Matemáticas Discretas - Unidad 2 Conjuntos

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
Matemáticas Discretas
Unidad II: Conjuntos

Que son las Matemáticas Discretas
• La matemática discreta es la base de todo lo relacionado con
los procesos digitales, y por tanto, se constituye en parte
fundamental de la ciencia de la computación, una de las ramas
de estudio impartidas en los estudios de la Informática.
2

Competencia Específica a Desarrollar
• Resolver problemas que impliquen operaciones y propiedades
de conjuntos, utilizando leyes y diagramas.
3

• El concepto de conjunto es fundamental en todas las
matemáticas y en las aplicaciones matemáticas. Un conjunto es
simplemente una colección arbitraria de objetos.
4

• Un conjunto es una colección finita o infinita de objetos en la
que el orden no tiene importancia, y la multiplicidad también
es ignorada. Miembros de un conjunto son comúnmente
denominados elementos (Gamboa, 2008).
5

• La notación a Є A es usada para denotar que a es un elemento
del conjunto A.
• Es común utilizar letras mayúsculas para denotar conjuntos y
letras minúsculas para denotar elementos.
• Un conjunto debe ser descrito sin ambigüedades; esto es, dado
un conjunto y un objeto, debe ser posible decidir si el objeto
pertenece o no al conjunto.
6

• Un conjunto puede ser descrito enumerando sus miembros:
S = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
O describiendo la propiedad que lo caracteriza:
S = {n|n es un número primo menor que 20}
Esto se lee:
“S es igual al conjunto de todos los n tales que n es un número
primo menor que 20”
7

Conjunto Universo
• Se denomina así al conjunto que contiene a todos los
elementos. Este conjunto depende del problema que se
estudia, es un conjunto cuyo objeto de estudio son los
subconjuntos del mismo.
8

Ejemplo:
M={todos los hombres}
F={todas las mujeres}
Conjunto Universo
U={seres humanos}
9

• Diagrama de Venn: Sirven para representar
conjuntos de manera gráfica mediante dibujos o
diagramas que encierran al conjunto.
10
U M F
HOMBRES
MUJERES

Conjunto Vacio
• Un conjunto que no tiene elementos es un conjunto único
llamado conjunto vacío o conjunto nulo y es denotado con el
símbolo φ
11

Números Naturales
• Un número natural es cualquiera de los números que se usan
para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre
porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para
contar objetos.
12

• Puesto que los números naturales se utilizan para contar
objetos, el cero puede considerarse el número que
corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del
autor y la tradición, el conjunto de los números naturales
puede presentarse entonces de dos maneras distintas
13

Números Enteros
• Los números enteros son un conjunto de números que incluye a
los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos
de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0.
• Los enteros negativos, como −1 ó −3 (se leen «menos uno»,
«menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos
(1, 2, ...) y que el cero.
14

Números Reales
• Un número real (designados por R) es el valor que puede
tener la distancia entre dos puntos cualesquiera en una recta
o, también el cero o el opuesto de un número positivo.
15

Números Racionales
• Se llama número racional a todo número que puede
representarse como el cociente de dos números enteros (más
precisamente, un entero y un natural positivo1), es decir, una
fracción común a/b con numerador a y denominador distinto
de cero b. El término racional alude a fracción o parte de un
todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q
16

Números Imaginarios
• Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es
negativo
17

Subconjuntos
• Si A y B son conjuntos y si cada elemento de A es un elemento
de B, entonces decimos que A es un subconjunto de B (o B
contiene a A), y se denota por A B.
18

Superconjuntos
• Cuando tenemos un subconjunto A B. se dice que B es el
superconjunto de A ya que B contiene todos los elementos de
A y además contiene los propios.
19

Conjunto Potencia
• Todos los subconjuntos de un conjunto S son llamados
conjunto potencia, y se denota por P(S).
20

Ejercicios básicos con conjuntos
• Si de un conjunto se pueden obtener 16 subconjuntos,
entonces por cuántos elementos está formado el conjunto
• Sean los conjuntos : A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {1, 2};
C = {1, 5} ; D = {1, 4}; E = {1};
¿Cuál de todos ellos es subconjunto de todos los demás ?
21

• Sea el conjunto, A = {x/x ∈ N, x < 5 }, ¿Cuántos subconjuntos
podemos construir a partir de A ?
22

Operaciones con
Conjuntos

Intersección
• La intersección de los conjuntos A y B, denotada por A  B, es
el conjunto de elementos comunes a ambos conjuntos A y B,
esto es:
A  B = {x | x  A y x  B}
24
U
A
B

Encuentre la intersección de los siguientes
conjuntos:
(a) {3, 4, 5, 6, 7} y {4, 6, 8, 10}
solución:
(b) {9, 14, 25, 30} y {10, 17, 19, 38, 52}
solución:
(c) {5, 9, 11} y Ø
solución:
25

Unión
• La unión entre conjuntos A y B, es el conjunto cuyos elementos
pertenecen a cualquiera de los conjuntos. La unión de
conjuntos se denota como: A  B.
A  B = {x | x  A o x  B}
26
U
A
B

Encuentra la unión de los siguientes conjuntos:
(a) {2, 4, 6} y {4, 6, 8, 10, 12}
solución:
(b) {a, b, d, f, g, h} y {c, f, g, h, k}
solución:
(c) {3, 4, 5} y Ø
solución:
27

Complemento
• Se llama complemento de A al conjunto formado por todos los
elementos de U, que no pertenecen a A.
• El complemento de A se denota con A´
28

Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 4, 6}
C = {1, 3, 6, 9}
Encuentre cada uno de los
siguientes conjuntos:
(a) A´
Solución: A´= {5, 6, 9}
(b) A´  B
Solución: {5, 6, 9}  {2, 4, 6} ={6}
29
U
A
B
C
1
2
3
4
5
6
9

• U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 4, 6}
C = {1, 3, 6, 9}
(e) A  (B  C´)
• Primero resolvemos el paréntesis
(Nota: Ya el complemento de c, C´, lo habíamos
hallado en el ejercicio anterior.)
(B  C´) = {2, 4, 6}  {2, 4, 5} = {2, 4, 5, 6}
Ahora hallamos la intersección de A y (B  C´).
{1, 2, 3, 4}  {2, 4, 5, 6} = {2, 4}
30
U
A
B
C
1
2
3
4
5
6
9
U
A
B
C
1
2
3
4
5
6
9

• U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 4, 6}
C = {1, 3, 6, 9}
(e) (A´  C´)  B´
• Primero resolvemos el paréntesis
(Nota: Ya el complemento de A,
el complemento de B y el complemento de C
Fueron hallados en ejercicios anteriores.)
(A´  C´) ={5, 6, 9} {2, 4, 5} = {2, 4, 5, 6, 9}
Ahora hallamos la intersección de (A´  C´) y B´.
{2, 4, 5, 6, 9}  {1, 3, 5, 9} = {5, 9} 31
U
A
B
C
1
2
3
4
5
6
9
U
A
B
C
1
2
3
4
5
6
9

• Describe en palabras cada uno de los siguientes conjuntos.
(a) A  (B  C´)
Solución: El conjunto cuyos elementos pertenecen a A, y
pertenecen a B o no pertenecen a C.
(b) (A´  C´)  B´
Solución: el conjunto cuyos elementos no pertenecen a A o
tampoco a C, y no están en B.
32

Diferencia
• LA diferencia entre conjuntos A y B, denotada como A – B, es
el conjunto cuyos elementos pertenecen a A y no pertenecen
a B, o:
A – B = {x|x  A y x B}
33

• Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {2, 3, 6}
C = {3, 5, 7}
Encuentre cada uno de los siguientes conjuntos:
(a) A – B
{1, 2, 3, 4, 5, 6} - {2, 3, 6} = {1, 4, 5}
(b) B – A
{2, 3, 6} - {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 
Podemos ver que en los ejemplos anteriores
A – B  B - A 34

Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {2, 3, 6}
C = {3, 5, 7}
Encuentre cada uno de los siguientes conjuntos:
(c) (A – B)  C’
{1, 2, 3, 4, 5, 6} - {2, 3, 6} = {1, 4, 5}
{1, 4, 5}  {1, 2, 4, 6} = {1, 2, 4, 5, 6}
35

Evidencia de Aprendizaje 2
Ejercicio 1:
• En un curso compuesto por 22 alumnos; 12 estudian Alemán; 11
estudian inglés y 11 francés, 6 estudian alemán e inglés; 7
estudian Inglés y Francés ; 5 estudian alemán y francés y 2
estudian los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos estudian sólo
inglés? Representa el resultado por medio de diagramas de
Venn.
36

Ejercicio 2:
• El diagrama representa un grupo de estudiantes que fueron
encuestados y a los cuales se les pidió su opinión respecto de
los temas A, B y C.
37

Al respecto se desea saber:
a) ¿Número de estudiantes de la muestra?
b) ¿Número de estudiantes que opinaron del tema B o C?
c) ¿Cuántos no opinaron?
d) ¿Cuántos estudiantes que habían opinado sobre el tema B
opinaron sobre los temas A o C?
e) ¿Número de estudiantes que opinaron de los temas A y B?
f) ¿Cuántos dieron su opinión sólo referente al tema A?
g) ¿Cuántos manifestaron su opinión sobre los tres temas?
h) ¿Cuántos opinaron sobre el tema C pero no sobre el tema B?
39

Ejercicio 3:
• Si A = { a, b, c, d, e } , B = { b, c, e } y C = { a, e }, entonces ¿Cuál
es el conjunto ( A ∩ B ) - C ?
Ejercicio 4:
• Si M y N son dos conjuntos con tres elementos cada uno. ¿
Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) siempre
verdadera(s) ?
1) M = N
2) M ∪ N tiene 6 elementos
3) M - N = φ
40

Ejercicio 5:
• Si A = { a, b, c, d, e } , B = { b, c, e } y C = { a, e }, entonces ¿Cuál es el
conjunto ( A ∩ B ) - C ?
Ejercicio 6:
• 21.- Sean los conjuntos:
P = { x ∈ N / x es divisor de 12 } y
Q = { x ∈ N / x es divisor de 24 }
¿Cuál de las siguientes alternativas es incorrecta?
a) P ∪ Q = { 1, 2, 3, 4, 6, 8,12, 24 }
b) P ∩ Q = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }
c) P ⊆ Q
d) P - Q = { 8, 24 }
e) (Q - P) ∪ (P - Q) = { 8, 24 } 41

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