O documento discute geometria descritiva e sistemas de projeção. Ele define pontos e explica como eles são representados através de projeções ortogonais em planos horizontais e verticais. O método da dupla projeção de Monge é descrito como usando dois planos perpendiculares para representar objetos no espaço através de suas projeções. Exemplos e exercícios são fornecidos para ilustrar como representar pontos usando coordenadas de afastamento, cota e abscissa.

1. AULA 10
GEOMETRIA DESCRITIVA
Professor: João Alessandro
PONTO
E
SISTEMAS DE PROJEÇÕES

2. Noções de geometria
descritiva
• Ponto
• Reta
• Plano

3. ESTUDO DO PONTO
• Não possui forma.
• Não tem dimensão.
• Graficamente, expressa-se o ponto pelo
sinal obtido quando se toca a ponta do lápis
no papel.
• Sua representação também se dá pelo
cruzamento de duas linhas, que podem ser
retas ou curvas.

4. ESTUDO DO PONTO
Ideia de ponto:
• Figura geométrica sem dimensão, que
representa um local no plano.
• É a intersecção entre duas linhas.
• A localização de uma cidade no mapa.
• A marca de uma ponta de giz no quadro.
Designamos os pontos com letras maiúsculas
A, B, C, ...

5. SISTEMAS DE PROJEÇÃO
O estudo da Geometria Descritiva está baseado
na projeção de objetos em planos.
Exemplos do cotidiano:
• A sombra de um objeto nada mais é do que a projeção
desse objeto sobre uma superfície, sob a ação de raios
luminosos.
• As sucessivas imagens projetadas em uma tela de
cinema são resultado da incidência de um feixe de luz
sobre as imagens contidas em uma película.

6. ELEMENTOS DE PROJEÇÃO
A projeção de um objeto é sua REPRESENTAÇÃO
GRÁFICA num plano.
• Plano de projeção
• Objeto
• Projetante, ou raio projetante
• Centro de projeção

7. ELEMENTOS DE PROJEÇÃO

8. CONCEITOS
• Projetante: é a reta que passa pelos pontos do
objeto e intercepta o plano de projeção.
• Centro de projeção: é o ponto fixo de onde
partem ou por onde passam as projetantes.
Um ponto se projeta num plano quando
a projetante intercepta o plano de
projeção.

9. EXEMPLO
- A lanterna é o centro de
projeção;
- Os raios de luz são as
projetantes;
- A sombra é a
representação do objeto
em projeção.

10. MÉTODO DA DUPLA PROJEÇÃO DE MONGE
• Para se definir a forma e a posição de um objeto no
espaço de forma satisfatória utilizando-se um sistema
de projeções, uma só projeção não é suficiente.
• Assim, na Geometria Descritiva clássica, são utilizados
dois planos de projeção para se representar um objeto,
sendo que o sistema de projeção adotado é o Sistema
de Projeções Cilíndricas Ortogonais.

12. Veja agora como é possível determinar a forma e
a posição dos objetos no espaço:

13. MÉTODO DA DUPLA PROJEÇÃO DE MONGE
• Planos de projeção: Planos de projeção são
dois planos perpendiculares entre si; um
deles chama-se plano horizontal e o outro
plano vertical. Os dois planos são ilimitados
em todos os sentidos.
• Linha de terra: a interseção ente os planos
horizontal (π) e vertical de projeção (π’),
representada por LT ou (π π’).

14. MÉTODO DA DUPLA PROJEÇÃO DE MONGE
π’
π

15. Semi-planos de projeção:
A linha de terra divide cada plano de projeção em duas
partes iguais ou dois semi-planos, sendo:
• Semi-plano horizontal anterior (HA ou πA): a parte do plano
horizontal de projeção à direita da linha de terra.
• Semi-plano horizontal posterior (HP ou πP): a parte do
plano horizontal de projeção à esquerda da linha de terra.
• Semi-plano vertical superior (VS ou π’S): a parte do plano
vertical de projeção acima da linha de terra.
• Semi-plano vertical inferior (VI ou π’I): a parte do plano
vertical de projeção abaixo da linha de terra.

16. π’
π
π’S
πAπP
π’I

17. Diedros:
As regiões compreendidas ente os semi-
planos de projeção, sendo:
• 1º d = 1º diedro: a região compreendida entre πA e π’S
• 2º d = 2º diedro: a região compreendida entre πP e π’S
• 3º d = 3º diedro: a região compreendida entre πP e π’I
• 4º d = 4º diedro: a região compreendida entre πA e π’I

18. π’
π
π’S
πAπP
π’I
1º d2º d
3º d 4º d

19. PROJEÇÕES DO PONTO
• Para representar um ponto (A) no espaço, obtêm as
suas projeções ortogonais horizontal (A) e vertical
(A’), respectivamente nos planos horizontal (π) e
vertical (π’).

20. As duas coordenadas de um ponto
• Para representar pontos (e as outras figuras
geométricas) consideram-se três coordenadas:
abscissa, afastamento e cota.
• Por vezes, para representar pontos (e outras
figuras) nem sempre se utilizam as três
coordenadas, bastando trabalhar apenas com
afastamentos e cotas.

21. Coordenadas:
• Afastamento de um ponto (y): a posição da projeção
horizontal do ponto A em relação a linha de terra. Se
medido no semi-plano HA é positivo logo y> 0, se
medido no semi-plano HP é negativo logo y< 0.

22. Coordenadas:
• Cota de um ponto (Z): a posição da projeção vertical
do ponto A’ em relação a linha de terra. Se medido no
semi-plano VS é positivo logo Z> 0, se medido no
semi-plano VI é negativo logo Z< 0.

23. Exemplo

24. EXERCÍCIOS
1 - Representar os pontos abaixo pelas coordenadas cota
e afastamento, e dizer em qual diedro o ponto se
encontra:
• A (4; 2)
• B (-3; 7)
• C (-6; -3,5)
• D (5; -2)
• E (5; 5)
• F (-5; 9)
•G (5; 1)
•H (-6; 7)
•I (-1,5; -5,5)
•J (6; -6)
•L (10; 5)
•M (-10; 3)

25. Coordenadas:
• Abscissa de um ponto (X): a posição da projeção do
ponto A na linha de terra, é necessário estabelecer
um referencial. Se a abscissa for medida a direita da
origem ela é positiva logo X > 0, se for medida a
esquerda da origem ela é negativo logo X< 0.

26. Representação de um ponto por
suas coordenadas descritivas:
• As coordenadas: abscissa, afastamento e
cota de um ponto são denominadas
coordenadas descritivas de um ponto.
• Um ponto é representado
numericamente pela expressão (P) [x; y; z],
onde: (P): significa o ponto objeto, X:
abscissa, Y: afastamento, Z: cota, separados
por ; e entre [].

27. Representação de um ponto por
suas coordenadas descritivas:
• Um ponto P está determinado quando se conhece
abscissa, afastamento e cota.
• Exemplo:
• (A) [0; 20; 20]
• (B) [-10; 10; -20]
• (C) [10; -30; 20]

28. EXERCÍCIOS
2 - Representar os pontos abaixo pelas coordenadas
descritivas, e diga em qual diedro se encontram:
• A [3; 4; 2]
• B [4; 5; 1]
• C [5; 5; 5]
• D [0; 8; 5]
• E [8; -6; -3,5]
• F [2; 6; -6]