 2x4 - 3x³ + x² + x + 2 por x² - 3x + 2
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24. Por lo tanto,
Expresiones algebraicas
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o
más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables,
incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los
signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y
potenciación.
Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.
Longitud de la circunferencia:, donde r es el radio de la circunferencia.
Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.
Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.
Expresiones algebraicas comunes
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
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25. La mitad de un número: x/2
Un tercio de un número: x/3
Un cuarto de un número: x/4
Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...
Un número al cuadrado: x²
Un número al cubo: x³
Un número par: 2x
Un número impar: 2x + 1
Dos números consecutivos: x y x + 1
Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2
Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3
Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x
La suma de dos números es 24: x y 24 − x
La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x
El producto de dos números es 24: x y 24/x
El cociente de dos números es 24: x y 24 · x
FACTORIZACIÓN
Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es
igual a la expresión propuesta.
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26. La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación,
pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores;
mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que
multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.
Factorización
Multiplicación
Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus
factores. Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los
multipliquemos, escribiremos
. En el proceso inverso, tenemos el producto
15 y se nos pide que lo factoricemos; entonces tendremos
Al factorizar el número 20, tendremos
Advierte que
y
o
.
no están factorizados por completo. Contienen
factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7,
11, etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que
en la primera factorización
, de modo que
mientras que la
MODULO DE ALGEBRA
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27. segunda factorización
, de modo que
factorización completa para 20 es
, en cualquier caso la
.
De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir
factorizarla por completo. Además se supone que los factores numéricos son
números primos. De esta manera no Factorizamos 20 como
.
Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas
expresiones algebraicas.
Factor común.
Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si
podemos descubrir un patrón.
Usan
la
propiedad
distributiva.
. Cuando factorizamos
Cuando
multiplicamos,
tenemos
que:
.
Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea
común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión
completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común,
. Aquí
tenemos como hacerlo:
Máximo factor común (MFC)
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28. El término
, es el MFC de un polinomio sí:
1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del
polinomio, y
2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.
De este modo para factorizar
, podríamos escribir
Pero no está factorizado por completo por que
puede factorizarse aún
más. Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en
todos los términos es
. De esta manera la factorización completa es
. Donde
es el MFC.
EJEMPLO
Factorizar
EJEMPLO
Factorizar
EJEMPLO
Factorizar
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29. EJEMPLO
Factorizar
EJEMPLO
Factorizar
EJEMPLO
Factorizar
EJEMPLO
Factorizar
Diferencia de cuadrados.
Aquí tenemos un producto notable
podemos utilizar esta
relación para factorizar una diferencia de cuadrados.
MODULO DE ALGEBRA
Página 29

30. EJEMPLO
Factorizar
EJEMPLO
Factorizar
EJEMPLO
Factorizar
Trinomios con término de segundo grado.
Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es
un trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.
Los trinomios
, son trinomios cuadrados porque son
cuadrados de un binomio.
MODULO DE ALGEBRA
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31. Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado.
A. Dos de los términos deben de ser cuadrados
B. No debe haber signo de menos en
y
o en
C. Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer
término 2AB o su inverso aditivo -2AB.
¿Es
un trinomio cuadrado? La respuesta es no porqué solo hay un
término al cuadrado (x2) y (11) no es cuadrado de algún número.
Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada
ecuación, las siguientes fórmulas de factorización para la suma y la diferencia de
dos cubos.
EJEMPLO
Factorizar
, observemos primero que se puede escribir en otra forma:
Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la
fórmula de factorización y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos:
EJEMPLO
Factorizar
MODULO DE ALGEBRA
Página 31

32. EJEMPLO
Factorizar
trinomios cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones:
Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es
posible.
Por Agrupación.
Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con
cuatro términos. Consideremos
1. Sin embargo podemos factorizar a
Por lo tanto
. No hay ningún factor diferente de
y
por separado:
. Podemos utilizar la propiedad
distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1
Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las
expresiones con cuatro términos se pueden factorizar con este método.
EJEMPLO
MODULO DE ALGEBRA
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33. EJEMPLO
Factorizar
EJEMPLO
Factorizar
FRACCIONES
Una fracción es una parte de un total
Corta una pizza en trozos, y tendrás fracciones:
1
/2
1
/4
3
/8
MODULO DE ALGEBRA
Página 33

34. (Una mitad)
(Un cuarto)
(Tres octavos)
El número de arriba te dice cuántas porciones tienes y el de
abajo te dice en cuántos trozos se ha cortado la pizza.
Numerador / Denominador
Al número de arriba lo llamamos Numerador, es el número de partes que tienes.
Al de abajo lo llamamos Denominador, es el número de partes en que se ha
dividido el total.
Numerador
Denominador
¡Sólo tienes que recordar esos nombres! (Si los confundes, recuerda que
denominador es con "D" de dividir)
Fracciones equivalentes
Algunas fracciones parecen diferentes pero en realidad son la misma, por ejemplo:
4
/8
=
2
/4
=
1
/2
MODULO DE ALGEBRA
Página 34

35. (Cuatro octavos)
(Dos cuartos)
(Una mitad)
Normalmente lo mejor es dar la respuesta usando la fracción más simple ( 1/2 en
este caso). Eso se llama Simplificar o Reducir la fracción.
Sumar fracciones
Puedes sumar fracciones fácilmente si el número de abajo (el denominador) es el
mismo:
1
/4
+
(Un cuarto)
1
/4
(Un cuarto)
=
2
/4
=
(Dos cuartos)
1
/2
(Una mitad)
Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o
más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente .
Por ejemplo: Simplificar
Donde hemos dividido numerador y denominador entre 3,
,
MODULO DE ALGEBRA
Página 35

36. Para poder simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar
factorizado. Si no lo están la primera operación ha de ser la de factorizarlos.
Por ejemplo: Simplificar
Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por tanto antes de
simplificar hay que factorizarlo.
En este caso el método adecuado es sacar factor común
así
Más ejemplos:
Simplificar las siguientes fracciones algebraicas
1.
Como ya son productos, tanto el numerador como el denominador,
basta dividir numerador y denominador por los factores comunes
2.
MODULO DE ALGEBRA
Página 36

37. 3.
En esta fracción aparece una suma en el numerador y otra en el
denominador, por tanto hay que factorizar ambas cosas. Podemos sacar factor
común
en el numerador e
en el denominador
, aquí el numerador es una suma pero no se puede factorizar,
4.
pero el denominador se puede factorizar ya que es el cuadrado de una
suma.
5.
, aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se trata de una
diferencia de cuadrados y que es igual a suma por diferencia
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
Multiplicación de fracciones
La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene:
1. Por numerador el producto de numeradores.
2. Por denominador el producto de denominadores.
MODULO DE ALGEBRA
Página 37

38. Ejemplo:
División de fracciones
La división de dos fracciones es otra fracción que tiene:
1. Por numerador el producto de los extremos.
2. Por denominador el producto de los medios.
Ejemplo:
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES.
Recuerda que se llama irracional al número que no puede expresarse con
números enteros ni fraccionarios. Son números que su expresión decimal tiene
infinitas cifras pero sin formar períodos.
Podemos decir que 0,5 es lo mismo que
.
Es lo mismo que 0,75.
MODULO DE ALGEBRA
Página 38

39. Todos estos números son racionales, podemos escribirlos como enteros o
fraccionarios.
Existen números que no podemos expresarlos de este modo, por ejemplo
a estos números los llamamos irracionales porque si
queremos escribir el valor de los mismos nunca podremos acabar de ir escribiendo
decimales. No hay ningún número que multiplicado por sí mismo te dé 2, ni 3 ni
11, ni 13,…. La raíz cuadrada de estos números nunca acabarás de obtener.
Es conveniente que las fracciones cuyo denominador sea irracional lo convirtamos
en racional. En otras palabras, al proceso de obtener fracciones que no tengan
raíces en el denominador llamamos racionalización de radicales de los
denominadores:
.El denominador es un número irracional, por mucho que intentes
Ejemplo:
calcular
su
valor
verás
que
nunca
acabas
de
hacer
operaciones.
Sabemos que si multiplicamos o dividimos al numerador y al denominador de una
fracción por un mismo número, su valor sigue siendo el mismo.
Para hacer racional el denominador
por sí mismo:
lo más simple es que le multipliquemos
.
MODULO DE ALGEBRA
Página 39

