Para los interesados en resolver de sistemas de ecuaciones diferenciales con MATLAB

1. Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales con MATLAB

2. A diferencia de las ecuaciones diferenciales estudiadas en los temas
anteriores, consideremos ahora la situación en la que disponemos de una
variable independiente t y dos o más variables dependientes:
Conceptos previos
En el caso de simplemente dos variables dependientes, y denotando:
Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden será
un sistema de la forma:

3. Conceptos previos
Un sistema de ecuaciones diferenciales: es un conjunto de una o más
ecuaciones en las que aparecen una o más funciones incógnita, pero todas ellas
dependiendo de una sola variable independiente. Para ilustrar este concepto
vamos a hacer un ejemplo de cinética química.
Ejemplo 1: Consideremos las siguientes reacciones irreversibles de segundo
orden que se producen consecutivamente en un reactor:
Si inicialmente se añaden 2 moles de S y 1 mol de A. ¿Cuál es la cantidad de
sustancia en el reactor en cada instante de tiempo?.
Si, como viene siendo habitual, [A], [S], [X] y [Y] representan las
concentraciones molares de las sustancias presentes en las reacciones, las
ecuaciones diferenciales que modelan la evolución en el tiempo de las
concentraciones son:

4. Conceptos previos (Continuación)
Esto es un sistema de 4 ecuaciones diferenciales de primer orden con cuatro
funciones incógnitas: [A], [S], [X] y [Y]. Así pues, resolver el sistema sería encontrar
expresiones para las cuatro funciones (como funciones del tiempo t, que es la
variable independiente). Como además se dan unas condiciones iniciales: [A] 0 = 1
mol, [S] 0 = 2 moles, [X] 0 = [Y] 0 = 0 moles, estamos en presencia de un problema
de condiciones iniciales.
El ejemplo anterior se trata de un sistema que no es lineal porque las ecuaciones
que los componen no lo son. Salvo para sistemas muy concretos sólo
disponemos de métodos analíticos generales para resolver sistemas lineales
especiales. Por ello no es esperable que podamos obtener, tal y como se nos
pide, expresiones analíticas para la evolución de las concentraciones de las
sustancias presentes en el reactor a lo largo del tiempo.

5. Si cada una de las funciones f1, . . . , fn en el sistema son lineales, entonces el
sistema se dice que es lineal.
La forma general de un sistema lineal de n ecuaciones de primer orden es:
Conceptos previos (Continuación)
Así los sistemas siguientes son lineales
a) b)

6. Resolución sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
a)
Para resolver el sistema anterior es conveniente seguir los pasos siguientes:
>> s=dsolve(‘ Dx1=3*x1- 5 * x2 ','Dx2= - 2 * x1', ‘ t ‘ )
s =
x2: [1x1 sym]
x1: [1x1 sym]
La respuesta indica que se ha obtenido una solución guardada en s que consta de
dos componentes: x1 y x2.Para conocer cómo es cada componente, basta hacer:
>> x2=s . x2
x2 = C1*exp(-2*t) + C2*exp(5*t)
>> x1=s . x1
x1 = C1*exp(-2*t) - (5*C2*exp(5*t))/2
X2 (t) = C1 e -2t + C2 e 5t
X1(t) = C1 e -2t – 5/2 C2 e 5t
La solución general del sistema es:

7. Resolución sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
b)
>> s=dsolve('Dx1=-2*x','Dx2=3*x^2+4','t')
s =
x2: [1x1 sym]
x1: [1x1 sym]
>> x2=s.x2
x2 =
C1 + t*(3*x^2 + 4)
>> x1=s.x1
x1 =
C1 - 2*t*x
La solución general del sistema es:
X2(t) = C1 + t (3x2 + 4)
X1(t) = C1 – 2tx

8. Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales con MATLAB
c)
>> s=dsolve('Du=1/4*u+3/4*v','Dv=9/4*u-5/4*v','x')
s =
v: [1x1 sym]
u: [1x1 sym]
>> u=s.u
u =
C1*exp(x) - (C2*exp(-2*x))/3
>> v=s.v
v =
C1*exp(x) + C2*exp(-2*x)
La solución general del sistema es:
u(x) =C1 ex – 1/3 C2 e-2x
v(x) =ex + C2 e-2x

