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✷✳✶✳✽✳ ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥✳ ■❢ t❤❡ ❛❣❡♥t✬s ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ✐s ❢✉❧❧② ❞❡s❝r✐❜❛❜❧❡ ❡①✲❛♥t❡ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦✉rt ❝❛♥ ✈❡r✐❢②
✐t ❡①✲♣♦st✱ t❤❡r❡ s❤♦✉❧❞ ❜❡ ♥♦ ♥❡❡❞ ❢♦r r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥✳ ◆❡✈❡rt❤❡❧❡ss✱ ✐❢ t❤❡r❡ ❛r❡ s✐t✉❛t✐♦♥s ♦r ❝♦♥✲
t✐♥❣❡♥❝✐❡s t❤❛t ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❢✉❧❧② ❞❡s❝r✐❜❡❞ ♦r ✐t ✇♦✉❧❞ ❜❡ t♦♦ ❡①♣❡♥s✐✈❡ t♦ ✇r✐t❡ ❡✈❡r② s✐♥❣❧❡ ♣♦ss✐❜❧❡
♦♥❡ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥tr❛❝t ✭❛s ✐t ♥♦r♠❛❧❧② ❤❛♣♣❡♥s ✐♥ t❤❡ r❡❛❧ ✇♦r❧❞✮✱ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ❝♦♠❡s ✐♥t♦ ♣❧❛②✳ ●❛✐♥s
❢r♦♠ tr❛❞❡ ❛r❡ ♥♦t ❡①❤❛✉st❡❞ ❛♥❞ t❤❡ t✇♦ ♣❛rt✐❡s ❤❛✈❡ ❛♥ ✐♥❝❡♥t✐✈❡ t♦ r❡♥❡❣♦t✐❛t❡ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡✐r
❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣♦✇❡r✳
✷✳✶✳✾✳ ❘❡❣✉❧❛t✐♦♥✳ ❋r♦♠ t❤❡ ♣♦✐♥t ♦❢ ✈✐❡✇ ♦❢ ❘❡❣✉❧❛t♦r② ❊❝♦♥♦♠✐❝s✱ ❘❡❣✉❧❛t✐♦♥ ✐s t❤❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥
♦❢ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧✲❛❣❡♥t ♠❡t❤♦❞♦❧♦❣② t♦ t❤❡ ❝♦♥tr❛❝t✉❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ❜❡t✇❡❡♥ r❡❣✉❧❛t♦rs ❛♥❞ r❡❣✉❧❛t❡❞
✜r♠s❬✺❪✳ ❲❤❡♥ ❢❛❝✐♥❣ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❛s②♠♠❡tr✐❝ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ r❡❣✉❧❛t♦rs ✇✐❧❧ tr② t♦ ✜♥❞ ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧
❝♦♥tr❛❝t t❤❛t ✇♦✉❧❞ ♣r❡✈❡♥t ✉♥❞❡s✐r❡❞ r❡s✉❧ts ❢r♦♠ t❤❡ ♣♦✐♥t ♦❢ ✈✐❡✇ ♦❢ s♦❝✐❛❧ ✇❡❧❢❛r❡ ❜② ✐♠♣❧❡♠❡♥t✐♥❣
❝♦♠♠✐t♠❡♥t ♠❡❝❤❛♥✐s♠s t❤❛t ❞♦ ♥♦t ❛❧❧♦✇ ❢♦r ♠♦♥♦♣♦❧✐st✐❝ ♣r❛❝t✐❝❡s✳
✷✳✶✳✶✵✳ ❙✐❣♥❛❧✐♥❣✳ ❚❤✐s ❝♦♥❝❡♣t ✐s ❝❧♦s❡❧② r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ✐❞❡❛ ♦❢ ❆s②♠♠❡tr✐❝ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❉✐s♣❛r✐t✐❡s
✐♥ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❝❝❡ss ♦r ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♣❛rt✐❡s ❧❡❛❞s t♦ ✐♠♣❡r❢❡❝t ♦✉t❝♦♠❡s✱ ❛♥❞ t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠
❝❛♥ ❜❡ ❛✈♦✐❞❡❞ ❜② ❤❛✈✐♥❣ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❛❣❡♥ts s✐❣♥❛❧✐♥❣ s♦♠❡ r❡❧❡✈❛♥t ♣✐❡❝❡ ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t♦ t❤❡ ♦t❤❡r✱
✇❤♦ ✇♦✉❧❞ ❛❞❥✉st ❤✐s ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ❛❝❝♦r❞✐♥❣❧②✳ ❖❜✈✐♦✉s❧②✱ t❤❡ t✇♦ ♠❛✐♥ ♣r♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ s✐❣♥❛❧✐♥❣ ❛r❡
t❤❡ ❝♦st ♦❢ ❞♦✐♥❣ s♦ ❛♥❞ tr✉st✳
✷✳✶✳✶✶✳ ❚❡❝❤♥♦❧♦❣② ♦❢ ❚r❛❞❡✳ ❋r♦♠ t❤❡ ♣♦✐♥t ♦❢ ✈✐❡✇ ♦❢ ❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r②✱ ❚❡❝❤♥♦❧♦❣② ♦❢ ❚r❛❞❡ r❡❢❡rs
t♦ ❛❝t✐♦♥s t❤❛t t❤❡ ♣❧❛②❡rs ❝❤♦♦s❡ ✇❤✐❝❤ ❞❡t❡r♠✐♥❡ ✇❤❡t❤❡r ❛♥❞ ❤♦✇ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ ✭❝♦♥tr❛❝t✮ ✐s
❝♦♥s✉♠♠❛t❡❞✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ ❚❡❝❤♥♦❧♦❣② ♦❢ ❚r❛❞❡ ✐s ❤♦✇ t❤❡ ♣❛rt✐❡s ✐♠♣❧❡♠❡♥t t❤❡ tr❛♥s❢❡rs ♦❢
❣♦♦❞s✱ s❡r✈✐❝❡s✱ ♠♦♥❡②✱ ❡t❝ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡♠✳ ❚❤❡ ✇❛② ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡② ✐♠♣❧❡♠❡♥t t❤❡ tr❛♥s❢❡r ✇✐❧❧ ❛✛❡❝t
t❤❡ ❡①✲♣♦st ♦✉t❝♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥tr❛❝t ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❚r❛❞❡ ❛♥❞ ❊♥❢♦r❝❡♠❡♥t P❤❛s❡❬✶✷❪✳
✷✳✷✳ ❚❤❡ ❇❛s✐❝ ■❞❡❛ ♦❢ ❛ ❈♦♥tr❛❝t✳ ❇♦❧t♦♥ ❛♥❞ ❉❡✇❛tr✐♣♦♥t✱ ✐♥ t❤❡✐r ❜♦♦❦ ✏❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r②✑
✭✷✵✵✺✮✱ ♣r❡s❡♥t ✇❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ t❤❡ s✐♠♣❧❡st ❝♦♥tr❛❝t✉❛❧ s✐t✉❛t✐♦♥✿ ❆ ❜✐❧❛t❡r❛❧ ❝♦♥tr❛❝t✉❛❧
♣r♦❜❧❡♠ ❜❡t✇❡❡♥ ❛♥ ❡♠♣❧♦②❡❡ ❛♥❞ ❡♠♣❧♦②❡r ✇✐t❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣❛r❛♠❡t❡rs✿ t❤❡ ❡♠♣❧♦②❡r✬s ✉t✐❧✐t②
❢✉♥❝t✐♦♥ ❯✭❧✱t✮ ❛♥❞ t❤❡ ❡♠♣❧♦②❡❡✬s ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ✉✭❧✱t✮ ✇❤❡r❡ ❧ ✐s t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❡♠♣❧♦②❡❡✬s t✐♠❡
❡❛❝❤ ♦♥❡ ✐s ✉s✐♥❣ ❛♥❞ t r❡♣r❡s❡♥ts ♠♦♥❡② ❛t t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✬s ❞✐s♣♦s❛❧✳ ❚❤❡ ❡♠♣❧♦②❡r ✭✶✮ st❛rts ✇✐t❤
❛❧❧ t❤❡ ♠♦♥❡② ❛♥❞ t❤❡ ❡♠♣❧♦②❡❡ ✭✷✮ ✇✐t❤ ❛❧❧ t❤❡ t✐♠❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡✱ t❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❡♥❞♦✇♠❡♥ts
❛r❡✿ (ˆl1, ˆt1) = (0, 1) ❛♥❞ (ˆl2, ˆt2) = (1, 0)✳ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ♣❛②♦✛s ❝❛♥ ❜❡ ✐♥❝r❡❛s❡❞ ❜② ❡①❝❤❛♥❣✐♥❣ ❧❛❜♦r ❢♦r
♠♦♥❡② ✐❢ t❤❡ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ str✐❝t❧② ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥ ❜♦t❤ ❛r❣✉♠❡♥ts ❛♥❞ str✐❝t❧② ❝♦♥❝❛✈❡✳ ❙♦ t❤❡
♦✉t❝♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥tr❛❝t✉❛❧ ♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ✇♦✉❧❞ ❜❡ t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ❤♦✉rs t❤❛t t❤❡ ❡♠♣❧♦②❡❡ ✇✐❧❧ ✇♦r❦
✐♥ ❡①❝❤❛♥❣❡ ❢♦r ❛♥ s♣❡❝✐✜❝ ✭❤♦✉r❧②✮ ✇❛❣❡✳
✶
✶❚❤✐s ❡①❛♠♣❧❡ ✐s ❜❡✐♥❣ ✉s❡❞ ❥✉st t♦ ♠♦t✐✈❛t❡ t❤❡ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ♦❢ ❢✉rt❤❡r s♦♣❤✐st✐❝❛t✐♦♥s t♦ ❝♦♥tr❛❝t ❞❡s✐❣♥ t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡
❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ❜❡❧♦✇✳
✹

5. ▲✐t❡r❛t✉r❡ ❘❡✈✐❡✇ ♦♥ ❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r② ✲ ❏✳❱✐❞❛✉rr❡
◆♦✇✱ t❤❡ ❥♦✐♥t s✉r♣❧✉s ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ❧♦♦❦s ❧✐❦❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿
maxli,ti
U(l1, t1) + µu(l2, t2) . . . i = 1, 2
s✉❜❥❡❝t t♦ t❤❡ r❡s♦✉r❝❡ ❝♦♥str❛✐♥ts✿l1 +l2 = ˆl1 +ˆl2 = 1 ❛♥❞ t1 +t2 = ˆt1 +ˆt2 = 1✳ ❍❡r❡ µ ❝❛♥ r❡♣r❡s❡♥t
❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ str❡♥❣t❤s ♦r t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ r❡s❡r✈❛t✐♦♥ ✉t✐❧✐t② ❧❡✈❡❧s ¯U ❛♥❞ ¯u✳
❋✐rst ♦r❞❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ s♦❧✉t✐♦♥✿
Ul + µul = 0 = Ut + µut
✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧②✿
Ul
Ut
=
ul
ut
❚❤✉s✱ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ r❛t❡s ♦❢ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ♠♦♥❡② ❛♥❞ ❧❡✐s✉r❡ ❢♦r ❜♦t❤ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❛r❡
