SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  13
Télécharger pour lire hors ligne
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA
                        REŠAVANJE TROUGLA



Sinusna teorema glasi:

Stranice trougla proporcionalne su sinusima njima naspramnih uglova.




                                           a     b     c
                                              =     =      = 2R
                                         sin α sin β sin γ




Odnos dužine stranica i sinusa naspramnog ugla trougla je konstanta i jednak je dužini
prečnika (2R) kružnice opisane oko trougla.


                                Sinusna teorema se primenjuje:

       1) Kada su data dva ugla i jedna stranica
       2) Kada se date dve stranice i ugao naspram jedne od tih stranica

Kosinusna teorema glasi:

Neka su a,b,c dužine stranica i α , β , γ veličine odgovarajućih unutrašnjih uglova trougla
ABC. Tada je:

        a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
       b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
        c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ

                               Kosinusna teorema se primenjuje:

       1) Kad su date dve stranice i ugao izmedju njih
       2) Kad su date sve tri stranice trougla


                                                                                          1
Još neke važne ''stvari'' koje se izvode iz sinusne i kosinusne teoreme su:

→ Površina trougla je:      1
                         P = bc sin α
                            2
                            1
                         P = ac sin β
                            2
                            1
                         P = ab sin γ
                            2

                            a ⋅b ⋅c
→ Površina trougla je P =           , R je poluprečnik opisane kružnice i P = r ⋅ s gde je
                              4R
     a+b+c
s=         poluobim a r je poluprečnik upisane kružnice
       2

→ Težišne linije se izračunavaju:        2b 2 + 2c 2 − a 2
                                    ta =
                                                2
                                         2c 2 + 2a 2 − b 2
                                    tb =
                                                2
                                         2a 2 + 2b 2 − c 2
                                    tc =
                                               2


→ Proizvod dijagonala tetivnog četvorougla (oko koga može da se opiše kružnica)
jednak je zbiru proizvoda naspramnih strana.

                            m ⋅ n = ac + bd
                         Ptolomejeva teorema




→ Ako su d1 i d 2 dijagonalne konveksnog četvorougla i α ugao koji one grade.
Površina tog četvorougla je:



                                                                                             2
1
       P=     d1 ⋅ d 2 sin α
            2




                                               Zadaci:


1) U trouglu ABC dato je α = 450 , β = 600 i poluprečnik opisanog kruga R = 2 6 .
Odrediti ostale osnovne elemente bez upotrebe tablica.

       α = 45o
       β = 60 o
       R=2 6
       ____________



Najpre ćemo naći ugao γ
                               α + β + je = 180 o
                               γ = 180 o − (45 o + 60 o )
                               γ = 75 o



         a     b     c
            =     =      = 2R
       sin α sin β sin γ

Iskoristićemo sinusnu teoremu.

         a
             = 2R ⇒        a = 2 R sin α
       sin α
                           a = 2 ⋅ 2 6 sin 45 o
                                           2
                           a=4 6⋅            = 2 12 = 4 3
                                          2
                           a=4 3



                                                                                    3
b
      = 2R ⇒          b = 2 R sin β
sin β
                      b = 2 ⋅ 2 6 sin 60 o
                                  3
                      b=4 6⋅        = 2 18 = 6 3
                                 2
                      b=6 3


  c
      = 2R ⇒          c = 2 R sin je
sin γ
                      c = 2 ⋅ R 6 sin 75o
                      c = 4 6 ⋅ sin( 45o + 30o )
                      c = 4 6 ⋅ (sin 45o cos 30 o + cos 45o sin 30 o )
                                2 3    2 1
                      c = 4 6 ⋅  ⋅
                                2 2 +   ⋅  → sre dim o
                                      2 2
                            (
                      c = 2 3+ 3      )
2) Odrediti stranicu b trougla ABC ako su njegove stranice a = 2 3cm, c = 6cm i
ugao β = 1050

       a = 2 3cm
       c = 6cm
                        Ovde ćemo upotrebiti kosinusnu teoremu!!!
       β = 105o
       ____________

       b=?


       b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β

Ajmo prvo da nadjemo cos 105o

       cos105o = cos(60o + 45o )
                  = cos 60 o cos 45 o − sin 60 o sin 45 o
                       1 2    3 2               2 (1 − 3 )
                  =     ⋅  −   ⋅  =
                       2 2   2 2                    4




