Leyes Lógicas: -Fórmulas moleculares complejas -Clasificación -Tautología -Entre otras cosas

1. Leyes Lógicas
Fundamentos de Computación I

2. FORMULAS MOLECULARES COMPLEJAS
Para definir fórmulas moleculares complejas se deben seguir los siguientes pasos:
1. Establecer la jerarquía a través de los agrupamientos
~ [(p v q) ^(~ q → p)]
2. Construir las matrices secundarias que correspondan a las de los operadores de menor
jerarquía.
3. Se construye la matriz principal
Ejercicio: construir la matriz para la fórmula: [(p→q) ^ (q→r) → (p→r)
p q (p v q) (~ q) (~ q → p) [(p v q) ^ (~ q → p)] ~ [ ]
V V V F V V F
V F V V V V F
F V V F V V F
F F F V F F V

3. Clasificación de las fórmulas moleculares por su matriz principal
Las tablas de verdad nos permiten clasificar a las fórmulas moleculares en tautológicas,
consistentes y contradictorias.
✓ Formulas Tautológica (FMT): son aquellas en que los valores de su matriz principal son
todos verdaderos.
Este término proviene de las voces griegas tauto (“lo mismo”) y logos (“palabra” o “saber”),
y su formulación lógica a menudo consiste en A = A.
Esto generalmente ocurre en las proposiciones que incluyen la conclusión en sus premisas,
como “se es lo que se es” o “lo vi con mis propios ojos” o “subir hacia arriba”.

4. La forma lógica más simple de descubrir una tautología es a través de la formulación de
tablas de la verdad: aquellos casos que sean verdaderos sin importar cuáles sean los
valores expresados, serán necesariamente tautológicos.
Son ejemplos de tautología los siguientes enunciados:
✓ Un hombre es un hombre.
✓ Corrí la distancia con mis propios pies.
✓ Todo lo que está de más, sobra.
✓ Las cosas cayeron hacia abajo.
✓ Subí hacia arriba de la escalera.
✓ El frío es causado por el descenso de la temperatura.
Tautología

5. Y en términos lógicos, un ejemplo de tautología es la expresión: (p ^ q)  p , cuya tabla
de la verdad sería la siguiente:
Ejercicio:
Realizar la tabla de verdad para demostrar que es una tautología: p v q

6. p ~ p p v (~ q)
V F V
F V V
Solución:
Ejercicio:
Realizar la tabla de verdad para demostrar que es una tautología: (p v q) v [(~p) ^ (~q)]

7. Son aquellas en que algunos valores de su matriz principal son verdaderos y algunos son
falsos.
Ejemplo: “caímos hacia las alturas”, o el enunciado lógico: p   p
[ ~ ( p v q) ^ ~ p]  → (q → p)
Consistentes (FMC)
Ejercicio: Demostrar que la proposición p v q ^[( ~p) ^(~q)] es una contradicción
p q ( p v q) ~( p v q) ~ p [ ~ ( p v q) ^ ~ p] (q → p) [] →()
V V V F F F V F
V F V F F F V F
F V V F V F F V
F F F V V V V V

8. También llamadas formulas inconsistentes son aquellas en que los valores de su matriz
principal son todos falsos.
~[( p ^ q) → ~(~q v ~p)]
Contradictorias (FM.L)
p q (p ^ q) (~q v ~p) ~(~q v ~p) [( p ^ q) → ~(~q v ~p)] ~[ ]
V V V F V V F
V F F V F V F
F V F V F V F
F F F V F V F

9. Construir un diagrama de valores de verdad para cada fórmula sabiendo que:
p es V, q , r son F , s es V.
p sustituye a la proposición : Estoy en clase de lógica
q: presto atención
r: soy alumno de segundo año
s: este es un ejercicio lógico.
ACTIVIDAD 1:
a) ( p  r )  ~ q
b) ~ p  r  ~ q
c) ~ ( p  r  ~ q )
d) q  ( p  r )
e) ( p  ~ r )  ( q  s )
f) ~ p  q  r
g) ~ ( p  ~ q  ~ s )
h) ( p  r )  ( ~ p  ~ q )
i) p  q  r  ~ p
j) q  ~ q

10. Construir una tabla de valores de verdad para cada una de las fórmulas
ACTIVIDAD 2:
a) Atiendo las explicaciones pero no entiendo.
b) No estoy enamorado aunque soy feliz.
c) Resuelvo sola este ejercicio.
d) La lógica estudia los razonamientos deductivos.
e) No ocurre que haremos recreo.
f) No ocurre que, o trabajo en grupo o no vengo a clase.
g) Si estudio la teoría, comprendo las consignas.
h) Estoy en clase o, si me quedo en clase entonces no apruebo el curso.
i) Canto o bailo, pero no me divierto.
j) El aula es incómoda y hay poca luz, o yo no dormí bien anoche.

