Este documento describe el método del mapa de Karnaugh (MK), el cual es una técnica gráfica para simplificar ecuaciones lógicas booleanas y resolver problemas lógicos combinatorios. Explica cómo construir MK de 2, 3 y 4 variables y las reglas para agrupar celdas adyacentes para simplificar los términos, incluyendo el uso de variables irrelevantes para simplificar aún más las expresiones lógicas. Finalmente, propone ejercicios para practicar la aplicación del MK en problemas lógicos.

1. CIRCUITOS DIGITALES II
MAPA DE KARNAUGH (MK)
Es un método gráfico para la simplificación de ecuaciones lógicas
booleanas y resolución de problemas lógicos combinatorios.
Se basa en algunos teoremas boléanos para su funcionamiento. Para
lograr una simplificación más efectiva y mejor, es necesario integrar dos
elementos: Las reglas de agrupamiento y la práctica por parte del estudiante.
Al igual que la tabla de la verdad permite ordenar las variables con su
comportamiento en la salida, y pasar a la construcción de las ecuaciones lógicas
y el dibujo del circuito lógico correspondiente.
MK de 2, 3, 4 variables
Están constituidos por un grupo de celdas.
MK de 2 variables MK de 3 variables
Celdas
MK de 4 variables
1 Prof. Luis Zurita

2. CIRCUITOS DIGITALES II
En los bordes superiores y laterales, se colocan los valores que pueden
tomar las variables participantes en la ecuación lógica ó el problema que se
está resolviendo, y en la barra diagonal el nombre de las variables.
Recuerde el valor asignado a las variables:
Ecuación Valor
SDP 0:Variable Negada o Complementada ( A )
1: Variable sin complementar ( A )
PDS 0: Variable sin complementar ( A )
1: Variable Negada o Complementada ( A )
Datos que toman las variables
Variables
BC
A B 0 1 00 01 11 10
A
0
0
1
1
Ahora: ¿que encontramos en cada celda? Recordando algo de matrices, cada
expresión de celda estará constituida por el producto de las variables de la fila
y la columna asociada a la celda, por ejemplo:
La celda sombreada, está
BC constituida por el producto de A (0)=
00 01 11 10
A A y BC (11)= BC, los cuales a su vez
0 0 0 1 0 están multiplicados por el 1 presente
1
en la celda. Por ejemplo veamos los
0 0 0 0 términos que estarían contentivos en
un MK de 4 variables:
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3. CIRCUITOS DIGITALES II
CD
AB 00 01 11 10
NOTA: La enumeración de
00
A BC D A BC D las variables se hace de
menor a mayor, en código
01 Gray. Repase el concepto
A BC D A BC D
de Adyacencia. Rellene
usted los recuadros que
11 faltan en cuanto a
numeración se refiere.
10
Algunos autores, en vez de colocar unos y ceros para representar los
valores que toman las variables, colocan directamente a la variable en su forma
normal o complementada.
Lo que al momento de determinar la expresión de la celda se hace de una
forma directa.
Evalúe usted el método que se le haga más fácil de entender y utilizar.
Por cierto, ¿Este MK de tres variables es igual al mostrado en páginas
anteriores? Demuéstrelo.
C
AB C C
AB
AB
AB
AB
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4. CIRCUITOS DIGITALES II
REGLAS DE AGRUPAMIENTO Y SIMPLIFICACION
Cada grupo de celdas le permitirá a usted tener un término SDP ó PDS
simplificado. A medida que logres formar un grupo más grande de celdas, el
término será más reducido y simplificado.
Repase las notas colocadas en la guía de ejercicios.
Grupos válidos: 1, 2, 4, 8 y 16 celdas. Bajo el concepto de adyacencia.
Con respecto a los otros números de grupos de celdas que no aparecen y que
son NO VALIDOS, como por ejemplo, 3, 5, 6, 7 etc., Pueden ser agrupados en
varios subgrupos dentro del número válido de celdas, recordando que cada
grupo es un término simplificado.
NOTA: Adyacencia: Se refiere a dos celdas en las cuales sólo cambia
una variable entre una y otra celda. Para esto se basa en el código Gray visto
por usted en Informática. Dos celdas diagonales NO son adyacentes,
Generalmente son adyacentes las celdas contiguas en horizontal y/o vertical.
EJEMPLOS
GRUPOS DE 2 CELDAS:
¡Innecesario!
1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 1 0
NOTA: Si una celda ya pertenece a un grupo, NO es necesario involucrarla a otro grupo, a
menos que exista una celda adyacente a esta que la tome para hacer un grupo. El grupo
subrayado es innecesario.
Note que para este mismo ejemplo, hay
1 1 0 1 varias formas de agrupamiento, las cuales
1 0 1 1 respetando las normas, son perfectamente
válidas, lo que le llevará a concluir que NO HAY
0 1 0 0 una sola forma de resolución sobre un MK.
1 0 0 1
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5. CIRCUITOS DIGITALES II
Por cada grupo de dos celdas propuesto, se reduce en una variable el
término producto. Por ejemplo: Se tiene un MK de 2 variables, el término le
queda en 1 variable, si tiene un MK de 3 variables, el término le queda en 2
variables y así sucesivamente.
