1. VIETOVE FORMULE. RASTAVLJANJE KVADRATNOG
TRINOMA NA LINEARNE ČINIOCE
Brojevi x1 i x 2 su rešenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 ako i samo ako je
b c
x1 + x2 = − i x1 ⋅ x2 =
a a
Ove dve jednakosti zovu se Vietove formule.
Čemu one služe?
Osnovna primena da nam pomognu da kada imamo rešenja x1 i x 2 napravimo kvadratnu
jednačinu:
x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0
ili bi možda bilo preciznije
[ ]
a x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0 najčešće se ovde uzima a = 1 , pa je to formula
Primer 1: Napisati kvadratnu jednačinu čija su rešenja:
a) x1 = 3, x2 = −2
b) Jedno rešenje je x1 = 1 + 2i
a) x1 = 3, x 2 = −2
x1 + x2 = 3 + (−2) = +1
x1 ⋅ x2 = 3 ⋅ (−2) = −6
⎡ ⎤
Formula je a ⎢ x 2 − ( x1 + x 2 ) x + x1 ⋅ x 2 ⎥ = 0
⎢ 1 24
4 3 1 3⎥
2
⎣ 1 −6 ⎦
[ ]
Pa je a x − x − 6 = 0 najčešće se uzima a = 1 ⇒ x 2 − x − 6 = 0
2
______
b) x1 = 1 + 2i , Nemamo drugo rešenje?
Pošto znamo da su rešenja kvadratne jednačine konjugovano kompleksni brojevi to mora
biti: x 2 = 1 − 2i
www.matematiranje.com
1

2. x1 + x 2 = 1 + 2i + 1 − 2i = 2
x1 ⋅ x 2 = (1 + 2i ) ⋅ (1 − 2i ) = 12 − (2i ) 2 = 1 − 4i 2 =
(pošto je i 2 = −1 ) = 1 + 4 = 5
Zamenimo u formulu:
x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0
x 2 − 2 x + 5 = 0 je tražena kvadratna jednačina
Primer 2: U jednačini mx 2 − (3m + 1) x + m = 0 odrediti vrednost realnog parametra
m tako da važi: x1 + x 2 = 5
b
Rešenje: a = m x1 + x2 = −
a
b = −(3m + 1)
− (3m + 1) 3m + 1
c=m x1 + x2 = − =
m m
Kako je x1 + x 2 = 5 ⇒ 3m + 1
=5
m
3m + 1 = 5m
3m − 5m = −1
− 2m = −1
1
m=
2
Primer 3: Odrediti vrednost realnog parametra k tako da za x1 i x2 jednačine:
x 2 − 4 x + 3(k − 1) = 0 važi x1 − 3 x2 = 0
b −4
Rešenje: x1 + x 2 = − =− =4
a 1
a =1 x1 + x2 = 4 ⎫
b = −4 ⎬ rešimo kao sistem
x1 − 3x2 = 0⎭
c = 3(k − 1) _________________
x1 + x2 = 4
− x + 3x = 0
1 2
__________________
4 x2 = 4 ⇒ x2 = 1 ⇒ x1 = 3
c 3(k − 1)
Kako je x1 ⋅ x2 = ⇒ 3 ⋅1 = ⇒ k −1 = 1 ⇒ k = 2
a 1
www.matematiranje.com
2

