Conjunto dos números reais, operações e expressões numéricas

UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia
1
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Գ ൌ ሼ 0, 1, 2, 3, 4, … ሽ ܿ‫݋ݐ݊ݑ݆݊݋‬ ݀‫ݏ݋‬ ݊ú݉݁‫ݏ݋ݎ‬ ݊ܽ‫.ݏ݅ܽݎݑݐ‬
Ժ ൌ ሼ… െ 3, െ2, െ1, 0, 1, 2, 3, … ሽ ܿ‫݋ݐ݊ݑ݆݊݋‬ ݀‫ݏ݋‬ ݊ú݉݁‫ݏ݋ݎ‬ ‫.ݏ݋ݎ݅݁ݐ݊ܫ‬
Է ൌ ቄ ‫ݔ‬ ‫א‬ Է ‫ݔ‬⁄ ൌ
௔
௕
ܽ, ܾ ‫א‬ Ժ , ܾ ് 0 ቅ ܿ‫݋ݐ݊ݑ݆݊݋‬ ݀‫ݏ݋‬ ݊ú݉݁‫ݏ݋ݎ‬ ‫.ݏ݅ܽ݊݋݅ܿܽݎ‬
ുൌ ሼ ‫׊‬ ‫ݔ‬ ‫ב‬ Է ‫ݔ‬⁄ ൌ √2, √3 , √5
య
, … ߨ, ݁, … ሽ ܿ‫݋ݐ݊ݑ݆݊݋‬ ݀‫ݏ݋‬ ݊ú݉݁‫ݏ݋ݎ‬ ݅‫.ݏ݅ܽ݊݋݅ܿܽݎݎ‬
A diferença entre um número racional e um número irracional:
Número Racional é todo número cuja representação decimal é sempre finita ou infinita e periódica (possui dízima).
Exemplo de números racionais:
a)
ଷ
ଵ଴
ൌ 0,3 é um decimal finito.
b)
ଵ
଺
ൌ 0.1666 … é um decimal infinito e periódico com dízima 6.
c)
ସ
ଶ
ൌ 2 é um número inteiro, todo número inteiro é um número racional.
Número Irracional é todo número cuja a representação decimal é sempre infinita sem ser periódica.
Exemplo:
a) ߨ ൌ 3,1415927 … representa a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro.
ߨ ൌ
௖௢௠௣௥௜௠௘௡௧௢ ௗ௔ ௖௜௥௖௨௡௙௘௥ê௡௖௜௔
ௗ௜â௠௘௧௥௢ ௗ௔ ௖௜௥௖௨௡௙௘௥ê௡௖௜௔
ൌ 3,1415927 … é ‫ܽ݉ݑ‬ ܿ‫݁ݐ݊ܽݐݏ݊݋‬
݁ ൌ 2,7182818 … , é ‫ܽ݉ݑ‬ ܿ‫݁ݐ݊ܽݐݏ݊݋‬ ݄ܿܽ݉ܽ݀‫݋‬ ݀݁ ܿ‫݁ݐ݊ܽݐݏ݊݋‬ ݀݁ ‫.ݎ݈݁ݑܧ‬
√2 ൌ 1,4142135 … é um número infinito sem dízima.
Definimos o conjunto dos números Reais sendo a união dos conjuntos dos números racionais e dos irracionais.
Թ ൌ Է ‫׫‬ ‫ܫ‬ ܿ‫݋ݐ݊ݑ݆݊݋‬ ݀‫ݏ݋‬ ݊ú݉݁‫ݏ݋ݎ‬ ‫.ݏ݅ܽ݁ݎ‬ Թ
Է ു
Exercícios:
Dados os números abaixo, identifique os números racionais e os números irracionais:
a) 3,12 e) 0 i) - 9
b) 0,3333... f) - 6,8 j) 17,323232...
c) 1,73205... g) √4 l) 0,5
d) 25 h) - 1,4142... m)
ଶ
ଷ

2
RETA REAL: Na reta real podemos representar todos os números reais, o número zero representa a origem da reta.
Os números da reta real são simétricos e opostos.
-6 -5 -4 -3,14 -3 -2 -√2 -1 0 1 √2 2 3 3,14...
. . . I I I I I I I I I I I I I I I I.... r reta real
* Os números da reta que estão a esquerda de um número em questão sempre serão menores que esse número.
Exemplo: 1 ݁‫ݐݏ‬á ܽ ݁‫ܽ݀݁ݑݍݏ‬ ݀݁ 2 logo 1 ൏ 2
ሺെ6ሻ ݁‫ݐݏ‬á ܽ ݁‫ܽ݀ݎ݁ݑݍݏ‬ ݀݁ ሺെ5ሻ ݈‫݋݃݋‬ ሺെ6ሻ ൏ ሺെ5ሻ
ሺെ2,3ሻ ݁‫ݐݏ‬á ܽ ݁‫ܽ݀ݎ݁ݑݍݏ‬ ݀݁ ሺെ1,5ሻ ݈‫݋݃݋‬ ሺെ2,3ሻ ൏ ሺെ1,5ሻ
Em geral ...െ4 ൏ െ3 ൏ െ2 ൏ െ1 ൏ 0 ൏ 1 ൏ 2 ൏ 3 ൏ 4 …
*Os números da reta que estão a direita de um número em questão, sempre serão maiores que esse número.
Exemplo: ሺെ 1ሻ݁‫ݐݏ‬á ܽ ݀݅‫ܽݐ݅݁ݎ‬ ݀݁ ሺെ4ሻ ݈‫݋݃݋‬ ሺെ 1ሻ ൐ ሺെ4ሻ
൫െ √2 ൯݁‫ݐݏ‬á ܽ ݀݅‫ܽݐ݅݁ݎ‬ ݀݁ ሺെ3,1415 … ሻ ݈‫݋݃݋‬ ሺ െ √2 ሻ ൐ ሺെ3,1415 … ሻ
OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS REAIS
ADIÇÃO: A soma de números reais resulta em um número real.
Sinais iguais: somam-se os números e conserva-se o sinal.
Exemplos:
ሺ൅ሻ ൅ ሺ൅ሻ ൌ ሺ൅ሻ ‫ݑ݋‬ ሺെሻ ൅ ሺെሻ ൌ ሺെሻ
a) 2 ൅ 9 ൌ 11 c) (െ2 ሻ ൅ ሺെ 9ሻ ൌ െ11
b) 15 ൅ 10 ൌ 25 d) (െ15 ሻ ൅ ሺെ10ሻ ൌ െ25
‫ܛܑ܉ܖܑ܁‬ ‫:ܛ܍ܜܖ܍ܚ܍܎ܑ܌‬ subtraem െ se os números e dá െ se o ‫ܔ܉ܖܑܛ‬ ‫ܗ܌‬ ‫ܚܗܑ܉ܕ‬ em módulo ሺ maior algarismoሻ.
Exemplos:
a) ሺെ3ሻ ൅ 5 ൌ 2 ‫ݏ݅݋݌‬ 5 é ‫݋‬ ݉ܽ݅‫ݎ݋‬ ݈ܽ݃ܽ‫݋݉ݏ݅ݎ‬ ݁ é ‫.݋ݒ݅ݐ݅ݏ݋݌‬
b) ሺെ15ሻ ൅ 10 ൌ െ 5 ‫ݏ݅݋݌‬ 15 é ‫݋‬ ݉ܽ݅‫ݎ݋‬ ݈ܽ݃ܽ‫݋݉ݏ݅ݎ‬ ݁ é ݊݁݃ܽ‫.݋ݒ݅ݐ‬
ܿሻ 7 ൅ ሺെ3ሻ ൌ 4
݀ሻ 4 ൅ ሺെ10ሻ ൌ െ 6
SUBTRAÇÃO: é a operação INVERSA da adição. A subtração de números reais resulta em um número real. Toda
subtração é uma adição.
O sinal positivo na frente de parênteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o
sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o mesmo sinal.
Exemplo:
a) െ8 ൅ ሺ 9 ሻ ൌ െ8 ൅ 9 ൌ 1
b) െ8 ൅ ሺെ9ሻ ൌ െ8 െ 9 ൌ െ17c) 12 ൅ ሺെ15ሻ ൌ 12 െ 15 ൌ െ3
O sinal negativo na frente de parênteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o
sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o sinal trocado.
Exemplos:
a) ( െ4ሻ െ ሺ൅ 6ሻ ൌ ሺെ4ሻ െ 6 ൌ െ10
b) െ 16 െ ሺെ20ሻ ൌ െ16 ൅ 20 ൌ 4
c) 9 െ ሺെ10ሻ ൌ 9 ൅ 10 ൌ 19

3
MULTIPLICAÇÃO : ou produto de números reais sempre será um número real.
Sinais iguais multiplicam-se os números e dá-se o sinal ( + ) positivo.
Exemplo:
a) ሺ൅ 5ሻ . ሺ൅4ሻ ൌ ൅ 20
b) ሺെ3 ሻ . ሺെ6ሻ ൌ ൅18
‫ܛܑ܉ܖܑ܁‬ ‫ܛ܍ܜܖ܍ܚ܍܎ܑ܌‬ multiplicam െ se os números e ‫܌‬á െ ‫܍ܛ‬ ‫ܗ‬ ‫ܔ܉ܖܑܛ‬ ൫– ൯ ‫.ܗܞܑܜ܉܏܍ܖ‬
Exemplo:
a) ሺ൅8ሻ . ሺെ5ሻ ൌ െ40
b) ሺെ1,5ሻ. ሺ൅10ሻ ൌ െ15
DIVISÃO: é a operação inversa da multiplicação, a regra de sinal é a mesma da multiplicação.
Exemplo:
൅ଷହ
ାହ
ൌ ൅ 7
ሺିସሻ
ሺିଽሻ
ൌ ൅
ସ
ଽ
ଶଵ
ሺ ି଻ሻ
ൌ െ 3
ሺିଵ଼ሻ
ଷ
ൌ െ 6
QUADRO DE SINAIS
.
:
൅ െ
൅ ൅ െ
െ െ ൅
Exercícios: Resolver as operações indicadas abaixo:
a) 27 ൅ 20 ൌ e) ሺെ15ሻ െ ሺെ15ሻ ൌ
b) 65 െ 30 ൌ f) 23 ൅ ሺെ45ሻ ൌ
c) ሺെ41ሻ ൅ 39 ൌ ݃ሻ ሺെ90ሻ െ ሺ90ሻ ൌ
d) 87 െ ሺെ7ሻ ൌ h) ሺെ1ሻ െ ሺെ1ሻ ൌ
൅ െ
Adição
Somar Subtrair
൅ ‫݈ܽ݊݅ݏ‬ ൅ Sinal do maior
em módulo
Subtrair Somar
െ Sinal do maior ‫݈ܽ݊݅ݏ‬ െ
em módulo
Respostas a) 47 b) 35 c) െ2 d) 94 e) 0 f) െ22 g) െ180 h) 0

4
EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM AS QUATRO OPERAÇÕES: Para resolver expressões seguiremos alguns passos:
1º ) Resolver primeiro o que estiver entre os parênteses, colchetes e chaves.
2º ) Efetuarmos primeiro a multiplicação ou divisão, seguindo ordem em que aparecem na expressão.
3º ) Efetuarmos a adição ou subtração na ordem em que aparecem na expressão.
Exemplo Resolvido: Resolver as expressões numérica:
a ) ሼ5 ൅ ሾ4 െ 6ሺെ1 ൅ 3ሻ ൅
ଵ଴
ଶ
( 2 െ4 ሻሿሽ ൅ 1 ൌ b ) െሼ െ6 ൅ 4 .3 െ ሾ 5 െ ሺ1 െ 9ሻሿሽ
{5 ൅ ሾ4 െ 6ሺ 2ሻ ൅ 5ሺെ2 ሻሿሽ ൅ 1 ൌ െሼെ6 ൅ 12 െ ሾ 5 െ ሺെ8ሻሿሽ ൌ
ሼ5 ൅ ሾ4 െ 12 െ 10ሿሽ ൅ 1 ൌ െሼെ6 ൅ 12 െ ሾ 5 ൅ 8ሿሽ ൌ
ሼ5 ൅ ሾെ8 െ 10ሿሽ ൅ 1 ൌ െሼെ6 ൅ 12 െ ሾ 13ሿሽ ൌ
ሼ5 ൅ ሾെ18ሿሽ ൅ 1 ൌ െሼെ6 ൅ 12 െ 13ሽ ൌ
ሼ5 െ 18ሽ ൅ 1 ൌ െሼെ7 ሽ ൌ 7
െ13 ൅ 1 ൌ െ12
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Resolver as expressões numéricas abaixo:
a ) 20 ൅ ሺെ9 ൅ 12ሻ െ ሺെ15 ൅ 20ሻ ൌ b ) 2 െ ൛െ11 ൅ ൣ ሺ17— 12ሻ ൅ 10൯ െ 3 ൧ ሽ ൌ
c ) 55 ൅ ሺെ10ሻ. ሺെ4ሻ െ ሾെ2 െ ൫6 ‫׷‬ ሺെ3ሻ൯ ൅ 2ሿ ൌ d ) 31 ൅ ሺെ40ሻ: 2 െ ሾ ሺെ9 ൅ 9ሻ െ 7 ሿ ൌ
e) െሾ 9 ൅
଼ଵ
ଽ
+ 4 ሺെ4ሻ ൅ ሺെ19 െ 1ሻሿ ൌ f) 10 െ ሾ 6 െ ሺ9 െ 4ሻ ሿ . ሾ ሺെ2ሻ 5 ሿ ൌ
g) 60 ‫׷‬ ሺെ5ሻ െ ൫െ1 ሺെ1ሻ൯ ൅ 13 ൌ h)
ହ ା ଺ሺିସሻ ି ଽሺିଶሻ
ିଶ
ൌ
i)
ሺି ଼ሻ
ଵସ ି ଼ . ଶ ା ସ
ൌ j)
ଶ ି ଺ . ଷ ି ଶሺିଶሻ
ସ ା ଷሺିଶሻ
ൌ
Respostas:
a) 18 b) 1 c) 93 d) 18 e) 18 f) 20 g) 0
h)
ଵ
ଶ
i) െ4 j) 6

5
FRAÇÃO: Dois números naturais a e b, com b് 0, quando escritos na forma
௔
௕
representam uma fração.
௔
௕
=
ே௨௠௘௥௔ௗ௢௥
஽௘௡௢௠௜௡௔ௗ௢௥ ሺ് ଴ሻ
ܱ ݀݁݊‫ݎ݋݀ܽ݊݅݉݋‬ ‫݉݁ݐ‬ ‫݁ݑݍ‬ ‫ݎ݁ݏ‬ ݂݀݅݁‫݁ݐ݊݁ݎ‬ ݀݁ ‫݋ݎ݁ݖ‬ ሺ ݊‫ݏ݋‬ Թ݁ܽ݅‫ݏ‬ ݊ã‫݋‬ ݁‫݁ݐݏ݅ݔ‬ ݀݅‫ݏ݅ݒ‬ã‫݋‬ ‫ݎ݋݌‬ ‫݋ݎ݁ݖ‬ሻ.
O denominador representa o número de partes que o INTEIRO foi dividido e o numerador representa o número de
partes que queremos considerar, ou seja, tomemos 1 inteiro e dividimos em 5 partes iguais (denominador) e
consideramos 3 partes (numerador). A fração será:
Exemplo de frações:
ଵ
ଶ
; െ
ଶ
ଷ
;
଻
ଵହ
;
ଵ
ଵ଴଴
; െ
଺
ହ
;
ସ
ସ
;
଻
ଵ
;
଴
ସ
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES:
Mesmo denominador: conserva o denominador e fazemos a soma algébrica do denominador.
Exemplo:
ଶ
ଷ
൅
ଵ଴
ଷ
െ
଺
ଷ
ൌ
ଶ ା ଵ଴ ି଺
ଷ
ൌ
଺
ଷ
ൌ 2
ଵ
ହ
െ
ଽ
ହ
൅
ସ
ହ
ൌ
ଵ – ଽ ା ସ
ହ
ൌ
ିସ
ହ
ൌ െ
ସ
ହ
Denominadores diferentes: Devemos achar o m.m.c. (menor múltiplo comum dos denominadores).
m.m.c.(3- 5- 2) 2
Exemplo:
ଶ
ଷ
െ
ଷ
ହ
൅
ଵ
ଶ
ൌ
ଶ଴ିଵ଼ାଵହ
ଷ଴
ൌ
ଶ଴ିଵ଼ାଵହ
ଷ଴
ൌ
ଵ଻
ଷ଴
3- 5- 1 3
1- 5- 1 5
1-1-1 2.3.5 = 30
ଷ
ସ
൅
ହ
଼
൅
ଵ
ଶ
ൌ
଺ ା ହ ା ସ
଼
ൌ
ଵହ
଼
m.m.c.(4-8-2) 2
2-4-1 2
1- 2- 1 2
1- 1- 1 2.2.2 = 8
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES: Multiplicamos os numeradores e os denominadores separadamente.
Exemplo:
ହ
଼
.
ଶ
ଷ
ൌ
ହ . ଶ
଼ . ଷ
ൌ
ଵ଴
ଶସ
ൌ
ହ
ଵଶ
ൌ 0,42
ଶ
ହ
.
ଷ
ସ
. ሺെ
ଵ
଺
) =
ଶ . ଷ ሺିଵሻ
ହ . ସ . ଺
ൌ
ሺି଺ሻ
ଵଶ଴
ൌ െ
ଵ
ଶ଴
3
5

6
NÚMEROS INVERSOS: dois números são inversos quando a multiplicação entre eles dá 1.
Na prática, para achar o inverso de um número, basta inverter o numerador com o denominador.
O Inverso de
ହ
଼
é
଼
ହ
O Inverso de
1
2
é
ଶ
ଵ
ൌ 2
O Inverso de
ଶ
ଷ
é
ଷ
ଶ
O Inverso de
଻
ଶ
é
ଶ
଻
*O número zero não admite inverso: o inverso de
଴
ଵ
é
ଵ
଴
nos Թ݁ܽ݅‫ݏ‬ não existe divisão por zero.
DIVISÃO DE FRAÇÕES: conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda.
Exemplo: Calcular a divisão das frações abaixo:
a)
ଶ
ହ
:
ଷ
଻
ൌ
ଶ
ହ
.
଻
ଷ
ൌ
ଶ . ଻
ହ . ଷ
ൌ
ଵସ
ଵହ
b)
ల
ళ
మ
య
ൌ
଺
଻
.
ଷ
ଶ
ൌ
଺ . ଷ
଻ . ଶ
ൌ
ଵ଼
ଵସ
ൌ
ଽ
଻
c)
ଵହ
మ
య
ൌ 15 .
ଷ
ଶ
ൌ
ଵହ . ଷ
ଶ
ൌ
ସହ
ଶ
Exercício resolvido: Resolver as operações aritméticas:
a)
ଶ
ଷ
.
ସ
଻
൅
ହ
ଶ
:
ଵ
ସ
ൌ
ଶ.ସ
ଷ.଻
൅
ହ
ଶ
.
ସ
ଵ
ൌ
଼
ଶଵ
൅
ଶ଴
ଶ
ൌ
଼
ଶଵ
൅
ଵ଴
ଵ
ൌ
଼
ଶଵ
൅
ଶଵ.ଵ଴
ଶଵ
ൌ
଼ାଶଵ଴
ଶଵ
ൌ
ଶଵ଼
ଶଵ
b)
1
2
൅4
1െ 3
2
ൌ
1
2
൅ 8
2
2
2
െ 3
2
ൌ
9
2
െ 1
2
ൌ 9
2
. ቀെ
ଶ
ଵ
ቁ ൌ െ
ଵ଼
ଶ
ൌ െ 9
c)
య
ఴ
ା
భల
ఱ
.
భఱ
ర
వవ
ర
ൌ
య
ఴ
ା
భల . భఱ
ఱ . ర
వవ
ర
ൌ
య
ఴ
ା
ర . య
భ . భ
వవ
ర
ൌ
య
ఴ
ା
భమ
భ
వవ
ర
ൌ
య
ఴ
ା
వల
ఴ
వవ
ర
ൌ
ൌ
వవ
ఴ
వవ
ర
ൌ
ଽଽ
଼
.
ସ
ଽଽ
ൌ
ଽଽ . ସ
଼ . ଽଽ
ൌ
ଵ . ଵ
ଶ . ଵ
ൌ
ଵ
ଶ

7
EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Resolver as operações abaixo:
a)
ଵି
మ
య
ା
ర
ఱ
ି
భళ
భఱ
ൌ
b)
9
10
. 5
3
൅ 8
3
െ 2 1
5
ൌ
c) ቀ
ଷ
ସ
൅
ଶ
ଷ
െ
଻
ଶ
ቁ : ሺെ
ହ
ଵଶ
ሻ ൌ
d)
଻
భ
మ
ା
భ
ఱ
ൌ
e) 7 (െ
ସ
଻
൅ 7 ) ൌ
f) ሺെ
ଶ
ଽ
െ
ଶ . ସ
ଷ
ሻ 18 ൌ
Respostas: aሻ െ 1 bሻ െ 0,033 … cሻ 5 dሻ 10 e) 45 f) െ52