40. Pero para que no varíe el valor de la fracción hemos de multiplicarle también al
numerador por
.Podemos decir que:
son iguales pero
no tiene como denominador un número irracional.
Racionaliza:
Respuesta
.
Racionaliza:
Respuesta
.
Solución:
Racionaliza:
Respuesta
.
Solución:
Las operaciones las tienes desarrolladas paso a paso:
MODULO DE ALGEBRA
Página 40

41. Racionaliza:
Respuesta:
Solución:
El proceso de cálculos con letras es el mismo que aplicamos con los números.
Tienes desarrollado paso a paso la resolución del ejercicio:
Racionaliza:
Respuesta:
.
Solución:
Tratamos ahora una raíz cúbica. Si tienes
y quieres quitar la raíz tienes que
conseguir que el exponente del radicando(que es 1) sea igual al índice de la
raíz(que es 3). Para que sean iguales a
MODULO DE ALGEBRA
Página 41

42. tendrás que multiplicarle
de este modo, en el denominador al multiplicar
tendrás que sumar los exponentes dejando la misma base:
por
. Para que
el valor de la fracción no varíe tendrás que multiplicar también al numerador por
:
Racionaliza:
Respuesta:
.
Solución:
Para poder quitar la raíz de
,5 tenía que tener como exponente un 7.
Vemos que tendríamos que multiplicarle por
de este modo al sumar los
exponentes el valor obtenido iguala al índice de la raíz y entonces podemos
simplificar. Para que no varíe el valor de la fracción tendremos que multiplicarle al
numerador también por
:
Racionaliza:
MODULO DE ALGEBRA
Página 42

43. Respuesta:
.
Suma y resta de fracciones
Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones
mentalmente.
Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar
podemos seguir la siguiente regla:
a + c =
b
d
(se multiplica cruzado y los productos de suman)
ad + bc
(se multiplican los denominadores)
bd
Veamos un ejemplo:
El jefe de Cheo repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de
los contables. A Cheo le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia
más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En
total, ¿qué parte del trabajo tiene que realizar Cheo?
1 + 1
4
3
= 1(3) + 4(1) = 3 + 4 = 7
(4)(3)
12
12
Solución: Cheo tuvo que realizar 7/12 del trabajo.
MODULO DE ALGEBRA
Página 43

44. Notita para darle pensamiento: (para darle "coco")
¿A Cheo le tocó más de la mitad del trabajo o menos de la mitad del trabajo?
Solución:
Para comparar fracciones utilizamos las siguiente reglas de las proporciones
a. Si
a = c entonces ad = cb
b
b. Si
d
a < c entonces ad < cb
b
c. Si
d
a > c entonces ad > cb
b
d
Volviendo a Cheo, ¿7/12 es menor o mayor que 1/2 ?
7 ? 1
12
7(2) > 12(1), por lo tanto
2
7 > 1
12
2
De modo que Cheo realizó más de la mitad del trabajo.
Veamos otro ejemplo:
A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió
a ella dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de
la herencia la tocó a María?
Solución
1 + 2 = 1(5) + 3(2) = 5 + 6 = 11
3 5
15
15
15
MODULO DE ALGEBRA
Página 44

45. A María le tocó 11/ 15 de la herencia de su padre.
Suma de Fracciones
Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de
fracciones:
1. Fracciones homogéneas
(1, 3, 5)
4 4 4
2. Fracciones heterogéneas (1, 2, 3)
3 5 7
Las
fracciones
homogéneas
son
las
fracciones
que
tienen
el
mismo denominador; y las fracciones heterogéneas son las fracciones que tienen
diferentes denominadores.
Ejemplo de suma de fracciones homogéneas:
1 + 3 = 4 <Son fracciones homogéneas ya que
5
5
5
tienen el mismo denominador. Las
fracciones homogéneas, en suma, se
suman los numeradores y el
denominador se queda igual.>
2 +3 =5
7 7
7
Ejemplo de suma de fracciones heterogéneas:
1 +1
4 2
<Aquí es diferente, las fracciones son
heterogéneas; los denominadores son
diferentes.>
Para sumar fracciones heterogéneas:
1. Se multiplican los denominadores.
2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador.
3. Se suman los productos para obtener el numerador.
MODULO DE ALGEBRA
Página 45

46. 1 +1
4 2
Paso 1 : 1 + 1 = ___
4 2
8
<Se multiplicaron los denominadores 4 · 2 = 8>
Paso 2 : 1 + 1 = (2 ·1) + (4 · 1) < Se multiplicó cruzado>
4 2
8
Paso 3: 2 + 4 = 6
< Se suman los productos para obtener el numerador.>
8
8
Paso 4: 6 ÷ 2 = 3 < Se simplifica la fracción si es posible.>
8 2
4
Resta de Fracciones
En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones;
pero en este caso hay que restar.
Ejemplo 1:
5-1 =4
9 9 9
Resta de Fracciones Homogéneas
Ejemplo 2:
2 - 1 = ( 2 · 2) - (3 · 1) = 4 - 3 = 1
3 2
6
6
6
MODULO DE ALGEBRA
Página 46

47. Suma y resta con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
Ejemplo:
Suma y resta con distinto denominador
En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman
o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
Ejemplo:
Operaciones combinadas de fracciones
1. Pasar a fracción los números mixtos y decimales.
2 .Calcular las potencias y raíces.
3 .Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
4 .Efectuar los productos y cocientes.
5 .Realizar las sumas y restas.
Ejemplo:
MODULO DE ALGEBRA
Página 47

48. 1. Primero operamos con los productos y números mixtos dentro de los paréntesis.
2 .Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el
tercero y operamos en el último.
3 .Realizamos el producto y lo simplificamos.
4 .Realizamos las operaciones del paréntesis.
5 .Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el
resultado.
ECUACIONES LINEALES
Una ecuación lineal con n incógnitas x1,..., xn es una ecuación que se puede
escribir en la forma a1x1 + a2x2 + a3x3 +... + anxn = b (1), donde las a-es se llaman
coeficientes de los x y el número b se llama término constante. Se asume que las
a- es y la b son valores conocidos.
Ejemplos.
MODULO DE ALGEBRA
Página 48

49. a.
b.
c.
a, b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2, 3 y 4 incógnitas
respectivamente.
a.
b.
c.
d.
Terminología para las ecuaciones
Ecuaciones equivalentes
Las solución de las ecuaciones x+2=5 y x+7=10 es la misma, 3. Las ecuaciones
que tienen la misma solución se denominan ecuaciones equivalentes.
Para obtener una ecuación equivalente a una dada se utilizan las siguientes
propiedades de las igualdades:
a) Si sumamos o restamos un mismo número o una misma expresión algebraica
a los dos miembros de una ecuación obtenemos otra ecuación equivalente.
MODULO DE ALGEBRA
Página 49

50. b) Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación por un
mismo número diferente de cero obtenemos otra ecuación equivalente.
Por ejemplo, para obtener una ecuación equivalente a x+2=5 multiplicamos por
4 los dos miembros:
4(x+2)=4·5 →
4x+8=20
Fíjate en que la ecuación obtenida 4x+8=20 también tiene por solución 3.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.
2x − 3 = 3x + 2
x = −5
x + 3 = −2
x = −5
1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma
cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
x + 3 = −2
x + 3 − 3 = −2 − 3
x = −5
2. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una
misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
5x + 10 = 15
(5x + 10) : 5 = 15 : 5
x+2=3
x + 2 −2= 3 −2
x=1
Ecuaciones lineales
Ecuación lineal con n incógnita
MODULO DE ALGEBRA
Página 50

