MATERIAL CEPRE-UNI 2022

1. 2022-1
TRANSFORMACIONES
TRIGONOMÉTRICAS
8,2

2. En este capítulo demostraremos y aplicaremos las identidades denominadas
de transformación para hacer simplificaciones que serán de gran utilidad en la
reducción de expresiones trigonométricas, en el estudio de las funciones
trigonométricas así como en la resolución de ecuaciones e inecuaciones
trigonométricas. A nivel universitario, se aplicará en límites y derivadas
trigonométricas como también en el cálculo integral. En las matemáticas
superiores, se aplicará en las transformadas de Fourier.
IDENTIDADES DE TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las identidades de transformaciones se clasifican en:
a) De suma y diferencia de senos o cosenos en producto.
b) De producto de senos y/o cosenos en suma o diferencia de senos o
cosenos.
න cos 5x cos 3x dx =
න cos 5x cos 3x dx =
1
2
න 2cos 5x cos 3x dx =
1
2
න cos 8x + cos 2x dx
1
2
sen(8x)
8
+
sen(2x)
2
+ c , c ∈ ℝ

3. IDENTIDADES DE TRANSFORMACIÓN DE SUMA O
DIFERENCIA DE SENOS O COSENOS A PRODUCTO

4. sen α + sen β = 2sen
α + β
2
cos
α − β
2
sen α − sen β = 2cos
α + β
2
sen
α − β
2
sen x + y = sen x cos y + cos(x)sen y
sen x − y = sen x cos y − cos(x)sen y
Dado que
sen x + y + sen x − y = 2sen x cos y
sen x + y − sen x − y = 2cos x sen y
Hacemos (1)+(2) y (1)−(2) respectivamente:
… (1)
… (2)
sen α + sen β = 2sen
α + β
2
cos
α − β
2
Sea
de donde: x =
α + β
2
y =
α − β
2
,
sen α − sen β = 2cos
α + β
2
sen
α − β
2
En (3) y (4):
… (3)
… (4)
x + y = α
x − y = β
Transformación de suma o diferencia de senos a producto
Demostración

5. APLICACIÓN 01:
Simplifique:
sen x +
π
6
cos
π
3 − 2x + sen
π
6
A) csc(x) B) sen(x)
C) 0.5cos(x) D) sec(x)
E) 0.5sec(x)
E =
sen x +
π
6
cos
π
3
− 2x + sen
π
6
Sea
⇒ E =
sen x +
π
6
sen 2x +
π
6
+ sen
π
6
⇒ E =
sen x +
π
6
2sen x +
π
6
cos(x)
∴ 𝐄 = 𝟎. 𝟓𝐬𝐞𝐜(𝐱)
RESOLUCIÓN
CLAVE: E
sen α + sen β = 2sen
α + β
2
cos
α − β
2

6. APLICACIÓN 02:
Sea:
Calcule el valor de x ∈ 0°; 360°
que maximiza la expresión:
sen 30° + x − cos 50° + x
A) 85° B)95°
C) 175° D)185°
E)275°
E = sen 30° + x − cos 50° + x
⇒ E = sen 30° + x − sen 40° − x
⇒ E = 2 cos 35° sen(−5° + x)
máx máx = 1
⟹ sen −5° + x = 1
⟹ −5° + x = 90°
∴ 𝐱 = 𝟗𝟓°
sen α − sen β = 2cos
α + β
2
sen
α − β
2
RESOLUCIÓN
CLAVE: B

7. APLICACIÓN 03:
Sea:
Simplifique:
sen x − 120° + sen x + sen x + 120°
A) 2cos(x)
B) 2sen(x)
C) 1/2
D) 3/2
E) 0
E = sen x − 120° + sen x + sen x + 120°
⇒ E = sen x + 120° + sen x − 120° + sen x
2sen x cos(120°)
⇒ E = 2sen x −
1
2
+ sen x
∴ 𝐄 = 𝟎
RESOLUCIÓN
CLAVE: E

8. APLICACIÓN 04:
Si se cumple
que:
sen x − 3𝑦 + sen 3x − y
sen 2x − 𝑠𝑒𝑛(2𝑦)
= 1.
A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 3 E) 4
sen x − 3y + sen 3x − y
sen 2x − sen(2y)
= 1
⇒ 2cos x − y = 1
RESOLUCIÓN
CLAVE: C
Calcule sec(x – y)
⇒
2sen 2x − 2y cos −x − y
2cos(x + y)sen x − y
= 1
𝟐𝐬𝐞𝐧 𝐱 − 𝐲 𝐜𝐨𝐬 𝐱 − 𝐲
sen x − y
= 1
Transformando a producto cada término de la condición:
Utilizando identidad de arco doble:
⇒ cos x − y =
1
2
∴ 𝐬𝐞𝐜 𝐱 − 𝐲 = 𝟐

9. APLICACIÓN 05:
Sea:
E = 2 5
Exprese 2 5 como un producto
de razones trigonométricas.
A) 8 sen 54° cos(18°)
B) 4sen 54° sen(36°)
C) 4sen 72° sen(36°)
D) 8sen 36° cos(18°)
E) 4sen 36° cos(18°)
= 5 + 1 + 5 − 1
⇒ E = 4sen 54° + 4sen(18°)
⇒ E = 4 sen 54° + sen(18°)
2 sen 36° cos(18°)
∴ 𝐄 = 𝟖 𝐬𝐞𝐧 𝟑𝟔° 𝐜𝐨𝐬(𝟏𝟖°)
RESOLUCIÓN
CLAVE: D

10. cos α + cos β = 2cos
α + β
2
cos
α − β
2
cos α − cos β = −2sen
α + β
2
sen
α − β
2
cos x + y = cos x cos y − sen(x)sen y
cos x − y = cos x cos y + sen(x)sen y
Dado que
cos x + y + cos x − y = 2cos x cos y
cos x + y − cos x − y = −2sen x sen y
Hacemos (1)+(2) y (1)−(2) respectivamente:
… (1)
… (2)
cos α + cos β = 2cos
α + β
2
cos
α − β
2
Sea
de donde: x =
α + β
2
y =
α − β
2
,
cos α − cos β = −2sen
α + β
2
sen
α − β
2
En (3) y (4):
… (3)
… (4)
x + y = α
x − y = β
Transformación de suma o diferencia de cosenos a producto
Demostración

11. APLICACIÓN 06:
Ordenando en forma conveniente:
E = cos x + 120° + cos x − 120° + cos x
⇒ E = 2 cos 120° cos(x) + cos x
𝐜𝐨𝐬 𝐱 − 𝟏𝟐𝟎° + 𝐜𝐨𝐬 𝐱 + 𝐜𝐨𝐬 𝐱 + 𝟏𝟐𝟎° = 𝟎
Tener en cuenta:
Simplifique la expresión:
cos x − 120° + cos x + cos x + 120°
cos α + cos β = 2cos
α + β
2
cos
α − β
2
A) sen(2x) B) cos(2x) C) 1/2
D) 3/2 E) 0
RESOLUCIÓN
CLAVE: E
⇒ E = 2 −
1
2
cos(x) + cos x = −cos(x) + cos x
∴ 𝐄 = 𝟎