8
POTENCIAÇÃO:
Potência de um Número Natural: Seja ࢇ ‫א‬ Թ, chama-se Potência de base ࢇ e expoente ࢔, ࢔ ‫א‬ Գ, ࢔ ൒ ૛, o número
࢈ ൌ ࢇ࢔
que é o produto de ࢔ ݂ܽ‫ݏ݁ݎ݋ݐ‬ iguais a ࢇ.
ܽ௡
ൌ ܽ. ܽ. ܽ. ܽ … ܽ ൌ ܾ onde ܽ ൌ ܾܽ‫݁ݏ‬
݊ ൌ ݁‫݁ݐ݊݁݋݌ݔ‬
ܾ ൌ ‫ݐ݋݌‬ê݊ܿ݅ܽ
Exemplos:
a) 4ଶ
ൌ 4 . 4 ൌ 16
b) ሺെ2ሻଷ
ൌ ሺെ2ሻ . ሺെ2ሻ . ሺെ2ሻ ൌ െ8
c) ߨଶ
ൌ ߨ . ߨ ؆ ሺ 3,14ሻ. ሺ 3,14ሻ ؆ 9,87
d) ሺെ3ሻଷ
ൌ ሺെ3ሻ. ሺെ3ሻ. ሺെ3ሻ ൌ െ27 Base negativa com expoente ímpar tem-se potência negativa.
e) ሺെ3ሻସ
ൌ ሺെ3ሻ. ሺെ3ሻ. ሺെ3ሻ. ሺെ3ሻ ൌ 81 Base negativa com expoente par tem-se potência positiva.
*ATENÇÃO: ሺെ6ሻଶ
് െ 6ଶ
, pois
ሺെ6ሻ . ሺെ6ሻ ് െ 6 . 6
36 ് െ36
Potência de expoente nulo (zero):
Por definição, qualquer número, exceto o número 0 ሺ‫݋ݎ݁ݖ‬ሻ,elevado a potência zero é igual a 1.
Exemplos:
5଴
ൌ 1 ሺെ1ሻ଴
ൌ 1 0଴
ൌ ? ሺ݅݊݀݁‫ܽ݊݅݉ݎ݁ݐ‬çã‫݋‬ )
ሺെ3ሻ଴
ൌ 1 1଴
ൌ 1
ቀ
ଶ
ହ
ቁ
଴
ൌ 1 ሺെ0,25ሻ଴
= 1
Qualquer número elevado ao expoente 1 ሺ‫ݐ݅݊ݑ‬á‫݋݅ݎ‬ሻ é igual ao próprio número.
Exemplos:
3ଵ
ൌ 3 ሺെ9ሻଵ
ൌ െ 9 0ଵ
ൌ 0 1ଵ
ൌ 1 ቀ
ଷ
଻
ቁ
ଵ
ൌ
ଷ
଻
Exercícios: Resolver as potências dos números abaixo:
a) 10଴
ൌ
ܾሻ 1ଵ଴
ൌ
c) 10ଵ
ൌ
d) ሺെ3ሻଷ
ൌ
e) ሺെ2ሻସ
ൌ
f) ሺെ8ሻଵ
ൌ
g) ሺെ1ሻ଴
ൌ

9
Inverso da Potência: Sejam ܽ ‫א‬ Թ‫כ‬
, ሺܽ ് 0ሻ, o inverso de ܽ௡
representado por
ܽି௡
ൌ
ଵ
௔೙
Exemplos:
a) 5ିଶ
ൌ
ଵ
ହమ
ൌ
ଵ
ଶହ
d) ሺെ3ሻିଶ
ൌ
ଵ
ሺିଷሻమ
ൌ
ଵ
ଽ
b) 2ିଵ
ൌ
ଵ
ଶభ
ൌ
ଵ
ଶ
e) ሺെ3ሻିଷ
ൌ
ଵ
ሺିଷሻయ
ൌ
ଵ
ିଶ଻
ൌ െ
1
27
c) 1ିଵ
ൌ
ଵ
ଵభ
ൌ 1 f ) 2ିସ
ൌ
ଵ
ଶర
ൌ
ଵ
ଵ଺
PROPRIDADES da potência de mesma base: Sejam ܽ, ܾ ‫א‬ Թ ݁ ݉ , ݊ ‫א‬ Գ , tem-se:
# O produto de potência de mesma base conserva-se a base e somam-se os expoentes.
ܽ௠
. ܽ௡
ൌ ܽ௠ା௡
a) 3ଶ
. 3ଷ
ൌ 3ଶାଷ
ൌ 3ହ
ൌ 243
b) 2ଷ
. 2ଶ
. 2 ൌ 2ଷାଶାଵ
ൌ 2଺
ൌ 64
c) 10ଶ
. 10ିଷ
. 10ସ
ൌ 10ଶ ି ଷ ା ସ
ൌ 10ଷ
d) ሺെ5ሻଶ
. ሺെ5ሻହ
. ሺെ5ሻି଺
ൌ ሺെ5ሻଶାହି଺
ൌ ሺെ5ሻଵ
ൌ െ5
# O quociente de potência de mesma base conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.
ܽ௠
‫׷‬ ܽ௡
ൌ ܽ௠ି௡
a) 6ଷ
‫׷‬ 6ସ
ൌ 6ଷିସ
ൌ 6ିଵ
ൌ
ଵ
଺భ ൌ
ଵ
଺
b)
ସఱ
ସయ = 4ହିଷ
ൌ 4ଶ
ൌ 16
c)
଻ర
଻ల = 7ସ ି ଺
ൌ 7ିଶ
ൌ
1
7
2 ൌ 1
49
e)
ଶమ
ଶషయ = 2ଶ –ሺି ଷሻ
ൌ 2ଶାଷ
ൌ 2ହ
ൌ 32

10
# A potência do produto é igual ao produto das potências.
ሺ ܽ . ܾ ሻ௡
ൌ ܽ௡
. ܾ௡
a) ሺ 7 . ‫ݔ‬ ሻଶ
ൌ 7ଶ
. ‫ݔ‬ଶ
ൌ 49 ‫ݔ‬ଶ
b) ሺെ2 . ‫ݐ‬ሻଷ
ൌ െ 2ଷ
. ‫ݐ‬ଷ
ൌ െ 8 . ‫ݐ‬ଷ
# A potência do quociente é igual ao quociente das potências.
ቀ
௔
௕
ቁ
௡
ൌ
௔೙
௕೙
a) ቀ
ହ
଺
ቁ
ଷ
ൌ
ହయ
଺య
ൌ
ଵଶହ
ଶଵ଺
؆ 0,58
b) ቀ
ଷ
ସ
ቁ
ିଷ
ൌ
ଷషయ
ସషయ ൌ
భ
యయ
భ
రయ
ൌ
ଵ
ଶ଻
.
଺ସ
ଵ
ൌ
଺ସ
ଶ଻
c) ቀെ
௫
ହ
ቁ
ଶ
ൌ ൅
௫మ
ହమ
ൌ
௫మ
ଶହ
# A potência de uma potência é igual ao produto das potências.
ሺܽ௠
ሻ௡
ൌ ܽ௠ . ௡
a) ሺ‫ݔ‬ଶሻଷ
ൌ ‫ݔ‬ଶ.ଷ
ൌ ‫ݔ‬଺
b) ሺ 2ଶ
. ‫ݐ‬ିଵ
ሻଶ
ൌ ሺ2ଶሻଶ
. ሺ‫ݐ‬ିଵ
ሻଶ
ൌ 2ସ
. ൌ 16 . ‫ݐ‬ିଶ
Propriedades de potência de expoente racional: Sejam os números ܽ, ܾ ‫א‬ Թ, ሺܽ, ܾ ൐ 0ሻ,
௣
௤
,
௥
௦
‫א‬ Է.
P1 ) ܽ
೛
೜ . ܽ
ೝ
ೞ ൌ ܽ
೛
೜
ା
ೝ
ೞ
P2 ) ܽ
೛
೜ ‫׷‬ ܽ
ೝ
ೞ ൌ ܽ
೛
೜
ି
ೝ
ೞ
P3 ) ሺܽ . ܾሻ
೛
೜ ൌ ܽ
೛
೜ . ܾ
೛
೜
P4 ) ሺܽ ‫׷‬ ܾሻ
೛
೜ ൌ ܽ
೛
೜ ‫׷‬ ܾ
೛
೜ ou ቀ
௔
௕
ቁ
೛
೜
ൌ
௔
೛
೜
௕
೛
೜
P5 ) ሺܽ
೛
೜ ሻ
ೝ
ೞ ൌ ܽ
೛
೜
.
ೝ
ೞ

11
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: resolver as potências abaixo, utilizando as propriedades de potência:
a) 9ହ
. 9ିହ
ൌ
b) 10ସ
. 10ି଺
ൌ
c) 12଴
. 12ଵ
. 12െ1
ൌ
d) ቀ
ଵ
଼
ቁ
ଶ
൅ 8ିଶ
ൌ
e) ቀെ
ଵ
ଷ
ቁ
ଶ
െ ቀെ
1
2
ቁ
3
ൌ
f) ሾሺെ3‫ݔ‬ ሻଷ
൅ ሺെ3ሻଶ
‫ݔ‬ଷሿ ‫׷‬ ሺെ2ሻ‫ݔ‬ଷ
ൌ
g) ሺܾܽሻସ
‫׷‬ ሺܾܽሻିସ
ൌ
h) ሺ2ଶሻିଵ
െ ሺ4ିଵሻଶ
ൌ
i) 10ସ
. 10ିଶ
. 10ିଷ
ൌ
j) 10଺
: ሾ10ସ
. 10ିଵ
ሿ ൌ
l)
ଵ଴షయ. ଵ଴ళ
ሺଵ଴మሻయ ൌ
m)
ଵ଴షమ: ଵ଴య
ሺଵ଴మሻషయ ൌ
Respostas:
a) 1 b) 0,01 c) 1 d) 1
32ൗ e) 17
72ൗ f) 9 g) ሺܾܽሻ
8
h)
ଷ
ଵ଺
i) 0,1 j) 10ଷ l) 0,01 m) 10

12
RADICIAÇÃO: É a operação inversa da potenciação.
Definição: Dado um número real não negativo ࢇ e um número natural ݊, ݊ ൒ 1, chama-se
‫ݖ݅ܽݎ‬ ݁݊é‫ܽ݉݅ݏ‬ ܽ‫݉ݐ݅ݎ‬é‫ܽܿ݅ݐ‬ ݀݁ ࢇ ‫݋‬ ݊ú݉݁‫݋ݎ‬ ‫݈ܽ݁ݎ‬ ݁ ݊ã‫݋‬ ݊݁݃ܽ‫݋ݒ݅ݐ‬ ࢈ (b൒ ૙ሻ tal que ܾ௡
ൌ ܽ, ‫ݑ݋‬ ‫݆ܽ݁ݏ‬
√ࢇ
࢔
ൌ ࢈ ֞ ࢈࢔
ൌ ࢇ onde √ ՜ ‫݈ܽܿ݅݀ܽݎ‬
ܽ ՜ radicando , ࢇ ൒ ૙
ܾ ՜ raiz , ࢈ ൒ ૙
݊ ՜ í݊݀݅ܿ݁ ݀‫݋‬ ‫,݈ܽܿ݅݀ܽݎ‬ ࢔ ൒ ૚ ࢋ ࢔ ‫א‬ Գ
√ܽ ൌ √ܽ
మ
݈ê െ ‫݁ݏ‬ ‫ݖ݅ܽݎ‬ ‫ܽ݀ܽݎ݀ܽݑݍ‬ ݀݁ ܽ
√ܽ
3
݈ê െ ‫݁ݏ‬ ‫ݖ݅ܽݎ‬ ܿúܾ݅ܿܽ ݀݁ ܽ
√ܽ
4
݈ê െ ‫݁ݏ‬ ‫ݖ݅ܽݎ‬ ‫ܽݐݎܽݑݍ‬ ݀݁ ܽ
Exemplos:
a) √16 ൌ ? ֞ ሺ ? ሻଶ
ൌ 16 , qual é o número positivo que elevado ao quadrado resulta no número 16?
Resposta: O número é 4, pois 4ଶ
ൌ 16, logo, raiz quadrada de 16 é 4, isto é, √16 ൌ 4
b) √8
య
ൌ ? ֞ ሺ ? ሻଷ
ൌ 8 ‫׵‬ √8
య
ൌ 2 ฻ 2ଷ
ൌ 8, portanto 2 é ܽ ‫ݖ݅ܽݎ‬ ܿúܾ݅ܿܽ ݀݁ 8.
c) √1
ఱ
ൌ ? ֞ ሺ ? ሻହ
ൌ 1 ‫׵‬ √1
ఱ
ൌ 1 ฻ 1ହ
ൌ 1 , portanto 1 é ܽ ‫ݖ݅ܽݎ‬ ܿúܾ݅ܿܽ ݀݁ 1.
d) √16
ర
ൌ 2 ฻ 2ସ
ൌ 16 portanto 2 é ܽ ‫ݖ݅ܽݎ‬ ‫ܽݐݎܽݑݍ‬ ݀݁ 16.
Índice Par : Quando ‫݋‬ í݊݀݅ܿ݁ ࢔ ݂‫ݎ݋‬ ܲ‫ܴܣ‬ a restrição é que ܽ ൒ 0 , pois não existe no conjunto dos números reais
raiz quadrada de número negativo, ou seja , não existe um número que elevado ao quadrado resulte em número
negativo.
√െ16 ൌ ‫׍‬ ሺ ݊ã‫݋‬ ݁‫݁ݐݏ݅ݔ‬ሻ݊‫ݏ݋‬ Թ ‫݉ݑ‬ ݊º ‫݁ݑݍ‬ ݈݁݁‫݋݀ܽݒ‬ ܽ‫݋‬ ‫݋݀ܽݎ݀ܽݑݍ‬ ‫݁ݐ݈ݑݏ݁ݎ‬ ሺെ16ሻ.
Índice Ímpar: Quando o índice for ímpar não há restrição, por exemplo, existe número que elevado ao cubo resulte
em um número negativo.
a) √െ 8
3
ൌ ? ֞ ሺ ? ሻଷ
ൌ െ8 ‫׵‬ √െ8
3
ൌ െ2 ฻ ሺെ2ሻଷ
ൌ െ8, portanto െ2 é ܽ ‫ݖ݅ܽݎ‬ ܿúܾ݅ܿܽ ݀݁ െ 8.
b) √െ243
ఱ
ൌ െ3 ฻ ሺെ3ሻହ
ൌ െ243, portanto െ3 é ܽ ‫ݖ݅ܽݎ‬ ‫ܽݐ݊݅ݑݍ‬ ݀݁ െ 243.
Exercícios: Calcular, caso exista, as raízes dos números abaixo:
a) √0 ൌ
b) √1 ൌ
c) √ 81
4
ൌ
d) √െ 27
3
ൌ
e) √െ4 ൌ
f) √െ16
4
ൌ

13
Propriedades da radiciação: a, b ‫א‬ Թା +, ܽ , ܾ ൒ 0, ݉ ‫א‬ Ժ , ሺ݊, ‫݌‬ ൒ 2ሻ ‫א‬ Գ.
P1 ) √ܽ௠೙
ൌ √ܽ௠.௣೙.೛
Ex.: √‫ݔ‬ଶ3
ൌ √‫ݔ‬ଶ.ହ3.5
ൌ √‫ݔ‬ଵ଴15
P2 ) √ܽ. ܾ
೙
ൌ √ܽ
೙
. √ܾ
೙
Ex.: ඥ‫.ݔ‬ ‫ݕ‬ ൌ √‫ݔ‬ . ඥ‫ݕ‬
P3 ) ට
௔
௕
೙
ൌ
√௔
೙
√௕
೙ ሺܾ ് 0ሻ Ex.: ට
଼
ଶ଻
య
ൌ
√଼
య
√ଶ଻
య ൌ
ଶ
ଷ
P4 ) ൫ √ܽ
೙
൯
௠
ൌ √ܽ௠೙
Ex.: ൫√ܽ
3
൯
ଷ
ൌ √ܽଷ3
ൌ ܽ
P5 ) ඥ √ܽ
೙೛
ൌ √ܽ
೛.೙
Ex.: ඥ√5
మ3
ൌ √5
3.2
ൌ √5
6
Potência de expoente racional: Sejam os números ܽ ‫א‬ Թା, ሺܽ ൐ 0ሻ, ‫݌‬ ‫א‬ Ժ , ‫ݍ‬ ‫א‬ Գ , ‫ݍ‬ ൒ 1, ݄ܿܽ݉ܽ െ ‫݁ݏ‬
ܲ‫ݐ݋‬ê݊ܿ݅ܽ ݀݁ ܾܽ‫݁ݏ‬ ࢇ ݁ ݁‫݁ݐ݊݁݋݌ݔ‬
࢖
ࢗ
ܽ ‫ݖ݅ܽݎ‬ ‫݁ݑݍ‬é‫ܽ݉݅ݏ‬ ܽ‫݉ݐ݅ݎ‬é‫ܽܿ݅ݐ‬ ݀݁ ܽ௣
.
ܽ
೛
೜ ൌ √ܽ௣೜
Exemplos:
a) 25
1
2 ൌ √25ଵమ
ൌ √25 ൌ 5
b) 8
1
3 ൌ √8ଵ3
ൌ 2
c) 2
3
2 ൌ √2ଷమ
ൌ √8
√ܽ௣೜
ൌ ܽ
೛
೜ quando o índice do radical e o expoente da base forem múltiplos entre si, podemos simplificar.
Exemplos:
a) √5ଶమ
ൌ 5
మ
మ ൌ 5ଵ
ൌ 5
b) √7ଶమ
ൌ 7
c) √4ଷ3
ൌ 4
d) √5ଶ6
ൌ √5ଵ3
ൌ √5
3
e) √5ଶ6
ൌ √5ଵ3
ൌ √5
3
f) √9ଵସ7
ൌ √9ଶ1
ൌ 9ଶ
ൌ 81
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
Resolver as operações com radicais:
a) √െ27
3
൅ √8
3
ൌ
b) ඥ3126
െ ඥ533
ൌ
c) √0 ൅ √1 ൅ √4ଷ3
– ቀ √2
4
ቁ
ସ
ൌ
Respostas a) െ1 b) 4 c) 3

14
POTÊNCIA DE 10: É a potência onde a base é o número 10. Valem todas as propriedades de potência.
10௡
ൌ ܾ
10ଵ଼
ൌ 1 000 000 000 000 000 000 ሺ ݁‫ܽݔ‬ ሻ ‫ܧ‬
10ଵହ
ൌ 1 000 000 000 000 000 ሺ ‫ܽݐ݁݌‬ ሻ ܲ
10ଵଶ
ൌ 1 000 000 000 000 ሺ ‫ܽݎ݁ݐ‬ ሻ ܶ
10ଽ
ൌ 1 000 000 000 ሺ ݃݅݃ܽ ሻ ‫ܩ‬
10଺
ൌ 1 000 000 ሺ ݉݁݃ܽ ሻ ‫ܯ‬
10ଷ
ൌ 1 000 ሺ ‫݋݈݅ݑݍ‬ ሻ ݇
10ଶ
ൌ 100 ሺ ݄݁ܿ‫݋ݐ‬ ሻ ݄
10ଵ
ൌ 10 ሺ ݀݁ܿܽ ሻ ݀ܽ
10ିଵ
ൌ 0,1 ሺ ݀݁ܿ݅ ሻ ݀
10ିଶ
ൌ 0,01 ሺ ܿ݁݊‫݅ݐ‬ ሻ ܿ
10ିଷ
ൌ 0,001 ሺ ݈݉݅݅ ሻ ݉
10ି଺
ൌ 0,000 001 ሺ ݉݅ܿ‫݋ݎ‬ ሻ ߤ
10ିଽ
ൌ 0,000 000 001 ሺ ݊ܽ݊‫݋‬ ሻ ݊
10ିଵଶ
ൌ 0,000 000 000 001 ሺ ‫݋ܿ݅݌‬ ሻ ‫݌‬
10ିଵହ
ൌ 0,000 000 000 000 001 ሺ ݂݁݊‫݋ݐ‬ ሻ ݂
10ିଵ଼
ൌ 0,000 000 000 000 000 001 ሺ ܽ‫݋ݐݐ‬ ሻ ܽ
Transformando um número decimal em potência de 10:
Exemplos:
a) 0,5 ൌ
5
10
ൌ 5
101 ൌ 5. 10ିଵ
b) 0,05 ൌ
5
100
ൌ 5
102 ൌ 5. 10ିଶ
c) 0,005 ൌ
5
1000
ൌ 5
103 ൌ 5. 10ିଷ
Deslocando-se a vírgula de um decimal para a direita, esse número fica multiplicado por 10, 100, 1 000 ..., o
expoente da potência de 10 diminui ૚૙ି૚
, ૚૙ି૛
, ૚૙ି૜
, … na mesma ordem do deslocamento da vírgula.
Resumindo, o número aumenta o expoente diminui. ܰº . 10௡
Exemplos:
a) 1,7 ൌ 1,7. 10଴
ൌ 17 . 10଴ିଵ
ൌ 17 . 10ିଵ
deslocar a vírgula 1 casa decimal para a direita, logo, o expoente na base 10 diminui 1 unidade.
b) 2,45 ൌ 2,45. 10଴
ൌ 245 . 10଴ିଶ
ൌ 245 . 10ିଶ
deslocar a vírgula 2 casas decimais à direita, logo, o expoente na base 10 diminui 2 unidades.
c) 84,052 ൌ 84052 . 10ିଷ
Exercícios : Dado o número 0,01234 escreva-o deslocando a vírgula para a direita:
a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais
b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais
c) Três casas decimais f) Seis casas decimais

15
Deslocando-se a vírgula de um número para a esquerda, esse número fica dividido por 10, 100, 1 000, ..., o
expoente da potência de 10 aumenta ૚૙૚
, ૚૙૛
, ૚૙૜
, … na mesma ordem do deslocamento da vírgula.
Resumindo, o número diminui o expoente aumenta. ܰº . 10௡
Exemplos:
a) 17 ൌ 17 . 10଴
ൌ 1,7 . 10଴ାଵ
ൌ 1,7 . 10ଵ
deslocar a vírgula 1 casa decimal para a esquerda, logo, o expoente na base 10 aumenta 1 unidade.
b) 245 ൌ 2,45 . 10ଶ
deslocar a vírgula 2 casas decimais para a direita, o expoente na base 10 aumenta 2 unidades.
Exercícios : Dado o número 1234 escreva-o deslocando a vírgula para a esquerda:
a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais
b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais
c) Três casas decimais f) Seis casas decimais
Adição e Subtração de potência de base 10:
É necessário que os expoentes da base 10 sejam iguais.Exemplos:
a) 5 . 10ଶ
൅ 4 . 10ଶ
ൌ ሺ 5 ൅ 4 ሻ10ଶ
ൌ 9 . 10ଶ
expoentes iguais
b) 29. 10ିଷ
െ 1. 10ିଷ
ൌ ሺ29 െ 1ሻ10ିଷ
ൌ 28. 10ିଷ
c) 1 .10ିଶ
൅ 3 . 10ିଶ
െ 7 . 10ିଶ
ൌ ሺ1 ൅ 3 െ 7 ሻ. 10ିଶ
ൌ െ 3 . 10ିଶ
d) 10ସ
+ 10ସ
൅ 10ସ
ൌ 1. 10ସ
൅ 1. 10ସ
൅ 1. 10ସ
ൌ ሺ1 ൅ 1 ൅ 1ሻ10ସ
ൌ 3 . 10ସ
Na adição ou subtração, quando os expoentes da base 10 não forem iguais temos que transformá-los para o
mesmo expoente. Exemplos:
a) 6 . 10ଷ
൅ 4 . 10ଶ
ൌ 60 . 10ଶ
൅ 4 . 10ଶ
ൌ ሺ 60 ൅ 4 ሻ10ଶ
ൌ 64 . 10ଶ
transformar o expoente de uma das parcelas, igualando a outra, 6 . 10ଷ
ൌ 60. 10ଶ
b) 0, 29 . 10ିଵ
െ 147. 10ିଷ
ൌ 29 . 10ିଵିଶ
െ 147. 10ିଷ
ൌ 29. 10ିଷ
െ 147. 10ିଷ
ൌ െ118 . 10ିଷ
expoentes diferentes expoentes iguais
c) 0,09 .10ିଵ
൅ 10ିଶ
െ 3 . 10ିଷ
ൌ 9 .10ିଵିଶ
൅ 10 .10ିଶିଵ
െ 3 . 10ିଷ
ൌ 9 .10ିଷ
൅ 10.10ିଷ
െ 3 . 10ିଷ
ൌ 16. 10ିଷ
expoentes diferentes expoentes iguais