51. Una ecuación lineal con n incógnitas es cualquier expresión del tipo: a1x1 + a2x2
+ a3x3 + ... + anxn = b, donde ai, b
.
Los valores ai se denominan coeficientes,
b es el término independiente.
Los valores xi son las incógnitas.
Solución de una ecuación lineal
Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina
solución de la ecuación.
Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son soluciones de ella:
(1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4).
Ecuaciones lineales equivalentes
Son aquellas que tienen la misma solución.
x + y + z + t = 0 2x + 2y + 2z + 2t = 0
Ecuaciones lineales de primer grado
Las ecuaciones lineales de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó
cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar
adopten esa expresión.
Resolución de ecuaciones de primer grado
En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los
siguientes pasos:
MODULO DE ALGEBRA
Página 51

52. 1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el
otro.
4º Reducir los términos semejantes.
5º Despejar la incógnita.
Despejamos la incógnita:
Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:
Quitamos paréntesis:
Agrupamos términos y sumamos:
MODULO DE ALGEBRA
Página 52

53. Despejamos la incógnita:
Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común
múltiplo.
Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:
Despejamos la incógnita:
Quitamos paréntesis y simplificamos:
Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:
MODULO DE ALGEBRA
Página 53

54. Quitamos corchete:
Quitamos paréntesis:
Quitamos denominadores:
Quitamos paréntesis:
Agrupamos términos:
Sumamos:
Dividimos los dos miembros por: −9
Ecuaciones con literales
MODULO DE ALGEBRA
Página 54

55. En nuestro diario vivir y en el mundo del trabajo nos enfrentamos a muchas
situaciones que se resuelven por medio de las ecuaciones. La industria, el
comercio, las ciencias, la ingeniería, y otras áreas necesitan fórmulas en las
cuales se aplican los principios establecidos para resolver ecuaciones. A muchas
de estas fórmulas se les llaman ecuaciones literales.
Una ecuación literal es una ecuación en la cual se usan letras para representar
constantes.
Ejemplos:
1. P = 2L + 2W es la fórmula que se utiliza para hallar el perímetro de un
rectángulo. Si el largo (L) de un rectángulo es 5 pulgadas y el ancho (W) es
3 pulgadas, entonces el perímetro del rectángulo es:
P = 2L +2W
= 2 (5) + 2(3)
= 10 + 6
P = 16 pulgadas
Es la fórmula para hallar la velocidad de un objeto conociendo la
Distancia (d) y el tiempo (t). Si un objeto se mueve a una distancia de
10 pulgadas en 2 segundos su velocidad es:
MODULO DE ALGEBRA
Página 55

56. Otros
ejemplos de ecuaciones literales son
las siguientes: y – c = d; C
= 2πr; d = vt, A = ½ bh.
Otros ejemplos:
1. C = 2πr (fórmula para hallar la circunferencia de un círculo) ¿Cuál es la
circunferencia de un círculo si su radio mide 3 pulgadas?
]
2.
¿Cuál es el promedio actual de Pedro en la clase de matemáticas si sus
notas son 80, 75 y 94?
3. La fórmula que un pescador tiene para estimar el peso de un pez en libras
es
, donde W representa el peso en libras, L el largo en pulgadas
y g el grueso (distancia alrededor del pez en el área central) en
pulgadas. Halla el peso de un pez de 96 pulgadas de largo y 47 pulgadas
de grueso. Resuelve la fórmula para g2.
MODULO DE ALGEBRA
Página 56

57. 4. C = mx + b, ecuación de costo total, dado el costo fijo (b), el costo variable
(m) y la cantidad (x). El costo diario de alquiler de auto es $30.00 más
$0.50 por milla recorrida.
Carlos pagó $150 por el alquiler del
auto. ¿Cuántas millas viajó?
5.
Cambia 1220 Fahrenheit a centígrados.
Ecuaciones fraccionarias
Ecuación Fraccionaria. Ecuación que contiene fracciones algebraicas, es decir, donde la
variable aparece en los denominadores de las fracciones (al menos en uno de ellos).
Ejemplos
Resolución
Para resolver una ecuación fraccionaria de primer grado:
1. Si en los numeradores hay binomios o polinomios, debemos encerrarlos en
paréntesis para evitar errores con los signos negativos. El signo menos que
aparece antes de una fracción afecta a todo el numerador.
2. Buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores.
3. Multiplicamos cada término de la ecuación por el m.c.m. encontrado.
4. Simplificamos los denominadores de los términos fraccionarios con el
m.c.m.
5. Resolvemos los paréntesis efectuando las operaciones indicadas.
MODULO DE ALGEBRA
Página 57

58. 6. Continuamos resolviendo la ecuación con los números enteros que
obtuvimos.
En general, las ecuaciones fraccionarias se resuelven transformándolas en
ecuaciones enteras, para lo cual es necesario eliminar los denominadores. Para
eliminar los denominadores en una ecuación fraccionaria se procede de la
siguiente manera:
1. Se halla el mcm de los denominadores.
2. Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el m.c.m de los
denominadores.
Ejemplo 1
el mcm de los denominadores es: (x + 1) (x - 1)
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por (x + 1) (x - 1) resulta:
Es importante tener presente que cuando ambos miembros de una ecuación
fraccionaria se multiplican por el mcm de los denominadores, entonces se obtiene
una ecuación equivalente a la dada, siempre que la solución obtenida no anule
algún denominador.
MODULO DE ALGEBRA
Página 58

59. Comprobación:
Ejemplo
2:
Estas ecuaciones no son equivalentes a la original, porque el conjunto solución es
{3}
para
ambas,
pero
no
para
la
ecuación
original.
Sustituyendo tenemos
Ecuaciones con radicales
Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que
tienen la incógnita bajo el signo radical.
MODULO DE ALGEBRA
Página 59

60. Resolución de ecuaciones con radicales
1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el
resto de los términos, aunque tengan también radicales.
2º Se elevan al cuadrado los dos miembros.
3º Se resuelve la ecuación obtenida.
4º Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial.
Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra
que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se
obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.
5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del
proceso hasta eliminarlos todos.
1º Aislamos el radical:
2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:
3ºResolvemos la ecuación:
4ºComprobamos:
MODULO DE ALGEBRA
Página 60

61. La ecuación tiene por solución x = 2.
Ejercicios de ecuaciones con radicales
1
MODULO DE ALGEBRA
Página 61

62. 2
3
MODULO DE ALGEBRA
Página 62

63. Ecuaciones cuadráticas
La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo
grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la
forma ax2 + bx + c igual a cero.
Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0
se obtiene una ecuación lineal o de primer orden)
Método de solución de la ecuación cuadrática
Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨
Se procede a completar un trinomio cuadrado perfecto con la expresión
Para lo cual se suma y resta
MODULO DE ALGEBRA
Página 63

64. , que puede escribirse como
Ahora simplemente se resuelve esta ecuación aprovechando que el término
puede despejarse
El valor de x es lo que se conoce como fórmula general de la ecuación de
segundo grado
El teorema fundamental del álgebra garantiza que un polinomio de grado dos
tiene dos soluciones que son precisamente las que se generan con el signo ¨+¨ y
¨-¨ de la x que se obtuvo De esta manera se tiene
MODULO DE ALGEBRA
Página 64

65. Si
la ecuación tiene dos raíces reales diferentes entre sí
Si
las dos raíces son reales e iguales
Si
las dos raíces son complejas conjugadas
Ejemplos numéricos
Primer ejemplo, 2x2 – x – 1 = 0
Primero se identifican los coeficientes a = 2, b = -1 y c = -1
Luego se procede a reemplazarlos en la fórmula
Ambas soluciones son reales y diferentes entre sí. Note que
, en
este ejemplo en particular
Segundo ejemplo, 9x2 – 6x + 1 = 0
MODULO DE ALGEBRA
Página 65