GRUPOS DE 4 CELDAS
En este caso la expresión vale 1. Todas las
1 1 celdas son adyacentes entre si y se anulan o
1 1 neutralizan.
00 01 11 10 00 01 11 10
0 1 0 0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 0 0 0 0
00 01 11 10 00 01 11 10
0 0 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 1 0 1 0 1 1 0
Este agrupamiento NO es válido.
Y lo podemos sustituir por
1 0 0 1
ejemplo por estos subgrupos:
0 1 1 0
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6. CIRCUITOS DIGITALES II
1 1 1 1 1 0 0 1
1 1 0 0 0 1 1 0
0 1 0 0 0 1 1 0
0 1 0 0 1 0 0 1
NOTA: Cada grupo reduce en dos variables a las expresiones lógicas del total de las
variables participantes.
GRUPOS DE 8 CELDAS
La expresión vale 1. Todas las celdas son
1 1 1 1 adyacentes entre sí y se neutralizan.
1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1 1
0 =1
0 1 1 0 1 1 1 1
0
0 1 1 0 1 1 1 1
NOTA: Cada grupo reduce en 3 variables a las expresiones lógicas del total de las variables
participantes, lo que da origen a un término de una variable. Al igual que los MK anteriores, un
grupo de 16 celdas, origina una expresión que vale 1.
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7. CIRCUITOS DIGITALES II
Es normal que dentro de un MK se encuentren grupos de 1, 2, 4 u 8
celdas e incluso 16 celdas, solitarios o combinados.
¿QUE HACEMOS CON CADA GRUPO FORMADO Y SIMPLIFICADO?
Los sumamos si se trata de una expresión SDP o los multiplicamos si se
trata de una expresión PDS, y conseguimos nuestra “Expresión Lógica
Simplificada”
NOTA: Todos los grupos fueron formados tomando como base los 1´s presentes.
¿Será posible hacer lo mismo tomando como base a los 0´s? ¿Cuál será la diferencia?
VARIABLES IRRELEVANTES (Don´t Care)
Estas variables se representan con la letra X u otra de su preferencia, y
significa que pueden tomar el valor de 1 ó 0.
Siguen las mismas normas y reglas de agrupamiento vistas hasta ahora, y
son tomadas en cuenta, a CONVENIENCIA, es decir, si nos sirven para
simplificar un grupo, las usamos, si no nos sirven, ¡No! Las usamos. Y nuestro
resultado será más simplificado ó menos simplificado.
NO debemos formar grupos de x, solamente ya que estaríamos
adicionando términos ficticios e innecesarios.
1 0 1 0 0 x
x 0 1 x x 1
1 0 0 x 1 x x x
1 0 1 x 1 0 x 1
0 0
x x x 1 0 0 0 0
0 Este grupo 0
1 x x 0 NO es válido 1 x 1 x
¿Cuándo Hacemos uso de las variables irrelevantes?
Cuando no han sido definidas en las condiciones de funcionamiento y operación de un
problema. Pueden Ocurrir o no. No afectan el funcionamiento de nuestro diseño lógico, más sin
embargo, nos pueden servir para simplificar nuestras expresiones.
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8. CIRCUITOS DIGITALES II
Ejercicios propuestos
 Agrupe, simplifique y halle las expresiones en los siguientes mapas de Karnaugh:
1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1
0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0
1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1
0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0
0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0
1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0
1
Nota:
1. Coloque usted el conteo donde haga falta.
2. Recuerde:
a. Un grupo de 1 celda da origen a un término producto de 4 variables.
b. Un grupo de 2 celda da origen a un término producto de 3 variables.
c. Un grupo de 4 celda da origen a un término producto de 2 variables.
d. Un grupo de 8 celda da origen a un término producto de 1 variables.
e. Un grupo de 16 celda da origen a que la expresión valga 1.
3. Una vez agrupados y simplificados se suman los términos mínimos encontrados.
4. Si considera los 1’s, la función encontrada es una S.D.P.
5. Si considera los 0’s la función encontrada es una P.D.S.
6. A medida de que los grupos sean más grandes, la función tendrá menos variables.
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9. CIRCUITOS DIGITALES II
 Agrupe, simplifique y halle las expresiones en los siguientes mapas de Karnaugh:
1 x 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1
0 x x 1 x x x x x x x 1
1 1 0 x x x x x 0 x 1 x
x x 0 1 x x x x 1 x 0 1
0 1 x x 1 0 1 1 1 0 0 0
1 1 x x 1 0 1 1 1 x x 1
1 1 x x 0 x 0 1 x x 1 1
1 1 x x x 0 x x 0 0 0 0
1
Nota:
1. Coloque usted el conteo donde haga falta.
2. X representa una condición irrelevante, o no ocurre o no tiene ningún efecto sobre la
salida.
3. Se tratan como 1’s ó 0’s, A CONVENIENCIA.
4. Deben ser tomadas en cuenta a medida de que ayuden a simplificar el circuito.
5. Se siguen las mismas reglas de agrupamiento.
6. NO se pueden agrupar solo X.
7. A medida de que los grupos sean más grandes, la función tendrá menos variables.
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