16
Exercícios Propostos:
a) 15 . 10ଷ
൅ 13 . 10ଷ
ൌ
b) 21 . 10ଶ
െ 10ଶ
ൌ
c) 44 . 10ସ
൅ 4 . 10ସ
െ 8 . 10ସ
ൌ
d) 666 . 10଺
൅ 2220 . 10ହ
ൌ
e) െ5,9 . 10ିଶ
൅ 9 . 10ିଷ
ൌ
f) 6 . 10ଷ
െ 10ଷ
൅ 40 . 10ଶ
ൌ
Respostas a) 28 . 10ଷ
b) 20 . 10ଶ
c) 40 . 10ସ
d) 888 . 10଺
e) െ50 . 10ିଷ
f) 9 . 10ଷ
Multiplicação de Potência de base 10:
Multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes da base 10. Exemplos:
a) 4. 10ହ
. 2. 10ିଶ
ൌ 4 . 2 .10ହିଶ
ൌ 8 . 10ଷ
b) 8. 10ି଺
. ሺെ 3. 10ସ
ሻ ൌ 8 . (-3) .10ି଺ାସ
ൌ െ24 . 10ିଶ
c) 7. 10ହ
. 10ିଶ
. 2. 10ିଷ
ൌ 7.1.2 .10ହିଶିଷ
ൌ 14. 10଴
ൌ 14.1
Divisão de Potência de base 10:
Dividem-se os coeficientes e subtraem-se os expoentes da base 10.
Exemplos:
a)
ସ . ଵ଴ఱ
ଶ . ଵ଴షమ ൌ
ସ
ଶ
.10ହିሺିଶሻ
ൌ 2 . 10଻
b)
ଶସ . ଵ଴షల
ସ .ଵ଴య ൌ
ଶସ
ସ
. 10ି଺ିଷ
ൌ 6 . 10ିଽ
c)
ହ . ଵ଴య
ଽ .ଵ଴షభ ൌ
ହ
ଽ
. 10ଷିሺିଵሻ
ൌ 0,56 . 10ସ
d)
ଶହ.ଵ଴మାଵ଴మ
଴,ଵ.ଵ଴షర . ଶ.ଵ଴షయ ൌ
ሺଶହାଵሻ.ଵ଴మ
ሺ଴,ଵሻ.ଶ .ଵ଴షరషయ ൌ
ଶ଺.ଵ଴మ
଴,ଶ.ଵ଴షళ ൌ
ଶ଺
଴,ଶ
. 10ଶା଻
ൌ 130 . 10ଽ

17
Resolver as operações de potência de base 10:
a) 23. 10ିହ
൅ 0,023. 10ିଶ
ൌ
b) 99 . 10ଷ
െ 89. 10ଷ
൅ 90 . 10ଶ
ൌ
c)
ଶ .ଵ଴మା ଷ,ଷ .ଵ଴య
ିଵଵ .ଵ଴షర ା ଶଵ. ଵ଴షర ൌ
d)
48 .10
7
൅2 .10
7,
10
6
൅ 4 .10
6 ൌ
e)
ଵ
ଶ
. 10଻
൅
ଶ
ଷ
. 10଻
ൌ
f) 2 ሺ 2.10଺
െ 4. 10଺ ሻ ൅ 5 ሺ 2 . 10ହ
൅ 10ହሻ ൌ
g)
ଷ
ହ
. 10ସ
െ
ଵ
ଶ
. 10ଷ
ൌ
h) െ
1
4
. 10ିଶ
൅
ଶ
ଷ
. 10ିଷ
൅ 10ିଷ
ൌ
Respostas:
a) 46. 10ିହ b) 19. 10ଷ
c) 35. 10ହ d) 10ଶ
e) 1,17.10଻
fሻ െ 25. 10ହ g) 5,5. 10ଷ h) െ0,83. ..

18
POLINÔMIOS:
Monômio: Na variável ‫ݔ‬ é uma expressão do tipo ࢇ ࢞࢔
onde ࢇ ൌ ܿ‫݁ݐ݂݊݁݅ܿ݅݁݋‬ ݀‫݋‬ ݉‫݊݋‬ô݉݅‫,݋‬ ࢇ ‫א‬ ԧ.
࢔ ൌ ݃‫ݑܽݎ‬ ݀‫݋‬ ݉‫݊݋‬ô݉݅‫,݋‬ ࢔ ‫א‬ Գ.
Grau do monômio: É o expoente da variável.
Exemplo:
a) 4 ‫ݔ‬ଶ
é um monômio na variável ‫ݔ‬ de 4 ൌ ܿ‫݁ݐ݂݊݁݅ܿ݅݁݋‬ ݀‫݋‬ ݉‫݊݋‬ô݉݅‫݋‬
2 ൌ ݃‫ݑܽݎ‬ ݀‫݋‬ ݉‫݊݋‬ô݉݅‫݋‬ ‫׵‬ ݉‫݊݋‬ô݉݅‫݋‬ é ݀݁ 2º ݃‫ݑܽݎ‬
b) 6 ‫ݕ‬ é um monômio na variável ‫ݕ‬ de coeficiente 6 e grau 1.
c)
ହ
ଶ
‫ݐ‬ é um monômio na variável ‫ݐ‬ de coeficiente
5
2
e grau 1.
d) 9 é um monômio de coeficiente 9 e grau 0.
e) 0 é um monômio de coeficiente 0 e sem definição de grau.
f) 8‫ݔ‬ିଶ
não é monômio pois contraria a definição , o expoente tem que ser um número natural, e െ૛ ‫א‬ Գ.
g) 3‫ݔ‬ଵ ଶ⁄
não é monômio pois contraria a definição , o expoente tem que ser um número natural, e
૚
૛
‫א‬ Գ.
POLINÔMIO: Representa a soma algébrica de monômios na mesma variável.
Pሺxሻ ൌ ܽ௡‫ݔ‬௡
൅ ܽ௡ିଵ‫ݔ‬௡ିଵ
൅ ܽ௡ିଶ‫ݔ‬௡ିଶ
൅ ‫ڮ‬ ൅ ܽଶ‫ݔ‬ଶ
൅ ܽଵ‫ݔ‬ଵ
൅ ܽ଴
Os números complexos ( ܽ௡, ܽ௡ିଵ, ܽ௡ିଶ, … , ܽଶ, ܽଵ, ܽ଴ሻ ‫ݏ‬ã‫݋‬ ‫ݏ݋‬ ܿ‫݁ݐ݂݊݁݅ܿ݅݁݋‬ ݀‫݋‬ ‫݈݊݅݋݌‬ô݉݅‫݋‬ de variável ‫ݔ‬ e ࢔ ‫א‬ Գ.
Grau do Polinômio: É o expoente de maior grau entre os monômios de mesma variável.
Exemplo:
a) 3‫ݔ‬ଶ
൅ 2‫ݔ‬ െ 1 é um polinômio de 2º grau de variável ‫ݔ‬ e coeficiente 3.
b) 12‫ݐ‬ െ 5 é um polinômio de 1º grau de variável ‫ݐ‬ e coeficiente 12.
c) 9‫ݔ‬ଷ
൅ 2‫ݔ‬ଶ
െ 3‫ݔ‬ ൅ 7 é um polinômio de 3º grau de variável ‫ݔ‬ e coeficiente9.
Exercícios Propostos: Para cada polinômio abaixo, identificar o grau e o seu respectivo coeficiente e variável:
a) 2‫ݔ‬ସ
൅ 3‫ݔ‬ଷ
െ 3‫ݔ‬ଶ
൅ 8‫ݔ‬ െ 1
b) െ4‫ݐ‬ଶ
൅ ‫ݐ‬ െ 1
c) ܾܽ‫ݔ‬ଶ
൅ ܽ‫ݔ‬ െ ܾ

19
Adição e Subtração de polinômios: Somam-se os coeficientes dos monômios de mesmo grau.
Exemplo
a) 3‫ݔ‬ଶ
൅ 2‫ݔ‬ െ 1 ൅ 9‫ݔ‬ଷ
൅ 2‫ݔ‬ଶ
െ 3‫ݔ‬ ൅ 7 ൌ 9‫ݔ‬ଷ
൅ ሺ3 ൅ 2ሻ‫ݔ‬ଶ
൅ ሺ2 െ 3ሻ‫ݔ‬ െ 1 ൅ 7 ൌ ૢ࢞૜
൅ ૞࢞૛
െ ࢞ ൅ ૟
b) 7‫ݔ‬ଷ
െ 5‫ݔ‬ଶ
൅ 2‫ݔ‬ ൅ 1 െ ሺ െ‫ݔ‬ଷ
൅ 2‫ݔ‬ଶ
െ 4‫ݔ‬ ൅ 3ሻ ൌ trocar o sinal de cada monômio dentro do parênteses.
7‫ݔ‬ଷ
െ 5‫ݔ‬ଶ
൅ 2‫ݔ‬ ൅ 1 ൅ ‫ݔ‬ଷ
െ 2‫ݔ‬ଶ
൅ 4‫ݔ‬ െ 3 ൌ somar os coeficientes dos monômios de mesmo grau.
8‫ݔ‬ଷ
െ 7‫ݔ‬ଶ
൅ 6‫ݔ‬ െ 2
Produto de Polinômios: aplicamos a propriedade distributiva. Multiplicamos cada monômio do primeiro fator com
todos os monômios do segundo fator, não se esquecendo de aplicar as propriedades de potenciação.
Propriedade Distributiva: ሺܽ ൅ ܾሻ. ሺ ܿ ൅ ݀ሻ ൌ ܽ . ܿ ൅ ܽ . ݀ ൅ ܾ. ܿ ൅ ܾ. ݀
Exemplo:
a) ሺ2‫ݔ‬ ൅ 5ሻ . ሺ‫ݔ‬ െ 1ሻ ൌ 2‫.ݔ‬ ‫ݔ‬ െ 2‫.ݔ‬ 1 ൅ 5. ‫ݔ‬ െ 5.1
ൌ 2‫ݔ‬ଶ
െ 2‫ݔ‬ ൅ 5‫ݔ‬ െ 5
ൌ 2‫ݔ‬ଶ
൅ 3‫ݔ‬ െ 5
b) ‫ݔ‬ . ሺ‫ݔ‬ െ 1ሻ ൌ ‫.ݔ‬ ‫ݔ‬ െ ‫.ݔ‬ 1
ൌ ‫ݔ‬ଶ
െ ‫ݔ‬
c) 2‫ݔ‬ଶሺ ‫ݔ‬ െ 3ሻ ൌ 2‫ݔ‬ଶ
. ‫ݔ‬ െ 2.3‫ݔ‬ଶ
ൌ 2‫ݔ‬ଷ
െ 6‫ݔ‬ଶ
d) ( 3‫ݔ‬ଶ
൅ 2‫ݔ‬ െ 1) . (8‫ݔ‬ଷ
െ 7‫ݔ‬ଶ
൅ 6‫ݔ‬ െ 2ሻ ൌ
3.8‫ݔ‬ଶାଷ
െ 3.7‫ݔ‬ଶାଶ
൅ 3.6‫ݔ‬ଶାଵ
െ 3.2‫ݔ‬ଶ
൅ 2.8‫ݔ‬ଵାଷ
െ 2.7‫ݔ‬ଵାଶ
൅ 2.6‫ݔ‬ଵାଵ
െ 2.2‫ݔ‬ െ 1.8‫ݔ‬ଷ
൅ 1.7‫ݔ‬ଶ
െ 1.6‫ݔ‬ ൅ 1.2 ൌ
24‫ݔ‬ହ
െ 21‫ݔ‬ସ
൅ 18‫ݔ‬ଷ
െ 6‫ݔ‬ଶ
൅ 16‫ݔ‬ସ
െ 14‫ݔ‬ଷ
൅ 12‫ݔ‬ଶ
െ 4‫ݔ‬ െ 8‫ݔ‬ଷ
൅ 7‫ݔ‬ଶ
െ 6‫ݔ‬ ൅ 2 ൌ
24‫ݔ‬ହ
൅ ሺെ21 ൅ 16ሻ‫ݔ‬ସ
൅ ሺ18 െ 14 െ 8ሻ‫ݔ‬ଷ
൅ ሺെ6 ൅ 12 ൅ 7ሻ‫ݔ‬ଶ
൅ ሺെ4 െ 6ሻ‫ݔ‬ ൅ 2 ൌ
24‫ݔ‬ହ
െ 5‫ݔ‬ସ
െ 4‫ݔ‬ଷ
൅ 13‫ݔ‬ଶ
െ 10‫ݔ‬ ൅ 2
Divisão de Polinômios: O divisor é um polinômio não nulo (് 0ሻ.
(8‫ݔ‬ଷ
െ 4‫ݔ‬ଶ
൅ 6‫ݔ‬ െ 2) : ( 2‫ݔ‬ଶ
൅ 3‫ݔ‬ െ 5 ሻ ൌ 8‫ݔ‬ଷ
െ 4‫ݔ‬ଶ
൅ 6‫ݔ‬ െ 2 2‫ݔ‬ଶ
൅ 3‫ݔ‬ െ 5 ሺ് 0ሻ
െ8‫ݔ‬ଷ
െ 12‫ݔ‬ଶ
൅ 20‫ݔ‬ 4‫ݔ‬ െ 8
0 െ16‫ݔ‬ଶ
൅ 26‫ݔ‬ െ 2
16‫ݔ‬ଶ
൅ 24‫ݔ‬ െ 40
0 50‫ݔ‬ െ 42 (Resto)
Exercícios propostos: Calcular as operações com os polinômios abaixo:
a) െ5‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݔ‬ ൅ 2 െ ‫ݔ‬ሺ6‫ݔ‬ െ 2ሻ ൌ b) ሺ3‫ݔ‬ଶ
െ 7‫ݔ‬ ൅ 1ሻ‫ݔ‬ ൌ

20
Produtos notáveis:
1) Trinômio do Quadrado Perfeito: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais
duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
ሺ‫ݔ‬ ൅ ‫ݕ‬ሻଶ
ൌ ‫ݔ‬ଶ
൅ 2. ‫.ݔ‬ ‫ݕ‬ ൅ ‫ݕ‬ଶ
Demonstração:
ൌ ሺ‫ݔ‬ ൅ ‫ݕ‬ሻ. ሺ‫ݔ‬ ൅ ‫ݕ‬ሻ ൌ ܽ‫݋݈݀݊ܽܿ݅݌‬ ܽ ‫݁݀ܽ݀݁݅ݎ݌݋ݎ݌‬ ݀݅‫ܽݒ݅ݐݑܾ݅ݎݐݏ‬ ‫ݏ݋݉݁ݐ‬
ൌ ‫ݔ‬ଶ
൅ 2. ‫.ݔ‬ ‫ݕ‬ ൅ ‫ݕ‬ଶ
Exemplo:
ሺ‫ݔ‬ ൅ 5ሻଶ
ൌ ‫ݔ‬ଶ
൅ 2. ‫ݔ‬ .5 ൅ 5ଶ
ൌ ‫ݔ‬ଶ
൅ 10‫ݔ‬ ൅ 25
2) O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do
primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
ሺ‫ݔ‬ െ ‫ݕ‬ሻଶ
ൌ ‫ݔ‬ଶ
െ 2. ‫.ݔ‬ ‫ݕ‬ ൅ ‫ݕ‬ଶ
Demonstração:
ൌ ሺ‫ݔ‬ െ ‫ݕ‬ሻ. ሺ‫ݔ‬ െ ‫ݕ‬ሻ ൌ ܽ‫݋݈݀݊ܽܿ݅݌‬ ܽ ‫݁݀ܽ݀݁݅ݎ݌݋ݎ݌‬ ݀݅‫ܽݒ݅ݐݑܾ݅ݎݐݏ‬ ‫ݏ݋݉݁ݐ‬
ൌ ‫ݔ‬ଶ
െ 2. ‫.ݔ‬ ‫ݕ‬ ൅ ‫ݕ‬ଶ
Exemplo:
ሺ2 െ ܽሻଶ
ൌ 2ଶ
െ 2.2. ܽ ൅ ܽଶ
ൌ 2 െ 4ܽ ൅ ܽଶ
3) O Produto da soma pela diferença é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
ሺ ‫ݔ‬ ൅ ‫ݕ‬ ሻ . ሺ ‫ݔ‬ െ ‫ݕ‬ ሻ ൌ ‫ݔ‬ଶ
െ ‫ݕ‬ଶ
Exemplos:
a) ሺ ‫ݔ‬ ൅ 3 ሻ. ሺ ‫ݔ‬ െ 3 ሻ ൌ ‫ݔ‬ଶ
െ 3ଶ
ൌ ࢞૛
െ ૢ
b) ሺ ܽ െ 4 ሻ. ሺ ܽ ൅ 4 ሻ ൌ ࢇ૛
െ ૚૟
c) ሺ 2‫ݔ‬ ൅ 5 ሻ. ሺ 2‫ݔ‬ െ 5 ሻ ൌ ሺ 2‫ݔ‬ ሻଶ
െ 5ଶ
ൌ ૝࢞૛
െ ૛૞
d) ൫ 6࢞૛
െ 1൯. ൫ 6࢞૛
൅ 1൯ ൌ ሺ 6࢞૛
ሻଶ
െ 1ଶ
ൌ ૜૟࢞૝
െ ૚

21
Exercícios propostos: Calcular os produtos abaixo:
a) ሺ 2‫ݐ‬ ൅ 3 ሻ. ሺ 2‫ݐ‬ െ 3 ሻ ൌ
b) 5‫ݔ‬ሺ 4 െ ܽ ሻ ൌ
c) ሺ ‫ݐ‬ଶ
െ 7 ሻ. ሺ‫ݐ‬ଶ
൅ 7 ሻ ൌ
d) ሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻଶ
െ ‫ݔ‬ ൅ 1 ൌ
Fatoração de polinômios: É escrever esse polinômio como uma multiplicação de dois ou mais polinômios.
Exemplos:
a) Fatorar o polinômio 2ܽ2‫ݔ‬5 ൅ 4ܽ3‫ݔ‬3
Podemos escrever o polinômio desta maneira:
૛ࢇ૛
‫ݔ‬ଶ
. ࢞૜
൅ 2. ૛ࢇ૛
. ܽ. ࢞૜
ൌ ૛ࢇ૛
࢞૜
. ሺ‫ݔ‬ଶ
൅ 2 ܽሻ
Foi colocado em evidência :
o maior divisor comum dos números ‫׷‬ ݉.݀. ܿ. ሺ4 , 2ሻ ൌ ૛
e as potências repetidas de menor expoente: ࢇ૛
࢞૜
b) Fatorar o polinômio 6‫ݔ‬2 െ 3‫ݔ‬
6‫ݔ‬ଶ
െ 3‫ݔ‬ ൌ ૜࢞ ሺ 2‫ݔ‬ െ 1 ሻ , ݉. ݀. ܿ. ሺ6 , 3ሻ ൌ ૜
menor expoente: ࢞
c) Fatorar o polinômio 6 ‫ݔ‬4 ൅ 4‫ݔ‬3 െ 12‫ݔ‬2
6 ‫ݔ‬ସ
൅ 4‫ݔ‬ଷ
െ 12‫ݔ‬ଶ
ൌ 2 ‫ݔ‬ଶ
ሺ3 ‫ݔ‬ଶ
൅ 2‫ݔ‬ െ 6 ሻ ݉. ݀. ܿ. ሺ6, 4 , 12ሻ ൌ ૛
menor expoente: ࢞૛
d) Fatorar o polinômio 8ܽସ
ܾହ
൅ 20ܽଷ
ܾଶ
8ܽସ
ܾହ
൅ 20ܽଷ
ܾଶ
ൌ 2. ૝. ࢇ૛
. ܽଶ
. ࢈૛
. ܾଷ
൅ 5. ૝. ܽ. ࢇ૛
. ࢈૛
݉. ݀. ܿ. ሺ8, 20ሻ ൌ ૝
ൌ 4ܽଶ
ܾଶ
ሺ 2ܽଶ
ܾଷ
൅ 5ܽ ሻ menor expoente: ࢇ૛
࢈૛

