Tarea 1 josé carreño o.

Universidad de Santiago de Chile
Departamento de Ingeniería Mecánica
 
TAREA 1
DISEÑO COMPUTARIZADO
Válvula de bola
Profesor: Dr Ing. Claudio García Herrera.
Ayudantes: Rodrigo Lobos Diaz.
Gonzalo Quilodrán Romo.
Nombre Alumno: José Manuel Carreño O.
viernes, 20 de noviembre de 2015 Página 1

Índice
 
1.- Introducción 3
2.- Análisis 3
3.- Programación 9
4.- Conclusiones 11
4.- Bibliografía 11

1.- Introducción
Las válvulas de bola son un mecanismo el cual consiste en la regulación del paso de un fluido por
medio del giro de una bola perforada, quedando totalmente abierta cuando está alineada la perforación de
la bola y la tubería. Dada la geometría de esta válvula nos provoca un problema, la variación de área
transversal en la cual el fluido transportado no es lineal. Es por esto que mediante la ayuda de GFortran y
gnuplot (Ubuntu-Linux), obtendremos la variación de área y caudal con respecto a la variación del tiempo
ante la abertura continua de la válvula, elaborando además un ajuste lineal y logarítmico para dicho
problema.
2.- Análisis
Para comenzar, es necesario plantearnos la siguiente pregunta: ¿Cuál es el área en el cual es
transportado el fluido?, obteniendo como respuesta que es el área naranja de la Figura 2.1, donde el lado
izquierdo la abertura total, en el centro está media abierta, y por último a la derecha se encuentra
completamente cerrada.
Es importante plantearnos el problema de forma lo mas sencilla posible, esto mediante la ayuda de
la Figura 2.2,señalando los ejes “x”,”y” y “a-a” (móvil) y los puntos b (xb(t),0) y los puntos a(xa(t),+ya(t)).
Es muy importante señalar que las áreas formadas de los cuatro cuadrantes correspondientes a la
intersección de los ejes “x” y “a-a” son iguales, por lo tanto solo es necesario conocer el valor de una de
éstas superficies para conocer el valor total de dicha figura.
Por parte de la definición de los puntos a(xa,+ya), son los puntos de intersección de las dos
circunferencias, una móvil (x-p(t))2+y2=52 (figura lado derecho) y otra fija (x-5)2+y2=52 (En ambas
expresiones sus unidades son mm), siendo p(t) la posición del centro de la circunferencia móvil. Para poder
Figura 2.1
Figura 2.2

encontrar los valores correspondientes de “xa” en cada paso de tiempo es necesario usar un método
numérico de punto fijo (Newton-Raphson), consistiendo en una técnica para resolver un probar de búsqueda
de raíces f(x)=0, esto basándose en los polinomios de Taylor.
Donde:
xi=Aproximación paso “i”
xi+1=Aproximación paso “i+1”
f(x)=(x-p(t))2-(x-5)2=0 (Para cada instante “t”)
f`(x)=2*(x-p(t))-2*(x-5)
A partir de cada valor de xa(t) en todos los instantes calculados, se lo restaremos a su respectivo
valor de xb(t), obteniendo así una diferencia c(t). Dado lo anteriormente señalado, el área total seria cuatro
veces el área pequeña señalada en la Figura 2.2.
El área a calcular esta definido por la curva que une los puntos “a” y “b”, y junto con c(t) definimos
los limites de integración para poder realizar los cálculos respectivos. El método aplicado es el conocido
como Trapecio Compuesto, siendo las formulas las siguientes:
Tras ésta información, es importante observar que el calculo del área, es equivalente al área desde
la coordenada (0,0) hasta c(t) correspondiente a un circulo fijo centrado en (r,0).
Obteniendo:

Es importante señalar que los datos obtenidos fueron mediante la suposición de que la válvula está
en proceso de cierre. El resultado NaN es cuando las curvas están superpuestas, por lo tanto existen
infinitos puntos de intersección. Ante estas condiciones, debemos conocer c(t), la cual ante los cálculos
anteriores termina siendo de la siguiente manera:
Donde:
t=tiempo. [s]
v=velocidad del circulo.
ax,bx [mm]
Para finalizar la primera parte de lo solicitado, debemos definir el caudal Q, el cual por definición es
la cantidad de fluido que pasa por una unidad de tiempo, tomando nuestro caso de que el flujo es
perpendicular al área, toma la siguiente forma:
Ante lo anterior obtenemos:

Nota:
Area [mm2]
Caudal [mm2/s]
Siendo las gráficas del Area vs tiempo y Caudal vs tiempo las siguientes:
Area vs tiempo Caudal vs tiempo

A continuación, se realizara un ajuste por mínimos cuadrados, de forma lineal y logarítmica. Esta
técnica matemática minimiza la suma de los cuadrados de las diferencias entre las ordenadas y los puntos
estudiados.
Conocemos que la ecuación de la recta es y=mx+n, siendo m la pendiente y n el punto de
intersección con el eje y, las cuales se calculan de la siguiente manera:
N=21 (Número de datos).
Obteniendo:
m=816.4457029 n=-1437.5236096
Ante los resultados obtenidos, y con ayuda de la aplicación gnuplot visualizamos lo siguiente:
Ante esto podemos observar que la interpolación programada (puntos verdes), da exactamente la
aproximación lineal por parte de lo otorgado por gnuplot (linea azul).
Por último queda encontrar la función logarítmica con ayuda del método de mínimos cuadrados,
siendo el procedimiento el siguiente:

Despejamos a y b, resultando:
Reemplazando obtenemos:
a=-20.34990503 b= 265.401368
Ante los resultados obtenidos, y con ayuda de la aplicación gnuplot visualizamos lo siguiente:

La función de color rojo corresponde a los datos obtenidos en el inicio de este informe, la recta de
color azul corresponde a la linealización y por ultimo las cruces de color verde casi superpuestas a la otra
curva, corresponde a la función logarítmica.
3.- Programación
Newton Raphson

Tarea

4.- Conclusiones
Ante el desarrollo del presente informe y tarea, se ha logrado concluir los siguientes 5
puntos:
1. GFortran es un lenguaje de programación muy versátil, capaz de realizar una gran cantidad de
cálculos con menores requerimientos computacionales. Además de lo anterior, este lenguaje
diseñado por IBM, podemos aplicarlos a un sin fin de cálculos ingenieriles, tales como la
cuantificación de deformaciones de viga, cálculos geométricos, etc.
2. Los métodos numéricos aprendidos en cursos anteriores, algunos de estos programados en
en la presente tarea, son capaces de cuantificar y generalizar las soluciones a nuestras
interrogantes, como por ejemplo los métodos de punto fijo que buscan la coordenada en que
la función estudiada tiene como imagen igual a cero. Además de lo anterior existen métodos
que nos aproximan los valores de una integral definida en un espacio a,b, y otros métodos
capaces de calcular distintas ecuaciones diferenciales y evaluarlas.
3. La validez del cambio de caudal con respecto al tiempo es valida linealmente para un tiempo
posterior a 2 segundos.
4. Como la variación del caudal no es lineal, esta toma una forma logarítmica. Esta función
encontrada (logarítmica) es prácticamente igual a la variación del caudal con respecto al
tiempo previamente calculado, siendo la siguiente Q(t)= -20.349905*t+265.401368*t*log(t+1.1),
la cual puede ser generalizada a una aventura con velocidad constante de 0.5 mm/s., si esta
condición la duplicamos, el caudal Q(t) tendría una curva de similares características, pero con
la excepción de que e intervalo de tiempo sería reducido a la mitad.
5. Para lograr una variación de caudal lineal con respecto al tiempo, ante una constante
velocidad de aventura, es necesario cambiar el agujero de la bola, encareciéndolo y llevándolo
a un gasto extra generalmente innecesario.
4.- Bibliografía
• BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Mecánica Vectorial para Ingenieros: Estática. McGraw-Hill. 9ªed, 2010.
• Burden, R.L., Faires, J.D., Análisis Numérico, Grupo Editorial Iberoamericano, 1985.
• WHITE , F. “Mecánica de fluidos" Ed. McGraw Hill ( 2008 ).

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