66. Se identifican los coeficientes a = 9, b = -6 y c = 1
Se reemplazan los coeficientes en la fórmula
Ambas soluciones son reales y e iguales entre sí. Note que
Tercer ejemplo, x2 + x + 1 = 0
Se identifican los coeficientes a = 1, b = 1 y c = 1
Se reemplazan los coeficientes en la fórmula
Ambas soluciones son complejas conjugadas. Note que
, para
esta ecuación se obtuvo
MODULO DE ALGEBRA
Página 66

67. Propiedades básicas de las soluciones de la ecuación
cuadrática
Demostración
Demostración
ECUACIONES CUADRÁTICAS – FACTORIZACIÓN
Por: Melissa Murrias
Revisado por: Dra. Luz M. Rivera
MODULO DE ALGEBRA
Página 67

68. Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y
c son números reales.
Ejemplo:
9x2 + 6x + 10
a = 9, b = 6, c = 10
3x2 - 9x
a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2 + 10
a = -6, b = 0, c = 10
Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las
ecuaciones cuadráticas:
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto
de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x2 + 2x – 8 = 0
(x
) (x
)=0
a=1
b=2
c=-8
[x ·x = x2]
MODULO DE ALGEBRA
Página 68

69. ( x + ) (x - ) = 0
(x + 4 ) (x – 2) = 0
4 y –2
4 + -2 = 2
4 · -2 = -8
x+4=0
x–2=0
x+4=0
x=0–4
x = -4
x–2=0
x=0+2
x=2
Estas son las dos soluciones.
Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la
constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la
siguiente forma:
MODULO DE ALGEBRA
Página 69

70. 4x2 + 12x – 8 = 0
4
4
4
4
x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.
Ejemplo:
x2 + 2x – 8 = 0
[Ya está en su forma donde a = 1.]
x2 + 2x = 8
[ Pasar a c al lado opuesto.]
x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]
x2 + 2x + 1
=8+1
x2 + 2x + 1 = 9
(
) (
) =9
Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.
MODULO DE ALGEBRA
Página 70

71. ( x + 1) (x + 1) = 9
(x + 1)2 = 9
(x + 1) = ±
x+1= ±3
x = -1 ± 3
[Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3
x=2
x = -1 – 3
x = -4
Fórmula Cuadrática:
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación
cuadrática a la siguiente fórmula:
Ejemplo:
X2 + 2x – 8 = 0
a = 1, b = 2, c = -8
MODULO DE ALGEBRA
Página 71

72. x = -2 ± 6
2
X = -2 + 6
2
x=4
2
x=2
x = -2 - 6
2
x = -8
2
x=-4
MODULO DE ALGEBRA
Página 72

73. DESIGUALDADES LINEALES
DESIGUALDADES LINEALES EN UNA VARIABLE
También
conocidas
como
inecuaciones
de
primer
grado)
Se establece rápidamente la definición de una desigualdad lineal, pasando a
dar un bosquejo de una estrategia general para resolver este tipo de
desigualdad.
Se puntualiza el tipo de conjunto solución de este tipo de
desigualdad, de manera gráfica, por intervalos y por conjuntos. Se dan una
serie de pasos recomendados que conducen siempre al despeje de la
variable. Un primer ejemplo es desarrollado con dos procedimientos, el
primero siguiendo los pasos recomendados, el segundo es para aclarar que
se
pueden
emplear
otras
estrategias,
siempre
y
cuando
respeten
la
propiedades algebraicas y de desigualdades.
Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son
iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un
signo de igual hay unos símbolos que son:<,>,≤,≥. En una definición decimos que:
Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones
siguientes:

X es mayor que Y

X es menor que Y
Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita
La expresión
,
Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de
"b", puede tenerse
positiva y
, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia
es
, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia
es
MODULO DE ALGEBRA
Página 73

74. negativa. Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es
mayor o menor que la otra".
Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la
izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y
los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de
desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen
algunas consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero
Ejemplo:
Porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero
Ejemplo:
Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor
valor absoluto;
Ejemplo:
Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20
DESIGUALDADES LINEALES
Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son
iguales, también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un
signo de igual hay unos símbolos que son:<,>,≤,≥. En una definición decimos que:
Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones
siguientes:
MODULO DE ALGEBRA
Página 74

75. 
X es mayor que Y

X es menor que Y
Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita
La expresión
, quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores
particulares de "a" y de "b", puede tenerse
cuando la diferencia
la diferencia
es positiva y
, que se lee "a" mayor que "b",
, que se lee "a" menor que "b", cuando
es negativa. Desigualdad "es la expresión de dos cantidades
tales que la una es mayor o menor que la otra".
Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la
izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y
los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de
desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen
algunas consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero
Ejemplo:
Porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero
Ejemplo:
Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor
valor absoluto;
Ejemplo:
Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20
MODULO DE ALGEBRA
Página 75

76. Para cada par de números reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las
proposiciones:
Propiedades de las desigualdades
Teorema1-Propiedad transitiva:
Teorema2-Suma:
Ejemplo ilustrativo:
Ejemplo ilustrativo:
Teorema3-Multiplicación por un
número positivo:
Teorema4:
Ejemplo ilustrativo:
Ejemplo ilustrativo:
Los Teoremas 1 a 4 también son válidos si se cambia ">" por "<"
Teorema5:
Teorema6:
"Si se cambia el signo de ambos
miembros de una desigualdad, se
cambia el sentido de la desigualdad".
Teorema7:
Teorema8:
Teorema9:
Teorema10:
Teorema11:
MODULO DE ALGEBRA
Página 76

77. Inecuaciones lineales:
Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado
de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una
inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la
desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una
unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es
similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las
propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una
inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la
gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la
solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco
(transparente).
Ejemplo ilusrativo1:
Inecuaciones lineales que comprenden valores absolutos:
Inecuaciones cuadráticas:
Las inecuaciones cuadráticas presentan, o se pueden reducir a, las formas:
MODULO DE ALGEBRA
Página 77

78. El modo de solucionar estas inecuaciones es similar al utilizado para resolver
ecuaciones
cuadráticas.
Ejemplo ilustrativo2:
MODULO DE ALGEBRA
Página 78

79. VALOR ABSOLUTO
El álgebra normalmente requiere que seamos cuidadosos no sólo con el tamaño y
el valor sino también con el signo. No es lo mismo -10 que 10. 3 + 7 nos da un
resultado distinto que 3 + (-7). Pero hay circunstancias en las que el signo no
importa, en matemáticas y en la vida cotidiana. ¿Alguna vez has tropezado al
bajar de unas escaleras eléctricas? No importa tanto si te estás moviendo más
rápido o más lento que el suelo, es la magnitud de la diferencia la que te hace
perder el equilibrio. O piensa en una larga caminata por el campo, tus pies se
lastimarán sin importar si vas hacia el norte o hacia el sur. La dirección no importa,
sólo la distancia.
En matemáticas, hay un concepto para tratar con situaciones donde el tamaño
importa más que el signo. Se llama valor absoluto. El valor absoluto de un
número consiste en su valor, sin importar su signo.
Valor Absoluto — Enfoque Numérico
El valor absoluto puede ser explorado ya sea numérica o gráficamente.
Numéricamente, el valor absoluto se indica encerrando el número, variable o
expresión dentro de barras verticales, así:
|20|
|x|
|4n − 9|
Cuando tomamos el valor absoluto de un número, éste es siempre positivo o cero.
Si el valor original ya es positivo o cero, el valor absoluto es el mismo. Si el valor
MODULO DE ALGEBRA
Página 79

