Contenu connexe
Similaire à พื้นที่ผิวและปริมาตร
Similaire à พื้นที่ผิวและปริมาตร (20)
Plus de Jiraprapa Suwannajak
Plus de Jiraprapa Suwannajak (20)
พื้นที่ผิวและปริมาตร
- 1. พื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด
1. การเรียกชื่อพีระมิด
การเรียกชื่อพีระมิด นิยมเรียกชื่อตามลักษณะรูปเหลี่ยมของฐาน ตัวอย่างเช่น พีระมิดฐาน
สี่เหลี่ยมผืนผ้า พีระมิดฐานหกเหลี่ยม เป็นต้น
2. ส่วนประกอบของพีระมิด
พีระมิดแบ่งออกเป็น 2 ลักษณะ คือ พีระมิดตรงและพีระมิดเอียง
พีระมิดตรง หมายถึง พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีสันยาวเท่ากันทุกเส้น จะมีสูง
เอียงทุกเส้นยาวเท่ากัน และส่วนสูงตั้งฉากกับฐานที่จุดซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอดมุมของรูปเหลี่ยมที่เป็น
ฐานเป็นระยะเท่ากัน มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ส่วนกรณีที่สันทุกสันยาวไม่เท่ากัน
สูงเอียงทุกเส้นยาวไม่เท่ากัน เรียกว่า พีระมิดเอียง
- 2. 1) พีระมิดตรงจะมีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่า และมีสันทุกเส้นยาวเท่ากัน
2) พีระมิดตรงที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า จะมีสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากัน
3) ส่วนสูงของพีระมิดตรงใดๆ จะตั้งฉากกับฐาน ที่จุดซึ่งอยู่ห่างจากมุมของรูปเหลี่ยมที่เป็นฐาน
เป็นระยะเท่ากัน
4) พีระมิดที่มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะมีสันทุกเส้นยาวเท่ากัน
การจะหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิดได้นั้น ควรจะหาความยาวด้านต่างๆ ของพีระมิดให้ได้
เสียก่อน
3.การหาความยาวด้านต่างๆ มักใช้ทฤษฎีบทปีทาโกรัส
3.1) การหาความสูงเอียง กรณีที่โจทย์กาหนดความยาวสัน
Ex.1 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 6 นี้ว สันยาว 5 นิ้ว จงหาความสูงเอียง
วิธีทา วาดรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาก่อน
กาหนดให้ AC เป็นสันยาว 5 นิ้ว และ AB เป็นความสูงเอียง
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 6 ÷ 2 = 3 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยม
มุมฉาก ABC
พิจารณาสามเหลี่ยม ABC
AB2 + 32 = 52
- 3. AB2 = 52 - 32
AB2 = 16
AB = 4
ตอบ สูงเอียงยาว 4 นิ้ว
3.2) การหาความสูงเอียง กรณีที่โจทย์กาหนดส่วนสูง
Ex.2 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นี้ว ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว จงหาความสูงเอียง
วิธีทา วาดรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาก่อน
กาหนดให้ AC เป็นส่วนสูง ยาว 12 นิ้ว และ AB เป็นความสูงเอียง
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 10 ÷ 2 = 5 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยม
มุมฉาก ABC
พิจารณาสามเหลี่ยม ABC
AB2 = 122 + 52
AB2 = 144 + 25
AB2 = 169
AB = 13
ตอบ สูงเอียงยาว 13 นิ้ว
3.3) การหาความสูง กรณีโจทย์กาหนดสูงเอียง
Ex.3 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นิ้ว สูงเอียงยาว 13 นิ้ว จงหาความสูง
วิธีทา วาดรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาก่อน
- 4. ให้ AB เป็นความสูงเอียง, AC เป็นส่วนสูง
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 10 ÷ 2 = 5 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยม
มุมฉาก ABC
พิจารณาสามเหลี่ยม ABC
AC2 + 52 = 132
AC2 = 169 - 25
AC2 = 144
AC = 12
ตอบ ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว
4. พื้นที่ผิวของพีระมิด
4.1) พื้นที่ผิวข้าง
พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด ได้แก่พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิด (ไม่รวมฐาน) หรือก็คือ พื้นที่ของ
รูปสามเหลี่ยมทุกรูปรวมกัน
จาก สูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม = ½ × ฐาน × ความสูง
ดังนั้น
สูตรการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด 1 ด้าน = ½ × ฐาน × สูงเอียง
- 5. ในกรณีที่เป็นพีระมิดตรง (ฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า) จะได้ว่า
พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง
พิสูจน์
พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด
= พื้นที่สามเหลี่ยมทุกรูปรวมกัน
= (พื้นที่สามเหลี่ยม 1 ด้าน) × จานวนด้านของฐาน ---- จานวนรูปสามเหลี่ยม จะเท่ากับจานวน
เหลี่ยมหรือด้านของฐาน
= (½ × ฐาน × สูงเอียง) × จานวนด้านของฐาน
= ½ × [จานวนด้านของฐาน x ฐาน] x สูงเอียง
= ½ × [ความยาวรอบฐาน] x สูงเอียง
4.2) พื้นที่ผิว
พื้นที่ผิวของพีระมิด คือ ผลรวมของพื้นที่ผิวข้างทุกด้านของพีระมิด
ดังนั้น
พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน
สรุป
1) พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิดรวมกันเรียกว่า พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด
และพื้นที่ผิวข้างของพีระมิดรวมกับพื้นที่ฐานของพีระมิดเรียกว่า พื้นที่ผิวของพีระมิด
2) สูตรการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด 1 ด้าน = ½ × ฐาน × สูงเอียง
3) ในกรณีที่เป็นพีระมิดตรง (ฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า)
พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง
4) สูตรการหาพื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน
ตัวอย่างโจทย์
Ex.4 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นิ้ว ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว จงหาพื้นที่ผิวข้าง
พีระมิด
วิธีทา เนื่องจาก สูตรพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง
แต่โจทย์ไม่กาหนดความยาวสูงเอียง
ดังนั้น ต้องหาความยาวสูงเอียงก่อน
- 6. ขั้นที่ 1 หาสูงเอียง
ให้ AC เป็นส่วนสูง ยาว 12 นิ้ว, และ AB เป็นความสูงเอียง
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 10 ÷ 2 = 5 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ใน รูปสามเหลี่ยม
มุมฉาก ABC
พิจารณาสามเหลี่ยม ABC
AB2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169
จะได้ AB = 13
้ ดังนั้นสูงเอียงยาว 13 นิ้ว
ขั้นที่ 2 หาพื้นที่ผิวข้าง
พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง
ได้พื้นที่ผิวข้างพีระมิด = ½ × ( 10 + 10 + 10 + 10 ) × 13
= ½ × 40 × 13
= 260 ตารางนิ้ว
ตอบ 260 ตารางนิ้ว
5. ปริมาตรของพีระมิด
ปริมาตร คือ ปริมาณที่วัด เพื่อวัดบริเวณที่ว่าง (ความจุ) ภายในรูปทรงสามมิติ
การวัดปริมาตรของรูปทรงสามมิติใช้หน่วยวัดเป็นลูกบาศก์หน่วย
การหาปริมาตรของพีระมิด ให้ทดลองจากกล่องทรงปริซึม
จากสูตร ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง
เมื่อพีระมิดที่มีส่วนสูงและฐานเท่ากับปริซึม
- 7. เมื่อทาการตวง จะได้ 3 ปริมาตรพีระมิด เท่ากับ 1 ปริมาตรปริซึม
ดังนั้น
สูตร ปริมาตรของพีระมิด = 1/3 × พื้นที่ฐาน × สูง
Ex.5 จงหาปริมาตรของพีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่มีด้านฐานยาวด้านละ 22 เซนติเมตร
ส่วนสูง 15 เซนติเมตร
วิธีทา
สูตร ปริมาตรของพีระมิด = 1/3 × พื้นที่ฐาน × สูง
ได้ปริมาตรของพีระมิดนี้ = 1/3 × ( ด้าน × ด้าน ) × สูง
= 1/3 × ( 22 × 22 ) × 15
= 22 × 22 × 5
= 2,420 ลูกบาศก์เซนติเมตร
ตอบ 2,420 ลบ.ซม.
Ex.6 จงหาปริมาตรของพีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่มีด้านฐานยาวด้านละ 14 เซนติเมตร สูง
เอียงยาว 25 เซนติเมตร
วิธีทา เนื่องจาก สูตรของปริมาตรพีระมิด = 1/3 × พื้นที่ฐาน × สูง
แต่โจทย์ไม่ได้กาหนดส่วนสูงมากให้
ดังนั้น ต้องหาส่วนสูงก่อน
- 8. ขั้นที่ 1 หาส่วนสูง
ให้ AB เป็นความสูงเอียง, AC เป็นส่วนสูง
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐานยาว คือ 14 ÷ 2 = 7 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส
ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
AC2 + 72 = 252
AC2 = 625 - 49
AC2 = 576
AC = 24
เพราะฉะนั้น ส่วนสูงยาว 24 นิ้ว
ขั้นที่ 2 หาปริมาตร
สูตรของปริมาตรพีระมิด = 1/3 × พื้นที่ฐาน × สูง
ได้ปริมาตรของพีระมิดนี้ = 1/3 × ( ด้าน × ด้าน ) × สูง
= 1/3 × ( 14 × 14 ) × 24
= 14 × 14 × 8
= 1,568 ลูกบาศก์เซนติเมตร
ตอบ 1,568 ลบ.ซม.
พื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม
- 10. ตัวอย่างโจทย์
Ex.1
จงหาพื้นที่ผิวของแท่งปริซึมสามเหลี่ยมนี้
วีธีทา
จากสูตร
พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย
ขั้นที่ 1 หาพื้นที่ผิวข้าง
จากสูตร พื้นที่ผิวข้างปริซึม = ความยาวรอบฐาน × ความสูง
จาก ทบ.ปีกาโกรัส เมื่อพิจารณาที่หน้าตัดแล้ว จะได้ว่า ความยาวของหน้าตัด ด้านที่โจทย์ยังไม่ได้
กาหนด ยาว = 10 หน่วย ดังนั้น พื้นที่ผิวข้างปริซึม = ( 6 + 8 + 10 ) × 12
= 288 ตารางหน่วย
ขั้นที่ 2 หาพื้นที่หน้าตัดหัวท้าย
พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย = 2 × พื้นที่ฐานสามเหลี่ยม
= 2 × (½ × ฐาน × สูง)
=1× 6×8
= 48
ดังนั้น พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย = 48 ตารางหน่วย
ขั้นที่ 3 หาพื้นทิผิวทั้งหมด
- 11. พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย
= 288 + 48
= 336 ตารางหน่วย
ตอบ 336 ตารางหน่วย
Ex.2 ปริซึมฐานหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีด้านยาว ยาวด้านละ 4 นิ้ว สูง 8 นิ้ว จงหาพื้นที่ผิวของปรึ
ซึม
วิธีทา เนื่องจากฐานเป็นรูปหกเหลี่ยมด้านเท่า ดังนั้น เส้นรอบรูป = 4 × 6 = 24 นิ้ว
พื้นที่ผิวข้างของปริซึม = ความยาวรอบฐาน × สูง
= 24 × 8
= 192 ตารางนิ้ว
(สูตรพื้นที่หกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า = 3√3/2 × ด้าน2)
พื้นที่ฐานรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า = 3√3/2 × 42
= 24√3 ตารางนิ้ว
พื้นที่ผิวของปริซึมนี้ = พื้นที่ผิวข้าง + 2×(พื้นที่ฐาน)
= 192 + 2(24√3)
= 192 + 48√3
ตอบ 192 + 48√3 ตารางนิ้ว
Ex.3 จงหาปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมูนี้