12. APLICACIÓN 07:
Sea la expresión pedida:
K =
cos 4θ + sen(2θ)
cos 45° − 3θ
∴ 𝐊 = 𝟐𝐜𝐨𝐬(𝟒𝟓° + 𝛉)
Reducir la siguiente expresión: cos 4θ + 𝑠𝑒𝑛(2𝜃)
cos 45° − 3θ
A) sen(2θ) B) 2cos(2θ) C) 2cos(45° + θ) D) cos(45° + 3θ) E) 1
RESOLUCIÓN
CLAVE: C
=
cos 4θ + cos(90° − 2θ)
cos 45° − 3θ
⇒ K =
2cos(45° + θ)cos 45° − 3θ
cos 45° − 3θ

13. APLICACIÓN 08:
Ordenando en forma conveniente:
Simplificando la expresión: cos t + cos 4t + cos(7t)
sen t + sen 4t + sen(7t)
A) cos(2t) B) tan(3t) C) cot(3t) D) tan(4t) E) cot(4t)
E =
cos 7t + cos t + cos(4t)
sen 7t + sen t + sen(4t)
RESOLUCIÓN
CLAVE: E
=
2cos 4t cos 3t + cos(4t)
2sen 4t cos(3t) + sen 4t
∴ 𝐄 = 𝐜𝐨𝐭(𝟒𝐭)
obtenemos:
E =
cos 4t 2cos 3t + 1
sen 4t (2cos(3t) + 1)
Factorizando y simplificando:
Consideración: cos α + cos
α + β
2
+ cos(β)
sen α + sen
α + β
2
+ sen(β)
= cot
α + β
2

14. APLICACIÓN 09:
Sea la expresión pedida:
Simplifique:
sen2
5x − sen2
3x + sen2
(2x)
cos2 5x − sen2 3x + cos2(2x)
A) tan 2x tan(5x)
D) tan 2x cot(5x)
B) tan 2x tan(3x)
E) tan 5x cot(3x)
C) tan 3x tan(5x)
M =
sen2 5x − sen2 3x + sen2(2x)
cos2 5x − sen2 3x + cos2(2x)
⇒ M =
sen 8x sen(2x) + sen2
(2x)
cos 8x cos(2x) + cos2(2x)
cos2
α − sen2
β = cos α + β cos α − β
sen2
α − sen2
β = sen α + β sen(α − β)
⇒ M =
sen 2x sen(8x) + sen (2x)
cos 2x cos 8x + cos(2x)
⇒ M =
sen 2x . 2sen 5x cos(3x)
cos 2x . 2cos 5x cos(3x)
∴ 𝐌 = 𝐭𝐚𝐧 𝟐𝐱 . 𝐭𝐚𝐧(𝟓𝐱)
RESOLUCIÓN
CLAVE: A

15. APLICACIÓN 10:
W = 2cos 2 cos(1) − cos 1 + cos 5
Sea la expresión pedida:
⇒ W = cos(1) 2cos 2 − 1 + cos(5)
∴ 𝐖 = 𝟐𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝐜𝐨𝐬(𝟏)
Transforme a producto la
expresión
2cos 2 cos(1) − cos 1 + cos 5
A) 2cos 2 cos 1
B) 4cos 2 cos 1
C) 4co𝑠 3 cos 2
D) 2cos 4 cos 3
E) 2cos 4 cos 1
RESOLUCIÓN
CLAVE: E
W = cos(3) + cos(5)
Por identidad de arco triple:

16. sen x + sen y + sen z − sen x + y + z = 4sen
x + y
2
sen
y + z
2
sen
z + x
2
Sea
cos x + cos y + cos z + cos x + y + z = 4cos
x + y
2
cos
y + z
2
cos
z + x
2
E = sen x + sen y + sen z − sen x + y + z
E = 2sen
x + y
2
cos
x − y
2
+ 2cos
x + y + 2z
2
sen
−x − y
2
E = 2sen
x + y
2
cos
x − y
2
− cos
x + y + 2z
2
Identidades auxiliares
1.
1.1
1.2
Demostración 1.1

17. E = 2sen
x + y
2
cos
x − y
2
− cos
x + y + 2z
2
E = 2sen
x + y
2
−2sen
x + z
2
sen
−y − z
2
E = 4sen
x + y
2
sen
x + z
2
sen
y + z
2
Luego:
sen x + sen y + sen z − sen x + y + z = 4sen
x + y
2
sen
y + z
2
sen
z + x
2

18. APLICACIÓN 11:
Sabiendo que A + B + C = 0, calcule m para que se cumpla
sen(A) + sen(B) + sen(C) = msen
A
2
sen
B
2
sen
C
2
sen x + sen y + sen z − sen x + y + z = 4sen
x + y
2
sen
y + z
2
sen
z + x
2
sen A + sen B + sen C − sen A + B + C = 4sen
A + B
2
sen
B + C
2
sen
C + A
2
0
0
sen A + sen B + sen C = 4sen
−C
2
sen
−A
2
sen
−B
2
sen A + sen B + sen C = −4sen
A
2
sen
B
2
sen
C
2
∴ 𝐦 = −𝟒
A) 4
B) 2
C) 1
D) − 2
E) − 4
CLAVE: E
RESOLUCIÓN

19. sen A + sen B + sen C = 4cos
A
2
cos
B
2
cos
C
2
Si: A + B + C = 180° , entonces
sen 3A + sen 3B + sen 3C = −4cos
3A
2
cos
3B
2
cos
3C
2
cos A + cos B + cos C − 1 = 4sen
A
2
sen
B
2
sen
C
2
cos 3A + cos 3B + cos 3C − 1 = −4sen
3A
2
sen
3B
2
sen
3C
2
Identidades condicionales
2.
2.1
2.2
2.3
2.4

20. ⟹ sen A + sen B + sen C = 4cos
A
2
cos
B
2
cos
C
2
Aplicamos
sen A + sen B + sen C − sen A + B + C = 4sen
A + B
2
sen
B + C
2
sen
C + A
2
Dado que
A + B
2
+
C
2
= 90° ⟹ sen
A + B
2
= cos
C
2
0
⟹ sen A + sen B + sen C = 4cos
C
2
cos
A
2
cos
B
2
Demostración 2.1
sen x + sen y + sen z − sen x + y + z = 4sen
x + y
2
sen
y + z
2
sen
z + x
2
180°