9. Resolución sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
d) Resuelva el siguiente sistema teniendo en cuenta las condiciones iniciales
que se muestran:
>> s=dsolve('Dx=2*x*y','Dy=y','x(0)=1','y(0)=1','t')
s =
y: [1x1 sym]
x: [1x1 sym]
>> y=s.y
y =
exp(t)
>> x=s.x
x =
exp(-2)*exp(2*exp(t))

10. Resolución sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
e) Resuelva el siguiente sistema:
>> s=dsolve('Dx=4*x-y','Dy=2*x+y')
s =
y: [1x1 sym]
x: [1x1 sym]
>> y=s.y
y =
C10*exp(2*t) + C11*exp(3*t)
>> x=s.x
x =
(C10*exp(2*t))/2 + C11*exp(3*t)

11. f) Resuelva el siguiente sistema:
Resolución sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
>> s=dsolve('Dx=-x+y','Dy=-2*x-4*y+e^t')
s =
y: [1x1 sym]
x: [1x1 sym]
>> y=s.y
y =
exp(-2*t)*(C12 - (e^t*exp(2*t))/(log(e) + 2)) + exp(-3*t)*(C13 + (2*e^t*exp(3*t))/(log(e)
+ 3))
>> x=s.x
x =
- exp(-2*t)*(C12 - (e^t*exp(2*t))/(log(e) + 2)) - (exp(-3*t)*(C13 + (2*e^t*exp(3*t))/(log(e) +
3)))/2

12. Resolución sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
g) Resuelva el siguiente problema de valor inicial:
>> s=dsolve('Dx=y','Dy=-x','x(0)=1','y(0)=1')
s =
y: [1x1 sym]
x: [1x1 sym]
>> y=s.y
y =
2^(1/2)*cos(pi/4 + t)
>> x=s.x
x =
2^(1/2)*cos(t - pi/4)

13. Resolución de ejercicios sobre ecuaciones diferenciales
a) b)
c) d)
Ejercicio 1. Determina la solución general de las siguientes ecuaciones
diferenciales
Ejercicio 2. Determina la solución particular de las siguientes ecuaciones
diferenciales teniendo en cuenta la condición inicial :
a) b) c)
y(0) = 0y(0) = ½ y(0) = ½

14. Resolución ejercicios sobre ecuaciones diferenciales
a)
b)
>> dsolve('x^3*D3y-x^2*D2y-6*x*Dy+18*y=0','x')
ans =
C1/x^2 + C2*x^3 + C3*x^3*log(x)
>> dsolve('Dz-1=(z+1)^2-(z-1)^2','x')
ans =
(C1*exp(4*x))/4 - 1/4

15. c)
Resolución ejercicios sobre ecuaciones diferenciales
>> dsolve('D5y+32*y=0','x')
ans =
C19*exp(-2*x) + C15*cos((2^(1/2)*x*(5 - 5^(1/2))^(1/2))/2)*exp(x*(5^(1/2)/2 +
1/2)) + C16*sin((2^(1/2)*x*(5 - 5^(1/2))^(1/2))/2)*exp(x*(5^(1/2)/2 + 1/2)) +
C17*exp(-x*(5^(1/2)/2 - 1/2))*cos((2^(1/2)*x*(5^(1/2) + 5)^(1/2))/2) + C18*exp(-
x*(5^(1/2)/2 - 1/2))*sin((2^(1/2)*x*(5^(1/2) + 5)^(1/2))/2)

16. d)
Resolución ejercicios sobre ecuaciones diferenciales
>> dsolve('D2y-Dy+3*Dy+y=0','z')
ans =
C1*exp(-z) + C2*z*exp(-z)
a)
Ejercicio 2
>> dsolve('D2y-2*Dy+2*y=0','y(0)=1/2')
ans =
(exp(t)*cos(t))/2 + C1*exp(t)*sin(t)

17. b)
Resolución ejercicios sobre ecuaciones diferenciales
>> dsolve('Dy =4*t + 2*y','y(0)=1/2')
ans =
(3*exp(2*t))/2 - 2*t - 1
>> dsolve('D2y+3*Dy-2*y=0')
ans =
C1*exp(t*(17^(1/2)/2 - 3/2)) + C2*exp(-t*(17^(1/2)/2 + 3/2))
c)