❡q✉❛❧✐③❡❞ ❛♥❞ ✇❡ ❛❝❤✐❡✈❡ ❥♦✐♥t s✉r♣❧✉s ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥✳ ❇✉t✱ ✇❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ✐❢ t❤❡s❡ r❛t✐♦s ❛r❡ ♥♦t
❡q✉❛❧❄ ❚❤❡r❡ ❝❛♥ ❜❡ ❣❛✐♥s ❢r♦♠ tr❛❞❡ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❡♠♣❧♦②❡r ❛♥❞ ❡♠♣❧♦②❡❡ ❛r❡ ❣❡tt✐♥❣ ♠♦r❡ ♦r ❧❡ss
r❡❧❛t✐✈❡ ✉t✐❧✐t② ❡✐t❤❡r ❢r♦♠ ❡♠♣❧♦②❡❡✬s t✐♠❡ ♦r ❢r♦♠ ♠♦♥❡②✿
Ul
Ut
>
ul
ut
❍♦✇ t❤❡ ❣❛✐♥s ❛r❡ s❤❛r❡❞ ✐s ❣♦✐♥❣ t♦ ❜❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜②µ✳❚❤❡ ❤✐❣❤❡st ✉t✐❧✐t② t❤❛t ❡❛❝❤ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧
❝♦✉❧❞ ❣❡t ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r t❤❡ ❡♠♣❧♦②❡❡ ❛♥❞ t❤❡
❡♠♣❧♦②❡r r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✿
maxl2,t2 u(l2, t2) subject to U(1 − l2, 1 − t2) ≥ ¯U
maxl1,t1 U(l1, t1) subject to u(1 − l1, 1 − t1) ≥ ¯u
■♥ t❤✐s ❝❛s❡ ✇❡ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✉r♣❧✉s ❝❛♥ ❜❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❣✐✈❡♥ µ ♦r ❜②
❛❞❥✉st✐♥❣ ¯U ❛♥❞✴♦r ¯u t♦ ❤✐❣❤❡r ♦r ❧♦✇❡r ❧❡✈❡❧✳
❚❤✐s ❛♥❛❧②s✐s ✐s ✐❧❧✉str❛t✐✈❡ ❜✉t ❡①tr❡♠❡❧② ♥❛✐✈❡ ✇❤❡♥ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ ♣r❛❝t✐❝❛❧ s✐t✉❛t✐♦♥s✳ ■t ❞♦❡s ♥♦t
❝♦♥s✐❞❡r ❝♦♠♣❧✐❝❛t✐♦♥s t❤❛t ❝❛♥ ❛r✐s❡ ❢r♦♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✱ ✐t ❞♦❡s ♥♦t r❡✢❡❝t t❤❡ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣
♣r♦❝❡ss t❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ❜❡❢♦r❡ ❛ ❝♦♥tr❛❝t ✐s s✐❣♥❡❞✱ t❤❡ t❡❝❤♥♦❧♦❣② ♦❢ tr❛❞❡ ✭❤♦✇ t❤❡ ♣❛rt✐❡s ✐♥t❡r❛❝t
❜❡❢♦r❡ ❛♥❞ ❛❢t❡r t❤❡ ❝♦♥tr❛❝t ✐s s✐❣♥❡❞ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❞❡❧✐✈❡r ✐t✮ ♦r t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡♥❢♦r❝❡♠❡♥t
♦❢ t❤❡ ❝♦♥tr❛❝t ✐ts❡❧❢ ✭s✐♥❝❡ tr❛♥s❛❝t✐♦♥s ❛r❡ ♥♦t ❣♦✐♥❣ t♦ ❜❡ ♣❡r❢❡❝t❧② s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s✱ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢
❛♥ ❡♥❢♦r❝❡♠❡♥t ♠❡❝❤❛♥✐s♠ ❝♦✉❧❞ ❣✉❛r❛♥t❡❡ ❣❛✐♥s ❢r♦♠ tr❛❞❡✮✳
■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡❝t✐♦♥s✱ ■ ♣r❡s❡♥t s❤♦rt ✈❡rs✐♦♥s ♦❢ ♠♦❞❡❧s ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ❜② ❞✐✛❡r❡♥t ❛✉t❤♦rs ✐♥
✇❤✐❝❤ t❤❡② ❡①♣❧♦r❡ t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❛❜♦✈❡✳
✺

6. ▲✐t❡r❛t✉r❡ ❘❡✈✐❡✇ ♦♥ ❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r② ✲ ❏✳❱✐❞❛✉rr❡
✸✳ ▼♦❞❡❧✐♥❣ t❤❡ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❈♦♥tr❛❝ts
✸✳✶✳ ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ P♦t❡♥t✐❛❧ ❛♥❞ ❚❡❝❤♥♦❧♦❣② ♦❢ ❚r❛❞❡✳ ❚❤❡ ✜rst ✐❞❡❛ ■ ♣r❡s❡♥t ❞❡❛❧s ✇✐t❤
t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❛❣❡♥ts ❛♥❞ t❤❡ t✐♠✐♥❣ ❛♥❞ ♥❛t✉r❡ ♦❢ t❤❡ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss✳ ❏♦❡❧
❲❛ts♦♥ ✭✷✵✵✼✮ ❝❛❧❧s t❤✐s ♣r♦❝❡ss ✏❚❡❝❤♥♦❧♦❣② ♦❢ ❚r❛❞❡✑ ❛♥❞ ❜❡❧♦✇ ✐s ❛ s❤♦rt ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❤✐s ♠♦❞❡❧✳
❚r❛❞❡ ❛❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✭✐✳❡✳ ✐♥✈❡st♠❡♥t✮ ♦r ♣✉❜❧✐❝ ✭✉♥❞❡r t❤❡ s✉♣❡r✈✐s✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ❡♥❢♦r❝❡r
❞✉r✐♥❣ t❤❡ tr❛❞❡✲❡♥❢♦r❝✐♥❣ ❢❛❝❡✮✳ ❚❤❡ ❦❡② ✐ss✉❡ ✐s t❤❛t ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❛❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ♣✉❜❧✐❝
❛❝t✐♦♥s ✐❢ t❤❡ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss ❤❛♣♣❡♥s ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✐♠ st❛t❡ ✭❛❢t❡r t❤❡ st❛t❡ ✐s r❡❛❧✐③❡❞ ❜✉t
❜❡❢♦r❡ s❡♥❞✐♥❣ t❤❡ ♠❡ss❛❣❡ t♦ t❤❡ ❡♥❢♦r❝❡r✮✳ ❚❤✐s ✇❛②✱ t❤❡ ♠❡ss❛❣❡s s❡♥t ♦✉t ❛r❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t❡❞ ✐♥
s✉❝❤ ❛ ✇❛② t❤❛t t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ♣✉❜❧✐❝ ❛❝t✐♦♥ ✐s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ t♦ ❜❡ ♠❛①✐♠✐③❡❞✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱
r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ❡①✲♣♦st ❝❛♥ ❜❡ ❛ ✇❛② t♦ ❛❧s♦ ❛❝❤✐❡✈❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❛❣❡♥ts ❦♥♦✇ t❤❡ ❡♥❢♦r❝✐♥❣
♦✉t❝♦♠❡ ❛♥❞ ❝❛♥ r❡♥❡❣♦t✐❛t❡ ♦✈❡r t❤❡ s✉r♣❧✉s✳ ❚❤✉s✱ ✇❡ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ❛❣❡♥ts ❝❛♥ ✉s❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧
❛❝t✐♦♥s ♣❧✉s tr❛♥s❢❡rs ✭❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ s❡♥t ♠❡ss❛❣❡s✮ ♦r ❡①✲♣♦st r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ♣❧✉s ❢♦r❝✐♥❣ ❝♦♥tr❛❝ts
❛s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✇❛②s t♦ ♦❜t❛✐♥ ❡✣❝✐❡♥t r❡s✉❧ts✳
❚❤❡ t✐♠✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❝❡ss ✐s ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿
❉❛t❡ ❊✈❡♥t P❛②♦✛ ❘❡❧❡✈❛♥t ❈♦♠♣♦♥❡♥ts
✶ ❈♦♥tr❛❝t ✕
✷ ❯♥✈❡r✐✜❛❜❧❡ ❊✈❡♥ts ❙t❛t❡ ♦❢ ❘❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ θǫΘ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❛❝t✐♦♥s
❛♥❞ r❛♥❞♦♠ ♦❝❝✉rr❡♥❝❡s✳
✸ P♦ss✐❜❧❡ ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ❊①✲❆♥t❡
✹ ❙❡♥❞ ▼❡ss❛❣❡s m = (m1ǫM1, m2ǫM2)
✺ P♦ss✐❜❧❡ ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ❊①✲P♦st
✻ ❚r❛❞❡ ❆❝t✐♦♥s a = (a1, a2) aǫA ≡ A1xA2
✼ P♦ss✐❜❧❡ ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ❊①✲P♦st ✉♥❞❡r ❋♦r❝✐♥❣ ❙t❛❣❡
✽ ❊♥❢♦r❝✐♥❣ ❋❛❝❡ ❚r❛♥s❢❡rs t = (t1, t2), t1 + t2 ≤ 0, t = y(m, a)✳ ❚❤✐s ✐s ❤♦✇
t❤❡ ❡♥❢♦r❝❡r ✇♦r❦s✳
❆❣❡♥ts tr② t♦ ♠❛①✐♠✐③❡ t❤❡ ✉t✐❧✐t② t❤❡② ♦❜t❛✐♥ ❢r♦♠ t❤❡ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ❛♥❞ t❤❡✐r ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧
❛❝t✐♦♥s✿
MaxaǫAU1(a, θ) + U2(a, θ)
s♦ t❤❡② ♠❛♥✐♣✉❧❛t❡ t❤❡ ♠❡ss❛❣❡s t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ U(a, θ) + t s✐♥❝❡ t❤❡ tr❛♥s❢❡r ✐s ❣♦✐♥❣ t♦
❜❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ❡♥❢♦r❝❡r ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ♠❡ss❛❣❡s t❤❡② s❡♥❞✳
❆t ❞❛t❡ ✸✱ t❤❡ ❛❣❡♥ts ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡✐r ❡①♣❡❝t❡❞ ♣❛②♦✛ ❢r♦♠ t❤❡ r❡❛❧✐③❡❞ st❛t❡ ❛♥❞ ❛❝t✐♦♥s ❛♥❞
❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛❜❧❡ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✉♥❞❡r t❤❡ ♣r❡s❡♥t ❝✐r❝✉♠st❛♥❝❡s✳ ❚❤❡ ♠❛✐♥