                                                                                  4
2 (1 − 3 )
 b 2 = (2 3 ) 2 + ( 6 ) 2 − 2 ⋅ 2 3 ⋅ 6 ⋅
                                                      4
 b 2 = 12 + 6 − 6(1 − 3 )
 b 2 = 12 + 6 − 6 + 6 3
 b 2 = 12 + 6 3 → mali trik
                                             12 + 6 3 = (3 + 3 ) 2 → proverimo
 b 2 = (3 + 3 ) 2                                                            2
                                                       = 32 + 2 ⋅ 3 3 + 3
 b = 3+ 3
                                                       = 9+6 3 +3
                                                       = 12 + 6 3


3) U trouglu ABC dato je AB=24cm, AC=9cm i ugao α = 600 . Odrediti bez
upotreba tablica, stranicu BC i poluprečnik opisane kružnice.

                     C



    b=9cm                            a


                                                                    b = 9cm
                                                                    c = 24cm
A                    c=24cm                            B
                                                                    α = 60 o
                                                                    __________

                                                                    a = ?, R = ?


       a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
       a 2 = 9 2 + 24 2 − 2 ⋅ 9 ⋅ 24 ⋅ cos 60 o
                                       1
       a 2 = 81 + 576 − 2 ⋅ 9 ⋅ 24 ⋅
                                       2
       a 2 = 441
       a = 441
       a = 21cm




                                                                                   5
a             21
             = 2R ⇒          = 2R
       sin α        sin 60 o
                     21
                         = 2R
                      3
                     2
                           42
                    2R =
                             3
                         21
                    R=       racionališemo
                           3
                             21       3
                        R=        ⋅
                              3       3
                            21 3
                        R=
                              3
                        R = 7 3cm



4) U trouglu ABC razlika stranica a i b jednaka je 3cm ugao γ = 60 0 i poluprečnik
                        7 3
opisane kružnice R =        cm . Odrediti stranice trougla ABC.
                         3


       a − b = 3cm
       γ = 60 o
              7 3
       R=
               3
       __________ ___

       a , b, c = ?



         c
             = 2 R ⇒ c = 2 R sin γ
       sin γ
                            7 3
                     c = 2⋅        ⋅ sin 60 o
                              3
                            7 3 3
                     c = 2⋅        ⋅
                              3       2
                     c = 7cm




                                                                                 6
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
         7 2 = (b + 3) 2 + b 2 − 2b(b + 3) cos 60 o
                                               1
         49 = (b + 3) 2 + b 2 − 2b(b + 3) ⋅
                                               2
         49 = b 2 + 6b + 9 + b 2 − b 2 − 3b
         b 2 + 3b − 40 = 0 → kvadratna jednačina ‘’po b’’
                 − 3 ± 13
         b1, 2 =
                    2
         b1 = 5
         b2 = −8 → ovo nije rešenje jer ne može dužina stranice da bude negativan broj.

Dakle b = 5

         a = b+3
         a = 5+3
         a =8


5) U krugu su date tetive AB=8cm i AC=5cm. One grade medjusobni ugao α = 600 .
Izračunati poluprečnik opisane kružnice.
                                                      b = 5cm
       a = b 2 + c 2 − 2bc cos α
                                                      c = 8cm
       a 2 = 5 2 + 8 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ cos 60o
                                                      α = 60 o
                                                      __________ __
                                  1
       a 2 = 25 + 64 − 2 ⋅ 40 ⋅                       R=?
                                  2
       a 2 = 89 − 40
       a 2 = 49
       a = 7cm

         a             7
             = 2R ⇒           = 2R
       sin α        sin 60 o
                             7
                    2R =
                              3
                             2
                          7
                    R=
                           3
                                  7        3
                           R=          ⋅
                                   3       3
                                 7 3
                           R=
                                  3
                                                                                          7
6) Ako su stranice trougla a − 2, a, a + 2 i jedan ugao iznosi 120 0 , odrediti stranice.


                                                                a=a
                                                                b=a−2
                                      a+2                       c=a+2
           a-2

                          120 o
                                         a
Pazi: 120 o je ugao naspram najveće stranice (a+2)

        c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
        (a + 2) 2 = a 2 + (a − 2) 2 − 2a (a − 2) cos120 o
                                                        1
        ( a + 2) 2 = a 2 + ( a − 2) 2 − 2 a ( a − 2) ⋅  − 
                                                        2
        ( a + 2) = a + ( a − 2) + a ( a − 2)
                 2     2            2


        a 2 + 4a + 4 = a 2 + a 2 − 4a + 4 + a 2 − 2 a

        0 = 2a 2 − 10a
        2a (a − 5) = 0
        a = 0 → nemoguće
        a=5
        b = a−2 = 5−2 = 3
        b=3
        c=a+2
        c=7




7) Ozračinati visinu fabričkog dimnjaka koji se nalazi na horizontalnom
nepristupačnom tlu, ako se vrh dimnjaka iz tačke A vidi pod uglom α , a iz tačke B
pod uglom β . Tačke A i B pripadaju takodje horizontalnoj ravni a njihovo
rastojanje AB= a . Osa dimnjaka i tačke A i B leže u istoj ravni.



Ovde je najvažnije skicirati problem!!!




                                                                                            8
V


                        α −β


       x



                   .                                        β
                                       .                        .
           0                           A                a       B

Obeležimo traženu visinu sa OV=X

Prvo nadjemo nepoznate uglove ∠OVA i ∠AVB


       ∠OVA = 90 o − α 
                          AVB = ∠OVB − ∠OVA
                        ⇒
       ∠OVB = 90 o − β    = (90 o − β ) − (90 o − α )
                       
                           = 90 o − β − 90 o + α
                                      ∠AVB = α − β


Primenimo sinusnu teoremu na trougao ABV


               a              AV            a sin β
                         =         ⇒ AV =
       sin(α − β )           sin β        sin(α − β )


sad primenjujemo definiciju sinusa na pravougli trougao VOA.


                       X
       sin α =            ⇒ X = AV (sin α )
                       AV
                                a sin β sin α
                            X=
                                 sin(α − β )
                                a sin α sin β
                            X=
                                 sin(α − β )




                                                                    9
3
8) U trouglu ABC dato je a − b = 1, hc =     , R=4. Bez upotreba tablica izračunati α .
                                           2

       a −b =1
          3
       hc =
          2
        R=4
       ________

       α =?


Najpre ćemo upotrebiti obrasce za površinu trougla:
           c ⋅ hc      abc
       P=         , P=
             2         4R


Dakle: c ⋅ hc abc
             =
         2     4R
       2ab = 4 Rhc
       ab = 2 Rhc
       ab = 2 ⋅ 4 ⋅ hc
                      3
       ab = 2 ⋅ 4 ⋅
                      2
       ab = 12


Sada napravimo sistem:

       a −b =1
       ab = 12
       ___________

       a = b +1
       b(b + 1) = 12
       b 2 + b − 12 = 0
               −1 ± 7
       b1, 2 =
                 2
       b1 = 3
       b2 = −4 Nemoguće

Dakle b = 3 ⇒ a = 3 + 1 = 4 ⇒ a = 4




                                                                                     10
Dalje iskoristimo sinusnu teoremu:


          a                    a
              = 2 R ⇒ sin α =
        sin α                 2R
                              4
                      sin α =
                              8
                              1
                      sin α =
                              2
                                         1
Znamo da je α = 30 o jer je sin 30 o =
                                         2

Dakle α = 30 o



9) Odrediti stranice trougla površine P = 3 3 , ako je ugao α = 600 i zbir stranica
koje zahvataju dati ugao b+c=7



        P=3 3          Ovdećemo iskoristiti obrazac za površinu trougla:
       α = 60o                               1
                                         P = bc sin α
       b+c =7                                2
        ___________
                                                1
        a, b, c = ?                      3 3 = bc sin 60o
                                                2
                                                1     3
                                         3 3 = bc ⋅
                                                2    3
                                         bc = 12


Dalje ćemo oformiti sistem jednačina:

       b+c =7
       bc = 12



       Izrazimo c=7-b i zamenimo u           bc=12




                                                                                      11
c = 7−b
             b ⋅ (7 − b) = 12
             7b − b 2 = 12
             b 2 − 7b + 12 = 0
                     7 ±1
             b1, 2 =
                       2
             b1 = 4 ⇒ c = 3
             b2 = 3 ⇒ c = 4

Znači imamo dve mogućnosti:

             b1 = 4, c = 3       ili       b2 = 3; c = 4

Upotrebimo sad kosinusnu teoremu:

             a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
             a 2 = 4 2 + 32 − 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ cos 60o
                                      1
             a 2 = 16 + 9 − 2 ⋅12 ⋅
                                      2
             a = 25 − 12
               2


             a 2 = 13
             a = 13

10) U tetivnom četvorouglu ABCD dijagonala BD je normalna na stranicu BC,
ugao ABC= 120 0 , ugao BAD= 120 0 , DA=1. Izračunati dijagonalu BD i stranicu CD

Odavde je vrlo važno nacrtati skicu i postaviti problem, rešenje zatim dolazi samo po
sebi:

              D

     1         β

         0
A   120




                  .
              B                        C




                                                                                        12
Pošto je ∠ABC = 120 o i BD ⊥ BC ⇒ ∠ABD = 30 o a kako je
∠BAD = 120 o ⇒ ∠ADB = 30 o naravno trougao ABD je jednakokraki ⇒ AB = 1 a onda
nije teško naći DB

        DB 2 = 12 + 12 − 2 ⋅1 ⋅1 ⋅ cos120 o → Kosinusna teorema
                            1
        DB 2 = 1 + 1 − 2 ⋅  − 
                            2
        DB = 3
           2


        DB = 3

pošto se radi o tetivnom četvorouglu, zbir naspramnih uglova je isti!!!

       120 o + α = 120 o + β + 30 0
               α = 30 o + β      i važi još α + β = 90 o pa je :

    α = 60 o , β = 30 o

Primenimo definiciju:

                                  3
                    sin 60 o =
                                 CD
                      3    3
                        =
                     2    CD
                    CD = 2




                                                                             13

Contenu connexe

Tendances

Hemija r1 oksidoredukcione_reakcije_zadaci za vezbanje- oskidoredukcione reak...
Hemija r1 oksidoredukcione_reakcije_zadaci za vezbanje- oskidoredukcione reak...Hemija r1 oksidoredukcione_reakcije_zadaci za vezbanje- oskidoredukcione reak...
Hemija r1 oksidoredukcione_reakcije_zadaci za vezbanje- oskidoredukcione reak...NašaŠkola.Net
 
односи међу појмовима
односи међу појмовимаодноси међу појмовима
односи међу појмовимаfilozofskaazbuka
 
Nervni sistem - Jelena Stojanović - Jasmina Miljković
Nervni sistem - Jelena Stojanović - Jasmina MiljkovićNervni sistem - Jelena Stojanović - Jasmina Miljković
Nervni sistem - Jelena Stojanović - Jasmina MiljkovićNašaŠkola.Net
 
V-razred-Klase i razredi-zadaci i rjesenja.pptx
V-razred-Klase i razredi-zadaci i rjesenja.pptxV-razred-Klase i razredi-zadaci i rjesenja.pptx
V-razred-Klase i razredi-zadaci i rjesenja.pptxMirela Avdibegovic
 
Trigonometrijske formule
Trigonometrijske formuleTrigonometrijske formule
Trigonometrijske formulemArKoBK3
 
Primene slicnosti na_pravougli_trougao
Primene slicnosti na_pravougli_trougaoPrimene slicnosti na_pravougli_trougao
Primene slicnosti na_pravougli_trougaoJelena Dobrivojevic
 
VIII razred - Linearna funkcija
VIII razred - Linearna funkcijaVIII razred - Linearna funkcija
VIII razred - Linearna funkcijamirjanamitic18
 
O OKSIDIMA
O OKSIDIMAO OKSIDIMA
O OKSIDIMAvvlivvli
 
Elektrolitička disocijacija
Elektrolitička disocijacijaElektrolitička disocijacija
Elektrolitička disocijacijaBiljana Ristic
 
Piramida i zarubljena_piramida
Piramida i zarubljena_piramidaPiramida i zarubljena_piramida
Piramida i zarubljena_piramidaBojan Maksimovic
 
Piramida, povrsina piramide
Piramida, povrsina piramidePiramida, povrsina piramide
Piramida, povrsina piramidemirjanamitic18
 

Tendances (20)

Iracionalne jednacine
Iracionalne jednacineIracionalne jednacine
Iracionalne jednacine
 
Hemija r1 oksidoredukcione_reakcije_zadaci za vezbanje- oskidoredukcione reak...
Hemija r1 oksidoredukcione_reakcije_zadaci za vezbanje- oskidoredukcione reak...Hemija r1 oksidoredukcione_reakcije_zadaci za vezbanje- oskidoredukcione reak...
Hemija r1 oksidoredukcione_reakcije_zadaci za vezbanje- oskidoredukcione reak...
 
Vietove formule
Vietove formuleVietove formule
Vietove formule
 
односи међу појмовима
односи међу појмовимаодноси међу појмовима
односи међу појмовима
 
Nervni sistem - Jelena Stojanović - Jasmina Miljković
Nervni sistem - Jelena Stojanović - Jasmina MiljkovićNervni sistem - Jelena Stojanović - Jasmina Miljković
Nervni sistem - Jelena Stojanović - Jasmina Miljković
 
Procentni racun
Procentni racunProcentni racun
Procentni racun
 
V-razred-Klase i razredi-zadaci i rjesenja.pptx
V-razred-Klase i razredi-zadaci i rjesenja.pptxV-razred-Klase i razredi-zadaci i rjesenja.pptx
V-razred-Klase i razredi-zadaci i rjesenja.pptx
 
Trigonometrijske formule
Trigonometrijske formuleTrigonometrijske formule
Trigonometrijske formule
 
Primene slicnosti na_pravougli_trougao
Primene slicnosti na_pravougli_trougaoPrimene slicnosti na_pravougli_trougao
Primene slicnosti na_pravougli_trougao
 
Iracionalne nejednacine
Iracionalne nejednacineIracionalne nejednacine
Iracionalne nejednacine
 
Racun podele
Racun podeleRacun podele
Racun podele
 
VIII razred - Linearna funkcija
VIII razred - Linearna funkcijaVIII razred - Linearna funkcija
VIII razred - Linearna funkcija
 
Kvadratna funkcija
Kvadratna funkcijaKvadratna funkcija
Kvadratna funkcija
 
O OKSIDIMA
O OKSIDIMAO OKSIDIMA
O OKSIDIMA
 
Elektrolitička disocijacija
Elektrolitička disocijacijaElektrolitička disocijacija
Elektrolitička disocijacija
 
Verizni razlomci1
Verizni razlomci1Verizni razlomci1
Verizni razlomci1
 
Piramida i zarubljena_piramida
Piramida i zarubljena_piramidaPiramida i zarubljena_piramida
Piramida i zarubljena_piramida
 
Piramida, povrsina piramide
Piramida, povrsina piramidePiramida, povrsina piramide
Piramida, povrsina piramide
 
Centralna simetrija
Centralna simetrijaCentralna simetrija
Centralna simetrija
 
Racun mesanja
Racun mesanjaRacun mesanja
Racun mesanja
 

En vedette (20)

Stepenovanje
StepenovanjeStepenovanje
Stepenovanje
 
Osnovne trigonometrijske jednacine
Osnovne trigonometrijske jednacineOsnovne trigonometrijske jednacine
Osnovne trigonometrijske jednacine
 
Sistemi kvadratmih jednacina_sa%20dve%20nepoynate
Sistemi kvadratmih jednacina_sa%20dve%20nepoynateSistemi kvadratmih jednacina_sa%20dve%20nepoynate
Sistemi kvadratmih jednacina_sa%20dve%20nepoynate
 
Logaritmi
LogaritmiLogaritmi
Logaritmi
 
Logaritamske jednacine i_nejednacine
Logaritamske jednacine i_nejednacineLogaritamske jednacine i_nejednacine
Logaritamske jednacine i_nejednacine
 
Neke jednacine koje_se_svode_na_kvadratne
Neke jednacine koje_se_svode_na_kvadratneNeke jednacine koje_se_svode_na_kvadratne
Neke jednacine koje_se_svode_na_kvadratne
 
Eksponencijalne funkcije
Eksponencijalne funkcijeEksponencijalne funkcije
Eksponencijalne funkcije
 
Grafici trigonometrijskih funkcija_i_deo
Grafici trigonometrijskih funkcija_i_deoGrafici trigonometrijskih funkcija_i_deo
Grafici trigonometrijskih funkcija_i_deo
 
Logaritamska funkcija
Logaritamska funkcijaLogaritamska funkcija
Logaritamska funkcija
 
Kvadratna nejednacina
Kvadratna nejednacinaKvadratna nejednacina
Kvadratna nejednacina
 
Grafici trigonometrijskih funkcija_ii_deo
Grafici trigonometrijskih funkcija_ii_deoGrafici trigonometrijskih funkcija_ii_deo
Grafici trigonometrijskih funkcija_ii_deo
 
Korenovanje
KorenovanjeKorenovanje
Korenovanje
 
Kompleksni brojevi
Kompleksni brojeviKompleksni brojevi
Kompleksni brojevi
 
Graficko resavanje sistema
Graficko resavanje sistemaGraficko resavanje sistema
Graficko resavanje sistema
 
Proporcionalnost
ProporcionalnostProporcionalnost
Proporcionalnost
 
Trigonometrijske funkcije ostrog_ugla
Trigonometrijske funkcije ostrog_uglaTrigonometrijske funkcije ostrog_ugla
Trigonometrijske funkcije ostrog_ugla
 
Rotacija
RotacijaRotacija
Rotacija
 
Konstrukcije cetvorouglova
Konstrukcije cetvorouglovaKonstrukcije cetvorouglova
Konstrukcije cetvorouglova
 
Polinom sa jednom_promenljivom
Polinom sa jednom_promenljivomPolinom sa jednom_promenljivom
Polinom sa jednom_promenljivom
 
Talesova teorema
Talesova teoremaTalesova teorema
Talesova teorema
 

Sinusna i kosinusna_teorema

  • 1. SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusna teorema glasi: Stranice trougla proporcionalne su sinusima njima naspramnih uglova. a b c = = = 2R sin α sin β sin γ Odnos dužine stranica i sinusa naspramnog ugla trougla je konstanta i jednak je dužini prečnika (2R) kružnice opisane oko trougla. Sinusna teorema se primenjuje: 1) Kada su data dva ugla i jedna stranica 2) Kada se date dve stranice i ugao naspram jedne od tih stranica Kosinusna teorema glasi: Neka su a,b,c dužine stranica i α , β , γ veličine odgovarajućih unutrašnjih uglova trougla ABC. Tada je: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ Kosinusna teorema se primenjuje: 1) Kad su date dve stranice i ugao izmedju njih 2) Kad su date sve tri stranice trougla 1
  • 2. Još neke važne ''stvari'' koje se izvode iz sinusne i kosinusne teoreme su: → Površina trougla je: 1 P = bc sin α 2 1 P = ac sin β 2 1 P = ab sin γ 2 a ⋅b ⋅c → Površina trougla je P = , R je poluprečnik opisane kružnice i P = r ⋅ s gde je 4R a+b+c s= poluobim a r je poluprečnik upisane kružnice 2 → Težišne linije se izračunavaju: 2b 2 + 2c 2 − a 2 ta = 2 2c 2 + 2a 2 − b 2 tb = 2 2a 2 + 2b 2 − c 2 tc = 2 → Proizvod dijagonala tetivnog četvorougla (oko koga može da se opiše kružnica) jednak je zbiru proizvoda naspramnih strana. m ⋅ n = ac + bd Ptolomejeva teorema → Ako su d1 i d 2 dijagonalne konveksnog četvorougla i α ugao koji one grade. Površina tog četvorougla je: 2
  • 3. 1 P= d1 ⋅ d 2 sin α 2 Zadaci: 1) U trouglu ABC dato je α = 450 , β = 600 i poluprečnik opisanog kruga R = 2 6 . Odrediti ostale osnovne elemente bez upotrebe tablica. α = 45o β = 60 o R=2 6 ____________ Najpre ćemo naći ugao γ α + β + je = 180 o γ = 180 o − (45 o + 60 o ) γ = 75 o a b c = = = 2R sin α sin β sin γ Iskoristićemo sinusnu teoremu. a = 2R ⇒ a = 2 R sin α sin α a = 2 ⋅ 2 6 sin 45 o 2 a=4 6⋅ = 2 12 = 4 3 2 a=4 3 3
  • 4. b = 2R ⇒ b = 2 R sin β sin β b = 2 ⋅ 2 6 sin 60 o 3 b=4 6⋅ = 2 18 = 6 3 2 b=6 3 c = 2R ⇒ c = 2 R sin je sin γ c = 2 ⋅ R 6 sin 75o c = 4 6 ⋅ sin( 45o + 30o ) c = 4 6 ⋅ (sin 45o cos 30 o + cos 45o sin 30 o )  2 3 2 1 c = 4 6 ⋅ ⋅  2 2 + ⋅  → sre dim o  2 2 ( c = 2 3+ 3 ) 2) Odrediti stranicu b trougla ABC ako su njegove stranice a = 2 3cm, c = 6cm i ugao β = 1050 a = 2 3cm c = 6cm Ovde ćemo upotrebiti kosinusnu teoremu!!! β = 105o ____________ b=? b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β Ajmo prvo da nadjemo cos 105o cos105o = cos(60o + 45o ) = cos 60 o cos 45 o − sin 60 o sin 45 o 1 2 3 2 2 (1 − 3 ) = ⋅ − ⋅ = 2 2 2 2 4 4
  • 5. 2 (1 − 3 ) b 2 = (2 3 ) 2 + ( 6 ) 2 − 2 ⋅ 2 3 ⋅ 6 ⋅ 4 b 2 = 12 + 6 − 6(1 − 3 ) b 2 = 12 + 6 − 6 + 6 3 b 2 = 12 + 6 3 → mali trik 12 + 6 3 = (3 + 3 ) 2 → proverimo b 2 = (3 + 3 ) 2 2 = 32 + 2 ⋅ 3 3 + 3 b = 3+ 3 = 9+6 3 +3 = 12 + 6 3 3) U trouglu ABC dato je AB=24cm, AC=9cm i ugao α = 600 . Odrediti bez upotreba tablica, stranicu BC i poluprečnik opisane kružnice. C b=9cm a b = 9cm c = 24cm A c=24cm B α = 60 o __________ a = ?, R = ? a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α a 2 = 9 2 + 24 2 − 2 ⋅ 9 ⋅ 24 ⋅ cos 60 o 1 a 2 = 81 + 576 − 2 ⋅ 9 ⋅ 24 ⋅ 2 a 2 = 441 a = 441 a = 21cm 5
  • 6. a 21 = 2R ⇒ = 2R sin α sin 60 o 21 = 2R 3 2 42 2R = 3 21 R= racionališemo 3 21 3 R= ⋅ 3 3 21 3 R= 3 R = 7 3cm 4) U trouglu ABC razlika stranica a i b jednaka je 3cm ugao γ = 60 0 i poluprečnik 7 3 opisane kružnice R = cm . Odrediti stranice trougla ABC. 3 a − b = 3cm γ = 60 o 7 3 R= 3 __________ ___ a , b, c = ? c = 2 R ⇒ c = 2 R sin γ sin γ 7 3 c = 2⋅ ⋅ sin 60 o 3 7 3 3 c = 2⋅ ⋅ 3 2 c = 7cm 6
  • 7. c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ 7 2 = (b + 3) 2 + b 2 − 2b(b + 3) cos 60 o 1 49 = (b + 3) 2 + b 2 − 2b(b + 3) ⋅ 2 49 = b 2 + 6b + 9 + b 2 − b 2 − 3b b 2 + 3b − 40 = 0 → kvadratna jednačina ‘’po b’’ − 3 ± 13 b1, 2 = 2 b1 = 5 b2 = −8 → ovo nije rešenje jer ne može dužina stranice da bude negativan broj. Dakle b = 5 a = b+3 a = 5+3 a =8 5) U krugu su date tetive AB=8cm i AC=5cm. One grade medjusobni ugao α = 600 . Izračunati poluprečnik opisane kružnice. b = 5cm a = b 2 + c 2 − 2bc cos α c = 8cm a 2 = 5 2 + 8 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ cos 60o α = 60 o __________ __ 1 a 2 = 25 + 64 − 2 ⋅ 40 ⋅ R=? 2 a 2 = 89 − 40 a 2 = 49 a = 7cm a 7 = 2R ⇒ = 2R sin α sin 60 o 7 2R = 3 2 7 R= 3 7 3 R= ⋅ 3 3 7 3 R= 3 7
  • 8. 6) Ako su stranice trougla a − 2, a, a + 2 i jedan ugao iznosi 120 0 , odrediti stranice. a=a b=a−2 a+2 c=a+2 a-2 120 o a Pazi: 120 o je ugao naspram najveće stranice (a+2) c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ (a + 2) 2 = a 2 + (a − 2) 2 − 2a (a − 2) cos120 o  1 ( a + 2) 2 = a 2 + ( a − 2) 2 − 2 a ( a − 2) ⋅  −   2 ( a + 2) = a + ( a − 2) + a ( a − 2) 2 2 2 a 2 + 4a + 4 = a 2 + a 2 − 4a + 4 + a 2 − 2 a 0 = 2a 2 − 10a 2a (a − 5) = 0 a = 0 → nemoguće a=5 b = a−2 = 5−2 = 3 b=3 c=a+2 c=7 7) Ozračinati visinu fabričkog dimnjaka koji se nalazi na horizontalnom nepristupačnom tlu, ako se vrh dimnjaka iz tačke A vidi pod uglom α , a iz tačke B pod uglom β . Tačke A i B pripadaju takodje horizontalnoj ravni a njihovo rastojanje AB= a . Osa dimnjaka i tačke A i B leže u istoj ravni. Ovde je najvažnije skicirati problem!!! 8