วิธีทา สูตร พื้นที่ฐานปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมู = 1/2 × ผลบวกของด้านคู่ขนาน × สูง
= 1/2 × (7 + 13) × 9
= 90 ตารางหน่วย
สูตร ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง
= 90 × 24
= 2,160 ลูกบาศก์หน่วย
- 12. ตอบ 2,160 ลูกบาศก์หน่วย
พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม
1. ส่วนประกอบของทรงกลม
2. พื้นที่ผิวของทรงกลม
พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4¶r2
3. ปริมาตรของทรงกลม
ปริมาตรของทรงกลม = 4/3¶r3
เมื่อ r แทน รัศมีของวงกลม
ตัวอย่างโจทย์
- 13. Ex.1 ขันครึ่งทรงกลม วัดเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกปากขันได้ยาว 14 นิ้ว ขันใบนี้มีพื้นที่ผิว
ภายนอกเท่าไร
วิธีทา ขันมีรัศมี 7 นิ้ว
พื้นที่ผิวครึ่งทรงกลม = 2¶r2
= 2 × 22/7 × 7 × 7 = 308 ตารางนิ้ว
ดังนั้น ขันใบนี้มีพื้นที่ผิวภายนอกเท่ากับ 308 ตารางนิ้ว
ตอบ 308 ตารางนิ้ว
Ex.2 ตะกั่วทรงกลม 3 ลูก มีรัศมี 3, 4 และ 5 นิ้ว ตามลาดับ เมื่อหลอมเป็นลูกเดียวจะได้รัศมียาวกี่นิ้ว
วิธีทา ให้ R แทนรัศมีของตะกั่วทรงกลมที่หลอมแล้ว
ปริมาตรตะกั่วทรงกลมที่หลอมแล้ว = ผลบวกของปริมาตรตะกั่วทรงกลม 3 ลูก
4
/3¶R3 = (4/3¶ × 33) +(4/3¶ ×43) + (4/3¶ × 53)
4
/3¶R3 = 4/3¶ × (33 + 43 + 53)
R 3 = 33 + 43 + 5 3
R3 = 216
R =6
ดังนั้น ตะกั่วทรงกลมที่หลอมแล้วมีรัศมียาว 6 นิ้ว
ตอบ 6 นิ้ว
- 15. เมื่อคลี่ส่วนของหน้าตัด และส่วนข้างออกมา จะได้ดังรูป
อธิบายภาพเพิ่มเติม
1) พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก เมื่อคลี่ออกมา เทียบได้กับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ดังนั้น พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก = 2¶rh
2) พื้นที่ฐาน หรือพื้นที่หน้าตัด เป็นพื้นที่รูปวงกลม = ¶r2
2.2) พื้นที่ผิว
พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานทั้งสอง
พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 2¶rh + 2(¶r2)
เมื่อ r แทนรัศมีของฐาน
และ h แทนความสูงทรงกระบอก
- 16. 3. ปริมาตรของทรงกระบอก
ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน × สูง
หรือ ปริมาตรของทรงกระบอก = ¶r2h
4. พื้นที่ผิวของทรงกระบอกกลวง
เมื่อ r คือรัศมีภายใน
R คือ รัศมีภายนอก
h คือ ส่วนสูง
จะได้ว่า
1) พื้นที่หน้าตัดทั้งสอง = 2 (¶R2 – ¶r2 )
2.พื้นที่ผิวด้านนอก = 2¶Rh
3.พื้นที่ผิวด้านภายใน = 2¶rh
พื้นที่ผิววงแหวน = 2 (¶R2 – ¶r2 ) + 2¶Rh + 2¶rh
5. ปริมาตรของทรงกระบอกกลวง (วงแหวน)
เมื่อ h คือ ส่วนสูงของทรงกระบอกกลวง
- 17. r คือ รัศมีภายใน (รัศมีของทรงกระบอกเล็ก)