❡①❡r❝✐s❡ ❢♦r t❤❡ ♣❧❛②❡rs ✐s t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐♥❝❡♥t✐✈❡ t♦ ✐♥✈❡st t❤❛t ✇♦✉❧❞ ❛❧❧♦✇ t❤❡♠ t♦
❝❤♦♦s❡ ❛ ❜❡tt❡r ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ s❡t ✉♥❞❡r t❤❡ ♣r♦s♣❡❝t ❢♦r r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ❡①✲❛♥t❡✳
✻

7. ▲✐t❡r❛t✉r❡ ❘❡✈✐❡✇ ♦♥ ❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r② ✲ ❏✳❱✐❞❛✉rr❡
❋✐rst✱ ✐❢ ✇❡ ❛♥❛❧②③❡ ♦♥❧② t❤❡ ❙t❛t❡ ❈♦♥t✐♥❣❡♥t P❛②♦✛ ✭❜❛s❡❞ ❥✉st ♦♥ t❤❡ tr❛❞❡ ❢❛❝❡ ❢r♦♠ ❞❛t❡ ✻✮
♠❡ss❛❣❡s ❜❡❝♦♠❡ ✐rr❡❧❡✈❛♥t ❜❡❝❛✉s❡ ✇❡ ❝❛♥ ♠❛♣ t❤❡ ♣❛②♦✛s ❞✐r❡❝t❧② ❢r♦♠ t❤❡ ❛❝t✐♦♥s✱ ˆy : A → R2✱
s✐♥❝❡ t❤❡s❡ ❛r❡ ❥✉st ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ r❡❛❧✐③❡❞ st❛t❡ ✭❛ss✉♠✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ♣❛rts ❛❝t ♦♣t✐♠❛❧❧② ❢♦r t❤❡
tr✉❡ st❛t❡✮✿
w(θ) ≡ u(ˆa(θ), θ) + ˆy(ˆa(θ))
✇❤❡r❡ w(θ)✐s t❤❡ ❙t❛t❡ ❈♦♥t✐♥❣❡♥t P❛②♦✛ ❋✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤✉s✱ ✇❡ ❝❛♥ ❢♦r♠❛❧❧② ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❙t❛t❡
❈♦♥t✐♥❣❡♥t P❛②♦✛ ❋✉♥❝t✐♦♥ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿
W ≡ {w : Θ → R2
/functions ˆy and ˆa exist such that, for every θ ǫ Θ, the State Contingent
Payoff Function holds and ˆa(θ) is a Nash Equilibrium of the game < A, u(•, θ) + ˆy(•) >}
❍♦✇ ✇♦✉❧❞ t❤✐s s❝❡♥❛r✐♦ ❝❤❛♥❣❡ ✐❢ t❤❡ ❡♥❢♦r❝❡r ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ ✐♠♣♦s❡ ❛♥ ❊♥❢♦r❝✐♥❣ ❈♦♥tr❛❝t t❤❛t
✐♠♣♦s❡s ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❛❝t✐♦♥ r❡❣❛r❞❧❡ss ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ❜② ✉s✐♥❣ ♣❡♥❛❧t✐❡s❄ ❍❡ ✇♦✉❧❞ ♥❡❡❞ t♦ ✐♠♣♦s❡
❛ ♣❡♥❛❧t② ✏L✑ t❤❛t ❣♦❡s ❢r♦♠ t❤❡ ♣❧❛②❡r ✇❤♦ ❜r❡❛❝❤❡s t❤❡ ❝♦♥tr❛❝t t♦ t❤❡ ♦t❤❡r ♣❧❛②❡r s✉❝❤ t❤❛t
L > Supa,θUi(a, θ) − Infa,θUi(a, θ)✳ ❚❤✐s ♣❡♥❛❧t② ❛❧❧♦✇s t♦ ❡♥❢♦r❝❡ a∗ ❛♥❞ t∗ ✐♥ ❡✈❡r② st❛t❡ θ✳ ■❢
♣❧❛②❡r ✐ ❞❡✈✐❛t❡s ❛♥❞ ♣❧❛②❡r ❥ ♣❧❛②s t❤❡ ❡♥❢♦r❝✐♥❣ ❛❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦r❝✐♥❣ tr❛♥s❢❡r ❢✉♥❝t✐♦♥s
ˆyi(ai, a∗
j ) ≡ t∗
i − L ❛♥❞ ˆyj(ai, a∗
j ) ≡ t∗
i + L✳ ❲❡ ❝❛♥ ❢♦r♠❛❧❧② ❞❡✜♥❡ t❤❡ P❛②♦✛ ❋♦r❝✐♥❣ ❋✉♥❝t✐♦♥ ❛s
❢♦❧❧♦✇s✿
WF
≡ {w : Θ → R2
/there exists a∗
ǫ A and t ǫ R2
such that w(θ) ≡ u(a∗
, θ) + t∗
, for
all θ ǫ Θ}
❚❤✉s✱ r❡str✐❝t✐♥❣ ♦✉r ❛tt❡♥t✐♦♥ t♦ t❤❡ s✉❜s❡t WF ♦❢ W ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ tr❡❛t✐♥❣ tr❛❞❡ ❛❝t✐♦♥s ❛s
♣✉r❡❧② ♣✉❜❧✐❝✳
◆♦✇✱ ✇❡ ❝❛♥ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ♦❢ ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥✳ ❆❣❡♥ts ✇✐❧❧ tr② t♦ ♠❛♥✐♣✉❧❛t❡ t❤❡ r❡s✉❧t
❛♥❞ ♠❛❦❡ ✐t ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❙t❛t❡ ❈♦♥t✐♥❣❡♥t ♦♥❡ ❜② ❝❤♦♦s✐♥❣ ❛❝t✐♦♥s t❤❛t ✇♦✉❧❞ ♠❛♣ ✐♥t♦ s✐♠✐❧❛r
♣❛②♦✛s✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❖♣t✐♠❛❧ ❚r❛❞❡ ❆❝t✐♦♥s ❢✉♥❝t✐♦♥✿
γ(θ) = MaxaǫA[U1(a, θ) + U2(a, θ)]
❑♥♦✇✐♥❣ t❤❡ ❡♥❢♦r❝❡r ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ ✐♠♣♦s❡ ❛ s♣❡❝✐✜❝ ♦✉t❝♦♠❡✱ t❤❡ ❛❣❡♥ts ❝❛♥ ✉s❡ ♦♣t✐♠❛❧ tr❛❞❡
❛❝t✐♦♥ r❡s✉❧ts t❤❛t ✇♦✉❧❞ ❛❧❧♦✇ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ t♦ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ♣✉❜❧✐❝ ❛❝t✐♦♥ ♣❛②♦✛s✿
γ(θ) = MaxwǫWF [w1(θ) + w2(θ)]
✇❤✐❝❤ r❡♣r❡s❡♥ts ❡✣❝✐❡♥t ♣❛②♦✛s ✇ ✐♥ ❡❛❝❤ st❛t❡ θ✳ ■❢ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ ✐s ✐♥❡✣❝✐❡♥t✱ ✇❡ ❝❛♥ ✐♥tr♦❞✉❝❡
r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ t♦ r❡❛❧❧♦❝❛t❡ t❤❡ s✉r♣❧✉s r(w, θ) ≡ γ(θ) − w1(θ) − w2(θ) ✇❤✐❝❤ r❡♣r❡s❡♥ts ❛♥ ❡✣❝✐❡♥t
♠❛♣♣✐♥❣ Θ → R2✳ ❚❤✉s✱ ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐♥❡✣❝✐❡♥t ♦✉t❝♦♠❡ w✱ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ❛❧❧♦✇s t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ♥❡✇
♣❧❛②❡r ✐✬s ❡✣❝✐❡♥t ♦✉t❝♦♠❡✿
✼

8. ▲✐t❡r❛t✉r❡ ❘❡✈✐❡✇ ♦♥ ❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r② ✲ ❏✳❱✐❞❛✉rr❡
w′
i(θ) = wi(θ) + πir(w, θ) . . . . . . πi represents bargaining weight
✸✳✶✳✶✳ ■♥t❡r✐♠ ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥✿ ▲❡t✬s ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ s❡t ♦❢ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛❜❧❡ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s V n✱
♦♥❡ ❢♦r ❡❛❝❤ st❛t❡✱ ❛♥❞ t❤❛t t❤❡ ♣✉♥✐s❤♠❡♥t ❢♦r ✉♥❡q✉❛❧ ♠❡ss❛❣❡s (θ, θ
′
) ✐s ❜✐❣ ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦
r❡❧② ♦♥ t❤❡ r❡✈❡❧❛t✐♦♥ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ✭(θ, θ) ✐s t❤❡ ◆❛s❤ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❢♦r θ✮✳ ■♥t❡r✐♠ ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ✭❉❛②
✸✮ ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ♥❡✇ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ν t❤❛t ✐s ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛❜❧❡ ❛♥❞ ❡✣❝✐❡♥t ♦♥❧② ✐❢ t❤❡ ♠❡ss❛❣❡ ❣❛♠❡
❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ✐♥❡✣❝✐❡♥t ♦✉t❝♦♠❡ ν′ ǫ V n s✉❝❤ t❤❛t✿
ν(θ) = ν′
(θ) + πr(ν′
, θ)
❚❤✉s✱ ν ǫ V I✭s❡t ♦❢ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛❜❧❡ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐t❤ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥✮ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ν ǫ V N ❛♥❞
ν1(θ) + ν2(θ) = γ(θ)✳ ❲❡ s❡❡ t❤❛t P✉❜❧✐❝ ❆❝t✐♦♥s ❛♥❞ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❆❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✐♥ t❤❡
s❡tt✐♥❣ ♦❢ ✐♥t❡r✐♠ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥✳
✸✳✶✳✷✳ ❊①✲P♦st ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥✿ ❇❡t✇❡❡♥ ♣❧❛②✐♥❣ t❤❡ ♠❡ss❛❣❡ ❣❛♠❡ ❛♥❞ t❤❡ ❡♥❢♦r❝❡♠❡♥t ♣❤❛s❡✱ ❊①✲
P♦st ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ✭❉❛② ✺✮ ❝❛♥ ❧❡❛❞ t♦ ❡✣❝✐❡♥t ♦✉t❝♦♠❡s ✐♥ ❡✈❡r② st❛t❡✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ♣♦ss✐❜❧❡ ❊①✲P♦st
❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ♦✉t❝♦♠❡s ✐s✿
Z ≡ {z : Θ → R2
/there exists an outcome w ǫ W such that z(θ) ≡ w(θ) + πr(w, θ) for
all θ ǫ Θ}
❚♦ ❞❡✜♥❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛❜❧❡ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✉♥❞❡r ❊①✲P♦st ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t