80. original es negativo, simplemente nos deshacemos del signo. Por ejemplo, el valor
absoluto de 5 es 5. El valor absoluto de -5 es también 5.
Ejemplo
Valor
Valor
Absoluto
5
5
-5
5
Recuerda, en situaciones de valor absoluto no estamos cambiando la posición ni
la dirección de un número, sólo estamos ignorando esos detalles.
Ten cuidado de no confundir las |barras de valor absoluto| con los (paréntesis) o
los [corchetes]. No son los mismos símbolos, y las reglas que los evalúan son
diferentes.
Por ejemplo, -1(-3) = 3. Los signos negativos dentro y fuera de los paréntesis se
cancelan cuando son multiplicados.
Ejemplo
Problema
-1(-3)
=
-1 • -3
=
3
Pero -1|-3| = -3. No puedes multiplicar a través de las barras de valor absoluto, por
lo que primero tienes que encontrar el valor absoluto del número contenido entre
ellas. Como el valor absoluto de -3 es 3, la operación se convierte en -1(+3).
MODULO DE ALGEBRA
Página 80

81. Ejemplo
Problema
-1|-3|
=
-1 • 3
=
-3
Cuando las barras de valor absoluto contienen una expresión que incluye
operaciones, la expresión debe ser evaluada antes de encontrar el valor absoluto.
Considera la expresión |6 − 4|. Antes de que podamos obtener el valor absoluto de
la expresión, tenemos que efectuar la resta. Cuando hacemos eso, |6 − 4| se
convierte |2|. Ahora podemos calcular el valor absoluto de la expresión — es el
valor absoluto de 2, el cual es 2.
|6 − 4| = |2| = 2
De manera similar, para la expresión |15 − 21|, debemos realizar primero las
operaciones dentro de las barras de valor absoluto.
|15 − 21| = |-6| = 6
Valor Absoluto — Enfoque Gráfico
En la recta numérica, el valor absoluto de un número o una expresión es la
distancia entre el valor y cero. Cuando usamos la recta numérica para explorar el
valor absoluto, éste siempre estará en cero o a la derecha del cero. Si el valor
original es positivo o cero, el valor absoluto estará sobre el original.
Si graficamos el valor original y el valor absoluto, ambos quedarán en el mismo
lugar. El |3| es 3. En éste caso, el valor original y el valor absoluto se posicionan 3
unidades a la derecha del cero en la recta numérica.
MODULO DE ALGEBRA
Página 81

82. Si el valor original es negativo, el valor absoluto quedará a la misma distancia del
cero que el valor original, pero en el otro lado del origen. El |-4| es 4. Si graficamos
el valor original y el valor absoluto, ambos quedarán a la misma distancia del cero,
pero en direcciones opuestas.
Cuando utilizamos la recta numérica para mostrar el valor absoluto de una expresión,
debemos una vez más asegurarnos que llevamos a cabo todas las operaciones dentro de
las barras antes de graficar. El |4 − 6| se coloca en 2, no -2, 4, o 6.
Ecuaciones con valor absoluto
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
MODULO DE ALGEBRA
Página 82

83. 9.
10.
11.
12.
Propiedades del valor absoluto
Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales
podrán ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o
inecuaciones que incluyen valor absoluto.
Propiedad 1
Demostración
Hay dos posibles casos:
Caso 1:
Caso 2:
Propiedad 2
Si
MODULO DE ALGEBRA
Página 83

84. Demostración:(ejercicio para el estudiante)
Propiedad 3
Si
Demostración
Para demostrar esta propiedad conviene recordar que:
En particular:
Usando esta definición se tiene que:
Propiedad 4
Demostración:(ejercicio para el estudiante)
Propiedad 5
Si
entonces
Demostración
Aquí también usaremos el hecho de que:
Si
MODULO DE ALGEBRA
Página 84

85. Propiedad 6
Demostración
, se tiene que:
Propiedad 7
Sea
una variable real y un número real positivo:
Interpretación geométrica de esta propiedad
Demostración
Como
MODULO DE ALGEBRA
Página 85

86. Propiedad 8
Sea
una variable real y un número real positivo entonces:
Demostración
Como
, se tiene:
MODULO DE ALGEBRA
Página 86

87. Resolviendo esta inecuación:
De aquí se tiene:
Interpretación geométrica de esta propiedad:
Propiedad 9
Sea
una variable real y un número real positivo entonces:
MODULO DE ALGEBRA
Página 87

88. Demostración
Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 8, ya demostrada,
dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante.
Interpretación geométrica de esta propiedad:
Propiedad 10
Sea
una variable real y un número real positivo entonces:
i.
ii.
Demostración
Un procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para
demostrar la propiedad 8.
Dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante.
Interpretación geométrica de esta propiedad:
i.
ii.
MODULO DE ALGEBRA
Página 88

89. Propiedad 11
Demostración
Sabemos que
CASO 1:
(*)
Además como
entonces
Así por (*) y (**) se tiene que:
y como
entonces:
(**)
(I)
CASO 2:
MODULO DE ALGEBRA
Página 89

90. Además como
entonces
(****)
Así por (***) y (****) se tiene que:
(II)
Por lo tanto de (I) y (II) se concluye que:
Propiedad 12 (desigualdad triangular)
Si
Demostración
Antes de demostrar esta propiedad, es necesario conocer el siguiente lema:
LEMA:
Sean
Si
Demostración (del lema)
Supongamos que
, hay que demostrar que
i.
ii.
Por i. y ii. Se tiene que
Nota: El lema anterior expresa que si se tienen desigualdades
podemos sumar miembro a miembro estas desigualdades de la manera siguiente:
MODULO DE ALGEBRA
Página 90

91. Estamos ahora en condiciones de demostrar la desigualdad triangular.
Demostración de la desigualdad triangular
, se tiene que:
Sumando miembro a miembro estas desigualdades se tiene:
, por la propiedad (10. i)
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de
primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni
multiplicadas entre sı´, ni en el denominador.
Por ejemplo, 3x +2y +6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas.
Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una
recta en el plano.
Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el
espacio.
MODULO DE ALGEBRA
Página 91

92. Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:
El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir,
un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son
equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geométricamente representan la
misma recta o plano.
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la
forma:
En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas. Los números reales aij se
denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas (o números a determinar)
y bj se denominan términos independientes.
MODULO DE ALGEBRA
Página 92

93. En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y
en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es
indiferente a la hora de resolver el sistema.
Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan
TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente.
Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
Tipos de sistemas
En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números reales R.
Dependiendo del posible número de tales soluciones reales que tenga un sistema,
estos se pueden clasificar en:
Sistemas con dos incógnitas
Los sistemas más sencillos son aquellos en los que solo hay dos incógnitas y 2
ecuaciones, y que ya son conocidos de cursos pasados.
Hay varios sistemas para resolverlos, los más habituales:
* Reducción
* Igualación
* Sustitución
En los que ya no nos entretendremos.
MODULO DE ALGEBRA
Página 93

94. Como cada ecuación lineal con 2 incógnitas se interpreta geométricamente como
una recta, el estudio de la solución del sistema se limita a estudiar la posición de 2
rectas en el plano.
Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. Resolver e
interpretar el sistema:
Por reducción
De donde y = -1 y sustituyendo x + 2*(-1) = -3, x = -1.
Es decir, la solución del sistema es ´única, x = -1, y = -1 lo que significa que el
sistema es compatible y determinado, y que las rectas se cortan en un punto,
precisamente el (-1,-1):
Resolver e interpretar el sistema:
Por igualación
MODULO DE ALGEBRA
Página 94

95. Lo cual es imposible y por tanto el sistema no tiene solución, es un sistema
incompatible y por tanto las rectas son paralelas. Geométricamente:
Resolver e interpretar el siguiente sistema:
Por sustitución, como x = −2y – 3 resulta 3(−2y − 3) + 6y = −9, es decir −6y − 9+6y
= −9, por tanto 0y = 0, 0 = 0.
Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene
infinitas soluciones, es compatible indeterminado, o que las rectas son la misma.
MODULO DE ALGEBRA
Página 95