R คือ รัศมีภายนอก (รัศมีของทรงกระบอกใหญ่)
ปริมาตรของทรงกระบอกกลวง = ปริมาตรทรงกระบอกใหญ่ - ปริมาตรทรงกระบอกเล็ก
= ¶R2h - ¶r2h
หรือ ปริมาตรของทรงกระบอกกลวง = ¶h(R2 - r2)
ตัวอย่างโจทย์
- 20. เมื่อคลี่กรวยออก จะได้ดังรูป
1) ซ้าย : ส่วนของฐาน
พื้นที่ฐานเป็นรูปวงกลม ดังนั้น
พื้นที่ฐาน = ¶r2
2) ขวา : ส่วนของข้างกรวย
เป็นรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง
พื้นที่ผิวข้างของกรวย = ¶rl
3.2) พื้นที่ผิว
เนื่องจาก พื้นที่ผิว = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐาน
ดังนั้น พื้นที่ผิวของกรวย = ¶rl + ¶r2
หรือ = ¶r(l + r)
4. ปริมาตรของกรวย
ถ้าลองนาทรงกระบอกที่มีรัศมีฐานยาว r หน่วย และสูง h หน่วย
จะได้ว่า ทรงกระบอกมีปริมาตร = ¶r2h
- 21. สร้างกรวยแต่ละอันมีรัศมียาว r หน่วย ให้เท่ากับรัศมีฐานทรงกระบอก และสูง h หน่วยเท่ากับ
ส่วนสูงทรงกระบอก
ถ้่าตวงทราย 3 กรวยใส่ จะได้เต็มทรงกระบอกพอดี
สรุปได้ว่า ปริมาตรกรวย = 1/3¶r2h
เมื่อ r แทนรัศมีกรวย
และ h แทนส่วนสูงของกรวย
ตัวอย่างโจทย์
Ex.1 แท่งไม้รูปร่างเป็นกรวยอันหนึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 12 เซนติเมตร สูง 8 เซนติเมตร จงหา
พื้นที่ผิวกรวยนี้
วิธีทา เนื่องจาก พื้นทิผิวกรวย = ¶rl + ¶r2
ดังนั้น สิ่งที่เราต้องหา คือ รัศมี และ สูงเอียง (เพื่อจะนาไปแทนค่าลงในสูตรหาพื้นที่ผิวกรวย)
ขั้นที่ 1 หารัศมี
โจทย์กาหนดให้ เส้นผ่านศูนย์กลางยาว 12 ซม.
ดังนั้น รัศมีกรวยยาว = 12 ÷ 2 = 6 ซม.
ขั้นที่ 2 หาสูงเอียง
- 22. กาหนดให้สูงเอียง = l ซม.
จากทบ.ปีทาโกรัส จะได้ว่า
r2 + h2 = l2
62 + 82 = l2
36 + 64 = l2
l2 = 100
ดังนั้น l = 10 ซม.
ขั้นที่ 3 หาพื้นที่ผิวของกรวย
จากสูตร พื้นที่ผิวของกรวย = ¶r(l + r)
แทนค่าสูตร จะได้ = 22/7 × 6 × (10 + 6)
= 132/7 × 16
ดังนั้น พื้นที่ผิวของกรวย ≈ 301.71 ตร.ซม.
ตอบ 301.71 ตร.ซม.
Ex.2 กรวยใส่ขนมมีเส้นผ่านศูนย์กลางของปากกรวยยาว 3 เซนติเมตร สูง 10 เซนติเมตร จงหา
ความจุของกรวยนี้
วิธีทา
เนื่องจากสูตรปริมาตร (หรือความจุ) ของกรวย = 1/3¶r2h
ดังนั้น สิ่งที่เราต้องหาคือ รัศมี (r) และ ความสูง (h)
แต่โจทย์กาหนดความสูงมาให้แล้ว ก็หาแต่รัศมี
ขั้นที่ 1 หารัศมี
โจทย์กาหนดให้ เส้นผ่านศูนย์กลางของปากกรวยยาว 3 ซม.
ดังนั้น รัศมีกรวยยาว = 3 ÷ 2 = 1.5 ซม.
ขั้นที่ 2 หาปริมาตรกรวย
จากสูตร ปริมาตรกรวย = 1/3¶r2h
= 1/3 × 22/7 × (1.5)2 × 10
- 23. ดังนั้น ปริมาตรกรวย = 35.57 ลบ.ซม.
ตอบ 357 ลบ.ซม.
สรุป
สูตรการหาพื้นที่รูปเหลี่ยมต่างๆ
การหาพื้นที่รูปเหลี่ยมต่างๆ อาจจาเป็นสาหรับการหาพื้นที่ฐานของรูปสามมิติ จึงควรทราบเอาไว้