♣❧❛②✐♥❣ t❤❡ ◆❛s❤ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♠❡ss❛❣❡s ❧❡❛❞s t♦ ν(θ)✳ ❚❤✉s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ νǫV EP ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✿
(i) ν1(θ) + ν2(θ) = γ(θ) for every θ ǫ Θ, and
(ii) for every θ, θ′
ǫΘ, there is ˆzǫZ such that ν1(θ) + ν2(θ′
) ≥ ˆz1(θ) + ˆz2(θ′
)
❚❤❡ ❧❛st ❝♦♥❞✐t✐♦♥ r❡❢❡rs t♦ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ❝❛♥ ♥♦t ♦✉t❞♦ ♣✉♥✐s❤♠❡♥t✳
✸✳✶✳✸✳ ❊①✲P♦st ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❋♦r❝✐♥❣ P❤❛s❡✿ ❚❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s
❝❛s❡ ✐s t❤❛t t❤❡ ❛❣❡♥ts ✇✐❧❧ r❡♥❡❣♦t✐❛t❡ ♦♥❧② ❛❢t❡r t❤❡ ❡♥❢♦r❝❡r ✐♠♣♦s❡s t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥tr❛❝t
✭✐✳❡✳ ❚❤❡ ●♦✈❡r♥♠❡♥t ❦♥♦✇s t❤❡ st❛t❡✱ ❢♦r❝❡s ❝♦♥tr❛❝ts ✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞ t♦ ν(θ) ❛♥❞ ♦♥❧② t❤❡♥ ✜r♠s ✇✐❧❧
♥❡❣♦t✐❛t❡✮✳ ❚r❛♥s♣♦s✐♥❣ t❤❡ ✐❞❡❛ ❢r♦♠ ❛❜♦✈❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡✿
ZF
≡ {z : Θ → R2
/there exists an outcome w ǫ WF
such that z(θ) ≡ w(θ) + πr(w, θ) for
all θ ǫ Θ}
❚❤✉s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ νǫV EPF ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✿
(i) ν1(θ) + ν2(θ) = γ(θ) for every θ ǫ Θ, and
✽

9. ▲✐t❡r❛t✉r❡ ❘❡✈✐❡✇ ♦♥ ❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r② ✲ ❏✳❱✐❞❛✉rr❡
(ii) for every θ, θ′
ǫΘ, there is ˆzǫZF
such that ν1(θ) + ν2(θ′
) ≥ ˆz1(θ) + ˆz2(θ′
)
❲❡ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♣r❡s❡♥t❡❞ ❛❜♦✈❡ s❤♦✇s t❤❡ t❤r❡❡ ❞✐✛❡r❡♥t ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s ❢♦r r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥
t❤❛t ❝❛♥ ❧❡❛❞ t♦ ❡✣❝✐❡♥t ♦✉t❝♦♠❡s ❢♦r t❤❡ ❛❣❡♥ts✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧ ✇❡ s❡❡ t❤❛t ✐❢ t❤❡ ❡♥❢♦r❝❡r ✉s❡s
♣✉♥✐s❤♠❡♥t ❛s ❛ t♦♦❧ t♦ ♣r❡✈❡♥t ❞❡✈✐❛t✐♦♥ ❢r♦♠ t❤❡ tr✉❡ st❛t❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡✿
V EPF
⊆ V EP
⊆ V I
⊆ V N
❆❧s♦✱ ♣✉r❡❧② P✉❜❧✐❝✲❆❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧s ❢❛✐❧ t♦ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛❜❧❡ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐❢
✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ tr❛❞❡ ❛❝t✐♦♥ ✭❛r❣✉❛❜❧② ❛ s❤♦rt❢❛❧❧ ♦❢ ▼❡❝❤❛♥✐s♠ ❉❡s✐❣♥✮✳ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❛❝t✐♦♥
♠♦❞❡❧s ✇✐t❤ ❊①✲P♦st ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ♣✉❜❧✐❝✲❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧s ✇✐t❤ ■♥t❡r✐♠ ❘❡♥❡✲
❣♦t✐❛t✐♦♥ ❜✉t t❤✐s ✐s ♥♦t ❛❧✇❛②s t❤❡ ❝❛s❡✳ V EP = V I ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❢♦r ❛❧❧ θ, θ′ǫΘ ❛♥❞ ˆwǫWF t❤❡r❡
✐s ˆzǫZ s✉❝❤ t❤❛t ˆz1(θ) + ˆz2(θ′) ≤ ˆw1(θ) + ˆw2(θ′) ✭✇❡ ❛r❡ ❢♦r❝✐♥❣ t❤❡ V I r❡s✉❧t ✈✐❛ ♣✉♥✐s❤♠❡♥ts s♦
V EP = V I✮ ✭❙❡❡ Pr♦♦❢ ❢♦r ❚❤❡♦r❡♠ ✸ ♦♥ ❲❛ts♦♥ ✭✷✵✵✼✮✮✳
❚❤❡ ✉s❡❢✉❧♥❡ss ♦❢ ❡①♣❧✐❝✐t❧② ❛❝❝♦✉♥t✐♥❣ ❢♦r t❤❡ ❚❡❝❤♥♦❧♦❣② ♦❢ ❚r❛❞❡ ✐s t♦ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ t❛❦❡ ✐♥t♦
❛❝❝♦✉♥t t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❛❝t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ✜♥❛❧ ♦✉t❝♦♠❡ ♦❢ ❛ ❝♦♥tr❛❝t ❛♥❞ ❢♦r t❤❡ ❡♥❢♦r❝❡r t♦ ❜❡
❛❜❧❡ t♦ ❤❛✈❡ ❛ ♠♦r❡ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ ❝♦❧❧✉s✐✈❡ ❜❡❤❛✈✐♦r t❤❛t ❝❛♥ ❞✐st♦rt t❤❡ ❞❡s✐r❡❞
❡✛❡❝t ♦♥ ❣r♦✉♣ ✇❡❧❢❛r❡✳
✸✳✷✳ ❙✐♠♣❧❡ ❈♦♥tr❛❝ts ❛♥❞ ❊✣❝✐❡♥t ❖✉t❝♦♠❡s✳ ❚❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ ❘♦❜❡rt ❊✈❛♥✬s ✷✵✵✽
♣❛♣❡r ✏❙✐♠♣❧❡ ❊✣❝✐❡♥t ❈♦♥tr❛❝ts ✐♥ ❈♦♠♣❧❡① ❊♥✈✐r♦♥♠❡♥ts✑ ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❛✉t❤♦r ❡①♣❧♦r❡s t❤❡ ❤♦❧❞✉♣
♣r♦❜❧❡♠ ✭t❤❡ ✐❞❡❛ t❤❛t ✷ ❛❣❡♥ts ❝❛♥ ❛❝❤✐❡✈❡ ❤✐❣❤❡r ❡✣❝✐❡♥❝② ❜② ❝♦♦♣❡r❛t✐♥❣ ❜✉t t❤❡② r❡❢r❛✐♥ ❢r♦♠
❞♦✐♥❣ s♦ ❜❡❝❛✉s❡ ✐♥ t❤❡ ♣r♦❝❡ss✱ t❤❡② ♠❛② ✐♥❝r❡❛s❡ t❤❡ ♦t❤❡r ♣❛rt②✬s ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣♦✇❡r✮ ❛♥❞ ❤♦✇ ❛♥
❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ❝♦♥tr❛❝t ❞❡s✐❣♥ ❝❛♥ s♦❧✈❡ ✐t✳
❘❡❛❧ ✇♦r❧❞ ❝♦♥tr❛❝ts ❛r❡ ✈❡r② s✐♠♣❧❡ ❛♥❞ ♠❛♥② t✐♠❡s ❛❝❤✐❡✈❡ ❡✣❝✐❡♥t ♦✉t❝♦♠❡s✳ ■❢ t❤❡ ❛❣❡♥ts ❛r❡
❣✐✈❡♥ ❡♥♦✉❣❤ t✐♠❡ t♦ r❡♥❡❣♦t✐❛t❡✱ ❡✣❝✐❡♥t ✐♥✈❡st♠❡♥ts ❛r❡ ♥♦ ❧♦♥❣❡r ❛♥ ✐ss✉❡ ❜❡❝❛✉s❡ ✐♥ ❢❛❝t✱ t❤❡
❛❣❡♥ts ❡①♣❡❝t t♦ ❛❝❤✐❡✈❡ t❤❡ ❜❡st ♦✉t❝♦♠❡ ♣♦ss✐❜❧❡✳ ❚❤✐s ♣♦✐♥t ✐s s❤♦✇♥ ❜❡❧♦✇ ✉s✐♥❣ ❛ s✐♠♣❧❡ s❡tt✐♥❣✿
❆ ❜✉②❡r ❛♥❞ ❛ s❡❧❧❡r✱ ❡❛❝❤ ✇✐t❤ ✐♥✈❡st♠❡♥t ♦♣♣♦rt✉♥✐t✐❡s ✉♥❞❡r ♥♦♥✲❝♦♦♣❡r❛t✐✈❡ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥✳ ❙✐♥❝❡
✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❢✉t✉r❡ ❝♦♥t✐♥❣❡♥❝✐❡s ❛r❡ ♥♦t ❢✉❧❧② ❞❡s❝r✐❜❛❜❧❡ ❡①✲❛♥t❡✱ ♦♥❡ ♣❛rt② ❤❛s t❤❡ ❛✉t❤♦r✐t②
t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ t❡r♠s ♦❢ tr❛❞❡ ❡①✲♣♦st ❛♥❞ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛s t❤❡ ♥♦♥✲❡①♣✐r✐♥❣ ♦♣t✐♦♥ ✇❤❡t❤❡r t♦ tr❛❞❡
♦r ♥♦t✳
❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❜✉②❡r s♣❡❝✐✜❡s t❤❡ t❡r♠s ❡①✲♣♦st ❛♥❞ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ❝♦♥tr❛❝t ❛♥❞ ❛♥②
✐♥✈❡st♠❡♥t ♠❛❞❡✱ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ❡✣❝✐❡♥t ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✳ ❚❤❡ s❡❧❧❡r✱ ❤❛✈✐♥❣ t❤❡ ♦♣t✐♦♥ t♦ ❞♦ s♦✱ ❝❛♥ r❡❥❡❝t
t❤❡ ♦✛❡r ❛♥❞ ❜❛r❣❛✐♥ ❢♦r ❛ ♥❡✇ ❝♦♥tr❛❝t t❤❛t✱ s✐♥❝❡ t❤❡r❡ ❛r❡ ♠✉❧t✐♣❧❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐❛ ✐♥ t❤❡ ♥❡✇ ❣❛♠❡✱
✇✐❧❧ ❜❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ✐♥✐t✐❛❧ ✐♥✈❡st♠❡♥ts ❣✐✈✐♥❣ t❤❡ ♣❧❛②❡rs ❛♥ ✐♥❝❡♥t✐✈❡ t♦ ✐♥✈❡st ❡✣❝✐❡♥t❧②✳ ■❢ t❤❡ ❜✉②❡r
♦✛❡rs ✐♥❝♦rr❡❝t ♦r ✐♥❡✣❝✐❡♥t t❡r♠s✱ ❤❡ ❝❛♥ ❜❡ ♣✉♥✐s❤❡❞ ❜② s❡❧❡❝t✐♥❣ t❤❡ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥
❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✳
❲❡ ♥♦t✐❝❡ t❤❛t ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝ts ❝❛♥ ❜❡ ♦♣t✐♠❛❧ ✇❤❡♥ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ✐s ♣r❡s❡♥t s✐♥❝❡ t❤❡②
❛❧❧♦✇ ❢♦r t❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❡✣❝✐❡♥t ✐♥✈❡st♠❡♥t ❧❡✈❡❧s ❛♥❞ ❞♦ ♥♦t t✐❡ t❤❡ ❛❣❡♥ts t♦ ♦♥❧② ♦♥❡ ♦✉t❝♦♠❡
♦♥❝❡ t❤❡ st❛t❡ ✐s r❡❛❧✐③❡❞✳ ❆❧s♦✱ ✐t ✐s ♦♣t✐♠❛❧ t♦ ❣✐✈❡ ❛✉t❤♦r✐t② t♦ t❤❡ ♣❛rt② t❤❛t ❤❛s r❡❧❛t✐✈❡❧② ❤✐❣❤