11. Una fórmula “A” implica a “B” si y solo si unidas en forma condicional, “A” como
antecedente y “B” como consecuente, su matriz resulta tautológica. Si su matriz es
consistente o contradictoria, se dice que “A” no implica a “B”.
Ejercicio: si las matrices de las siguientes formulas son:
A: VVFF
B: VVVF
C: FFVV
D:FFFV
Determinar mediante tabla de verdad si:
1)”La conjunción de las negaciones de A y C implica a la negación de la negación conjunta
de B y D”
Implicación de formulas

12. Respuesta:
1) Se expresa el enunciado
2) Se evalúa la formula mediante tabla de verdad
3) Si su matriz es tautológica, se dice que A implica a B, si es
contradictoria o consistente, se dice que A no implica a B
(~ A ^ ~ C ) → ~ (B D)
F F V V V V F F
F F V V V V F F
V F F V V V F F
V F F V V V F V

13. Equivalencia lógica
p q
V V
V V
V F
V F
F V
F V
F F
F F
q->r (p->r) v (q->r)
V V
F F
V V
V V
V V
F V
V V
V V
r p->r
V V
F F
V V
F F
V V
F V
V V
F V
Dos formulas “A” y “B” son equivalentes si y solo si sus matrices son iguales. Si son
diferentes se dice que “A” y “B” no son equivalentes

14. p q
V V
V V
V F
V F
F V
F V
F F
F F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
(p ^ q)
V
V
F
F
F
F
F
F
(p^q)-> r
V
F
V
V
V
V
V
V
Como se observa del resultado las proposiciones son equivalentes.
Ejercicio: Determinar si las siguientes proposiciones son equivalentes
a) p-> (q v r)
b) ~p ^ (q v r)
c) ~q ->(~p v r)

15. También se puede utilizar las equivalencias lógicas para reescribir oraciones.
Ejemplo:
No es verdad que yo soy Julio Cesar y tu eres un tonto.
Yo no soy Julio Cesar o tú no eres un tonto.
ACTIVIDAD 3:
Reescribir las siguientes oraciones utilizando equivalencias lógicas:
a) Está lloviendo y he olvidado mi paraguas, o está lloviendo y he olvidado mi sombrero.
b) Mi computadora se descompone cuando ha sido utilizada por mucho tiempo, y cuando
no es el caso de que el aire esta seco o la luna no está llena.

16. Respuestas:
a) Está lloviendo y he olvidado mi paraguas o mi sombrero.
b) Mi computadora se descompone cuando ha sido utilizada por mucho tiempo, el aire
no es seco, y la luna está llena.

17. Algunas equivalencias reciben nombres especiales, por ser de uso frecuente, entre ellas:
Leyes Lógicas
Equivalencia Denominación
~(~p) ≡ p Ley de doble negación
p ^q ≡ q ^p Ley conmutativa de la conjunción
p v q ≡ q v p Ley conmutativa de la disyunción
(p ^ q) ^r≡ p ^ (q ^ r) Ley asociativa de la conjunción
(p v q) v r ≡ p v (q v r) Ley asociativa de la disyunción
~(p v q) ≡ (~p) ^(~q)
~(p ^q) ≡ (~p) v (~q)
Ley de Morgan
p^(q v r) ≡(p^q) v (p^r) Ley de Distribución
p^(p v q) ≡ p Ley de Absorción
~p v (p ^q) ≡ ~ p v q Ley de Absorción parcial

18. Equivalencia Denominación
p v p ≡ p : p ^ p ≡ p Potencia
( p  q )  ( ~ q  ~ p ) Trasposición
( p  q)  ( p  q) Definición de condicional
(pq)  ( p  q)  ( q  p) Definición de bicondicional
 ( p  q)  ( p   q ) Negación del condicional
ACTIVIDAD 4:
Dadas las proposiciones: S= ~p -> (~p ^ ~ q) y T= ~p -> ~q
a) Evaluar mediante tablas de verdad si S es equivalente a T.
b) Evaluar mediante leyes lógicas si S es equivalente a T.

19. Solución por tablas:
Es una tautología. S ≡ T
Solución por leyes: S= ~p -> (~p ^ ~ q) y T= ~p -> ~q
~p -> (~p ^ ~ q) por Ley condicional: p->q ≡ ~p v q queda: p v (~ p ^ ~ q)
p v (~p ^ ~q) por ley de absorción parcial:
~ p v (p ^q)= ~p v q
queda: S= p v ~ q
~p -> ~q por Ley condicional: p->q ≡ ~p v q queda: T= p v ~q
S ≡ T
S T
p q [~p -> (~p ^ ~ q)] <-> (~p ^ ~ q)
V V F V F F F V F V F
V F F V F F V V F V F
F V V F V F F V V V F
F F V V V V V V V V V

20. ACTIVIDAD 5:
Aplicar las leyes lógicas para encontrar proposiciones equivalentes a:
1. No es cierto que, o voy al cine o voy a bailar
2. No ocurre que, si presento la monografía entonces apruebo la asignatura
3. No ocurre que, si desapruebo el parcial, promociono esta asignatura o la regularizo.
4. Salgo a caminar pero no me canso.

21. ACTIVIDAD 6:
Analizar las condiciones necesaria y suficiente de los siguientes condicionales y simbolizarlos:
1. Es necesario escuchar música para ser feliz.
2. Soy feliz si escucho música.
3. Soy feliz solamente si escucho música.
4. Es suficiente estar enamorado, para ser feliz.
5. Para ser feliz es necesario escuchar música y no estar enamorado.
6. Para escuchar música es suficiente ser feliz o estar enamorado.
7. Soy feliz si escucho música.
8. Para estar enamorado es necesario ser feliz.
9. Soy feliz o no escucho música si estoy enamorado.
10. Sólo si escucho música, soy feliz.
11.Para ser feliz es suficiente estar enamorado.