96. Sistemas de 2 incógnitas y 3 ecuaciones
Podemos añadir a los clásicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnitas cuantas
ecuaciones queramos para obtener diferentes tipos de sistemas con 3, 4, 5 o más
ecuaciones. En cualquier caso, los tipos de sistemas a los que dan lugar son los
mismos reseñados anteriormente.
Al aumentar el número de ecuaciones, la resolución del sistema por alguno de los
tres métodos clásicos se vuelve más farragosa, por lo que conviene aplicar ya el
conocido método de Gauss para determinar el tipo de sistema.
Para ello expresaremos el sistema en la forma matricial, analizando la matriz
ampliada asociada, que tendrá 2 columnas y tantas filas como ecuaciones
tengamos.
Analizaremos tan so ´lo aquellos sistemas con 3 ecuaciones y 2 incógnitas.
La matriz ampliada genérica es:
Aplicar el método de Gauss consiste en realizar transformaciones elementales
mediante las filas de la matriz para obtener la matriz escalonada siguiente:
Recordemos que las operaciones elementales permitidas en las filas de la matriz
(ecuaciones del sistema) eran:
MODULO DE ALGEBRA
Página 96

97. T1) Multiplicar o dividir una filas por un número real distinto de cero.
T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número real no nulo.
T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre sí.
Utilizando estas transformaciones, los sucesivos sistemas que se obtienen son
equivalentes al primero, es decir, tienen las mismas soluciones.
Debemos eliminar, en este orden, el elemento a21 utilizando la fila 1, el elemento
a31, utilizando también la fila 1, y por ´ultimo el elemento a32 utilizando la fila 2, de
modo análogo al método de Gauss-Jordán para la inversa.
Además, es conveniente en cada paso indicar la operación realizada con las filas,
poniendo en primer lugar aquella que se va a sustituir por otra.
Llegados a la matriz ampliada escalonada al final del proceso, pueden darse los
casos siguientes
1. a *22 = 0. Entonces hay dos posibilidades:
a) b*3 = 0. Sistema incompatible (hay una ecuación del tipo 0=k), sin solución.
Geométricamente, puede ocurrir que:
a) Dos rectas sean paralelas y la otra las corte.
b) Las rectas se corten dos a dos (formen un triángulo).
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que
comparten dos o más incógnitas. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son
todos los valores que son válidos para todas las ecuaciones, o los puntos donde
las gráficas de las ecuaciones se intersectan.
MODULO DE ALGEBRA
Página 97

98. Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, por sustitución y
por combinación lineal. Los sistemas de funciones no lineales, como ecuaciones
cuadráticas o exponenciales, pueden ser manejados con las mismas técnicas.
Para ilustrar cómo resolver estos sistemas, nos vamos a concentrar en sistemas
lineales y cuadráticos con sólo dos ecuaciones. Pero ten en cuenta que hay
sistemas que pueden ser más grandes y más complejos que estos ejemplos.
Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
Empecemos por hablar sobre dos ecuaciones lineales. La solución de este tipo de
sistema es el punto de intersección entre las dos rectas, o el lugar donde las dos
ecuaciones tienen los mismos valores de x y de y. Puede haber más de una
solución, no solución, o un número infinito de soluciones de un sistema de dos
ecuaciones lineales:
Una solución
Si las gráficas de las
ecuaciones se intersectan,
entonces existe una
solución para ambas
ecuaciones.
No hay solución
Si las gráficas de dos
ecuaciones no se
intersectan (por ejemplo, si
son paralelas), entonces no
existen soluciones para
ambas ecuaciones.
Soluciones infinitas
Si las gráficas de las
ecuaciones son la misma,
entonces hay un número
infinito de soluciones para
ambas ecuaciones.
MODULO DE ALGEBRA
Página 98

99. Para resolver un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática,
podemos hacer lo mismo, encontrar el punto — o puntos — de intersección entre
ambas gráficas:
Una solución
Si la parábola y la recta se
tocan en un sólo punto,
entonces existe una solución
para ambas ecuaciones.
No hay solución
Si las gráficas de las
ecuaciones no se
intersectan, entonces no
existen soluciones para
ambas ecuaciones.
Dos soluciones
Si la recta se intersecta con
la parábola en dos lugares,
entonces hay dos
soluciones para ambas
ecuaciones.
No tiene sentido considerar el caso cuando las dos ecuaciones representan el
mismo conjunto de puntos, porque una línea recta jamás será una parábola, y vice
versa.
Nota que esto significa que el número posible de soluciones para un sistema de
dos ecuaciones lineales es 0 (nunca se tocan), 1 (se cruzan en un lugar), o infinito
(las rectas son idénticas). El número de soluciones para un sistema con una
ecuación lineal y una ecuación cuadrática es 0 (nunca se tocan), 1 (se tocan en un
lugar), o 2 (se cruzan en dos lugares).
Vamos a resolver por medio de gráficas un sistema de una ecuación lineal y una
ecuación cuadrática.
MODULO DE ALGEBRA
Página 99

100. Ejemplos
Problema
Resolver el sistema graficando las ecuaciones
y
Graficar cada
ecuación y localizar
los puntos de
intersección
Solución
Este sistema tiene dos soluciones, No podemos
determinar la posición exacta de los puntos de
intersección a partir de la gráfica, pero son
aproximadamente (-2,0) y (5,22)
Nota que a pesar de que podemos saber aproximadamente donde se intersectan
las gráficas, es difícil encontrar la posición exacta.
Ahora vamos a resolver el mismo sistema usando sustitución. Cuando resolvemos
por sustitución, seguimos los siguientes pasos:
1. Seleccionar una ecuación y despejar una variable. (Escoger una ecuación y
una variable que sea fácil de despejar).
MODULO DE ALGEBRA
Página 100

101. 2. Sustituir la expresión resultante por una variable en la otra ecuación, cada
vez que esta variable aparezca.
3. Resolver la segunda variable en la segunda ecuación.
4. Sustituir la solución del paso 3 en la expresión del paso 1, para encontrar la
otra variable.
Ejemplo
Problema
Resolver el sistema usando el método de sustitución
y
En este caso, ambas ecuaciones
tienen la variable y despejada, por
lo que las podemos igualar
Restar 3x de ambos lados y restar
7 de ambos lados. Ahora queda
una ecuación cuadrática igual a 0
por lo que podemos usar la
fórmula cuadrática,
, para
encontrar la solución
a = 1, b = -3, y c = -12
Sustituir los valores de a, b, y c en
la fórmula
Simplificar
Simplificar un poco más,
recordando evaluar ambos
o
y
.
Evaluar cualquiera de las
funciones con cada x para
encontrar el valor de y
correspondiente
MODULO DE ALGEBRA
Página 101

102. Solución
(5.27, 22.82) y (-2.27, 0.18)
Usando sustitución hemos llegado a una respuesta más precisa que cuando lo
hicimos graficando el sistema, sin embargo, si hicieron aproximaciones cuando
sacamos la raíz cuadrada de 57. ¡Esta no es la solución exacta!
Es siempre buena idea comprobar el resultado en las ecuaciones originales.
Aquí hay una prueba con el punto (5.27, 22.82):}
Nota que la comprobación no resulta en una igualdad perfecta, pero cercana.
MODULO DE ALGEBRA
Página 102

103. Usar una gráfica para encontrar el número de soluciones del sistema de ecuaciones.
y = -4x – 4 y y = -0.25x2 – 4
A) una solución
B) dos soluciones
C) no hay solución
D) soluciones infinitas
Sistemas de Dos Ecuaciones Cuadráticas
Ahora veamos el caso de dos ecuaciones cuadráticas. Imagina por un momento
cómo las gráficas de las dos ecuaciones cuadráticas pueden intersectarse (o no).
Una solución
No hay solución
MODULO DE ALGEBRA
Página 103