3. Primer 4: U jednačini x 2 − (m + 1) x + m = 0 odrediti realan broj m tako da njena rešenja
zadovoljavaju jednakost x12 + x 2 = 10
2
Rešenje: b −(m + 1)
a =1 x1 + x2 = − =− = m +1
⇒ a 1
b = −(m + 1) c m
c=m x1 + x2 = = = m
a 1
Ovaj izraz x12 + x 2 → se često javlja u zadacima. Da ga izvedemo kao formulicu pa ćemo
2
je gotovu upotrebljavati u drugim zadacima.
Krenimo od poznate formule za kvadrat binoma: ( x1 + x2 ) 2 = x12 + 2 x1 x2 + x2
2
Odavde je: x12 + x2 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 ZAPAMTI!!!
2
Vratimo se u zadatak:
x12 + x2 = 10 ⇒ ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 = 10
2
(m + 1) 2 − 2m = 10
m 2 + 2m + 1 − 2m = 10
m 2 = 10 − 1
m2 = 9
m=± 9
m1 = 3
m2 = −3
Primer 5: Odrediti koeficijente p i q kvadratne jednačine x 2 + px + q = 0 tako da
x =p
njena rešenja budu 1
x2 = q
Rešenja: a = 1 b p
x1 + x2 = − = − = −p
b= p⇒ a 1
c=q x1 ⋅ x2 =
c
=q
a
p + q = − p⎫ 2p + q = 0
⇒ ⎬⇒
p⋅q = q ⎭ pq − q = 0
www.matematiranje.com
3

4. Iz druge jednačine sistema: pq − q = 0 ⇒ q( p − 1) = 0 pa je q = 0 ili p = 1
Za q = 0 ⇒ vratimo u prvu jednačinu:
2p + q = 0 ⇒ 2p +0 = 0 ⇒ p = 0
Za p = 1 ⇒ 2 p + q = 0 ⇒ 2 + q = 0 ⇒ q = −2
Dakle ta kvadratna jednačina je:
x 2 + px + q = 0 ⇒ x 2 = 0 za p = 0 i q = 0
⇒ x 2 + x − 2 = 0 za p = 1 ∧ q = −2
Rastavljanje kvadratnog trinoma na činioce
Kvadratni trinom po x je izraz oblika: ax 2 + bx + c gde su a, b, c → brojevi i a ≠ 0 .
Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratnog trinoma.
Ako su x1 i x2 rešenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 onda je:
ax 2 + bx + c = a( x − x1 )( x − x 2 )
Primer1: Kvadratni trinom:
a) x 2 + 5 x + 6
b) x 2 + 2 x + 2
rastaviti na činioce.
a) x 2 + 5 x + 6 = 0 najpre rešimo kvadratnu jednačinu:
− b ± D 5 ±1
a =1 D = b 2 − 4ac x1, 2 = =
2a 2
b = −5 D = 25 − 24 x1 = 3
c=6 D =1 x2 = 2
Formula: a( x − x1 )( x − x2 ) = 1( x − 3)( x − 2) = ( x − 3)( x − 2)
Dakle: x 2 + 5 x + 6 = ( x − 3)( x − 2)
www.matematiranje.com
4

5. b) x 2 + 2 x + 2 = 0 ⇒ a = 1, b = 2, c = 2 D = 4 − 8 = −4
− 2 ± 2i 2(−1 ± i )
x1, 2 = =
2 2
x1 = −1 + i
x 2 = −1 − i
a ( x − x1 )( x − x 2 ) = 1( x + 1 − i )( x + 1 + i )
Dakle: x 2 + 2 x + 2 = ( x + 1 − i )( x + 1 + i )
3x 2 + 2 x − 8
Primer 2: Skratiti razlomak:
12 x 2 − 7 x − 12
Rešenje: Uzećemo posebno imenilac , posebno brojilac i rastaviti ih na činioce.
3x 2 + 2 x − 8 = 0
−b± D
a=3 D = b 2 − 4ac x1, 2 =
2a
b=2 D = 4 + 4 ⋅3⋅8 − 2 ± 10
x1, 2 =
c = −8 D = 4 + 96 6
D = 100 − 2 + 10 8 4
x1 = = =
6 6 3
− 2 − 10
x2 = = −2
6
4
Dakle: 3x 2 + 2 x − 8 = a( x − x1 )( x − x 2 ) = 3( x − )( x + 2)
3
12 x 2 − 7 x − 12 = 0
−b ± D
a = 12 D = b 2 − 4ac x1,2 =
2a
b = −7 D = 4 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−12) 7 ± 25
x1,2 =
c = −12 D = 49 + 576 24
D = 625 7 + 25 32 4
x1 = = =
24 24 3
7 − 25 18 3
x2 = =− =−
24 24 4
4 3
Dakle: 12 x 2 − 7 x − 12 = a( x − x1 )( x − x2 ) = 12( x − )( x + )
3 4
Vratimo se sad u razlomak
www.matematiranje.com
5