22
Frações algébricas: O quociente de dois polinômios, indicado na forma fracionária, na qual duas ou mais variáveis
aparecem no denominador, tendo o denominador não nulo ( ് 0ሻ.
Exemplos de frações algébricas:
௫
2‫ݔ‬2
൅3‫ݔ‬െ5
,
ହ
௫ାହ
,
௫
௫ିଵ
Adição e Subtração de frações algébricas:
a)
௫
ଶ௫మ ൅
ଶ
ଷ௫
ൌ
ଷ.௫
଺௫మ ൅
ଶ.ଶ௫
଺௫మ ൌ
ଷ௫ାସ௫
଺௫మ ൌ
଻௫
଺௫మ ൌ
଻
଺௫
m.m.c (2 , ‫ݔ‬ଶ
, 3 , ‫ݔ‬ሻ 2
1, ‫ݔ‬ଶ
, 3 , ‫ݔ‬ 3
1, ‫ݔ‬ଶ
, 1 , ‫ݔ‬ ‫ݔ‬
1, ‫ݔ‬ , 1, 1 ‫ݔ‬
1, 1 , 1, 1 6‫ݔ‬ଶ
b)
௫
௫ି௬
൅
ଵ
௫ା௬
൅
௬ି௫
௫మି௬మ ൌ
௫.ሺ௫ା௬ሻ
ሺ௫ି௬ሻ.ሺ௫ା௬ሻ
൅
ଵ.ሺ௫ି௬ሻ
൅
௬ି௫
ൌ
ൌ ‫ݔ‬2൅‫ݕ.ݔ‬൅‫ݔ‬െ‫ݕ‬൅‫ݕ‬െ‫ݔ‬
൫‫ݔ‬െ‫ݕ‬൯.ሺ‫ݔ‬൅‫ݕ‬ሻ
ൌ ‫ݔ‬2൅‫ݕ.ݔ‬
൫‫ݔ‬െ‫ݕ‬൯.ሺ‫ݔ‬൅‫ݕ‬ሻ
ൌ ‫ݔ‬ሺ‫ݔ‬൅‫ݕ‬ሻ
൫‫ݔ‬െ‫ݕ‬൯.ሺ‫ݔ‬൅‫ݕ‬ሻ
ൌ ‫ݔ‬
൫‫ݔ‬െ‫ݕ‬൯
Multiplicação e Divisão de frações algébricas:
a)
௫
ሺ௫ି௬ሻ
.
௫య
ሺ௫ା௬ሻ
ൌ
௫.௫య
ൌ
௫ర
௫మି௬మ
b)
ሺ௫ି௬ሻయ
ሺ௫ା௬ሻ
:
ሺ௫ା௬ሻ
ሺ௫ି௬ሻమ ൌ
ሺ௫ି௬ሻయ
ሺ௫ା௬ሻ
.
ሺ௫ି௬ሻమ
ሺ௫ା௬ሻ
ൌ
ሺ௫ି௬ሻఱ
ሺ௫ା௬ሻ2
Atenção:
Só podemos simplificar frações algébricas quando tiver produto no numerador, denominador ou em ambos.
É errado: simplificar frações algébricas onde tem adição ou subtração no numerador,denominador ou em ambos.
௫
௫ ା ଵ
errado
௫ ି ଵ
௫
errado
௫ ା ଵ
௫ ି ଵ
errado

23
Exercícios: Resolver as frações algébricas abaixo:
a)
1
‫ݔ‬ െ1
‫ݔ‬ ൅ 1
ൌ
b)
ସ௫ାଷ
ଷ௫
൅
଺
௫మ െ
ଵ
௫
ൌ
c)
ଵ
௫య ൅
ଵଶ
௫మ െ
ଷ
௫
ൌ
d)
‫ݔ‬൅1
‫ݔ‬
ା ௫
௫
ൌ
e)
ଶ
ଷ௫య ൅
ଵ
௫మ െ
ସ௫
ଷ
ൌ
f)
ସ ௫
ଷ
െ
ଵ
଺௫
൅ 1 ൌ
Respostas:
a)
௫
ଶ௫ିଵ b)
ସ௫మାଵ଼
ଷ௫మ
c)
ଵାଵଶ௫ିଷ௫మ
௫య
d)
௫మା ௫ ାଵ
௫మ
e)
ଶାଷ௫ିସ௫ర
ଷ௫మ
f)
଼௫మା଺௫ିଵ
଺௫

24
EXERCÍCIOS DE REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA
1) Resolver as expressões algébricas:
a) { 7‫ݔ‬ െ ሾ 3‫ݔ‬ሺ ‫ݔ‬ െ 1ሻ െ 6‫ݔ‬ሿ ൅
3‫ݔ‬3
‫ݔ‬
ሽ ൌ b) 3‫ݔ‬ଶ
. 7‫ݔ‬ଷ
൅ 13‫ݔ‬ହ
൅ 3‫ݔ‬ଶ
. ‫ݔ‬ . ሺെ2‫ݔ‬ଶሻ ൌ
2) Resolver as operações de potências de base 10:
a) 5 . 10ଽ
൅ 8 . 10ଽ
െ 3. 10ଽ
ൌ
b)
ଵ଺ .ଵ଴షమା ଶ.ଵ଴షమ
ଶ.ଵ଴య . ଵ଴య ൌ
c)
ଵ଴లା ଵ଴ల
ଵ଴షభ . ଵ଴షఱ ൌ
d)
ଵଶ,ଷ .ଵ଴షయ ି ଼,ଷ . ଵ଴షయ
ଶ.ଵ଴య . ଵ଴షయ ൌ
e)
ସ .ଵ଴భమ . ଼ .ଵ଴షమ
ଶଶ .ଵ଴ఱାଵ଴ .ଵ଴ఱ ൌ
3) Resolver as equações :
a)
ଶି௔
ଷ௫
൅
௕
ଶ௫
ൌ െ 1 b)
଺
ହ௫
െ
ଵ
ଶ௫మ െ
ଵଵ
ସ
ൌ െ
ହହ
ଶ଴
c) െ2‫ݔ‬ ൅ 15 ൌ െሺ 5 െ 8‫ݔ‬ ሻ d)
ହ௫
ଽ
൅
ଶሺ௫ାଵሻ
ଷ
ൌ െ
௫
ଽ
e)
଼௫ା଻
଻
ൌ
ଶ௫ାଵ
ଷ
f)
ଷమ௫ ି ଼
ଶమ ൌ 4‫ݔ‬ ൅ 5
Respostas:
1a) 16‫ݔ‬
1b) 28‫ݔ‬ହ
2a) 10ଵ଴
2b) 9. 10ି8
2c) 2. 10ଵଶ
2d) 2. 10ିଷ
2e)10ହ
3a)
2ܽെ3ܾെ4
6
3b)
ହ
ଵଶ 3c) 2 3d) െ
1
2
3e) െ1,4 3f) െ4

25
FUNÇÕES:
Função é uma relação que existe entre duas grandezas, tal que uma depende da outra.
Exemplo:
a) A área do quadrado depende do lado do quadrado, então dizemos que a área está em função do lado e
escrevemos ‫ܣ‬ ൌ ݂ሺ ℓ ሻ. Se ℓ varia então ‫ܣ‬ varia.
b) ‫ܥ‬ ൌ ݂ሺ ‫ݎ‬ ሻ, ܿ‫݋ݐ݊݁݉݅ݎ݌݉݋‬ ݀ܽ ܿ݅‫ݎ݂݁݊ݑܿݎ‬ê݊ܿ݅ܽ ݁݉ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ݀‫݋‬ ‫.݋݅ܽݎ‬
cሻ ܸ ൌ ݂ሺ ‫ݐ‬ ሻ , ‫݁݀ܽ݀݅ܿ݋݈݁ݒ‬ ݁݉ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ݀‫݋‬ ‫.݋݌݉݁ݐ‬
Notação de Função: ࢌ: Թ ՜ Թ ࡰ࢕࢓í࢔࢏࢕ ሺԹሻ ՜ contra-domínio ( Թሻ
࢞ ՜ ࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ
݂ é uma função dos Reais nos Reais, onde para todo elemento ࢞ ‫א‬ ࡰ࢕࢓í࢔࢏࢕ ሺԹሻ existe em correpondência um
único elemento ࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ ‫א‬ contra-domínio(Թሻ queé asuaimagem.
Definição de função: Sejam ࢞ ݁ ࢟ variáveis, tais que para cada valor atribuído a ࢞ existe em correspondência
um único valor ‫ܡ‬ . Dizemos que ࢟ é uma função de ‫ݔ‬ e representamos por
࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ ࢞ ൌ ‫݅ݎܽݒ‬á‫݈݁ݒ‬ ݈݅‫݁ݎݒ‬ ‫ݑ݋‬ ݅݊݀݁‫݁ݐ݊݁݀݊݁݌‬ ݁
࢟ ൌ ‫݅ݎܽݒ‬á‫݈݁ݒ‬ ݀݁‫݁ݐ݊݁݀݊݁݌‬
PLANO CARTESIANO:
O plano cartesiano Թ ૛
é representado pelos eixos das
abscissas, ݁݅‫݋ݔ‬ ‫ݔ‬ ൌ ࡰ࢕࢓݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ Թ
ordenadas, ݁݅‫݋ݔ‬ ‫ݕ‬ ൌ ࡵ࢓݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ Թ .
ܳ‫1:݁ݐ݊ܽݎ݀ܽݑ‬º. 2º , 3º ݁ 4º
Os eixos se cruzam na origem do sistema, no ponto ܲሺ0,0ሻ, formando quatro regiões chamadas de quadrantes.
‫ݕ‬ ( contra-domínio)
૛º ࡽ࢛ࢇࢊ࢘ࢇ࢔࢚ࢋ ૚º ࡽ࢛ࢇࢊ࢘ࢇ࢔࢚ࢋ
ሺ࢞ ൏ 0, ‫ݕ‬ ൐ 0ሻ ሺ࢞ ൐ 0, ‫ݕ‬ ൐ 0ሻ
0 ࢞ ( domínio da função )
૜º ࡽ࢛ࢇࢊ࢘ࢇ࢔࢚ࢋ ૝º ࡽ࢛ࢇࢊ࢘ࢇ࢔࢚ࢋ
ሺ࢞ ൏ 0, ‫ݕ‬ ൏ 0ሻ ሺ࢞ ൐ 0, ‫ݕ‬ ൏ 0ሻ

26
Representando no plano cartesiano o ponto P de coordenadas ܲሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ.
‫ݕ‬
݂ሺ‫ݔ‬ሻ - - - - - -ࡼ ሺ abscissa, ordenada ሻ
0 ‫ݔ‬ ‫ݔ‬
Exercícios:
Representar no plano cartesiano os pontos abaixo:
ܲሺ 2 , 2 ሻ ‫ݕ‬
ܳሺെ1 , 2ሻ 4
ܴሺ 3 , െ2ሻ 3
ܵ ቀ
ଵ
ଶ
, 3ቁ 2
ܶሺെ3 , 0ሻ 1
ܷሺ 0 , 1ሻ ... - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... ‫ݔ‬
ܸሺെ4 , െ3ሻ - 1
- 2
- 3
Construindo Gráficos de Funções: Seja a função ࢟ ൌ ૛࢞ com domínio nos reais
1º Passo: Atribuímos valores para a variável independente ࢞, encontramos as imagens que são os valores de ࢟
2º Passo: As coordenadas ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ colocamos no plano cartesiano
3º Passo: Traçamos a função que passa pelos pontos encontrados.
‫ݔ‬ ࢟ ൌ ૛࢞ ܲሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ
െ2 ‫ݕ‬ ൌ 2. ሺെ2ሻ ൌ െ4 ሺെ 2 , െ4ሻ ‫ݕ‬
െ1 ‫ݕ‬ ൌ 2. ሺെ1ሻ ൌ െ2 ሺെ1 , െ2ሻ 4 .
0 ‫ݕ‬ ൌ 2 . 0 ൌ 0 ሺ 0 , 0ሻ 3
1 ‫ݕ‬ ൌ 2 . 1 ൌ 2 ሺ 1 , 2ሻ 2 .
2 ‫ݕ‬ ൌ 2 . 2 ൌ 4 ሺ2 , 4ሻ 1
... - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4... ‫ݔ‬
- 1
. - 2
- 3
. – 4
Exercícios: Construir os gráficos das funções:
a) ‫ݕ‬ ൌ 2‫ݔ‬ ൅ 1
ܾሻ ‫ݕ‬ ൌ 2‫ݔ‬ െ 1
c) ‫ݕ‬ ൌ െ2‫ݔ‬ ൅ 1
d) ‫ݕ‬ ൌ െ2‫ݔ‬ െ 1
e) ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬
f) ‫ݕ‬ ൌ െ‫ݔ‬
‫ݔ‬ , ‫ݕ‬

27
Função Crescente: Seja a função ࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ e sejam ࢞૚ e ࢞૛ elementos do domínio da função com ࢞૛ ൐ ‫ݔ‬૚ ,
dizemos que a função é Crescente se as imagens
݂ሺ‫ݔ‬ଶሻ ൐ ݂ሺ ‫ݔ‬ଵ )
Função Decrescente: Seja a função ࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ e sejam ࢞૚ e ࢞૛ elementos do domínio da função com ࢞૛ ൐ ‫ݔ‬૚,
dizemos que a função é Decrescente se as imagens
݂ሺ‫ݔ‬ଶሻ ൏ ݂ሺ ‫ݔ‬ଵ )
Função Constante: Seja a função ࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ e sejam ࢞૚ e ࢞૛ elementos do domínio da função com ࢞૛ ൐ ‫ݔ‬૚,
dizemos que a função é Constante se as imagens
݂ሺ‫ݔ‬ଵሻ ൌ ݂ሺ ‫ݔ‬ଶ ).
Exemplo:
A função é crescente nos intervalos:
‫ݕ‬ ‫ܥ‬ ൑ ‫ݔ‬ ൑ ‫ܦ‬ e ‫ܪ‬ ൑ ‫ݔ‬ ൑ ‫ܬ‬
D E
࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ
A B C F G H I J
0 ‫ݔ‬ A função é decrescente nos intervalos:
‫ܣ‬ ൑ ‫ݔ‬ ൑ ‫ܤ‬ ݁ ‫ܧ‬ ൑ ‫ݔ‬ ൑ ‫ܩ‬
A função é constante nos intervalos:
‫ܤ‬ ൑ ‫ݔ‬ ൑ ‫,ܥ‬ ‫ܦ‬ ൑ ‫ݔ‬ ൑ ‫ܧ‬ , ‫ܩ‬ ൑ ‫ݔ‬ ൑ ‫ܪ‬
Exercícios:
Observando o esboço das funções nos gráficos, indique os intervalos do domínio onde a função for crescente,
decrescente ou constante.
‫ݕ‬ ‫ݕ‬ ‫ݕ‬ ‫ݕ‬
4 8 1 1
0 2 4 6 8 10 ‫ݔ‬ 0 5 10 15 ‫ݔ‬ 0 ‫ݔ‬ 0 ‫ݔ‬

28
Função Linear: ࢟ ൌ ࢇ࢞ ൅ ࢈
ࢇ ൌ Coeficiente Angular da reta: ܽ ൌ ‫݃ݐ‬ ߠ ൌ
௬
௫
ࢇ ് ૙
É o valor da reta tangente à função com o eixo das abscissas.
Se a função é crescente o coeficiente angular ࢇ é positivo, ࢇ ൐ 0.
Se a função é decrescente o coeficiente angular ࢇ é negativo, ࢇ ൏ 0.
Se a função é constante o coeficiente angular ࢇ ൌ ‫݃ݐ‬ 90° , ‫׍‬ ‫݃ݐ‬ 90°, logo ࢇ não está definido.
࢈ ൌ Coeficiente Linear da reta:
É o valor da ordenada quando a função corta o eixo das ordenadas no ponto ܲሺ 0 , ‫ݕ‬ሻ.
Exemplos: Sejam as funções,
1
‫ݕ‬ ൌ 2‫ݔ‬ ൅ 1 Coeϐiciente Angular ܽ ൌ 2 ‫׵‬ 2 ൐ 0 ՜ ݂ ܿ‫݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬
Coeficiente Linear ܾ ൌ 1 ‫׵‬ corta o eixo y no ponto ܲሺ 0 , 1ሻ.
‫ݕ‬ ൌ 2‫ݔ‬ െ 1 Coeϐiciente Angular ܽ ൌ 2 ‫׵‬ 2 ൐ 0 ՜ ݂ ܿ‫݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬
Coeficiente Linear ܾ ൌ െ1 ‫׵‬ corta o eixo y no ponto ܲሺ 0 , െ1ሻ. -1
‫ݕ‬ ൌ െ2‫ݔ‬ ൅ 1 Coeϐiciente Angular ܽ ൌ െ2 ‫׵‬ 2 ൏ 0 ՜ ݂ ݀݁ܿ‫݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ 1
‫ݕ‬ ൌ െ2‫ݔ‬ െ 1 Coeϐiciente Angular ܽ ൌ െ2 ‫׵‬ 2 ൏ 0 ՜ ݂ ݀݁ܿ‫݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬
Coeficiente Linear ܾ ൌ െ1 ‫׵‬ corta o eixo y no ponto ܲሺ 0 , െ1ሻ.
-1
‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ Coeϐiciente Angular ܽ ൌ 1 ‫׵‬ 1 ൐ 0 ՜ ݂ ܿ‫݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬
0
‫ݕ‬ ൌ െ‫ݔ‬ Coeϐiciente Angular ܽ ൌ 2 െ 1 ‫׵‬ െ1 ൏ 0 ՜ ݂ ݀݁ܿ‫݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬
0
‫ݕ‬ ൌ 3 Coeϐiciente Angular ܽ ൌ ݊ã‫݋‬ ݁‫ݐݏ‬á ݂݀݁݅݊݅݀‫݋‬ ՜ ݂ ܿ‫݁ݐ݊ܽݐݏ݊݋‬ 3
Coeficiente Linear ܾ ൌ 3 ‫׵‬ corta o eixo y no ponto ܲሺ ‫ݔ‬ , 3ሻ.
‫ݕ‬ ൌ െ3 Coeϐiciente Angular ܽ ൌ ݊ã‫݋‬ ݁‫ݐݏ‬á ݂݀݁݅݊݅݀‫݋‬ ՜ ݂ ܿ‫݁ݐ݊ܽݐݏ݊݋‬
Coeficiente Linear ܾ ൌ െ3 ‫׵‬ corta o eixo y no ponto ܲሺ ‫ݔ‬ , െ3ሻ.
-3

29
݂ଵ
Exercícios:
Determine os valores do coeficiente angular ࢇ e coeficiente linear ࢈ das funções ݂ଵ e ݂ଶ ,nos gráficos abaixo:
a) b)
‫ݕ‬ ‫ݕ‬
4 ݂ଵ ݂ଵ ݂ଶ
5
0 3 6 9 ‫ݔ‬ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 ‫ݔ‬
-5
c)
‫ݕ‬ d) ‫ݕ‬
6 ݂ଵ ݂ଶ 35 ݂ଵ
݂ଶ
0 2 4 6 8 ‫ݔ‬ 0 7 14 21 28 ‫ݔ‬
Funções Lineares Periódicas do tipo: Onda Quadrada. Triangular, Dente de Serra e Trapezóide.
Período ( T ) : São intervalo , ou ciclos, quando a função volta a se repetir novamente, da mesma maneira.
A : é o pico máximo da onda.
1) Ondas Quadrada: É formada por funções constante.
a) b)
‫ݕ‬ ‫ݕ‬
9
3
4
0 1 ݂ଶ 2 3 ‫ݔ‬
0 0,1 0,2 0,3 0,4 ‫ݔ‬
ܶ ൌ 2 ܶ ൌ 0,2
‫ܣ‬ ൌ 3 ‫ܣ‬ ൌ 9
݂ଵ
ൌ ‫ݕ‬ଵ ൌ 3 ‫݁ݏ‬ 0 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 1 ݂ଵ
ൌ ‫ݕ‬ଵ ൌ 9 ‫݁ݏ‬ 0 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 0,1
݂ଶ ൌ ‫ݕ‬ଶ ൌ 0 ‫݁ݏ‬ 1 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 2 ݂ଶ ൌ ‫ݕ‬ଶ ൌ 4 ‫݁ݏ‬ 0,1 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 0,2

30
2) Ondas Triangulares:
Utilizaremos a fórmula
‫ݕ‬ െ ‫ݕ‬଴ ൌ ܽ ሺ ‫ݔ‬ െ ‫ݔ‬଴ ሻ , ܽ ൌ
௬
௫
, ܲ ሺ ‫ݔ‬଴ , ‫ݕ‬଴ ሻ
a) b)
‫ݕ‬ ‫ݕ‬
6 ݂ଵ ݂ଶ 35 ݂ଵ
݂ଶ
0 2 4 6 8 ‫ݔ‬ 0 7 14 21 28 ‫ݔ‬
ܶ ൌ 4 ܶ ൌ 14
‫ܣ‬ ൌ 6 ‫ܣ‬ ൌ 35
݂ଵ é ݀݁ܿ‫,݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ ܽ ൑ 0 ֜ ܽ ൌ െ
௬
௫
݂ଵ é ܿ‫,݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ ܽ ൒ 0 ֜ ܽ ൌ ൅
௬
௫
substituindo ܲሺ 2, 0ሻ ‫א‬ ݂ଵ na fórmula substituindo ܲሺ 0, 0ሻ ‫א‬ ݂ଵ na fórmula
‫ݕ‬ െ ‫ݕ‬଴ ൌ ܽ ሺ ‫ݔ‬ െ ‫ݔ‬଴ ሻ ‫ݕ‬ െ ‫ݕ‬଴ ൌ ܽ ሺ ‫ݔ‬ െ ‫ݔ‬଴ ሻ
݂ଵ
ൌ ‫ݕ‬ െ 0 ൌ െ
଺
ଶ
ሺ‫ݔ‬ െ 2ሻ ݂ଵ
ൌ ‫ݕ‬ଵ െ 0 ൌ
ଷହ
଻
ሺ‫ݔ‬ െ 0ሻ
݂ଵ
ൌ ‫ݕ‬ଵ ൌ െ3‫ݔ‬ ൅ 6 ‫݁ݏ‬ 0 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 2 ݂ଵ
ൌ ‫ݕ‬ଵ ൌ 5‫ݔ‬ ‫݁ݏ‬ 0 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 7
݂ଶ é ܿ‫,݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ ܽ ൒ 0 , ܽ ൌ ൅
௬
௫
݂ଶ é ݀݁ܿ‫,݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ ܽ ൑ 0 ֜ ܽ ൌ െ
௬
௫
substituindo ܲሺ 2, 0 ሻ ‫א‬ ݂ଶ na fórmula substituindo ܲሺ 14, 0 ሻ ‫א‬ ݂ଶ na fórmula
݂ଶ
ൌ ‫ݕ‬ െ 0 ൌ
଺
ଶ
ሺ‫ݔ‬ െ 2ሻ ݂ଶ
ൌ ‫ݕ‬ െ 0 ൌ െ
ଷହ
଻
݂ଶ
ൌ ‫ݕ‬ଶ ൌ 3‫ݔ‬ െ 6 ‫݁ݏ‬ 2 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 4 ݂ଶ
ൌ ‫ݕ‬ଶ ൌ െ5‫ݔ‬ ൅ 70 ‫݁ݏ‬ 7 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 14
P