✾

10. ▲✐t❡r❛t✉r❡ ❘❡✈✐❡✇ ♦♥ ❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r② ✲ ❏✳❱✐❞❛✉rr❡
✐♥✈❡st♠❡♥t ❝♦st ♦r ❧♦✇ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣♦✇❡r✳ ❚❤✐s ✇❛②✱ t❤❡ ♣❛rt② ✇✐t❤ ❤✐❣❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣♦✇❡r ❤❛s ❛♥
✐♥❝❡♥t✐✈❡ t♦ ✐♥✈❡st ❡✛❡❝t✐✈❡❧② ✐♥ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣✳
❚❤❡ s❡t ✉♣ ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ❛❜♦✈❡ ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❝❛st ❞♦✉❜t ♦♥ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❛r❣✉♠❡♥t t❤❛t t❤❡ ❤♦❧❞✲✉♣
♣r♦❜❧❡♠ ❞♦❡s ♥♦t ❛❧❧♦✇ ❢♦r ❡✣❝✐❡♥t ❝♦♥tr❛❝t✐♥❣✳ ❚♦ ❡①♣❧❛✐♥ ❢♦r ❡✣❝✐❡♥❝② ❢❛✐❧✉r❡s ✇❡ ♠❛② ❧♦♦❦ ✐♥ t❤❡
❞✐r❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❛s②♠♠❡tr② ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞✴♦r ❢❛✐❧✉r❡s ♦❢ ❡①✲♣♦st ✈❡r✐✜❛❜✐❧✐t②❬✶✸❪✳
✸✳✷✳✶✳ ❚❤❡ ▼♦❞❡❧✿ ❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣❛r❛♠❡t❡rs✿ ❆ ❜✉②❡r ✭❇✮ ❛♥❞ ❛ s❡❧❧❡r ✭❙✮ ✇✐t❤ ✐♥✈❡st✲
♠❡♥ts iS, iB ǫ [0, ∞ > ✇✐t❤ ❝♦st ψS(iS) ❛♥❞ ψB(iB) ✱ ❛ st❛t❡ θǫΘ✇❤✐❝❤ ✐s r❡❛❧✐③❡❞ ❛❢t❡r ✐♥✈❡st✲
♠❡♥ts ❛r❡ ♠❛❞❡✱ ❛♥❞ ❛ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❧❡✈❡❧ ✇❤✐❝❤ ❤❛♣♣❡♥s ❛❢t❡r t❤❡ ✐♥✈❡st♠❡♥ts ❛♥❞ st❛t❡ ❛r❡ ♦❜s❡r✈❡❞
aǫA(iS, iB, θ)✳ ❙ ✇✐❧❧ ♣r♦❞✉❝❡ aǫA(iS, iB, θ) ❛♥❞ ❇ ✇✐❧❧ ♣❛② p t♦♣ ❙ ✇❤✐❝❤ ♣r♦❞✉❝❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣
♣❛②♦✛s✿
B : V (iS, iB, θ, a) − p − ψB(iB)
S : P − C(iS, iB, θ, a) − ψS(iS)
❚❤✉s✱ a ❤❛s t♦ ❜❡ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r✿
MaxaǫA(iS, iB, θ) V (iS, iB, θ, a) − C(iS, iB, θ, a)
❙✐♥❝❡ a ✐ts❡❧❢ ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❧❡✈❡❧ ❛♥❞ t❤❡ st❛t❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♥♦t❛t✐♦♥ ❢♦r
t❤❡ s✉r♣❧✉s✿
σ(iS, iB, θ) = V (a(iS, iB, θ)) − C(a(iS, iB, θ))
❚❤❡ ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ s✉r♣❧✉s ❜❡❝♦♠❡s✿
MaxiSǫR+, iBǫR+ Eθσ(iS, iB, θ) − ψS(iS) − ψB(iB)
❚❤✉s✱ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ ❧❡✈❡❧ ♦❢ ✐♥✈❡st♠❡♥ts i∗
S, i∗
B t❤❛t ❣✐✈❡ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ✉t✐❧✐t② U∗ > 0✳
✸✳✷✳✷✳ ❚❤❡ ❆r❣✉♠❡♥t✿ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ♣r❡s❡♥t❡❞ ❛❜♦✈❡ ❤❛s t♦ ❜❡ s✉♣♣♦rt❡❞ ❜② t❤❡ s♣❡❝✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ✇❤❛t
❝♦♥tr❛❝ts ❛r❡ ❡♥❢♦r❝❡❛❜❧❡✱ t❤❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss ❛♥❞ t❤❡ ❞❛t❡s ❢♦r ❞❡❧✐✈❡r②
♦❢ t❤❡ ♣r♦❞✉❝ts ✭✇❡ ❝♦✉❧❞ ❥✉st ✐♥❝❧✉❞❡ ❛ ❞✐s❝♦✉♥t ❢❛❝t♦r δ ✐♥t♦ ♦✉r ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞
s✉r♣❧✉s✮✳
❚♦ ♠❛❦❡ s✉r❡ t❤❛t t❤❡ ❜✉②❡r ❛❧✇❛②s ✐♥✈❡sts t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ❛♠♦✉♥t ❛♥❞ ❞♦❡s ♥♦t tr② t♦ ❝❤❡❛t ❜②
✉♥❞❡r✲✐♥✈❡st✐♥❣✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❢♦r ❛♥ ε > 0 ❛♥❞ iB ≤ i∗
B
Eθσ(i∗
S, i∗
B, θ) − ψS(i∗
S) − ψB(i∗
B) >
1
2
Eθσ(i∗
S, iB, θ) − ψB(iB) + ε
t❤❡r❡❢♦r❡ t❤❡ t♦t❛❧ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ s✉r♣❧✉s ❡①❝❡❡❞s ✇❤❛t t❤❡ ❜✉②❡r ❝❛♥ ❣❡t ❜② ✐♥✈❡st✐♥❣ ❛ ❧♦✇❡r ❛♠♦✉♥t
❛♥❞ ❣❡tt✐♥❣ ❤❛❧❢ ♦❢ t❤❡ ❣r♦ss s✉r♣❧✉s✳
❚❤❡ t✐♠✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ✐s ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿
✶✵

11. ▲✐t❡r❛t✉r❡ ❘❡✈✐❡✇ ♦♥ ❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r② ✲ ❏✳❱✐❞❛✉rr❡
• ■♥ P❡r✐♦❞ ✵ ✭✉♥❞❡r ❛♥ ❛❝t✐✈❡ ❝♦♥tr❛❝t α0✮✿ ❇ ❛♥❞ ❙ ❝❤♦♦s❡ t❤❡ ❧❡✈❡❧s ♦❢ iS, iB ǫ [0, ∞ >✱ θ ✐s
r❡❛❧✐③❡❞ ❛♥❞ ♦❜s❡r✈❡❞ ❜② ❜♦t❤ ♣❧❛②❡rs✱ ❇ ❝❤♦♦s❡s ❛ ♣✉❜❧✐❝ ♠❡ss❛❣❡ ❢r♦♠ ❛ s❡t M(iS, iB, θ)✱
❙ ♣r♦♣♦s❡s ❛ ❝♦♥tr❛❝t ❢r♦♠ ❛ s❡t C ♦r ♠❛❦❡s ♥♦ ♣r♦♣♦s❛❧✱ ❇ ❛❝❝❡♣ts ♦r r❡❥❡❝ts ❙✬s ♣r♦♣♦s❛❧✱
❙ ♣r♦❞✉❝❡s ❛♥❞ tr❛❞❡s a ♦r ❡❧s❡ ❝❤♦♦s❡s ♥♦t t♦ ♣r♦❞✉❝❡✳ Pr♦❞✉❝t✐♦♥ ❡♥❞s t❤❡ ❣❛♠❡✳ ■❢ ♥♦t✱
✐t ❝♦♥t✐♥✉❡s t♦ t❤❡ ♥❡①t ♣❡r✐♦❞✳
• ■♥ P❡r✐♦❞ ✶✿ ❇ ♣r♦♣♦s❡s ❛ ❝♦♥tr❛❝t ❢r♦♠ C✱ ❙ ❛❝❝❡♣ts ♦r r❡❥❡❝ts✱ ❛♥❞ t❤❡♥ ❙ ❝❤♦♦s❡s t♦
♣r♦❞✉❝❡ ♦r ♥♦t✳
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p = c(a(iS, iB, θ)) + bσ(iS, iB, θ) ✭t❤❡ ♣r✐❝❡ ❣✐✈❡s ❙ ❛ s❤❛r❡ b ♦❢ t❤❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ s✉r♣❧✉s✮✳ ❙ ✇✐❧❧ ❜❡
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S, i∗
B, θ) − ψB(i∗
B) >
δ
1 + δ
Eθσ(i∗
S, iB, θ) − ψB(iB)
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♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝t✐♥❣✑ ❛♥❞ t❤❡ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ♦❢ t❤❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦ t❤❛t ❝❛♥ ♣r♦✈✐❞❡ ♠♦r❡ r✐❣♦r♦✉s
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✶✶

12. ▲✐t❡r❛t✉r❡ ❘❡✈✐❡✇ ♦♥ ❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r② ✲ ❏✳❱✐❞❛✉rr❡
❚♦ ✉♥❞❡rst❛♥❞ t❤❡ ✐❞❡❛ ♦❢ ❝♦♥tr❛❝t✉❛❧ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ✐♠❛❣✐♥❡ ❛ s❡t✉♣ ✇✐t❤ ❛ ❜✉②❡r
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❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝s ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ ♥❛t✉r❡ t♦ ❜❡ r❡❛❧✐③❡❞✳ ❚❤❡ ♣❛rt✐❡s ✇✐❧❧ s✐❣♥ ❛♥ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡
❝♦♥tr❛❝t ✭s✐♥❝❡ ✐t ✇♦✉❧❞ ❜❡ ♣r♦❤✐❜✐t✐✈❡❧② ❡①♣❡♥s✐✈❡ t♦ ✇r✐t❡ ❛ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ❝♦♥tr❛❝t✮ ❛♥❞ r❡♥❡❣♦✲
t✐❛t✐♦♥ ✇✐❧❧ ❜❡ ♥❡❝❡ss❛r② ♦♥❝❡ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ ♥❛t✉r❡ ✐s r❡❛❧✐③❡❞ ❜❡❝❛✉s❡ ♦♥❧② ❛t t❤❛t ♠♦♠❡♥t t❤❡ ❡①❛❝t
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❜② ❙ ❛t ❞❛t❡ ✶✴✷ ✭s❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❢♦r t❤❡ ♣❛♣❡r ❢♦r ❛ ✷ s✐❞❡❞ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❝❛s❡✮✳
❚❤❡ ❝♦♥tr❛❝t ✐s ❢♦r ♦♥❡ ✉♥✐t ♦❢ ❛ ❣♦♦❞ ✇❡ ❝❛❧❧ ✏✇✐❞❣❡t✑✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ◆ ❞✐✛❡r❡♥t ✇✐❞❣❡ts ♦♥❡ ❢♦r
❡❛❝❤ st❛t❡ ♦❢ ♥❛t✉r❡ ✇❤✐❝❤ ❤❛s ❛ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ν ❢♦r ❇ ❛♥❞ ❛ ❝♦st ♦❢ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❢♦r ❙ ♦❢ c ♦♥❧② ✐❢ tr❛❞❡❞✳
❚❤❡r❡ ❛r❡ t✇♦ ♣♦ss✐❜❧❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ c ✿ c1 ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② π(σ) ❛♥❞ c2 ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② 1 − π(σ)
