Física

1. Taller Física Moderna y Principios Cuánticos
Maestría en Instrumentación Física
Facultad de Ciencias Básicas - Universidad Tecnológica de Pereira 2022
1. Demostrar que la densidad de un cuerpo al variar su temperatura la cantidad ∆𝑇 es:
𝜌 =
𝜌0
1+3𝛼∆𝑇
donde 𝜌 es la densidad del cuerpo.
2. La correspondencia 𝐿𝑓 = 𝐿0(1 + 𝛼∆𝑇) es una aproximación válida cuando el coeficiente de
expansión promedio es pequeño. Si 𝛼 es grande, se debe utilizar la expansión diferencial
𝑑𝐿
𝑑𝑇
= 𝛼𝐿. Halle una expresión para determinar la longitud final.
3. Sea la función de estado de Van der Waals, dada por: (𝑃 +
𝑎
𝑉2) (𝑣 − 𝑏) = 𝑘𝑇 (Gas de Van
der Waals). Demuestre que el trabajo efectuado por un mol de gas que obedece a mencionada
ecuación, al expandirse del volumen 𝑉1 al volumen 𝑉2 en un proceso isotérmico se encuentra
expresado como:
𝑊 = 𝑅𝑇𝑙𝑛 (
𝑉1 − 𝑏
𝑉2 − 𝑏
) +
𝑎
𝑉1
−
𝑎
𝑉2
Nota: recuerde la definición de trabajo mecánico: 𝑤 = ∫ 𝐹
⃗. 𝑑𝑟
⃗
4. La ley adiabática para la expansión del aire es de la forma 𝑝𝑉1.4
= 𝐶, donde 𝑝 es presión, 𝑉
el volumen y 𝐶 una constante; demuestre que:
𝑑𝑝
𝑝
= −1.4
𝑑𝑉
𝑉
5. Las energías posibles de una partícula en un sistema de partículas son: 0, 𝜀, 2𝜀, …, 𝑛𝜀, …
demostrar que la función partición del sistema es:
𝑍 = (1 − 𝑒
−𝜀
𝑘𝐵𝑇
⁄
)−1
6. Considerando un sistema de partículas cuyas energías son: 0, 𝜀, 2𝜀, …, 𝑛𝜀, … halle los
valores de 𝑍 para (a) 100 K, (b) 300 K y (c) 800 K, si el valor de la energía 𝜀 es (a) 10−3
𝑒𝑉
y (b) 0.1 𝑒𝑉.
7. Un sistema formado por un enorme conjunto de partículas que se pueden encontrar en los
siguientes estados de energía 𝐸𝑖 = (𝑖 − 1)𝑒, con 𝑖 = 1, 2, … demuestre que la función
partición esta dada por la expresión:
𝑍 =
1
1 − exp(−𝛽𝑒)
8. Demuestre que la energía Helmholtz (𝐹 = 𝑈 − 𝑆𝑇) se puede escribir en términos de la
función partición como 𝐹 = −𝑁𝑘𝐵𝑇. 𝑙𝑛𝑍.
9. Demuestre que la capacidad calorífica debida a un campo magnético donde se asocian dos
posibles estados de energía 𝐸 = ±𝜇𝐵𝐵 esta dado por:
𝐶 =
𝑁(𝜇𝐵𝐵)2
𝑇2𝑘𝐵
𝑠𝑒𝑐ℎ2
(
𝜇𝐵𝐵
𝑘𝐵𝑇
)

2. 10. Demuestre que la energía media (𝐸
̅ =
𝑈
𝑁
) para un sistema compuesto por partículas con
energía +𝜀 y −𝜀 esta dada por:
𝐸
̅ = −𝜀𝑇𝑎𝑛ℎ (
𝜀
𝑘𝐵𝑇
)
11. Halle los valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 tal que 𝐴 = (
𝑎𝑖 3 + 𝑎𝑖 𝑎 − 4𝑖
𝑏 − 𝑖 𝑏𝑖 −𝑎 + 𝑏𝑖
𝑐 + 𝑑𝑖 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑑𝑖
) sea antihermítica.
12. Demuestre los siguientes conmutadores:
[𝐿𝑦, 𝐿𝑧] = 𝑖ℏ𝐿𝑥 [𝐿𝑧, 𝐿𝑥] = 𝑖ℏ𝐿𝑦
13. Sean 𝐴
̂ y 𝐵
̂ operadores, demuestre que: [𝐴
̂, 𝐵
̂] = −[𝐵
̂, 𝐴
̂]
14. Sean 𝐴
̂ y 𝐵
̂ operadores, demuestre que: [𝐴
̂, 𝑐] = 0 con 𝑐 ∈ ℂ
15. Sean 𝐴
̂ , 𝐵
̂ y 𝐶
̂ operadores, demuestre que: [𝐴
̂, 𝐵
̂ + 𝐶
̂] = [𝐴
̂, 𝐵
̂] + [𝐴
̂, 𝐶
̂]
16. Determine el cuadrado del operador 𝑥
̂ +
𝑑
𝑑𝑥
17. Obtenga las funciones y valores propios del operador
𝑑
𝑑𝑥
18. ¿Es lineal el operador
𝑑
𝑑𝑥
? Argumente o demuestre.
19. ¿Es lineal el operador √ ? Argumente o demuestre.
20. Demuestre que la longitud de onda de De Broglie de una partícula de carga e y masa
m moviéndose a velocidades relativistas se obtiene en función de su potencial
acelerador, como:
λ(V) =
h
√2meV
(1 +
eV
2mc2
)
−
1
2
21. Usando el modelo del átomo de hidrogeno de Bohr demostrar que cuando el electrón
se mueve del estado 𝑛 al 𝑛 − 1 la frecuencia de la luz emitida es:
γ =
2π2
mke
2
e4
h3
(
2n − 1
n2(n − 1)2
)
demuestre que si 𝑛 → ∞ la frecuencia se comporta como 𝛾~
1
𝑛3
.