31
c)
‫ݕ‬
10 ݂ଵ ݂ଶ
0 5 10 15 20 ‫ݔ‬
-10 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
ܶ ൌ 20
‫ܣ‬ ൌ 10
݂ଵ é ݀݁ܿ‫,݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ ܽ ൑ 0 ֜ ܽ ൌ െ
௬
௫
݂ଶ é ܿ‫,݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ ܽ ൒ 0 ֜ ܽ ൌ
௬
௫
substituindo ܲሺ 5, 0ሻ ‫א‬ ݂ଵ na fórmula substituindo ܲሺ 15, 0ሻ ‫א‬ ݂ଶ na fórmula
‫ݕ‬ െ ‫ݕ‬଴ ൌ ܽ ሺ ‫ݔ‬ െ ‫ݔ‬଴ ሻ
݂ଵ
ൌ ‫ݕ‬ െ 0 ൌ െ
ଵ଴
ହ
ሺ‫ݔ‬ െ 5ሻ ݂ଶ ݂ଶ
ൌ ‫ݕ‬ െ 0 ൌ
ଵ଴
ହ
݂ଵ
ൌ ‫ݕ‬ଵ ൌ െ2‫ݔ‬ ൅ 10 ‫݁ݏ‬ 0 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 10 ݂ଶ
ൌ ‫ݕ‬ଶ ൌ 2‫ݔ‬ െ 30 ‫݁ݏ‬ 10 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 20
3) Ondas Dentes de Serra:
a) b)
‫ݕ‬ ‫ݕ‬
4 ݂ଵ ݂ଵ ݂ଶ
5
0 3 6 9 ‫ݔ‬ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 ‫ݔ‬
-5
ܶ ൌ 3 ܶ ൌ 0,2
‫ܣ‬ ൌ 4 ‫ܣ‬ ൌ 5
݂ଵ é ݀݁ܿ‫,݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ ܽ ൑ 0 , ܽ ൌ െ
௬
௫
݂ଵ é ܿ‫,݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ ܽ ൒ 0 , ܽ ൌ ൅
௬
௫
ܲሺ 3, 0ሻ ‫א‬ ݂ଵsubstituindo na fórmula ܲሺ 0, 0ሻ ‫א‬ ݂ଵ substituindo na fórmula
݂ଵ
ൌ ‫ݕ‬ െ 0 ൌ െ
ସ
ଷ
ሺ‫ݔ‬ െ 3 ሻ ݂ଵ
ൌ ‫ݕ‬ଵ െ 0 ൌ
ହ
଴,ଵ
݂ଵ
ൌ ‫ݕ‬ଵ ൌ െ
ସ
ଷ
‫ݔ‬ ൅ 4 ‫݁ݏ‬ 0 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 3 ݂ଵ
ൌ ‫ݕ‬ଵ ൌ 50‫ݔ‬ ‫݁ݏ‬ 0 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 0,1
݂ଶ é ܿ‫,݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ ܽ ൒ 0 , ܽ ൌ ൅
௬
௫
, ܲ଴ሺ0,2 , 0ሻ ‫א‬ ݂ଶ
݂ଶ
ൌ ‫ݕ‬ଶ െ 0 ൌ
ହ
଴,ଵ
ሺ‫ݔ‬ െ 0,2ሻ
݂ଶ
ൌ ‫ݕ‬ଶ ൌ 50‫ݔ‬ െ 10 ‫݁ݏ‬ 0,1 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 0,3

32
4) Ondas trapezóides
‫ݕ‬ ࢀ ൌ ૜ ࡭ ൌ ૠ ࢌ૚ ൌ ૠ࢞ ࢙ࢋ ૙ ൑ ࢞ ൑ ૚
ࢌ૛ ൌ ૠ ࢙ࢋ ૚ ൑ ࢞ ൑ ૛
7 ࢌ૜ ൌ െૠ࢞ ൅ ૛૚ ࢙ࢋ ૛ ൑ ࢞ ൑ ૜
0 1 2 3 4 5 ‫ݔ‬
Determine as funções para um período dos gráficos abaixo:
a) b)
‫ݕ‬ ‫ݕ‬
7
10
3
0 3 6 9 12 ‫ݔ‬
0 2 4 6 8 ‫ݔ‬
c) d)
‫ݕ‬ ‫ݕ‬
18 ݂ଵ 6 ݂ଵ ݂ଶ
0 3 6 9 ‫ݔ‬ 0 2 4 6 8 ‫ݔ‬
-6
e) f)
‫ݕ‬ ‫ݕ‬
20 ݂ଵ 35 ݂ଵ
݂ଶ
0 5 10 15 20 25 ‫ݔ‬ 0 7 14 21 28 ‫ݔ‬
P

33
Função Exponencial: Chama-se função exponencial qualquer função ݂: Թ ՜ Թ dada por uma lei da forma:
ࢌሺ࢞ሻ ൌ ࢔࢞
base ݊ ‫א‬ Թ , ݊ ൐ 0 ݊ ് 1
Função Exponencial na base ࢋ ൌ ૛, ૠ૚ૡ … ሺࢉ࢕࢔࢙࢚ࢇ࢔࢚ࢋ ࢊࢋ ࡱ࢛࢒ࢋ࢘ሻ.
࢟ ࡭ ൌ ordenada do ܲሺ0, ‫ܣ‬ሻ
1. ݂ሺ ‫ݔ‬ ሻ ൌ ࡭ . ࢋࢇ࢞
A ݂ሺ‫ݔ‬ሻ é ‫.݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎܥ‬
0 ‫ݔ‬
Para ‫ܣ‬ ൌ 1 , ܽ ൌ 1 ⇒ ݂ሺ ‫ݔ‬ ሻ ൌ 1. ݁1.‫ݔ‬
‫ݕ‬ ૚ ൌ a ordenada do ܲሺ0,1ሻ
1.1 ݂ሺ ‫ݔ‬ ሻ ൌ ࢋ࢞
1
0 ‫ݔ‬
‫ݕ‬
2. ݂ሺ ‫ݔ‬ ሻ ൌ ࡭ . ࢋെࢇ࢞
A ݂ሺ‫ݔ‬ሻ é ‫.݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎܿ݁ܦ‬
0 ‫ݔ‬
Para ‫ܣ‬ ൌ 1 , ܽ ൌ െ1 ⇒⇒⇒⇒ ݂ሺ ‫ݔ‬ ሻ ൌ 1 . ݁െ1.‫ݔ‬
‫ݕ‬
2.1 ݂ሺ ‫ݔ‬ ሻ ൌ ࢋെ࢞
1 ݂ሺ‫ݔ‬ሻ é ‫.݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎܿ݁ܦ‬
0 ‫ݔ‬

34
Equação Exponencial na base ࢋ ൌ ૛, ૠ૚ૡ …: são equações onde a incógnita está no expoente.
Para isolar a incógnita devemos utilizar as propriedades de potência , afim de deixar na mesma base e poder fazer
as simplificações necessárias.
Exemplos:
a) ݁ଶ௫ିଶ
ൌ 1 sabemos que ݁଴
ൌ 1 , então podemos escrever
݁ଶ௫ିଶ
ൌ ݁଴
encontrada a mesma base e podemos simplificá-las, restando os expoentes
2‫ݔ‬ െ 2 ൌ 0 isolamos a incógnita ‫ݔ‬ encontramos valor que satisfaz a equação.
‫ݔ‬ ൌ 1
b) 3 . ݁‫ݔ‬ + 2 . ݁௫
ൌ 5 . ݁ି௫ା଼
ሺ3 ൅ 2ሻ݁‫ݔ‬ ൌ 5 . ݁െ‫ݔ‬൅8 colocamos em evidência o termo comum ݁௫
5. ݁‫ݔ‬ ൌ 5 . ݁െ‫ݔ‬൅8 simplificamos as bases iguais restando os expoentes
‫ݔ‬ ൌ െ‫ݔ‬ ൅ 8
‫ݔ‬ ൅ ‫ݔ‬ ൌ 8
2‫ݔ‬ ൌ 8 ‫׵‬ ‫ݔ‬ ൌ
଼
ଶ
‫׵‬ ‫ݔ‬ ൌ 4
c) ݁ିଶ௫
ൌ
ଵ
௘ల tomemos o inverso da potência no 2º membro da equação
݁ିଶ௫
ൌ ݁ି଺
simplificamos as bases iguais restando os expoentes
െ2 ‫ݔ‬ ൌ െ6
‫ݔ‬ ൌ
ି଺
ିଶ
‫׵‬ ‫ݔ‬ ൌ 3
Exercícios Propostos: Resolver as equações exponenciais abaixo:
a) ݁ିଷ
ൌ ݁ସି௫
b) ଼݁௫
ൌ
ଵ
݁2
c) 1 ൌ ݁௫ିଵ
d) ݁ଶ௫
ൌ 1
Respostas: a) 7 b) 0,25 c) 1 d) 0

35
Função Exponencial do tipo: ࢟ ൌ ࡭ ሺ ૚ െ ࢋିࢇ࢞ሻ , ‫ݔ‬ ൒ 0
Muito utilizada em circuitos elétricos. ࢟
Quanto maior o ࢞ mais a curva se aproxima de A
A . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A função tende a A quando ࢞ tende ao infinito.
0 ‫ݔ‬
Tabela de valores de ࢋ࢞
Exemplo: Esboçar o gráfico da função ‫ݕ‬ ൌ 2 ሺ 1 െ ݁ି௫
)
Solução:
A = 2 ‫ݔ‬ ൒ ‫݋‬ ‫ݕ‬ ൌ ‫ܣ‬ሺ1 െ ݁െ‫ݔ‬ሻ
࢟ 0 2ሺ1 െ ݁଴ሻ ൌ 2.0 ൌ 0
2 . . . . . . . . . . . . 1 2ሺ1 െ ݁ିଵሻ
ൌ 2ሺ1 െ
ଵ
݁
) ؆ 1,26
2 2ሺ1 െ ݁ିଶሻ
ൌ 2ሺ1 െ
ଵ
݁2) ؆ 1,73
3 2ሺ1 െ ݁ି3ሻ
ൌ 2ሺ1 െ
ଵ
݁3) ؆ 1,9
Quanto maior o valor de x a função mais se aproxima de 2. ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬
Exercícios: Esboçar o gráfico das funções abaixo:
a) ‫ݕ‬ ൌ 3 ሺ 1 െ ݁ି௫
ሻ
b) ‫ݕ‬ ൌ 2 ሺ 1 െ ݁ିଶ௫
ሻ
c) ‫ݕ‬ ൌ 1 ሺ 1 െ ݁ି௫
ሻ
d) ‫ݕ‬ ൌ 7 ሺ 1 െ ݁ିଶ௫
ሻ
‫ݔ‬ െ3 െ2 െ1 0 1 2 3
݁௫ 0,05 0,14 0,37 1 2,72 7,39 20,09
0 1 2 3 4 ‫ݔ‬
x

36
Logaritmo: É a operação inversa da potência ( cálculo do expoente n ) .
Definição : Logaritmo de um número b real positivo, na base ࢇ real positiva e diferente de 1 é o número ࢔ ao qual
se deve elevar a base ࢇ para se obter a potência b.
log௔ ܾ ൌ ࢔ ฻ ܽ௡
ൌ ܾ
ܾ ൌ ࢒࢕ࢍࢇ࢘࢏࢚࢓ࢇ࢔ࢊ࢕ ܾ ൐ 0 ‫׵‬b ‫א‬ Թା
‫כ‬
.
ܽ ൌ ࢈ࢇ࢙ࢋ, ܽ ൐ 0 ݁ ܽ ് 1
࢔ ൌ ࢒࢕ࢍࢇ࢘࢏࢚࢓࢕
Exemplos:
logଶ 16 ൌ ݊ ฻ 2௡
ൌ 16 ฺ ݊ ൌ ૝ é o logaritmo de 16 na base 2
logହ 5 ൌ ݊ ฻ 5௡
ൌ 5 ฺ ݊ ൌ 1
log௔ 1 ൌ ݊ ฻ ܽ௡
ൌ 1 ฺ ݊ ൌ ૙ é o logaritmo de 1 em qualquer base ሺܽ ൐ 0 ݁ ܽ ് 1ሻ
‫כ‬ ‫׍‬ ࢔ã࢕ ࢋ࢞࢏࢙࢚ࢋ logaritmo de número negativo ‫ܖܔ‬ሺ െ૜ሻ.
Logaritmo Neperiano:
Chamado de logaritmo Natural é o logaritmo que usa como base o número e ( constante de Euler).
log௘ ܾ ൌ ࢔ ฻ ݁௡
ൌ ܾ ou ‫ܖܔ‬ ࢈ ൌ ࢔ ฻ ࢋ࢔
ൌ ࢈
ln ݁ ൌ 1 ฻ ݁ଵ
ൌ ݁
ln 1 ൌ 0 ฻ ݁଴
ൌ 1
Propriedades dos logaritmos:
ܲଵ: ‫ܖܔ‬ሺ ࡭ . ࡮ሻ ൌ ‫ܖܔ‬ ࡭ ൅ ‫ܖܔ‬ ࡮ Logaritmo do produto é a soma dos logaritmos.
ܲଶ: ‫ܖܔ‬ ቀ
࡭
࡮
ቁ ൌ ‫ܖܔ‬ ࡭ െ ‫ܖܔ‬ ࡮ Logaritmo do quociente é a diferença dos logaritmos.
‫݊݁ݐܣ‬çܽõ!
୪୬ ஺
୪୬ ஻
് ln ቀ
஺
஻
ቁ
ܲଷ: ‫ܖܔ‬ ࢋ࢓
ൌ ‫ܕ‬ . ‫ܖܔ‬ ࢋ ൌ ࢓ . ૚ ൌ ࢓ Logaritmo da potência é o expoente da potência multiplicado pelo logaritmo
da base dessa potência.
ܲସ: ‫ܖܔ‬ ࡭ ൌ ‫ܖܔ‬ ࡮ ฻ ࡭ ൌ ࡮ Se dois logaritmos são iguais então seus logaritmandos também são.

37
Função Logarítmica na base ࢋ ൌ 2,718 …
‫ݕ‬ ൌ ݈݊‫ݔ‬
‫ݔ‬ ‫ݕ‬ ൌ ln ‫ݔ‬
1 ln 1 = 0
e ln e = 1 ‫ݕ‬
e2
ln e2
= 2.lne = 2.1 = 2 ‫ݕ‬ ൌ ݈݊‫ݔ‬
e3
ln e3
= 3.lne = 3.1 = 3
e4
lne4
= 4.ln e= 4.1 = 4
‫ڭ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ‫ڭ‬ 0 P(1,0) ‫ݔ‬
݊ lne୬
ൌ ݊. ln ݁ ൌ ݊
‫ڭ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ൌ ‫ڭ‬
Conjunto dos números Naturais
Equação Logarítmica na base ࢋ :
Temos que isolar a incógnita da equação utilizando as propriedades de logaritmo.
Exemplos:
a) lnሺ ‫ݔ‬ ൅ 5ሻ ൌ 1 Restrição: ‫ݔ‬ ൅ 5 ൐ 0 ‫׵‬ ‫ݔ‬ ൐ െ5
lnሺ ‫ݔ‬ ൅ 5ሻ ൌ ݈݊ ݁ sabemos que 1 ൌ ln ݁
‫ݔ‬ ൅ 5 ൌ ݁ simplificamos os ln
‫ݔ‬ ൌ ݁ െ 5 isolamos a incógnita ‫ݔ‬
‫ݔ‬ ൌ 2,72 െ 5
‫ݔ‬ ؆ െ 2,28 satisfaz a restrição: െ 2,28 ൐ െ5
Podemos resolver a mesma equação utilizando a definição de logaritmo:
lnሺ ‫ݔ‬ ൅ 5ሻ ൌ 1 ฻ ݁ଵ
ൌ ‫ݔ‬ ൅ 5
‫ݔ‬ ൌ 2,72 െ 5 ‫׵‬ ‫ݔ‬ ؆ െ 2,28
bሻ ln 7‫ݔ‬ ൅ ln 3‫ݔ‬ ൌ ln 5 Restrição: ‫ݔ‬ ൐ 0
lnሺ 7‫ݔ‬ . 3‫ݔ‬ ሻ ൌ ln 5
7.3 ‫.ݔ‬ ‫ݔ‬ ൌ 5
21 ‫ݔ‬ଶ
ൌ 5
‫ݔ‬ ൌ േ√0,24 ‫׵‬ ‫ݔ‬ ൌ ൅ 0,5
‫ݔ‬ ൌ െ 0,5 não convém pois, ‫ݔ‬ ൐ 0

38
c) lnሺ
8 x൅1
x
ሻ ൌ 0 Restrição:
଼ ୶ାଵ
୶ஷ଴
> 0 ‫׵‬ ‫ݔ‬ ൐ െ
ଵ
଼
lnሺ 8‫ݔ‬ ൅ 1ሻ െ ln ‫ݔ‬ ൌ 0
lnሺ8‫ݔ‬ ൅ 1ሻ ൌ ln ‫ݔ‬
8‫ݔ‬ ൅ 1 ൌ ‫ݔ‬
8‫ݔ‬ െ ‫ݔ‬ ൌ െ1
7‫ݔ‬ ൌ െ1 ‫׵‬ ‫ݔ‬ ൌ െ
ଵ
଻
satisfaz a restrição െ
1
7
൐ െ 1
8
d) ln ݁ି଻ାଷ௫
ൌ 2 Restrição: ݁ି଻ାଷ௫
൐ 0 , ݁௫
൐ 0
െ7 ൅ 3‫ݔ‬ ൌ 2
3‫ݔ‬ ൌ 2 ൅ 7
3 ‫ݔ‬ ൌ 9 ‫׵‬ ‫ݔ‬ ൌ 3 satisfaz a restrição ݁ଷ
൐ 0
Exercícios:
1 Resolver as equações logarítmicas abaixo:
a) lnሺ 2‫ݔ‬ െ 4ሻ ൌ 0 Restrição:ሺ 2‫ݔ‬ െ 4ሻ ൐ 0
‫ݔ‬ ൐ 2
b) 1 ൌ lnሺ‫ݔ‬ െ 24ሻ Restrição:ሺ ‫ݔ‬ െ 24ሻ ൐ 0
‫ݔ‬ ൐ 24
c) 1 ൌ ln ‫ݔ‬ଶ
െ 24 Restrição: ‫ݔ‬ଶ
൐ 0
‫ݔ‬ ൐ 0
d) 1 ൅ ln 2 ൌ ln ‫ݔ‬ Restrição: ‫ݔ‬ ൐ 0
Respostas:
a) 5
2ൗ b) േ5,2 c) 26,8. 10ସ e) 2

39
Trigonometria no Triângulo Retângulo: é todo triângulo que possui um â݊݃‫݋݈ݑ‬ ‫݋ݐ݁ݎ‬ ൌ 90°.
‫ܽݏݑ݊݁ݐ݋݌݅ܪ‬ é o lado oposto ao ângulo reto : ‫ܥܤ‬ ൌ ܽ
ܾ ܽ ‫ݏ݋ݐ݁ݐܽܥ‬ são os lados opostos a cada ângulo agudo: ‫ܤܣ‬ ൌ ܿ ݁ ‫ܥܣ‬ ൌ ܾ
Teorema de Pitágoras: ܽଶ
ൌ ܾଶ
൅ ܿଶ
A c B
Razões Trigonométricas:
ࡿࢋ࢔࢕
Seno de um ângulo agudo é o quociente , entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa.
b a ࢙ࢋ࢔ࢻ ൌ
௖௔௧௘௧௢ ௢௣௢௦௧௢ ௔௢ â௡௚௨௟௢ ఈ
௛௜௣௢௧௘௡௨௦௔
ൌ
௕
௔
c
ߙ ൌ ࢇ࢘ࢉ ࢙ࢋ࢔
௕
௔
Exemplo: Calcular o valor do arco no triângulo retângulo:
3 6 ‫ߙ݊݁ݏ‬ ൌ
ଷ
଺
ൌ
ଵ
ଶ
ߙ ൌ ࢇ࢘ࢉ ࢙ࢋ࢔
ଵ
ଶ
ൌ 30°
࡯࢕࢙࢙ࢋ࢔࢕
Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa.
b ܿ‫ߙݏ݋‬ ൌ
௖௔௧௘௧௢ ௔ௗ௝௔௖௘௡௧௘ ௔௢ â௡௚௨௟௢ ఈ
௛௜௣௢௧௘௡௨௦௔
ൌ
௖
௔
c
ࢀࢇ࢔ࢍࢋ࢔࢚ࢋ
Tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo.
‫݃ݐ‬ ߙ ൌ
ܿܽ‫݋ݐ݁ݐ‬ ‫݋ݐݏ݋݌݋‬
ܿܽ‫݋ݐ݁ݐ‬ ݆ܽ݀ܽܿ݁݊‫݁ݐ‬
ൌ
௕
௖
֜ ‫݃ݐ‬ ߙ ൌ
௦௘௡ఈ
௖௢௦ఈ
ߚ
ߙ
C
ߙ
ߙ
a
ߙ

40
Exemplos:
a) ‫݊݁ݏ‬ ߙ ൌ 0,7071067
ߙ ൌ ࢇ࢘ࢉ ࢙ࢋ࢔ 0,7071067 ฺ ߙ ൌ 45°
b) ܿ‫ݏ݋‬ ߚ ൌ 0,8660254
ߚ ൌ ࢇ࢘ࢉ ࢉ࢕࢙ 0,8660254 ฺ ߚ ൌ 30°
c) ‫ߠ݃ݐ‬ ൌ 1,7320508
ߠ ൌ ࢇ࢘ࢉ ࢚ࢍ1,7320508 ฺ ߠ ൌ 60°
Exercícios propostos:
Calcular o valor aproximado de cada arco especificado abaixo:
a) ‫ߠ݊݁ݏ‬ ൌ 0,8660254 d) ‫ߠ݃ݐ‬ ൌ 1
b) ܿ‫ߙݏ݋‬ ൌ 0,7071067 e) ‫ߙ݃ݐ‬ ൌ 2,7474774
c) ‫ߚ݃ݐ‬ ൌ 1,7320508 fሻ ‫ߠ݃ݐ‬ ൌ െ1,7321
g) ‫ߚ݃ݐ‬ ൌ െ0,5773 h) ‫ߙ݃ݐ‬ ൌ െ1
Relações Fundamentais :
1) sen2
α + cos2
α = 1
2) ࢚ࢍ ࢻ ൌ
࢙ࢋ࢔ࢻ
ࢉ࢕࢙ࢻ
Ângulos Notáveis: ÂNGULOS 30° 45° 60°
ܵ݁݊ 1
2
√2
2
√3
2
ܿ‫ݏ݋‬ √3
2
√2
2
1
2
‫݃ݐ‬ √3
3
1 √3

