Este documento explica el concepto de límite de funciones. Define límite informalmente como el valor al que se aproximan las imágenes de una función cuando los valores de la variable independiente se aproximan a un valor dado. Explica cómo calcular límites laterales y que el límite existe solo si ambos límites laterales son iguales. Proporciona ejemplos de cálculo de límites y propiedades de límites.

1. Límite de funciones
Pretendemos esclarecer la idea de límite de una función. Haremos hincapié en el concepto, pues el
cálculo matemático requiere el conocimiento de diversas herramientas que no entraremos a contar
en detalle, utilizando algún programa de cálculo para ello.
Para entender el concepto de límite veámoslo con un ejemplo.
Consideremos la función:
x 1
f ( x)
x 1
cuyo conjunto de definición (dominio) es el conjunto de los números reales no negativos excepto
x=1, es decir: D x / x 0, x 1
Si realizamos su representación gráfica:
Para x=1, el dibujo hace un pequeño salto, que no se aprecia en la figura pero que sería tal y como
puede verse a continuación:
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2. Como veremos en el apartado siguiente ello implicará una discontinuidad de la función en x = 1.
Ahora nos preguntamos: cuando el valor de x es muy cercano a 1, ¿cuánto vale la función?
Es claro que en x =1 la función no está definida; por lo tanto, tendremos que dar un método que sea
capaz de responder a la cuestión anterior, la cual podemos plantearla en los términos siguientes: Si
x tiende a 1 ¿a cuánto tiende la función?
A esto es lo que llamaremos límite de la función F(x) cuando x tiende a 1 y lo denotaremos como:
lim f ( x) L
x 1
Definición informal de límite
Sea f(x) una función, si las imágenes se aproximan suficientemente a un valor L, cuando los
valores de x se aproximan suficientemente a un valor b, decimos que el límite de f(x) cuando x
tiende a b es igual a L y escribimos: lim f ( x) L
x b
Siendo L el valor de dicho límite, el cual queremos calcular; para ello, observemos que a la hora de
aproximarnos a lo largo del eje de abscisas al punto x =1 lo podemos hacer por la derecha y por la
izquierda, es decir, podemos considerar (siempre para puntos cercanos a 1). A estos límites los
llamaremos límites laterales.
Límites laterales
lim f ( x ) , se llama límite lateral por la derecha.
x b
lim f ( x ) , se llama límite lateral por la izquierda
x b
Para que el límite exista debe cumplir que el límite por la izquierda y por la derecha sean iguales,
de lo contrario diremos que el límite no existe en dicho punto, es decir:
lim f ( x ) L , si y solamente si: lim f ( x) = lim f ( x)
x b x b x b
4 x si x 1
Ejemplo 1 Sea f ( x) Hallar lim f ( x)
4 x x 2 si x 1 x 1
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3. Solución:
lim f ( x) lim (4 x) 4 1 3 (Acercamiento por la izquierda)
x 1 x 1
lim f ( x) lim (4 x x 2 ) 4 1 3 (Acercamiento por la derecha)
x 1 x 1
Entonces: lim f ( x) 3
x 1
Ejemplo 2
Determinar, si existe, el límite de la siguiente función en los puntos x = 2 y x = 0:
x 1
f ( x)
x 1
Solución:
Calculemos:
lim f ( x)
x 2
Si determinamos el valor de la función en dicho punto tenemos:
1
f (2)
1 2
y podemos observar en la gráfica de la función como existen los límites laterales:
1
lim f ( x) lim f ( x)
x 2 x 2 1 2
con lo cual tenemos que:
1
lim f ( x)
x 2 1 2
Para el segundo punto, calculemos:
lim f ( x)
x 0
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4. En este caso, los límites laterales no coinciden, ya que no existe el límite lateral por la izquierda
de la función (no podemos evaluar f en puntos a la izquierda de cero). El límite lateral por la
derecha si existe y vale:
lim f ( x) 1 , por lo tanto el límite pedido no existe.
x 0
En general, para que una función posea en un punto un límite, dicho punto ha de ser tal que puntos
a su izquierda y a su derecha han de pertenecer al dominio de la función. Además, la función no
tiene porqué existir en dicho punto.
Ejemplo 3
Definir una función que NO posea límite en un punto interior a su dominio de definición.
Nota:
no es un número, sino un símbolo que expresa un número muy grande,
de tal manera que cualquier otro número real verifica ser menor que él.
Cuando se define el límite como un número real, si en el cálculo de dicho límite no se obtiene un
número real (el infinito no lo es) resultará que el límite no existe. En los dos ejemplos siguientes
puede observar dos casos en los que el límite no existe pero que son casos distintos, ya que en el
primero los límites laterales coinciden y valen infinito, mientras que en el segundo los laterales no
coinciden.
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5. 1 1 1
lim 2
lim lim
x 0 x x 0 x2 x 0 x2
1 1
lim lim
x 0 x x 0 x
Viendo la representación gráfica de las funciones se entiende los resultados obtenidos:
F(x) = 1/x2 F(x) =1/x:
Definición formal de límite
-
lim f ( x) L 0 0/0 x c f ( x) L
x a
Ejemplo 1
lim 4 x 5 3
x 2
0 0
0 x 2 (4 x 5) 3
0 x 2 4x 8
0 x 2 4x 2
0 x 2 x 2
4
lim 4 x 5 3
4 x 2
Ejemplo 2
lim ( x 2 x 5) 7
x 3
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6. 0 x 3 ( x2 x 5) 7
(x2 x 5) 7 x2 x 12 x 4 x 3
lim f ( x ) L
x b
0 x c f ( x) L
x 3 1 2 x 4 2 4 x 4 4 4 x 4 8
x 3
Propiedades de límites
Sean b, c, n, A y B números reales, sean f y g funciones tales que:
lim f ( x) A , lim g ( x) B Entonces:
x c x c
lim b b lim x c
x c x c
lim b. f ( x) bA lim f ( x) g ( x) A B
x c x c
f ( x) A
lim f ( x ).g ( x ) A.B lim B 0
x c x c g ( x) B
x
lim f (x) lim f ( x) lim 0
x c x c x 0 k
k k
lim no existe ( ) lim 0, n 0
x 0 x x xn
x
lim no existe ( )
x k
Cálculo de límites
1. Límites de funciones polinómicas
3
Sea f ( x) 3x 2 x 2 x 2 La gráfica de una función polinómica (o polinomio) tiene un trazo
continuo, por lo cual podemos afirmar:
Sea f un polinomio, entonces para cualquier número real c se tiene que lim f ( x) f (c) , es decir,
x c
que el límite en cualquier punto c de su dominio se halla simplemente calculando su imagen.
Ejemplo:
Para la función anterior lim f ( x ) 3( 1) 3 2( 1) 2 ( 1) 2 3 2 1 2 8 f ( 1)
x 1
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7. 0
, , 0. , 0 0 , 0
,1
0
Resumen del Cálculo de límites Indeterminados
0
0
x3 1
lim 2
x 1 x 1
x3 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1
lim 2 lim lim
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
x3 1 3
lim
x 1 x2 1 2
x 1 x 1 x 1 x 1
lim lim lim
x 1 2x 2 x 1 2x 2 x 1 x 1 2. x 1 x 1
1 1
lim
x 1 2. x 1 4
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8. x 1 1
lim
x 0 x
0
0
x 1 1
(a b)(a b) a2 b2
x 1 1 ( x 1 1)( x 1 1) ( x 1) 1
lim lim lim
x 0 x x 0 x( x 1 1) x 0 x( x 1 1)
x 1 1
lim lim
x 0 x( x 1 1) x 0 x 1 1 2
Sea f(x) una función racional definida por:
an x n a n 1 x n 1 ...... a1 x a o
f ( x)
bm x m bm 1 x m 1 ...... b1 x bo
a) Si n < m entonces: lim f ( x) 0
x
an
b) Si n = m entonces: lim f ( x )
x bm
c) Si n > m entonces: lim f ( x)
x
4 x2 x 1
lim
x x2 1
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9. x2
4 x2 x 1 1 1
4
2 2 2
x x2 4 0 0 4
lim x 2 x x lim lim 4
x x 1 x 1 x 1 0 1
2 2
1 2
x x x
2
4x x 1
lim 4
x x2 1
x2 x 3
lim
x x
2
x x 3 1 3
1
lim x2 x2 x lim x x lim
1 0 1
1
x x x 1 x 1 1
x
x2 x 3
lim 1
x x
x 1
lim 2
x 2 x 4 x 2
x 1 x x 2 2 2
lim 2
lim 2
lim 2
x 2 x 4 x 2 x 2 x 4 x 2 x 4 0
2 2
lim 2
x 2 x 4 0 x 1
lim 2
No existe
2 2 x 2 x 4 x 2
lim
x 2 x2 4 0
lim x x2 x
x
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10. 2
x x2 x x x2 x x2 x2 x
lim x x2 x lim lim
x x x x 2
x x x x2 x
x2 x 2 x x
lim lim
2
x x x x x x x2 x
x
x x 1 1 1
lim lim lim
x x x 2
x x x x2 x x 1 1 1 0 2
1 1
x x2 x2 x
1
lim x x2 x
x 2
0
1
lim x 3 . 0.( )
x 3 x2 9
0
0
x 3 0
lim 2
x 3 x 9 0
x 3 1 1
lim lim
x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 6
0
, 00 , 1
Ln f ( x ) g ( x )
f ( x) g ( x ) e e g ( x) Ln f ( x)
lim g ( x ) Ln f ( x )
lim f ( x ) g ( x) ex a
x a
1
x 1
1
lim 1 lim 1 x x
e
x x x 0
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11. 1
lim f ( x ) g ( x ) ek k lim f ( x) 1 g ( x)
x a x a
1 3x 2
2
1 x x2
lim
x 0 1 x2
1
1 3x 2
2
1 x x2
lim 1 ek
x 0 1 x2
1 x2 1 3x 2
k lim f ( x ) 1 g ( x ) k lim 1
x a x 0 1 x2 x2
1 x2 1 x2 1 3x 2 2x2 1 3x 2
k lim lim
x 0 1 x2 x2 x 0 1 x
2
x2
2 1 3x 2 2 6x2 2
k lim lim 2
x 0 1 x2 1 x 0 1 x2 1
1 3x 2
2
1 x x2
lim ek e2
x 0 1 x2
Límites trigonométricos
Un límite básico relacionado con la trigonometría es el siguiente:
sen( x)
lim 1
x 0 x
1 cos( x) x sen(kx)
1. lim 0 2. lim 1 3. lim k
x 0 x x 0 sen( x) x 0 kx
No olvidar que para resolver los límites trigonométricos debemos de conocer también las
identidades trigonométricas
Ejemplo
t tan t
lim
t 0 sent
sent
t
t tan t cos t
lim lim
t 0 sent t 0 sent
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12. t cos t sent
cos t t cos t sent t cos t sent
lim lim lim lim
t 0 sent t 0 cos t sent t 0 cos t sent t 0 cos t sent
t 1
lim lim 1 1 2
t 0 sent t 0 cos t
t tan t t
lim 2 lim 1
t 0 sent t 0 sent
Limites infinitos
lim f ( x)
x a
lim f ( x)
x a
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13. Definición 3
La recta x = a se llama asíntota vertical de la función y f (x) si se cumple una de las siguientes
proposiciones:
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x)
x a x a x a
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x)
x a x a x a
Limites al infinito
(a, ) lim f ( x) L
x
Asíntotas horizontales
Definición
La recta y = L se llama asíntota horizontal de la curva y f (x) si se satisface una de las dos
expresiones: lim f ( x) L o lim f ( x) L
x x
De lo anterior podemos concluir que una función
racional presenta una asíntota horizontal si el grado del numerador es menor o igual que el
grado del denominador.
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14. x2 1 x2 1
Ejemplo y si calculamos: lim obtenemos como resultado 1, lo cual significa
x2 1 x x2 1
que la gráfica tiene un asíntota horizontal en y = 1, veamos esta situación en el siguiente dibujo:
Asíntotas oblicuas
Sea f (x ) una función racional, si el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del
denominador, entonces la gráfica de f presenta una asíntota oblicua, esta se halla realizando la
división indicada en la función.