  • 9. V α −β x . β . . 0 A a B Obeležimo traženu visinu sa OV=X Prvo nadjemo nepoznate uglove ∠OVA i ∠AVB ∠OVA = 90 o − α   AVB = ∠OVB − ∠OVA  ⇒ ∠OVB = 90 o − β  = (90 o − β ) − (90 o − α )  = 90 o − β − 90 o + α ∠AVB = α − β Primenimo sinusnu teoremu na trougao ABV a AV a sin β = ⇒ AV = sin(α − β ) sin β sin(α − β ) sad primenjujemo definiciju sinusa na pravougli trougao VOA. X sin α = ⇒ X = AV (sin α ) AV a sin β sin α X= sin(α − β ) a sin α sin β X= sin(α − β ) 9
  • 10. 3 8) U trouglu ABC dato je a − b = 1, hc = , R=4. Bez upotreba tablica izračunati α . 2 a −b =1 3 hc = 2 R=4 ________ α =? Najpre ćemo upotrebiti obrasce za površinu trougla: c ⋅ hc abc P= , P= 2 4R Dakle: c ⋅ hc abc = 2 4R 2ab = 4 Rhc ab = 2 Rhc ab = 2 ⋅ 4 ⋅ hc 3 ab = 2 ⋅ 4 ⋅ 2 ab = 12 Sada napravimo sistem: a −b =1 ab = 12 ___________ a = b +1 b(b + 1) = 12 b 2 + b − 12 = 0 −1 ± 7 b1, 2 = 2 b1 = 3 b2 = −4 Nemoguće Dakle b = 3 ⇒ a = 3 + 1 = 4 ⇒ a = 4 10
  • 11. Dalje iskoristimo sinusnu teoremu: a a = 2 R ⇒ sin α = sin α 2R 4 sin α = 8 1 sin α = 2 1 Znamo da je α = 30 o jer je sin 30 o = 2 Dakle α = 30 o 9) Odrediti stranice trougla površine P = 3 3 , ako je ugao α = 600 i zbir stranica koje zahvataju dati ugao b+c=7 P=3 3 Ovdećemo iskoristiti obrazac za površinu trougla: α = 60o 1 P = bc sin α b+c =7 2 ___________ 1 a, b, c = ? 3 3 = bc sin 60o 2 1 3 3 3 = bc ⋅ 2 3 bc = 12 Dalje ćemo oformiti sistem jednačina: b+c =7 bc = 12 Izrazimo c=7-b i zamenimo u bc=12 11
  • 12. c = 7−b b ⋅ (7 − b) = 12 7b − b 2 = 12 b 2 − 7b + 12 = 0 7 ±1 b1, 2 = 2 b1 = 4 ⇒ c = 3 b2 = 3 ⇒ c = 4 Znači imamo dve mogućnosti: b1 = 4, c = 3 ili b2 = 3; c = 4 Upotrebimo sad kosinusnu teoremu: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α a 2 = 4 2 + 32 − 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ cos 60o 1 a 2 = 16 + 9 − 2 ⋅12 ⋅ 2 a = 25 − 12 2 a 2 = 13 a = 13 10) U tetivnom četvorouglu ABCD dijagonala BD je normalna na stranicu BC, ugao ABC= 120 0 , ugao BAD= 120 0 , DA=1. Izračunati dijagonalu BD i stranicu CD Odavde je vrlo važno nacrtati skicu i postaviti problem, rešenje zatim dolazi samo po sebi: D 1 β 0 A 120 . B C 12
  • 13. Pošto je ∠ABC = 120 o i BD ⊥ BC ⇒ ∠ABD = 30 o a kako je ∠BAD = 120 o ⇒ ∠ADB = 30 o naravno trougao ABD je jednakokraki ⇒ AB = 1 a onda nije teško naći DB DB 2 = 12 + 12 − 2 ⋅1 ⋅1 ⋅ cos120 o → Kosinusna teorema  1 DB 2 = 1 + 1 − 2 ⋅  −   2 DB = 3 2 DB = 3 pošto se radi o tetivnom četvorouglu, zbir naspramnih uglova je isti!!! 120 o + α = 120 o + β + 30 0 α = 30 o + β i važi još α + β = 90 o pa je : α = 60 o , β = 30 o Primenimo definiciju: 3 sin 60 o = CD 3 3 = 2 CD CD = 2 13