21. Aplicamos
Dado que
A + B
2
+
C
2
= 90° ⟹ cos
A + B
2
= sen
C
2
cos A + cos B + cos C + cos A + B + C = 4cos
A + B
2
cos
B + C
2
cos
C + A
2
cos A + cos B + cos C − 1 = 4sen
C
2
sen
A
2
sen
B
2
cos A + cos B + cos C − 1 = 4sen
A
2
sen
B
2
sen
C
2
Demostración 2.3
cos x + cos y + cos z + cos x + y + z = 4cos
x + y
2
cos
y + z
2
cos
z + x
2
−1
180°

22. sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4sen A sen B sen C
Si A + B + C = 180° , entonces
cos 2A + cos 2B + cos 2C + 1 = −4cos A cos B cos C
sen 4A + sen 4B + sen 4C = −4sen 2A sen 2B sen 2C
cos 4A + cos 4B + cos 4C + 1 = 4cos 2A cos 2B cos 2C
Identidades condicionales
3.
3.1
3.2
3.3
3.4

23. Aplicamos
sen 2A + sen 2B + sen 2C − sen 2A + 2B + 2C = 4sen A + B sen B + C sen C + A
Dado que (A + B) + (C) = 180° ⟹ sen A + B = sen C
0
⟹ sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4sen C sen A sen B
⟹ sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4sen A sen B sen C
Demostración 3.1
sen x + sen y + sen z − sen x + y + z = 4sen
x + y
2
sen
y + z
2
sen
z + x
2
360°

24. Aplicamos
1
cos 2A + cos 2B + cos 2C + cos 2A + 2B + 2C = 4cos A + B cos B + C cos C + A
Dado que (A + B) + (C) = 180° ⟹ cos A + B = −cos C
cos 2A + cos 2B + cos 2C + 1 = 4 −cos C −cos A −cos B
cos 2A + cos 2B + cos 2C + 1 = −4cos A cos B cos C
Demostración 3.3
cos x + cos y + cos z + cos x + y + z = 4cos
x + y
2
cos
y + z
2
cos
z + x
2
360°

25. IDENTIDADES DE TRANSFORMACIÓN DE UN PRODUCTO DE
SENOS Y/O COSENOS EN SUMA O DIFERENCIA

26. sen x cos y + cos x sen y = sen x + y
sen x cos y − cos x sen y = sen x − y
2sen x cos y = sen x + y + sen x − y
2cos x cos y = cos x + y + cos x − y
2sen x sen y = cos x − y − cos x + y
cos x cos y − sen x sen y = cos x + y
cos x cos y + sen x sen y = cos x − y
… (1)
… (2)
… (3)
… (4)
(1)+(2) respectivamente:
2sen x cos y = sen x + y + sen x − y
(3)+(4) y (4)−(3) respectivamente:
2cos x cos y = cos x + y + cos x − y
2sen x sen y = cos x − y − cos x + y
Se sabe que:
Transformación de un producto de senos y/o cosenos a suma o diferencia

27. APLICACIÓN 12:
RESOLUCIÓN
A) − 1/2 B) 0 C) 1/4 D)1/2 E) 1
Calcule el valor de: sen 42° sen 78° − sen(48°). sen(12°)
M = sen 42° sen 78° − sen(48°). sen(12°)
2sen x sen(y) = cos x − y − c𝑜𝑠 x + y
CLAVE: D
⇒ 2M = 2sen 42° sen 78° − 2sen(48°). sen(12°)
⇒ 2M = cos 36° − cos 120° − cos 36° − cos 60°
⇒ 2M = − −
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
Sea la expresión pedida:
∴ 𝐌 =
𝟏
𝟐

28. APLICACIÓN 13:
RESOLUCIÓN
Halle el equivalente de: 2sen(10°) + 3 cos( 25°)
A) 2 cos 20° cos(15°) B) 2 cos 10° cos(5°) C) 2 cos 25° cos(20°)
D) 2 cos 35° cos(15°) E) 2 cos 20° cos(5°)
J = 2sen(10°) + 3 cos( 25°)
2sen x sen(y) = cos x − y − c𝑜𝑠 x + y
CLAVE: A
⇒ J = 2sen 45° sen 10° + 2cos(30°). cos(25°)
⇒ J = cos 35° − cos 55° + cos 55° + cos 5°
∴ 𝐉 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝟎° 𝐜𝐨𝐬(𝟏𝟓°)
Sea la expresión pedida:
2cos x cos(y) = cos x + y + c𝑜𝑠 x − y
= cos 35° + cos 5°

29. APLICACIÓN 14: RESOLUCIÓN
Reduzca la expresión:
sen(7x) cos( x) − sen(3x)cos(5x)
1 + cos( 4x)
A) sen(2x)
B) cos(2x)
C) sen(4x)
D) cos(4x)
E) tan(2x)
R =
2sen 7x cos(x) − 2sen 3x cos(5x)
2(1 + cos( 4x))
2sen x cos(y) = sen x + y + sen x − y
CLAVE: A
⇒ R =
(sen 8x + sen(6x)) − (sen 8x + sen(−2x))
2(1 + cos( 4x))
⇒ R =
sen 6x + sen(2x)
2(1 + cos( 4x))
∴ 𝐑 = 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝐱)
Sea la expresión pedida:
=
2sen 4x cos(2x)
2(2cos2(2x))
⇒ R =
sen(4x)
2cos(2x)
=
2sen 2x cos(2x)
2cos(2x)

30. APLICACIÓN 15:
RESOLUCIÓN
A) sen 5θ + sen 3θ + sen 2θ B) 3sen 5θ + 3sen 3θ + sen θ
C) sen 5θ + 2sen 3θ + 3sen θ D) 3sen 5θ + sen 3θ + 2sen θ
E) sen 5θ + 3sen 3θ + 2sen θ
Linealizar la siguiente expresión: 16sen(θ)cos4
(θ)
Sea la expresión pedida:
K = 16sen(θ)cos4(θ) = 2 × 2sen θ cos(θ) × 4cos3(θ)
⇒ K = 2sen 2θ (cos 3θ + 3 cos θ )
⇒ K = 2sen 2θ cos 3θ + 3 × 2 sen 2θ cos(θ)
⇒ K = sen 5θ + sen −θ + 3 sen 3θ + sen θ
∴ 𝐊 = 𝐬𝐞𝐧 𝟓𝛉 + 𝟑 𝐬𝐞𝐧 𝟑𝛉 + 𝟐𝐬𝐞𝐧 𝛉
CLAVE: E

31. APLICACIÓN 16:
RESOLUCIÓN
Al transformar a una suma la expresión 4sen 4x cos 3x cos(x) se obtiene
sen 2x + sen 8x + sen(kx), calcule el valor de k.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
CLAVE: E
M = 4sen 4x cos 3x cos(x)
∴ 𝐤 = 𝟔
Sea la expresión:
= 2sen 7x cos x + 2sen x cos(x)
⇒ M = 2 sen 7x + sen x cos(x)
⇒ M = sen 8x + sen 6x + sen(2x)
= 2 × 2sen 4x cos 3x . cos(x)
Comparando con la expresión: sen 2x + sen 8x + sen(kx)

32. APLICACIÓN 17:
RESOLUCIÓN
Dada la identidad: 4cos 3x cos x + 1 = sen kx csc(x), calcule el valor de k.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
CLAVE: D
sen(kx)
sen(x)
= 4cos 3x cos x + 1
∴ 𝐤 = 𝟓
Reescribiendo la identidad:
sen kx = 𝟐𝐬𝐞𝐧 𝟐𝐱 . 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝐱 + sen(x)
⇒ sen(kx) = 𝐬𝐞𝐧 𝟓𝐱 + 𝐬𝐞𝐧 −𝐱 + sen(x)
⇒ sen kx = 2 × 2sen x cos x . cos 3x + sen(x)
⇒ sen(kx) = 𝐬𝐞𝐧 𝟓𝐱
Por identidad de arco doble:

33. APLICACIÓN 18:
RESOLUCIÓN
Reduzca la expresión:
2 cos 2𝑥 + 2 cos 4𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 csc(𝑥)
A) – 1 B) 1 C) 1/2 D) – 1/2 E) 2
CLAVE: A
W = 2 cos 2x + 2 cos 4x −
sen(5x)
sen(x)
∴ 𝐖 = −𝟏
Sea la expresión pedida:
⇒ W =
sen 3x + sen −x + sen 5x + sen(−3x) − sen(5x)
sen(x)
=
2sen x cos 2x + 2sen x cos 4x − sen(5x)
sen(x)
⇒ W =
−sen(x)
sen(x)

34. Identidades auxiliares
1.
sen(3x)
sen(x)
= 2 cos 2x + 1
sen(5x)
sen(x)
= 2 cos 4x + 2 cos 2x + 1
sen(7x)
sen(x)
= 2 cos 6x + 2 cos 4x + 2 cos 2x + 1
sen(9x)
sen(x)
= 2 cos 8x + 2 cos 6x + 2 cos 4x + 2 cos 2x + 1

35. Identidades auxiliares
2.
cos(3x)
cos(x)
= 2 cos 2x − 1
cos(5x)
cos(x)
= 2 cos 4x − 2 cos 2x + 1
cos(7x)
cos(x)
= 2 cos 6x − 2 cos 4x + 2 cos 2x − 1
cos(9x)
cos(x)
= 2 cos 8x − 2 cos 6x + 2 cos 4x − 2 cos 2x + 1

36. Identidades de transformación
2sen x cos y = sen x + y + sen x − y
2cos x sen y = sen x + y − sen x − y
sen α + sen β = 2sen
α + β
2
cos
α − β
2
sen α − sen β = 2cos
α + β
2
sen
α − β
2
cos α + cos β = 2cos
α + β
2
cos
α − β
2
cos α − cos β = −2sen
α + β
2
sen
α − β
2
2cos x cos y = cos x + y + cos x − y
2sen x sen y = cos x − y − cos x + y
Siempre voy
a recordar

37. PROBLEMAS
RESUELTOS

38. PROBLEMA 01:
A) 0 B)
1
4
C)
1
3
D)
1
2
E) 1
Calcule el máximo valor de : E = sen
3ω
4
sen
ω
4
+ cos2
ω
2
, 𝜔 ∈ ℝ
RESOLUCIÓN
E = sen
3ω
4
sen
ω
4
+ cos2
ω
2
2𝑠𝑒𝑛 x sen y = cos x − y − cos x + y
⇒ 2E = 2sen
3ω
4
sen
ω
4
+ 2cos2
ω
2
⇒ 2E = cos
ω
2
− cos ω + 1 + cos(ω)
máx = 𝟏
máx
⇒ 2𝐸 = cos
𝜔
2
+ 1
∴ 𝑬 = 𝟏
CLAVE: E

39. PROBLEMA 02:
A) 30° B)60° C)120° D)135° E)150°
Si 0 < θ < 180° y sen(θ)sen(80°) = cos 80° + 2 cos 40° cos(θ),
calcule el valor de θ.
⇒ tan θ cos 10° = 2 cos 30° cos(10°)
⇒ tan θ = 3
De la condición: tan θ sen 80° = cos 80° + cos 40° + cos 40°
⇒ tan θ sen 80° = 2 cos 60° cos 20° + cos(40°)
⇒ tan θ sen 80° = cos 40° + cos(20°)
∴ 𝛉 = 𝟔𝟎°
CLAVE: B
RESOLUCIÓN

40. PROBLEMA 03:
A) 4sen(A)sen(B)sen(C) B) 4sen(A)cos(B)cos(C)
D) − 4sen A sen B sen(C) E) 4cos(A)sen(B)cos(C)
Si: A, B y C representan las medidas de los ángulos internos de un triángulo, halle
el equivalente de sen 2A − sen 2B + sen(2C)
C) 4sen(2A)sen(2B)sen(2C)
Pero, como A + B + C = 180°
K = −2cos C sen A − B + 2sen A + B cos(C)
K = sen 2A − sen 2B + sen(2C)
Sea:
RESOLUCIÓN
CLAVE: E
⇒ K = 2cos A + B sen A − B + 2sen C cos(C)
⇒ K = 2cos(C) sen A + B − sen(A − B)
∴ 𝐊 = 𝟒𝐜𝐨𝐬 𝐀 𝐬𝐞𝐧(𝐁)𝐜𝐨𝐬(𝐂)
⇒ cos A + B = −cos(C) y sen C = sen(A + B)
Luego:
= 2cos(C) 2sen B cos(A)

41. 𝑥 = 2𝐴, 𝑦 = 180° + 2𝐵, 𝑧 = 2𝐶, siendo 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180°
Utilizamos la identidad:
OTRA FORMA
CLAVE: E
sen 2A − sen 2B + sen 2C − sen 540° = 4sen 270° − 𝐶 sen 270° − 𝐴 sen 180° − 𝐵
∴ 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝐀 − 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝐁 + 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝐂) = 𝟒𝐜𝐨𝐬 𝐀 𝐬𝐞𝐧(𝐁)𝐜𝐨𝐬(𝐂)
sen x + sen y + sen z − sen x + y + z = 4sen
x + y
2
sen
y + z
2
sen
z + x
2
Considerando:
Reemplazando:
⇒ sen 2A − sen 2B + sen 2C − 0 = 4 −cos(𝐶) −cos(𝐴) +𝑠𝑒𝑛(𝐵)

42. PROBLEMA 04:
A)
4
3
B)
3
4
C)
3
2
D)
2
3
E)
1
4
cos2
10° − cos 10° cos(50°) + cos2
(50°),
Calcule el valor de
Sea:
CLAVE: B
RESOLUCIÓN W = cos2
10° − cos 10° cos 50° + cos2
(50°)
⇒ 2W = 2cos2 10° − 2 cos 50° cos 10° + 2cos2(50°)
∴ 𝐖 =
𝟑
𝟒
⇒ 2W = 1 + cos 20° − cos 60° + cos 40° + 1 + cos(100°)
⇒ 2W =
3
2
+ cos 20° − cos 40° − cos(80°)
⇒ 2W =
3
2
+ 2sen 30° sen(10°) − sen(10°)

43. PROBLEMA 05:
Reduzca la expresión 4sen
a+b
2
sen
a+c
2
sen
b+c
2
+ sen(a + b + c)
A) sen a − sen b − sen(c) B) sen b + sen b − sen(c)
D) sen a + sen b + sen(c) E) − (sen a + sen b + sen(c)
C) sen a − sen b + sen(c)
RESOLUCIÓN
M = 4sen
a + b
2
sen
b + c
2
sen
c + a
2
+ sen(a + b + c)
Utilizamos la identidad:
sen a + sen b + sen c − sen a + b + c = 4sen
a + b
2
sen
b + c
2
sen
c + a
2
Sea la expresión pedida:
⇒ M = sen a + sen b + sen c − sen(a + b + c) + sen(a + b + c)
∴ 𝐌 = 𝐬𝐞𝐧 𝐚 + 𝐬𝐞𝐧 𝐛 + 𝐬𝐞𝐧(𝐜)
CLAVE: D

44. PROBLEMA 06:
Si se cumple que: sen x + sen 3x + sen 5x = psen5
x − qsen3
x + rsen(x)
calcule: M = p + q + 1 + r
A) 6 B) 9 C) 10 D) 12 E) 16
RESOLUCIÓN
CLAVE: D
W = sen 5x + sen x + sen 3x = 2sen 3x cos(2x) + sen 3x
⇒ W = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)(2 cos 2𝑥 + 1)
Sea:
⇒ M = 𝟏𝟔 + 𝟐𝟒 + 1 + 𝟗
∴ 𝐌 = 𝟏𝟐
=
sen2(3x)
sen(x)
Por identidad de arco triple:
W =
(3sen x − 4sen3(x))2
sen(x)
= 16sen5
x − 24sen3
x + 9sen(x)
Luego: 𝐩 = 𝟏𝟔, 𝐪 = 𝟐𝟒 y 𝐫 = 𝟗

45. PROBLEMA 07
A) 4sen(A)sen(B)sen(C) B) 4cos(A)cos(B)cos(C)
D) − 4sen A sen B sen(C) E) − 4cos(A)cos(B)cos(C)
Si: A + B + C = 180°, halle el equivalente de
sen C − A − B + sen A − B − C + sen(B − A − C)
C) 4sen(2A)sen(2B)sen(2C)
J = sen C − (A + B) + sen A − (B + C) + sen(B − (A + C))
Sea la expresión pedida:
RESOLUCIÓN
CLAVE: D
⇒ J = sen C − (180° − C) + sen A − (180° − A) + sen(B − (180° − B))
⇒ J = sen 2C − 180° + sen 2A − 180° + sen(2B − 180°)
⇒ J = − sen 2A + sen 2B + sen 2C = − 4sen A sen B sen(C)
∴ 𝐉 = −𝟒𝐬𝐞𝐧 𝐀 𝐬𝐞𝐧 𝐁 𝐬𝐞𝐧(𝐂)

46. PROBLEMA 08
M 1 + 𝟎 = 8
RESOLUCIÓN
CLAVE: B
∴ 𝐌 + 𝟐 = 𝟏𝟎
Por resolución de triángulos rectángulos:
Mcos(θ)cos(2θ) cos 3θ = 2
Convirtiendo a suma:
M ∙ 2cos(θ)cos(2θ) ∙ cos 3θ = 4
⇒ M ∙ cos 3θ + cos(θ) ∙ cos 3θ = 4
⇒ M ∙ 2cos2 3θ + 2cos 3θ cos θ = 2(4)
M ∙ 1 + cos 6θ + cos 4θ + cos(2θ) = 8
De la condición:
𝐜𝐨𝐬 𝟔𝛉 + 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝛉 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝛉 = 𝟎
Luego:
De la figura mostrada, calcule M
+ 2, si se cumple:
cos 2θ + cos 4θ + cos 6θ = 0
A) 4 2 B) 10 C) 6
D) 2 E) 8
M u
2 u
θ
2θ
3θ

47. PROBLEMA 09
RESOLUCIÓN
CLAVE: E
En un triángulo ABC, se cumple que:
sen 2A + sen(2B)
1 + cos 2A + cos(2B) + cos 2A − 2B
= 3 tan(C)
Calcule el valor de: tan(A).tan(B)
A) 3
B) 4
C) 5
D)6
E)7
⇒
2sen A + B cos(A − B)
2 cos2 A − B + 2cos A + B cos A − B
= 3 tan(C)
Según la condición:
sen 2A + sen(2B)
1 + cos 2A − 2B + cos 2A + cos(2B)
= 3 tan(C)
⇒
sen A + B
cos(A − B) + cos A + B
= 3 tan(C) ⇒
sen C
2 cos A cos(B)
=
3sen(C)
cos(C)
⇒
−cos A + B
cos A cos(B)
= 6 ⇒ − 1 − tan A tan B = 6
∴ 𝐭𝐚𝐧 𝐀 𝐭𝐚𝐧 𝐁 = 𝟕

48. PROBLEMA 10
A)
4
5
B)
3
5
C)
1
3
D)
1
2
E)
5
5
Si se cumple que sen(x) − sen(y) = 6/5 y cos(x) − cos(y) = 2/5.
Calcule: cos x + y
De las condiciones:
Dividiendo (2) ÷ 1 :
⇒
−2sen
x + y
2
sen
x − y
2
2cos
x + y
2
sen
x − y
2
=
2
5
6
5
cos x + y =
1 − tan2 x + y
2
1 + tan2 x + y
2
=
1 − −
1
3
2
1 + −
1
3
2
⇒ 𝐭𝐚𝐧
𝐱 + 𝐲
𝟐
= −
𝟏
𝟑
Por identidad de arco doble:
2cos
x + y
2
sen
x − y
2
=
6
5
… (1)
−2sen
x + y
2
sen
x − y
2
=
2
5
… (2)
RESOLUCIÓN
CLAVE: A
∴ 𝐜𝐨𝐬(𝐱 + 𝐲) =
𝟒
𝟓

49. PROBLEMA 11
RESOLUCIÓN
CLAVE: E
Si θ es la medida de un ángulo agudo y cumple:
2sen(θ) =
3cos 20° + 2sen(5°)
cos(25°)
Calcule .
De la condición:
2sen(θ) cos 25° = 2 cos 30° cos 20° + 2sen 45° sen(5°)
∴ 𝛉 = 𝟕𝟓°
A)15°
B)20°
C)25°
D)55°
E)75°
⇒ 2sen(θ) cos 25° = cos 50° + cos 10° + cos 40° − cos(50°)
⇒ 2sen(θ) cos 25° = cos 40° + cos 10°
⇒ 2sen(θ) cos 25° = 2 cos 25° cos(15°)
⇒ θ + 15° = 90°

50. PROBLEMA 12
Sea la expresión pedida:
Reducir la siguiente
expresión:
cos2
θ + cos2
2θ +cos2
3θ +cos2
4θ
1 + cos θ cos 2θ cos 5θ
A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 3 E) 4
RESOLUCIÓN
E =
2cos2
θ + 2cos2
2θ + 2cos2
3θ + 2cos2
4θ
2(1) + 2cos θ cos 2θ cos 5θ
⇒ E =
1 + 𝑐𝑜𝑠 2θ + 1 + 𝑐𝑜𝑠 4θ + 1 + 𝑐𝑜𝑠 6θ + 1 + cos(8θ)
2(1) + (𝑐𝑜𝑠 3θ + cos(θ))cos 5θ
⇒ E =
2 4 + 𝑐𝑜𝑠 2θ + 𝑐𝑜𝑠 4θ + 𝑐𝑜𝑠 6θ + cos 8θ
2(2) + 2𝑐𝑜𝑠 3θ cos 5θ + 2cos(θ)cos 5θ
⇒ E =
2 4 + 𝑐𝑜𝑠 2θ + 𝑐𝑜𝑠 4θ + 𝑐𝑜𝑠 6θ + cos 8θ
2 2 + 𝑐𝑜𝑠 8θ + cos 2θ + cos 6θ + cos 4θ
CLAVE: C
∴ 𝑬 = 𝟐

51. PROBLEMA 13
De la condición: cos 3𝐴 + cos(3𝐵) = − 1 − cos 3𝐶
,
cos(3A) + cos(3B) = cos(3C) − 1
A)110° B)112° C) 120° D)150° E)135°
En un triángulo obtusángulo se verifica que
Calcule la medida del mayor ángulo interno del triángulo.
⟹ sen
3C
2
= 0 ∴ 𝐂 = 𝟏𝟐𝟎°
RESOLUCIÓN
CLAVE: C
⇒ 2 cos
3A + 3B
2
. cos
3A − 3B
2
= −2sen
3C
2
sen
3C
2
⇒ 𝐬𝐞𝐧
𝟑𝐂
𝟐
. cos
3A − 3B
2
= −sen
3C
2
𝐜𝐨𝐬
𝟑𝐀 + 𝟑𝐁
𝟐
⇒ sen
3C
2
cos
3A − 3B
2
+ cos
3A + 3B
2
= 0
⇒ sen
3C
2
2 cos
3A
2
cos
3B
2
= 0

52. PROBLEMA 14
A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 13
Sea:
tan (x)
tan (θ)
=
2 + cos2
(x)
2 + sen2(x)
, calcule: sen 3x + θ csc x − θ .
sen x cos(θ)
cos x sen(θ)
=
2 + cos2(x)
2 + sen2(x)
⇒ 𝟐sen x + θ cos(2x) = 𝟐 5sen x − θ
⇒ sen 3x + θ + sen θ − x = 10sen x − θ
De la condición:
∴ 𝐬𝐞𝐧 𝟑𝐱 + 𝛉 𝐜𝐬𝐜 𝐱 − 𝛉 = 𝟏𝟏
RESOLUCIÓN
CLAVE: D
sen x cos θ + cos x sen(θ)
sen x cos θ − cos x sen(θ)
=
5
cos2 x − sen2(x)
Por propiedad de proporciones:
⇒
sen x + θ
sen x − θ
=
5
cos 2x
⇒ sen 3x + θ − sen x − θ = 10sen x − θ

53. PROBLEMAS
ADICIONALES

54. PROBLEMA 15:
A) 30° B)60° C)120° D)135° E)150°
Si 0 < θ < 180° y sen(θ)sen(40°) = cos 40° − 2 cos 20° cos(θ),
calcule el valor de θ.
sen(θ)sen(40°) = cos 40° − 2 cos 20° cos(θ)
tan θ sen 40° = − 3sen 40° … (1)
⇒ tan θ = − 3
De la condición:
tan θ sen 40° = cos 40° − cos 20° − cos 20°
−2sen 30° sen 10°
tan θ sen 40° = − cos(80°) + cos 20°
tan θ sen 40° = −2cos(50°) cos 30°
⇒ θ = 120°
CLAVE: C
RESOLUCIÓN

55. PROBLEMA 16:
E = 2.8cos4
x . 2cos2
x
E = 2 3 + 4 cos 2x + cos 4x + 3cos 2x + 4cos2
2x + cos 4x cos(2x)
E = 2 3 + 7 cos 2x + cos(4x) + 2.2cos2
2x + cos 4x cos(2x)
1 + cos 4x
E = 10 + 14 cos 2x + 6cos 4x + 2 cos 4x cos(2x)
cos 6x + cos(2x)
E = 10 + 15 cos 2x + 6cos 4x + cos 6x
⟹ A = 10, B = 15, C = 6, D = 1
⟹ A + B − C − D = 18
A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21
Calcule los valores constantes A, B, C y D para que la igualdad
32cos6
x = A + Bcos 2x + Ccos 4x + Dcos(6x) sea una identidad.
Luego, A + B − C − D es igual a:
E = 2 3 + 4 cos 2x + cos(4x) 1 + cos 2x
Sea E = 32cos6
x = A + Bcos 2x + Ccos 4x + Dcos(6x)
RESOLUCIÓN
CLAVE: D

56. PROBLEMA 17:
4
sen(4θ)sen(6θ)
=
5
sen θ sen(3θ)
4 sen θ sen 3θ = 5 sen 4θ . 2sen 3θ cos(3θ) 2cos 6θ + 2cos 4θ + 2cos 2θ + 1 = −
1
5
Si se cumple 4csc(4θ)csc(6θ) = 5csc(θ)csc(3θ)
Calcule: cos 2θ + cos 4θ + cos 6θ
A) −
3
10
B) −
6
5
C) −
8
5
D) −
3
5
E) −
12
5
Del dato se obtiene:
4 sen θ = 5 2 sen 4θ cos(3θ)
4 sen θ = 5 sen 7θ + sen(θ)
− sen θ = 5sen(7θ)
sen(7θ)
sen θ
= −
1
5
cos 6θ + cos 4θ + cos 2θ = −
3
5
RESOLUCIÓN
CLAVE: D

57. PROBLEMA 18:
cos3
30° − θ + sen3
60° − θ = kcos(nθ)
4cos3
30° − θ + 4sen3
60° − θ = 4kcos(nθ)
3cos 30° − θ + cos 90° − 3θ + 3sen 60° − θ − sen 180° − 3θ = 4kcos(nθ)
sen 3θ sen 3θ
3 sen 60° + θ + sen 60° − θ = 4kcos(nθ)
2sen 60° cos θ
3 3cos θ = 4kcos(nθ) ⟹ k =
3 3
4
,
k n
A)
3 3
4
B)
3
2
D)
4 3
3
E)
3
4
Calcule: , para que la siguiente igualdad sea una identidad
C)
3 3
2
cos3 30° − θ + sen3 60° − θ = kcos(nθ)
n = 1 ⟹ k n =
3 3
4
RESOLUCIÓN
CLAVE: A

58. PROBLEMA 19:
A)30° B)45° C) 60° D)90° E)120°
En un triángulo ABC, se cumple
sen(A) + sen(B) + sen(C)
cos(A) + cos(B) + cos(C)
= 3.
sen(A) + sen(B) + sen(C) = 3 cos(A) + cos(B) + cos(C)
sen A − 3 cos A + sen B − 3 cos B + sen C − 3cos(C) = 0
2sen(A − 60°) 2sen(B − 60°) 2sen(C − 60°)
De la condición se obtiene:
sen A − 60° + sen B − 60° + sen C − 60° = 0
A − 60° + B − 60° + C − 60° = 0°
Como:
−4sen
A − 60°
2
sen
B − 60°
2
sen
C − 60°
2
= 0 , ver aplicación (8)
A = 60°
Calcule la medida de uno de los ángulos del triángulo.
Luego, sen
A − 60°
2
= 0
RESOLUCIÓN
CLAVE: C

59. PROBLEMA 20:
Sea P = tan
θ + α
2
tan
θ − α
2
⇒ P =
𝟐sen
θ + α
2
sen
θ − α
2
𝟐cos
θ + α
2
cos
θ − α
2
⇒ P =
cos α − cos θ
cos θ + cos α
⟹ P =
cos α − cos α cos β
cos α cos β + cos α
⇒ P =
cos α 1 − cos β
cos α 1 + cos β
⇒ P = tan2
β
2
Como cos(θ) = cos(α). cos(β)
⇒ P =
2sen2 β
2
2cos2 β
2
Sea
A) tan2
(β) B) cot2
(β) D) cot2
β
2
E) sec2
(β)
cos(θ) = cos(α). cos(β) , obtenga el equivalente de tan
θ + α
2
tan
θ − α
2
C) tan2
β
2
RESOLUCIÓN
CLAVE: C

60. PROBLEMA 21:
A) 3sen(A)sen(B)sen(C) B) 3cos(A)cos(B)cos(C)
D) 12sen A sen B sen(C) E) 12cos(A)cos(B)cos(C)
Si: A + B + C = 180°, halle el equivalente de
sen3
(2A) + sen3
(2B) + sen3
(2C) + sen(3A)sen(3B)sen(3C)
C) 9sen(A)sen(B)sen(C)
(dado que A + B + C = 180°)
4E = 4sen3
2A + 4sen3
2B + 4sen3
2C + 4sen 3A sen 3B sen 3C
Aplicando: 4sen3
x = 3sen x − sen(3x)
4E = 3 sen 2A + sen 2B + sen 2C − sen 6A + sen 6B + sen 6C + 4sen 3A sen 3B sen 3C
4sen 3A sen 3B sen 3C
4sen A sen B sen C
E = 3sen A sen B sen C
E = sen3
(2A) + sen3
(2B) + sen3
(2C) + sen(3A)sen(3B)sen(3C)
Sea
RESOLUCIÓN
CLAVE: A

61. PROBLEMA 22:
Simplifique la siguiente expresión cos2
10° + cos2
50° + cos2
70°
A) 1 B)
1
4
C)
1
2
D)
3
2
E) 3
Sea E = cos2
10° + cos2
50° + cos2
70°
2E = 2cos2
10° + 2cos2
50° + 2cos2
70°
2𝐸 = 1 + 𝑐𝑜𝑠 20° + 1 + cos 100° + 1 + 𝑐𝑜𝑠 140°
2𝐸 = 3 + 2𝑐𝑜𝑠 60° cos(40°) + 𝑐𝑜𝑠 140°
cos 𝐴 + cos 𝐵 = 2 𝑐𝑜𝑠
𝐴+𝐵
2
𝑐𝑜𝑠
𝐴−𝐵
2
2𝐸 = 3 + 2𝑐𝑜𝑠 90° cos(50°)
0
1
𝐸 =
3
2
CLAVE: D

62. PROBLEMA 23:
A)a2
+ b2
= 2abc B)a2
+ c2
= 2abc
D)a2
+ b2
+ c2
= 2abc E)abc = a + b + c
A partir de las condiciones: sen x + sen y = a, cos(x) + cos(y) = b, sen x + y = c−1
C)c2
+ c2
= 2abc
encuentre la relación entre a, b y c.
sen x + sen y = a … (I)
cos x + cos y = b … (II)
sen x + y =
1
c
… (III)
De I : 2sen
x + y
2
. cos
x − y
2
= a … (IV)
De II : 2cos
x + y
2
. cos
x − y
2
= b … (V)
tan
x + y
2
=
a
b
⟹
2
a
b
1 +
a2
b2
=
1
c
Datos: IV ÷ V :
2tan
x + y
2
1 + tan2 x + y
2
=
1
c
De III :
⟹ a2
+b2
= 2abc
RESOLUCIÓN
CLAVE: A

63. PROBLEMA 24:
Determine la variación de la siguiente expresión: 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 20° cos 𝑥 − 10° ; 𝑥 ∈ ℝ
A) −
3
2
;
1
2
B) −1; 1 C) −
1
2
;
3
2
D) −
1
4
;
3
4
E) 0; −1
E = sen 𝑥 + 20° 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 10°
Sea
RESOLUCIÓN
2E = 2sen 𝑥 + 20° 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 10°
2E = sen 𝑥 + 10° + 𝑠𝑒𝑛 30°
±1
2E =
−1 +
1
2
= −
1
2
1 +
1
2
=
3
2
E =
−
1
4
3
4
CLAVE: D
2sen(x)cos(𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦)
∴ 𝐸 = −
1
4
;
3
4

64. PROBLEMA 25:
A)x z − x = y y + x B)x z + x = y y + x
D)y z − x = z y − x E)y x + y = z z + x
De las siguientes condiciones: sen 5θ = z, sen 3θ = y, sen(θ) = x
C)x z + x = y y − x
elimine la variable angular θ.
sen 5θ = z … (1)
sen 3θ = y … (2)
sen θ = x … (3)
sen 5θ + sen θ = x + z
2ycos 2θ = x + z
2sen 3θ . cos 2θ
Datos:
1 + (3):
2 ÷ (3): sen(3θ)
sen(θ)
=
y
x
… 4
2cos 2θ + 1 =
y
x
2cos 2θ =
y − x
x
… 5
5 en (4):
y
y − x
x
= x + z
y(y − x) = x(x + z)
RESOLUCIÓN
CLAVE: C