41
Exercícios propostos:
1) Calcule o que se pede nos triângulos retângulos abaixo:
4 6 9
8 2 9 √2
ߠ ൌ ߠ ൌ ߠ ൌ
‫݊݁ݏ‬ ߠ ൌ ‫ߠ݊݁ݏ‬ ൌ ‫ߠ݊݁ݏ‬ ൌ
ܿ‫ݏ݋‬ ߠ ൌ ܿ‫ߠݏ݋‬ ൌ ܿ‫ߠݏ݋‬ ൌ
‫݃ݐ‬ ߠ ൌ ‫݃ݐ‬ ߠ ൌ ‫݃ݐ‬ ߠ ൌ
2) Calcular o valor aproximado de cada arco especificado abaixo:
a) ‫ߠ݊݁ݏ‬ ൌ 0,8660254 d) ‫ߠ݃ݐ‬ ൌ 1
b) ܿ‫ߙݏ݋‬ ൌ 0,7071067 e) ‫ߙ݃ݐ‬ ൌ 2,7474774
c) ‫ߚ݃ݐ‬ ൌ 1,7320508 fሻ ‫ߠ݃ݐ‬ ൌ െ1,7321
g) ‫ߚ݃ݐ‬ ൌ െ0,5773 h) ‫ߙ݃ݐ‬ ൌ െ1

42
TRIGONOMETRIA
Arco : de uma circunferência é qualquer segmento da circunferência limitado por dois pontos distintos
B AB = arco menor e AÔB = ângulo central = ‫ݔ‬
݉݁݀ሺ ‫ܤܣ‬ ሻ ൌ ݉݁݀ ሺ ‫ܣ‬Ô‫ܤ‬ ሻ ൌ ‫ݔ‬
Unidades de medidas : Graus e radianos
Grau ( ° ) 1 ° =
ଵ
ଷ଺଴
da circunferência, então
90° ൌ
ଵ
ସ
da circunferência
180° ൌ
ଵ
ଶ
270° ൌ
ଷ
ସ
360° ൌ 1 circunferência
Radiano ሺ ࢘ࢇࢊ ሻ 1 ‫݀ܽݎ‬ ൌ raio da circunferência
‫ܥ‬ ൌ 2ߨ ‫ݎ‬ comprimento de uma circunferência
‫ݎ‬ ൌ 1 ‫݀ܽݎ‬
‫ܥ‬ ൌ 2ߨ ‫݀ܽݎ‬
Conclusão: ‫ܥ‬ ൌ 360° ൌ 2ߨ ‫,݀ܽݎ‬ logo 90° ൌ
గ
ଶ
180° ൌ ߨ ‫݀ܽݎ‬
90° ൌ
గ
ଶ
‫݀ܽݎ‬ 180° ൌ ߨ 0° ൌ 360° ൌ 2ߨ
‫ڭ‬ ‫ڭ‬
270° ൌ
ଷగ
ଶ
Transformar graus para radianos e vice-versa:
Regra de três simples
180° ߨ ‫݀ܽݎ‬
30° ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ൌ 30° . ߨ ‫݀ܽݎ‬
180°
ൌ ߨ
6
‫݀ܽݎ‬
Graus 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
Radianos ߨ
6
ߨ
4
ߨ
3
ߨ
2
π 3ߨ
2
2π
O ߙ
A

43
ࡲ࢛࢔çã࢕ ࡿࢋ࢔࢕ : ‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ ‫ݔ‬
Sobre os eixos cartesianos traçamos uma circunferência de raio unitário ࢘ ൌ ૚ com o centro coincidindo com a
origem do sistema.
Tomemos um arco ܴܲ ou o ângulo ‫.ݔ‬
Seno do arco ܴܲ ou do ângulo ࢞ é a ordenada do ponto P, projeção do segmento OP sobre o ࢋ࢏࢞࢕࢟.
‫ݕ‬
1
Arco ܴܲ ൌ ‫ݔ‬
‫݊݁ݏ‬ ‫ݔ‬ ൌ ܱ‫ܯ‬
‫ݎܩ‬á݂݅ܿ‫:݋‬ ࡿࢋ࢔ó࢏ࢊࢋ
‫ݕ‬
. . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
െ2ߨ െ
ଷగ
ଶ
െ ߨ െ
గ
ଶ
0
గ
ଶ
ߨ
ଷగ
ଶ
2ߨ ‫ݔ‬
A ࢌ࢛࢔çã࢕ ࢙ࢋ࢔࢕ é Íࡹࡼ࡭ࡾ pois é simétrica a origem do sistema ( 0 , 0 ).
࢙ࢋ࢔ ሺെ࢞ ሻ ൌ െ ࢙ࢋ࢔ ሺ ࢞ ሻ , ‫݊݁ݏ‬ ቀെ
గ
ଶ
ቁ ൌ െ ‫݊݁ݏ‬
గ
ଶ
Período ( ܶ ൌ 2ߨሻ ‫׷‬ é o período de tempo quando a função se repete.
Amplitude ሺ ‫ܣ‬ ൐ 0 ሻ : é a metade da distância entre o ponto máximo e mínimo da onda.
࡭ ൌ
ெá௫௜௠௢ – ௠í௡௜௠௢
ଶ
‫ݔ‬ െ ߨ െ
ߨ
2
0 ߨ
2
π 3ߨ
2
2π
‫݊݁ݏ‬ ‫ݔ‬ 0 െ 1 0 1 0 െ 1 0
‫.........ܯ‬ P
‫ݔ‬ 1
-1 0 R ‫ݔ‬
-1
. . . . . . . . . . . . . . . . .-1 . . . . . . . . . . . .
1 ‫ݎ݁݌‬í‫݋݀݋‬ ܶ ൌ 2ߨ

44
ࡲ࢛࢔çã࢕ ࡯࢕࢙࢙ࢋ࢔࢕ : ‫ݕ‬ ൌ cos ‫ݔ‬
Seja o arco AP = ângulo x ,denominamos
Cosseno do ângulo ‫ݔ‬ , a abscissa do ponto P , projeção do segmento OP sobre o eixo ࢞ , eixo das abscissas.
‫ݕ‬
1
Arco ܴܲ ൌ ‫ݔ‬
ܿ‫ݔݏ݋‬ ൌ ܱܰ
-1
‫ݎܩ‬á݂݅ܿ‫:݋‬ ࡯࢕࢙࢙ࢋ࢔ó࢏ࢊࢋ
ܶ ൌ 2ߨ ‫ݕ‬
‫ܣ‬ ൌ 1 . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
െ2ߨ െ
ଷగ
ଶ
െ ߨ െ
గ
ଶ
0
గ
ଶ
ߨ
ଷగ
ଶ
2ߨ ‫ݔ‬
A função ܿ‫݋݊݁ݏݏ݋‬ é ܲ‫ܴܣ‬ pois é simétrica ao eixo ‫ݕ‬
ܿ‫ݏ݋‬ ሺെ‫ݔ‬ ሻ ൌ ܿ‫ݏ݋‬ሺ ‫ݔ‬ ሻ cos ሺ െ
గ
ସ
ሻ ൌ ܿ‫ݏ݋‬ ሺ
గ
ସ
ሻ
Função Tangente: ࢟ ൌ ࢚ࢍ ࢞
‫ݔ݃ݐ‬ ൌ
‫ݔ݊݁ݏ‬
ܿ‫ݔݏ݋‬ , ܿ‫ݔݏ݋‬ ് 0 ݁݊‫ݐ‬ã‫݋‬ ‫ݔ‬ ്
గ
ଶ
൅ ݇ߨ
A ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ não está definida nos arcos ቀ ‫ݔ‬ ൌ
గ
ଶ
൅ ݇ߨ ቁ ൌ 90° , 270°, …
A ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ é Í‫:ܴܣܲܯ‬ é simétrica a origem do sistema ( 0 , 0 ).
‫݃ݐ‬ሺെ‫ݔ‬ሻ ൌ െ ‫݃ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫݃ݐ‬ ቀെ
గ
ସ
ቁ ൌ െ ‫݃ݐ‬
గ
ସ
‫ݔ‬ െߨ ିగ
ଶ
0 గ
ଶ
π ଷగ
ଶ
2π
ܿ‫ݏ݋‬ ‫ݔ‬ െ1 0 1 0 െ1 0 1
. . . . . . . . . . . . . . . . .-1 . . . . . . . . . . . .
ܶ ൌ 2ߨ
P
‫ݔ‬ 1
-1 0 N R ‫ݔ‬

45
Função do tipo: ࢟ ൌ ࢇ ൅ ࡭ ࢙ࢋ࢔ ࢈࢞
ࢇ ൌ deslocamento do ݁݅‫݋ݔ‬ ‫ݔ‬ ‫׵‬ ࢇ ൌ ‫.݋ݐ݌‬ ‫ܯ‬á‫݋݉݅ݔ‬ െ ‫ܣ‬
࡭ ൌ ܽ݉‫݁݀ݑݐ݈݅݌‬ ݀ܽ ‫ܽ݀݊݋‬ ‫ܣ‬ ൐ 0 , é ‫݋‬ ‫݋ݐ݊݋݌‬ ݉é݀݅‫݋‬ ݀ܽ ‫ܽ݀݊݋‬ ࡭ ൌ
ெá௫௜௠௢ – ௠í௡௜௠௢
ଶ
࢈ ൌ ‫ݎ݁݌‬í‫݋݀݋‬ ݀ܽ ‫ܽ݀݊݋‬ ࢀ ൌ
ଶగ
௕
ܲ‫.݋ݐ‬ ‫ܯ‬á‫݋݉݅ݔ‬ ൌ ܽ ൅ ‫ܣ‬
ܲ‫.݋ݐ‬ ݉í݊݅݉‫݋‬ ൌ ܽ െ ‫ܣ‬
Exemplo 1: Faça um esboço do gráfico da função ࢟ ൌ ૛ ൅ ૜ ࢙ࢋ࢔૛࢞
Solução: ‫ܣ‬ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ é ࢙ࢋ࢔࢕. ‫ݕ‬ ܶ ൌ ߨ
ܽ ൌ 2 ݁݅‫݋ݔ‬ ‫ݔ‬ ݀݁‫ݑ݋ܿ݋݈ݏ‬ 2 ‫ݏ݁݀ܽ݀݅݊ݑ‬ A
‫ܣ‬ ൌ 3
ܾ ൌ 2 ‫׵‬ ࢀ ൌ
ଶగ
௕
ൌ
ଶగ
ଶ
ൌ ߨ ܽ
ܲ‫.݋ݐ‬ ‫ܯ‬á‫݋݉݅ݔ‬ ൌ ܽ ൅ ‫ܣ‬ ൌ 2 ൅ 3 ൌ 5 0
గ
ଶ
ߨ
ଷగ
ଶ
2ߨ ‫ݔ‬
ܲ‫.݋ݐ‬ ݉í݊݅݉‫݋‬ ൌ ܽ െ ‫ܣ‬ ൌ 2 െ 3 ൌ െ1
Exemplo 2: Faça um esboço do gráfico da função ࢟ ൌ ૛ ൅ ૜ ࢉ࢕࢙૛࢞
Solução: ‫ܣ‬ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ é ࢉ࢕࢙࢙ࢋ࢔࢕. ‫ݕ‬ ܶ ൌ ߨ
ܽ ൌ 2
‫ܣ‬ ൌ 3
ܾ ൌ 2 ‫׵‬ ࢀ ൌ
ଶగ
௕
ൌ
ଶగ
ଶ
ൌ ߨ
ܲ‫.݋ݐ‬ ‫ܯ‬á‫݋݉݅ݔ‬ ൌ ܽ ൅ ‫ܣ‬ ൌ 2 ൅ 3 ൌ 5 0
గ
ସ
గ
ଶ
ଷగ
ସ
ߨ
ହగ
ସ
‫ݔ‬
ܲ‫.݋ݐ‬ ݉í݊݅݉‫݋‬ ൌ ܽ െ ‫ܣ‬ ൌ 2 െ 3 ൌ െ1
Exemplo 3: Faça um esboço do gráfico da função ࢟ ൌ ૟ ࢙ࢋ࢔ ૝࢞
Solução: ‫ܣ‬ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ é ‫.݋݊݁ݏ‬ ‫ݕ‬ ܶ ൌ ߨ
2ൗ
ܽ ൌ 0
‫ܣ‬ ൌ 6
ܾ ൌ 4 ฺ ࢀ ൌ
ଶగ
௕
ൌ
ଶగ
ସ
ൌ గ
ଶ
0
గ
଼
గ
ସ
ଷగ
଼
గ
ଶ
ߨ
ଷగ
ଶ
‫ݔ‬
ܲ‫.݋ݐ‬ ‫ܯ‬á‫݋݉݅ݔ‬ ൌ ܽ ൅ ‫ܣ‬ ൌ 0 ൅ 6 ൌ 6
ܲ‫.݋ݐ‬ ݉í݊݅݉‫݋‬ ൌ ܽ െ ‫ܣ‬ ൌ 0 െ 6 ൌ െ6
െ1 . . . . . . . . . . . .
5 . . . . . . . . . . . . . . .
2 . ......................................
െ1 . . . . . . . . . . .
5 . . . . . . . . . . . . . . .
......... 2......................................
െ6 . . . . . . . . . . . . . .
6 . . . . . .

46
Exercícios:
1) Esboçar o gráfico das funções abaixo:
a) ‫ݕ‬ ൌ 1 ൅ ‫ݔ݊݁ݏ‬
b) ‫ݕ‬ ൌ 1 ൅ ܿ‫ݔݏ݋‬
c) ‫ݕ‬ ൌ 3 ൅ 2‫ݔ2݊݁ݏ‬
d) ‫ݕ‬ ൌ 2 ൅ 3ܿ‫ݔ2ݏ݋‬
e) ‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ 4‫ݔ‬
f) ‫ݕ‬ ൌ ܿ‫ݔ4ݏ݋‬
2) Determine a função , para um período , de cada um dos gráficos abaixo:
a)
ܱ ݃‫ݎ‬á݂݅ܿ‫݋‬ é ݀ܽ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ … … … … … … … … ‫ݕ‬ ܶ ൌ
ܲ‫.݋ݐ‬ ‫ܯ‬á‫݋݉݅ݔ‬ ൌ
ܲ‫.݋ݐ‬ ݉í݊݅݉‫݋‬ ൌ
ܽ ൌ
‫ܣ‬ ൌ 0
గ
ଶ
ߨ
ଷగ
ଶ
2ߨ ‫ݔ‬
ܾ ൌ
Resposta: ‫ݕ‬ ൌ
b)
ܱ ݃‫ݎ‬á݂݅ܿ‫݋‬ é ݀ܽ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ … … … … … … … … ‫ݕ‬ ܶ ൌ
ܲ‫.݋ݐ‬ ‫ܯ‬á‫݋݉݅ݔ‬ ൌ
ܲ‫.݋ݐ‬ ݉í݊݅݉‫݋‬ ൌ
ࢀ ൌ
ଶగ
௕
ฺ ܾ ൌ ... 0
గ
ଶ
ߨ
ଷగ
ଶ
2ߨ ‫ݔ‬
ܽ ൌ
‫ܣ‬ ൌ
Resposta: ‫ݕ‬ ൌ
െ1 . . . . . . . . . . . .
7 . . . . . . . . . . . . . . .
3 . . . . . . . . . . . . . . .
െ4 . . . . . . . . . . . .
4 . . . . . . . . . . . . . . .

47
‫݊ݑܨ‬çã‫݋‬ ݂݀݁ܽ‫ܽ݀ܽݏ‬ : ‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ ሺ ‫ݔ‬ ൅ ߠሻ
A função ‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ ሺ ‫ݔ‬ ൅ ߠሻ ݁‫ݐݏ‬á ܽ݀݅ܽ݊‫ܽ݀ܽݐ‬ em relação a função ‫݋݊݁ݏ‬ .
A função ‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ ሺ ‫ݔ‬ െ ߠሻ ݁‫ݐݏ‬á ܽ‫ܽ݀ܽݏܽݎݐ‬ em relação ܽ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ‫.݋݊݁ݏ‬
Exemplo 1: Esboçar o gráfico da função : ࢟ ൌ ࢙ࢋ࢔ ሺ ࢞ ൅
࣊
૟
ሻ
Solução: A função seno está defasada em 30°em relação a função seno.
ߠ ൌ
ߨ
6
ൌ 30° ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ‫݋݊݁ݏ‬
ܶ ൌ 2ߨ ‫ݕ‬ ݂ ݂݀݁ܽ‫ܽ݀ܽݏ‬ ݁݉ 30°
‫ܣ‬ ൌ 1
. . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
ିଵ଴గ
଺
ିଽగ
ଷ
ି଼గ
଺
ି଻గ
଺
ି଺గ
଺
ିହగ
଺
ିସగ
଺
ିగ
ଶ
ିగ
ଷ
ିగ
଺
0
గ
଺
గ
ଷ
గ
ଶ
ସగ
଺
ହగ
଺
ߨ
଻గ
଺
଼గ
଺
ଷగ
ଶ
ଵ଴గ
଺
ଵଵగ
଺
2ߨ ‫ݔ‬
O ponto máximo : 90° െ 30° ൌ 60° ൌ
గ
ଷ
O ponto mínimo: 270° െ 30° ൌ 240° ൌ
଼గ
଺
Corta o ݁݅‫݋ݔ‬ ‫ݔ‬ nos pontos : െ
࣊
૟
, 180° െ 30° ൌ 150° ൌ
૞࣊
૟
e 360° െ 30° ൌ 330° ൌ
૚૚࣊
૟
Exemplo 2: Esboçar o gráfico da função : ࢟ ൌ ࢙ࢋ࢔ ሺ ࢞ ൅
࣊
૜
ሻ
O ponto máximo : 90° െ 60° ൌ 30° ൌ
గ
଺
O ponto mínimo: 270° െ 60° ൌ 210° ൌ
7ߨ
6
Corta o ݁݅‫݋ݔ‬ ‫ݔ‬ nos pontos : െ
࣊
૜
, 180° െ 60° ൌ 120° ൌ
૛࣊
૜
e 360° െ 60° ൌ 300° ൌ
૞࣊
૜
ߠ ൌ
ߨ
3
ൌ 60° ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ‫݋݊݁ݏ‬
ܶ ൌ 2ߨ ‫ݕ‬ ݂ ݂݀݁ܽ‫ܽ݀ܽݏ‬ ݁݉ 60°
‫ܣ‬ ൌ 1
. . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
ିଵ଴గ
଺
ିଽగ
ଷ
ି଼గ
଺
ି଻గ
଺
ି଺గ
଺
ିହగ
଺
ିସగ
଺
ିగ
ଶ
ିగ
ଷ
ିగ
଺
0
గ
଺
గ
ଷ
గ
ଶ
ସగ
଺
ହగ
଺
ߨ
଻గ
଺
଼గ
଺
ଷగ
ଶ
ଵ଴గ
଺
ଵଵగ
଺
2ߨ ‫ݔ‬
. . . . . . . . . . . . . . . . .-1 . . . . . . . . . . . .
1 ܶ ൌ 2ߨ
30°
. . . . . . . . . . . . . . . . .-1 . . . . . . . . . . . .
1 ܶ ൌ 2ߨ
60°

48
Exercícios: Esboçar o gráfico das funções defasadas :
a) ‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ ሺ ‫ݔ‬ ൅
ߨ
4
ሻ
b) ‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ ሺ ‫ݔ‬ ൅
ߨ
2
ሻ
c) ‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ሺ ‫ݔ‬ െ
ߨ
3
ሻ
d) ‫ݕ‬ ൌ ܿ‫ݏ݋‬ሺ ‫ݔ‬ ൅
ߨ
4
ሻ
e) ‫ݕ‬ ൌ ܿ‫ݏ݋‬ሺ ‫ݔ‬ െ
ߨ
2
ሻ

49
Arcos Simétricos : 180° െ ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ൅
- Sentido anti- horário = sentido positivo ( ൅ ).
180° ൅ ‫ݔ‬ െ
1º Quadrante ሺ 0° ܽ 90°ሻ: As funções : seno, cosseno e tangente são positivas ( + ).
2º Quadrante ( 90° ܽ 180°): Quanto falta para 180° ?
‫݋݊݁ݏ‬ ൌ ൅
ܿ‫݋݊݁ݏݏ݋‬ ൌ െ
‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ ൌ െ
‫°021݊݁ݏ‬ ൌ ൅ ‫݊݁ݏ‬ ሺ180° െ 120°ሻ ൌ ൅‫°06݊݁ݏ‬ ൌ 0,866
ܿ‫°021ݏ݋‬ ൌ െ ܿ‫ݏ݋‬ሺ180° െ 120°ሻ ൌ െܿ‫°06ݏ݋‬ ൌ െ 0,5
‫°021݃ݐ‬ ൌ െ ‫݃ݐ‬ሺ180° െ 120°ሻ ൌ െ‫°06݃ݐ‬ ൌ െ 1,732
3º Quadrante ሺ180° ܽ 270°ሻ: Quanto passou de 180° ?
‫ݔ‬ ‫݋݊݁ݏ‬ ൌ െ
180° ൅ ‫ݔ‬ ܿ‫݋݊݁ݏݏ݋‬ ൌ െ
‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ ൌ ൅
‫°012݊݁ݏ‬ ൌ െ ‫݊݁ݏ‬ ሺ180° ൅ 30°ሻ ൌ െ ‫°03݊݁ݏ‬ ൌ െ 0,5
ܿ‫°012ݏ݋‬ ൌ െ ܿ‫ݏ݋‬ሺ180° ൅ 30°ሻ ൌ െ ܿ‫°03ݏ݋‬ ൌ െ 0,866
‫°012݃ݐ‬ ൌ ൅ ‫݃ݐ‬ሺ180° ൅ 30°ሻ ൌ ൅ ‫°03݃ݐ‬ ൌ 0,577
4º Quadrante ሺ270°ܽ 360°ሻ: Quanto falta para 360° ?
‫ݔ‬ ‫݋݊݁ݏ‬ ൌ െ
360° െ ‫ݔ‬ ܿ‫݋݊݁ݏݏ݋‬ ൌ ൅
‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ ൌ െ
‫°513݊݁ݏ‬ ൌ െ ‫݊݁ݏ‬ ሺ360° െ 315°ሻ ൌ െ ‫°54݊݁ݏ‬ ൌ െ 0,707
ܿ‫°513ݏ݋‬ ൌ ൅ ܿ‫ݏ݋‬ሺ360° െ 315°ሻ ൌ ൅ ܿ‫°54ݏ݋‬ ൌ ൅ 0,707
‫°513݃ݐ‬ ൌ െ ‫݃ݐ‬ሺ360° െ 315°ሻ ൌ െ ‫°54݃ݐ‬ ൌ െ1
360° െ ‫ݔ‬
180° െ ‫.................ݔ‬ ‫ݔ‬
‫ڭ‬
‫ڭ‬

50
- Sentido horário ou sentido negativo ( െ ).
4º Quadrante 0° ܽ ሺെ90°ሻ:
‫݋݊݁ݏ‬ ൌ െ
‫ݔ‬ ܿ‫݋݊݁ݏݏ݋‬ ൌ ൅
െ ‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ ൌ െ
‫݊݁ݏ‬ሺെ30°ሻ ൌ െ ‫݊݁ݏ‬ 30° ൌ െ 0,5 ‫׵‬ ‫݋݊݁ݏ‬ é ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ Í݉‫,ݎܽ݌‬ ‫݊݁ݏ‬ሺെ‫ݔ‬ሻ ൌ െ‫ݔ݊݁ݏ‬
cosሺെ30°ሻ ൌ ܿ‫°03ݏ݋‬ ൌ 0,866 ‫׵‬ ܿ‫݋݊݁ݏݏ݋‬ é ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ܲܽ‫,ݎ‬ ܿ‫ݏ݋‬ሺെ‫ݔ‬ሻ ൌ ܿ‫ݔݏ݋‬
‫݃ݐ‬ሺെ30°ሻ ൌ െ ‫°03݃ݐ‬ ൌ െ 0,577 ‫׵‬ ‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ é ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ Í݉‫,ݎܽ݌‬ ‫݃ݐ‬ሺെ‫ݔ‬ሻ ൌ െ‫ݔ݃ݐ‬
3º Quadrante ሺെ 90°ሻ ܽ ሺെ180°ሻ:
‫ݔ‬ ‫݋݊݁ݏ‬ ൌ െ
ܿ‫݋݊݁ݏݏ݋‬ ൌ െ
‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ ൌ ൅
‫݊݁ݏ‬ሺെ120°ሻ ൌ െ‫°021݊݁ݏ‬ ൌ െ‫݊݁ݏ‬ ሺ180° െ 60°ሻ ൌ െ‫°06݊݁ݏ‬ ൌ െ 0,866
cosሺെ120°ሻ ൌ ܿ‫°021ݏ݋‬ ൌ െ ܿ‫ݏ݋‬ሺ180° െ 60°ሻ ൌ െܿ‫°06ݏ݋‬ ൌ െ 0,5
‫݃ݐ‬ሺെ120°ሻ ൌ െ‫°021݃ݐ‬ ൌ െ൫െ‫݃ݐ‬ሺ180° െ 120°ሻ൯ ൌ ൅‫°06݃ݐ‬ ൌ ൅ 1,732
2º Quadrante ሺെ180° ሻ ܽ ሺെ270°ሻ:
‫݋݊݁ݏ‬ ൌ ൅
ܿ‫݋݊݁ݏݏ݋‬ ൌ െ
‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ ൌ െ
‫݊݁ݏ‬ሺെ210°ሻ ൌ െ‫°012݊݁ݏ‬ ൌ െ൫െ ‫݊݁ݏ‬ ሺ180° ൅ 30°ሻ൯ ൌ ൅ ‫°03݊݁ݏ‬ ൌ ൅ 0,5
cos ሺെ210°ሻ ൌ ܿ‫°012ݏ݋‬ ൌ െ ܿ‫ݏ݋‬ሺ180° ൅ 30°ሻ ൌ െ ܿ‫°03ݏ݋‬ ൌ െ 0,866
‫݃ݐ‬ሺെ210°ሻ ൌ െ‫°012݃ݐ‬ ൌ െ൫൅ ‫݃ݐ‬ሺ180° ൅ 30°ሻ൯ ൌ െ ‫°03݃ݐ‬ ൌ െ 0,577
1º Quadrante ሺെ270°ሻ ܽ ሺെ360°ሻ: ‫݋݊݁ݏ‬ ൌ ൅ ‫݊݁ݏ‬ሺെ315°ሻ ൌ ‫°54݊݁ݏ‬ ൌ ൅ 0,707
ܿ‫݋݊݁ݏݏ݋‬ ൌ ൅ cos ሺെ315°ሻ ൌ ܿ‫°54ݏ݋‬ ൌ ൅0 ,707
‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ ൌ ൅ ‫݃ݐ‬ሺെ315°ሻ ൌ ‫°54݃ݐ‬ ൌ ൅1
െ‫ݔ‬

51
LIMITES DE FUNÇÕES
ࡿ ൌ ૚
Idéia Intuitiva de Limite: Seja a figura de forma quadrada e de área igual a 1.
A soma de todas as áreas hachuradas vai se aproximar de 1, dizemos que essa ‫ܽ݉݋ݏ‬ ‫݁݀݊݁ݐ‬ ܽ 1,
matematicamente nunca será igual a 1, sempre haverá uma divisão da figura.
+ ૚
૝ൗ + ૚
૝ൗ + ૚
૝ൗ ... + ... ૚
૚
૛ൗ ૚
૛ൗ ૚
૛ൗ ૚
૛ൗ
Quando as divisões tendem ao infinito a área da figura tende a 1.
Definição:
Dizemos que o limite da função ‫ݕ‬ ൌ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ, quando ‫ݔ‬ tende a ܽ é o número real ‫ܮ‬ se e
somente se, os números reais da imagem ݂ሺ ‫ݔ‬ ሻ permanecem bem próximo s de ‫ܮ‬ para os infinitos
valores de ‫ݔ‬ próximos de ܽ.
y
݂ሺ ‫ݔ‬ ሻ lim ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ
௫՜௔
ൌ ‫ܮ‬
0 ܽ ‫ݔ‬ lê-se: limite da função ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ quando ‫ݔ‬ tende a ܽ é ‫.ܮ‬
݂ሺ ‫ݔ‬ ሻ ՜ ‫ܮ‬ ‫݋݀݊ܽݑݍ‬ ‫ݔ‬ ՜ ܽ
Limites Laterais: Para que exista limite é necessário que exista limite pela esquerda e pela direita do ponto e
que esses limites sejam iguais.
Lim௫՜௔ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ ൌ lim௫՜௔ష ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ ൌ lim௫՜௔శ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ ൌ ‫ܮ‬
‫ܮ‬ െ
૚
ૡൗ
1⁄16
૚
ૡൗ

52
Y
Unicidade do limite: O limite quando existe é único. 4
Lim
௫՜ଶష
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 4 0 1 2 3 x
lim
௫՜ଶశ
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ3 -3 . . . . .
Exemplo1: Qual o limite da função ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ‫ݔ‬ ൅ 2 quando ‫ݔ‬ ՜ 0 , ‫ݔ‬ ՜ 2 .
Y
2
0 1 2 3 4 ‫ݔ‬
-2. . . . . . . . . . . ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ‫ݔ‬ ൅ 2
lim
௫՜଴
ሺെ‫ݔ‬ ൅ 2ሻ ൌ lim
௫՜଴
ሺെ0 ൅ 2ሻ ൌ 2 lim
௫՜ଶ
௫՜ଶ
ሺെ2 ൅ 2ሻ ൌ 0
lim
௫՜଴ష
௫՜଴ష
௫՜ଶష
௫՜ଶష
ሺെ2 ൅ 2ሻ ൌ 0
lim
௫՜଴శ
௫՜଴శ
௫՜ଶశ
௫՜ଶశ
ሺെ2 ൅ 2ሻ ൌ 0
Exemplo 2: Calcular o lim
‫ݔ‬՜1െ
√‫ݔ‬ െ 1 lim
௫՜ଵశ
√‫ݔ‬ െ 1 e lim
௫՜ହ
√‫ݔ‬ െ 1
Solução: A condição de existência desse limite é: O radicando
‫ݔ‬ െ 1 ൒ 0 ‫׵‬ ‫ݔ‬ ൒ 1 , existe a função para valores maiores ou igual 1, portanto
lim
௫՜ଵష
√‫ݔ‬ െ 1 ൌ ܽ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ݊ã‫݋‬ ݁‫ݐݏ‬á ݂݀݁݅݊݅݀ܽ , ݈‫݋݃݋‬ ‫׍‬ ݈݅݉݅‫.,݁ݐ‬ y ‫ݔ‬ ‫ݕ‬
lim
௫՜ଵ
√‫ݔ‬ െ 1 ൌ lim
‫ݔ‬՜1
√1 െ 1 ൌ lim
‫ݔ‬՜1
√0 ൌ 0 1 0
lim
௫՜ଵశ
௫՜ଵశ
√1 െ 1 ൌ lim
௫՜ଵశ
√0 ൌ 0 0 1 x 5 2
lim
௫՜ହ
௫՜ହ
√5 െ 1 ൌ lim
௫՜ହ
√4 ൌ 2 10 3
Não existe limite da função ‫ݕ‬ ൌ √‫ݔ‬ െ 1 quando ‫ݔ‬ ՜ 1ି
Supondo que a função ‫ݕ‬ ൌ √‫ݔ‬ െ 1 for contínua para todo ‫ݔ‬ ൒ 1 então o limite vai existir para quaisquer valores
do domínio. Por exemplo: ‫ݔ‬ ՜ 2 , ‫ݔ‬ ՜ 3 ... ‫ݔ‬ ՜ ∞ .
് ‫ݏ݁ݐ݅݉݅ܮ‬ ฺ ‫׍‬ lim݂ሺ‫ݔ‬ሻ
‫ݔ‬՜2

53
Símbolos ൅ ∞ e െ ∞ em limites
൅ ∞ lê – se mais infinito, representa um valor muito alto. Não é número.
െ ∞ lê – se menos infinito, representa um valor muito pequeno.
Exemplos 1: Seja ࢟ ൌ ࢋି࢞
, função exponencial decrescente y
a) lim
௫՜ାஶ
݁ି௫
ൌ lim
௫՜ାஶ
ଵ
௘ೣ
ൌ lim
௫՜ାஶ
ଵ
௘ಮ
ൌ lim
௫՜ାஶ
ଵ
ஶ
ൌ 0 1
- ∞ 0 +∞
b) lim
௫՜ିஶ
݁ି௫
ൌ lim
௫՜ିஶ
݁ିሺିஶሻ
ൌ lim
௫՜ିஶ
݁ஶ
ൌ ൅∞
c) lim
௫՜଴
݁ି௫
ൌ lim
௫՜଴
݁଴
ൌ lim
௫՜଴
1 ൌ 1
Exemplos 2: + ∞
Seja ‫ݕ‬ ൌ
ଵ
௫
, ‫ݔ‬ ് 0, O gráfico da função é uma hipérbole.
lim
௫՜ିஶ
ଵ
௫
ൌ lim
௫՜ିஶ
ଵ
ିஶ
ൌ 0
- ∞ 0 + ∞
lim
௫՜ାஶ
ଵ
௫
ൌ lim
௫՜ାஶ
ଵ
ஶ
ൌ 0
lim
௫՜଴ష
ଵ
௫
ൌ െ∞ ് lim
௫՜଴శ
ଵ
଴
ൌ ൅∞ ֜ ‫׍‬ lim
௫՜଴
ଵ
௫
- ∞

54
LIMITES FUNDAMENTAIS:
1) lim
௫՜଴
‫ݔ݊݁ݏ‬
‫ݔ‬
ൌ 1
2) lim
௫՜േஶ
ሺ1 ൅
ଵ
௫
ሻ௫
ൌ ݁ ؆ 2,72
Exemplos : Calcular os limites
a) lim
௫՜଴
‫ݔ4݊݁ݏ‬
‫ݔ‬
ൌ lim
௫՜଴
4 ‫ݔ4݊݁ݏ‬
4‫ݔ‬
ൌ lim
௫՜଴
4 . lim
௫՜଴
‫ݔ4݊݁ݏ‬
4‫ݔ‬
ൌ 4 . 1 ൌ 4
b) lim
௫՜ାஶ
ሺ1 ൅
ଵ
ଷ௫
ሻଷ௫
ൌ ݁ ؆ 2,72
c) lim
௫՜ାஶ
ሺ1 ൅
ଵ
௫
ሻଶ௫
ൌ lim
௫՜ାஶ
ቂሺ1 ൅
ଵ
௫
ሻ௫
ቃ
ଶ
ൌ ݁ଶ
؆ 7,4
Exercícios: Calcular o limite das funções abaixo, caso exista:
a) lim
௫՜ଵ
3‫ݔ‬ ൅ 4 ൌ
b) lim
௫՜ଶ
‫ݔ‬2
െ 7‫ݔ‬ ൅ 10 ൌ
c) lim
௫՜ଽ଴°
‫ݔ݊݁ݏ‬ ൌ
d) lim
௫՜గ
ܿ‫ݔݏ݋‬ ൌ
e) lim
௫՜ଽ଴°
ܿ‫ݔݏ݋‬ ൌ
f) lim
௫՜଻
√‫ݔ‬ െ 4 ൌ
g) lim
௫՜଴శ
ଵ
௫
ൌ
Respostas:
a) 7 b) 0 c) 1 d) െ1 e) 0 f) √3 g) ൅∞ h) െ∞

55
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO :
A função primitiva passa por um processo de derivação, derivando uma nova função chamada de função derivada .
Seja a função ‫ݕ‬ ൌ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ
contínua ( existe o limite da função no ponto e este limite é finito)
‫ݔ‬ ݁ ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ dois pontos de seu domínio.
Acréscimo da variável independente ࢞
∆‫ݔ‬ ൌ é a diferença entre o valor com o acréscimo e o primeiro valor.
Ex: ‫ݔ‬ ൌ 4 ݁ ሺ ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ ሻ ൌ 9 então ∆‫ݔ‬ ൌ 5 é o acréscimo.
Acréscimo da variável dependente ࢟
∆‫ݕ‬ ൌ é a diferença entre o valor que a função toma em ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ e o valor da função em ‫.ݔ‬
∆‫ݕ‬ ൌ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ ሻ – ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ.
RAZÃO INCREMENTAL ൌ
∆࢟
∆࢞
é a razão entre o acréscimo da variável dependente ‫ݕ‬ em relação ao
acréscimo da variável independente ‫ݔ‬ . ‫ݕ‬
Quando ∆‫ݔ‬ tende a zero ( ∆‫ݔ‬ ՜ 0 ) a razão
∆࢟
∆࢞
vai chegar no limite, e esse limite é a função derivada em ࢞.
lim∆௫՜଴
∆௬
∆௫
ൌ lim
∆௫՜଴
௙ሺ௫ା∆௫ሻ ି ௙ሺ௫ሻ
∆௫
ൌ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ݀݁‫ܽ݀ܽݒ݅ݎ‬
Definição : A derivada de uma função é o limite da razão entre o acréscimo da variável dependente em relação ao
acréscimo da variável independente, quando esta última tende a zero. Representamos esta nova função pelos
Símbolos da função derivada:
ࢊ࢟
ࢊ࢞
= ࢟´ ൌ ࢌ´ሺ࢞ሻ ൌ ࢊ
ࢊ࢞
࢟
Lê-se : ࢊࢋ࢘࢏࢜ࢇࢊࢇ ࢊࢋ ࢟ ࢋ࢓ ࢘ࢋ࢒ࢇçã࢕ ࢇ ࢞
݂ሺ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ሻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ
݂ሺ‫)ݔ‬ ......
0 ‫ݔ‬ ∆‫ݔ‬ ሺ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ሻ ‫ݔ‬

56
PROCESSO DE DERIVAÇÃO ou Regra Geral de Derivação : Regra dos 4 Passos.
Seja ܻ ൌ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ
função e x um ponto fixo , pré-estabelecido
1º Passo: ‫ݕ‬ ൅ ∆‫ݕ‬ ൌ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ ሻ Damos um ∆x à variável independente, implicando
acréscimo ∆y na função (x coloca-se ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ )
2º Passo ∆‫ݕ‬ ൌ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ሻ െ ‫ݕ‬ Fazemos a subtração da função,sabemos que y =f(x)
∆‫ݕ‬ ൌ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ ሻ െ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ Dividimos ∆‫ݔ‬ em ambos os membros da equação
3º Passo
∆௬
∆௫
ൌ
௙ ሺ ௫ା ∆௫ ሻ– ௙ ሺ ௫ ሻ
∆௫
Fazendo ∆x→0 a razão
∆௬
∆௫
chega ao limite
4º Passo ‫ܕܑܔ‬∆࢞→૙
∆࢟
∆࢞
= ‫ܕܑܔ‬∆࢞→૙
ࢌሺ࢞ା∆࢞ሻି ࢌሺ࢞ሻ
∆࢞
=
ࢊ࢟
ࢊ࢞
Esse limite é a derivada da função inicial
Exemplos :
Utilizando o processo definição de derivada calcule a derivada das funções abaixo:
a) ‫ݕ‬ = ૞࢞ ൅ ૜
1º Passo: 5‫ݔ‬ ൅ 3 ൅ ∆‫ݕ‬ = 5ሺ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ሻ ൅ 3
2º Passo ∆‫ݕ‬ = 5‫ݔ‬ ൅ 5 ∆‫ݔ‬ ൅ 3 െ 5‫ݔ‬ െ 3
∆‫ݕ‬ = 5 ∆‫ݔ‬
3º Passo
∆௬
∆௫
=
ହ ∆௫
∆௫
4º Passo lim∆௫→଴
∆௬
∆௫
= lim∆௫→଴ 5 = 5
ܴ݁‫:ܽݐݏ݋݌ݏ‬
ࢊ
ࢊ࢞
૞࢞ ൅ ૜ = ૞

57
b) ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ݊݁ݏ‬
1º Passo ‫ݕ‬ ൅ ∆‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ሺ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ሻ
2º Passo ∆‫ݕ‬ ൌ ‫.ݔ݊݁ݏ‬ ܿ‫ݏ݋‬ ∆‫ݔ‬ ൅ ‫݊݁ݏ‬ ∆‫.ݔ‬ ܿ‫ݔݏ݋‬ െ ‫ݔ݊݁ݏ‬
3º Passo
୼௬
୼௫
ൌ
௦௘௡௫.௖௢௦ ∆௫ା௦௘௡ ∆௫.௖௢௦௫ି௦௘௡௫
∆௫
4º Passo lim∆௫՜଴
∆௬
∆௫
ൌ lim∆௫՜଴
௦௘௡௫.௖௢௦ ∆௫ା௦௘௡ ∆௫.௖௢௦௫ି௦௘௡௫
∆௫
ൌ
lim∆௫՜଴
௦௘௡௫.௖௢௦ ∆௫
∆௫
൅ lim∆௫՜଴
௦௘௡ ∆௫.௖௢௦௫
∆௫
െ lim∆௫՜଴
௦௘௡௫
∆௫
ൌ
݈݅݉
∆௫՜଴
‫.ݔ݊݁ݏ‬
∆‫ݔ‬
. lim
∆௫՜଴
cos ∆‫ݔ‬ ൅ lim
∆௫՜଴
‫݊݁ݏ‬ ∆‫ݔ‬
∆‫ݔ‬
. lim
∆௫՜଴
ܿ‫ݔݏ݋‬ െ lim
∆௫՜଴
‫ݔ݊݁ݏ‬
∆‫ݔ‬
ൌ
݈݅݉∆௫՜଴
௦௘௡௫.
∆௫
. lim∆௫՜଴ cos 0° ൅ 1 . lim∆௫՜଴ ܿ‫ݔݏ݋‬ െ lim∆௫՜଴
௦௘௡௫
∆௫
ൌ
݈݅݉
∆‫ݔ‬՜0
‫.ݔ݊݁ݏ‬
∆‫ݔ‬
൅ lim
∆‫ݔ‬՜0
ܿ‫ݔݏ݋‬ െ lim
∆‫ݔ‬՜0
‫ݔ݊݁ݏ‬
∆‫ݔ‬
ൌ lim
∆௫՜଴
ܿ‫ݔݏ݋‬ ൌ ܿ‫ݔݏ݋‬
Resposta:
ࢊ
ࢊ࢞
࢙ࢋ࢔࢞ ൌ ࢉ࢕࢙࢞

58
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
Determinar
ௗ௬
ௗ௫
das funções abaixo, utilizando a definição de derivada .
a) ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬
b) ‫ݕ‬ ൌ 10‫ݔ‬ െ 4
c) ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ଶ
൅ 3‫ݔ‬
Respostas: a)
ௗ௬
ௗ௫
ൌ 1 b)
ௗ௬
ௗ௫
ൌ 10 c)
ௗ௬
ௗ௫
ൌ 2‫ݔ‬ ൅ 3
Para encontrar a derivada de uma função usando a Regra geral de derivação é um trabalho exaustivo e
demorado.
Assim faremos o uso de um formulário de derivadas.

59
FÓRMULA DE DERIVAÇÃO: Sejam ࢛, ࢜ ݂‫݊ݑ‬çõ݁‫ݏ‬ ݀݁‫ݒ݅ݎ‬á‫ݏ݅݁ݒ‬ ݁݉ ‫ݔ‬ ݁ ‫ݕ‬ ൌ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ.
FUNÇÃO DERIVADA
1 ‫ݕ‬ ൌ ݇ cte. ‫´ݕ‬ൌ 0
2 ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ ‫´ݕ‬ൌ 1
3 ‫ݕ‬ ൌ ‫ݑ‬ ‫´ݕ‬ൌ ‫´ݑ‬
4 ‫ݕ‬ ൌ ܽ . ‫ݑ‬ ‫´ݕ‬ൌ ܽ . ‫´ݑ‬ ܽ ൌ ܿ‫݁ݐ݊ܽݐݏ݊݋‬
5
‫ݕ‬ ൌ
௨
௔ ‫´ݕ‬ൌ
௨´
௔
6 ‫ݕ‬ ൌ ‫ݑ‬௡
‫´ݕ‬ൌ ݊ . ‫ݑ‬௡ିଵ
. ‫´ݑ‬
7 ‫ݕ‬ ൌ ‫ݑ‬ ൅ ‫ݒ‬ ‫´ݕ‬ൌ ‫´ݑ‬൅ ‫´ݒ‬
8 ‫ݕ‬ ൌ ‫ݑ‬ . ‫ݒ‬ ‫´ݕ‬ൌ ‫´ݑ‬‫ݒ‬ ൅ ‫ݑ‬ ‫´ݒ‬
9
‫ݕ‬ ൌ
௨
௩ ‫´ݕ‬ൌ
௨´௩ ି ௨ ௩´
௩మ
10 ‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ ‫ݑ‬ ‫´ݕ‬ൌ ‫´ݑ‬. ܿ‫ݏ݋‬ ‫ݑ‬
11 ‫ݕ‬ ൌ ܿ‫ݏ݋‬ ‫ݑ‬ ‫´ݕ‬ൌ െ ‫.ݑ‬ ´‫݊݁ݏ‬ ‫ݑ‬
12 ‫ݕ‬ ൌ ݁௨
‫´ݕ‬ൌ ‫´ݑ‬. ݁௨
13 ‫ݕ‬ ൌ ݈݊ ‫ݑ‬ ‫ݕ‬ ´ൌ
௨´
௨
14 ‫ݕ‬ ൌ ‫݃ݐ‬ ‫ݑ‬ ‫´ݕ‬ൌ ‫´ݑ‬. ሺ‫ܿ݁ݏ‬ ‫ݑ‬ሻଶ
15 ‫ݕ‬ ൌ ܽ௨
‫´ݕ‬ൌ ܽ௨
. ݈݊ ܽ . ሺ ‫´ݑ‬ሻ
16 ‫ݕ‬ ൌ ݈‫݃݋‬௔ ‫ݑ‬ ‫´ݕ‬ൌ
௨´
௨ .௟௡ ௔
17 ‫ݕ‬ ൌ ‫ݑ‬௩
‫´ݕ‬ൌ ‫ݒ‬ ‫ݑ‬௩ିଵ
. ‫´ݑ‬൅ ‫ݑ‬௩
. ݈݊ ‫ݑ‬ . ‫´ݒ‬
REGRA DA CADEIA : ( derivada da função composta ሻ: Sejam as funções ݂ ݁ ݃
‫ݕ‬ ൌ ݂ ሺ ‫ݑ‬ ሻ ݁ ‫ݑ‬ ൌ ݃ ሺ ‫ݔ‬ ሻ ݁݊‫ݐ‬ã‫݋‬ ‫ݕ‬ ൌ ݂ ሾ ݃ ሺ‫ݔ‬ሻሿ ൌ ሺ ݂‫݃݋‬ ሻሺ‫ݔ‬ሻ
݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ܿ‫ܽݐݏ݋݌݉݋‬ :
ௗ௬
ௗ௫
ൌ
ௗ௬
ௗ௨
.
ௗ௨
ௗ௫
DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR : são derivadas sucessivas da função
‫ݕ‬ ൌ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ ‫´ݕ‬ ൌ ݂´ሺ ‫ݔ‬ ሻ é ܽ 1ª ݀݁‫ܽ݀ܽݒ݅ݎ‬
‫´ݕ‬´ൌ ݂´´ሺ ‫ݔ‬ ሻ é ܽ 2ª ݀݁‫ܽ݀ܽݒ݅ݎ‬ ‫ݑ݋‬ ‫݆ܽ݁ݏ‬ ‫´ݕ‬´ൌ ݂´ሺ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ ሻ
Exemplo : Calcular a 3ª derivada da função ‫ݕ‬ ൌ 2 ‫ݔ‬ଷ
൅ 5 ‫ݔ‬ଶ
– 3 ‫ݔ‬ ൅ 5
‫ݕ‬ ´ൌ 6 ‫ݔ‬ଶ
൅ 10‫ݔ‬ െ 3
‫´ݕ‬´ൌ 12 ‫ݔ‬ ൅ 10
‫´ݕ‬´´ൌ 12

60
Exemplos de cálculo de derivadas usando a tabela:
1) ࢟ ൌ ࢑ ֜֜֜֜ ࢟ ´ ൌ ૙ ࢑ ൌ ࢉ࢕࢔࢙࢚ࢇ࢔࢚ࢋ
a) ‫ݕ‬ ൌ 8 ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 0
b) ‫ݕ‬ ൌ 1 ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 0
c) ‫ݕ‬ ൌ െ3 ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 0
d) ‫ݕ‬ ൌ ߨ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 0
e) ‫ݕ‬ ൌ ݉ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 0
2) ࢟ ൌ ࢞ ࢟ ൌ ࢇ. ࢞ ࢇ ൌ ࢉ࢕࢔࢙࢚ࢇ࢔࢚ࢋ : número ou letra
a) ࢟ ൌ ࢞ ֜֜֜֜ ࢟ ´ ൌ ૚
b) ‫ݕ‬ ൌ െ‫ݔ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ െ1
c) ‫ݕ‬ ൌ 2‫ݔ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 2
d) ‫ݕ‬ ൌ െ
‫ݔ‬
3
‫ݔ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ െ
‫ݔ‬
3
e) ‫ݕ‬ ൌ ݉‫ݔ‬ ֜ ‫´ݕ‬ ൌ ݉
3) ࢟ ൌ ࢛࢔ ֜֜֜֜ ࢟ ´ ൌ ࢔.࢛࢔െ૚.࢛´
a) ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬2 ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 2 .‫ݔ‬2െ1.1 ൌ 2‫ݔ‬
b) ‫ݕ‬ ൌ 2‫ݔ‬3 ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 2 .3. ‫ݔ‬3െ1.1 ൌ 6‫ݔ‬ଶ
c) ‫ݕ‬ ൌ െ‫ݔ‬4 ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ െ4 .‫ݔ‬4െ1.1 ൌ െ 4‫ݔ‬
d) ‫ݕ‬ ൌ ሺ3‫ݔ‬ሻଷ
֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 3 ሺ3‫ݔ‬ሻଷିଵ
. 3 ൌ 3.3. ሺ3‫ݔ‬ሻଶ
ൌ 9.9‫ݔ‬ଶ
ൌ 81‫ݔ‬ଶ
e) ‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ଶ
‫ݔ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 2. ‫݊݁ݏ‬ଶିଵ
‫ݔ‬ . ܿ‫ݔݏ݋‬
‫ݕ‬ ´ ൌ 2. ‫ݔ݊݁ݏ‬ . ܿ‫ݔݏ݋‬

61
4) ࢟ ൌ ࢜ ൅ ࢛ ֜ ࢟ ´ ൌ ࢛ ´ ൅ ࢜ ´
a) ‫ݕ‬ ൌ 5‫ݔ‬ଶ
൅ 3‫ݔ‬ െ 4 ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 5.2‫ݔ‬ ൅ 3 െ 0 ൌ 10‫ݔ‬ ൅ 3
݁௫
b) ‫ݕ‬ ൌ െ‫ݔ‬ଷ
൅ ܿ‫ݔ3ݏ݋‬ ൅ 7‫ݔ‬ ൅ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ െ3 ‫ݔ‬ଶ
െ 3. ܿ‫ݔ3ݏ݋‬ ൅ 7
c) ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ସ
െ ‫ݔ2݊݁ݏ‬ ൅ ݉‫ݔ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 4 ‫ݔ‬ସିଵ
െ 2. ‫ݔ2݊݁ݏ‬ ൅ ݉ ൌ 4‫ݔ‬ଷ
െ 2݉‫ݔ݊݁ݏ‬ ൅ ݉
5) ࢟ ൌ ࢛ . ࢜ ֜ ࢟ ´ ൌ ࢛ ´. ࢜ ൅ u. v
a) ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ . ‫ݔ݊݁ݏ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ ‫ݑ‬ ´. ‫ݒ‬ ൅ u. v
‫ݑ‬ ൌ ‫ݔ‬ ֜ ‫´ݑ‬ ൌ 1 ‫ݕ‬ ´ ൌ 1. ‫ݔ݊݁ݏ‬ ൅ ‫.ݔ‬ ܿ‫ݔݏ݋‬
‫ݒ‬ ൌ ‫ݔ݊݁ݏ‬ ֜ ‫ݒ‬ ´ ൌ ܿ‫ݔݏ݋‬ ‫ݕ‬ ´ ൌ ‫ݔ݊݁ݏ‬ ൅ ‫.ݔ‬ ܿ‫ݔݏ݋‬
b) ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ଶ
. ܿ‫ݔ5ݏ݋‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ ‫ݑ‬ ´. ‫ݒ‬ ൅ ‫ݑ‬ . ‫ݒ‬ ´
‫ݑ‬ ൌ ‫ݔ‬ଶ
֜ ‫´ݑ‬ ൌ 2‫ݔ‬ ‫ݕ‬ ´ ൌ 2‫.ݔ‬ ܿ‫ݔ5ݏ݋‬ ൅ ‫ݔ‬ଶ
. ሺെ5‫ݔ5݊݁ݏ‬ሻ
‫ݒ‬ ൌ ܿ‫ݔ5ݏ݋‬ ֜ ‫ݒ‬ ´ ൌ െ5 ‫ݔ5݊݁ݏ‬ ‫ݕ‬ ´ ൌ 2‫.ݔ‬ ܿ‫ݔ5ݏ݋‬ െ 5‫ݔ‬ଶ
. ‫ݔ5݊݁ݏ‬
6) ࢟ ൌ
࢛
࢜ ֜ ࢟ ´ ൌ ࢛ ´. ࢜ െ ࢛ .࢜ ´
࢜૛
a) ‫ݕ‬ ൌ
‫ݔ8݊݁ݏ‬
4‫ݔ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ ‫ݑ‬ ´. ‫ݒ‬ െ ‫ݑ‬ .‫ݒ‬ ´
‫ݒ‬2
‫ݑ‬ ൌ ‫ݔ8݊݁ݏ‬ ֜ ‫´ݑ‬ ൌ 8. ܿ‫ݔ8ݏ݋‬ ‫ݕ‬ ´ ൌ
8.ܿ‫ݔ8ݏ݋‬ .൫4‫ݔ‬൯ െ ‫ݔ8݊݁ݏ‬ .ሺ4ሻ
ሺ4‫ݔ‬ሻ
2
‫ݒ‬ ൌ 4‫ݔ‬ ֜ ‫ݒ‬ ´ ൌ 4 ‫ݕ‬ ´ ൌ
64‫ݔ8ݏ݋ܿ.ݔ‬ െ 8 ‫ݔ8݊݁ݏ‬
16‫ݔ‬
2
b) ‫ݕ‬ ൌ
ܿ‫ݔݏ݋‬
‫ݔ݊݁ݏ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ ‫ݑ‬ ´. ‫ݒ‬ െ ‫ݑ‬ .‫ݒ‬ ´
‫ݒ‬2
‫ݑ‬ ൌ ܿ‫ݔݏ݋‬ ֜ ‫´ݑ‬ ൌ െ‫ݔ݊݁ݏ‬ ‫ݕ‬ ´ ൌ
ሺെ‫ݔ݊݁ݏ‬ሻ. ‫ݔ݊݁ݏ‬ െ ܿ‫ݔݏ݋‬ .cosx
ሺ‫ݔ݊݁ݏ‬ሻ
2
‫ݒ‬ ൌ ‫ݔ݊݁ݏ‬ ֜ ‫ݒ‬ ´ ൌ ܿ‫ݔݏ݋‬ ‫ݕ‬ ´ ൌ
ି௦௘௡మ௫ ି ୡ୭ୱమ୶
௦௘௡మ௫

62
7) ࢟ ൌ ࢒࢔࢛ ֜ ࢟ ´ ൌ
࢛ ´
࢛
a) ‫ݕ‬ ൌ ݈݊2‫ݔ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ
‫ݑ‬ ´
‫ݑ‬
‫ݑ‬ ൌ 2‫ݔ‬ ֜ ‫´ݑ‬ ൌ 2 ‫ݕ‬ ´ ൌ
2
2‫ݔ‬
ൌ
ଵ
௫
b) ‫ݕ‬ ൌ ݈݊
ܿ‫ݔݏ݋‬
‫ݔ݊݁ݏ‬
֜ ‫ݕ‬´ ൌ
௨ ´
௨
‫ݑ‬ ൌ ܿ‫ݔݏ݋‬ ֜ ‫´ݑ‬ ൌ െ‫ݔ݊݁ݏ‬ ‫ݕ‬ ´ ൌ
െ‫ݔ݊݁ݏ‬
ܿ‫ݔݏ݋‬
‫ݕ‬ ´ ൌ െ‫ݔ݃ݐ‬
c) ‫ݕ‬ ൌ ݈݊ ሺ‫ݔ‬ଶ
െ 3xሻ ֜ ‫´ݕ‬ ൌ
‫ݑ‬ ´
‫ݑ‬
‫ݑ‬ ൌ ‫ݔ‬2 െ 3x ֜ ‫´ݑ‬ ൌ 2‫ݔ‬ െ 3 ‫ݕ‬ ´ ൌ
2‫ݔ‬െ3
‫ݔ‬2െ3x
8) ‫ݕ‬ ൌ ݁‫ݑ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ ‫ݑ‬ ´.݁‫ݑ‬
a) ‫ݕ‬ ൌ ݁9‫ݔ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ ‫ݑ‬ ´.݁‫ݑ‬
‫ݑ‬ ൌ 9‫ݔ‬ ֜ ‫ݑ‬ ´ ൌ 9 ‫ݕ‬ ´ ൌ 9.݁9‫ݔ‬
b) ‫ݕ‬ ൌ ݁‫ݔ݊݁ݏ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ ‫ݑ‬´.݁‫ݑ‬
‫ݑ‬ ൌ ‫ݔ݊݁ݏ‬ ֜ ‫ݑ‬ ´ ൌ ܿ‫ݔݏ݋‬ ‫ݕ‬ ´ ൌ ܿ‫ݔݏ݋‬ . ݁‫ݔ݊݁ݏ‬
c) ‫ݕ‬ ൌ ݁ܿ‫ݔ2ݏ݋‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ ‫ݑ‬´.݁‫ݑ‬
‫ݑ‬ ൌ ܿ‫ݔ2ݏ݋‬ ֜ ‫ݑ‬ ´ ൌ െ2. ‫ݔ2݊݁ݏ‬ ‫ݕ‬ ´ ൌ െ2. ‫ݔ2݊݁ݏ‬. ݁ܿ‫ݔ2ݏ݋‬

63
Interpretação Geométrica da Derivada:
Consideramos a curva de função contínua ‫ݕ‬ ൌ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ).
Tomemos dois pontos de seu domínio: ‫ݔ‬ ݁ ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ com suas respectivas imagens ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ݁ ݂ሺ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ሻ.
݆ܵ݁ܽ ܲ ൫‫ݔ‬ , ݂ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ݁ ܳ ሺ ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ , ݂ሺ ‫ݔ‬ ൅ ∆ሻ ሻ
Pontos da ࢘ࢋ࢚ࢇ ࢙ secante a curva a qual determina uma inclinação com o eixo das abscissas de â݊݃‫݋݈ݑ‬ ߙ.
A ‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ ݀‫݋‬ â݊݃‫݋݈ݑ‬ ߙ determina o ܿ‫݁ݐ݂݊݁݅ܿ݅݁݋‬ ܽ݊݃‫ݎ݈ܽݑ‬ ݀ܽ ‫ܽݐ݁ݎ‬ ࢙.
‫ܣ‬ ‫ܽݐ݁ݎ‬ ࢚ ‫݃ݐ‬ à curva ݊‫݋‬ ‫݋ݐ݊݋݌‬ ܲ determina uma inclinação de â݊݃‫݋݈ݑ‬ ߠ com o ݁݅‫݋ݔ‬ ݀ܽ‫ݏ‬ ܾܽ‫ݏܽݏݏ݅ܿݏ‬ , ‫.ݔ‬
‫ߙ݃ݐ‬ ൌ
∆௬
∆௫
= coeficiente angular da reta s
Se ∆‫ݔ‬ ՜ 0 ‫݋‬ ‫݋ݐ݊݋݌‬ ܳ ՜ ܲ, ܽ ‫ܽݐ݁ݎ‬ ࢙ ՜ ࢚ ݁ ߙ ՜ ߠ,assim
‫ߙ݃ݐ‬ ՜ ‫ߠ݃ݐ‬ , ‫ݑ݋‬ ‫݆ܽ݁ݏ‬ , ‫ߙ݃ݐ‬ ൌ
∆௬
∆௫
chega ao limite.
Esse limite é a derivada da função .
Esta derivada é coeficiente angular da reta tangente à curva de equação ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ no ponto P.
‫ߠ݃ݐ‬ ൌ lim∆௫՜଴
∆௬
∆௫
ฺ ‫ߠ݃ݐ‬ ൌ ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ
Conclusão: O valor da derivada na abscissa de um ponto de uma curva é igual ao coeficiente angular da reta
tangente à curva nesse ponto.
Exemplo: Achar o coeficiente angular da reta tangente à curva de equação ࢟ ൌ ࢞૛
൅ ૛࢞ no seu ponto ‫ݔ‬ ൌ 2 .
Solução: O coeficiente angular é ݂´ሺ2ሻ, que é a derivada da função dada.
݂´ሺ2ሻ =lim∆௫՜଴
௙ሺଶା∆௫ሻି ௙ሺଶሻ
∆௫
݂´ሺ2ሻ ൌ lim∆‫ݔ‬՜0
ሾ ൬2൅∆‫ݔ‬ሻ
2
൅2 ሺ2൅∆‫ݔ‬ሻ൨െ ሾ22
൅2.2ሿ
∆‫ݔ‬
ൌ lim∆‫ݔ‬՜0
4൅4∆‫ݔ‬൅ሺ∆‫ݔ‬ሻ
2
൅4൅2∆‫ݔ‬െ8
∆‫ݔ‬
݂´ሺ 2 ሻ = lim∆௫՜଴
∆௫ሺ∆௫ା଺ሻ
∆௫
= lim∆௫՜଴ ∆‫ݔ‬ ൅ 6 ൌ 0 ൅ 6 ൌ 6 ‫׵‬ ࢌ´ሺ૛ሻ ൌ ૟
݂ሺ‫ݔ‬ሻ . . . . . . . . . .• ܲ
‫ݕ‬ ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫)ݔ‬ curva
݂ሺ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ሻ … … … … … … … • . ܳ
∆‫ݕ‬
∆‫ݔ‬
0 ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ ‫ݔ‬
ߠ ߙ

64
Exercícios de derivadas:
1) Dadas as funções encontre sua derivada: respostas
a) ‫ݕ‬ ൌ 3‫ݔ‬ଶ
൅ 4‫ݔ‬ െ 5
ௗ௬
ௗ௫
ൌ 6‫ݔ‬ ൅ 4
b) ‫ݏ‬ ൌ 2‫ݐ‬ ൅ ‫ݐ‬ଶ ௗ௦
ௗ௧
ൌ 2 ൅ 2‫ݐ‬
c) ‫ݕ‬ ൌ
ଷ
௫మାଶ
ௗ௬
ௗ௫
ൌ
ି଺௫
ሺ௫మାଶሻమ
dሻ ‫ݕ‬ ൌ
௫3ା଻௫
଺
ௗ௬
ௗ௫
ൌ
3‫ݔ‬2൅7
6
e) ‫ݎ‬ ൌ lnሺ2‫ݔ‬ଶ
െ 3‫ݔ‬ ൅ 4ሻ
ௗ௥
ௗ௫
ൌ
4‫ݔ‬െ3
2‫ݔ‬2െ3‫ݔ‬൅4
f) ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ଶ
. ݈݊‫ݔ‬ଶ ݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
ൌ 2‫ݔ‬ሺ 1 ൅ 2݈݊‫ݔ‬ሻ
g) ‫ݕ‬ ൌ 2ଶ௫ ௗ௬
ௗ௫
ൌ 2ଶ௫ାଵ
. ݈݊2
h) ‫ݕ‬ ൌ െ5‫ݔ‬ହ ௗ௬
ௗ௫
ൌ െ25ସ
i) ‫ݕ‬ ൌ
݈݊‫ݔ‬
‫ݔ‬
ௗ௬
ௗ௫
ൌ
1െ݈݊‫ݔ‬
‫ݔ‬2
j) ‫ݕ‬ ൌ ݁ଶ௫ା௘ ௗ௬
ௗ௫
ൌ 2݁ଶ௫ା௘

65
k) ‫ݏ‬ ൌ ݁௧ ௗ௬
ௗ௧
ൌ ݁௧
l) ‫ݕ‬ ൌ ‫.ݔ‬ ܿ‫ݔ5ݏ݋‬
ௗ௬
ௗ௫
ൌ െ5‫ݔ5݊݁ݏݔ‬ ൅ ܿ‫5ݏ݋‬
m) ‫ݕ‬ ൌ
‫ݔ2݊݁ݏ‬
‫ݔ‬
ௗ௬
ௗ௫
ൌ
2‫ݔ2ݏ݋ܿݔ‬െ‫ݔ2݊݁ݏ‬
‫ݔ‬2
n) ‫ݕ‬ ൌ ݁௫
. ܿ‫ݔݏ݋‬
ௗ௬
ௗ௫
ൌ ݁௫
ሺܿ‫ݔݏ݋‬ െ ‫ݔ݊݁ݏ‬ሻ
o) ‫ݕ‬ ൌ ݁ି௫
. ‫ݔ݊݁ݏ‬
ௗ௬
ௗ௫
ൌ ݁ି௫
ሺܿ‫ݔݏ݋‬ െ ‫ݔ݊݁ݏ‬ሻ
p) ߩ ൌ
݁‫ݐ‬െ1
݁‫ݐ‬൅1
ௗఘ
ௗ௧
ൌ
ଶ௘೟
ሺ௘೟ାଵሻమ
q) ‫ݕ‬ ൌ ݈݊‫ݔ݊݁ݏ‬
ௗ௬
ௗ௫
ൌ ܿ‫ݔ݃ݐ݋‬
r) ‫ݕ‬ ൌ √݁௫ ௗ௬
ௗ௫
ൌ
√௘ೣ
ଶ
s) ‫ݕ‬ ൌ √‫ݔ‬ଶ3 ௗ௬
ௗ௫
ൌ
ଶ
ଷ √௫
య

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