3. 22. Usando los mejores valores de constantes fundamentales, demuestre que la energía
de un fotón se relaciona con la longitud de onda con la forma:
𝐸(𝜆) =
1240 𝑒𝑉. 𝑛𝑚
𝜆
23. Usando teoría de aproximaciones;
(a) A partir de la relación de radiación de cuerpo negro de Plank, deduzca la relación
de Rayliengh – Jeans para grandes longitudes de onda.
(b) A partir de la relación de radiación de cuerpo negro de Plank, demuestre que las
constantes C1 y C2 de la relación de Wien son respectivamente: 8πhc y hc.
Nota, tenga en cuenta que la ley de radiación de Wien, está dada por:
𝜌(𝜆) = 𝐶1𝜆−5
𝑒
−
𝐶2
𝜆𝑘𝐵𝑇
⁄
24. Una partícula de carga q y masa m se mueve a velocidad constante v perpendicular a
un campo magnético constante B, siguiendo una trayectoria circular. Si el momento
angular esta cuantizado demuestre que los radios permitidos para esta carga están
dados por:
𝑟𝑛 = √
𝑛ℎ
𝑞𝐵
.
25. Demostrar que la longitud de onda de De Broglie de una carga q que se mueve en un
círculo de radio R dentro de un campo magnético B, está dada por:
𝜆 =
ℎ
𝐵𝑞𝑅
26. Demuestre que la frecuencia 𝛾 y la longitud de onda 𝜆 de una partícula está
relacionada por:
(
𝛾
𝑐
)
2
=
1
𝜆2
+
1
𝜆𝑐
2 con 𝜆𝑐 =
ℎ
𝑚𝑐
.
27. La función de onda 𝜓(𝑥)de un electrón para el cuarto estado excitado, en el interior
de un pozo de potencial infinito, es 𝜓(𝑥) = √
2
𝑎
𝑠𝑒𝑛 (
4𝜋𝑥
𝑎
) ¿Cuál es la probabilidad de
encontrar al electrón en la región 0 < 𝑥 < 𝑎
4
⁄ .
28. Un sistema unidimensional de una sola partícula esta descrito por la función de onda
𝜓(𝑥) = 𝑎−1
2
⁄
𝑒−
|𝑥|
𝑎
⁄
a tiempo 𝑡 = 0. Demuestre que esta función de onda está
normalizada.

4. 29. Una partícula de masa m se mueve en un potencial de ancho 2L (de 𝑥 = 𝐿 a 𝑥 = −𝐿)
con funcionalidad 𝑉(𝑥) =
−ℏ2𝑥2
𝑚𝐿2(𝐿2−𝑥2)
, además la partícula se encuentra en un estado
estacionario descrito por una función de onda de la forma 𝜓(𝑥) = 𝐴 (1 −
𝑥2
𝐿2
) para
el intervalo −𝐿 < 𝑥 < 𝐿 con 𝜓(𝑥) = 0 en otro caso. Determine los valores propios
de la energía y halle la constante de normalización.
30. La función de onda para una partícula es 𝜓(𝑥) = √
𝑎
𝜋(𝑥2+𝑎2)
para 𝑎 > 0 y −∞ < 𝑥 <
∞ determine la probabilidad de que la partícula se localice en algún punto entre: 𝑥 =
−𝑎 y 𝑥 = 𝑎
31. Una partícula descrita por una función de onda 𝜓(𝑥), el valor esperado o de
aceptación de una cantidad física 𝑓(𝑥) asociada a la partícula está definida por:
〈𝑓(𝑥)〉 ∫ 𝑓(𝑥)|𝜓(𝑥)|2
𝑑𝑥
∞
−∞
Para una partícula en una caja unidimensional que se extiende de 𝑥 = 0 a 𝑥 = 𝐿,
demuestre que: 〈𝑥3〉 =
𝐿2
3
−
𝐿2
2𝑛2𝜋2
.
32. Los polinomios de Hermite se definen de la forma
𝐻𝑛(𝑧) = (−1)𝑛
𝑒𝜉2 𝑑𝑛
𝑑𝑧𝑛
𝑒−𝜉2
Pruebe que: 𝐻0(𝑧) = 1, 𝐻1(𝑧) = 2𝑧, 𝐻2(𝑧) = 4𝑧2
− 2, 𝐻3(𝑧) = 8𝑧3
− 12𝑧
33. Determine 〈𝑥〉 para el estado base del oscilador armónico cuántico
34. Una función de onda para un oscilador armónico cuántico unidimensional está dada
por la expresión: 𝜓(𝑥) = 𝐴𝑥𝑒−𝑏𝑥2
. (a) Demuestre que 𝜓 satisface la ecuación:
𝑑2
𝜓
𝑑𝑥2
= − [(
2𝑚𝐸
ℏ2
) − (
𝑚𝜔
ℏ
)
2
𝑥2
] 𝜓
35. Cierto sistema unidimensional de una partícula tiene como energía potencial 𝑉(𝑥) =
2𝑐ℏ2𝑥2
𝑚
y esta en un estado estacionario con 𝜓(𝑥) = 𝑏𝑥𝑒−𝑐𝑥2
donde 𝑏 y C son
constantes, Determine la energía de mencionada partícula.
36. Hallar los siguientes armónicos esféricos: