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CURSOS LIVRES DE 3º GRAU – FENÔMENOS DE TRANSPORTE
FORMULÁRIO
NÚMERO DE REYNOLDS – Rey
(1)
V D
Re y
⋅
=
ν
(2)
V D
Rey
⋅ ⋅ρ
=
µ
(3)
V D
Rey
g
⋅ ⋅ γ
=
µ ⋅
(4)
µ
ν =
ρ
Rey ≤ 2300 ⇒ Regime Laminar
Rey ≥ 4000 ⇒ Regime Turbulento
V ≡ Velocidade em m/s
D ≡ Diâmetro em m
ν ≡ Viscosidade Cinemática em m²/s
ρ ≡ Massa Específica em kg/m³
µ ≡ Viscosidade Absoluta em m²/s
γ ≡ Peso Específico em N/m³
2
3
H O 9,81 10 N/m³γ ≡ ⋅
Hgd 13,6=
FATOR DE ATRITO – f
(5)
64
f
Re y
= (6)
2
0,9
1,325
f
5,74
ln
3,7 D Re y
=
  ε
+  
⋅  
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
(7) + + − ∆ − ∆ − + = + +
γ γ
2 2
1 1 2 2
1 f L T B 2
p v p v
z h h H H z
2g 2g
PERDA DE CARGA - ∆h
(8)
2
f L V
h
2g D
⋅ ⋅
∆ =
⋅
(9)
32 L V
h
D
⋅µ⋅ ⋅
∆ =
γ ⋅
(10)
2 1P P
h
−
∆ =
γ
PERDA DE CARGA UNITÁRIA – J
1 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

(11)
h
J
L
∆
= (12)
1,85
1,85 4,87
Q
J 10,65
C D
=
⋅
Q ≡ Vazão em l/s ou m³/s
L ≡ Comprimento em m
C ≡ Coeficiente de Hazen
g =9,81 m/s²
ε ≡ Rugosidade Absoluta em m
VAZÃO – Q
(13) Q V A= ⋅ (14)
D²
A
4
π
= (15)
4Q
V
D²
=
π
(16)
4Q
Rey
D
=
πν
EQUAÇÃO DE CONTINUIDADE E EQUAÇÃO DE BERNOULLI
1. No sistema da figura abaixo, determine a pressão no ponto B sabendo que:
• Há uma perda de 1,83 m entre A e B
• O diâmetro em A é de 300 mm
• O diâmetro em B é de 600 mm
• O fluido tem densidade d = 0,811
Solução:
Pela Equação da Continuidade, calculam-se as velocidades do fluido em A e em B. Acompanhe:

A A B B
2
a
A A A A A
2
b
B B B B B
Q v A v A v A 0,222 m³ / s
D 4
v A 0,222 v 0,222 v 0,222 m / s v 3,14 m / s
4 0,3²
D 4
v A 0,222 v 0,222 v 0,222 m / s v 0,786 m / s
4 0,6²
= ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ =
 π
 ⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ = × ∴ =
  π ×
 
 π
 ⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ = × ∴ =
  π × 
 
Escrevendo a
Equação de Bernoulli, entre A e B com referência em A:
( )
2 2
A A B B
A AB B
A B
A B
A B
AB água
p v p v
Z h Z
2g 2g
Dados :
Z 0 Re ferência Z 4,57 m
p 210 kPa p ?
v 3,14 m / s v 0,786 m / s
h 1,83 m d 0,811 9,82 kN / m³ 7,96 kN / m³
+ + − = + +
γ γ
= =
= =
= =
= γ = ⋅ γ ⇔ γ = × ⇔ γ =
2 2
A A B B
A AB B
B
B B
B
B B
p v p v
Z h Z
2g 2g
Substituindo :
p210 3,14² 0,786²
0 1,83 4,57
7,96 19,62 19,62
p p
26,38 0,503 1,83 4,57 0,0315 25,05 4,60
p
25,05 4,60 20,45 p 20,45 20,45 7,96 kPa p 162,78 kPa
+ + − = + +
γ γ
+ + − = + +
γ
+ − = + + ⇔ = +
γ γ
= − = ⇔ = γ = × ∴ =
γ
2. Em um projeto de sistema de tubulação BCD, transportará óleo (d = 0,96) entre os reservatórios R1 e R2.
Determine a perda de carga total entre os reservatórios e a vazão.

Dados:
2 2 2
1 1 2
AB BC CE 1 2
v v v
h 0,6 ; h 5,4 ; h 8,0 ; D 400 mm; D 150 mm
2g 2g 2g
∆ = ∆ = ∆ = = =
Solução:
Aplicando a Equação de Bernoulli entre A e E, com referência em E:
2 2 2 2 2
A A 1 1 2 E E
A E
água
2 2
1 2
2 2
2 21 2
1 2
p v v v v p v
Z 0,6 5,4 8,0 Z
2g 2g 2g 2g 2g
d 0,96 9,81 kN / m³ 9,42 kN / m³
Susbtituindo :
v v
9,2 0 0 6,0 8,0 0 0 0
2g 2g
v v
6,0 8,0 9,2 6,0v 8,0v 9,2 2g 9,2 2 9
2g 2g
 
+ + − + + = + +  γ γ 
γ = ⋅ γ ⇔ γ = × ∴ γ =
 
+ + − + = + +  
 
+ = ⇔ + = × = × ×
( )
2 2
1 2
2 2
1 2
,81
6,0v 8,0v 9,2 2 9,81
6,0v 8,0v 180,50 1
+ = × ×
+ =
Aplicando a Equação da Continuidade:
1 1 2 2
1
Q v A v A
v
= ⋅ = ⋅
π
⋅
2
1D
4
2v
  π
= ⋅  
 
2
2D
4
( )1 2 1 2 1 2
0,15²
v 0, 4² v 0,15² v v v 0,14v 2
0, 4²
 
  
 
× = × ⇔ = × ∴ =
Substituindo (2) em (1):

( )
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 1
6,0v 8,0v 180,50
v 0,14v
6,0 0,14v 8,0v 180,50
180,50
0,1176v 8,0v 180,50 8,12v 180,50 v v 22,23
8,12
v 4,71 m / s v 0,659 m / s
 + =

=
× + =
+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
∴ = ⇒ =
Perda de Carga Total:
2 2
1 2v v 0,659² 4,71²
h 6,0 8,0 h 6,0 8,0 m h 9,18 m
2g 2g 19,62 19,62
∆ = + ⇔ ∆ = × + × ∴ ∆ =
Vazão:
2
1
1 1
D 3,14 0,4²
Q v A Q 0,659 Q 0,659 m³ / s
4 4
Q 0,225 m³ / s
 π × 
= ⋅ ⇔ = × ⇔ = ×       
∴ =
3. A água escoa num tubo horizontal de 150mm sob uma pressão de 414 kPa. Admitindo que não haja perdas, qual
será a vazão se a pressão de redução de 75 mm de diâmetro for de 138 kPa?
Solução:
Aplicando a Equação de Bernoulli, entre os pontos 1 e 2 de uma mesma horizontal temos:
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
v p v p
z z
g gγ γ
+ + = + +
Substituindo os dados, temos:
( )
( )
( )
2 2
1 2
2 2
1 2
2 2
2 1
2 2
2 1
414 138
9,8
2 9,8 2 9,8
414 138
2 2
2 414 138
552 1
v v
g g
v v
v v
v v
+ = + ×
+ = +
− = −
− =
g
Utilizando a Equação da Continuidade:
1 1 2 2
2 2
1 2
2 1
150 75
4 4
4
A v A v
v v
v v
π π
⋅ = ⋅
⋅ ⋅
⋅ = ⋅
= ⋅
( )2 2
2 116 2v v= ⋅
Substituindo (2) em (1), obtemos:
2
2 2 2 2
1 1 1 1 12
552
16 552 15 552 36,8 6,07
15
m m
v v v v v
ss
− = ⇔ = ⇔ = = ∴ =

( )
1 1
2
0,15
6,07 0,107 ³ /
4
Q v A
Q m s
π
= ⋅
⋅
= ⋅ =
∴ Q = 0,107 m³/s
4. Para o sifão de 50 mm de diâmetro que retira óleo, com densidade d = 0,82, do reservatório, a perda de carga do
ponto 1 ao ponto 2 é de 1,50 m e do ponto 2 ao ponto 3 é de 2,40 m. Determine a descarga de óleo do sifão e a
pressão do óleo no ponto 2.
Solução:
Sabemos que:
( )
( )
2
3,14 0,05²
0,00196 1
4 4
Q A v
D
Q v Q v Q v
π
= ⋅
⋅
= ⋅ ⇔ = ⋅ ∴ = ⋅
Aplicando a Equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 3, tomando como referência o ponto 3, temos:
22
3 31 1
1 2
2 2
v pv p
z z H
g gγ γ
+ + = + + + ∆
onde:
z1 = 5,0 m
2
1
1
0
2
0
v
g
p
γ
=
=
z2 = 0
2
0
p
γ
=
3,90H m∆ =
Dessa forma, temos:

2
3
2
23
3 1
5 3,9
2
1,1 21,56 4,64 /
19,6
v
g
v
v v m s
= +
= ⇔ = ∴ =
Logo, a vazão ou descarga é:
Q = 0,00196.v1
Q = 0,00196 × 4,64
Q = 0,0091 m³/s
E para encontrarmos a pressão no ponto 2, devemos aplicar a Equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 tomando o
ponto 1 como referência:
( )
+ + − = + +
− = + + = = ⋅ =
= − + + = − × = −
2 2
1 1 2 2
1 12 2
2
2
2
2 2
4,64
0 1,5 2 9,81. 9,81 0,82 8,04 / ³
19,62
2 1,5 1,097 4,6 8,04 36,98
óleo
óleo
óleo
v p v p
z h z
g g
p
d kN m
p kPa
γ γ
γ
γ
γ
5. Em um tubo encurvado, tem-se os pontos 1 e 2. No ponto 1 existe uma pressão de 1,9 kgf/cm², assinalada no
manômetro M, com diâmetro 25% maior que em 2. Na extremidade 2, com diâmetro de 100 mm, a velocidade é 3
m/s e a água é descarregada na atmosfera. Calcular a perda de carga entre os pontos 1 e 2. Sabe-se que γágua =
1000 kgf/m³
Solução:
Dados:
2
4
1
2
1
2
H O
p 1,9 kgf / cm² 1,9 10 kgf /m²
D 100 mm 0,100 m
D 125 mm 0,125 m
V 3,0 m / s
1000 kgf / m³
−
= = ⋅
= =
= =
=
γ =

Da Equação da Continuidade, temos:
1 1 2 2
1
Q V A V A
V
= ⋅ = ⋅
π
⋅
2
1D
4
2V
  π
= ⋅ 
 
 
2
2D
4
2 2
1 1 2 2
2 2
2
1 2 1 2 1 22 2
1
1 1
V D V D
D 0,100
V V V V V 0,64V
D 0,125
V 0,64 3 1,92 m / s V 1,92 m / s
 
⇔ ⋅ = ⋅ 
 
 
= ⋅ ⇔ = ⋅ ∴ =
= × = ∴ =
Aplicando a Equação de Bernoulli de 1 Para 2 com referência em 1:
2 2
1 1 2 2
1 12 2
2 4 2
12
2 4 2
12
12 12
V p V p
Z h Z
2g 2g
1,92 1,9 10 3
0 h 1,25 0
19,62 1000 19,62
1,92 1,9 10 3
h 1,25
19,62 1000 19,62
h 0,1879 19 1,25 0,459 h 17,48 m
−
−
+ + − = + +
γ γ
⋅
+ + − = + +
⋅
= + − −
= + − − ∴ =
6. Um óleo de densidade 0,761 escoa do tanque A para o tanque E. As perdas de carga podem ser assumidas como
sendo:
De A para B:
2
306V
0,60
2g
; De C para D:
2
153V
0,40
2g
De B para C:
2
306V
9,0
2g
; De D para E:
2
153V
9,0
2g
Determine:
a) A Vazão
b) A pressão em C
c) A potência em C

Solução:
a) Q = ?
Escrevendo a Equação de Bernoulli de A para E, com referência em E:
2 2
A A E E
A AB BC CD DE E
óleo óleo
2 2 2 2
306 306 153 153
2 2 2 2
306 306 153 153
2 2 2 2
306 306 153 153
V p V p
Z h h h h z
2g 2g
V V V V
12 0 0 0,60 9 0,40 9 0 0 0
2g 2g 2g 2g
V V V V
12 0,60 9 0,40 9 0
2g 2g 2g 2g
V V V V
12 0,60 9 0,40 9
19,62 19,62 19,62
+ + − − − − = + +
γ γ
+ + − − − − = + +
− − − − =
− − − − ( )
( )
2 2 2 2
306 306 153 153
2 2
306 153
0 19,62
19,62
12 19,62 0,60V 9V 0, 40V 9V 0
9,60V 9,40V 235,44 1
= ⋅
× − − − − =
+ =
Pela Equação da Continuidade:
153 153 306 306
153
Q V A V A
V
= ⋅ = ⋅
π
⋅
2
153D
4
306V
  π
= ⋅ 
 
 
2
306D
4
( )
22
306
153 306 153 3062
153
2 2
153 306 153 306
D 0,306
V V V V
0,153D
V 4V V 16V 2
 
 
 
 
 
= ⋅ ⇔ =  
 
= ⇒ =

Substituindo (2) em (1):
( )
2 2
306 153
2 2
306 306
2 2
306 306
2 2
306 306
2
306 306
9,60V 9,40V 235,44
9,60V 9,40 16V 235,44
9,60V 150,40V 235,44
235,44
160V 235,44 V
160
V 1,471 V 1,21 m / s
+ =
+ =
+ =
= ⇔ =
= ∴ =
153 306 153 153V 4V V 4 1,21 4,84 m / s V 4,84 m / s= ⇔ = × = ∴ =
A vazão é calculada por:
2
153
153 153
D
Q V A Q 4,84 m³ / s
4
3,14 0,153²
Q 4,84 m³ / s Q 0,089 m³ / s
4
 π
= ⋅ ⇔ = ⋅  
 
 
⋅ 
= ⋅ ∴ = 
 
b) Cp ?=
Escrevendo a Equação de Bernoulli entre A e C, com referência em A:
22
C CA A
A AB BC C
2 2 2
306 306 306 C
2 2 2
C 306 306 306
C
C C
V pV p
Z h h Z
2g 2g
V V V p
0 0 0 0,60 9,0 0,61
2g 2g 2g
p V V V
0,60 9,0 0,61
2g 2g 2g
p 1,21² 1,21² 1,21²
0,60 9 0,61
19,62 19,62 19,62
p p
0,0448 0,672 0,61 0,0746
+ + − − = + +
γ γ
+ + − − = + +
γ
= − − − −
γ
= − ⋅ − ⋅ − −
γ
= − − − ⇔ =
γ γ
C C
1, 401
p 1,401 1,401 0,761 9,81 kPa p 10, 46kPa
−
= − γ = − × × ∴ = −

c) Pot = ?
A potência em C é calculada através da expressão:
( )
Cóleo
2
C C
C C
óleo
C C C
Pot Q H
V p
H Z referência em E
2g
1,21²
H 12,61 1,401 H 12,61 0,0746 1,401 H 11,28 m
19,62
Pot 0,761 9,81 0,089 11,28 7, 49 kW Pot 7,49 kW
= γ ⋅ ⋅
= + +
γ
= + − ⇔ = + − ∴ =
= × × × = ∴ =
7. Foram extraídos 51,2 kW de uma turbina, mantida as pressões manométricas em A e em B iguais a 144,4 kPa e
-34,6 kPa, respectivamente. Considere os diâmetros AD 150 mm= e B AD 3 D= ⋅ . Determine a vazão da água.
Solução:
Dados:
A
B
A
B A
P 51,2 kW
p 144, 4 kPa
p 34,6 kPa
D 150 mm 0,150m
D 3 D 3 150 mm 450 mm 0, 450 m
=
=
= −
= =
= ⋅ = ⋅ = =
Considerando o escoamento de A para B, com referência em B, vamos aplicar a Equação de Bernoulli:
2 2 2 2
A A B B A A B B
A T B T A B
v p v p v p v p
Z h Z h Z Z (1)
2g 2g 2g 2g
+ + − = + + ∴ = + + − + +
γ γ γ γ
Mas:

( ) ( ) ( )
2 2
A A
A A B B A B
2 2
A A B B A B A B A B
D D
Q v S v .S Q v v
4 4
0,450²
v D v D v 0,150 ² v 0,450 ² v v v 9v 2
0,150²
π π
= ⋅ = ⇔ = ⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ = ∴ =
Fazendo as substituições em (1) e levando em consideração (2):
( ) ( )
2 2
A A B B
T A B
B B
T
2
2B B
T T B
v p v p
h Z Z
2g 2g
9v ² 34,6v ²144,4
h 1 0
19,62 9,81 19,62 9,81
81v v ²
h 1 14,72 3,53 h 19,25 4,08v (3)
19,62 19,62
 
= + + − + + 
 γ γ 
−
= + + − − −
= + + + − ∴ = +
Da expressão da potência, temos:
T T
2
B
B T B T B T
T T
B B
P Qh 51,3 9,81 Q h
D 3,14 0,450²
V h 5,23 V h 5,23 0,0,159v h 5,23
4 4
5,23 32,89
h h (4)
0,159v v
= γ ⇔ = × ×
 π × 
× = ⇔ × = ⇔ ⋅ =       
= ∴ =
Comparando (3) e (4):
( )
( )
( )
2 3
B B B
B
3
B B
3
B
3
B
3
B
32,89
19,25 4,08v 4,08v 19,25v 32,89 0
v
v 4,718v 8,061 (5)
Por tentativas:
v 1,2 m / s 1,20 4,718 1,20 8,061 7,3896 8,061
v 1,25 m / s 1,25 4,718 1,25 8,061 7,8506 8,061
v 1,30 m / s 1,30 4,718 1,30 8
+ = ⇔ + − =
+ =
= ⇒ + × ≠ ∴ <
= ⇒ + × ≠ ∴ <
= ⇒ + × ≠
( )
( )
( )
3
B
3
B
3
B
,061 8,3304 8,061
v 1,28 m / s 1,28 4,718 1,28 8,061 8,1362 8,061
v 1,26 m / s 1,26 4,718 1,26 8,061 7,9450 8,061
v 1,27 m / s 1,27 4,718 1,27 8,061 8,040 8,061
∴ >
= ⇒ + × ≠ ∴ >
= ⇒ + × ≠ ∴ <
= ⇒ + × ≠ ∴ ≠
∴ B Av 1,27m / s v 11,43 m / s= ⇒ =
2 2
B
A A B
D 3,14 0,450
Q v S Q v 1,27 m³ / s Q 0,0908m³ / s Q 90,8 l / s
4 4
 π ×
= ⋅ ⇔ = ⋅ = × ∴ = ∴ = 
 
 

8. Na tubulação que parte da barragem (veja a figura abaixo), a vazão é de 28 l/s. A carga de pressão no ponto (1)
é de 29,6 m. Calcular o diâmetro da tubulação desprezando-se as perdas de energia.
Solução:
Aplicando a Equação de Bernoulli no sentido do escoamento de (2) para (1), tomando como referência o ponto (1),
temos:
2 2 2
2 2 1 1 1
2 1
2 2
2 21 1
1 1 1
v p v p v
z z 30 0 0 0 29,6
2g 2g 19,62
v v
30 29,6 0,4 v 0,4 19,62 v 7,848 v 2,80m / s
19,62 19,62
+ + = + + ⇔ + + = + +
γ γ
− = ⇔ = ⇔ = × ⇔ = ∴ =
Mas sabemos que:
2
D
Q v A e A
4
π
= ⋅ = e fazendo as devidas substituições isolando D temos:
D² 4Q 4Q
Q v D² D
4 v v
π 
= ⇒ = ∴ = 
π π 
. Substituindo os valores:
4Q 4 0,028
D D m D 0,113 m
v 3,14 2,8
×
= ⇔ = ∴ =
π ×
9. A água escoa através de um conduto de raio r = 0,3 m. Em cada ponto da seção transversal do conduto, a
velocidade é definida por v = 1,8 – 20 x², sendo x a distância do referido ponto ao centro O da seção (veja a figura
abaixo). Calcular a vazão.

Solução:
Na coroas circular (figura acima), de área elementar dA, estão os pontos que distam x do centro. Assim, podemos
escrever:
dA 2 xdx= π (1)
Mas como cada ponto da coroa está submetido à velocidade v, temos:
dQ vdA= (2)
Fazendo as devidas substituições e integrando:
( )
( )
( )
0,3
Q 0,3 4
0 0 0
2 4
dQ vdA dQ 1,8 20x² 2 xdx
1,8x² 20x
dQ 2 1,8x 20x³ dx Q 6,28 m³ / s
2 4
Q 6,28 0,9 0,3 5 0,3 m³ / s Q 0,254 m³ / s
= ⇒ = − π
 
= π − ⇔ = −  
 
= × − ∴ =
∫ ∫
g g
10. Considerar a água que escoa no sentido vertical descendente em um tubo cônico de 1,83 m de altura. As
extremidades superior e inferior do tubo têm diâmetros de 100 mm e 50 mm, respectivamente, como mostra a
figura abaixo. Se a vazão é de 23 l/s, determinar a diferença de pressão entre as extremidades do tubo.
Solução:
Vamos aplicar a Equação de Bernoulli no sentido indicado:

2 2
2 2 1 1
2 1
2 2
2 1 1 2
1 2
v p v p
z z
2g 2g
p p v v
z z (1)
2g 2g
+ + = + +
γ γ
− = + − −
γ γ
Mas pela Equação da Continuidade, podemos escrever:
( )
( )
1 1 2 2
22
1
1 1
22
2
2 1
Q v A v A , mas:
3,14 0,05D
A m² A 0,00196 m²
4 4
3,14 0,10D
A m² A 0,00784 m²
4 4
= ⋅ = ⋅
⋅π
= = ∴ =
⋅π
= = ∴ =
Substituindo:
1 1 2 2
1
1 2
2
1 1
2 2
Q A v A v 0,023 m³ / s
0,00196v 0,023
0,00196v 0,00784v 0,023
0,00784v 0,023
0,023
v m / s v 11,73 m / s
0,00196
0,023
v m / s v 2,93 m / s
0,00784
= ⋅ = ⋅ =
=
= = ⇔ 
=
= ∴ =
= ∴ =
Substituindo os valores encontrados na Equação (1):
( ) ( )
2 2
2 1 1 2
1 2
2 2
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
p p v v
z z
2g 2g
11,73 2,93p p
0 1,83
19,62 19,62
p p
7,01 0,438 1,83
p p
4,74 p p 4,74 4,74 9,81 kPa
p p 46,50 kPa
− = + − −
γ γ
− = + − −
γ γ
− = − −
γ γ
− = ⇔ − = γ = ×
γ γ
− =
11. A água escoa através de uma turbina. A vazão é de 0,214 m³/s e as pressões em A e B são, respectivamente,
147,5 kPa e – 34,5 kPa. Determinar a potência fornecida à turbina pela água.

Solução:
2 2 2 2
A A B B A A B B
A T B T A B
v p v p v p v p
Z h Z h Z Z (1)
2g 2g 2g 2g
+ + − = + + ∴ = + + − + +
γ γ γ γ
Mas:
( )
( )
2 2
A A
A A B B A B
A A
B B
D D
Q v S v .S Q v v 0,214
4 4
4 0,214
v m / s v 3,03 m / s
3,14 0,3 ²
4 0,214
v m / s v 0,757 m / s
3,14 0,6 ²
π π
= ⋅ = ⇔ = ⋅ = ⋅ =
×
= ∴ =
×
×
= ∴ =
×
Substituindo os valores em (1):
( )
2 2
A A B B
T A B
T
T T
v p v p
h Z Z
2g 2g
34,53,03² 147,5 0,757²
h 1 0
19,62 9,81 19,62 9,81
h 1 0,468 15,04 3,52 0,0292 h 20 m
 
= + + − + + 
 γ γ 
−
= + + − − −
= + + + − ∴ =
A potência é dada pela expressão:
TP Qh P 9,81 0,214 20 kW P 41,99 kW= γ ⇔ = × × ∴ =
12. Para a turbina anterior, se forem extraídos 48,3 kW enquanto as pressões manométricas em A e B são,
respectivamente, 141,3 kPa e – 33,1 kPa, qual será a vazão da água?
Solução:

2 2 2 2
A A B B A A B B
A T B T A B
v p v p v p v p
Z h Z h Z Z (1)
2g 2g 2g 2g
+ + − = + + ∴ = + + − + +
γ γ γ γ
Mas:
( ) ( ) ( )
2 2
A A
A A B B A B
2 2
A A B B A B A B A B
D D
Q v S v .S Q v v
4 4
0,6²
v D v D v 0,3 ² v 0,6 ² v v v 4v 2
0,3²
π π
= ⋅ = ⇔ = ⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ = ∴ =
( ) ( )
2 2
A A B B
T A B
B B
T
2
2B B
T T B
v p v p
h Z Z
2g 2g
4v ² 33,1v ²141,3
h 1 0
19,62 9,81 19,62 9,81
16v v ²
h 1 14,40 3,37 h 18,77 0,764v (3)
19,62 19,62
 
= + + − + + 
 γ γ 
−
= + + − − −
= + + + − ∴ = +
T T
2
B
B T B T B T
T T
B B
P Qh 48,3 9,81 Q h
D 3,14 0,6²
V h 4,92 V h 4,92 0,283v h 4,92
4 4
4,92 17,38
h h (4)
0,283v v
= γ ⇔ = × ×
 π × 
× = ⇔ × = ⇔ ⋅ =       
= ∴ =
( )
( )
2 3
B B B
B
3
B B
3
B
3
B
17,38
18,77 0,764v 0,764v 18,77v 17,38 0
v
v 24,57v 22,75 (5)
Por tentativas:
v 0,91 m / s 0,91 24,75 0,91 22,75 23,28 22,75
v 0,80 m / s 0,80 24,75 0,80 22,75 20,31 22,75
+ = ⇔ + − =
+ =
= ⇒ + × ≠ ∴ ≠
= ⇒ + × ≠ ∴ ≠
( )
( )
3
B B
B
B
B
v 24,57v 22,75
v 0,86m / s 0,86 ³ 24,57 0,86 22,75 21,92 22,75
v 0,89m / s 0,89 ³ 24,57 0,89 22,75 22,73 22,75
v 0,89 m / s
+ =
= ⇒ + × ≠ ∴ ≠
= ⇒ + × ≅ ∴ ≠
∴ =

B Av 0,89m / s v 3,56 m / s= ⇒ =
2 2
A
A A A
D 3,14 0,3
Q v S Q v 3,56 m³ / s Q 0,252m³ / s
4 4
 π ×
= ⋅ ⇔ = ⋅ = × ∴ = 
 
 
OBS.: Utilizando O Maple 7.0
> solve(x^3+24.57*x-22.75=0);
, ,−-.4482957161 5.017260921 I +-.4482957161 5.017260921 I .8965914322
B Av 0,8966m / s v 3,5864 m / s= ⇒ =
2 2
A
A A A
D 3,14 0,3
Q v S Q v 3,5864 m³ / s Q 0,253m³ / s
4 4
 π ×
= ⋅ ⇔ = ⋅ = × ∴ = 
 
 
13. A altura de carga utilizada pela turbina é de 61 m e a pressão em T é de 501 kPa. Para as perdas de
2
610v
2
2g
 
 
 
 
entre W e R e
2
305v
3
2g
 
 
 
 
entre C e T, determine: a) a vazão da água; b) a carga de pressão em R; c) traçar a linha
energética.
Solução:
A linha energética em T está a
2
305 T
T
v p
z
2g
 
+ + 
 γ 
e é bem acima da cota de W, logo a água fluirá de T para W.
a) a Vazão da água
Vamos aplicar a Equação de Bernoulli de T para W, com referência D-D

2 2 2 2
305 610 305T w W
T T W
610 305 305 610
v v vp p v
Z 2 3 h z (1)
2g 2g 2g 2g
mas :D 2 D v 4 v (2)
 
+ + − + − = + + 
 γ γ 
= ⋅ ⇒ = ⋅
Substituindo os dados em (1) e levando em consideração (2), temos:
( )
2 2 2 2
305 610 305T w W
T T W
2 2
305 610
2
2 2
610 610
2 2 2
610 610 610
v v vp p v
Z 2 3 h z
2g 2g 2g 2g
v v501
76 2 2 61 46 desp 0
19,62 9,81 19,62
4v v
76 2 51,07 2 61 46
19,62 19,62
16v v 17v
127,07 61 46 127,07 61
9,81 9,81 9,81
 
+ + − + − = + + 
 γ γ 
− + − − = + +
− + − − =
− − − = ⇔ = − −
2 2 2
610 610 610 610
46
20,07
1,733v 20,07 v v 11,58 v 3,40 m / s
1,733
= ⇔ = ⇔ = ∴ =
305 305 610 610
2
610
610 610 610
2
Q v S v S
D
Q v S Q v
4
3,14 0,610
Q 3,40 m³ / s Q 0,993 m³ / s
4
= ⋅ = ⋅
 π
= ⋅ ⇔ = ⋅  
 
 
×
= × ∴ =

b) Vamos aplicar a Equação de Bernoulli entre T e R, com referência R:
2 2 2
305 305T R R
T T R
610 305 305 610
v vp p v
Z 3 h z (1)
2g 2g 2g
mas :D 2 D v 4 v (2)
+ + − − = + +
γ γ
= ⋅ ⇒ = ⋅
( ) ( )
2 2 2
305 305T R R
T T R
610 305
2 2
305R T R
T T R
2 2
R
R R
v vp p v
Z 3 h z
2g 2g 2g
v 3, 40 m / s v 13,6 m / s
vp p v
z 2 h z
2g 2g
13,6 3, 40p 501
76 61 30
9,81 9,81 19,62
p p
76 51,07 18,85 91 0,589 16,63 m
+ + − − = + +
γ γ
= ⇒ =
= + − − − −
γ γ
= + − − − −
γ
= + − − − ∴ =
γ γ
c) Linha Energética e Linha Piezométrica
1º) Linha Energética em T
2 2
305 T
T T T T
v p 13,6 501
EE z 76 EE 76 9,43 51,07 EE 136,5 m
2g 19,62 9,81
= + + = + + ⇔ = + + ∴ =
γ
2º) Linha Energética em C
2 2
305
C T C
v 13,6
EE EE 3 EE 136,5 3 136,5 28,3 108,2 m
2g 19,62
= − ⇔ = − × = − =
3º) Linha Energética em R
R C T REE EE h 108,2 61 47,2 m EE 47,2 m= − = − = ∴ =
4º) Linha Energética em W
2 2
610
W R W
v 3,40
EE EE 2 47,2 2 47,2 1,2 46 m EE 46 m
2g 19,62
= − = − × = − = ∴ =

14. De uma caixa d’água sai um tubo horizontal com diâmetro D1 = 200 mm e pequeno comprimento. Logo após a
saída, o tubo reduz seu diâmetro para D2 = 75 mm e jorra a água na atmosfera, com vazão Q = 32 l/s. Considere as
perdas de energia igual a 15% da carga cinética do jato. Determine:
a) a carga de pressão no início de D1.
b) a carga total He.
c) a potência da corrente líquida.
Solução:
a) A carga de pressão no início de D1.
Aplicando a Equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2:

1Z
2 2
1 1 2
2
v p v
0,15 Z
2g 2g
+ + − =
γ
2
2 2v p
2g
+ +
γ
( )
2 2 2 2 2
1 2 2 1 1 2 1p v v v p v v
0,15 1,15 I
2g 2g 2g 2g 2g
= + − ∴ = −
γ γ
( )
( )
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1
22
3 2 21
1 1 1
1 1 1 1 1
2 2
22
3 22
2 2 2
Mas :
Q v A v A Q v A e Q v A
Q v A
Substituindo :
0,2D
Q 0,032 m / s A A m A 0,0314 m
4 4
0,032
Q v A 0,032 v 0,0314 v m / s v 1,02 m / s
0,0314
e
Q v A
Substituindo :
0,075D
Q 0,032 m / s A A m A 0
4 4
= = ⇔ = =
=
ππ
= = ⇔ = ∴ =
= ⇔ = × ⇔ = ∴ =
=
ππ
= = ⇔ = ∴ = 2
2 2 2 2 2
,00442 m
0,032
Q v A 0,032 v 0,00442 v m / s v 7,24 m / s
0,00442
= ⇔ = × ⇔ = ∴ =
Substituindo em (I):
( ) ( )
2 22 2
1 2 1 1 1 1
7,24 1,02p v v p p p
1,15 1,15 m 3,07 0,053 m 3,017 m
2g 2g 19,62 19,62
= − ⇔ = × − ⇔ = − ∴ =
γ γ γ γ
b) A carga total He.
Aplicando a Equação de Bernoulli entre 3 e 2, referência em 2:

2 2 2
3 3 2 2 2
3 2
2
3
e
v p v v p
Z 0,15 Z
2g 2g 2g
v
H
2g
+ + − = + +
γ γ
+ 3p
+
γ
2
2
2
v
0,15 Z
2g
− =
2
2 2v p
2g
+ +
γ
( )
2 2 2
2 2 2
e e
22
2
e e e
v v v
H 0,15 H 1,15
2g 2g 2g
Substituindo :
7,24v
H 1,15 H 1,15 m H 3,07 m
2g 19,62
= + ∴ =
= ⇔ = × ∴ =
c) A potência da corrente líquida.
ot e
ot ot
P QH
Substituindo :
P 9,81 0,032 3,07 kW P 0,964 kW
= γ
= × × ∴ =
15. A bomba E eleva a água entre os reservatórios R1 e R2. O eixo da bomba está situado 5,0 m acima da superfície
livre de R1, ponto A. No ponto final do sistema elevatório (a 50,2 m acima do eixo E), a água descarrega na
atmosfera. Há o desnível d = 20 cm entre o eixo (entrada) da bomba e a sua saída (ponto C). São dados:
( )
( )
( )
( )
2
C
2
AC
2
CF
3
água
D 200 mm diâmetros das tubulações
p 5, 45 kgf / cm pressão em C
v
h 6 perda contínua na tubulação AC
2g
v
h 4 perda contínua na tubulação CF
2g
1000 kgf /m
=
=
∆ =
∆ =
γ =
a) Esquematize o sistema
b) Determine a potência da bomba
c) Determine a vazão da água
Solução:
a) Esquematize o sistema

Aplicando a Equação de Bernoulli entre C e F, referência em C:
22
C C F F
C F
C
v p v pv
Z 4 Z
2g 2g 2g
Z
+ + − = + +
γ γ
2
0 v
2g
+
2 2
54500 v v
4 50
1000 2g 2g
+ − = + Fp
+
γ
0
2 2 2
2
2
v v 2v 4,5g
54,5 4 50 4 50 54,5 4,5 v
2g 2g g 2
4,5 9,81
v v 4,70 m / s
2
− = ⇔ − = − ⇔ = ⇔ =
×
= ∴ =
Aplicando a Equação de Bernoulli entre A e C, referência em A:
( )
22
C cA A
A B C
2
B A
v pv p v
Z 4 h Z
2g 2g 2g
4,70 54500
h 5,2 Z
19,62 1000
+ + − + = + +
γ γ
= + + +
0 Av
2g
+
0
Ap
+
γ
( )20
B B
4,70
4
19,62
h 5,2 1,126 54,5 4,5 h 65,3 m
+ ×
= + + + ∴ =

b) Potência da Bomba
( )
2
ot B ot B
22
ot B ot ot
ot ot
D
P Qh P vh
4
Substituindo :
0,2D
P vh P 1000 4,70 65,3 kgf m / s P 9642 kgf m / s
4 4
ou
9642
P cv P 128,56 cv
75
π
= γ ⇔ = γ
ππ
= γ ⇔ = × × × ⋅ ∴ = ⋅
= ∴ =
c) Vazão da Água
( )22
3 30,2D
Q vA Q v Q 4,70 m / s Q 0,1476 m / s
4 4
  ππ
= ⇔ = ⇔ = × ∴ =  
 
16. Foram extraídos 51,2 kW de uma turbina, mantida as pressões manométricas em A e em B iguais a 144,4 kPa e
-34,6 kPa, respectivamente. Considere os diâmetros AD 150 mm= e B AD 3 D= ⋅ . Determine a vazão da água.
Solução:
Dados:
A
B
A
B A
P 51,2 kW
p 144, 4 kPa
p 34,6 kPa
D 150 mm 0,150m
D 3 D 3 150 mm 450 mm 0, 450 m
=
=
= −
= =
= ⋅ = ⋅ = =

2 2 2 2
A A B B A A B B
A T B T A B
v p v p v p v p
Z h Z h Z Z (1)
2g 2g 2g 2g
+ + − = + + ∴ = + + − + +
γ γ γ γ
Mas:
( ) ( ) ( )
2 2
A A
A A B B A B
2 2
A A B B A B A B A B
D D
Q v S v .S Q v v
4 4
0,450²
v D v D v 0,150 ² v 0,450 ² v v v 9v 2
0,150²
π π
= ⋅ = ⇔ = ⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ = ∴ =
( ) ( )
2 2
A A B B
T A B
B B
T
2
2B B
T T B
v p v p
h Z Z
2g 2g
9v ² 34,6v ²144,4
h 1 0
19,62 9,81 19,62 9,81
81v v ²
h 1 14,72 3,53 h 19,25 4,08v (3)
19,62 19,62
 
= + + − + + 
 γ γ 
−
= + + − − −
= + + + − ∴ = +
T T
2
B
B T B T B T
T T
B B
P Qh 51,3 9,81 Q h
D 3,14 0,450²
V h 5,23 V h 5,23 0,0,159v h 5,23
4 4
5,23 32,89
h h (4)
0,159v v
= γ ⇔ = × ×
 π × 
× = ⇔ × = ⇔ ⋅ =       
= ∴ =
( )
( )
( )
2 3
B B B
B
3
B B
3
B
3
B
3
B
32,89
19,25 4,08v 4,08v 19,25v 32,89 0
v
v 4,718v 8,061 (5)
Por tentativas:
v 1,2 m / s 1,20 4,718 1,20 8,061 7,3896 8,061
v 1,25 m / s 1,25 4,718 1,25 8,061 7,8506 8,061
v 1,30 m / s 1,30 4,718 1,30 8
+ = ⇔ + − =
+ =
= ⇒ + × ≠ ∴ <
= ⇒ + × ≠ ∴ <
= ⇒ + × ≠
( )
( )
( )
3
B
3
B
3
B
,061 8,3304 8,061
v 1,28 m / s 1,28 4,718 1,28 8,061 8,1362 8,061
v 1,26 m / s 1,26 4,718 1,26 8,061 7,9450 8,061
v 1,27 m / s 1,27 4,718 1,27 8,061 8,040 8,061
∴ >
= ⇒ + × ≠ ∴ >
= ⇒ + × ≠ ∴ <
= ⇒ + × ≠ ∴ ≠
∴ B Av 1,27m / s v 11,43 m / s= ⇒ =

2 2
B
A A B
D 3,14 0,450
Q v S Q v 1,27 m³ / s Q 0,0908m³ / s Q 90,8 l / s
4 4
 π ×
= ⋅ ⇔ = ⋅ = × ∴ = ∴ = 
 
 
17. Um tubo de 150 mm transporta 81,3 l/s de água. Este se bifurca em um tubo de 50 mm de diâmetro e em outro
de 100 mm de diâmetro. Se a velocidade no tubo de 50 mm é de 12,2 m/s, qual é a velocidade no tubo de 100 mm?
Solução:
Dados:
3
150
150
50
50
100
100
Q 81,3 l / s 0,0813 m / s
D 150 mm 0,150 m
D 50 mm 0,050 m
V 12,2 m / s
D 100 mm 0,100 m
V ?
= =
= =
= =
=
= =
=
Vazão no tubo de 50 mm:
( )
3
150
50
50
22
3 350
50 50 50 50
Q 81,3 l / s 0,0813 m / s
D 50 mm 0,050 m
V 12,2 m / s
Mas :
0,050D
Q V Q 12,2 m / s Q 0,02356 m / s
4 4
= =
= =
=
   π ×π
 = × ⇔ = × ∴ = 
      
Vazão no tubo de 100 mm:
3
150
3
50
150 50 100 100 150 50
3 3
100 150 50 100 100
Q 81,3 l / s 0,0813 m / s
e
Q 0,02356 m / s
Logo :
Q Q Q Q Q Q
Substituindo :
Q Q Q Q 0,0813 0,02356 m / s Q 0,05774 m / s
= =
=
= + ∴ = −
= − ⇔ = − ∴ =
Velocidade no tubo de 100 mm:

( )
3
100
100 100
100 1002 2
100 100
100
100 100 1002 2
100
Q 0,05774 m / s
Assim :
Q 4Q
V V
D D
4
Substituindo :
4Q 4 0,05774
V V m / s V 7,35 m / s
D 0,100
=
= ⇔ =
π π
×
= ⇔ = ∴ =
π π ×
18. Em um tubo curvado tipo S, tem-se os pontos 1 (cota 124,35 m) e 2 (cota 131,78 m). No ponto 1 tem-se uma
pressão de 2,29 kgf/cm², com diâmetro 25% maior que em 2. Na extremidade 2, com diâmetro D2 = 100 mm, a
água é descarregada na atmosfera com uma vazão de 23,56 l/s. Calcular a perda de carga entre os pontos 1 e 2.
(Dado:
3
água 1000 kgf /mγ = ).
Solução:
Dados:
( )
1
1
2 2
1
2
2
2
3
Z 124,35 m
D 125 mm 0,125 m
p 2,29 kgf / cm 22900 kgf / m
Z 131,78 m
D 100 mm 0,100 m
p 0 atmosfera
Q 23,56 l / s 0,02356 m / s
=
= =
= =
=
= =
=
= =
Observe a figura a seguir:
Aplicando a Equação de Bernoulli de 1 para 2:

( )
2 2
1 1 2 2
1 2
1
1
2 2
1
2
2
2
2 2
1 1 2 2
1 2
v p v p
Z h Z
2g 2g
Substituindo :
Z 124,35 m
D 125 mm 0,125 m
p 2,29 kgf / cm 22900 kgf / m
Z 131,78 m
D 100 mm 0,100 m
p 0 atmosfera
v p v p
Z h Z
2g 2g
+ + − ∆ = + +
γ γ
=
= =
= =
=
= =
=
+ + − ∆ = + +
γ γ
( )
( )
0
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 2 2
3
1 12 2
1
v v v v22900
124,35 h 131,78 124,35 22,9 h 131,78
2g 1000 2g 2g 2g
v v v v
h 124,35 22,9 131,78 h 15,47 I
2g 2g 2g 2g
Mas :
Q V A V A
Onde :
Q 0,02356 m / s
Assim :
4Q 4 0,02356
V V m /
D 0,15
+ + − ∆ = + ⇔ + + − ∆ = +
∆ = + + − − ⇔ ∆ = + −
= ⋅ = ⋅
=
×
= ⇔ =
π π ×
( )
1
2 2 12 2
2
s V 1,92 m / s
e
4Q 4 0,02356
V V m / s V 3,00 m / s
D 0,10
∴ =
×
= ⇔ = ∴ =
π π ×
Substituindo essas velocidades na equação (I):
( )
2 2
1 2
2
1 2
22 2 2
1 2
v v
h 15, 47
2g 2g
Onde :
V 1,92 m / s V 3,00 m / s g 9,81 m / s
1,92v v 3
h 15, 47 h 15,47
2g 2g 2 9,81 2 9,81
h 15, 47 0,188 0,459 m h 15,2 m
∆ = + −
= = =
∆ = + − ⇔ ∆ = + −
× ×
∆ = + − ∴ ∆ =

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