Ejemplo
x2 3
Sea f ( x )
2x 4
Esta función tiene una asíntota oblicua, hallémosla:
1
Asíntota oblicua: y x 1
2
Veamos la gráfica:
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15. x2 3 x2 3
Nótese que lim y además lim
x 2x 4 x 2x 4
Teorema del emparedado
g ( x) h( x) para todo x
Sean f, g, h funciones tales que: f ( x) c en un intervalo que contiene a
c, supongamos que lim f ( x) lim h( x) L , entonces:
x c x c
lim g ( x) L
x c
Ejemplo:
1
Demuestre que lim x 2 sen( ) 0
x 0 x
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16. 1 1
Obsérvese que no podemos aplicar que lim x 2 sen( ) lim x 2 . lim sen( ) puesto que el segundo
x 0 x x 0 x 0 x
límite no existe.
1 1
Como 1 x 2 sen( ) 1 entonces: x2 x 2 sen( ) x 2 (véase la figura de arriba)
x x
2 1
Además: lim x lim ( x 2 ) 0 por lo tanto lim x 2 sen( ) 0
x 0 x 0 x 0 x
Intuitivamente, una función es continua en un punto si a pequeños cambios en la variable
independiente, x, se producen pequeños cambios en la variable dependiente, y. Gráficamente, se
observan claramente, pues son gráficas que se dibujan de un trazo, sin levantar el lápiz del papel.
Matemáticamente, la definición es la siguiente.
1. f (c) Dom( f ( x))
2. lim f ( x)
x c
3. lim f ( x) f (c)
x c
El concepto de continuidad en un punto se generaliza a un subconjunto, de forma que se dice que f
es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en todos los puntos de dicho intervalo.
Además, es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b) y es continua por la
derecha en a y por la izquierda en b.
Podemos observar que en la práctica, el estudio de la continuidad conlleva el cálculo de límites,
cuestión que, como vimos en el apartado anterior, necesitará la ayuda de algún programa de
cálculo.
Cuando una función no es continua en un punto diremos que es discontinua en dicho punto, A
continuación estudiaremos los tipos de discontinuidad.
Clases de discontinuidad
Si cualquiera de las tres condiciones de Continuidad falla decimos que la función es Discontinua.
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17. f ( x) si x a
g ( x)
L si x a
x2 5x 6
f (x)
x 3
x 2 5x 6 ( x 3) ( x 2)
lim lim lim( x 2) 3 2 1
x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
x2 5x 6
si x 3
g (x ) x 3
1 si x 3
Ejemplos
Mostramos tres ejemplos de funciones discontinuas, en las cuales fallan las condiciones 1), 2) y 3)
mencionadas en la definición anterior.
x 1
1) La función: f ( x ) no es continua en el punto x=1 ya que la función no existe en dicho
x 1
punto pero el límite si existe y tiene un valor de 2(compruébelo).
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18. La función es discontinua evitable en x=1 por existir el límite, sin embargo la función si es continua
en cualquier otro punto de su dominio.
2)
x2 x 0
f ( x)
Log ( x) x 0
a. f (0) (0)2 0
b. lim f ( x) lim Log ( x)
x 0 x 0
lim f ( x ) lim x 2 0
x 0 x 0
lim f ( x) No existe
x 0
c. f (0) lim f ( x)
x 0
La función no es continua en el punto x=0, pero ahora por otra razón al ejemplo anterior: no existe
el límite de la función en dicho punto (no coinciden los límites laterales en cero).
La función es discontinua inevitable en x=0 por no existir el límite.
3)
2 x 2
f ( x) 2
x x 2
a. f (2) 2
b. lim f ( x) 4
x 2
c. f (2) lim f ( x )
x 2
La función no es continua en el punto x=2 ya que, si bien existe la función en el punto y existe el
límite, ambas cantidades no coinciden.
La función es discontinua evitable en x=2
3x 5 si x 1
f ( x) 2 si x 1
3 x si x 1
lim f ( x)
x 1
lim f ( x) lim (3 x 5) 2
x 1 x 1
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19. lim f ( x) lim (3 x) 2
x 1 x 1
lim f ( x) 2
x 1
f ( 1) 2
lim f ( x) f ( 1)
x 1
Las discontinuidades las podemos resumir de la siguiente forma:
lim f ( x) f ( a) continua
x a
lim f ( x) existe
x a
f (a ) está definido lim f ( x) f ( a) discontinua evitable
x a
f ( x) lim f ( x) no existe discontinua no evitable
x a
lim f ( x) existe lim f ( x) f (a) discontinua evitable
x a x a
f (a) no definido
lim f ( x) no existe discontinua no evitable
x a
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