6. 4
3 ( x − ) ( x + 2)
3x + 2 x − 8
2
3 x+2
= =
12 x − 7 x − 12
2
4 3 3
12 ( x − ) ( x + ) 4( x + )
3 4 4
4 3
x−
≠0 x+ ≠0
3 4
Naravno uz uslov i
4 3
x≠ x≠−
3 4
x3 + 1
Primer 3: Skratiti razlomak: 2
x − 2x − 3
Rešenje: x 2 − 2 x − 3 = 0
−b± D
a =1 D = b 2 − 4ac x1, 2 =
2a
b = −2 D = 4 + 12 2±4
x1, 2 =
c = −3 D = 16 2
x1 = 3
x 2 = −1
Dakle: x 2 − 2 x − 3 = a( x + x1 )( x + x 2 ) = (1( x − 3)( x − (−1)) = ( x − 3)( x + 1)
x 3 + 1 → ćemo rastaviti po formuli:
A3 + B 3 = ( A + B)( A2 − AB + B 2 ) VIDI POLINOMI
pa je: x 3 + 1 = ( x + 1)( x 2 − x + 1)
Vratimo se u razlomak:
x3 + 1 ( x + 1) ( x 2 − x + 1) x 2 − x + 1 x − 3 ≠ 0 x +1 ≠ 0
= = naravno uz uslov i
x − 2x − 3
2
( x − 3) ( x + 1) x −3 x≠3 x ≠ −1
U nekim zadacima nam traže da rešenja budu pozitivna (ili negativna). Pokažimo koji su
to uslovi:
1) Rešenja x1 i x 2 kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su:
b c
realna i pozitivna ⇔ D ≥ 0, < 0, > 0 www.matematiranje.com
a a
6

7. 2) Rešenja x1 i x 2 kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su:
b c
realna i negativna ⇔ D ≥ 0, > 0, > 0
a a
Ova razmišljanja (teoreme) proizilaze iz Vietovih pravila:
→ Da bi rešenja bila realna je D ≥ 0
b c
→ x1 + x 2 = − i x1 ⋅ x 2 =
a a
b
1) x1 i x 2 pozitivna ⇒ x1 + x 2 > 0 ⇒ < 0
a
c
x1 ⋅ x 2 > 0 ⇒ > 0
a
b
x1 + x 2 < 0 ⇒ > 0
2) x1 i x 2 negativna ⇒ a
c
x1 ⋅ x 2 > 0 ⇒ > 0
a
(minus puta minus je plus)
Primer: Odrediti parameter m tako da rešenja jednačine x 2 − 3x + 2m − 1 = 0 budu
pozitivna.
Rešenja: Iz x 2 − 3x + 2m − 1 = 0 vidimo da je
a =1 D = b 2 − 4ac
b = −3 b c D = (−3) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (2m − 1)
D≥0, <0, >0
c = 2m − 1 a a D = 9 − 8m + 4
D = 13 − 8m
D≥0 ⇒ 13 − 8m ≥ 0 ( Pazi: znak se okreće)
− 8m ≥ −13
13
m≤
8
b −3
<0⇒ < 0 ⇒ Zadovoljeno!!!
a 1
c 2m − 1
>0⇒ <0
a 1
2m − 1 < 0
⎛ 1 13 ⎤
2m < 1 m∈⎜ , ⎥
⎝2 8 ⎦
1
m<
2
7