1. Universidad Peruana Unión CÁLCULO II - FIA
Unidad 1:
Sesión 1:
INTEGRAL INDEFINIDA
Sea F(x) una función de variable real, donde su derivada es f(x). i.e. f(x) = F´(x). Consideremos el problema inverso, dada la
función f(x) hallar una función F(x) tal que su derivada sea igual a f(x).
i.e. F´(x) = f(x)
DEFINICIÓN 1.1. Se dice que una función F(x) es Antiderivada o Primitiva de la función f(x) sobre el intervalo [a,b] si en
todo punto del intervalo se tiene la igualdad F´(x) = f(x).
Ejemplo:
1. Determinar la antiderivada de la función
2. Determinar la antiderivada de la función
3. Determinar la antiderivada de la función
4. Determinar la antiderivada de la función
Se verifica fácilmente que la función admite una antiderivada, y ésta no es única. Así en los ejemplos anteriores a
F(x) podemos sumarle cualquier constante C .
DEFINICIÓN 1.2. Se llama INTEGRAL INDEFINIDA de la función y se denota por a toda expresión
de la forma , donde es una antiderivada de .
i.e. , si .
Observaciones:
 se llama función integrando. diferencial de x. signo de integración.
 La integral indefinida representa una familia de funciones .
 Geométricamente, se puede considerar una integral indefinida como una familia de curvas de manera que se pasa
de una a otra efectuando una traslación en sentido positivo o negativo a través del eje Y.
 Una pregunta surge naturalmente: Toda función pose ¿antiderivada? Y por consiguiente ¿una integral
indefinida? La respuesta es negativa, más aún; Toda función continua sobre el intervalo [a,b] posee
antiderivada y por consiguiente integral indefinida.
 El proceso que permite encontrar una antiderivada a la función se llama integración de la función .
1.3. PROPIEDADES:
(1) La Integral Indefinida de la suma algebraica de dos o más funciones es igual a la suma algebraica de sus integrales:
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(2) Se puede sacar un factor constante fuera de la integral:
(3) La derivada de la Integral Indefinida es igual a la función integrando. i.e. Si , entonces:
(4) La Diferencial de la integral Indefinida:
(5) La Integral Indefinida de la diferencial de una función es esta función más una constante arbitraria:
1.4. INTEGRALES INMEDIATAS
1. , 17.
2.
18.
3.
4. 19.
5.
6. 20.
7.
21.
8.
9.
22.
10.
11. 23.
12.
13.
14. 24.
Las fórmulas anteriores se generalizan reemplazando
por .
25.
15.
16.
2
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Taller N° 1.1: Resolver las siguientes integrales inmediatas:
(1). (2). (3).
(4). (5). (6).
(7). (8). (9).
1.5. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
(1) INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE
Sea la Integral ; empleamos el cambio de variable , donde es una función contínua así como
su derivada, admitiendo una función inversa. Entonces si , entonces la igualdad siguiente se cumple:
Taller 1.2: Resolver las siguientes integrales
(1). (6).
(2). (7).
(3). (8).
(4). (9).
(5).
(10). (20).
(11). (21).
(12).
(22).
(13).
(23).
Obs : =
(24).
=
(14). (25).
(15). (26).
(16). (27).
(17). (28).
(18). (29).
Obs: Emplearemos Obs: Si el grad(N) grad(D), dividir expresiones
- Completando cuadrados (30).
(19).
(31).
3
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