El documento presenta varios temas relacionados con un curso o clase. Incluye una discusión sobre el crecimiento o decrecimiento de poblaciones usando el modelo de Malthus, un circuito eléctrico LR en serie, y la ley de enfriamiento de Newton. También presenta ejemplos y problemas resueltos relacionados con estos temas.

2. Desarrollo de la clase
1.- Dudas clase anterior
2.- Revisión tarea
3.- Crecimiento o Decrecimiento (Modelo de
Malthus )
4.- Circuito LR en Serie
5.- Ley de Newton del enfriamiento
6.- Diseminación de una enfermedad

3. CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO
(MODELO DE MALTHUS)
Si P(t) representa la población en el tiempo t, un
modelo que permite determinar esta población
En cualquier instante t, teniendo información de
La población en el tiempo t0, es conocido como
Modelo de Malthus:
00
)(, PtPinicialvalorconkP
dt
dP

4. 1.-) En un cultivo de bacterias se tenían x
números de familias. Después de una
hora se observaron en el cultivo 1000
familias de la bacteria y después de 4
horas, 3000 familias. Determinar el
número de familias de la bacteria que
había originalmente en el cultivo.
t=1 P=1000
t=4 P=3000

5. kP
dt
dP
t=1 P=1000 t=4 P=3000
kdt
P
dP
kdt
P
dP
ck 43000ln
Como
cktPln
ck1000ln
Como
ck 11000ln
ck43000ln
ck1000ln
ck43000ln
Al resolver
542,6366,0 ck

6. cktPln 542,6366,0 ck
542,6366,0ln tPEntonces
542,6366,0ln tP
ee
542,6366,0 t
ePDeterminar el número de familias de la bacteria que
había originalmente en el cultivo. 0t
542,60366,0
eP 542,6
eP
67,693P
Respuesta: Aprox. 694 familias

7. Circuito LR en Serie
Si consideramos el siguiente circuito eléctrico
dt
di
L
Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff a este circuito, la
suma de las caídas de potencial a través del inductor
y de la resistencia , es igual a la fuerza electromotriz
(fem) aplicada al circuito y es así como se obtiene la
siguiente ecuación diferencial lineal para la corriente
i
R
)(tE
)(ti
)(tERi
dt
di
L
donde L y R son constantes conocidas como la
inductancia y la resistencia respectivamente y
la corriente i(t) es conocida como la respuesta
del sistema.

8. Una batería de 12 volts se conecta a un circuito en serie
en la que la inductancia es ½ Henry y la resistencia es 10
ohms. Determine la corriente i si la corriente inicial es
cero.
RECORDEMOS
L = inductancia
R = resistencia
E(t)= fuerza electromotriz
i(t) =respuesta del sistema.
Entonces
R
L
tE )( 12
2/1
10

9. R
L
tE )( 1212
2/1 2/1
1010
)(tERi
dt
di
L
dt
di
i 2/
2420 i
dt
di

10. 2420 i
dt
di
24)(20)( thtP
])([)(
)()(
dttheCeti
dttpdttp
dttp )( dt20 t20
e
dte t20
24 24 t
e20
5
6
dtthe dttp )( t20
24 dt
20
20 t
e

11. tdttp 20)( tdttp
edtthe 20)(
5
6
)(
])([)(
)()(´
dttheCeti
dttpdttp
)(ti
)(ti
e
t20
c t
e20
5
6
t
ec 20´ tt
ee 2020
5
6
5
6
)( 20´ t
ecti

12. Determine la corriente i si la corriente inicial es cero.
5
6
)( 20´ t
ecti
5
6
0 020´
ec
Entonces t=0 y i(t)=0
5
6
0 0´
ec
5
6
10 c
5
6
c
t
eti 20´
1
5
6
)(
5
6
5
6
)( 20´ t
eti

13. TAREA 15
Un generador con una fem de 50 V se conecta en serie
con una resistencia de 6 ohms y un inductor de 2 henrys.
Si el interruptor K se cierra a T=0 . Determine la corriente para
todo t

14. Ley de Newton del enfriamiento
Una aplicación sencilla y útil de las ecuaciones diferenciales, es aquélla que
permite modelar el comportamiento del cambio de temperatura de un
cuerpo, en interacción con la temperatura de un medio dominante, al que
llamaremos temperatura ambiente, la cual se considerará constante.
Si Tam es la temperatura ambiente y T es la temperatura de un cuerpo
inmerso en esta temperatura ambiente, entonces la temperatura del cuerpo
cambia, en el tiempo, en forma proporcional a la diferencia de temperatura
entre el medio del cuerpo y la temperatura ambiente. Así, el problema queda
modelado por la ecuación
amTTk
dt
dT
0
)0( TTinicialvalorcon

15. Si la temperatura del aire es de 20ºC y una sustancia se
enfría de 100ºC a 60ºC en 30 minutos. Calcule en que
instante la temperatura de la sustancia será de 40ºC.
6030
1000
20
Tt
Tt
Tam
am
TTk
dt
dT
20Tk
dt
dT
kdt
T
dT
20
cktT )20ln(
kdt
T
dT
20

16. 1000 Ttsi
ck 0)20100ln(
c)80ln(
6030 Ttsi
ck 30)2060ln(
)80ln(30)40ln( k
k
30
)80ln()40ln(
023,0k

17. )80ln(023,0)20ln( tT
)80ln(023,0)2040ln( t
)80ln(023,0)20ln( t
)20ln()80ln(023,0 t
023,0
)20ln()80ln(
t
27,60t RESPUESTA: Aprox. 60 minutos
Calcule en que instante la temperatura de la sustancia
será de 40° C

18. TAREA 16
GUIA 3 :EJERCICIOS A – B- C