GUÍA 10°- 2 MATEMÁTICAS.docx

OJO Marque las hojas a entregar, cada guía por separado y por materia, escriba su nombre y el del docente, Guía sin
marcar no se calificará.
COLEGIO INTEGRADO MARIA AUXILIADORA JONATHAN DANIEL ANAYA
CORDERO
LICENCIADO EN MATEMÁTICAS
GUÍA DE TRABAJO DE MATEMÁTICAS 10°
FECHA DE ENTREGA : ABRIL 12
ESTRATEGIA DE APRENDIZAJE: Realizar un desarrollo de las competencias básicas como: Autonomía personal,
poder aprender a aprender, resolución de problema, competencias matemáticas y el uso de las guías de trabajo.
COMPETENCIAS: Aplica las razones trigonométricas para la resolución de problemas.
CONTENIDOS: Razones trigonométricas
Historia de la Trigonometría
El origen de la palabra TRIGONOMETRÍA proviene del griego "trigonos" (triángulo) y "metros" (metria).
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo
y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para construir pirámides. Posteriormente se
desarrolló más con el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos
celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco
de Nicea. Más tarde se difundió por India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Desde Arabia se extendió
por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente de las
Matemáticas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían
completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas
fundamentales de la trigonometría.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos
trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con
la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy
desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría
eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas
utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Razones trigonométricas
En los triángulos semejantes los ángulos son iguales y los lados homólogos son proporcionales. La razón entre
los lados de un triángulo determina su forma.
Dado el triángulo rectángulo en C:
Recuerda: Se llama razón o proporción entre dos números a su cociente.

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Se definen:
Seno del ángulo en A (sen(A)): Cociente entre las longitudes del cateto opuesto al ángulo en A y de la
hipotenusa:
c
a
)
A
(
sen 
Coseno del ángulo en A (cos(A)): Cociente entre las longitudes del cateto adyacente al ángulo en A y de la
hipotenusa:
c
b
)
A
(
cos 
Tangente del ángulo en A (tan (A)): Cociente entre las longitudes del cateto opuesto y del cateto adyacente al
ángulo en A:
b
a
)
A
(
tg 
TAREA
1. Presenta por medio de imágenes, la historia de la trigonometría.
2. Dado un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo agudo α se definen:
 El seno es el cociente entre ______________________ y ___________________.
 El coseno es el cociente entre _____________________ y ___________________.
 La tangente es el cociente entre ___________________ y ___________________.
3. Completa la tabla con estas razones para un ángulo α

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Las razones de 30º, 45º y 60º
Los ángulos de 30º, 45º y 60º aparecen con bastante frecuencia, fíjate cómo se calculan sus razones a partir de la
definición si buscamos los triángulos adecuados.
Con ayuda de la escena de la derecha completa la tabla:
seno coseno tangente
30º
45º
60º
Memorizar esta tabla es fácil si observas el orden que guardan. Una vez aprendidos los senos con las raíces
consecutivas, los cosenos salen en orden inverso.
Con la calculadora
Dado un ángulo α obtener sus razones
trigonométricas.
seno
coseno
Dada una razón obtener el ángulo α
correspondiente
Por ejemplo el sen 28º 30´
Pon la calculadora en modo
Teclea 28 30 .
Obtenemos: 0,477158760
En algunas calculadoras hay que pulsar la tecla
antes de introducir el ángulo,
comprueba cómo funciona la tuya.
Si queremos obtener el cos α ó la tg α
procederemos de la misma forma pero pulsando
las teclas y respectivamente.
Con el mismo valor que tienes en la pantalla:
Comprueba que la calculadora sigue en modo
Teclea
Obtenemos: en grados, si queremos
grados, minutos y segundos, pulsamos
obteniendo .
tan
cos
sin
sin
º ‘ ‘‘
º ‘ ‘‘
DEG
28º 30’
º ‘ ‘‘
SHIFT
T
28,5
sin
SHIFT
T
DEG
0,477158760

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Resolver triángulos rectángulos
Resolver un triángulo rectángulo es calcular los datos desconocidos, lados o ángulos, a partir de los conocidos.
1. Con un ángulo y la hipotenusa
Para hallar los catetos de un triángulo rectángulo del que se conocen las
medidas de la hipotenusa y de un ángulo agudo, pensaremos en el triángulo
que multiplicamos por la hipotenusa.
En la escena vemos un ejemplo resuelto sobre como
calcular la altura de un monte.
Completa la resolución en este recuadro
Primero, vamos hallar el cateto opuesto con la función
seno.
Sen 30° =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
650
Subimos el 650 a multiplicar por el sen 30°= ½
1
2
𝑥 650 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
325 m = cateto opuesto
Ahora vamos hallar el cateto adyacente con la función
coseno.
Cos 30° =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
650
Subimos el 650 a multiplicar por el cos 30°=
√3
2
√3
2
𝑥 650 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
562,9 m = cateto adyacente
PROBLEMA 1: Completa el enunciado y resuélvelo:
Del triángulo rectángulo de la figura se conocen un ángulo, _____º, y la hipotenusa _____ cm.
Tenemos que hallar los catetos en función de las razones trigonométricas del ángulo dado

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2. Conocidos un cateto y un ángulo agudo
Para hallar los lados de un triángulo rectángulo del que se conocen las
medidas de un cateto y de un ángulo no recto, pensaremos en el triángulo
que se multiplica por el cateto adyacente:
En la escena vemos un ejemplo resuelto sobre como
calcular la altura de una torre
Completa la resolución en este recuadro
Primero, vamos hallar el cateto opuesto con la función
tangente.
tan 45° =
=
20
Subimos el 20 a multiplicar por el tan 45°= 1
1 𝑥 20 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
20 m = cateto opuesto
Ahora vamos hallar la hipotenusa con la función
coseno.
cos 45° =
=
20
Pasamos cos 45°=
√2
2
a dividir por el 20
20 ÷
√2
2
= ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
40
√2
= hipotenusa
28,28 m = hipotenusa
Del triángulo rectángulo de la figura se conocen un ángulo, _____º, y el cateto adyacente _____ cm.
Tenemos que hallar los otros lados en función de las razones trigonométricas del ángulo conocido

CORDERO
3. Conocidos dos lados del triángulo
Para hallar el otro lado del triángulo se aplicará el teorema de Pitágoras,
el ángulo se determinará como el arco cuya tangente es:
adyacente
cateto
opuesto
cateto
Para calcular el otro ángulo basta restar de 90º.
En la escena de la derecha vemos un ejemplo resuelto sobre
esto.
Con la ayuda de esta escena, resuelve el triángulo de
catetos 8 y 6.
Primero, vamos hallar la hipotenusa con el teorema de
Pitágoras.
𝑎2
= 82
+ 62
𝑎2
= 64 + 36
𝑎2
= 100
𝑎 = √100 = 10 𝑚
Ahora vamos hallar un ángulo por medio de la función
tangente.
tan 𝛽 =
=
8
6
Despejamos el ángulo de la ecuación:
𝛽 = 𝑡𝑎𝑛−1 8
6
𝛽 = 53,13°
El otro ángulo lo hallaremos sabiendo que la suma de los
ángulos debe ser 180°, por lo tanto lo haremos restando
90 - 𝛽
∁ = 90 – 53,13 = 36,87°
Del triángulo rectángulo de la figura se conocen el cateto opuesto, _____ cm, y el cateto adyacente
_____ cm.
Tenemos que hallar la hipotenusa y los ángulos sabiendo que es un triángulo rectángulo y tiene un
ángulo de 90°.

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TAREA
1) En los siguientes triángulos rectángulos, calcula las seis razones trigonométricas para sus ángulos
agudos.
a) b)
2) Resolver un triángulo equivale a determinar el valor de los tres ángulos y los tres lados. A
continuación se dan los tres mínimos que necesitarás para resolver cada triángulo.
a) sen 23º =
5
2
b) cos 73º =
7
2
c) tg 7º =
8
1
3) Algunos valores de las funciones trigonométricas los puedes calcular directamente sin usar
calculadora. Calcula según la figura y luego comprueba con tu calculadora.
a) sen 30º
b) cos 30º
c) sen 60º
d) cos 60º
e) ¿es necesario conocer las medidas
del triángulo?
4) Si se sabe qué



cos
sen
tg  . Calcule, sin usar calculadora, los valores de la tangente para los
ángulos dados en el ejercicio anterior.
5) Utiliza tu calculadora para encontrar los valores aproximados de las razones trigonométricas de
los siguientes ángulos:
a) 19º b) 34º12`32`` c) 55º d) 12,5º
6) Determina la altura de un árbol, sabiendo que su sombra mide 8m cuando el ángulo de elevación
del sol es de 53º. Haz un dibujo del problema.
7) Un avión se encuentra a 2300m de altura cuando comienza su descenso para aterrizar. ¿Qué
distancia debe recorrer el avión antes de tocar la pista, si baja con un ángulo de depresión de 25º?
Haz un dibujo del problema
8) Un edificio tiene una altura de 75m. ¿Qué medida tiene la sombra que proyecta cuando el sol tiene
un ángulo de elevación de 43º?. Haz un dibujo del problema
9) La longitud del hilo que sujeta un volantín es de 15m y el ángulo de elevación es de 30º. ¿Qué
altura alcanza el cometa?
10) En un momento determinado, los dos brazos de un compás están separados por una distancia de
5 cm. Si cada brazo mide 10 cm, ¿cuál es el grado de abertura del compás?
11) Al colocarse a cierta distancia del pie de un árbol, se ve la punta del árbol con un ángulo de 70º.
¿Bajo qué ángulo se verá el árbol si uno se aleja el triple de la distancia inicial? Haz el dibujo.
6
10

8
2 2
3
2
5

a
a a
h

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