104. Dos ecuaciones cuadráticas que
tienen sólo un punto en común,
como un vértice compartido, tienen
una solución.
Dos ecuaciones cuadráticas que no
se superponen (no tienen valores
comunes de y) no tienen solución.
Dos soluciones
Soluciones infinitas
Dos ecuaciones cuadráticas que se Si las gráficas de las ecuaciones
superponen pero tienen ecuaciones son la misma, entonces hay un
diferentes tienen dos soluciones
número infinito de soluciones
válidas para ambas ecuaciones.
Podemos resolver el sistema de ecuaciones cuadráticas graficando:
Ejemplo
Problema
Resolver el sistema graficando las
ecuaciones
y
MODULO DE ALGEBRA
Página 104

105. Graficar ambas
ecuaciones y
encontrar los
puntos de
intersección
Aproximar las
coordenadas de
los puntos de
intersección
Solución
(-3, 9) y (3, 9)
Una vez más, no podemos estar seguros de que nuestras soluciones gráficas son
exactas. Un método algebraico siempre puede garantizar una solución exacta. Por
ejemplo, podemos resolver un sistema de ecuaciones cuadráticas por sustitución:
Ejemplo
Problema
Resolver el sistema usando el
método de sustitución:
y
En este caso ambas
ecuaciones tienen la
variable y despejada,
MODULO DE ALGEBRA
Página 105

106. por lo que las
podemos igualar
Sumar 2x2 y 6 a
ambos lados para
traer todas las
variables a un lado de
la ecuación
Aplicar la fórmula
cuadrática. a = 3, b =
0, y c = 10
Simplificar, notando
que la cantidad
debajo de la raíz
cuadrada es un valor
negativo - este es el
[discriminante] - lo
que significa que no
hay solución y las
gráficas no se
intersectan
Solución
no hay solución
Como no hay solución, no podemos comprobar nuestra solución algebraicamente,
pero podemos ver ambas gráficas para verificar que no hay solución:
MODULO DE ALGEBRA
Página 106

107. También podemos usar combinación lineal para resolver sistemas de ecuaciones,
siguiendo estos pasos:
1. Re arreglar las ecuaciones de forma que los términos se alineen.
2. Multiplicar ninguna, o una, o ambas ecuaciones por una constante para que
los coeficientes de una de las variables sean opuestos.
3. Sumar las ecuaciones para eliminar una de las variables.
4. Resolver la ecuación resultante.
MODULO DE ALGEBRA
Página 107

108. 5. Sustituir la solución del paso 4 en la ecuación original para encontrar la otra
variable.
Ejemplo
Problema
Resolver el sistema usando combinación lineal
y
Alinear las ecuaciones
Como ya hay dos variables
que son opuestas (x2 y –x2),
podemos sumar las dos
ecuaciones
y=5
Despejar y dividiendo ambos
lados de la ecuación entre 2
Sustituir y en una de las
ecuaciones para encontrar
los valores de x.
Solución
y
Las mismas estrategias de graficar, sustitución, o combinación lineal pueden ser
aplicadas para resolver sistemas de ecuaciones de otras funciones no lineales,
como círculos, elipses, y otras funciones coordenadas.
La solución de sistemas de ecuaciones no lineales puede hacerse usando las
técnicas de graficar, sustitución y combinación lineal. De la misma forma que con
sistemas de ecuaciones lineales, cuando encontramos soluciones a sistemas de
ecuaciones no lineales, estamos buscando la intersección de sus gráficas o los
lugares donde las ecuaciones tienen los mismos valores de las variables.
MODULO DE ALGEBRA
Página 108

109. PROGRAMACION LINEAL
La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo
XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten
resolver problemas de optimización en el ´ámbito, sobre todo, de las Ciencias
Sociales.
Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples de programación
lineal, los que tienen solamente 2 variables, problemas bidimensionales.
Para sistemas de más variables, el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven
por el llamado método Simplex (ideado por G.B.
Danzig, matemático
estadounidense en 1951).
Recientemente (1984) el matemático indio establecido en Estados Unidos,
Narenda Karmarkar, ha encontrado un algoritmo, llamado algoritmo de Karmarkar,
que es más rápido que el método simplex en ciertos casos. Los problemas de este
tipo, en el que intervienen gran número de variables, se implementan en
ordenadores.
Inecuaciones lineales con 2 variables
Una inecuación lineal con 2 variables es una expresión de la forma: ax + by ≤ c
(donde el símbolo ≤ puede ser también ≥, < o bien>), donde a, b y c son números
reales y x e y las incógnitas.
Para resolver estas inecuaciones, se recordará de otros cursos, hay que
representar gráficamente en el plano la recta dada por la correspondiente
ecuación lineal y marcar una de las dos regiones en que dicha recta divide al
plano.
Ejemplo: Si queremos resolver la inecuación: 2x +3y ≥−3, representamos en
primer lugar la recta
2x +3y = −3:
MODULO DE ALGEBRA
Página 109

110. La recta divide al plano en dos regiones, una de las cuales es la solución de la
inecuación. Para saber que parte es, hay dos procedimientos:
1. Se despeja la y de la inecuación, poniendo cuidado en que si en una inecuación
multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia de
sentido. En este caso tendíamos que:
Observando el dibujo vemos que la recta divide al eje de ordenadas (y) en dos
partes.
La solución de la inecuación será aquella parte en la que la y sea mayor que la
recta, es decir, la parte superior.
MODULO DE ALGEBRA
Página 110

111. 2. Se toma un punto cualquiera que no pertenezca a la recta, por ejemplo el (1,2).
Para que dicho punto sea solución, se tendrá´ que cumplir la desigualdad, por lo
que sustituimos en la inecuación inicial el (1,2):
2 · 1+3· 2 ≥−3, es decir, 8 ≥−3.
Como esta ´ultima desigualdad es evidentemente cierta, concluimos que el (1,2)
es solución y por tanto el semiplano que contiene al (1,2) es la solución, es decir el
semiplano superior, como habíamos obtenido antes.
Cualquiera de los procedimientos es válido si se realiza con corrección.
Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables
Un sistema de inecuaciones lineales, por tanto, es un conjunto de inecuaciones
del tipo anterior, y resolverlo consistirá en resolver gráficamente cada inecuación
(como en el caso anterior), representar la solución en un mismo gráfica y la
solución total será la parte común a todas las soluciones.
Resolver el sistema de inecuaciones siguiente:
Si representamos las rectas
MODULO DE ALGEBRA
Página 111

112. El triángulo rayado es la solución del sistema.
Además, para los problemas de programación lineal es necesario el cálculo de los
vértices de la región solución. Es sencillo su cálculo, pues se reduce a resolver
sistemas de ecuaciones lineales son dos incógnitas, que provienen de igualar las
ecuaciones de las rectas correspondientes.
Por ejemplo, en este caso, si queremos el punto intersección de las rectas r y t
tendremos que resolver el sistema formado por:
Ejercicios:
1. Calcular los otros dos vértices.
2. Resolver los sistemas de inecuaciones lineales siguientes encontrando los
vértices de las regiones que sean solución:
MODULO DE ALGEBRA
Página 112

113. Nota: Rectas horizontales y verticales.
En ocasiones, en estos sistemas, aparecen inecuaciones del tipo x ≥ k o bien y ≥
k, donde falta alguna de las dos incógnitas.
Estas inecuaciones en realidad corresponden a rectas horizontales y verticales, y
sus representaciones bien sencillas.
Por ejemplo, la inecuación x ≤−2noesma´s que el conjunto de puntos a la izquierda
de la recta vertical que pasa por el punto x = −2, gráficamente:
Lo mismo ocurre con y ≤ 1, que será en este caso la parte inferior a la recta
horizontal y =1, es decir:
MODULO DE ALGEBRA
Página 113