65. PROBLEMA 26:
calcule:
A)
1
2
B) − 1 C)2 D)1 E) −
1
2
Sea: sen(3θ). cos(2θ) = sen(θ),
sen(8θ) + sen(2θ)
sen(4θ) − sen(2θ)
T =
sen(8θ) + sen(2θ)
sen(4θ) − sen(2θ)
T =
2sen 5θ cos(3θ)
2cos(3θ)sen θ sen 5θ + sen θ = 2 sen(θ)
En 1 :
Transformamos en productos:
⇒ T =
sen 5θ
sen θ
. . . (1)
sen(3θ). cos(2θ) = sen(θ)
Del dato:
2sen(3θ). cos(2θ) = 2sen(θ)
Transformamos en suma:
⇒ sen 5θ = sen θ
T = 1
RESOLUCIÓN
CLAVE: D

66. PROBLEMA 27:
A)0 B)1 C)2 D) − 1 E) − 2
Calcule: sec
14π
9
− 4cos
π
9
Sea D = sec
14π
9
− 4cos
π
9
D = sec
4π
9
1 − 2 2cos
4π
9
cos
π
9
D = sec
4π
9
− 4cos
π
9
D = sec
4π
9
1 − 2 cos
5π
9
+ cos
π
3 ⇒ D = 2
D = sec
4π
9
−2cos
5π
9
−cos
4π
9
D = 2sec
4π
9
cos
4π
9
RESOLUCIÓN
CLAVE: C

67. PROBLEMA 28:
A) −
1
2
B) − 1 C)0 D)1 E)
1
2
Calcule: 3cot
π
9
− 4cos
π
9
E =
sen 80° + sen 40° − 2sen 40°
sen 20°
E = 3cot 20° − 4cos 20°
E =
3cos 20° − 4sen 20° cos(20°)
sen 20°
E =
2sen(60°)cos 20° − 2sen 40°
sen 20°
E =
sen 80° − sen 40°
sen 20°
E =
2 cos 60° sen(20°)
sen 20°
⟹ E = 1
RESOLUCIÓN
CLAVE: D

68. PROBLEMA 29:
A)
θ
2
B) 45° −
θ
2
Un niño está frente a una estatua ubicada sobre un pedestal. El niño mira el extremo superior
tanto del pedestal como de la estatua con ángulos de elevación de medida θ y de medida
desconocida, respectivamente. Calcule la medida del ángulo formado por las visuales para que el
área de la región triangular generado por éstas y la estatua sea máxima. Se sabe, además, que la
longitud de la visual mayor es d.
C) 45° +
θ
2
E) 60° −
θ
2
D) 60° +
θ
2
d
θ
x
dcos(x + θ)
Sx =
1
2
d. dcos x + θ sec θ . sen(x)
Sx
Sx =
d2
4
sec θ . 2cos x + θ . sen(x)
Sx =
d2
4
sec θ . sen 2x + θ − sen(θ)
máx máx
⟹ sen 2x + θ = 1
= 𝟏
⟹ 2x + θ = 90° ⟹ x = 45° −
θ
2
RESOLUCIÓN
CLAVE: B

69. PROBLEMA 30:
Sea E = sec x − 120° + sec x + sec(x + 120°)
E =
1
cos x − 120°
+
1
cos x
+
1
cos x + 120°
E =
2cos x + 120° cos x + 2cos x + 120° cos x − 120° + 2cos x cos x − 120°
2cos x − 120° cos x cos x + 120°
E =
cos 2x + 120° + cos 120° + cos 2x + cos 240° + cos 2x − 120° + cos 120°
2cos 120° − x cos x cos x + 120°
E =
cos 2x − 120° + cos 2x + cos 2x + 120° + 3cos 120°
2 −cos(60° + x) cos x −cos(60° − x)
Simplifique: sec x − 120° + sec x + sec x + 120°
A) sec(3x) B) 3sec(3x) C) − 3sec(3x) D) 4sec(3x) E) − 4sec(3x)
RESOLUCIÓN

70. E =
cos 2x − 120° + cos 2x + cos 2x + 120° + 3cos 120°
2cos(60° + x) cos x cos(60° − x)
E =
−3
4cos(60° + x) cos x cos(60° − x)
0
E =
−3
cos 3x
⟹ E = −3sec(3x)
Nota:
sec x − 120° + sec x + sec x + 120° = −3sec(3x)
csc x − 120° + csc x + csc x + 120° = 3csc(3x)
tan x − 120° + tan x + tan x + 120° = 3tan(3x)
cot x − 120° + cot x + cot(x + 120°) = 3cot(3x)
CLAVE: C

71. PROBLEMA 31:
P = 4sen x cos 2x cos 5x csc 4x − 2cos(4x) + 1
Sea:
2sen 2x cos(2x)
P =
cos 5x
cos x
− 2cos(4x) + 1
⇒ P = 2 − 2cos(2x)
⇒ P = 4sen2
(x)
A) sen(2x) B) cos(2x) D) 2cos(2x)
Simplifique: 4sen x cos 2x cos 5x csc 4x − 2cos(4x) + 1
E) 4sen2
(x)
C) 4cos2
(x)
P =
4sen x cos 2x cos 5x
sen 4x
− 2cos(4x) + 1
P =
2sen x cos 5x
2sen x cos(x)
− 2cos(4x) + 1
P = 2 cos 4x − 2 cos 2x + 1 − 2cos(4x) + 1
RESOLUCIÓN
CLAVE: E

72. PROBLEMA 32:
A) − 1 B) 1 C)tan(z) D) cot(z) E)cos(y)
Sea: cos x − y =
cos x + y − z
cos(z)
, calcule:
cot(z) − cot(y)
cot(x) − cot(z)
Se pide: V =
cot(z) − cot(y)
cot(x) − cot(z)
⇒ V =
sen y − z
sen(z)sen(y)
sen(z − x)
sen(x) sen(z)
⟹ 2 cos x − y cos z = 2cos(x + y − z)
⇒ cos x − y + z + cos x − y − z = 2cos x + y − z
⇒ cos x − y + z − cos x + y − z =
⇒ −2sen x sen −y + z = − 2sen x − z sen y
⇒ V =
sen x sen(y − z)
sen(y)sen(z − x)
… (I)
cos x − y =
cos x + y − z
cos(z)
Como:
cos x + y − z − cos(x − y − z)
En I :
⇒ sen x sen y − z = sen z − x sen y
V = 1
RESOLUCIÓN
CLAVE: B