✇❤❡r❡ σ r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ❝♦st ♦❢ ❙✬s ❞❛t❡ ✶✴✷ ✐♥✈❡st♠❡♥t✳ ❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t 0 ≤ c1 ≤ c2 < ν ❛♥❞ t❤❛t
0 < π(σ) < 1✱ π′(σ) > 0✱ π′′(σ) < 0 ❢♦r ❛❧❧ σ ≥ 0 ❛♥❞ t❤❛t π′(0) = ∞✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛❧✇❛②s ❣❛✐♥s ❢r♦♠
tr❛❞❡ ❛t ❞❛t❡ ✶ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡r❡ ✐s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ s✉r♣❧✉s t♦ ❜❡ r❡♥❡❣♦t✐❛t❡❞✳
❇♦t❤ ♣❛rt✐❡s ♦❜s❡r✈❡ t❤❡ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ ♥❛t✉r❡ ❛t ❞❛t❡ ✶ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦st c✳ ◆❡✈❡rt❤❡❧❡ss✱
t❤❡ st❛t❡ ❛♥❞ ❝♦st ❛r❡ ♥♦t ✈❡r✐✜❛❜❧❡ ❜② ❛♥ ❡①t❡r♥❛❧ ❝♦✉rt ♦r ❡♥❢♦r❝❡r✳
❲❡ ❤❛✈❡ t✇♦ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❛s❡s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ✇✐❞❣❡ts✿
• ✭❉✮✿ ❚❤❡ ◆ ✇✐❞❣❡ts ❝❛♥ ❜❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❝♦st❧❡ss❧② ❛t ❞❛t❡ ✵
• ✭◆❉✮✿ ■t ✐s ♣r♦❤✐❜✐t✐✈❡❧② ❝♦st❧② t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ ◆ ✇✐❞❣❡ts ❛t ❞❛t❡ ✵✱ ❜✉t ✐t ✐s ❝♦st❧❡ss t♦
❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡♠ ❛t ❞❛t❡ ✶✳
❯♥❞❡r ❛ ✜rst✲❜❡st s❝❡♥❛r✐♦✱ t❤❡ ♣❛rt✐❡s ✇♦✉❧❞ ✇r✐t❡ ❛ ❝♦♥tr❛❝t t♦ s♣❡❝✐❢② t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ✈❛❧✉❡ ♦❢ σ ❛♥❞
t❤❡♥ r❡❧② ♦♥ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♦♥ ❞❛t❡ ✶ t♦ ❡♥s✉r❡ t❤❛t t❤❡ ✇✐❞❣❡t ✐s tr❛❞❡❞✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ t❤❡② ✇♦✉❧❞
♠❛①✐♠✐③❡ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ s✉r♣❧✉s✿
Maxσπ(σ)[ν − c1] + (1 − π(σ))[ν − c2] − σ
❚❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐t❤ t❤✐s s✐♠♣❧❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❛r✐s❡s ✇❤❡♥ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❛t σ ❝❛♥ ❜❡ ✐♥ ❢❛❝t t♦♦ ❝♦♠✲
♣❧✐❝❛t❡❞ t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ ♦r ❡♥❢♦r❝❡✱ ♦r ✐t ✐s ♦❜s❡r✈❡❞ ♦♥❧② ❜② ❙ ✭t❤✐s ❢♦❧❧♦✇s t❤❡ ▼❛s❦✐♥✲❚✐r♦❧❡ ❝r✐t✐❝✐s♠
♦❢ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝ts❬✾❪✮✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ r❡❧❡✈❛♥t q✉❡st✐♦♥ ✇♦✉❧❞ ❜❡ ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ ✇❛② ❢♦r t❤❡ ♣❛rt✐❡s t♦
st✐❧❧ ❛❝❤✐❡✈❡ ♦♣t✐♠❛❧ r❡s✉❧ts ✉♥❞❡r t❤❡ ✐♥❞❡s❝r✐❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ σ ✳
✶✷

13. ▲✐t❡r❛t✉r❡ ❘❡✈✐❡✇ ♦♥ ❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r② ✲ ❏✳❱✐❞❛✉rr❡
■❢ t❤❡ ♣❛rt✐❡s ❝❛♥ ❝♦♠♠✐t ♥♦t t♦ r❡♥❡❣♦t✐❛t❡ t❤❡✐r ❝♦♥tr❛❝t✱ t❤❡② ❝❛♥ st✐❧❧ ❛❝❤✐❡✈❡ ✜rst✲❜❡st r❡s✉❧ts
✉s✐♥❣ ❛ t❛❦❡✲✐t✲♦r✲❧❡❛✈❡✲✐t ♦✛❡r ❜② ❤❛✈✐♥❣ ❙ ❛s❦✐♥❣ ❇ t♦ ♣❛② ν ❢♦r t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ✇✐❞❣❡t ❛♥❞ ❇ ❛❣r❡❡✐♥❣✳
❚❤✐s ✇❛② t❤❡ t♦t❛❧ ♣❛②♦✛ ✐s
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π(σ)[ν − c1] + (1 − π(σ))[ν − c2] − σ
❚❤✐s r❡s✉❧t ✇✐❧❧ ♦❜✈✐♦✉s❧② ❤♦❧❞ ✐♥ t❤❡ ✭◆❉✮ ❛♥❞ ✭❉✮ ❝❛s❡s s✐♥❝❡ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ❙ ✇✐❧❧ ❛s❦ ❢♦r ν
❡♥s✉r❡s t❤❛t t❤❡ s♦❝✐❛❧ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ♦❢ ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ✐s ❛❝❤✐❡✈❡❞ r❡❣❛r❞❧❡ss ♦❢ ❞❡s❝r✐❜❛❜✐❧✐t②✳
◆♦✇✱ ✇❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ✐❢ t❤❡ ♣❛rt✐❡s ❝❛♥♥♦t ❝♦♠♠✐t ♥♦t t♦ r❡♥❡❣♦t✐❛t❡❄ ❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡
❛t ❞❛② ✶ ✐s ✐♥❡✣❝✐❡♥t ❛♥❞ t❤❡② ♣r♦❝❡❡❞ t♦ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥✳ ❇ ❤❛s ❛❧❧ t❤❡ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣♦✇❡r ❜❡❝❛✉s❡ ❤❡
❝❛♥ ✇❛❧❦ ❛✇❛② ❛♥❞ ❙ ❤❛s ♥♦ ✐♥❝❡♥t✐✈❡ t♦ ✐♥✈❡st ❛t ❞❛② ✶✴✷ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ r❡❞✉❝❡ ❝♦sts✳
■❢ ✇❡ ❛r❡ ✉♥❞❡r ✭❉✮✱ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ▼❡❝❤❛♥✐s♠ ❉❡s✐❣♥ ❛♣♣❧✐❡s ❛♥❞ t❤❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❛♥❞ ♦✉t❝♦♠❡ ❛r❡
❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ❜② t❤❡ st❛t❡✳ ❚❤❡ ♦♥❧② ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✇✐t❤ t❤❡ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ ❧✐t❡r❛t✉r❡ ✐s t❤❛t ♥♦✇ t❤❡ ❛❣❡♥ts
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❙ ✐s ♦♥❧② ❝♦♥❝❡r♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ s♣❡❝✐✜❝ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦st ❛♥❞ t❤❡ ♣r✐❝❡ ❤❡ ✇✐❧❧ r❡❝❡✐✈❡ ✐♥ ❡❛❝❤
❝❛s❡✳ ■❢ ✇❡ ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ ❙ t♦ ❤❛✈❡ ❛♥ ✐♥❝❡♥t✐✈❡ t♦ ✐♥✈❡st✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ♥❡❡❞ t♦ ❧♦♦❦ ❛t ❤✐s ♥❡✇ ♣r♦❜❧❡♠ ✉♥❞❡r
✭❉✮✿
Maxσπ(σ)[p1 − c1] + (1 − π(σ))[p2 − c2] − σ
✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❜❡ ❛❧✐❣♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ✜rst✲❜❡st ❝❛s❡ ♦♥❧② ✐❢ p1 ❛♥❞ p2 ❛r❡ ❡q✉❛❧✳ ❆s t❤❡ ❣❛♣ ❜❡t✇❡❡♥
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✷ ν − ν + ν − c − σ
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14. ▲✐t❡r❛t✉r❡ ❘❡✈✐❡✇ ♦♥ ❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r② ✲ ❏✳❱✐❞❛✉rr❡
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t❤❛t ♠❛tt❡rs ❛r❡ ♥♦t ❛s s✐♠♣❧❡ ❛s ❞✐sr❡❣❛r❞✐♥❣ t❤❡ ✐ss✉❡ ♦❢ ❞❡s❝r✐❜❛❜✐❧✐t② s✐♥❝❡ ✐ts ✐♠♣❛❝t ❝❛♥ ❜❡
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✸✳✹✳ ❚❤❡ ✐ss✉❡ ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❆ ❦❡② ✐ss✉❡ ✐♥ ❝♦♥tr❛❝t✐♥❣ t❤❡♦r② ✐s t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ❧✐♠✐t❡❞ ❛❝❝❡ss
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t❡r♠s ♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♣❛rt✐❡s✱ ❛♥❞ t❤❡ ❝❧❛✉s❡s t❤❛t ❤❡ ♠❛② r❡❢r❛✐♥ ❢r♦♠ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ✐♥ t❤❡
❝♦♥tr❛❝t✱ ❝❛♥ ❛❝t✉❛❧❧② ❜❡ ❛ s✐❣♥❛❧ ♦❢ ❤✐s t②♣❡ ❡✈❡♥ ✇❤❡♥ t❤✐s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s ♥♦t ❦♥♦✇♥ ❛ ♣r✐♦r✐ ❜②
t❤❡ ♦t❤❡r ♣❧❛②❡r ✭✐✳❡✳ t❤❡ ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣r♦✜t s❤❛r✐♥❣ ❝❧❛✉s❡ ❜② ♠❛♥❛❣❡♠❡♥t ✭✇❤♦ ♠❛② ❤❛✈❡ ♣r✐✈❛t❡
✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ❝♦♠♣❛♥②✬s ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡✮ ❝❛♥ ❜❡ ❛ s✐❣♥❛❧ ❢♦r t❤❡ ✇♦r❦❡rs ✉♥✐♦♥ ♦❢ ❛ ❢✉t✉r❡
❞♦✇♥t✉r♥✮✳
❚❤❡ ❡①❛♠♣❧❡ ✉s❡❞ ❜② ❙♣✐❡r ✐s ❛ s✐♠♣❧❡ s❡t✉♣ ♦❢ ❛ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ✇❤♦ ❤✐r❡s ❛♥ ❛❣❡♥t t♦ ♠❛♥❛❣❡ s♦♠❡
st♦❝❤❛st✐❝ t❡❝❤♥♦❧♦❣②✳ ❚❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ✐s ❡✐t❤❡r ❣♦♦❞ ✏g✑ ✭❤✐❣❤❡r ❡①♣❡❝t❡❞ ♣r♦✜ts✮ ♦r ❜❛❞ ✏b✑ ✭❧♦✇❡r ❡①✲
♣❡❝t❡❞ ♣r♦✜ts✮✳ ❆ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝t ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❝♦♥t✐♥❣❡♥t t♦ t❤❡ ❧❡✈❡❧ ♦❢ ♣r♦✜ts✱ ✇❤✐❧❡ ❛♥ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡
♦♥❡ ✐s ✐♥s❡♥s✐t✐✈❡ t♦ t❤✐s ❝r✐t❡r✐❛✳ ❈♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝ts ♠❛② ❤❛✈❡ tr❛♥s❛❝t✐♦♥ ❝♦sts t❤❛t✱ ✐❢ s✉✣❝✐❡♥t❧②
❤✐❣❤✱ ♠❛② ❧❡❛❞ t♦ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss✳ ❈♦sts ❛r❡ ♦❢ t✇♦ t②♣❡s✿ ❡①✲❛♥t❡ ✏k✑ ✭✐✳❡✳ ❞r❛❢t✐♥❣✮ ♦r ❡①✲♣♦st ✏c✑
✭✐✳❡✳ ❡♥❢♦r❝✐♥❣✮✳ ❚❤❡ ❧❛tt❡r ❛r❡ ♦♥❧② ✐♥❝✉rr❡❞ ✐❢ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ✐s ✉♥s✉❝❝❡ss❢✉❧✳
✸✳✹✳✶✳ ❚❤❡ ▼♦❞❡❧✿ ❚❤❡ st♦❝❤❛st✐❝ ♦✉t♣✉t ❧❡✈❡❧ t❛❦❡s ♦♥❡ ♦❢ t✇♦ ✈❛❧✉❡s✿ Qǫ{QL, QH} ✇❤❡r❡ QH > QL✳
❚❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ✐s ❝♦♥❝❛✈❡ ✐♥ ✐♥❝♦♠❡ x ❛♥❞ ❧✐♥❡❛r ✐♥ tr❛♥s❛❝t✐♦♥ ❝♦sts
y✿ V (x) − y✳ ❚❤❡ ♣r♦♣♦rt✐♦♥ ♦❢ ❣♦♦❞ ♣r✐♥❝✐♣❛❧s ✐♥ t❤❡ ❡❝♦♥♦♠② ✐s π✳ p ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t
♦✉t♣✉t ✐s ❤✐❣❤ ✭pg > pb✮ ✭t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ♦❜s❡r✈❡s ❤✐s ♦✇♥ t②♣❡ ❛♥❞ ♦✉t♣✉t✱ t❤❡ ❝♦✉rt ♦♥❧② t❤❡ ♦✉t♣✉t✮✳
❚❤❡ r❡s❡r✈❛t✐♦♥ ✇❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❛❣❡♥t ✐s W0 ❛♥❞ ❝♦♥tr❛❝ts ♠❛② s♣❡❝✐❢② ❛ st♦❝❤❛st✐❝ ✇❛❣❡ str✉❝t✉r❡
{WH, WL} ✇❤✐❝❤ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❢❛✈♦rs ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✈❡r② ❧♦✇ ♦r ♥♦ tr❛♥s❛❝t✐♦♥ ❝♦sts✳ ❚❤✐s ♠♦❞❡❧
❛ss✉♠❡s t❤❛t ✐t ✐s ✐♥ ❢❛❝t ❝♦st❧② t♦ ✇r✐t❡ ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝t✳
❚❤❡ t✐♠✐♥❣ ✐s ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ♦❜s❡r✈❡s ❤✐s t②♣❡✱ ♦✛❡rs ❛ ❝♦♥tr❛❝t {WH, WL} t♦ t❤❡ ❛❣❡♥t✱
✐❢ t❤❡ ❛❣❡♥t ❛❝❝❡♣ts t❤❡ ♦✛❡r✱ t❤❡ ♦✉t♣✉t ✐s r❡❛❧✐③❡❞ ✭t❤❡ ❛❣❡♥t ❞♦❡s ♥♦t ♦❜s❡r✈❡ t❤❡ ❧❡✈❡❧ ♦❢ ♦✉t♣✉t
❞✐r❡❝t❧②✮✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ♣❤❛s❡ r✐❣❤t ❛❢t❡r ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ♠❛❦❡s ❛ t❛❦❡✲✐t✲♦r✲❧❡❛✈❡✲✐t
♦✛❡r✳ ■❢ t❤❡ ❛❣❡♥t r❡❥❡❝ts t❤✐s ✜♥❛❧ ♦✛❡r✱ t❤❡ ❞✐s♣✉t❡ ❣♦❡s t♦ ❝♦✉rt✳
✶✹

15. ▲✐t❡r❛t✉r❡ ❘❡✈✐❡✇ ♦♥ ❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r② ✲ ❏✳❱✐❞❛✉rr❡
❚✇♦ ❝❛s❡s ❛r❡ ❛♥❛❧②③❡❞✿ ❡①✲❛♥t❡ tr❛♥s❛❝t✐♦♥ ❝♦sts ♦♥❧② ❛♥❞ ❡①✲♣♦st tr❛♥s❛❝t✐♦♥ ❝♦sts ♦♥❧②✳ ■♥
❜♦t❤ ❝❛s❡s ❢✉❧❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✭❛❣❡♥t ❦♥♦✇s ♣r✐♥❝✐♣❛❧ t②♣❡✮ ❛♥❞ ❛s②♠♠❡tr✐❝ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦✉t❝♦♠❡s
❛r❡ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ tr② t♦ s❤♦✇ ❤♦✇ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ✐s ❝❛✉s❡❞ ❜② ❛s②♠♠❡tr✐❝ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♥♦t ❜②
tr❛♥s❛❝t✐♦♥ ❝♦sts ♣❡r s❡✳
• ❚r❛♥s❛❝t✐♦♥ ❈♦sts ✐♥❝✉rr❡❞ ❡①✲❛♥t❡ ✭k > 0, c = 0)✿ ❚❤❡ ❝♦sts ♦❢ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ♠❛② ♦✉t✲
✇❡✐❣❤t t❤❡ ❜❡♥❡✜ts ♦❢ tr②✐♥❣ t♦ ✇r✐t❡ ❛ ❝♦st❧② ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝t✳ ❚❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❤❛s t♦ ❞❡❝✐❞❡✱
❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❧❡✈❡❧ k✱ ✐❢ ❤❡ ✐s ❣♦✐♥❣ t♦ ✇r✐t❡ ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♦r ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝t ✭❛ ♥❡❣❧✐❣✐❜❧❡
k ✇♦✉❧❞ ♠❛❦❡ ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝t ❢❡❛s✐❜❧❡✱ ❜✉t ✐❢ t❤✐s ❝♦st ✐s s✉✣❝✐❡♥t❧② ❧❛r❣❡✱ ❤❡ ✐s ❣♦✐♥❣
t♦ ✇r✐t❡ ❛♥ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝t✮✳ ❙✐♥❝❡ ✈❡r✐✜❝❛t✐♦♥ ❜② ❛ ❝♦✉rt ✐s ❝♦st❧❡ss✱ ♦❜✈✐♦✉s❧② t❤❡
♦✉t❝♦♠❡ ✐s t❤❛t WH ❛♥❞ WL ❛r❡ ❡♥❢♦r❝❡❞ ❛♥❞ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ✇♦✉❧❞ ♥❡✈❡r ♦✛❡r ♠♦r❡ t❤❛♥ t❤❡
tr✉❡ ✇❛❣❡ ❛♥❞ t❤❡ ❛❣❡♥t ✇♦✉❧❞ ♥❡✈❡r ❛❝❝❡♣t ❧❡ss t❤❛♥ t❤❡ tr✉❡ ✇❛❣❡✳ ❚❤✉s✱ ✇❡ ❤❛✈❡✿
EQV (WH, WL; p, k) =



p(V (QH − WH) + (1 − p)(V (QL − WL) − k if WH = WH
p(V (QH − WH) + (1 − p)(V (QL − WL) if WH = WH
❛♥❞ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ ✇❤❛t t②♣❡ ♦❢ ❝♦♥tr❛❝t ✐s ♠♦r❡ ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t ❢♦r ❡❛❝❤ t②♣❡ ♦❢ Pr✐♥❝✐♣❛❧✳
❚❤❡ ❢✉❧❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ s♦❧✉t✐♦♥ ♠❛①✐♠✐③❡s t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ✉t✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ s✉❜❥❡❝t t♦ t❤❡ ❛❣❡♥t✬s
r❛t✐♦♥❛❧✐t② ❝♦♥str❛✐♥t✿
MaxWH , WL
EQV (WH, WL; p, k) subject to pWH + (1 − p)WL > W0
■t ✐s ❡❛s② t♦ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ❜❡st ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝t t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❝❛♥ ♦✛❡r ✐s {W0, W0} ❛♥❞ t❤❡
❜❡st ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝t ✐s {W0 + (1− p)(QH − QL), W0 − p(QH − QL)} ✇❤✐❝❤ ♦✛❡rs ✐♥s✉r❛♥❝❡ t♦ t❤❡
♣r✐♥❝✐♣❛❧ s✐♥❝❡ ✐t ❤❛s ❛♥ ❡①♣❡❝t❡❞ ✈❛❧✉❡ ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ r❡s❡r✈❛t✐♦♥ ✇❛❣❡✳ ❚❤✉s✱ ✐❢ ✇❡ s❡❡ t❤❡ ❡①✲❛♥t❡
tr❛♥s❛❝t✐♦♥ ❝♦st ❛s ❛♥❛❧♦❣♦✉s t♦ ♦❜t❛✐♥✐♥❣ ✐♥s✉r❛♥❝❡✱ t❤❡ ❜❛❞ t②♣❡ ❤❛s ❛ r✐s❦✐❡r ❧❡✈❡❧ ♦❢ ♦✉t♣✉t✿
kb > kg ≥ 0 ❛♥❞ ✇❡ ❤❛✈❡✸✿
k < kg✱ t❤❡♥ ❜♦t❤ t②♣❡s ♦✛❡r ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝ts✳
k ǫ [kg, kb]✱ t❤❡ ❣♦♦❞ t②♣❡ ♦✛❡rs ❛♥ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝t ❛♥❞ t❤❡ ❜❛❞ t②♣❡ ♦✛❡rs ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝t✳
k > kg✱ t❤❡♥ ❜♦t❤ t②♣❡s ♦✛❡r ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝ts✳
❯♥❞❡r ❛s②♠♠❡tr✐❝ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ✇❡ s❡❡ t❤❛t ✐❢ k ≤ kg✱ t❤❡ ❜❛❞ t②♣❡ ♣r❡❢❡rs t❤❡ ❢✉❧❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥
❝♦♥tr❛❝t ♦❢ t❤❡ ❣♦♦❞ t②♣❡✳ ■❢ k > kg✱ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ✐♥❝❡♥t✐✈❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❛♥❞ ❜♦t❤ t②♣❡s ♦✛❡r ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡
❝♦♥tr❛❝ts✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❣♦♦❞ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ✇❛♥ts t♦ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ s✐❣♥❛❧ ❤✐s t②♣❡ ❛♥❞ ❦❡❡♣ t❤❡ ❜❛❞ t②♣❡ ❢r♦♠
♠✐♠✐❝❦✐♥❣ ❤✐s ❜❡❤❛✈✐♦r✱ t❤❡ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss r❛♥❣❡ ❤❛s ❡①♣❛♥❞❡❞ ❛♥❞ t❤❡r❡ ✐s ❛ ♥❡✇ ˆk ǫ (0, kg) s✉❝❤
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k < ˆk✱ t❤❡♥ ❜♦t❤ t②♣❡s ♦✛❡r ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝ts✳
k ǫ [ˆk, kb]✱ t❤❡ ❣♦♦❞ t②♣❡ ♦✛❡rs ❛♥ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝t ❛♥❞ t❤❡ ❜❛❞ t②♣❡ ♦✛❡rs ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝t✳
k > kb✱ t❤❡♥ ❜♦t❤ t②♣❡s ♦✛❡r ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝ts✳
• ❚r❛♥s❛❝t✐♦♥ ❈♦sts ■♥❝✉rr❡❞ ❊①✲P♦st ✭k = 0, c > 0)✿ ■❢ ❛ ❝♦♥tr❛❝t s♣❡❝✐✜❡s ♠♦r❡ ❝♦♥t✐♥❣❡♥❝✐❡s✱
t❤❡r❡ ✐s ❛ ❣r❡❛t❡r ❝❤❛♥❝❡ ♦❢ ❞✐s❛❣r❡❡♠❡♥t ❛❜♦✉t t❤❡ ✇❛❣❡ ❛♥❞ ❧✐t✐❣❛t✐♦♥ ✇✐❧❧ ❤❛♣♣❡♥ ♠♦r❡
✸❙❡❡ ❙♣✐❡r✬s Pr♦♦❢ ❢♦r Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶
✹❙❡❡ ❙♣✐❡r✬s Pr♦♦❢ ❢♦r Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷
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16. ▲✐t❡r❛t✉r❡ ❘❡✈✐❡✇ ♦♥ ❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r② ✲ ❏✳❱✐❞❛✉rr❡
♦❢t❡♥ ❞❡s♣✐t❡ t❤❡ ♦♣♣♦rt✉♥✐t② ❢♦r r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥✳ ■t ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t t♦ ♥♦t✐❝❡ t❤❛t ✐❢ ✐t ✐s ❝♦st❧②
t♦ ❣♦ t♦ tr✐❛❧✱ t❤❡ ♣❛rt✐❡s ✇✐❧❧ ✇❛♥t ❛ ♣r✐✈❛t❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ♦♣♣♦s✐t❡ ✇✐❧❧ ❜❡ tr✉❡ ✐❢ t❤❡
❝♦st ✐s ✈❡r② s♠❛❧❧✳ ❚❤✐s ♠♦❞❡❧ ❛ss✉♠❡s t❤❡ ❛❣❡♥t ♦✇✐♥❣ ❛ ❧♦✇ ✇❛❣❡ ✇✐❧❧ ❣♦ t♦ ❝♦✉rt ♠♦r❡
♦❢t❡♥ ✭✐♠♣❧②✐♥❣ ❛ ❤✐❣❤❡r ✐♥s✉r❛♥❝❡ ❝♦st ❢♦r t❤❡ ❜❛❞ t②♣❡ ❛s ✐t ✐s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❛❜♦✈❡✮✳ ❆❢t❡r t❤❡
❝♦♥tr❛❝t ✐s s✐❣♥❡❞ ❛♥❞ t❤❡ ♦✉t♣✉t r❡❛❧✐③❡❞✱ p ✐s ✉♣❞❛t❡❞ ❛♥❞ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ♦✛❡rs ❛ s❡tt❧❡♠❡♥t
✈❛❧✉❡ ❢♦r t❤❡ ✇❛❣❡ ♦❢ W∗✭t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s r❡str✐❝ts ❛tt❡♥t✐♦♥ t♦ ♣✉r❡ str❛t❡❣✐❡s ❛♥❞ s❡♣❛r❛t✐♥❣
❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✮✿
If c ≤ V (QL − WL) − V (QL − WH) : (separating equilibrium)



If Q = QH, then W∗ = WH, and the agent accepts.
If Q = QL, then W∗ ≤ WL, and the agent rejects.
If c > V (QL − WL) − V (QL − WH) : (pooling equilibrium)
W∗
ǫ[pWH + (1 − p)WL, WH], and the agent accepts.
❚❤❡ ❛✉t❤♦r ♦❢ t❤❡ ♣❛♣❡r ❢✉rt❤❡r ❞❡✈❡❧♦♣s t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s t♦ tr② t♦ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♦✉t❝♦♠❡s
❛t t❤❡ ❝♦♥tr❛❝t✐♥❣ ♣❤❛s❡ ✇♦r❦✐♥❣ ❜❛❝❦✇❛r❞s ❢r♦♠ t❤✐s ♣♦✐♥t✳ ■ ❧✐st t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❞❡✜♥✐t✐♦♥s t❤❛t ❛r❡
✈❛❧✐❞ ✉♥❞❡r t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ ♣❛rts ❝❛♥ s✐❣♥ ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝t t❤❛t ✐s ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛❜❧❡ ✭s❡❡
❙♣✐❡r✬s ♣❛♣❡r ❢♦r ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡s❡ r❡s✉❧ts✮✿
• ❆ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝t {WH, WL} ✐s ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛❜❧❡ ✐❢ c ≤ V (QL − WL) − V (QL − WH)✳
✭❈♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝ts ♦✛❡r❡❞ ❜② t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❛r❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛❜❧❡✮✳
• ❯♥❞❡r ❢✉❧❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❡①✲♣♦st tr❛♥s❛❝t✐♦♥ ❝♦sts t❤❡r❡ ❡①✐sts ♣❛r❛♠❡t❡rs ✈❛❧✉❡s cb, cg ≥ 0
❛♥❞ cb < cg s✉❝❤ t❤❛t ✐❢✿
c < cb✱ t❤❡♥ ❜♦t❤ t②♣❡s ♦✛❡r ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝ts✳
c ǫ [cb, cg]✱ t❤❡ ❣♦♦❞ t②♣❡ ♦✛❡rs ❛♥ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝t ❛♥❞ t❤❡ ❜❛❞ t②♣❡ ♦✛❡rs ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡
❝♦♥tr❛❝t✳
c > cg✱ t❤❡♥ ❜♦t❤ t②♣❡s ♦✛❡r ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝ts✳
• ❯♥❞❡r ❢✉❧❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❡①✲♣♦st tr❛♥s❛❝t✐♦♥ ❝♦sts t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♣❛r❛♠❡t❡r ˆcǫ(0, cb) s✉❝❤
t❤❛t ✐❢✿
c < ˆc✱ t❤❡♥ ❜♦t❤ t②♣❡s ♦✛❡r ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝ts✳
c ǫ [ˆc, cb]✱ t❤❡ ❣♦♦❞ t②♣❡ ♦✛❡rs ❛♥ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝t ❛♥❞ t❤❡ ❜❛❞ t②♣❡ ♦✛❡rs ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡
❝♦♥tr❛❝t✳
c ≥ cb✱ t❤❡♥ ❜♦t❤ t②♣❡s ♦✛❡r ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝ts✳
❲❡ s❡❡ t❤❛t str❛t❡❣✐❝ ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥ ♠❛② ❛❝t✉❛❧❧② ❧❡❛❞ t♦ ❝♦♥tr❛❝t✉❛❧ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss✳ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧
s❤♦✇s t❤❛t ❢♦r ❝❡rt❛✐♥ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡s t❤❡ ❣♦♦❞ t②♣❡ ♦❢ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ♠❛② ✐♥ ❢❛❝t ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ s✐❣♥❛❧ ❤✐s
t②♣❡ ✉s✐♥❣ ❛♥ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝t ✉♥❞❡r ❛s②♠♠❡tr✐❝ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✳
✸✳✺✳ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ t♦ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✳ ■ ❤❛✈❡ ❜r✐❡✢② ❧✐st❡❞ ❛♥❞ ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ❢♦✉r ❝♦♥❝❡♣ts t❤❛t ■ ❜❡❧✐❡✈❡
❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ ❜❛s✐❝s ♦❢ ❝♦♥tr❛❝t✉❛❧ ♠♦❞❡❧✐♥❣ ❛s ❢♦✉♥❞ ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡ r❡✈✐❡✇❡❞ ❢♦r t❤✐s ♣❛♣❡r✿
❚❡❝❤♥♦❧♦❣② ♦❢ ❚r❛❞❡ ✭❤♦✇ t❤❡ ❛❣❡♥ts ✐♥t❡r❛❝t✮✱ ❙✐♠♣❧❡ ❈♦♥tr❛❝ts ✭t❤❡ ♠❛❥♦r✐t② ♦❢ r❡❛❧ ✇♦r❧❞ ❝♦♥tr❛❝ts
❛r❡ ✐♥ ❢❛❝t q✉✐t❡ s✐♠♣❧❡ ✐♥ t❤❡✐r str✉❝t✉r❡✮✱ ■♥❝♦♠♣❧❡t❡ ❈♦♥tr❛❝t✐♥❣ ✭t❤❡ ✐♠♣♦ss✐❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❝♦st ♦❢
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