114. En el caso particular de que sea x ≥ 0 o y ≥ 0, las rectas coincidirán con los ejes
de coordenadas.
Forma algebraica
Consiste, simplemente, en sustituir cada uno de los vértices de la región en la
función objetivo. La solución óptima vendrá dada por aquel que tome el mayor (o
menor) valor.
Ejemplo: Maximizar la función F(x, y) = 2000x + 5000y sujeta a las restricciones:
F (5, 1) = 2000 · 5 + 5000 · 1 = 10000 + 5000 = 15000
F (0, −1) = 2000 · 0 + 5000 · (−1) = 0 − 5000 = −5000
F (3, −3) = 2000 · 3 + 5000 · (−3) = 6000 − 15000 = −9000
Vemos que el valor máximo se alcanza para el vértice (5,1) y que dicho valor es
15. La misma solución que se obtenía antes.
MODULO DE ALGEBRA
Página 114

115. Ejercicio: Resolver los problemas de programación lineal:
Algunos ejemplos de casos extremos
Puede ocurrir que la solución óptima no sea ´única, e incluso que no exista, como
en los ejemplos siguientes:
Ejemplo 1:
Maximizar g(x, y)=3x +4y sujeta a las restricciones:
MODULO DE ALGEBRA
Página 115

116. Si representamos la región factible:
PROGRAMACIÓN LINEAL EN EXCEL
Un modelo de Programación Lineal (PL) considera que las variables de decisión
tienen un comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como restricciones
del problema. En este sentido, la Programación Lineal es una de las herramientas
más utilizadas en la Investigación Operativa debido a que por su naturaleza se
facilitan los cálculos y en general permite una buena aproximación de la realidad.
Los Modelos Matemáticos se dividen básicamente en Modelos Determistas
(MD) o Modelos Estocásticos (ME). En el primer caso (MD) se considera que los
parámetros asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta, a diferencia
de los Modelos Estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de los
parámetros tienen una distribución de probabilidad asociada. Los cursos
introductorios a la Investigación Operativa generalmente se enfocan sólo en
Modelos Determistas.
MODULO DE ALGEBRA
Página 116

117. Supuestos
Básicos
de
la
Programación
Lineal:
Linealidad,
Modelos
Deterministas, Variables reales, No Negatividad.
APLICACIONES
1. Problema de la Dieta: (Stigler, 1945). Consiste en determinar una dieta de
manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer
requerimientos nutricionales. La cantidad de alimentos a considerar, sus
características nutricionales y los costos de éstos, permiten obtener diferentes
variantes de este tipo de modelos. Por ejemplo:
Leche Legumbre Naranjas Requerimientos
(lt) (1 porción) (unidad) Nutricionales
3,2
Niacina
Tiamina 1,12
Vitamina C 32
2
Costo
4,9
1,3
0
0,2
0,8
0,19
93
0,25
13
15
45
Variables de Decisión:

X1: Litros de Leche utilizados en la Dieta
MODULO DE ALGEBRA
Página 117

118. 
X2: Porciones de Legumbres utilizadas en la Dieta

X3: Unidades de Naranjas utilizadas en la Dieta
Función Objetivo: (Minimizar los Costos de la Dieta) Min 2X1 + 0,2X2 + 0,25X3
Restricciones: Satisfacer los requerimientos nutricionales

Niacina: 3,2X1 + 4,9X2 + 0,8X3 >= 13

Tiamina: 1,12X1 + 1,3X2 + 0,19X3 >=15

Vitamina C: 32X1 + 0X2 + 93X3 >= 45

No Negatividad: X1>=0; X2>=0; X3>=0
Compruebe utilizando nuestro
Módulo de Resolución que la solución Óptima es X1=0, X2=11,4677,
X3=0,483871, con Valor Óptimo V(P)=2,4145.
SOLVER
Solver forma parte de una serie de comandos a veces denominados herramientas
de análisis Y si. Con Solver, puede encontrar un valor óptimo (mínimo o máximo)
para una fórmula en una celda, denominada la celda objetivo, sujeta a
restricciones o limitaciones en los valores de otras celdas de fórmula en una hoja
de cálculo. Solver trabaja con un grupo de celdas llamadas celdas de variables de
decisión, o simplemente celdas de variables, que participan en el cómputo de
fórmulas en las celdas objetivo y de restricción. Solver ajusta los valores en las
celdas de variables de decisión para cumplir con los límites en las celdas de
restricción y producir el resultado deseado para la celda objetivo.
Para ejemplificar respecto al uso de Solver utilizaremos el siguiente modelo de
Programación Lineal:
MODULO DE ALGEBRA
Página 118

119. Paso 1: Abrir una planilla de cálculo de Excel y definir las variables de decisión y
la función objetivo. En este ejemplo se han marcado con amarillo y verde las
variables de decisión y función objetivo respectivamente sólo para facilitar la
comprensión. Es importante notar que la función objetivo (celda F4) será siempre
una fórmula que depende de los parámetros de la función objetivo (celdas B5, C5,
D5) y las variables de decisión (B4, C4, D4)
Paso 2: Se definen las restricciones del modelo. La columna en amarillo bajo el
titulo "Laso Izq" es una fórmula de los parámetros y las variables de decisión en
las respectivas restricciones. Por ejemplo, la fórmula incorporada en E9 es
simplemente: 15X + 7,5Y + 5Z. La celda F9 es el lado derecho de dicha restricción
y corresponde a una constante (315).
MODULO DE ALGEBRA
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120. Paso 3: Ingresamos a la Opción Solver (Ver Instalacion Solver de Excel). Luego
definimos
la
celda
objetivo
(función
objetivo),
el
valor
que
buscamos
(máximización o minimización), las celdas que deseamos cambiar (variables de
decisión) y las restricciones. Para nuestro ejemplo está será la pantalla que se
debe obtener:
Paso 4: Accedemos a "Opciones..." y seleccionamos "Adoptar modelo lineal" y
"Adoptar no negativos". Finalmente seleccionamos "Aceptar" y luego "Resolver".
MODULO DE ALGEBRA
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121. Paso 5: Si el proceso se ha desarrollado en forma correcta la planilla de cálculo se
actualizará y se obtendrán los siguientes resultados. Solución Óptima: X=4,
Y=10, Z=36. Valor Óptimo: V(P)=6.620. Se recomienda requerir el informe de
sensibilidad tal como se muestra en la imagen de abajo.
MODULO DE ALGEBRA
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122. Paso 6: La imagen a continuación ha sido levemente editada y corresponde al
informe de sensibilidad. Por ejemplo, el parametro que actualmente acompaña a X
en la función objetivo es 200, sin embargo, si este valor varía entre [120,240] se
conservará la actual solución óptima. En cuanto a las restricciones podemos decir,
por ejemplo, que si el lado derecho de la segunda restricción (actualmente este
lado derecho es igual a 110) aumenta a 120, es nuevo valor óptimo será
V(P)=6.620 + 10*10 =6.720, es decir, el valor óptimo aumentará en forma
proporcional al precio sombra de dicha restricción. Se recomienda revisar la
sección de Análisis de Sensibilidad para reforzar estos conceptos.
MODULO DE ALGEBRA
Página 122

123. BIBLIOGRAFIA LINKOGRAFIA
http://ponce.inter.edu/cremc/cuadratica.html
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/gemaecliterales.htm
http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/sisnum.html
http://www.ditutor.com/numeros_naturales/conmutativa.html
ttp://www.vitutor.com/di/re/b_3.html
http://matemcorrales.blogspot.com/2012/09/operaciones-fundamentales-con.html
http://www.vitutor.com/ab/p/a_1.html
http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIV/4_2_prop.ht
m
http://www.aaamatematicas.com/fra66hx2.htm
http://www.vitutor.com/di/r/a_7.html
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena7/1qu
incena7_contenidos_3b.htm
MODULO DE ALGEBRA
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